Πώς να σχεδιάσετε 2 παράλληλες γραμμές Lobachevsky μέσα από ένα σημείο. Πρακτικές εφαρμογές της γεωμετρίας Lobachevsky

Γεωμετρία του Λομπατσέφσκι

Εισαγωγή

Κεφάλαιο Ι. Η ιστορία της εμφάνισης της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας

Κεφάλαιο II. Γεωμετρία του Λομπατσέφσκι

2.1 Βασικές έννοιες

2.2 Συνέπεια της γεωμετρίας Lobachevsky

2.3 Μοντέλα γεωμετρίας Lobachevsky

2.4 Ελάττωμα τριγώνου και πολυγώνου

2.5 Απόλυτη μονάδα μήκους στη γεωμετρία Lobachevsky

2.6 Ορισμός παράλληλης ευθείας. Συνάρτηση P(x)

2.7 Μοντέλο Poincare

Πρακτικό μέρος

1. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

2. Το ζήτημα της ύπαρξης τέτοιων στοιχείων

3. Η κύρια ιδιότητα του παραλληλισμού

4. Ιδιότητες της συνάρτησης P(x)

Συμπέρασμα. συμπεράσματα

Εφαρμογές

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας

Εισαγωγή

Αυτή η εργασία δείχνει τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ των δύο γεωμετριών στο παράδειγμα της απόδειξης ενός από τα αξιώματα του Ευκλείδη και της συνέχισης αυτών των εννοιών στη γεωμετρία του Lobachevsky, λαμβάνοντας υπόψη τα επιτεύγματα της επιστήμης εκείνης της εποχής.

Οποιαδήποτε θεωρία της σύγχρονης επιστήμης θεωρείται σωστή μέχρι να δημιουργηθεί η επόμενη. Αυτό είναι ένα είδος αξιώματος της ανάπτυξης της επιστήμης. Το γεγονός αυτό έχει επιβεβαιωθεί πολλές φορές.

Η φυσική του Νεύτωνα εξελίχθηκε σε σχετικιστική, και αυτό - σε κβαντική. Η θεωρία του φλογιστονίου έγινε χημεία. Αυτή είναι η μοίρα όλων των επιστημών. Αυτή η μοίρα δεν παρέκαμψε τη γεωμετρία. Η παραδοσιακή γεωμετρία του Ευκλείδη έχει εξελιχθεί σε γεωμετρία. Λομπατσέφσκι. Αυτή η εργασία είναι αφιερωμένη σε αυτόν τον κλάδο της επιστήμης.

Σκοπός αυτής της εργασίας: να εξετάσει τη διαφορά μεταξύ της γεωμετρίας του Λομπατσέφσκι και της γεωμετρίας του Ευκλείδη.

Οι στόχοι αυτής της εργασίας: να συγκρίνει τα θεωρήματα της γεωμετρίας του Ευκλείδη με παρόμοια θεωρήματα της γεωμετρίας του Lobachevsky.

λύνοντας προβλήματα, εξάγετε τις θέσεις της γεωμετρίας του Lobachevsky.

Συμπεράσματα: 1. Η γεωμετρία του Lobachevsky βασίζεται στην απόρριψη του πέμπτου αξιώματος του Ευκλείδη.

2. Στη γεωμετρία Lobachevsky:

δεν υπάρχουν παρόμοια τρίγωνα που να μην είναι ίσα.

δύο τρίγωνα είναι ίσα αν οι γωνίες τους είναι ίσες.

το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν είναι ίσο με 180 0, αλλά μικρότερο (το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου εξαρτάται από το μέγεθός του: όσο μεγαλύτερο είναι το εμβαδόν, τόσο περισσότερο το άθροισμα διαφέρει από 180 0· και αντίστροφα, το Όσο μικρότερο είναι το εμβαδόν, τόσο πιο κοντά είναι το άθροισμα των γωνιών του στο 180 0).

μέσω ενός σημείου εκτός ευθείας, μπορούν να σχεδιαστούν περισσότερες από μία ευθείες παράλληλες στη δεδομένη ευθεία.

Κεφάλαιο 1. Η ιστορία της εμφάνισης της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας

1.1 V αξίωμα του Ευκλείδη, επιχειρεί να το αποδείξει

Ο Ευκλείδης είναι ο συγγραφέας της πρώτης αυστηρής λογικής κατασκευής της γεωμετρίας που έχει φτάσει σε εμάς. Η έκθεσή του είναι τόσο τέλεια για την εποχή της που για δύο χιλιάδες χρόνια από τη στιγμή της εμφάνισης του έργου του «Στοιχεία» ήταν ο μοναδικός οδηγός για τους σπουδαστές της γεωμετρίας.

Το «Αρχές» αποτελείται από 13 βιβλία αφιερωμένα στη γεωμετρία και την αριθμητική σε μια γεωμετρική παρουσίαση.

Κάθε βιβλίο των Στοιχείων ξεκινά με έναν ορισμό των εννοιών που συναντώνται για πρώτη φορά. Ακολουθώντας τους ορισμούς, ο Ευκλείδης δίνει αξιώματα και αξιώματα, δηλαδή δηλώσεις που γίνονται δεκτές χωρίς απόδειξη.

Το αξίωμα V του Ευκλείδη αναφέρει: και ότι κάθε φορά που μια ευθεία, όταν τέμνεται με δύο άλλες ευθείες, σχηματίζει μονόπλευρες εσωτερικές γωνίες με αυτές, το άθροισμα των οποίων είναι μικρότερο από δύο ευθείες, αυτές οι ευθείες τέμνονται στην πλευρά στην οποία αυτό το άθροισμα είναι μικρότερο από δύο γραμμές.

Το σημαντικότερο μειονέκτημα του συστήματος των ευκλείδειων αξιωμάτων, συμπεριλαμβανομένων των αξιωμάτων του, είναι η ατελής του, δηλαδή η ανεπάρκειά τους για μια αυστηρά λογική κατασκευή της γεωμετρίας, στην οποία κάθε πρόταση, εάν δεν εμφανίζεται στον κατάλογο των αξιωμάτων, πρέπει να είναι λογικά συνάγεται από τα τελευταία τους. Επομένως, ο Ευκλείδης, όταν απέδειξε θεωρήματα, δεν βασιζόταν πάντα σε αξιώματα, αλλά κατέφευγε στη διαίσθηση, την οπτικοποίηση και τις «αισθητηριακές» αντιλήψεις. Για παράδειγμα, απέδωσε έναν καθαρά οπτικό χαρακτήρα στην έννοια του «ανάμεσα». υπέθεσε σιωπηρά ότι μια ευθεία που διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο ενός κύκλου πρέπει σίγουρα να το τέμνει σε δύο ραβδιά. Ταυτόχρονα, βασίστηκε μόνο στην ορατότητα, και όχι στη λογική. δεν έδωσε πουθενά απόδειξη αυτού του γεγονότος και δεν μπορούσε να το δώσει, αφού του έλειπαν τα αξιώματα της συνέχειας. Του λείπουν επίσης κάποια άλλα αξιώματα, χωρίς τα οποία δεν είναι δυνατή μια αυστηρά λογική απόδειξη θεωρημάτων.

Κανείς όμως δεν αμφισβήτησε την αλήθεια των αξιωμάτων του Ευκλείδη, όσον αφορά το πέμπτο αξίωμα. Εν τω μεταξύ, ήδη στην αρχαιότητα, ήταν ακριβώς το αξίωμα των παραλλήλων που τράβηξε την ιδιαίτερη προσοχή ορισμένων γεωμέτρων, οι οποίοι θεώρησαν αφύσικο να το τοποθετήσουν ανάμεσα στα αξιώματα. Αυτό πιθανότατα οφειλόταν στη σχετικά λιγότερο προφανή και σαφήνεια του αξιώματος V: σιωπηρά, υποθέτει τη δυνατότητα επίτευξης οποιουδήποτε, αυθαίρετα απομακρυσμένου τμήματος του επιπέδου, εκφράζοντας μια ιδιότητα που βρίσκεται μόνο όταν οι ευθείες γραμμές εκτείνονται επ' αόριστον.

Ο ίδιος ο Ευκλείδης και πολλοί επιστήμονες προσπάθησαν να αποδείξουν το αξίωμα των παραλλήλων. Μερικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το αξίωμα των παραλλήλων, χρησιμοποιώντας μόνο άλλα αξιώματα και εκείνα τα θεωρήματα που μπορούν να συναχθούν από τα τελευταία, χωρίς να χρησιμοποιούν το ίδιο το αξίωμα V. Όλες αυτές οι προσπάθειες ήταν ανεπιτυχείς. Το κοινό τους μειονέκτημα είναι ότι κάποια υπόθεση, ισοδύναμη με το αξίωμα που αποδεικνύεται, εφαρμόστηκε σιωπηρά στην απόδειξη. Άλλοι πρότειναν τον επαναπροσδιορισμό των παράλληλων ευθειών ή την αντικατάσταση του αξιώματος V με κάτι που πίστευαν ότι ήταν πιο προφανές.

Αλλά οι αιωνόβιες προσπάθειες να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη οδήγησαν τελικά στην εμφάνιση μιας νέας γεωμετρίας, η οποία διαφέρει στο ότι το πέμπτο αξίωμα δεν εκπληρώνεται σε αυτήν. Αυτή η γεωμετρία ονομάζεται πλέον μη Ευκλείδεια και στη Ρωσία φέρει το όνομα του Λομπατσέφσκι, ο οποίος δημοσίευσε πρώτος ένα έργο με την παρουσίασή του.

Και μια από τις προϋποθέσεις για τις γεωμετρικές ανακαλύψεις του N.I. Lobachevsky (1792-1856) ήταν ακριβώς η υλιστική του προσέγγιση στα προβλήματα της γνώσης. Lobachevsky, ήταν ακράδαντα πεπεισμένος για την αντικειμενική ύπαρξη του υλικού κόσμου και τη δυνατότητα της γνώσης του, ανεξάρτητα από την ανθρώπινη συνείδηση. Στην ομιλία του «On the Most Important Subjects of Education» (Καζάν, 1828), ο Lobachevsky παραθέτει με συμπάθεια τα λόγια του F. Bacon: «Αφήστε τους να μοχθούν μάταια, προσπαθώντας να αποσπάσετε όλη τη σοφία μόνο από αυτούς. ρωτήστε τη φύση, κρατά όλες τις αλήθειες και θα απαντήσει σε όλες τις ερωτήσεις σας χωρίς αποτυχία και ικανοποιητικά. Στο δοκίμιό του «On the Principles of Geometry», που είναι η πρώτη δημοσίευση της γεωμετρίας που ανακάλυψε, ο Lobachevsky έγραψε: «Οι πρώτες έννοιες από τις οποίες ξεκινά κάθε επιστήμη πρέπει να είναι σαφείς και να μειωθούν στον μικρότερο αριθμό. Τότε μόνο μπορούν να χρησιμεύσουν ως στέρεο και επαρκές θεμέλιο για το δόγμα. Τέτοιες έννοιες αποκτώνται από τις αισθήσεις. έμφυτη - δεν πρέπει να πιστεύεται.

Οι πρώτες προσπάθειες του Lobachevsky να αποδείξει το πέμπτο αξίωμα χρονολογούνται από το 1823. Μέχρι το 1826, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το πέμπτο αξίωμα δεν εξαρτάται από τα υπόλοιπα αξιώματα της γεωμετρίας του Ευκλείδη, και στις 11 Φεβρουαρίου (23), 1826, σε μια συνάντηση της σχολής του Πανεπιστημίου του Καζάν, έκανε μια έκθεση " Μια συνοπτική παρουσίαση των αρχών της γεωμετρίας με μια αυστηρή απόδειξη του παράλληλου θεωρήματος», στην οποία σκιαγραφήθηκαν οι απαρχές της «φανταστικής γεωμετρίας» που ανακάλυψε ο ίδιος, όπως ονόμασε το σύστημα, το οποίο αργότερα έγινε γνωστό ως μη Ευκλείδεια γεωμετρία. . Η έκθεση του 1826 συμπεριλήφθηκε στην πρώτη δημοσίευση του Lobachevsky για τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία - το άρθρο "On the Principles of Geometry", που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό του Πανεπιστημίου του Καζάν "Kazan Vestnik" το 1829-1830. Η περαιτέρω ανάπτυξη και εφαρμογές της γεωμετρίας που ανακάλυψε αφιερώθηκαν στα απομνημονεύματα "Imaginary Geometry", "The Application of Imaginary Geometry to Some Integrals" και "New Beginnings of Geometry with a Complete Theory of Parallels", που δημοσιεύτηκαν στο "Scientific Notes" το 1835, 1836 και 1835-1838, αντίστοιχα. Ένα αναθεωρημένο κείμενο της «Φανταστικής Γεωμετρίας» εμφανίστηκε σε γαλλική μετάφραση στο Βερολίνο, ό.π. το 1840. εκδόθηκαν ως ξεχωριστό βιβλίο στα γερμανικά «Geometric studies on the theory of parallel lines» του Lobachevsky. Τέλος, το 1855 και το 1856. εξέδωσε στο Καζάν στα ρωσικά και γαλλικά την «Πανγεομετρία». Εκτίμησε πολύ τις «Γεωμετρικές Σπουδές» του Γκάους, ο οποίος έκανε τον Λομπατσέφσκι (1842) αντεπιστέλλον μέλος της Επιστημονικής Εταιρείας του Γκέτινγκεν, που ουσιαστικά ήταν η Ακαδημία Επιστημών του βασιλείου του Ανόβερου. Ωστόσο, ο Gauss δεν δημοσίευσε αξιολόγηση του νέου γεωμετρικού συστήματος.

1.2 Αξιώσεις παραλληλισμού του Ευκλείδη και του Λομπατσέφσκι

Το κύριο σημείο από το οποίο ξεκινά η διαίρεση της γεωμετρίας σε συνηθισμένες Ευκλείδειες (κοινές) και μη Ευκλείδειες (φανταστική γεωμετρία ή «πανγεμετρία»), όπως γνωρίζετε, είναι το αξίωμα των παράλληλων ευθειών.

Η συνηθισμένη γεωμετρία βασίζεται στην υπόθεση ότι μέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μπορεί να τραβηχτεί το πολύ μία ευθεία στο επίπεδο που ορίζεται από αυτό το σημείο και την ευθεία, χωρίς να τέμνει τη δεδομένη ευθεία. Το γεγονός ότι από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία διέρχεται τουλάχιστον μία ευθεία που δεν τέμνει αυτήν την ευθεία αναφέρεται στην «απόλυτη γεωμετρία», δηλ. μπορεί να αποδειχθεί χωρίς τη βοήθεια του αξιώματος των παράλληλων ευθειών.

Η ευθεία BB που διέρχεται από το P σε ορθή γωνία προς την κάθετη PQ που έπεσε κατά AA 1 δεν τέμνει την ευθεία AA 1 . αυτή η ευθεία στην Ευκλείδεια γεωμετρία ονομάζεται παράλληλη προς την ΑΑ 1 .

Σε αντίθεση με το αξίωμα του Ευκλείδη, ο Lobachevsky παίρνει το ακόλουθο αξίωμα ως βάση για την κατασκευή της θεωρίας των παράλληλων ευθειών:

Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, στο επίπεδο που ορίζεται από αυτό το σημείο και την ευθεία, μπορούν να σχεδιαστούν περισσότερες από μία ευθείες που δεν τέμνουν τη δεδομένη ευθεία.

Αυτό συνεπάγεται άμεσα την ύπαρξη άπειρου αριθμού ευθειών που διέρχονται από το ίδιο σημείο και δεν τέμνουν τη δεδομένη ευθεία. Έστω η ευθεία СС 1 δεν τέμνει το AA 1. τότε όλες οι γραμμές που περνούν μέσα στις δύο κατακόρυφες γωνίες VRS και B 1 PC 1 επίσης δεν τέμνονται με την ευθεία AA 1 .

Κεφάλαιο 2. Γεωμετρία του Λομπατσέφσκι.

2.1 Βασικές έννοιες

Στα απομνημονεύματά του On the Principles of Geometry (1829), ο Lobachevsky αναπαρήγαγε πρώτα απ' όλα την έκθεσή του του 1826.

Στις 7 Φεβρουαρίου 1832, ο Νικολάι Λομπατσέφσκι παρουσίασε το πρώτο του έργο για τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία κατά την κρίση των συναδέλφων του. Εκείνη την ημέρα ήταν η αρχή μιας επανάστασης στα μαθηματικά και το έργο του Λομπατσέφσκι ήταν το πρώτο βήμα προς τη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν. Σήμερα το "RG" έχει συγκεντρώσει πέντε από τις πιο κοινές παρανοήσεις σχετικά με τη θεωρία του Λομπατσέφσκι, οι οποίες υπάρχουν μεταξύ ανθρώπων μακριά από τις μαθηματικές επιστήμες

Μύθος πρώτος. Η γεωμετρία του Λομπατσέφσκι δεν έχει τίποτα κοινό με την Ευκλείδεια.

Στην πραγματικότητα, η γεωμετρία του Lobachevsky δεν είναι πολύ διαφορετική από την ευκλείδεια γεωμετρία που έχουμε συνηθίσει. Γεγονός είναι ότι από τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη, ο Λομπατσέφσκι άφησε τα τέσσερα πρώτα χωρίς αλλαγή. Δηλαδή, συμφωνεί με τον Ευκλείδη ότι μια ευθεία γραμμή μπορεί να τραβηχτεί μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων, ότι μπορεί πάντα να επεκταθεί στο άπειρο, ότι ένας κύκλος με οποιαδήποτε ακτίνα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε κέντρο και ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες με το καθένα άλλα. Ο Λομπατσέφσκι δεν συμφωνούσε μόνο με το πέμπτο αξίωμα, το πιο αμφίβολο από την άποψή του, του Ευκλείδη. Η διατύπωσή του ακούγεται εξαιρετικά δύσκολη, αλλά αν τη μεταφράσουμε σε μια γλώσσα κατανοητή από έναν κοινό άνθρωπο, αποδεικνύεται ότι, σύμφωνα με τον Ευκλείδη, δύο μη παράλληλες ευθείες σίγουρα θα τέμνονται. Ο Λομπατσέφσκι κατάφερε να αποδείξει την αναλήθεια αυτού του μηνύματος.

Μύθος δεύτερος. Στη θεωρία του Λομπατσέφσκι, οι παράλληλες γραμμές τέμνονται

Αυτό δεν είναι αληθινό. Στην πραγματικότητα, το πέμπτο αξίωμα του Λομπατσέφσκι ακούγεται ως εξής: "Στο επίπεδο, μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη γραμμή, περνούν περισσότερες από μία ευθείες που δεν τέμνουν τη δεδομένη". Με άλλα λόγια, για μια ευθεία γραμμή, είναι δυνατό να χαράξουμε τουλάχιστον δύο ευθείες σε ένα σημείο που δεν θα το τέμνουν. Δηλαδή, σε αυτό το αξίωμα του Λομπατσέφσκι δεν γίνεται καθόλου λόγος για παράλληλες γραμμές! Μιλάμε μόνο για την ύπαρξη πολλών μη τεμνόμενων γραμμών στο ίδιο επίπεδο. Έτσι, η υπόθεση για τη διασταύρωση των παράλληλων ευθειών γεννήθηκε λόγω της κοινότοπης άγνοιας της ουσίας της θεωρίας του μεγάλου Ρώσου μαθηματικού.

Μύθος τρίτος. Η γεωμετρία Lobachevsky είναι η μόνη μη ευκλείδεια γεωμετρία

Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες είναι ένα ολόκληρο στρώμα θεωριών στα μαθηματικά, όπου η βάση είναι το πέμπτο αξίωμα διαφορετικό από το Ευκλείδειο. Ο Λομπατσέφσκι, σε αντίθεση με τον Ευκλείδη, για παράδειγμα, περιγράφει έναν υπερβολικό χώρο. Υπάρχει μια άλλη θεωρία που περιγράφει τον σφαιρικό χώρο - αυτή είναι η γεωμετρία του Riemann. Εδώ τέμνονται οι παράλληλες ευθείες. Ένα κλασικό παράδειγμα αυτού από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών είναι οι μεσημβρινοί στον κόσμο. Αν κοιτάξετε το σχέδιο του πλανήτη, αποδεικνύεται ότι όλοι οι μεσημβρινοί είναι παράλληλοι. Εν τω μεταξύ, αξίζει να βάλουμε ένα σχέδιο στη σφαίρα, καθώς βλέπουμε ότι όλοι οι προηγουμένως παράλληλοι μεσημβρινοί συγκλίνουν σε δύο σημεία - στους πόλους. Μαζί οι θεωρίες του Ευκλείδη, του Λομπατσέφσκι και του Ρίμαν ονομάζονται «τρεις μεγάλες γεωμετρίες».

Μύθος τέταρτος. Η γεωμετρία Lobachevsky δεν είναι εφαρμόσιμη στην πραγματική ζωή

Αντίθετα, η σύγχρονη επιστήμη καταλαβαίνει ότι η ευκλείδεια γεωμετρία είναι μόνο μια ειδική περίπτωση της γεωμετρίας του Lobachevsky και ότι ο πραγματικός κόσμος περιγράφεται με μεγαλύτερη ακρίβεια από τους τύπους του Ρώσου επιστήμονα. Η ισχυρότερη ώθηση για την περαιτέρω ανάπτυξη της γεωμετρίας του Lobachevsky ήταν η θεωρία της σχετικότητας του Albert Einstein, η οποία έδειξε ότι ο ίδιος ο χώρος του Σύμπαντος μας δεν είναι γραμμικός, αλλά είναι μια υπερβολική σφαίρα. Εν τω μεταξύ, ο ίδιος ο Λομπατσέφσκι, παρά το γεγονός ότι εργάστηκε σε όλη του τη ζωή για την ανάπτυξη της θεωρίας του, την ονόμασε «φανταστική γεωμετρία».

Μύθος πέντε. Ο Λομπατσέφσκι ήταν ο πρώτος που δημιούργησε τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία

Αυτό δεν είναι απολύτως αληθές. Παράλληλα με αυτόν και ανεξάρτητα από αυτόν, ο Ούγγρος μαθηματικός Janos Bolyai και ο διάσημος Γερμανός επιστήμονας Carl Friedrich Gauss κατέληξαν σε παρόμοια συμπεράσματα. Ωστόσο, τα έργα του Janos δεν έγιναν αντιληπτά από το ευρύ κοινό και ο Karl Gauss προτίμησε να μην εκδοθούν καθόλου. Επομένως, είναι ο επιστήμονάς μας που θεωρείται πρωτοπόρος σε αυτή τη θεωρία. Ωστόσο, υπάρχει μια κάπως παράδοξη άποψη ότι ο ίδιος ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που επινόησε τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία. Γεγονός είναι ότι με αυτοκριτική θεώρησε το πέμπτο αξίωμά του όχι προφανές, έτσι απέδειξε τα περισσότερα από τα θεωρήματά του χωρίς να καταφύγει σε αυτό.

θεωρήματα γεωμετρίας του Lobachevsky

1. Βασικές έννοιες της γεωμετρίας Lobachevsky

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, σύμφωνα με το πέμπτο αξίωμα, στο επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο R,που βρίσκεται έξω από τη γραμμή Ένα "Α,υπάρχει μόνο μία ευθεία γραμμή ΒΒ,δεν τέμνονται Ένα «Α.Ευθεία ΒΒ"ονομάζεται παράλληλη στον Α"Α.Επιπλέον, αρκεί να απαιτείται να υπάρχει το πολύ μία τέτοια ευθεία, αφού η ύπαρξη μιας μη τέμνουσας γραμμής μπορεί να αποδειχθεί με διαδοχική χάραξη γραμμών PQA"Aκαι PBPQ.Στη γεωμετρία Lobachevsky, το αξίωμα του παραλληλισμού απαιτεί ότι μέσω ενός σημείου Rπέρασε περισσότερες από μία ευθείες που δεν τέμνονταν Ένα «Α.

Οι μη τεμνόμενες γραμμές γεμίζουν το μέρος του μολυβιού με μια κορυφή R,που βρίσκεται μέσα σε ένα ζευγάρι κάθετες γωνίες TPUκαι U"PT", που βρίσκεται συμμετρικά ως προς την κάθετο P.Q.Οι ευθείες που σχηματίζουν τις πλευρές των κατακόρυφων γωνιών χωρίζουν τις τεμνόμενες από τις μη τεμνόμενες γραμμές και είναι και οι ίδιες μη τέμνουσες. Αυτές οι οριακές γραμμές ονομάζονται παράλληλοι στο σημείο P σε ευθεία γραμμή Ένα «Ααντίστοιχα προς δύο κατευθύνσεις: Τ "Τπαράλληλο Ένα «Αστην κατεύθυνση Α"Α,ένα UU"παράλληλο Ένα «Αστην κατεύθυνση Α Α».Άλλες μη τεμνόμενες γραμμές ονομάζονται αποκλίνουσες γραμμές Με Ένα «Α.

Γωνία , 0< Rσχηματίζει με κάθετη pQ, QPT=QPU"=,που ονομάζεται γωνία παραλληλισμού τμήμα PQ=aκαι συμβολίζεται με . Στο a=0γωνία =/2; με αύξηση έναη γωνία μειώνεται έτσι ώστε για κάθε δεδομένο, 0<ένα.Αυτή η εξάρτηση ονομάζεται Λειτουργία Lobachevsky :

P(a)=2arctg (),

όπου προς την-- κάποια σταθερά που ορίζει ένα τμήμα με σταθερή τιμή. Ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας του χώρου Lobachevsky. Όπως η σφαιρική γεωμετρία, υπάρχει ένα άπειρο σύνολο χώρων Lobachevsky, που διαφέρουν σε μέγεθος προς την.

Δύο διαφορετικές ευθείες σε ένα επίπεδο σχηματίζουν ένα ζεύγος ενός από τους τρεις τύπους.

τεμνόμενες γραμμές . Η απόσταση από τα σημεία μιας ευθείας σε μια άλλη ευθεία αυξάνεται απεριόριστα καθώς το σημείο απομακρύνεται από την τομή των γραμμών. Εάν οι ευθείες δεν είναι κάθετες, τότε η καθεμία προβάλλεται ορθογώνια πάνω στην άλλη σε ένα ανοιχτό τμήμα πεπερασμένου μεγέθους.

Παράλληλες γραμμές . Στο επίπεδο, μέσω ενός δεδομένου σημείου, υπάρχει μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τη δεδομένη ευθεία προς την κατεύθυνση που δίνεται στην τελευταία. Παράλληλη σε ένα σημείο Rδιατηρεί σε κάθε σημείο του την ιδιότητα να είναι παράλληλος στην ίδια ευθεία στην ίδια κατεύθυνση. Ο παραλληλισμός είναι αμοιβαίος (αν ένα||σιπρος μια ορισμένη κατεύθυνση λοιπόν σι||έναπρος την αντίστοιχη κατεύθυνση) και μεταβατικότητα (αν ένα||σικαι με || σιπρος μια κατεύθυνση λοιπόν α||γπρος την αντίστοιχη κατεύθυνση). Στην κατεύθυνση του παραλληλισμού, οι παράλληλοι πλησιάζουν επ' αόριστον, προς την αντίθετη κατεύθυνση απομακρύνονται επ' αόριστον (με την έννοια της απόστασης από το κινούμενο σημείο μιας ευθείας σε μια άλλη ευθεία). Η ορθογώνια προβολή μιας γραμμής σε μια άλλη είναι μια ανοιχτή μισή γραμμή.

Αποκλίνουσες γραμμές . Έχουν μία κοινή κάθετο, το τμήμα της οποίας δίνει την ελάχιστη απόσταση. Και στις δύο πλευρές της κάθετου, οι γραμμές αποκλίνουν απεριόριστα. Κάθε γραμμή προβάλλεται σε μια άλλη σε ένα ανοιχτό τμήμα πεπερασμένου μεγέθους.

Τρεις τύποι γραμμών αντιστοιχούν στο επίπεδο σε τρεις τύπους μολυβιών γραμμών, καθένας από τους οποίους καλύπτει ολόκληρο το επίπεδο: δοκός 1ου είδους είναι το σύνολο όλων των γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ( κέντροδέσμη); δοκός 2ου είδους είναι το σύνολο όλων των ευθειών που είναι κάθετες σε μία ευθεία ( βάσηδέσμη); δοκός 3ου είδους είναι το σύνολο όλων των γραμμών που είναι παράλληλες σε μια ευθεία σε μια δεδομένη κατεύθυνση, συμπεριλαμβανομένης αυτής της ευθείας.

Οι ορθογώνιες τροχιές των ευθειών αυτών των δοκών σχηματίζουν ανάλογα του κύκλου του ευκλείδειου επιπέδου: κύκλοςμε τη σωστή έννοια? αυτός που απέχει εξίσου , ή γραμμή ίσος αποστάσεις (αν δεν λάβετε υπόψη τη βάση), η οποία είναι κοίλη προς τη βάση. γραμμή ορίου , ή ωρόκυκλο, μπορεί να θεωρηθεί ως ένας κύκλος με ένα απείρως απόμακρο κέντρο. Οι οριακές γραμμές είναι ίσες. Δεν είναι κλειστά και είναι κοίλα προς τον παραλληλισμό. Δύο οριακές γραμμές που δημιουργούνται από μια δέσμη είναι ομόκεντρες (ίσα τμήματα κόβονται σε ευθείες γραμμές της δέσμης). Ο λόγος των μηκών των ομόκεντρων τόξων που περικλείονται μεταξύ δύο ευθειών της δέσμης μειώνεται προς τον παραλληλισμό ως εκθετική συνάρτηση της απόστασης Χμεταξύ τόξων:

s" / s=e.

Κάθε ένα από τα ανάλογα του κύκλου μπορεί να γλιστρήσει πάνω του, γεγονός που προκαλεί τρεις τύπους κινήσεων μιας παραμέτρου του επιπέδου: περιστροφή γύρω από το κέντρο του. περιστροφή γύρω από το ιδανικό κέντρο (μία τροχιά είναι η βάση, οι υπόλοιπες ισαπέχουν). περιστροφή γύρω από ένα απείρως απομακρυσμένο κέντρο (όλες οι τροχιές είναι οριακές γραμμές).

Η περιστροφή των αναλόγων κύκλου γύρω από την ευθεία γραμμή του μολυβιού παραγωγής οδηγεί σε ανάλογα σφαίρας: η ίδια η σφαίρα, η επιφάνεια ίσων αποστάσεων και η ωρόσφαιρα, ή οριακός επιφάνειες .

Στη σφαίρα, η γεωμετρία των μεγάλων κύκλων είναι η συνηθισμένη σφαιρική γεωμετρία. στην επιφάνεια ίσων αποστάσεων - ισαπέχουσα γεωμετρία, που είναι η επιπεδομετρία Lobachevsky, αλλά με μεγαλύτερη τιμή προς την;στην οριακή επιφάνεια, η Ευκλείδεια γεωμετρία των οριακών γραμμών.

Η σύνδεση μεταξύ των μηκών τόξων και των χορδών των οριακών γραμμών και των Ευκλείδειων τριγωνομετρικών σχέσεων στην οριακή επιφάνεια μας επιτρέπει να εξάγουμε τριγωνομετρικές σχέσεις στο επίπεδο, δηλαδή τριγωνομετρικούς τύπους για ευθύγραμμα τρίγωνα.

2. Μερικά θεωρήματα της γεωμετρίας του Lobachevsky

Θεώρημα 1. Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι μικρότερο από 2d.

Θεωρήστε πρώτα ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC (Εικ. 2). Τα πλευρά του α, β, γαπεικονίζονται αντίστοιχα ως τμήμα της Ευκλείδειας κάθετο στην ευθεία και, τόξα του Ευκλείδειου κύκλου με κέντρο Μκαι τόξα του Ευκλείδειου κύκλου με κέντρο Ν. Γωνία ΑΠΟ--ευθεία. Γωνία ΑΛΛΑίση με τη γωνία μεταξύ των εφαπτομένων στους κύκλους σικαι Μεστο σημείο ΑΛΛΑ, ή, που είναι το ίδιο, η γωνία μεταξύ των ακτίνων ΝΑκαι MAαυτούς τους κύκλους. Τελικά, B = BNM.

Ας βασιστούμε σε ένα τμήμα BNόπως στη διάμετρο του Ευκλείδειου κύκλου q;έχει με περιφέρεια Μεένα κοινό σημείο ΣΤΟ, αφού η διάμετρός του είναι η ακτίνα του κύκλου Με. Ως εκ τούτου, το σημείο ΑΛΛΑβρίσκεται έξω από τον κύκλο που οριοθετείται από τον κύκλο q,Συνεπώς,

Α = ΑΝΘΡΩΠΟΣ< MBN.

Ως εκ τούτου, λόγω της ισότητας MBN+B = dέχουμε:

Α + Β< d; (1)

άρα Α+Β+Γ< 2d, что и требовалось доказать.

Σημειώστε ότι, με την κατάλληλη υπερβολική κίνηση, κάθε ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να διευθετηθεί έτσι ώστε ένα από τα σκέλη του να βρίσκεται στην Ευκλείδεια κάθετη προς την ευθεία και;Επομένως, η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε για να εξάγουμε την ανισότητα (1) ισχύει για οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο.

Αν δίνεται λοξό τρίγωνο, τότε το χωρίζουμε με ένα από τα ύψη σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το άθροισμα των οξειών γωνιών αυτών των ορθογωνίων τριγώνων είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών του δεδομένου λοξού τριγώνου. Ως εκ τούτου, λαμβάνοντας υπόψη την ανισότητα (1) , συμπεραίνουμε ότι το θεώρημα ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο.

Θεώρημα 2 . Το άθροισμα των γωνιών ενός τετράπλευρου είναι μικρότερο από 4d.

Για να το αποδείξουμε, αρκεί να διαιρέσουμε το τετράπλευρο με διαγώνιο σε δύο τρίγωνα.

Θεώρημα 3 . Δύο αποκλίνουσες ευθείες έχουν μία και μόνο μία κοινή κάθετο.

Αφήστε μια από αυτές τις αποκλίνουσες ευθείες γραμμές να απεικονιστεί στον χάρτη ως ευκλείδεια κάθετη Rσε ευθεία γραμμή καιστο σημείο Μ, το άλλο έχει τη μορφή ευκλείδειου ημικυκλίου qμε επίκεντρο και, και Rκαι qδεν έχουν κοινά σημεία (Εικ. 3). Μια τέτοια διάταξη δύο αποκλίνουσες υπερβολικές γραμμές σε έναν χάρτη μπορεί πάντα να επιτευχθεί με σωστή υπερβολική κίνηση.

Ας ξοδέψουμε από Μευκλείδεια εφαπτομένη MNπρος την qκαι περιγράψτε από το κέντρο Μακτίνα κύκλου MNευκλείδειο ημικύκλιο Μ. Είναι ξεκάθαρο ότι Μ--υπερβολική γραμμή που τέμνεται και Rκαι qσε ορθή γωνία. Συνεπώς, Μαπεικονίζει στον χάρτη την απαιτούμενη κοινή κάθετο των δεδομένων αποκλίνουσες ευθείες.

Δύο αποκλίνουσες ευθείες δεν μπορούν να έχουν δύο κοινές κάθετες, αφού στην περίπτωση αυτή θα υπήρχε ένα τετράπλευρο με τέσσερις ορθές γωνίες, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα 2.

. Θεώρημα 4. Η ορθογώνια προβολή μιας πλευράς οξείας γωνίας στην άλλη πλευρά της είναι ένα τμήμα(και όχι ημιευθεία, όπως στη γεωμετρία του Ευκλείδη).

Η εγκυρότητα του θεωρήματος είναι προφανής από το Σχ. 4, όπου το τμήμα ΑΒυπάρχει ορθογώνια προβολή της πλευράς ΑΒοξεία γωνία ΕΣΕΙΣστο πλευρό του ΟΠΩΣ ΚΑΙ.

Στο ίδιο σχήμα, το τόξο DEΕυκλείδειος κύκλος με κέντρο Μείναι κάθετη στην υπερβολική ευθεία ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. Αυτή η κάθετη δεν τέμνεται με την πλάγια ΑΒ.Επομένως, η υπόθεση ότι μια κάθετη και μια πλάγια ευθεία στην ίδια ευθεία τέμνονται πάντα έρχεται σε αντίθεση με το αξίωμα του παραλληλισμού του Lobachevsky. είναι ισοδύναμο με το αξίωμα του παραλληλισμού του Ευκλείδη.

Θεώρημα 5. Αν τρεις γωνίες του τριγώνου ABC είναι ίσες, αντίστοιχα, με τρεις γωνίες του τριγώνου A, B, C, τότε αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα.

Υποθέστε το αντίθετο και αφήστε στην άκρη, αντίστοιχα, στις ακτίνες ΑΒκαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝτμήματα AB \u003d A "B", AC \u003d A "C".Προφανώς τρίγωνα. αλφάβητοκαι ΑΛΦΑΒΗΤΟ"ίσο σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία. Τελεία σιδεν ταιριάζει με ΣΤΟ, τελεία ντοδεν ταιριάζει με ΑΠΟ, αφού σε οποιαδήποτε από αυτές τις περιπτώσεις θα γινόταν η ισότητα αυτών των τριγώνων, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση.

Εξετάστε τις ακόλουθες πιθανότητες.

α) Το σημείο Β βρίσκεται ανάμεσα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ, τελεία ΑΠΟ-- μεταξύ ΑΛΛΑκαι ΑΠΟ(Εικ. 5); σε αυτό και στο επόμενο σχήμα, οι υπερβολικές γραμμές απεικονίζονται συμβατικά ως ευκλείδειες γραμμές). Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τετράπλευρου SSNEείναι ίσο με 4δ, κάτι που είναι αδύνατο λόγω του Θεωρήματος 2.

6) Σημείο ΣΤΟβρίσκεται ανάμεσα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ, τελεία ΑΠΟ-- μεταξύ ΑΛΛΑκαι ΑΠΟ(Εικ. 6). Σημειώστε με ρετο σημείο τομής των τμημάτων Ήλιοςκαι προ ΧΡΙΣΤΟΥΕπειδή C=C"και C" \u003d C,έπειτα C=ΑΠΟ , κάτι που είναι αδύνατο, αφού η γωνία C είναι εξωτερική του τριγώνου CCD.

Άλλες πιθανές περιπτώσεις αντιμετωπίζονται παρόμοια.

Το θεώρημα αποδεικνύεται επειδή η υπόθεση που έγινε έχει οδηγήσει σε αντίφαση.

Από το Θεώρημα 5 προκύπτει ότι στη γεωμετρία του Lobachevsky δεν υπάρχει τρίγωνο παρόμοιο με το δεδομένο τρίγωνο, αλλά όχι ίσο με αυτό.

Έχουμε συνηθίσει να πιστεύουμε ότι η γεωμετρία του παρατηρούμενου κόσμου είναι ευκλείδεια, δηλ. πληροί τους νόμους της γεωμετρίας που μελετάται στο σχολείο. Στην πραγματικότητα αυτό δεν είναι αλήθεια. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τις εκδηλώσεις στην πραγματικότητα της γεωμετρίας του Lobachevsky, η οποία, με την πρώτη ματιά, είναι καθαρά αφηρημένη.

Η γεωμετρία του Lobachevsky διαφέρει από τη συνηθισμένη Ευκλείδεια στο ότι σε αυτήν, μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, περνούν τουλάχιστον δύο ευθείες που βρίσκονται με τη δεδομένη ευθεία στο ίδιο επίπεδο και δεν την τέμνουν. Ονομάζεται επίσης υπερβολική γεωμετρία.

1. Ευκλείδεια γεωμετρία - μόνο μία γραμμή διέρχεται από το λευκό σημείο, το οποίο δεν τέμνει την κίτρινη γραμμή
2. Γεωμετρία Riemann - οποιεσδήποτε δύο ευθείες τέμνονται (δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες)
3. Γεωμετρία Lobachevsky - υπάρχουν άπειρες ευθείες που δεν τέμνουν την κίτρινη γραμμή και διέρχονται από το λευκό σημείο

Για να το οπτικοποιήσει αυτό ο αναγνώστης, ας περιγράψουμε εν συντομία το μοντέλο Klein. Σε αυτό το μοντέλο, το επίπεδο Lobachevsky υλοποιείται ως το εσωτερικό ενός κύκλου ακτίνας ενός, όπου τα σημεία του επιπέδου είναι τα σημεία αυτού του κύκλου και οι γραμμές είναι οι χορδές. Μια χορδή είναι μια ευθεία γραμμή που ενώνει δύο σημεία σε έναν κύκλο. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι δύσκολο να προσδιοριστεί, αλλά δεν τη χρειαζόμαστε. Από το παραπάνω σχήμα γίνεται σαφές ότι μέσα από το σημείο P υπάρχουν άπειρες ευθείες που δεν τέμνουν την ευθεία α. Στην τυπική Ευκλείδεια γεωμετρία, υπάρχει μόνο μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο P και δεν τέμνει την ευθεία a. Αυτή η γραμμή είναι παράλληλη.

Τώρα ας προχωρήσουμε στο κύριο πράγμα - τις πρακτικές εφαρμογές της γεωμετρίας του Lobachevsky.

Τα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης (GPS και GLONASS) αποτελούνται από δύο μέρη: έναν τροχιακό αστερισμό 24-29 δορυφόρων σε ομοιόμορφη απόσταση γύρω από τη Γη και ένα τμήμα ελέγχου στη Γη, το οποίο διασφαλίζει το συγχρονισμό του χρόνου στους δορυφόρους και τη χρήση ενός συστήματος συντεταγμένων. Οι δορυφόροι έχουν πολύ ακριβή ατομικά ρολόγια και οι δέκτες (GPS-navigators) έχουν συνηθισμένα, χαλαζιακά ρολόγια. Οι δέκτες έχουν επίσης πληροφορίες για τις συντεταγμένες όλων των δορυφόρων ανά πάσα στιγμή. Οι δορυφόροι σε μικρά διαστήματα εκπέμπουν ένα σήμα που περιέχει δεδομένα σχετικά με την ώρα έναρξης της μετάδοσης. Αφού λάβει ένα σήμα από τουλάχιστον τέσσερις δορυφόρους, ο δέκτης μπορεί να προσαρμόσει το ρολόι του και να υπολογίσει τις αποστάσεις από αυτούς τους δορυφόρους χρησιμοποιώντας τον τύπο ((ώρα αποστολής του σήματος από τον δορυφόρο) - (η ώρα που ελήφθη το σήμα από τον δορυφόρο)) x (ταχύτητα φωτός) = (απόσταση από τον δορυφόρο). Οι υπολογισμένες αποστάσεις διορθώνονται επίσης σύμφωνα με τους τύπους που είναι ενσωματωμένοι στον δέκτη. Περαιτέρω, ο δέκτης βρίσκει τις συντεταγμένες του σημείου τομής των σφαιρών με κέντρα στους δορυφόρους και ακτίνες ίσες με τις υπολογισμένες αποστάσεις από αυτούς. Προφανώς, αυτές θα είναι οι συντεταγμένες του δέκτη.

Ο αναγνώστης μάλλον γνωρίζει ότι λόγω της επίδρασης στην Ειδική Σχετικότητα, λόγω της υψηλής ταχύτητας του δορυφόρου, ο χρόνος σε τροχιά είναι διαφορετικός από τον χρόνο στη Γη. Αλλά εξακολουθεί να υπάρχει ένα παρόμοιο αποτέλεσμα στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, που συνδέεται ακριβώς με τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία του χωροχρόνου. Και πάλι, δεν θα μπούμε σε μαθηματικές λεπτομέρειες, αφού είναι μάλλον αφηρημένες. Αλλά, εάν σταματήσουμε να λαμβάνουμε υπόψη αυτές τις επιπτώσεις, τότε μέσα σε μια ημέρα λειτουργίας, θα συσσωρευτεί ένα σφάλμα της τάξης των 10 km στις μετρήσεις του συστήματος πλοήγησης.

Οι τύποι γεωμετρίας Lobachevsky χρησιμοποιούνται επίσης στη φυσική υψηλής ενέργειας, συγκεκριμένα, στους υπολογισμούς των επιταχυντών φορτισμένων σωματιδίων. Υπερβολικοί χώροι (δηλαδή χώροι στους οποίους λειτουργούν οι νόμοι της υπερβολικής γεωμετρίας) βρίσκονται και στην ίδια τη φύση. Ας δώσουμε περισσότερα παραδείγματα:

Η γεωμετρία του Lobachevsky μπορεί να φανεί στις δομές των κοραλλιών, στην οργάνωση των κυτταρικών δομών σε ένα φυτό, στην αρχιτεκτονική, σε ορισμένα λουλούδια κ.λπ. Παρεμπιπτόντως, αν θυμάστε στο τελευταίο τεύχος μιλήσαμε για εξάγωνα στη φύση, και έτσι, στην υπερβολική φύση, τα επτάγωνα είναι μια εναλλακτική λύση, τα οποία είναι επίσης ευρέως διαδεδομένα.

Ψηφίστηκε Ευχαριστώ!

Μπορεί να σας ενδιαφέρει:

• 
  

Lv1. (Αξίωμα του παραλληλισμού του Λομπατσέφσκι). Σε οποιοδήποτε επίπεδο υπάρχει μια ευθεία a 0 και ένα σημείο A 0 που δεν ανήκει σε αυτή την ευθεία, έτσι ώστε τουλάχιστον δύο ευθείες να περνούν από αυτό το σημείο που δεν τέμνουν το 0 .

Το σύνολο των σημείων, των γραμμών και των επιπέδων που ικανοποιούν τα αξιώματα της ιδιότητας μέλους, της τάξης, της συνάφειας, της συνέχειας και του αξιώματος του παραλληλισμού του Lobachevskii θα ονομάζεται τρισδιάστατος χώρος του Lobachevskii και θα συμβολίζεται με το L 3 . Οι περισσότερες από τις γεωμετρικές ιδιότητες των σχημάτων θα θεωρηθούν από εμάς στο επίπεδο του χώρου L 3, δηλ. στο αεροπλάνο Lobachevsky. Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι η τυπική λογική άρνηση του αξιώματος V 1 , το αξίωμα του παραλληλισμού στην Ευκλείδεια γεωμετρία, έχει ακριβώς την ίδια διατύπωση που δώσαμε με το αξίωμα LV 1 . Υπάρχουν τουλάχιστον ένα σημείο και μία ευθεία στο επίπεδο για τα οποία δεν ισχύει ο ισχυρισμός του αξιώματος του παραλληλισμού της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ας αποδείξουμε ένα θεώρημα από το οποίο προκύπτει ότι ο ισχυρισμός του αξιώματος του παραλληλισμού Lobachevsky ισχύει για οποιοδήποτε σημείο και κάθε ευθύ επίπεδο Lobachevsky.

Θεώρημα 13.1.Έστω το a είναι μια αυθαίρετη γραμμή, το A είναι ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή. Τότε στο επίπεδο που ορίζεται από το σημείο Α και την ευθεία α, υπάρχουν τουλάχιστον δύο ευθείες που διέρχονται από το Α και δεν τέμνουν την ευθεία α.

Απόδειξη.Πραγματοποιούμε την απόδειξη με τη μέθοδο «από την αντίφαση», ενώ χρησιμοποιούμε το Θεώρημα 11.1 (βλ. § 11). Έστω ένα σημείο A και μια ευθεία a στον χώρο Lobachevsky έτσι ώστε στο επίπεδο που ορίζεται από αυτό το σημείο και την ευθεία a, η μόνη ευθεία που δεν τέμνει το a να διέρχεται από το σημείο A. Ας ρίξουμε επίσης τα σημεία Α κάθετα στην ΑΒ στην ευθεία α και στο σημείο Α επαναφέρουμε την κάθετη h στην ευθεία ΑΒ (Εικ. 50). Όπως προκύπτει από το Θεώρημα 4.2 (βλ. § 4), οι ευθείες h και a δεν τέμνονται. Η ευθεία h, δυνάμει της υπόθεσης, είναι η μόνη ευθεία που διέρχεται από το Α και δεν τέμνει το α. Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο C στην ευθεία α. Ας αφήσουμε στην άκρη την ακτίνα AC στο ημιεπίπεδο με το όριο ΑΒ, το οποίο δεν περιέχει το σημείο Β, τη γωνία CAM ίση με ACB. Τότε, όπως προκύπτει από το ίδιο Θεώρημα 4.2, η ευθεία ΑΜ δεν τέμνει την α. Από την παραδοχή μας προκύπτει ότι συμπίπτει με h. Επομένως, το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία h. Το τρίγωνο ABC είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ: . Από το Θεώρημα 11.1 προκύπτει ότι ικανοποιείται η συνθήκη του αξιώματος του παραλληλισμού της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Επομένως, στο εξεταζόμενο επίπεδο δεν μπορεί να υπάρχουν τέτοια σημεία A 0 και μια ευθεία a 0 που να περνούν από αυτό το σημείο τουλάχιστον δύο ευθείες που να μην τέμνουν το 0 . Έχουμε έρθει σε αντίφαση με την προϋπόθεση του αξιώματος του παραλληλισμού του Lobachevsky. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ας σημειωθεί ότι σε όσα ακολουθούν θα χρησιμοποιήσουμε τον ισχυρισμό ακριβώς του Θεωρήματος 13.1, αντικαθιστώντας ουσιαστικά με αυτόν τον ισχυρισμό του αξιώματος του παραλληλισμού του Lobachevsky. Παρεμπιπτόντως, σε πολλά σχολικά βιβλία, είναι αυτή η δήλωση που γίνεται αποδεκτή ως αξίωμα του παραλληλισμού της γεωμετρίας του Λομπατσέφσκι.

Είναι εύκολο να ληφθεί το ακόλουθο συμπέρασμα από το Θεώρημα 13.1.

Συμπέρασμα 13.2. Στο επίπεδο Lobachevsky, μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, υπάρχουν άπειρες γραμμές που δεν τέμνουν τη δεδομένη ευθεία.

Πράγματι, έστω a είναι μια δεδομένη ευθεία και A ένα σημείο που δεν ανήκει σε αυτήν, h 1 και h 2 είναι ευθείες που διέρχονται από το A και δεν τέμνονται από το a (Εικ. 51). Προφανώς, όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α και βρίσκονται σε μια από τις γωνίες που σχηματίζουν οι h 1 και h 2 (βλ. Εικ. 51) δεν τέμνουν την ευθεία a.

Στο Κεφάλαιο 2, αποδείξαμε έναν αριθμό ισχυρισμών που είναι ισοδύναμοι με το αξίωμα του παραλληλισμού στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Οι λογικές τους αρνήσεις χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες των μορφών στο επίπεδο Lobachevsky.

Πρώτον, στο επίπεδο Lobachevsky, ισχύει η λογική άρνηση του πέμπτου αξιώματος του Ευκλείδη. Στην Ενότητα 9, διατυπώσαμε το ίδιο το αξίωμα και αποδείξαμε ένα θεώρημα σχετικά με την ισοδυναμία του με το αξίωμα του παραλληλισμού στην Ευκλείδεια γεωμετρία (βλ. Θεώρημα 9.1). Η λογική του άρνηση είναι:

Δήλωση 13.3.Υπάρχουν δύο μη τεμνόμενες γραμμές στο επίπεδο Lobachevsky, οι οποίες, όταν τέμνονται με μια τρίτη γραμμή, σχηματίζουν μονόπλευρες εσωτερικές γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες.

Στην § 12 διατυπώσαμε την πρόταση του Ποσειδώνιου: στο επίπεδο υπάρχουν τουλάχιστον τρία συγγραμμικά σημεία που βρίσκονται σε ένα ημιεπίπεδο από τη δεδομένη γραμμή και σε ίση απόσταση από αυτήν.Αποδείξαμε επίσης το Θεώρημα 12.6: η πρόταση του Ποσειδώνιου ισοδυναμεί με τον ισχυρισμό του αξιώματος του παραλληλισμού στην Ευκλείδεια γεωμετρία.Έτσι, η άρνηση αυτού του ισχυρισμού δρα στο επίπεδο Lobachevsky.

Ισχυρισμός 13.4. Το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε ίση απόσταση από τη γραμμή στο επίπεδο Lobachevsky και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με αυτό, με τη σειρά τους, δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Στο επίπεδο Lobachevsky, ένα σύνολο σημείων που ισαπέχουν από μια ευθεία γραμμή και ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με αυτήν την ευθεία γραμμή σχηματίζουν μια καμπύλη γραμμή, τη λεγόμενη ισαπέχουσα γραμμή. Οι ιδιότητές του θα εξεταστούν από εμάς αργότερα.

Σκεφτείτε τώρα την πρόταση του Legendre: Το θεώρημα 11.6, το οποίο αποδείξαμε (βλ. § 11), υποστηρίζει ότι Από αυτό προκύπτει ότι στο επίπεδο Lobachevsky η λογική άρνηση αυτής της πρότασης είναι αληθής.

Ισχυρισμός 13.5. Στην πλευρά οποιασδήποτε οξείας γωνίας υπάρχει ένα τέτοιο σημείο που η κάθετη σε αυτήν, που είναι ανεγεμένη σε αυτό το σημείο, δεν τέμνει τη δεύτερη πλευρά της γωνίας.

Ας σημειώσουμε τις ιδιότητες των τριγώνων και των τετραγώνων στο επίπεδο Lobachevsky, οι οποίες προκύπτουν απευθείας από τα αποτελέσματα των Ενοτήτων 9 και 11. Πρώτα απ 'όλα, Θεώρημα 11.1. δηλώνει ότι η υπόθεση της ύπαρξης ενός τριγώνου του οποίου το άθροισμα των γωνιών συμπίπτει με το άθροισμα δύο ορθών γωνιών ισοδυναμεί με το αξίωμα του παραλληλισμού του ευκλείδειου επιπέδου.Από αυτό και από το πρώτο θεώρημα του Legendre (βλ. Θεώρημα 10.1, § 10) προκύπτει ο ακόλουθος ισχυρισμός

Ισχυρισμός 13.6. Στο επίπεδο Lobachevsky, το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι μικρότερο από 2d.

Από αυτό προκύπτει ευθέως ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε κυρτού τετράπλευρου είναι μικρότερο από 4d και το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε κυρτού n-gon είναι μικρότερο από 2(n-1)d.

Δεδομένου ότι στο ευκλείδειο επίπεδο οι γωνίες που γειτνιάζουν με την άνω βάση του τετράπλευρου Saccheri είναι ίσες με ορθές γωνίες, οι οποίες, σύμφωνα με το Θεώρημα 12.3 (βλ. § 12), ισοδυναμούν με το αξίωμα του παραλληλισμού της ευκλείδειας γεωμετρίας, μπορούμε να σχεδιάσουμε τα εξής συμπέρασμα.

Δήλωση 13.7. Οι γωνίες που γειτνιάζουν με την άνω βάση του τετράπλευρου Saccheri είναι οξείες.

Απομένει να εξετάσουμε δύο ακόμη ιδιότητες των τριγώνων στο επίπεδο Lobachevsky. Το πρώτο από αυτά σχετίζεται με την πρόταση του Wallis: υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος τριγώνων στο επίπεδο με αντίστοιχα ίσες γωνίες αλλά όχι ίσες πλευρές.Στην Ενότητα 11 αποδείξαμε ότι αυτή η πρόταση είναι ισοδύναμη με το αξίωμα του παραλληλισμού στην Ευκλείδεια γεωμετρία (βλ. Θεώρημα 11.5). Η λογική άρνηση αυτής της δήλωσης μας οδηγεί στο εξής συμπέρασμα: δεν υπάρχουν τρίγωνα στο επίπεδο Lobachevsky με ίσες γωνίες αλλά όχι ίσες πλευρές. Επομένως, ισχύει η ακόλουθη πρόταση.

Δήλωση 13.8. (το τέταρτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων στο επίπεδο Lobachevsky).Οποιαδήποτε δύο τρίγωνα στο επίπεδο Lobachevsky, που έχουν αντίστοιχα ίσες γωνίες, είναι ίσα μεταξύ τους.

Σκεφτείτε τώρα την επόμενη ερώτηση. Μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο στο επίπεδο Lobachevsky; Η απάντηση δίνεται από το Θεώρημα 9.4 (βλ. § 9). Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο στο επίπεδο, τότε η συνθήκη του αξιώματος του παραλληλισμού της Ευκλείδειας γεωμετρίας ικανοποιείται στο επίπεδο. Επομένως, η λογική άρνηση του ισχυρισμού αυτού του θεωρήματος μας οδηγεί στην ακόλουθη πρόταση.

Ισχυρισμός 13.9. Υπάρχει ένα τρίγωνο στο επίπεδο Lobachevsky γύρω από το οποίο είναι αδύνατο να περιγραφεί ένας κύκλος.

Είναι εύκολο να κατασκευαστεί ένα παράδειγμα τέτοιου τριγώνου. Επιλέγουμε κάποια ευθεία α και ένα σημείο Α που δεν ανήκει σε αυτήν. Ας ρίξουμε την κάθετη h από το σημείο Α στην ευθεία α. Δυνάμει του αξιώματος του παραλληλισμού του Lobachevsky, υπάρχει μια ευθεία b που διέρχεται από το A και δεν είναι κάθετη στο h, η οποία δεν τέμνει το a (Εικ. 52). Όπως γνωρίζετε, εάν ένας κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από ένα τρίγωνο, τότε το κέντρο του βρίσκεται στο σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων των πλευρών του τριγώνου. Επομένως, αρκεί να δώσουμε ένα παράδειγμα τέτοιου τριγώνου, του οποίου οι κάθετες διχοτόμοι δεν τέμνονται. Επιλέγουμε ένα σημείο Μ στην ευθεία h, όπως φαίνεται στο σχήμα 52. Το εμφανίζουμε συμμετρικά ως προς τις ευθείες a και b, παίρνουμε τα σημεία N και P. Εφόσον η ευθεία b δεν είναι κάθετη στην h, το σημείο P κάνει δεν ανήκουν στο h. Επομένως, τα σημεία M, N και P αποτελούν τις κορυφές του τριγώνου. Οι ευθείες a και b χρησιμεύουν κατά κατασκευή ως οι κάθετες διχοτόμοι του. Όπως προαναφέρθηκε, δεν τέμνονται. Το Triangle MNP είναι το επιθυμητό.

Είναι εύκολο να κατασκευαστεί ένα παράδειγμα τριγώνου στο επίπεδο Lobachevsky γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε δύο τεμνόμενες γραμμές, να επιλέξετε ένα σημείο που δεν τους ανήκει και να το αντικατοπτρίσετε σε σχέση με αυτές τις γραμμές. Κάντε μόνοι σας το λεπτομερές κτίριο.

Ορισμός 14.1. Άσε δύο κατευθυνόμενες γραμμές και δοθούν. Ονομάζονται παράλληλα εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. Οι ευθείες α και β δεν τέμνονται.

2. για αυθαίρετα σημεία Α και Β των ευθειών a και b, οποιαδήποτε εσωτερική ακτίνα h της γωνίας AVB 2 τέμνει την ευθεία α (Εικ. 52).

Θα συμβολίσουμε τις παράλληλες ευθείες με τον ίδιο τρόπο που συνηθίζεται στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας: α || σι. Σημειώστε ότι οι παράλληλες γραμμές στο ευκλείδειο επίπεδο ικανοποιούν αυτόν τον ορισμό.

Θεώρημα 14.3. Ας δοθεί μια κατευθυνόμενη ευθεία και ένα σημείο Β, που δεν ανήκει σε αυτήν, στο επίπεδο Lobachevsky. Τότε μια μονή κατευθυνόμενη ευθεία διέρχεται από το δεδομένο σημείο έτσι ώστε η ευθεία α να είναι παράλληλη με την ευθεία β.

Απόδειξη.Ας ρίξουμε την κάθετο ΒΑ από το σημείο Β στην ευθεία α και από το σημείο Β θα επαναφέρουμε την κάθετη p στην ευθεία ΒΑ (Εικ. 56 α). Η ευθεία p, όπως έχει επανειλημμένα σημειωθεί, δεν τέμνει τη δεδομένη ευθεία a. Επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο С πάνω του, χωρίζουμε τα σημεία του τμήματος AC σε δύο κατηγορίες και . Η πρώτη κατηγορία θα περιλαμβάνει τέτοια σημεία S αυτού του τμήματος για τα οποία η ακτίνα BS τέμνει την ακτίνα AA 2 και η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τέτοια σημεία T για τα οποία η ακτίνα BT δεν τέμνει την ακτίνα AA 2 . Ας δείξουμε ότι μια τέτοια διαίρεση σε κλάσεις παράγει ένα τμήμα Dedekind του τμήματος AC. Σύμφωνα με το Θεώρημα 4.3 (βλ. § 4) πρέπει να ελέγξουμε ότι:

2. και κλάσεις και περιέχουν σημεία άλλα από τα Α και Γ.

3. οποιοδήποτε σημείο της κλάσης εκτός από το Α βρίσκεται μεταξύ του σημείου Α και οποιουδήποτε σημείου της κλάσης .

Η πρώτη προϋπόθεση είναι προφανής, όλα τα σημεία του τμήματος ανήκουν σε μια ή την άλλη κλάση, ενώ οι ίδιες οι κλάσεις, με βάση τον ορισμό τους, δεν έχουν κοινά σημεία.

Η δεύτερη προϋπόθεση είναι επίσης εύκολο να επαληθευτεί. Είναι προφανές ότι και . Η κλάση περιέχει σημεία άλλα από το A, για να επαληθεύσουμε αυτή τη δήλωση, αρκεί να επιλέξετε οποιοδήποτε σημείο της ακτίνας AA 2 και να το συνδέσετε στο σημείο B. Αυτή η ακτίνα θα τέμνει το τμήμα BC σε ένα σημείο της πρώτης κλάσης. Η τάξη περιέχει και άλλα σημεία εκτός από το Γ, διαφορετικά θα έρθουμε σε αντίφαση με το αξίωμα του παραλληλισμού του Lobachevsky.

Ας αποδείξουμε την τρίτη προϋπόθεση. Έστω ένα σημείο S της πρώτης κατηγορίας διαφορετικό από το A και ένα σημείο T της δεύτερης κατηγορίας έτσι ώστε το σημείο T να βρίσκεται μεταξύ Α και S (βλ. Εικ. 56 α). Αφού , τότε η ακτίνα BS τέμνει την ακτίνα AA 2 σε κάποιο σημείο R. Θεωρήστε την ακτίνα BT. Τέμνει την πλευρά AS του τριγώνου ASR στο σημείο Τ. Σύμφωνα με το αξίωμα του Πασά, αυτή η ακτίνα πρέπει να τέμνει είτε την πλευρά AR είτε την πλευρά SR αυτού του τριγώνου. Ας υποθέσουμε ότι η ακτίνα BT τέμνει την πλευρά SR σε κάποιο σημείο O. Τότε δύο διαφορετικές ευθείες BT και BR διέρχονται από τα σημεία B και O, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το αξίωμα της αξιωματικής του Hilbert. Έτσι, η ακτίνα BT τέμνει την πλευρά AR, πράγμα που σημαίνει ότι το σημείο T δεν ανήκει στην κλάση K 2 . Η αντίφαση που προκύπτει οδηγεί στον ισχυρισμό ότι το σημείο S βρίσκεται μεταξύ Α και Τ. Η συνθήκη του Θεωρήματος 4.3 έχει επαληθευτεί πλήρως.

Σύμφωνα με το συμπέρασμα του Θεωρήματος 4.3 στο τμήμα Dedekind στο τμήμα AC, υπάρχει ένα σημείο για το οποίο κάθε σημείο που βρίσκεται μεταξύ Α και ανήκει στην κλάση και κάθε σημείο που βρίσκεται μεταξύ και C ανήκει στην κλάση. Ας δείξουμε ότι η κατευθυνόμενη ευθεία είναι παράλληλη προς την ευθεία . Στην πραγματικότητα, μένει να αποδείξουμε ότι δεν τέμνει την ευθεία a, αφού, λόγω της επιλογής των σημείων της κλάσης K 1, οποιαδήποτε εσωτερική ακτίνα της γωνίας τέμνεται . Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία a σε κάποιο σημείο H (Εικ. 56 β). Επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο P στην ακτίνα HA 2 και θεωρούμε την ακτίνα BP. Τότε τέμνει το τμήμα M 0 C σε κάποιο σημείο Q (αποδείξτε μόνοι σας αυτή τη δήλωση). Όμως τα εσωτερικά σημεία του τμήματος M 0 C ανήκουν στη δεύτερη κατηγορία, η ακτίνα BP δεν μπορεί να έχει κοινά σημεία με την ευθεία α. Έτσι, η υπόθεσή μας για την τομή των ευθειών BM 0 και a είναι εσφαλμένη.

Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι η ευθεία είναι η μόνη κατευθυνόμενη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Β και είναι παράλληλη στο . Πράγματι, αφήστε μια άλλη κατευθυνόμενη ευθεία να διέλθει από το σημείο Β, το οποίο, όπως και, είναι παράλληλο στο . Σε αυτή την περίπτωση, θα υποθέσουμε ότι το M 1 είναι ένα σημείο του τμήματος AC. Στη συνέχεια, προχωρώντας από τον ορισμό της κλάσης K 2 , . Επομένως, η ακτίνα BM 0 είναι μια εσωτερική ακτίνα της γωνίας, επομένως, εξ ορισμού 14.1 τέμνει την ευθεία. Φτάσαμε σε αντίφαση με τον ισχυρισμό που αποδείχθηκε παραπάνω. Το θεώρημα 14.3 αποδεικνύεται πλήρως.

Θεωρήστε ένα σημείο Β και μια κατευθυνόμενη γραμμή που δεν το περιέχει. Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα 14.3, μια κατευθυνόμενη ευθεία διέρχεται από το σημείο Β, παράλληλη προς το α. Ας ρίξουμε την κάθετη ΒΗ από το σημείο Β στην ευθεία α (Εικ. 57). Είναι εύκολο να το δεις αυτό γωνία HBB 2 - οξεία. Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι αυτή η γωνία είναι ορθή γωνία, τότε από τον ορισμό 14.1 προκύπτει ότι οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Β τέμνει την ευθεία α, η οποία έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα 13.1, δηλ. αξίωμα LV 1 του παραλληλισμού του Lobachevsky (βλ. § 13). Είναι εύκολο να δούμε ότι η υπόθεση ότι αυτή η γωνία είναι αμβλεία οδηγεί επίσης σε αντίφαση τώρα με τον ορισμό 14.1 και το θεώρημα 4.2 (βλ. § 4), δεδομένου ότι η εσωτερική ακτίνα της γωνίας HBB 2 που είναι κάθετη στο BH δεν τέμνει την ακτίνα AA 2 . Επομένως, ισχύει ο ακόλουθος ισχυρισμός.

Θεώρημα 14.4. Έστω μια κατευθυνόμενη ευθεία παράλληλη με μια κατευθυνόμενη γραμμή. Αν από το σημείο Β της ευθείας ρίξουμε την κάθετη ВН στην ευθεία γραμμή , τότε η γωνία HBB 2 είναι οξεία.

Το ακόλουθο συμπέρασμα προκύπτει σαφώς από αυτό το θεώρημα.

Συνέπεια.Αν υπάρχει κοινή κάθετο των κατευθυνόμενων ευθειών και , τότε η ευθεία δεν είναι παράλληλη προς την ευθεία .

Ας εισαγάγουμε την έννοια του παραλληλισμού για μη κατευθυνόμενες ευθείες. Θα το υποθέσουμε Δύο μη κατευθυνόμενες γραμμές είναι παράλληλες εάν είναι δυνατόν να επιλεγούν κατευθύνσεις σε αυτές ώστε να ικανοποιούν τον Ορισμό 14.1.Όπως γνωρίζετε, μια ευθεία έχει δύο κατευθύνσεις. Επομένως, από το Θεώρημα 14.3 προκύπτει ότι μέσω του σημείου Β, που δεν ανήκει στην ευθεία α, διέρχονται δύο μη κατευθυνόμενες ευθείες παράλληλες στη δεδομένη ευθεία. Προφανώς, είναι συμμετρικά ως προς την κάθετο που έπεσε από το σημείο Β στην ευθεία α. Αυτές οι δύο ευθείες είναι οι ίδιες οριακές γραμμές που χωρίζουν το μολύβι των γραμμών που διέρχονται από το σημείο Β και τέμνουν το α από το μολύβι των γραμμών που διέρχονται από το Β και δεν τέμνουν την ευθεία α (Εικ. 57).

Θεώρημα 15.2. (Ιδιότητα συμμετρίας παράλληλων ευθειών στο επίπεδο Lobachevsky).Έστω μια κατευθυνόμενη ευθεία παράλληλη με μια κατευθυνόμενη γραμμή. Τότε η κατευθυνόμενη γραμμή είναι παράλληλη προς τη γραμμή.

Η ιδιότητα συμμετρίας της έννοιας των παράλληλων ευθειών στο επίπεδο Lobachevsky μας επιτρέπει να μην προσδιορίζουμε τη σειρά των κατευθυνόμενων παράλληλων ευθειών, δηλ. μην προσδιορίσετε ποια γραμμή είναι η πρώτη και ποια η δεύτερη. Είναι προφανές ότι η ιδιότητα της συμμετρίας της έννοιας των παράλληλων ευθειών λαμβάνει χώρα και στο ευκλείδειο επίπεδο. Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό των παράλληλων ευθειών στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, η ιδιότητα της μεταβατικότητας ισχύει και για τις παράλληλες ευθείες. Αν η ευθεία α είναι παράλληλη στην ευθεία β και η ευθεία β είναι παράλληλη στην ευθεία γ. τότε οι ευθείες α και γ είναι επίσης παράλληλες μεταξύ τους. Μια παρόμοια ιδιότητα ισχύει και για τις κατευθυνόμενες γραμμές στο αεροπλάνο Lobachevsky.

Θεώρημα 15.3. (Ιδιότητα μεταβατικότητας παράλληλων γραμμών στο επίπεδο Lobachevsky).Ας δοθούν τρεις ευδιάκριτες κατευθυνόμενες γραμμές, . Αν ένα και , έπειτα .

Θεωρήστε μια κατευθυνόμενη γραμμή παράλληλη σε μια κατευθυνόμενη γραμμή. Ας τα διασχίσουμε με ευθεία γραμμή. Τα σημεία Α και Β, αντίστοιχα, είναι τα σημεία τομής των ευθειών , και , (Εικ. 60). Το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.

Θεώρημα 15.4. Η γωνία είναι μεγαλύτερη από τη γωνία.

Θεώρημα 15.5. Μια εξωτερική γωνία ενός εκφυλισμένου τριγώνου είναι μεγαλύτερη από μια εσωτερική γωνία που δεν γειτνιάζει με αυτό.

Η απόδειξη προκύπτει απευθείας από το Θεώρημα 15.4. Περάστε το μόνοι σας.

Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τμήμα ΑΒ. Μέσα από το σημείο Α τραβάμε μια ευθεία α, κάθετη στο ΑΒ, και από το σημείο Β, μια ευθεία β, παράλληλη στο α (Εικ. 63). Όπως προκύπτει από το Θεώρημα 14.4 (βλ. § 14), η ευθεία b δεν είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ.

Ορισμός 16.1. Η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ΑΒ και b ονομάζεται γωνία παραλληλισμού του τμήματος ΑΒ.

Είναι σαφές ότι κάθε τμήμα αντιστοιχεί σε μια ορισμένη γωνία παραλληλισμού. Το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.

Θεώρημα 16.2. Τα ίσα τμήματα αντιστοιχούν σε ίσες γωνίες παραλληλισμού.

Απόδειξη.Έστω δύο ίσα τμήματα AB και A¢B¢. Ας σχεδιάσουμε κατευθυνόμενες ευθείες και διαμέσου των σημείων A και A¢, κάθετες στα AB και A¢B¢, αντίστοιχα, και μέσω των σημείων B και B¢, κατευθυνόμενες ευθείες και παράλληλες, αντίστοιχα, και (Εικ. 64). Στη συνέχεια και αντίστοιχα, οι γωνίες παραλληλισμού των τμημάτων AB και A¢B¢. Ας το προσποιηθούμε

Ας αφήσουμε στην άκρη τη γωνία a 2 από την ακτίνα BA στο ημιεπίπεδο BAA 2, (βλ. Εικ. 64). Λόγω της ανισότητας (1), η ακτίνα l είναι η εσωτερική ακτίνα της γωνίας ABB 2 . Αφού ½1 , τότε το l τέμνει την ακτίνα AA 2 σε κάποιο σημείο P. Ας σχεδιάσουμε στην ακτίνα A¢A 2 ¢ από το σημείο A¢ το τμήμα A¢P¢ ίσο με AP. Θεωρήστε τα τρίγωνα ABP και A¢B¢P¢. Είναι ορθογώνια, σύμφωνα με την προϋπόθεση του θεωρήματος έχουν ίσα σκέλη AB και A¢B¢, από κατασκευή το δεύτερο ζεύγος σκελών AR και A¢P¢ είναι ίσα. Έτσι, το ορθογώνιο τρίγωνο ABP είναι ίσο με το τρίγωνο A¢B¢P¢. Να γιατί . Από την άλλη πλευρά, η δέσμη B¢P¢ τέμνει τη δέσμη A¢A 2 ¢ και η κατευθυνόμενη γραμμή B 1 ¢B 2 ¢ είναι παράλληλη στην ευθεία A 1 ¢A 2 ¢. Επομένως, η ακτίνα B¢P¢ είναι η εσωτερική ακτίνα της γωνίας A¢B¢B 2 ¢, . Η αντίφαση που προκύπτει αναιρεί την υπόθεση μας, ότι η ανισότητα (1) είναι ψευδής. Ομοίως, αποδεικνύεται ότι η γωνία δεν μπορεί να είναι μικρότερη από τη γωνία . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ας εξετάσουμε τώρα πώς οι γωνίες παραλληλισμού ανίσων τμημάτων σχετίζονται μεταξύ τους.

Θεώρημα 16.3. Έστω το τμήμα AB μεγαλύτερο από το τμήμα A¢B¢ και οι γωνίες και, αντίστοιχα, οι γωνίες παραλληλισμού τους. Επειτα .

Απόδειξη.Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος προκύπτει απευθείας από το Θεώρημα 15.5 (βλ. § 15) για την εξωτερική γωνία ενός εκφυλισμένου τριγώνου. Θεωρήστε το τμήμα ΑΒ. Ας τραβήξουμε από το σημείο Α κατευθυνόμενη ευθεία, κάθετη στην ΑΒ, και μέσω του σημείου Β κατευθυνόμενη ευθεία, παράλληλη (Εικ. 65). Ας σχεδιάσουμε στην ακτίνα AB ένα τμήμα AP ίσο με A¢B¢. Αφού , τότε το P είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος ΑΒ. Ας σχεδιάσουμε μια κατευθυνόμενη ευθεία γραμμή C 1 C 2 έως R, επίσης παράλληλη. Η γωνία χρησιμεύει ως γωνία παραλληλισμού του τμήματος A¢B¢ και η γωνία χρησιμεύει ως γωνία παραλληλισμού του τμήματος AB. Από την άλλη πλευρά, από το Θεώρημα 15.2 για τη συμμετρία της έννοιας των παράλληλων ευθειών (βλ. § 15) προκύπτει ότι η ευθεία C 1 C 2 είναι παράλληλη προς την ευθεία . Επομένως, το τρίγωνο RVS 2 A 2 είναι εκφυλισμένο, - εξωτερικό και - οι εσωτερικές του γωνίες. Το θεώρημα 15.5 υπονοεί την αλήθεια του ισχυρισμού που αποδεικνύεται.

Είναι εύκολο να αποδείξεις το αντίστροφο.

Θεώρημα 16.4.Έστω και οι γωνίες παραλληλισμού των τμημάτων AB και A¢B¢. Τότε, εάν , τότε AB > А¢В¢.

Απόδειξη.Υποθέστε το αντίθετο, . Τότε από τα Θεωρήματα 16.2 και 16.3 προκύπτει ότι , που έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση του θεωρήματος.

Και έτσι αποδείξαμε ότι κάθε τμήμα έχει τη δική του γωνία παραλληλισμού, και ένα μεγαλύτερο τμήμα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη γωνία παραλληλισμού. Εξετάστε μια πρόταση που αποδεικνύει ότι για οποιαδήποτε οξεία γωνία υπάρχει ένα τμήμα για το οποίο αυτή η γωνία είναι η γωνία παραλληλισμού. Αυτό θα δημιουργήσει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ τμημάτων και οξειών γωνιών στο επίπεδο Lobachevsky.

Θεώρημα 16.5. Για κάθε οξεία γωνία, υπάρχει ένα τμήμα για το οποίο αυτή η γωνία είναι η γωνία παραλληλισμού.

Απόδειξη.Έστω μια οξεία γωνία ABC (Εικ. 66). Θα υποθέσουμε ότι όλα τα σημεία που εξετάζονται παρακάτω στις ακτίνες BA και BC βρίσκονται μεταξύ των σημείων B και A και B και C. Αποδεκτή ονομάζουμε μια ακτίνα αν η αρχή της ανήκει στην πλευρά της γωνίας ΒΑ, είναι κάθετη στην ευθεία ΒΑ και βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΒΑ με την πλευρά BC της δεδομένης γωνίας.Ας στραφούμε στην πρόταση του Legendre: σελ Μια κάθετη που τραβιέται στην πλευρά μιας οξείας γωνίας σε οποιοδήποτε σημείο αυτής της πλευράς τέμνει τη δεύτερη πλευρά της γωνίας.Αποδείξαμε το Θεώρημα 11.6 (βλ. § 11), το οποίο αναφέρει ότι Η πρόταση του Legendre είναι ισοδύναμη με το αξίωμα του παραλληλισμού της Ευκλείδειας γεωμετρίας.Από αυτό συμπεράναμε ότι στο επίπεδο Lobachevsky η λογική άρνηση αυτής της δήλωσης είναι αληθής, δηλαδή, στην πλευρά οποιασδήποτε οξείας γωνίας υπάρχει ένα τέτοιο σημείο ώστε η κάθετη σε αυτήν, που βρίσκεται σε αυτό το σημείο, να μην τέμνει τη δεύτερη πλευρά της γωνίας(βλ. § 13). Έτσι, υπάρχει μια αποδεκτή ακτίνα m με αρχή στο σημείο M, η οποία δεν τέμνει την πλευρά BC της δεδομένης γωνίας (βλ. Εικ. 66).

Ας χωρίσουμε τα σημεία του τμήματος BM σε δύο κατηγορίες. τάξη θα ανήκει σε εκείνα τα σημεία αυτού του τμήματος για τα οποία αποδεκτές ακτίνες με αρχή σε αυτά τα σημεία τέμνουν την πλευρά BC της δεδομένης γωνίας και την κλάση ανήκουν εκείνα τα σημεία του τμήματος BC για τα οποία οι επιτρεπόμενες ακτίνες με αρχή στα σημεία αυτά δεν τέμνουν την πλευρά BC. Ας δείξουμε ότι μια τέτοια κατάτμηση του τμήματος VM σχηματίζει μια ενότητα Dedekind (βλ. Θεώρημα 4.3, § 4). Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να το ελέγξετε

5. και κλάσεις και περιέχουν σημεία άλλα από τα Β και Μ.

6. οποιοδήποτε σημείο της κλάσης, εκτός από το Β, βρίσκεται μεταξύ του σημείου Β και οποιουδήποτε σημείου της κλάσης.

Η πρώτη προϋπόθεση πληρούται σαφώς. Οποιοδήποτε σημείο του τμήματος BM ανήκει είτε στην κλάση K 1 είτε στην κλάση K 2 . Επιπλέον, ένα σημείο, δυνάμει του ορισμού αυτών των κλάσεων, δεν μπορεί να ανήκει σε δύο κλάσεις ταυτόχρονα. Προφανώς, μπορούμε να υποθέσουμε ότι , το σημείο M ανήκει στο K 2, αφού η επιτρεπτή ακτίνα με την αρχή στο σημείο M δεν τέμνει το BC. Η κλάση K 1 περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο εκτός από το B. Για την κατασκευή της, αρκεί να επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο P στην πλευρά BC και να ρίξουμε την κάθετη PQ από αυτήν στην ακτίνα BA. Αν υποθέσουμε ότι το σημείο Q βρίσκεται μεταξύ των σημείων M και A, τότε τα σημεία P και Q βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα σε σχέση με την ευθεία που περιέχει την ακτίνα m (βλ. Εικ. 66). Επομένως, το τμήμα PQ τέμνει την ακτίνα m σε κάποιο σημείο R. Λαμβάνουμε ότι δύο κάθετες πέφτουν από το σημείο R στην ευθεία BA, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα 4.2 (βλ. § 4). Έτσι, το σημείο Q ανήκει στο τμήμα BM, η κλάση K 1 περιέχει σημεία διαφορετικά από το B. Είναι εύκολο να εξηγηθεί γιατί υπάρχει ένα τμήμα στην ακτίνα BA που περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο που ανήκει στην κατηγορία K 2 και διαφορετικό από το τέλος του. Πράγματι, εάν η κλάση K 2 του θεωρούμενου τμήματος BM περιέχει ένα μόνο σημείο M, τότε επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο M¢ μεταξύ M και A. Θεωρούμε μια αποδεκτή ακτίνα m¢ με αρχή στο σημείο M¢. Δεν τέμνει την ακτίνα m, διαφορετικά δύο κάθετες πέφτουν από το σημείο στην ευθεία AB, οπότε το m¢ δεν τέμνει την ακτίνα BC. Το τμήμα ВМ¢ είναι το επιθυμητό και κάθε περαιτέρω συλλογισμός θα πρέπει να γίνει για το τμήμα ВМ¢.

Ας επαληθεύσουμε την εγκυρότητα της τρίτης συνθήκης του Θεωρήματος 4.3. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέτοια σημεία και ότι το σημείο P βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία U και M (Εικ. 67). Ας σχεδιάσουμε τις αποδεκτές ακτίνες u και p με αρχή στα σημεία U και P. Από τότε η ακτίνα p τέμνει την πλευρά BC της δεδομένης γωνίας σε κάποιο σημείο Q. Η ευθεία που περιέχει την ακτίνα u τέμνει την πλευρά BP του τριγώνου BPQ, επομένως , σύμφωνα με το αξίωμα του Hilbert (Αξίωμα του Pasch , βλ. § 3) τέμνει είτε την πλευρά BQ είτε την πλευρά PQ αυτού του τριγώνου. Όμως, επομένως, η ακτίνα u δεν τέμνει την πλευρά BQ, επομένως, οι ακτίνες p και u τέμνονται σε κάποιο σημείο R. Και πάλι ερχόμαστε σε αντίφαση, αφού έχουμε κατασκευάσει ένα σημείο από το οποίο δύο κάθετες κατεβαίνουν στην ευθεία ΑΒ. Η συνθήκη του Θεωρήματος 4.3 ικανοποιείται πλήρως.

Μ. Από αυτό προκύπτει ότι . Λάβαμε μια αντίφαση, αφού κατασκευάσαμε ένα σημείο κλάσης K 1 που βρίσκεται μεταξύ των σημείων και του M. Μένει να δείξουμε ότι οποιαδήποτε εσωτερική ακτίνα της γωνίας τέμνει την ακτίνα BC. Θεωρήστε μια αυθαίρετη εσωτερική ακτίνα h αυτής της γωνίας. Επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο Κ πάνω του, που ανήκει στη γωνία , και ρίχνουμε μια κάθετη από αυτό στην ευθεία ΒΑ (Εικ. 69). Η βάση S αυτής της καθέτου ανήκει προφανώς στο τμήμα VM 0 , δηλ. τάξη Κ 1 (αποδείξτε αυτό το γεγονός μόνοι σας). Από αυτό προκύπτει ότι η κάθετη KS τέμνει την πλευρά BC της δεδομένης γωνίας σε κάποιο σημείο Τ (βλ. Εικ. 69). Η ακτίνα h διέσχισε την πλευρά ST του τριγώνου BST στο σημείο Κ, σύμφωνα με το αξίωμα (αξίωμα του Πασά), πρέπει να τέμνει είτε την πλευρά BS είτε την πλευρά ΒΤ αυτού του τριγώνου. Είναι σαφές ότι η h δεν τέμνει το τμήμα BS, διαφορετικά δύο ευθείες, η h και η BA, διέρχονται από δύο σημεία και από αυτό το σημείο τομής. Έτσι, το h τέμνει την πλευρά ΒΤ, δηλ. δοκός ΒΑ. Το θεώρημα αποδεικνύεται πλήρως.

Και έτσι, έχουμε διαπιστώσει ότι κάθε τμήμα στη γεωμετρία του Lobachevsky μπορεί να συσχετιστεί με μια οξεία γωνία - τη γωνία παραλληλισμού του. Θα υποθέσουμε ότι έχουμε εισαγάγει το μέτρο των γωνιών και τμημάτων, σημειώνουμε ότι το μέτρο των τμημάτων θα εισαχθεί από εμάς αργότερα, στην § . Εισάγουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός 16.6. Αν x είναι το μήκος του τμήματος και j η γωνία, τότε η εξάρτηση j = P(x), που συσχετίζει το μήκος του τμήματος με την τιμή της γωνίας παραλληλισμού του, ονομάζεται συνάρτηση Lobachevsky.

Είναι ξεκάθαρο ότι. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της γωνίας παραλληλισμού ενός τμήματος που αποδείχθηκαν παραπάνω (βλ. Θεωρήματα 16.3 και 16.4), μπορούμε να συμπεράνουμε τα εξής: η συνάρτηση Lobachevsky είναι μονότονα φθίνουσα.Ο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι έλαβε τον ακόλουθο αξιοσημείωτο τύπο:

,

όπου k είναι κάποιος θετικός αριθμός. Έχει μεγάλη σημασία στη γεωμετρία του χώρου Lobachevsky, και ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητάς του. Δύο χώροι Lobachevsky που έχουν την ίδια ακτίνα καμπυλότητας είναι ισομετρικοί. Από τον παραπάνω τύπο, όπως είναι εύκολο να διαπιστωθεί, προκύπτει επίσης ότι j = P(x) είναι μια μονότονα φθίνουσα συνεχής συνάρτηση της οποίας οι τιμές ανήκουν στο διάστημα .

Στο ευκλείδειο επίπεδο, στερεώνουμε έναν κύκλο w με κέντρο σε κάποιο σημείο O και ακτίνα ίση με ένα, τον οποίο θα ονομάσουμε απόλυτος. Το σύνολο όλων των σημείων του κύκλου που οριοθετείται από τον κύκλο w θα συμβολίζεται με W¢ και το σύνολο όλων των εσωτερικών σημείων αυτού του κύκλου με W. Έτσι, . Θα ονομαστούν τα σημεία του συνόλου W Σημεία LΤο σύνολο W όλων των σημείων L είναι L-αεροπλάνο, πάνω στο οποίο θα κατασκευάσουμε το μοντέλο Cayley-Klein του αεροπλάνου Lobachevsky. θα καλέσουμε L-straightαυθαίρετες συγχορδίες του κύκλου w. Θα υποθέσουμε ότι ένα L-σημείο X ανήκει στην L-ευθεία x αν και μόνο αν το σημείο X, ως σημείο του ευκλείδειου επιπέδου, ανήκει στη χορδή x του απόλυτου.

L-επίπεδο, το αξίωμα του παραλληλισμού του Lobachevsky ισχύει:μέσω ενός σημείου L που δεν βρίσκεται στην ευθεία L a υπάρχουν τουλάχιστον δύο ευθείες L b και c που δεν έχουν κοινά σημεία με την ευθεία L a. Το Σχήμα 94 απεικονίζει αυτή τη δήλωση. Είναι επίσης εύκολο να καταλάβουμε ποιες είναι οι παράλληλες κατευθυνόμενες ευθείες του επιπέδου L. Εξετάστε το σχήμα 95. Η ευθεία L διέρχεται από το σημείο τομής της ευθείας L με το απόλυτο. Επομένως, η κατευθυνόμενη γραμμή L A 1 A 2 είναι παράλληλη με την κατευθυνόμενη γραμμή L B 1 A 2 . Πράγματι, αυτές οι ευθείες δεν τέμνονται και αν επιλέξουμε αυθαίρετα σημεία L A και B που ανήκουν αντίστοιχα σε αυτές τις ευθείες, τότε οποιαδήποτε εσωτερική ακτίνα h της γωνίας A 2 BA τέμνει την ευθεία a. Έτσι δύο ευθείες L είναι παράλληλες αν έχουν κοινό σημείο τομής με το απόλυτο. Είναι σαφές ότι η ιδιότητα της συμμετρίας και της μεταβατικότητας της έννοιας του παραλληλισμού των γραμμών L ικανοποιείται. Στην παράγραφο 15, αποδείξαμε την ιδιότητα της συμμετρίας, ενώ η ιδιότητα της μεταβατικότητας φαίνεται στο σχήμα 95. Η ευθεία A 1 A 2 είναι παράλληλη στην ευθεία B 1 A 2, τέμνουν το απόλυτο στο σημείο A 2. Οι ευθείες B 1 A 2 και C 1 A 2 είναι επίσης παράλληλες, τέμνουν επίσης το απόλυτο στο ίδιο σημείο A 2 . Επομένως, οι ευθείες A 1 A 2 και C 1 A 2 είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Έτσι, οι βασικές έννοιες που ορίζονται παραπάνω ικανοποιούν τις απαιτήσεις των αξιωμάτων I 1 -I 3 , II, III, IV των αξιωματικών ομάδων Hilbert και το αξίωμα του παραλληλισμού του Lobachevsky, επομένως αποτελούν μοντέλο του επιπέδου Lobachevsky. Έχουμε αποδείξει την ουσιαστική συνέπεια της επιπεδομετρίας του Lobachevsky. Διατυπώνουμε αυτή τη δήλωση ως το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 1. Η γεωμετρία του Lobachevsky δεν είναι αντιφατική ως προς το περιεχόμενο.

Κατασκευάσαμε ένα μοντέλο του αεροπλάνου Lobachevsky, αλλά μπορείτε να εξοικειωθείτε με την κατασκευή ενός χωρικού μοντέλου παρόμοιου με αυτό που εξετάζεται στο αεροπλάνο στο εγχειρίδιο.

Το πιο σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από το Θεώρημα 1. Το αξίωμα του παραλληλισμού δεν είναι συνέπεια των αξιωμάτων I–IV της αξιωματικής του Hilbert. Εφόσον το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη είναι ισοδύναμο με το αξίωμα του παραλληλισμού της Ευκλείδειας γεωμετρίας, αυτό το αξίωμα επίσης δεν εξαρτάται από τα υπόλοιπα αξιώματα του Χίλμπερτ.