Πώς να διαιρέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Κατάρτιση συστήματος εξισώσεων

Τώρα που μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να πολλαπλασιάζουμε μεμονωμένα κλάσματα, μπορούμε να εξετάσουμε πιο περίπλοκες δομές. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων προκύψουν σε ένα πρόβλημα;

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα. Στη συνέχεια εκτελούμε διαδοχικά τις απαιτούμενες ενέργειες - με την ίδια σειρά όπως για τους συνηθισμένους αριθμούς. Και συγκεκριμένα:

Πρώτον, εκτελείται η εκθεσιμότητα - απαλλαγείτε από όλες τις εκφράσεις που περιέχουν εκθέτες.
Στη συνέχεια - διαίρεση και πολλαπλασιασμός.
Το τελευταίο βήμα είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Φυσικά, εάν υπάρχουν αγκύλες στην έκφραση, η σειρά των ενεργειών αλλάζει - ό,τι βρίσκεται μέσα στις αγκύλες πρέπει πρώτα να ληφθεί υπόψη. Και θυμηθείτε τα ακατάλληλα κλάσματα: πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα μόνο όταν έχουν ήδη ολοκληρωθεί όλες οι άλλες ενέργειες.

Ας μεταφράσουμε όλα τα κλάσματα από την πρώτη έκφραση σε ακατάλληλα και, στη συνέχεια, εκτελέστε τις ακόλουθες ενέργειες:

Τώρα ας βρούμε την τιμή της δεύτερης έκφρασης. Δεν υπάρχουν κλάσματα με ακέραιο μέρος, αλλά υπάρχουν αγκύλες, οπότε πρώτα κάνουμε πρόσθεση και μόνο μετά διαίρεση. Σημειώστε ότι 14 = 7 2 . Επειτα:

Τέλος, εξετάστε το τρίτο παράδειγμα. Εδώ υπάρχουν αγκύλες και πτυχίο - καλύτερα να τα μετρήσετε χωριστά. Δεδομένου ότι 9 = 3 3, έχουμε:

Δώστε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα σε δύναμη, πρέπει να αυξήσετε χωριστά τον αριθμητή σε αυτή τη δύναμη και χωριστά τον παρονομαστή.

Μπορείτε να αποφασίσετε διαφορετικά. Αν θυμηθούμε τον ορισμό του βαθμού, το πρόβλημα θα περιοριστεί στον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:

Πολυώροφα κλάσματα

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει μόνο «καθαρά» κλάσματα, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι συνηθισμένοι αριθμοί. Αυτό είναι σύμφωνο με τον ορισμό ενός αριθμητικού κλάσματος που δόθηκε στο πρώτο μάθημα.

Τι γίνεται όμως αν ένα πιο σύνθετο αντικείμενο τοποθετηθεί στον αριθμητή ή στον παρονομαστή; Για παράδειγμα, ένα άλλο αριθμητικό κλάσμα; Τέτοιες κατασκευές εμφανίζονται αρκετά συχνά, ειδικά όταν εργάζεστε με μακριές εκφράσεις. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

Υπάρχει μόνο ένας κανόνας για την εργασία με πολυώροφα κλάσματα: πρέπει να τα ξεφορτωθείτε αμέσως. Η αφαίρεση "επιπλέον" δαπέδων είναι αρκετά απλή, αν θυμάστε ότι η κλασματική ράβδος σημαίνει την τυπική λειτουργία διαίρεσης. Επομένως, οποιοδήποτε κλάσμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Χρησιμοποιώντας αυτό το γεγονός και ακολουθώντας τη διαδικασία, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε οποιοδήποτε πολυώροφο κλάσμα σε κανονικό. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Μια εργασία. Μετατρέψτε τα πολυώροφα κλάσματα σε κοινά:

Σε κάθε περίπτωση, ξαναγράφουμε το κύριο κλάσμα, αντικαθιστώντας τη διαχωριστική γραμμή με ένα σύμβολο διαίρεσης. Θυμηθείτε επίσης ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Παίρνουμε:

Στο τελευταίο παράδειγμα, τα κλάσματα μειώθηκαν πριν από τον τελικό πολλαπλασιασμό.

Οι ιδιαιτερότητες της εργασίας με πολυώροφα κλάσματα

Υπάρχει μια λεπτότητα στα κλάσματα πολλών ορόφων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε, διαφορετικά μπορείτε να πάρετε τη λάθος απάντηση, ακόμα κι αν όλοι οι υπολογισμοί ήταν σωστοί. Ρίξε μια ματιά:

Στον αριθμητή υπάρχει ένας ξεχωριστός αριθμός 7, και στον παρονομαστή - το κλάσμα 12/5.
Ο αριθμητής είναι το κλάσμα 7/12 και ο παρονομαστής είναι ο απλός αριθμός 5.

Έτσι, για έναν δίσκο, πήραμε δύο εντελώς διαφορετικές ερμηνείες. Εάν μετρήσετε, οι απαντήσεις θα είναι επίσης διαφορετικές:

Για να διασφαλίσετε ότι η εγγραφή διαβάζεται πάντα χωρίς αμφιβολία, χρησιμοποιήστε έναν απλό κανόνα: η διαχωριστική γραμμή του κύριου κλάσματος πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ένθετη γραμμή. Κατά προτίμηση πολλές φορές.

Εάν ακολουθείτε αυτόν τον κανόνα, τότε τα παραπάνω κλάσματα θα πρέπει να γράφονται ως εξής:

Ναι, μάλλον είναι άσχημο και πιάνει πολύ χώρο. Θα μετρήσεις όμως σωστά. Τέλος, μερικά παραδείγματα όπου τα κλάσματα πολλαπλών επιπέδων εμφανίζονται πραγματικά:

Μια εργασία. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Λοιπόν, ας δουλέψουμε με το πρώτο παράδειγμα. Ας μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά κάνουμε τις πράξεις πρόσθεσης και διαίρεσης:

Ας κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Μετατρέψτε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και εκτελέστε τις απαιτούμενες λειτουργίες. Για να μην κουράσω τον αναγνώστη, θα παραλείψω κάποιους προφανείς υπολογισμούς. Εχουμε:

Λόγω του ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής των κύριων κλασμάτων περιέχουν αθροίσματα, τηρείται αυτόματα ο κανόνας γραφής πολυώροφων κλασμάτων. Επίσης, στο τελευταίο παράδειγμα, αφήσαμε επίτηδες τον αριθμό 46/1 σε μορφή κλάσματος για να γίνει η διαίρεση.

Σημειώνω επίσης ότι και στα δύο παραδείγματα, η κλασματική γραμμή αντικαθιστά πραγματικά τις αγκύλες: πρώτα απ 'όλα, βρήκαμε το άθροισμα και μόνο τότε - το πηλίκο.

Κάποιος θα πει ότι η μετάβαση σε ακατάλληλα κλάσματα στο δεύτερο παράδειγμα ήταν σαφώς περιττή. Ίσως είναι έτσι. Αλλά έτσι ασφαλιζόμαστε από λάθη, γιατί την επόμενη φορά το παράδειγμα μπορεί να αποδειχθεί πολύ πιο περίπλοκο. Επιλέξτε μόνοι σας τι είναι πιο σημαντικό: ταχύτητα ή αξιοπιστία.

Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (δείτε το μάθημα «Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων»). Η πιο δύσκολη στιγμή σε αυτές τις ενέργειες ήταν να φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.

Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Τα καλά νέα είναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμα πιο εύκολες από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, εξετάστε την απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διακεκριμένο ακέραιο μέρος.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο.

Ονομασία:

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται σε πολλαπλασιασμό. Για να αναστρέψετε ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, ολόκληρο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα μειωμένο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν, μετά από όλες τις μειώσεις, το κλάσμα αποδείχθηκε λανθασμένο, θα πρέπει να διακρίνεται ολόκληρο το τμήμα σε αυτό. Αλλά αυτό που ακριβώς δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρούμενες μεθόδους, μέγιστους συντελεστές και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Εξ ορισμού έχουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ακέραιο μέρος και αρνητικά κλάσματα

Εάν υπάρχει ένα ακέραιο μέρος στα κλάσματα, πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.

Εάν υπάρχει μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τα όρια πολλαπλασιασμού ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Συν φορές το μείον δίνει μείον?
Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.

Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες συναντώνται μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν απαιτούνταν να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα προϊόν, μπορούν να γενικευθούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:

Σταυρώνουμε ανά δύο τα μειονεκτήματα μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε μια ακραία περίπτωση, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό που δεν βρήκε ταίριασμα.
Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Αν δεν διαγραφεί το τελευταίο μείον, αφού δεν βρήκε ζεύγος, το βγάζουμε από τα όρια πολλαπλασιασμού. Παίρνεις αρνητικό κλάσμα.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μεταφράζουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά βγάζουμε τα μείον έξω από τα όρια πολλαπλασιασμού. Ό,τι απομένει πολλαπλασιάζεται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:

Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που έρχεται πριν από ένα κλάσμα με τονισμένο ακέραιο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο στο ακέραιο μέρος του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).

Προσοχή επίσης στους αρνητικούς αριθμούς: όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε αγκύλες. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει πιο ακριβής η όλη σημειογραφία.

Μείωση κλασμάτων εν κινήσει

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πολύ επίπονη πράξη. Οι αριθμοί εδώ είναι αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε την εργασία, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε ακόμη περισσότερο το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εξ ορισμού έχουμε:

Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι έχει απομείνει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Σημείωση: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Οι μονάδες παρέμειναν στη θέση τους, οι οποίες, σε γενικές γραμμές, μπορούν να παραλειφθούν. Στο δεύτερο παράδειγμα, δεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί πλήρης μείωση, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.

Ωστόσο, σε καμία περίπτωση μην χρησιμοποιείτε αυτήν την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:

Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!

Το σφάλμα προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι κατά την προσθήκη ενός κλάσματος, το άθροισμα εμφανίζεται στον αριθμητή ενός κλάσματος και όχι στο γινόμενο των αριθμών. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, καθώς αυτή η ιδιότητα ασχολείται ειδικά με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Δεν υπάρχει απλώς κανένας άλλος λόγος για τη μείωση των κλασμάτων, επομένως η σωστή λύση στο προηγούμενο πρόβλημα μοιάζει με αυτό:

Η σωστή απόφαση:

Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν και τόσο όμορφη. Γενικά, να είστε προσεκτικοί.

Με τα κλάσματα, μπορείτε να εκτελέσετε όλες τις ενέργειες, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης. Αυτό το άρθρο δείχνει τη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων. Θα δοθούν ορισμοί, θα εξεταστούν παραδείγματα. Ας σταθούμε στη διαίρεση των κλασμάτων με τους φυσικούς αριθμούς και το αντίστροφο. Θα ληφθεί υπόψη η διαίρεση ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν μικτό αριθμό.

Διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων

Η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Κατά τη διαίρεση, ο άγνωστος παράγοντας βρίσκεται στο γνωστό γινόμενο και ένας άλλος παράγοντας, όπου η δεδομένη σημασία του διατηρείται με συνηθισμένα κλάσματα.

Εάν είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το συνηθισμένο κλάσμα a b με c d, τότε για να προσδιορίσετε έναν τέτοιο αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με τον διαιρέτη c d, αυτό θα δώσει τελικά το μέρισμα a b. Ας πάρουμε έναν αριθμό και ας τον γράψουμε a b · d c , όπου d c είναι το αντίστροφο του c d αριθμού. Οι ισότητες μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, δηλαδή: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , όπου η παράσταση a b d c είναι το πηλίκο της διαίρεσης του a b με το c d .

Από εδώ λαμβάνουμε και διατυπώνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:

Ορισμός 1

Για να διαιρέσουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα a b με c d, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Ας γράψουμε τον κανόνα ως έκφραση: α β: γ δ = α β δ γ

Οι κανόνες της διαίρεσης ανάγονται σε πολλαπλασιασμό. Για να τηρήσετε αυτό, πρέπει να είστε καλά γνώστες στον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων.

Ας περάσουμε στη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων.

Παράδειγμα 1

Εκτελέστε διαίρεση 9 7 επί 5 3 . Γράψε το αποτέλεσμα ως κλάσμα.

Λύση

Ο αριθμός 5 3 είναι ο αντίστροφος του 3 5 . Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Γράφουμε αυτήν την έκφραση ως εξής: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Απάντηση: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Όταν μειώνετε τα κλάσματα, θα πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος εάν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.

Παράδειγμα 2

Διαιρέστε 8 15: 24 65 . Γράψε την απάντηση ως κλάσμα.

Λύση

Η λύση είναι η μετάβαση από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Το γράφουμε με αυτή τη μορφή: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Είναι απαραίτητο να κάνετε μια μείωση και αυτό γίνεται ως εξής: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Επιλέγουμε το ακέραιο μέρος και παίρνουμε 13 9 = 1 4 9 .

Απάντηση: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Διαίρεση έκτακτου κλάσματος με φυσικό αριθμό

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαίρεσης ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό: για να διαιρέσετε το b με έναν φυσικό αριθμό n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε μόνο τον παρονομαστή με το n. Από εδώ παίρνουμε την έκφραση: a b: n = a b · n .

Ο κανόνας της διαίρεσης είναι συνέπεια του κανόνα του πολλαπλασιασμού. Επομένως, η αναπαράσταση ενός φυσικού αριθμού ως κλάσματος θα δώσει μια ισότητα αυτού του τύπου: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Θεωρήστε αυτή τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό.

Παράδειγμα 3

Διαιρέστε το κλάσμα 1645 με τον αριθμό 12.

Λύση

Εφαρμόστε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό. Λαμβάνουμε μια έκφραση όπως 16 45: 12 = 16 45 12 .

Ας μειώσουμε το κλάσμα. Παίρνουμε 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Απάντηση: 16 45: 12 = 4 135 .

Διαίρεση φυσικού αριθμού με κοινό κλάσμα

Ο κανόνας της διαίρεσης είναι παρόμοιος σχετικά μεο κανόνας της διαίρεσης ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα: για να διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό n με ένα συνηθισμένο a b, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό n με το αντίστροφο του κλάσματος a b .

Με βάση τον κανόνα, έχουμε n: a b \u003d n b a, και χάρη στον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός φυσικού αριθμού με ένα συνηθισμένο κλάσμα, παίρνουμε την έκφρασή μας με τη μορφή n: a b \u003d n b a. Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αυτή τη διαίρεση με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 4

Διαιρέστε το 25 με το 15 28 .

Λύση

Πρέπει να περάσουμε από τη διαίρεση στον πολλαπλασιασμό. Γράφουμε με τη μορφή έκφρασης 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Ας μειώσουμε το κλάσμα και ας πάρουμε το αποτέλεσμα με τη μορφή κλάσματος 46 2 3 .

Απάντηση: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Διαίρεση κοινού κλάσματος με μικτό αριθμό

Όταν διαιρείτε ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν μικτό αριθμό, μπορείτε εύκολα να λάμψετε στη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Πρέπει να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα.

Παράδειγμα 5

Διαιρέστε το κλάσμα 35 16 με το 3 1 8 .

Λύση

Επειδή το 3 1 8 είναι μικτός αριθμός, ας τον παραστήσουμε ως ακατάλληλο κλάσμα. Τότε παίρνουμε 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Τώρα ας διαιρέσουμε τα κλάσματα. Παίρνουμε 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Απάντηση: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Η διαίρεση ενός μικτού αριθμού γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

) και ο παρονομαστής με τον παρονομαστή (παίρνουμε τον παρονομαστή του προϊόντος).

Τύπος πολλαπλασιασμού κλασμάτων:

Για παράδειγμα:

Πριν προχωρήσετε στον πολλαπλασιασμό αριθμητών και παρονομαστών, είναι απαραίτητο να ελέγξετε για τη δυνατότητα μείωσης του κλάσματος. Εάν καταφέρετε να μειώσετε το κλάσμα, τότε θα είναι πιο εύκολο για σας να συνεχίσετε να κάνετε υπολογισμούς.

Διαίρεση συνηθισμένου κλάσματος με κλάσμα.

Διαίρεση κλασμάτων που περιλαμβάνουν φυσικό αριθμό.

Δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο φαίνεται. Όπως και στην περίπτωση της πρόσθεσης, μετατρέπουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα με μονάδα στον παρονομαστή. Για παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων (μικτοί):

μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα.
πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων.
μειώνουμε το κλάσμα?
αν πάρουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε μετατρέπουμε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσετε ένα μικτό κλάσμα με ένα άλλο μικτό κλάσμα, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στη μορφή ακατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Ο δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσουμε τον αριθμητή αμετάβλητο.

Από το παραπάνω παράδειγμα, είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή είναι πιο βολική για χρήση όταν ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Πολυεπίπεδα κλάσματα.

Στο γυμνάσιο, συχνά συναντώνται τριώροφα (ή περισσότερα) κλάσματα. Παράδειγμα:

Για να φέρει ένα τέτοιο κλάσμα στη συνηθισμένη του μορφή, χρησιμοποιείται διαίρεση σε 2 σημεία:

Σημείωση!Κατά τη διαίρεση των κλασμάτων, η σειρά διαίρεσης είναι πολύ σημαντική. Προσέξτε, είναι εύκολο να μπερδευτείτε εδώ.

Σημείωση, για παράδειγμα:

Κατά τη διαίρεση ενός με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο:

Πρακτικές συμβουλές για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση κλασμάτων:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα στην εργασία με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή. Κάντε όλους τους υπολογισμούς προσεκτικά και με ακρίβεια, συγκεντρωμένα και καθαρά. Είναι καλύτερα να γράψετε μερικές επιπλέον γραμμές σε ένα προσχέδιο παρά να μπερδευτείτε στους υπολογισμούς στο κεφάλι σας.

2. Σε εργασίες με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων - μεταβείτε στον τύπο των συνηθισμένων κλασμάτων.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να μην είναι πλέον δυνατή η μείωση.

4. Φέρνουμε κλασματικές εκφράσεις πολλαπλών επιπέδων σε συνηθισμένες, χρησιμοποιώντας διαίρεση σε 2 σημεία.

5. Χωρίζουμε τη μονάδα σε κλάσμα στο μυαλό μας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.

§ 87. Πρόσθεση κλασμάτων.

Η πρόσθεση κλασμάτων έχει πολλές ομοιότητες με την πρόσθεση ακέραιων αριθμών. Η πρόσθεση κλασμάτων είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι πολλοί δεδομένοι αριθμοί (όροι) συνδυάζονται σε έναν αριθμό (άθροισμα), ο οποίος περιέχει όλες τις μονάδες και τα κλάσματα μονάδων όρων.

Θα εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις με τη σειρά:

1. Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.
2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

1. Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 1 / 5 + 2 / 5 .

Πάρτε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 17), πάρτε το ως μονάδα και χωρίστε το σε 5 ίσα μέρη, τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με το 1/5 του τμήματος ΑΒ και το τμήμα του ίδιου τμήματος CD θα είναι ίσο με 2/5 ΑΒ.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι αν πάρουμε το τμήμα AD, τότε θα είναι ίσο με 3/5 AB. αλλά το τμήμα AD είναι ακριβώς το άθροισμα των τμημάτων AC και CD. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους και το ποσό που προκύπτει, βλέπουμε ότι ο αριθμητής του αθροίσματος προέκυψε προσθέτοντας τους αριθμητές των όρων και ο παρονομαστής παρέμεινε αμετάβλητος.

Από αυτό παίρνουμε τον ακόλουθο κανόνα: Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Ας προσθέσουμε κλάσματα: 3/4 + 3/8 Πρώτα πρέπει να μειωθούν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6/8 + 3/8 δεν θα μπορούσε να έχει γραφτεί. το έχουμε γράψει εδώ για μεγαλύτερη σαφήνεια.

Έτσι, για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή.

Εξετάστε ένα παράδειγμα (θα γράψουμε πρόσθετους παράγοντες στα αντίστοιχα κλάσματα):

3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

Ας προσθέσουμε τους αριθμούς: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Ας φέρουμε πρώτα τα κλασματικά μέρη των αριθμών μας σε έναν κοινό παρονομαστή και ας τα ξαναγράψουμε:

Τώρα προσθέστε τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη με τη σειρά:

§ 88. Αφαίρεση κλασμάτων.

Η αφαίρεση των κλασμάτων ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η αφαίρεση των ακέραιων αριθμών. Αυτή είναι μια ενέργεια με την οποία, δεδομένου του αθροίσματος δύο όρων και ενός από αυτούς, βρίσκεται ένας άλλος όρος. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις με τη σειρά:

1. Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

1. Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

13 / 15 - 4 / 15

Ας πάρουμε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 18), το πάρουμε ως μονάδα και το χωρίσουμε σε 15 ίσα μέρη. τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα είναι το 1/15 του AB και το τμήμα AD του ίδιου τμήματος θα αντιστοιχεί στο 13/15 AB. Ας αφήσουμε στην άκρη ένα άλλο τμήμα ΕΔ, ίσο με 4/15 ΑΒ.

Πρέπει να αφαιρέσουμε 4/15 από 13/15. Στο σχέδιο, αυτό σημαίνει ότι το τμήμα ED πρέπει να αφαιρεθεί από το τμήμα AD. Ως αποτέλεσμα, θα παραμείνει το τμήμα ΑΕ, το οποίο είναι τα 9/15 του τμήματος ΑΒ. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

Το παράδειγμα που κάναμε δείχνει ότι ο αριθμητής της διαφοράς προέκυψε αφαιρώντας τους αριθμητές και ο παρονομαστής παρέμεινε ο ίδιος.

Επομένως, για να αφαιρέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δευτερεύοντος από τον αριθμητή του δευτερεύοντος και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Παράδειγμα. 3/4 - 5/8

Αρχικά, ας μειώσουμε αυτά τα κλάσματα στον μικρότερο κοινό παρονομαστή:

Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6 / 8 - 5 / 8 είναι γραμμένος εδώ για λόγους σαφήνειας, αλλά μπορεί να παραλειφθεί στο μέλλον.

Έτσι, για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, πρέπει πρώτα να το φέρετε στον μικρότερο κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια να αφαιρέσετε τον αριθμητή του υποκατηγορούμενου από τον αριθμητή του minuend και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά τους.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

Παράδειγμα. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Ας φέρουμε τα κλασματικά μέρη του minuend και του subtrahend στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Αφαιρέσαμε ένα σύνολο από ένα σύνολο και ένα κλάσμα από ένα κλάσμα. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που το κλασματικό μέρος του subtrahend είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του minuend. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από το ακέραιο μέρος του μειωμένου, να τη χωρίσετε σε εκείνα τα μέρη στα οποία εκφράζεται το κλασματικό μέρος και να προσθέσετε στο κλασματικό μέρος του μειωμένου. Και τότε η αφαίρεση θα γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:

§ 89. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.

Κατά τη μελέτη του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο.
2. Εύρεση κλάσματος δεδομένου αριθμού.
3. Πολλαπλασιασμός ακέραιου αριθμού με κλάσμα.
4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.
7. Εύρεση ποσοστών ενός δεδομένου αριθμού. Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο.

Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου με έναν ακέραιο. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος (πολλαπλασιαστής) με έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) σημαίνει τη σύνθεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.

Έτσι, εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε το 1/9 επί 7, τότε αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

Πήραμε εύκολα το αποτέλεσμα, αφού η δράση περιορίστηκε στην πρόσθεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Συνεπώς,

Η εξέταση αυτής της ενέργειας δείχνει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο ισοδυναμεί με την αύξηση αυτού του κλάσματος όσες φορές υπάρχουν μονάδες στον ακέραιο. Και αφού η αύξηση του κλάσματος επιτυγχάνεται είτε αυξάνοντας τον αριθμητή του

είτε μειώνοντας τον παρονομαστή του , τότε μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με τον ακέραιο είτε να διαιρέσουμε τον παρονομαστή με αυτόν, αν είναι δυνατή μια τέτοια διαίρεση.

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο ή, αν είναι δυνατόν, να διαιρέσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον αριθμητή αμετάβλητο.

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

2. Εύρεση κλάσματος δεδομένου αριθμού.Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε, ή να υπολογίσετε, ένα μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των εργασιών και άλλων είναι ότι δίνουν τον αριθμό ορισμένων αντικειμένων ή μονάδων μέτρησης και πρέπει να βρείτε ένα μέρος αυτού του αριθμού, το οποίο υποδεικνύεται επίσης εδώ με ένα συγκεκριμένο κλάσμα. Για να διευκολυνθεί η κατανόηση, θα δώσουμε πρώτα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και στη συνέχεια θα εισαγάγουμε τη μέθοδο επίλυσής τους.

Εργασία 1.Είχα 60 ρούβλια. Το 1/3 από αυτά τα χρήματα ξόδεψα για την αγορά βιβλίων. Πόσο κόστισαν τα βιβλία;

Εργασία 2.Το τρένο πρέπει να καλύπτει την απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β, ίση με 300 km. Έχει ήδη διανύσει τα 2/3 αυτής της απόστασης. Πόσα χιλιόμετρα είναι αυτό;

Εργασία 3.Στο χωριό υπάρχουν 400 σπίτια, τα 3/4 από τούβλα, τα υπόλοιπα ξύλινα. Πόσα σπίτια από τούβλα υπάρχουν;

Εδώ είναι μερικά από τα πολλά προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσουμε για να βρούμε ένα κλάσμα ενός δεδομένου αριθμού. Συνήθως ονομάζονται προβλήματα για την εύρεση ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.

Λύση του προβλήματος 1.Από 60 ρούβλια. Ξόδεψα το 1/3 σε βιβλία. Έτσι, για να βρείτε το κόστος των βιβλίων, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό 60 με το 3:

Λύση προβλήματος 2.Το νόημα του προβλήματος είναι ότι πρέπει να βρείτε τα 2/3 των 300 km. Υπολογίστε το πρώτο 1/3 των 300. Αυτό επιτυγχάνεται με διαίρεση 300 km με 3:

300: 3 = 100 (αυτό είναι το 1/3 των 300).

Για να βρείτε τα δύο τρίτα του 300, πρέπει να διπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε με το 2:

100 x 2 = 200 (δηλαδή τα 2/3 των 300).

Λύση του προβλήματος 3.Εδώ πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των σπιτιών από τούβλα, που είναι τα 3/4 των 400. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 των 400,

400: 4 = 100 (αυτό είναι το 1/4 των 400).

Για να υπολογίσουμε τρία τέταρτα του 400, το πηλίκο που προκύπτει πρέπει να τριπλασιαστεί, δηλαδή να πολλαπλασιαστεί επί 3:

100 x 3 = 300 (δηλαδή τα 3/4 των 400).

Με βάση την επίλυση αυτών των προβλημάτων, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο κανόνα:

Για να βρείτε την τιμή ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει με τον αριθμητή του.

3. Πολλαπλασιασμός ακέραιου αριθμού με κλάσμα.

Νωρίτερα (§ 26) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων θα πρέπει να νοείται ως η προσθήκη πανομοιότυπων όρων (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Σε αυτή την παράγραφο (παράγραφος 1) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο σημαίνει την εύρεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων ίσο με αυτό το κλάσμα.

Και στις δύο περιπτώσεις, ο πολλαπλασιασμός συνίστατο στην εύρεση του αθροίσματος των πανομοιότυπων όρων.

Τώρα προχωράμε στον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Εδώ θα συναντήσουμε έναν τέτοιο, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμό: 9 2 / 3. Είναι προφανές ότι ο προηγούμενος ορισμός του πολλαπλασιασμού δεν ισχύει για αυτήν την περίπτωση. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τέτοιο πολλαπλασιασμό προσθέτοντας ίσους αριθμούς.

Εξαιτίας αυτού, θα πρέπει να δώσουμε έναν νέο ορισμό του πολλαπλασιασμού, δηλαδή, με άλλα λόγια, να απαντήσουμε στο ερώτημα τι πρέπει να γίνει κατανοητό από τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, πώς θα πρέπει να γίνει κατανοητή αυτή η ενέργεια.

Η έννοια του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου με ένα κλάσμα είναι ξεκάθαρη από τον ακόλουθο ορισμό: να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) με ένα κλάσμα (πολλαπλασιαστής) σημαίνει να βρείτε αυτό το κλάσμα του πολλαπλασιαστή.

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 9 με 2/3 σημαίνει ότι βρίσκουμε τα 2/3 των εννέα μονάδων. Στην προηγούμενη παράγραφο, τέτοια προβλήματα επιλύθηκαν. οπότε είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι καταλήγουμε στο 6.

Αλλά τώρα τίθεται ένα ενδιαφέρον και σημαντικό ερώτημα: γιατί τέτοιες φαινομενικά διαφορετικές ενέργειες όπως η εύρεση του αθροίσματος ίσων αριθμών και η εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού ονομάζονται η ίδια λέξη "πολλαπλασιασμός" στην αριθμητική;

Αυτό συμβαίνει επειδή η προηγούμενη ενέργεια (επαναλαμβάνοντας τον αριθμό με όρους πολλές φορές) και η νέα ενέργεια (εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού) δίνουν απάντηση σε ομοιογενείς ερωτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι προχωράμε εδώ από το σκεπτικό ότι ομοιογενείς ερωτήσεις ή εργασίες επιλύονται με μία και την ίδια ενέργεια.

Για να το κατανοήσετε αυτό, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν 4 μέτρα τέτοιου υφάσματος;

Αυτό το πρόβλημα επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (4), δηλαδή 50 x 4 = 200 (ρούβλια).

Ας πάρουμε το ίδιο πρόβλημα, αλλά σε αυτό η ποσότητα του υφάσματος θα εκφραστεί ως κλασματικός αριθμός: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν τα 3/4 m τέτοιου υφάσματος;

Αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να λυθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (3/4).

Μπορείτε επίσης να αλλάξετε τους αριθμούς σε αυτό πολλές φορές χωρίς να αλλάξετε την έννοια του προβλήματος, για παράδειγμα, πάρτε 9/10 m ή 2 3/10 m, κ.λπ.

Δεδομένου ότι αυτά τα προβλήματα έχουν το ίδιο περιεχόμενο και διαφέρουν μόνο σε αριθμούς, ονομάζουμε τις ενέργειες που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους ίδια λέξη - πολλαπλασιασμός.

Πώς πολλαπλασιάζεται ένας ακέραιος αριθμός με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε τους αριθμούς που συναντήθηκαν στο τελευταίο πρόβλημα:

Σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να βρούμε τα 3/4 του 50. Πρώτα βρίσκουμε το 1/4 του 50 και μετά τα 3/4.

Το 1/4 του 50 είναι 50/4.

Τα 3/4 του 50 είναι .

Συνεπώς.

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα: 12 5 / 8 = ?

Το 1/8 των 12 είναι 12/8,

Τα 5/8 του αριθμού 12 είναι .

Συνεπώς,

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος ως παρονομαστή.

Γράφουμε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας απόλυτα σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38

Πρέπει να θυμόμαστε ότι πριν εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να κάνετε (αν είναι δυνατόν) περικοπές, για παράδειγμα:

4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου με ένα κλάσμα, δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να βρείτε το κλάσμα στον πολλαπλασιαστή από το πρώτο κλάσμα (πολλαπλασιαστής).

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 3/4 με το 1/2 (μισό) σημαίνει ότι βρίσκουμε το μισό του 3/4.

Πώς πολλαπλασιάζεις ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: 3/4 επί 5/7. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τα 5/7 από τα 3/4. Βρείτε πρώτα το 1/7 των 3/4 και μετά το 5/7

Το 1/7 του 3/4 θα εκφραζόταν ως εξής:

Οι αριθμοί 5/7 3/4 θα εκφραστούν ως εξής:

Με αυτόν τον τρόπο,

Άλλο παράδειγμα: 5/8 επί 4/9.

Το 1/9 της 5/8 είναι ,

4/9 οι αριθμοί 5/8 είναι .

Με αυτόν τον τρόπο,

Από αυτά τα παραδείγματα, μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο γινόμενο παρονομαστή του γινομένου.

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γραφτεί γενικά ως εξής:

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι απαραίτητο να γίνουν (αν είναι δυνατόν) μειώσεις. Εξετάστε παραδείγματα:

5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.Δεδομένου ότι οι μικτοί αριθμοί μπορούν εύκολα να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα, αυτή η περίσταση χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιαστής ή ο πολλαπλασιαστής ή και οι δύο συντελεστές εκφράζονται ως μικτοί αριθμοί, τότε αντικαθίστανται από ακατάλληλα κλάσματα. Πολλαπλασιάστε, για παράδειγμα, μεικτούς αριθμούς: 2 1/2 και 3 1/5. Μετατρέπουμε κάθε ένα από αυτά σε ένα ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια θα πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:

Κανόνας.Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.

Σημείωση.Εάν ένας από τους παράγοντες είναι ακέραιος, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τον νόμο κατανομής ως εξής:

6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.Όταν λύνουμε προβλήματα και όταν εκτελούμε διάφορους πρακτικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε όλα τα είδη κλασμάτων. Πρέπει όμως να έχουμε κατά νου ότι πολλές ποσότητες δεν δέχονται καμία, αλλά φυσικές υποδιαιρέσεις γι' αυτές. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε το ένα εκατοστό (1/100) του ρουβλίου, θα είναι μια δεκάρα, τα δύο εκατοστά είναι 2 καπίκια, τα τρία εκατοστά είναι 3 καπίκια. Μπορείτε να πάρετε το 1/10 του ρουβλίου, θα είναι "10 καπίκια, ή μια δεκάρα. Μπορείτε να πάρετε το ένα τέταρτο του ρουβλίου, δηλαδή 25 καπίκια, μισό ρούβλι, δηλ. 50 καπίκια (πενήντα καπίκια). Αλλά πρακτικά δεν Πάρτε, για παράδειγμα, 2/7 ρούβλια επειδή το ρούβλι δεν χωρίζεται σε έβδομα.

Η μονάδα μέτρησης για το βάρος, δηλαδή το κιλό, επιτρέπει, πρώτα απ 'όλα, δεκαδικές υποδιαιρέσεις, για παράδειγμα, 1/10 kg ή 100 g. Και τέτοια κλάσματα ενός κιλού όπως 1/6, 1/11, 1/ 13 είναι ασυνήθιστες.

Γενικά τα (μετρικά) μέτρα μας είναι δεκαδικά και επιτρέπουν δεκαδικές υποδιαιρέσεις.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμο και βολικό σε μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων να χρησιμοποιείται η ίδια (ομοιόμορφη) μέθοδος υποδιαίρεσης ποσοτήτων. Η πολυετής πείρα έχει δείξει ότι μια τόσο δικαιολογημένη διαίρεση είναι η διαίρεση των «εκατοντάδων». Ας εξετάσουμε μερικά παραδείγματα που σχετίζονται με τους πιο διαφορετικούς τομείς της ανθρώπινης πρακτικής.

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12/100 της προηγούμενης τιμής.

Παράδειγμα. Η προηγούμενη τιμή του βιβλίου είναι 10 ρούβλια. Μειώθηκε κατά 1 ρούβλι. 20 κοπ.

2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν κατά τη διάρκεια του έτους στους καταθέτες τα 2/100 του ποσού που μπαίνει στο ταμιευτήριο.

Παράδειγμα. 500 ρούβλια τοποθετούνται στο ταμείο, το εισόδημα από αυτό το ποσό για το έτος είναι 10 ρούβλια.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων ενός σχολείου ήταν 5/100 του συνόλου των μαθητών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μόνο 1.200 μαθητές φοίτησαν στο σχολείο, 60 από αυτούς αποφοίτησαν από το σχολείο.

Το εκατοστό ενός αριθμού ονομάζεται ποσοστό..

Η λέξη «τοις εκατό» είναι δανεισμένη από τη λατινική γλώσσα και η ρίζα της «cent» σημαίνει εκατό. Μαζί με την πρόθεση (pro centum), αυτή η λέξη σημαίνει "για εκατό". Το νόημα αυτής της έκφρασης προκύπτει από το γεγονός ότι αρχικά στην αρχαία Ρώμη τόκοι ήταν τα χρήματα που πλήρωνε ο οφειλέτης στον δανειστή «για κάθε εκατό». Η λέξη "cent" ακούγεται με τόσο γνωστές λέξεις: centner (εκατό κιλά), εκατοστό (λένε εκατοστό).

Για παράδειγμα, αντί να πούμε ότι το εργοστάσιο παρήγαγε το 1/100 όλων των προϊόντων που παρήγαγε τον περασμένο μήνα, θα πούμε το εξής: το εργοστάσιο παρήγαγε το ένα τοις εκατό των απορριμμάτων τον περασμένο μήνα. Αντί να πούμε: το εργοστάσιο παρήγαγε 4/100 περισσότερα προϊόντα από το καθορισμένο σχέδιο, θα πούμε: το εργοστάσιο υπερέβη το σχέδιο κατά 4 τοις εκατό.

Τα παραπάνω παραδείγματα μπορούν να εκφραστούν διαφορετικά:

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12 τοις εκατό της προηγούμενης τιμής.

2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν στους καταθέτες το 2 τοις εκατό ετησίως του ποσού που τοποθετείται σε αποταμιεύσεις.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων ενός σχολείου ήταν 5 τοις εκατό του αριθμού όλων των μαθητών του σχολείου.

Για να συντομεύσετε το γράμμα, συνηθίζεται να γράφετε το σύμβολο% αντί της λέξης "ποσοστό".

Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι το σύμβολο % συνήθως δεν γράφεται στους υπολογισμούς, μπορεί να γραφτεί στη δήλωση προβλήματος και στο τελικό αποτέλεσμα. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα με παρονομαστή 100 αντί για έναν ακέραιο με αυτό το εικονίδιο.

Πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε έναν ακέραιο με το καθορισμένο εικονίδιο με ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

Αντίθετα, πρέπει να συνηθίσετε να γράφετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο εικονίδιο αντί για ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

7. Εύρεση ποσοστών ενός δεδομένου αριθμού.

Εργασία 1.Το σχολείο έλαβε 200 κυβικά μέτρα. m καυσόξυλα, με τα καυσόξυλα σημύδας να αντιπροσωπεύουν το 30%. Πόσο ξύλο σημύδας υπήρχε;

Το νόημα αυτού του προβλήματος είναι ότι τα καυσόξυλα σημύδας ήταν μόνο ένα μέρος των καυσόξυλων που παραδόθηκαν στο σχολείο και αυτό το μέρος εκφράζεται ως κλάσμα 30/100. Έτσι, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον να βρούμε ένα κλάσμα ενός αριθμού. Για να το λύσουμε, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 200 με το 30 / 100 (οι εργασίες για την εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού λύνονται πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με ένα κλάσμα.).

Άρα το 30% των 200 ισούται με 60.

Το κλάσμα 30 / 100 που συναντάται σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί κατά 10. Θα ήταν δυνατό να πραγματοποιηθεί αυτή η μείωση από την αρχή. η λύση στο πρόβλημα δεν θα άλλαζε.

Εργασία 2.Στην κατασκήνωση βρίσκονταν 300 παιδιά διαφόρων ηλικιών. Τα παιδιά ηλικίας 11 ετών ήταν 21%, τα παιδιά ηλικίας 12 ετών ήταν 61% και τελικά τα παιδιά ηλικίας 13 ετών ήταν 18%. Πόσα παιδιά κάθε ηλικίας βρίσκονταν στην κατασκήνωση;

Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να εκτελέσετε τρεις υπολογισμούς, δηλαδή να βρείτε διαδοχικά τον αριθμό των παιδιών ηλικίας 11 ετών, μετά 12 ετών και, τέλος, 13 ετών.

Έτσι, εδώ θα χρειαστεί να βρείτε ένα κλάσμα ενός αριθμού τρεις φορές. Ας το κάνουμε:

1) Πόσα παιδιά ήταν 11 ετών;

2) Πόσα παιδιά ήταν 12 ετών;

3) Πόσα παιδιά ήταν 13 ετών;

Μετά την επίλυση του προβλήματος, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν. Το άθροισμά τους πρέπει να είναι 300:

63 + 183 + 54 = 300

Θα πρέπει επίσης να προσέξετε το γεγονός ότι το άθροισμα των ποσοστών που δίνονται στην συνθήκη του προβλήματος είναι 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Αυτό υποδηλώνει ότι ο συνολικός αριθμός των παιδιών στην κατασκήνωση λήφθηκε ως 100%.

3 a da cha 3.Ο εργαζόμενος λάμβανε 1.200 ρούβλια το μήνα. Από αυτά ξόδεψε το 65% σε φαγητό, το 6% σε διαμέρισμα και θέρμανση, το 4% σε φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο, 10% σε πολιτιστικές ανάγκες και 15% εξοικονόμησε. Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για τις ανάγκες που αναφέρονται στην εργασία;

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να βρείτε ένα κλάσμα του αριθμού 1.200 5 φορές. Ας το κάνουμε.

1) Πόσα χρήματα ξοδεύονται για φαγητό; Η εργασία λέει ότι αυτή η δαπάνη είναι το 65% όλων των κερδών, δηλαδή 65/100 του αριθμού 1.200. Ας κάνουμε τον υπολογισμό:

2) Πόσα χρήματα πληρώθηκαν για ένα διαμέρισμα με θέρμανση; Επιχειρηματολογώντας όπως το προηγούμενο, καταλήγουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:

3) Πόσα χρήματα πληρώσατε για φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο;

4) Πόσα χρήματα ξοδεύονται για πολιτιστικές ανάγκες;

5) Πόσα χρήματα εξοικονόμησε ο εργάτης;

Για επαλήθευση, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτές τις 5 ερωτήσεις. Το ποσό πρέπει να είναι 1.200 ρούβλια. Όλα τα κέρδη λαμβάνονται ως 100%, το οποίο είναι εύκολο να ελεγχθεί αθροίζοντας τα ποσοστά που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.

Έχουμε λύσει τρία προβλήματα. Παρά το γεγονός ότι αυτές οι εργασίες αφορούσαν διαφορετικά πράγματα (παράδοση καυσόξυλων για το σχολείο, αριθμός παιδιών διαφορετικών ηλικιών, έξοδα του εργάτη), λύθηκαν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συνέβη επειδή σε όλες τις εργασίες ήταν απαραίτητο να βρεθεί μερικά τοις εκατό των δεδομένων αριθμών.

§ 90. Διαίρεση κλασμάτων.

Κατά τη μελέτη της διαίρεσης των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.
2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο
3. Διαίρεση ακέραιου με κλάσμα.
4. Διαίρεση κλάσματος με κλάσμα.
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
6. Εύρεση αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του.
7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.

Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα των ακεραίων, διαίρεση είναι η ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι, δεδομένου του γινόμενου δύο παραγόντων (το μέρισμα) και ενός από αυτούς τους παράγοντες (τον διαιρέτη), βρίσκεται ένας άλλος παράγοντας.

Η διαίρεση ενός ακέραιου με έναν ακέραιο θεωρήσαμε στο τμήμα των ακεραίων. Συναντήσαμε εκεί δύο περιπτώσεις διαίρεσης: διαίρεση χωρίς υπόλοιπο, ή «εντελώς» (150: 10 = 15) και διαίρεση με υπόλοιπο (100: 9 = 11 και 1 στο υπόλοιπο). Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι στο πεδίο των ακεραίων η ακριβής διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατή, γιατί το μέρισμα δεν είναι πάντα το γινόμενο του διαιρέτη και του ακέραιου. Μετά την εισαγωγή του πολλαπλασιασμού με ένα κλάσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε κάθε περίπτωση διαίρεσης ακεραίων αριθμών ως πιθανή (αποκλείεται μόνο η διαίρεση με το μηδέν).

Για παράδειγμα, η διαίρεση του 7 με το 12 σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού του οποίου το γινόμενο επί 12 θα ήταν 7. Αυτός ο αριθμός είναι το κλάσμα 7/12 επειδή 7/12 12 = 7. Ένα άλλο παράδειγμα: 14: 25 = 14/25 επειδή 14/25 25 = 14.

Έτσι, για να διαιρέσετε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο, πρέπει να φτιάξετε ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι ίσος με το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο.

Διαιρέστε το κλάσμα 6 / 7 με 3. Σύμφωνα με τον ορισμό της διαίρεσης που δόθηκε παραπάνω, έχουμε εδώ το γινόμενο (6 / 7) και έναν από τους παράγοντες (3). απαιτείται να βρεθεί ένας τέτοιος δεύτερος παράγοντας που, όταν πολλαπλασιαστεί με το 3, θα δώσει στο δεδομένο γινόμενο 6/7. Προφανώς, θα πρέπει να είναι τρεις φορές μικρότερο από αυτό το προϊόν. Αυτό σημαίνει ότι η εργασία που τέθηκε μπροστά μας ήταν να μειώσουμε το κλάσμα 6/7 κατά 3 φορές.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η αναγωγή ενός κλάσματος μπορεί να γίνει είτε μειώνοντας τον αριθμητή του είτε αυξάνοντας τον παρονομαστή του. Επομένως, μπορείτε να γράψετε:

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής 6 διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμητής πρέπει να μειωθεί κατά 3 φορές.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα: 5 / 8 διαιρούμενο με 2. Εδώ ο αριθμητής 5 δεν διαιρείται με το 2, πράγμα που σημαίνει ότι ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό:

Με βάση αυτό, μπορούμε να ορίσουμε τον κανόνα: Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον ακέραιο(αν είναι δυνατόν), αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή ή πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον ίδιο αριθμητή.

3. Διαίρεση ακέραιου με κλάσμα.

Ας χρειαστεί να διαιρέσουμε το 5 με το 1/2, δηλαδή να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 1/2, θα δώσει το γινόμενο 5. Προφανώς, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το 5, αφού το 1/2 είναι σωστό κλάσμα, και όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα σωστό κλάσμα, το γινόμενο πρέπει να είναι μικρότερο από τον πολλαπλασιαστή. Για να γίνει πιο σαφές, ας γράψουμε τις ενέργειές μας ως εξής: 5: 1 / 2 = Χ , άρα x 1 / 2 \u003d 5.

Πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό Χ , το οποίο, όταν πολλαπλασιαζόταν με το 1/2, θα έδινε 5. Αφού πολλαπλασιάζοντας έναν ορισμένο αριθμό με το 1/2 σημαίνει ότι βρίσκουμε το 1/2 αυτού του αριθμού, τότε, επομένως, το 1/2 του άγνωστου αριθμού Χ είναι το 5 και ο ακέραιος αριθμός Χ διπλάσια, δηλαδή 5 2 \u003d 10.

Άρα 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Ας ελέγξουμε:

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα. Έστω ότι απαιτείται να διαιρεθεί το 6 με το 2/3. Ας προσπαθήσουμε πρώτα να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το σχέδιο (Εικ. 19).

Εικ.19

Σχεδιάστε ένα τμήμα ΑΒ, ίσο με το 6 από ορισμένες μονάδες, και διαιρέστε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Σε κάθε μονάδα, τα τρία τρίτα (3 / 3) σε ολόκληρο το τμήμα ΑΒ είναι 6 φορές μεγαλύτερα, δηλ. ε. 18/3. Συνδέουμε με τη βοήθεια μικρών αγκύλων 18 ληφθέντα τμήματα των 2. Θα υπάρχουν μόνο 9 τμήματα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 2/3 περιέχεται σε μονάδες b 9 φορές, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα 2/3 είναι 9 φορές μικρότερο από 6 ακέραιες μονάδες. Συνεπώς,

Πώς να πάρετε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς σχέδιο χρησιμοποιώντας μόνο υπολογισμούς; Θα υποστηρίξουμε ως εξής: απαιτείται να διαιρεθεί το 6 με το 2 / 3, δηλ. απαιτείται να απαντηθεί η ερώτηση, πόσες φορές το 2 / 3 περιέχεται στο 6. Ας μάθουμε πρώτα: πόσες φορές είναι το 1 / 3 περιέχεται στο 6; Σε μια ολόκληρη μονάδα - 3 τρίτα και σε 6 μονάδες - 6 φορές περισσότερο, δηλαδή 18 τρίτα. Για να βρούμε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 6 με το 3. Επομένως, το 1/3 περιέχεται σε μονάδες b 18 φορές και το 2/3 περιέχεται σε μονάδες b όχι 18 φορές, αλλά το μισό φορές, δηλ. 18: 2 = 9 Επομένως, όταν διαιρούμε το 6 με το 2/3 κάναμε τα εξής:

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός ακέραιου με ένα κλάσμα. Για να διαιρέσετε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον ακέραιο με τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος και, κάνοντας αυτό το γινόμενο αριθμητή, να τον διαιρέσετε με τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος.

Γράφουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας απόλυτα σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38. Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος λήφθηκε εκεί.

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

4. Διαίρεση κλάσματος με κλάσμα.

Έστω ότι απαιτείται να διαιρεθεί το 3/4 με το 3/8. Τι θα δηλώνει τον αριθμό που θα προκύψει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης; Θα απαντήσει στο ερώτημα πόσες φορές το κλάσμα 3/8 περιέχεται στο κλάσμα 3/4. Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 20).

Πάρτε το τμήμα ΑΒ, πάρτε το ως μονάδα, χωρίστε το σε 4 ίσα μέρη και σημειώστε 3 τέτοια μέρη. Το τμήμα AC θα είναι ίσο με τα 3/4 του τμήματος AB. Ας διαιρέσουμε τώρα καθένα από τα τέσσερα αρχικά τμήματα στο μισό, τότε το τμήμα ΑΒ θα χωριστεί σε 8 ίσα μέρη και κάθε τέτοιο τμήμα θα είναι ίσο με το 1/8 του τμήματος ΑΒ. Συνδέουμε 3 τέτοια τμήματα με τόξα, τότε κάθε ένα από τα τμήματα AD και DC θα είναι ίσο με τα 3/8 του τμήματος AB. Το σχέδιο δείχνει ότι το τμήμα ίσο με 3/8 περιέχεται στο τμήμα ίσο με 3/4 ακριβώς 2 φορές. Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα. Έστω ότι απαιτείται να διαιρεθεί το 15/16 με το 3/32:

Μπορούμε να συλλογιστούμε ως εξής: πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιαστεί με το 3 / 32, θα δώσει ένα γινόμενο ίσο με 15 / 16. Ας γράψουμε τους υπολογισμούς ως εξής:

15 / 16: 3 / 32 = Χ

3 / 32 Χ = 15 / 16

3/32 άγνωστος αριθμός Χ απαρτίζουν 15/16

1/32 άγνωστος αριθμός Χ είναι ,

32/32 αριθμοί Χ μακιγιάζ .

Συνεπώς,

Έτσι, για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερος ο παρονομαστής.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

5. Διαίρεση μικτών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση μικτών αριθμών, πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε ακατάλληλα κλάσματα και, στη συνέχεια, τα κλάσματα που προκύπτουν πρέπει να διαιρεθούν σύμφωνα με τους κανόνες για τη διαίρεση των κλασματικών αριθμών. Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα:

Τώρα ας χωρίσουμε:

Έτσι, για να διαιρέσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων.

6. Εύρεση αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του.

Μεταξύ των διαφόρων εργασιών για τα κλάσματα, μερικές φορές υπάρχουν εκείνες στις οποίες δίνεται η τιμή κάποιου κλάσματος ενός άγνωστου αριθμού και απαιτείται να βρεθεί αυτός ο αριθμός. Αυτός ο τύπος προβλήματος θα είναι αντίστροφος από το πρόβλημα της εύρεσης ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού. εκεί δόθηκε ένας αριθμός και απαιτήθηκε να βρεθεί κάποιο κλάσμα αυτού του αριθμού, εδώ δίνεται ένα κλάσμα ενός αριθμού και απαιτείται να βρεθεί αυτός ο ίδιος ο αριθμός. Αυτή η ιδέα θα γίνει ακόμη πιο ξεκάθαρη αν στραφούμε στη λύση αυτού του τύπου προβλήματος.

Εργασία 1.Την πρώτη μέρα, οι υαλοπίνακες υάλωσαν 50 παράθυρα, που είναι το 1/3 όλων των παραθύρων του χτισμένου σπιτιού. Πόσα παράθυρα υπάρχουν σε αυτό το σπίτι;

Λύση.Το πρόβλημα λέει ότι 50 τζάμια αποτελούν το 1/3 όλων των παραθύρων του σπιτιού, που σημαίνει ότι υπάρχουν 3 φορές περισσότερα παράθυρα συνολικά, δηλ.

Το σπίτι είχε 150 παράθυρα.

Εργασία 2.Το μαγαζί πούλησε 1.500 κιλά αλεύρι, δηλαδή τα 3/8 του συνολικού αποθέματος αλευριού του μαγαζιού. Ποια ήταν η αρχική προσφορά του μαγαζιού σε αλεύρι;

Λύση.Από την κατάσταση του προβλήματος φαίνεται ότι τα 1.500 κιλά αλεύρι που πωλούνται αποτελούν τα 3/8 του συνολικού αποθέματος. Αυτό σημαίνει ότι το 1/8 αυτού του αποθέματος θα είναι 3 φορές λιγότερο, δηλαδή, για να το υπολογίσετε, πρέπει να μειώσετε το 1500 κατά 3 φορές:

1.500: 3 = 500 (αυτό είναι το 1/8 του αποθέματος).

Προφανώς, ολόκληρο το απόθεμα θα είναι 8 φορές μεγαλύτερο. Συνεπώς,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Η αρχική προσφορά αλευριού στο κατάστημα ήταν 4.000 κιλά.

Από την εξέταση αυτού του προβλήματος, μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας.

Για να βρείτε έναν αριθμό με μια δεδομένη τιμή του κλάσματός του, αρκεί να διαιρέσετε αυτή την τιμή με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος.

Επιλύσαμε δύο προβλήματα σχετικά με την εύρεση ενός αριθμού με βάση το κλάσμα του. Τέτοια προβλήματα, όπως φαίνεται ιδιαίτερα καλά από το τελευταίο, λύνονται με δύο ενέργειες: τη διαίρεση (όταν βρεθεί ένα μέρος) και τον πολλαπλασιασμό (όταν βρεθεί ο ακέραιος αριθμός).

Ωστόσο, αφού μελετήσουμε τη διαίρεση των κλασμάτων, τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να λυθούν με μία ενέργεια, δηλαδή: διαίρεση με ένα κλάσμα.

Για παράδειγμα, η τελευταία εργασία μπορεί να λυθεί με μια ενέργεια ως εξής:

Στο μέλλον, θα λύσουμε το πρόβλημα της εύρεσης ενός αριθμού με το κλάσμα του σε μια ενέργεια - διαίρεση.

7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Σε αυτές τις εργασίες, θα χρειαστεί να βρείτε έναν αριθμό, γνωρίζοντας μερικά τοις εκατό αυτού του αριθμού.

Εργασία 1.Στις αρχές του τρέχοντος έτους, έλαβα 60 ρούβλια από το ταμιευτήριο. εισόδημα από το ποσό που έβαλα σε αποταμιεύσεις πριν από ένα χρόνο. Πόσα χρήματα έβαλα στο ταμιευτήριο; (Τα ταμεία δίνουν στους καταθέτες το 2% του εισοδήματος ετησίως.)

Το νόημα του προβλήματος είναι ότι ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό το έβαλα σε ένα ταμιευτήριο και έμεινα εκεί για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο, έλαβα 60 ρούβλια από αυτήν. εισόδημα, που είναι τα 2/100 των χρημάτων που έβαλα. Πόσα χρήματα κατέθεσα;

Επομένως, γνωρίζοντας το μέρος αυτών των χρημάτων, που εκφράζεται με δύο τρόπους (σε ρούβλια και σε κλάσματα), πρέπει να βρούμε ολόκληρο το, ακόμη άγνωστο, ποσό. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο πρόβλημα εύρεσης ενός αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του. Οι παρακάτω εργασίες επιλύονται με διαίρεση:

Έτσι, 3.000 ρούβλια μπήκαν στο ταμιευτήριο.

Εργασία 2.Σε δύο εβδομάδες, οι ψαράδες εκπλήρωσαν το μηνιαίο πρόγραμμα κατά 64%, έχοντας ετοιμάσει 512 τόνους ψαριών. Ποιο ήταν το σχέδιό τους;

Από την κατάσταση του προβλήματος γίνεται γνωστό ότι οι ψαράδες ολοκλήρωσαν μέρος του σχεδίου. Το τμήμα αυτό ισούται με 512 τόνους, που είναι το 64% του σχεδίου. Πόσοι τόνοι ψαριών πρέπει να συγκομιστούν σύμφωνα με το σχέδιο, δεν γνωρίζουμε. Η λύση του προβλήματος θα συνίσταται στην εύρεση αυτού του αριθμού.

Τέτοιες εργασίες επιλύονται με διαίρεση:

Έτσι, σύμφωνα με το σχέδιο, πρέπει να προετοιμάσετε 800 τόνους ψαριών.

Εργασία 3.Το τρένο πήγε από τη Ρίγα στη Μόσχα. Όταν πέρασε το 276ο χιλιόμετρο, ένας από τους επιβάτες ρώτησε τον διερχόμενο αγωγό πόσο από το ταξίδι είχαν ήδη διανύσει. Σε αυτό ο μαέστρος απάντησε: «Έχουμε ήδη καλύψει το 30% ολόκληρου του ταξιδιού». Ποια είναι η απόσταση Μόσχα - Ρίγα;

Από την κατάσταση του προβλήματος φαίνεται ότι το 30% της διαδρομής από τη Ρίγα στη Μόσχα είναι 276 χιλιόμετρα. Πρέπει να βρούμε ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων, δηλ., για αυτό το μέρος, βρείτε το σύνολο:

§ 91. Αριθμοί αμοιβαίοι. Αντικατάσταση διαίρεσης με πολλαπλασιασμό.

Πάρτε το κλάσμα 2/3 και αναδιατάξτε τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή, παίρνουμε 3/2. Πήραμε ένα κλάσμα, το αντίστροφο αυτού.

Για να πάρετε ένα κλάσμα αντίστροφο ενός δεδομένου, πρέπει να βάλετε τον αριθμητή του στη θέση του παρονομαστή και τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να πάρουμε ένα κλάσμα που είναι το αντίστροφο οποιουδήποτε κλάσματος. Για παράδειγμα:

3/4, αντίστροφα 4/3; 5/6, αντίστροφα 6/5

Δύο κλάσματα που έχουν την ιδιότητα ότι ο αριθμητής του πρώτου είναι ο παρονομαστής του δεύτερου και ο παρονομαστής του πρώτου είναι ο αριθμητής του δεύτερου λέγονται αμοιβαία αντίστροφα.

Ας σκεφτούμε τώρα ποιο κλάσμα θα είναι το αντίστροφο του 1/2. Προφανώς, θα είναι 2 / 1, ή μόνο 2. Αναζητώντας το αντίστροφο αυτού, πήραμε έναν ακέραιο. Και αυτή η περίπτωση δεν είναι μεμονωμένη. Αντίθετα, για όλα τα κλάσματα με αριθμητή 1 (ένα), οι αντίστροφοι θα είναι ακέραιοι, για παράδειγμα:

1 / 3, αντίστροφο 3; 1/5, αντίστροφα 5

Δεδομένου ότι κατά την εύρεση των αντίστροφων συναντηθήκαμε και με ακέραιους αριθμούς, στο μέλλον δεν θα μιλάμε για αντίστροφα, αλλά για αντίστροφα.

Ας μάθουμε πώς να γράψουμε το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού. Για τα κλάσματα, αυτό λύνεται απλά: πρέπει να βάλετε τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε το αντίστροφο ενός ακέραιου, αφού οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να έχει παρονομαστή 1. Επομένως, το αντίστροφο του 7 θα είναι 1 / 7, επειδή 7 \u003d 7 / 1; για τον αριθμό 10 το αντίστροφο είναι 1 / 10 αφού 10 = 10 / 1

Αυτή η ιδέα μπορεί να εκφραστεί με άλλο τρόπο: το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού προκύπτει διαιρώντας το ένα με τον δεδομένο αριθμό. Αυτή η δήλωση ισχύει όχι μόνο για ακέραιους αριθμούς, αλλά και για κλάσματα. Πράγματι, αν θέλετε να γράψετε έναν αριθμό που είναι ο αντίστροφος του κλάσματος 5 / 9, τότε μπορούμε να πάρουμε το 1 και να το διαιρέσουμε με το 5 / 9, δηλ.

Τώρα ας επισημάνουμε ένα ιδιοκτησίααμοιβαία αμοιβαίοι αριθμοί, που θα μας φανούν χρήσιμοι: το γινόμενο αμοιβαίων αμοιβαίων αριθμών είναι ίσο με ένα.Πράγματι:

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε να βρούμε αμοιβαία με τον ακόλουθο τρόπο. Ας βρούμε το αντίστροφο του 8.

Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 8 Χ = 1, επομένως Χ = 1/8. Ας βρούμε έναν άλλο αριθμό, το αντίστροφο του 7/12, να τον συμβολίσουμε με ένα γράμμα Χ , μετά 7/12 Χ = 1, επομένως Χ = 1:7 / 12 ή Χ = 12 / 7 .

Εισαγάγαμε εδώ την έννοια των αμοιβαίων αριθμών προκειμένου να συμπληρώσουμε ελαφρώς τις πληροφορίες σχετικά με τη διαίρεση των κλασμάτων.

Όταν διαιρέσουμε τον αριθμό 6 με 3 / 5, τότε κάνουμε τα εξής:

Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην έκφραση και συγκρίνετε τη με τη δεδομένη: .

Εάν πάρουμε την έκφραση χωριστά, χωρίς σύνδεση με την προηγούμενη, τότε είναι αδύνατο να λύσουμε το ερώτημα από πού προήλθε: από τη διαίρεση του 6 με 3/5 ή από τον πολλαπλασιασμό του 6 με το 5/3. Και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι η διαίρεση ενός αριθμού με έναν άλλο μπορεί να αντικατασταθεί πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Τα παραδείγματα που δίνουμε παρακάτω επιβεβαιώνουν πλήρως αυτό το συμπέρασμα.