Γράφημα της εξάρτησης της προβολής της επιτάχυνσης από το χρόνο κίνησης. Ευθύγραμμη κίνηση ίσης μεταβλητής

Ερωτήσεις.

1. Γράψτε τον τύπο με τον οποίο μπορείτε να υπολογίσετε την προβολή του διανύσματος στιγμιαίας ταχύτητας της ευθύγραμμης ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης, εάν γνωρίζετε: α) την προβολή του διανύσματος αρχικής ταχύτητας και την προβολή του διανύσματος επιτάχυνσης. β) την προβολή του διανύσματος της επιτάχυνσης, δεδομένου ότι η αρχική ταχύτητα είναι μηδέν.

2. Ποια είναι η γραφική παράσταση της προβολής του διανύσματος ταχύτητας ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης με αρχική ταχύτητα: α) ίση με μηδέν; β) δεν ισούται με μηδέν;

3. Πώς είναι παρόμοιες και διαφορετικές μεταξύ τους οι κινήσεις, τα γραφήματα των οποίων παρουσιάζονται στα σχήματα 11 και 12;

Και στις δύο περιπτώσεις, η κίνηση συμβαίνει με επιτάχυνση, αλλά στην πρώτη περίπτωση, η επιτάχυνση είναι θετική και στη δεύτερη, είναι αρνητική.

Γυμνάσια.

1. Ο παίκτης χόκεϋ χτύπησε ελαφρά το ξωτικό με ένα ραβδί, δίνοντάς του ταχύτητα 2 m / s. Ποια θα είναι η ταχύτητα του ξωτικού 4 s μετά την πρόσκρουση εάν, ως αποτέλεσμα της τριβής στον πάγο, κινηθεί με επιτάχυνση 0,25 m / s 2;

2. Ο σκιέρ κατεβαίνει το βουνό από ηρεμία με επιτάχυνση ίση με 0,2 m/s 2 . Μετά από ποιο χρονικό διάστημα θα αυξηθεί η ταχύτητά του στα 2 m/s;

3. Στους ίδιους άξονες συντεταγμένων σχεδιάστε τις προβολές του διανύσματος ταχύτητας (στον άξονα Χ, συνκατευθυνόμενες με το διάνυσμα αρχικής ταχύτητας) για ευθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση για τις περιπτώσεις: α) v ox \u003d 1m / s, a x \u003d 0,5 m / s 2; β) v ox \u003d 1m / s, a x \u003d 1 m / s 2; γ) v ox \u003d 2 m / s, a x \u003d 1 m / s 2.
Η κλίμακα είναι ίδια σε όλες τις περιπτώσεις: 1cm - 1m/s; 1cm - 1s.

4. Στους ίδιους άξονες συντεταγμένων να κατασκευάσετε γραφικές παραστάσεις της προβολής του διανύσματος ταχύτητας (στον άξονα Χ, συνκατευθυνόμενο με το διάνυσμα αρχικής ταχύτητας) για ευθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση για τις περιπτώσεις: α) v ox = 4,5 m/s , a x = -1,5 m / s 2; β) v ox \u003d 3 m / s, a x \u003d -1 m / s 2
Επιλέξτε τη δική σας κλίμακα.

5. Το σχήμα 13 δείχνει τις γραφικές παραστάσεις του δομοστοιχείου του διανύσματος ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για ευθύγραμμη κίνηση δύο σωμάτων. Ποιος είναι ο συντελεστής επιτάχυνσης του σώματος I; σώμα II;

Ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνησηΑυτή είναι μια ειδική περίπτωση ανομοιόμορφης κίνησης.

Ανώμαλη κίνηση- αυτή είναι μια κίνηση κατά την οποία ένα σώμα (υλικό σημείο) κάνει άνισες κινήσεις σε ίσα χρονικά διαστήματα. Για παράδειγμα, ένα αστικό λεωφορείο κινείται άνισα, αφού η κίνησή του αποτελείται κυρίως από επιτάχυνση και επιβράδυνση.

Κίνηση ίσης μεταβλητής- αυτή είναι μια κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα ενός σώματος (υλικό σημείο) αλλάζει με τον ίδιο τρόπο για οποιαδήποτε ίσα χρονικά διαστήματα.

Επιτάχυνση σώματος σε ομοιόμορφη κίνησηπαραμένει σταθερό σε μέγεθος και κατεύθυνση (a = const).

Η ομοιόμορφη κίνηση μπορεί να επιταχυνθεί ή να επιβραδυνθεί ομοιόμορφα.

Ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση- αυτή είναι η κίνηση ενός σώματος (υλικό σημείο) με θετική επιτάχυνση, δηλαδή, με μια τέτοια κίνηση, το σώμα επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση. Στην περίπτωση της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης, το μέτρο της ταχύτητας του σώματος αυξάνεται με το χρόνο, η κατεύθυνση της επιτάχυνσης συμπίπτει με την κατεύθυνση της ταχύτητας κίνησης.

Ομοιόμορφα αργή κίνηση- αυτή είναι η κίνηση ενός σώματος (υλικό σημείο) με αρνητική επιτάχυνση, δηλαδή, με μια τέτοια κίνηση, το σώμα επιβραδύνει ομοιόμορφα. Με ομοιόμορφα αργή κίνηση, τα διανύσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι αντίθετα και το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται με το χρόνο.

Στη μηχανική, κάθε ευθύγραμμη κίνηση επιταχύνεται, επομένως η αργή κίνηση διαφέρει από την επιταχυνόμενη κίνηση μόνο από το πρόσημο της προβολής του διανύσματος επιτάχυνσης στον επιλεγμένο άξονα του συστήματος συντεταγμένων.

Μέση ταχύτητα μεταβλητής κίνησηςκαθορίζεται διαιρώντας την κίνηση του σώματος με το χρόνο κατά τον οποίο έγινε αυτή η κίνηση. Η μονάδα μέσης ταχύτητας είναι m/s.

V cp = s / t

- αυτή είναι η ταχύτητα του σώματος (υλικό σημείο) σε ένα δεδομένο χρονικό σημείο ή σε ένα δεδομένο σημείο της τροχιάς, δηλαδή το όριο στο οποίο τείνει η μέση ταχύτητα με άπειρη μείωση στο χρονικό διάστημα Δt:

Διάνυσμα στιγμιαίας ταχύτηταςΗ ομοιόμορφη κίνηση μπορεί να βρεθεί ως η πρώτη παράγωγος του διανύσματος μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο:

Διάνυσμα προβολής ταχύτηταςστον άξονα OX:

V x = x'

αυτή είναι η παράγωγος της συντεταγμένης σε σχέση με το χρόνο (οι προβολές του διανύσματος ταχύτητας σε άλλους άξονες συντεταγμένων λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο).

- αυτή είναι μια τιμή που καθορίζει τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του σώματος, δηλαδή το όριο στο οποίο τείνει η αλλαγή της ταχύτητας με άπειρη μείωση στο χρονικό διάστημα Δt:

Διάνυσμα επιτάχυνσης ομοιόμορφης κίνησηςμπορεί να βρεθεί ως η πρώτη παράγωγος του διανύσματος ταχύτητας ως προς το χρόνο ή ως η δεύτερη παράγωγος του διανύσματος μετατόπισης ως προς το χρόνο:

Εάν το σώμα κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του άξονα OX ενός ευθύγραμμου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων που συμπίπτει στην κατεύθυνση με την τροχιά του σώματος, τότε η προβολή του διανύσματος ταχύτητας σε αυτόν τον άξονα προσδιορίζεται από τον τύπο:

V x = v 0x ± a x t

Το σύμβολο "-" (μείον) μπροστά από την προβολή του διανύσματος επιτάχυνσης αναφέρεται σε ομοιόμορφα αργή κίνηση. Οι εξισώσεις προβολών του διανύσματος ταχύτητας σε άλλους άξονες συντεταγμένων γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

Δεδομένου ότι η επιτάχυνση είναι σταθερή (a \u003d const) με ομοιόμορφα μεταβλητή κίνηση, το γράφημα επιτάχυνσης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα 0t (άξονας χρόνου, Εικ. 1.15).

Ρύζι. 1.15. Εξάρτηση της επιτάχυνσης του σώματος από το χρόνο.

Ταχύτητα έναντι χρόνουείναι μια γραμμική συνάρτηση, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια ευθεία γραμμή (Εικ. 1.16).

Ρύζι. 1.16. Εξάρτηση της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο.

Γράφημα ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο(Εικ. 1.16) δείχνει ότι

Σε αυτή την περίπτωση, η μετατόπιση είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του σχήματος 0abc (Εικ. 1.16).

Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι το μισό του αθροίσματος των μηκών των βάσεων του επί το ύψος. Οι βάσεις του τραπεζοειδούς 0abc είναι αριθμητικά ίσες:

0a = v 0bc = v

Το ύψος του τραπεζοειδούς είναι t. Έτσι, το εμβαδόν του τραπεζοειδούς, και ως εκ τούτου η προβολή της μετατόπισης στον άξονα OX, ισούται με:

Στην περίπτωση της ομοιόμορφης αργής κίνησης, η προβολή της επιτάχυνσης είναι αρνητική και στον τύπο για την προβολή της μετατόπισης, το πρόσημο «–» (μείον) τοποθετείται μπροστά από την επιτάχυνση.

Το γράφημα της εξάρτησης της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο σε διάφορες επιταχύνσεις φαίνεται στο Σχ. 1.17. Η γραφική παράσταση της εξάρτησης της μετατόπισης από το χρόνο σε v0 = 0 φαίνεται στο σχήμα. 1.18.

Ρύζι. 1.17. Εξάρτηση της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο για διάφορες τιμές επιτάχυνσης.

Ρύζι. 1.18. Εξάρτηση της μετατόπισης του σώματος από το χρόνο.

Η ταχύτητα του σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή t 1 είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μεταξύ της εφαπτομένης στο γράφημα και του άξονα χρόνου v \u003d tg α και η κίνηση καθορίζεται από τον τύπο:

Εάν ο χρόνος κίνησης του σώματος είναι άγνωστος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν άλλο τύπο μετατόπισης λύνοντας ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

Θα μας βοηθήσει να εξαγάγουμε έναν τύπο για την προβολή μετατόπισης:

Δεδομένου ότι η συντεταγμένη του σώματος οποιαδήποτε στιγμή καθορίζεται από το άθροισμα της αρχικής συντεταγμένης και της προβολής μετατόπισης, θα μοιάζει με αυτό:

Η γραφική παράσταση της συντεταγμένης x(t) είναι επίσης παραβολή (όπως και η γραφική παράσταση μετατόπισης), αλλά η κορυφή της παραβολής γενικά δεν συμπίπτει με την αρχή. Για ένα x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Η σχεδίαση χρησιμοποιείται για να δείξει την εξάρτηση μιας ποσότητας από μια άλλη. Σε αυτή την περίπτωση, στον έναν άξονα, απεικονίζεται μια αλλαγή σε μια τιμή και στον άλλο άξονα μια αλλαγή σε μια άλλη τιμή. Σε μια ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση, η ταχύτητα του σώματος παραμένει σταθερή, μόνο ο χρόνος και η απόσταση που διανύεται ανάλογα με αυτόν αλλάζουν. Επομένως, το μεγαλύτερο ενδιαφέρον για μια τέτοια κίνηση είναι ένα γράφημα που αντανακλά την εξάρτηση της διαδρομής από το χρόνο.

Κατά την κατασκευή ενός τέτοιου γραφήματος, σημειώνεται μια αλλαγή στο χρόνο (t) σε έναν από τους άξονες του επιπέδου συντεταγμένων. Για παράδειγμα, 1s, 2s, 3s, κ.λπ. Ας είναι αυτός ο άξονας x. Στον άλλο άξονα (στην περίπτωση αυτή y ), σημειώνεται η μεταβολή της διανυθείσας απόστασης. Για παράδειγμα, 10m, 20m, 30m κ.λπ.

Ως αρχή της κίνησης λαμβάνεται η αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Αυτό είναι το σημείο εκκίνησης στο οποίο ο χρόνος που αφιερώνεται σε κίνηση είναι μηδέν και η διανυθείσα απόσταση είναι επίσης μηδέν. Αυτό είναι το πρώτο σημείο στο γράφημα της διαδρομής έναντι του χρόνου.

Στη συνέχεια, το δεύτερο σημείο του γραφήματος βρίσκεται στο επίπεδο συντεταγμένων. Για να γίνει αυτό, για κάποιο χρονικό διάστημα, τα μονοπάτια βρίσκουν το μονοπάτι που διανύθηκε κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου. Εάν η ταχύτητα του σώματος είναι 30 m/s, τότε μπορεί να είναι ένα σημείο με συντεταγμένες (1; 30) ή (2; 60) και ούτω καθεξής.

Αφού επισημανθεί το δεύτερο σημείο, μια ακτίνα διασχίζεται από δύο σημεία (το πρώτο είναι η αρχή). Η αρχή της ακτίνας είναι η αρχή των συντεταγμένων. Αυτή η ακτίνα είναι ένα γράφημα της διαδρομής σε σχέση με το χρόνο για μια ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση. Η δοκός δεν έχει τέλος, πράγμα που σημαίνει ότι όσο περισσότερος χρόνος αφιερώνεται στο μονοπάτι, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η διαδρομή.

Γενικά, ένα γράφημα διαδρομής έναντι χρόνου λέγεται ότι είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή.

Για να αποδείξετε ότι το γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή και, ας πούμε, όχι μια διακεκομμένη γραμμή, μπορείτε να δημιουργήσετε μια σειρά σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων. Για παράδειγμα, εάν η ταχύτητα είναι 5 km/h, τότε τα σημεία (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 20) μπορούν να σημειωθούν στο επίπεδο συντεταγμένων. Στη συνέχεια συνδέστε τα σε σειρά μεταξύ τους. Θα δεις ότι θα βγει ίσιο.

Όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του σώματος, τόσο πιο γρήγορα αυξάνεται η διανυόμενη απόσταση. Αν στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων σχεδιάσουμε τις χρονικές εξαρτήσεις της διαδρομής για δύο σώματα που κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες, τότε η γραφική παράσταση του σώματος που κινείται πιο γρήγορα θα έχει μεγαλύτερη γωνία με τη θετική φορά του άξονα του χρόνου.

Για παράδειγμα, εάν ένα σώμα κινείται με ταχύτητα 10 km / h και το δεύτερο - 20 km / h, τότε τα σημεία (1; 10) για ένα σώμα και (1; 20) για ένα άλλο μπορούν να σημειωθούν στο επίπεδο συντεταγμένων . Είναι σαφές ότι το δεύτερο σημείο είναι πιο μακριά από τον άξονα του χρόνου και η ευθεία γραμμή που διασχίζει αυτό σχηματίζει μεγαλύτερη γωνία από την ευθεία που διασχίζει το σημείο που σημειώνεται για το πρώτο σώμα.

Τα διαγράμματα διαδρομής σε σχέση με το χρόνο για ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ταχεία εύρεση του χρόνου που έχει παρέλθει από μια γνωστή τιμή της απόστασης που διανύθηκε ή μια διαδρομή από έναν γνωστό χρόνο. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή από την τιμή του άξονα συντεταγμένων, η οποία είναι γνωστή, μέχρι την τομή με το γράφημα. Περαιτέρω, από το ληφθέν σημείο τομής, σχεδιάστε μια κάθετη στον άλλο άξονα, λαμβάνοντας έτσι την επιθυμητή τιμή.

Εκτός από τα διαγράμματα διαδρομής σε σχέση με το χρόνο, μπορείτε να σχεδιάσετε γραφήματα διαδρομής έναντι ταχύτητας και ταχύτητας έναντι χρόνου. Ωστόσο, δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι σταθερή στην ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση, αυτά τα γραφήματα είναι ευθείες γραμμές παράλληλες προς τους άξονες της διαδρομής ή του χρόνου και διέρχονται στο επίπεδο της δηλωμένης ταχύτητας.

Ομοιόμορφη κίνηση- αυτή είναι κίνηση με σταθερή ταχύτητα, δηλαδή όταν η ταχύτητα δεν αλλάζει (v \u003d const) και δεν υπάρχει επιτάχυνση ή επιβράδυνση (a \u003d 0).

Ευθύγραμμη κίνηση- αυτή είναι κίνηση σε ευθεία γραμμή, δηλαδή, η τροχιά της ευθύγραμμης κίνησης είναι μια ευθεία γραμμή.

Ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνησηείναι μια κίνηση κατά την οποία το σώμα κάνει τις ίδιες κινήσεις για οποιαδήποτε ίσα χρονικά διαστήματα. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε κάποιο χρονικό διάστημα σε τμήματα του ενός δευτερολέπτου, τότε με ομοιόμορφη κίνηση το σώμα θα κινηθεί την ίδια απόσταση για καθένα από αυτά τα χρονικά τμήματα.

Η ταχύτητα της ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης δεν εξαρτάται από το χρόνο και σε κάθε σημείο της τροχιάς κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η κίνηση του σώματος. Δηλαδή, το διάνυσμα μετατόπισης συμπίπτει ως προς την κατεύθυνση με το διάνυσμα της ταχύτητας. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση ταχύτητα για οποιαδήποτε χρονική περίοδο είναι ίση με τη στιγμιαία ταχύτητα:

V cp = v

Διανυθείσα απόστασησε ευθύγραμμη κίνηση ισούται με το μέτρο μετατόπισης. Εάν η θετική κατεύθυνση του άξονα OX συμπίπτει με την κατεύθυνση της κίνησης, τότε η προβολή της ταχύτητας στον άξονα OX είναι ίση με την ταχύτητα και είναι θετική:

V x = v, δηλαδή v > 0

Η προβολή της μετατόπισης στον άξονα OX είναι ίση με:

S \u003d vt \u003d x - x 0

όπου x 0 είναι η αρχική συντεταγμένη του σώματος, x είναι η τελική συντεταγμένη του σώματος (ή η συντεταγμένη του σώματος ανά πάσα στιγμή)

Εξίσωση κίνησης, δηλαδή η εξάρτηση της συντεταγμένης του σώματος από το χρόνο x = x(t), παίρνει τη μορφή:

X \u003d x 0 + vt

Εάν η θετική κατεύθυνση του άξονα OX είναι αντίθετη από την κατεύθυνση κίνησης του σώματος, τότε η προβολή της ταχύτητας του σώματος στον άξονα OX είναι αρνητική, η ταχύτητα είναι μικρότερη από το μηδέν (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

X \u003d x 0 - vt

Εξάρτηση ταχύτητας, συντεταγμένων και διαδρομής από το χρόνο

Η εξάρτηση της προβολής της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο φαίνεται στο σχ. 1.11. Δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι σταθερή (v = const), το γράφημα ταχύτητας είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα χρόνου Ot.

Ρύζι. 1.11. Η εξάρτηση της προβολής της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Η προβολή μετατόπισης στον άξονα συντεταγμένων είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του ορθογωνίου OABS (Εικ. 1.12), αφού το μέγεθος του διανύσματος μετατόπισης είναι ίσο με το γινόμενο του διανύσματος ταχύτητας και το χρόνο κατά τον οποίο έγινε η κίνηση .

Ρύζι. 1.12. Η εξάρτηση της προβολής της κίνησης του σώματος από τον χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Το διάγραμμα μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο φαίνεται στο Σχ. 1.13. Από το γράφημα φαίνεται ότι η ταχύτητα προβολής είναι ίση με

V = s 1 / t 1 = tg α

όπου α είναι η γωνία κλίσης της γραφικής παράστασης προς τον άξονα του χρόνου Όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία α τόσο πιο γρήγορα κινείται το σώμα, δηλαδή τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητά του (όσο περισσότερο το σώμα ταξιδεύει σε λιγότερο χρόνο). Η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης στο γράφημα της εξάρτησης της συντεταγμένης από το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα:

Tgα = v

Ρύζι. 1.13. Η εξάρτηση της προβολής της κίνησης του σώματος από τον χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Η εξάρτηση της συντεταγμένης από το χρόνο φαίνεται στο σχ. 1.14. Από το σχήμα φαίνεται ότι

Tgα 1 > tgα 2

Επομένως, η ταχύτητα του σώματος 1 είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του σώματος 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3< 0

Αν το σώμα βρίσκεται σε ηρεμία, τότε η γραφική παράσταση της συντεταγμένης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου, δηλαδή

X \u003d x 0

Ρύζι. 1.14. Εξάρτηση της συντεταγμένης του σώματος από τον χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.