Πώς να βρείτε τον παρονομαστή μιας γεωμετρικής προόδου. Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ VI

§ 148. Άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου

Μέχρι τώρα, όταν μιλάμε για αθροίσματα, πάντα υποθέταμε ότι ο αριθμός των όρων σε αυτά τα αθροίσματα είναι πεπερασμένος (για παράδειγμα, 2, 15, 1000 κ.λπ.). Αλλά κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων (ειδικά ανώτερα μαθηματικά) πρέπει να ασχοληθεί κανείς με τα αθροίσματα ενός άπειρου αριθμού όρων

S= ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n + ... . (1)

Ποια είναι αυτά τα ποσά; Α-πριό το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων ένα 1 , ένα 2 , ..., ένα n , ... ονομάζεται όριο του αθροίσματος S n πρώτα Π αριθμοί όταν Π -> ∞ :

S=S n = (ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n ). (2)

Το όριο (2), φυσικά, μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει. Κατά συνέπεια, λένε ότι το άθροισμα (1) υπάρχει ή δεν υπάρχει.

Πώς μπορούμε να μάθουμε εάν το άθροισμα (1) υπάρχει σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση; Κοινή απόφασηΑυτό το ζήτημα υπερβαίνει κατά πολύ το πεδίο του προγράμματός μας. Ωστόσο, υπάρχει ένα σημαντικό ειδική περίπτωση, το οποίο τώρα πρέπει να εξετάσουμε. Θα μιλήσουμε για την άθροιση των όρων μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

Αφήνω ένα 1 , ένα 1 q , ένα 1 q 2, ... είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. Αυτό σημαίνει ότι | q |< 1. Сумма первых Π όροι αυτής της εξέλιξης είναι ίσοι

Από τα κύρια θεωρήματα για τα όρια μεταβλητές(βλ. § 136) έχουμε:

Αλλά 1 = 1, α qn = 0. Επομένως

Άρα, το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τον πρώτο όρο αυτής της προόδου διαιρεμένο με το ένα μείον τον παρονομαστή αυτής της προόδου.

1) Το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ισούται με

και το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου είναι 12. -6; 3; - 3 / 2 , ... ίσα

2) Απλό περιοδικό κλάσμα 0,454545 ... μετατροπή σε συνηθισμένο.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, ας φανταστούμε δεδομένο κλάσμαόπως και άπειρο άθροισμα:

Δεξί μέροςΑυτή η ισότητα είναι το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, ο πρώτος όρος της οποίας είναι ίσος με 45/100 και ο παρονομαστής είναι 1/100. Να γιατί

Χρησιμοποιώντας την περιγραφόμενη μέθοδο, μπορεί επίσης να ληφθεί γενικός κανόναςμετατροπή απλών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα (βλ. Κεφάλαιο II, § 38):

Για να μετατρέψετε ένα απλό περιοδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα, πρέπει να κάνετε τα εξής: βάλτε την περίοδο στον αριθμητή δεκαδικός, και ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός που αποτελείται από εννιά που λαμβάνονται τόσες φορές όσα ψηφία υπάρχουν στην περίοδο του δεκαδικού κλάσματος.

3) Μετατρέψτε το μικτό περιοδικό κλάσμα 0,58333 .... σε συνηθισμένο κλάσμα.

Ας φανταστούμε αυτό το κλάσμα ως ένα άπειρο άθροισμα:

Στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας, όλοι οι όροι, ξεκινώντας από το 3/1000, σχηματίζουν μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, ο πρώτος όρος της οποίας είναι ίσος με 3/1000 και ο παρονομαστής είναι 1/10. Να γιατί

Χρησιμοποιώντας την περιγραφόμενη μέθοδο, μπορεί να ληφθεί ένας γενικός κανόνας για τη μετατροπή μικτών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα (βλ. Κεφάλαιο II, § 38). Δεν το παρουσιάζουμε εσκεμμένα εδώ. Δεν χρειάζεται να θυμάστε αυτόν τον δυσκίνητο κανόνα. Είναι πολύ πιο χρήσιμο να γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε μικτό περιοδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου και ενός ορισμένου αριθμού. Και η φόρμουλα

για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, πρέπει, φυσικά, να θυμάστε.

Ως άσκηση, σας προτείνουμε, εκτός από τα προβλήματα Νο. 995-1000 που δίνονται παρακάτω, να στραφείτε και πάλι στο πρόβλημα Νο. 301 § 38.

Γυμνάσια

995. Τι λέγεται το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου;

996. Βρείτε τα αθροίσματα των απεριόριστα φθίνουσες γεωμετρικές προόδους:

997. Σε ποιες αξίες Χ προχώρηση

μειώνεται απείρως; Βρείτε το άθροισμα μιας τέτοιας προόδου.

998.V ισόπλευρο τρίγωνομε το πλάι ΕΝΑ εγγράφεται ένα νέο τρίγωνο συνδέοντας τα μέσα των πλευρών του. ένα νέο τρίγωνο εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum.

α) το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τριγώνων.

β) το άθροισμα των εκτάσεών τους.

999. Τετράγωνο με πλαϊνό ΕΝΑ εγγράφεται ενώνοντας τα μέσα των πλευρών του νέα πλατεία; ένα τετράγωνο εγγράφεται σε αυτό το τετράγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum. Να βρείτε το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τετραγώνων και το άθροισμα των εμβαδών τους.

1000. Να συνθέσετε μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο έτσι ώστε το άθροισμά της να είναι ίσο με 25/4 και το άθροισμα των τετραγώνων των όρων της να είναι ίσο με 625/24.

Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου, δηλαδή κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά q φορές. (Θα υποθέσουμε ότι q ≠ 1, διαφορετικά όλα είναι πολύ ασήμαντα). Δεν είναι δύσκολο να το δεις αυτό γενικός τύποςνος όρος της γεωμετρικής προόδου b n = b 1 q n – 1 ; Οι όροι με αριθμούς b n και b m διαφέρουν κατά q n – m φορές.

Ήδη μέσα Αρχαία Αίγυπτοςγνώριζε όχι μόνο την αριθμητική, αλλά και τη γεωμετρική πρόοδο. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα πρόβλημα από τον πάπυρο Rhind: «Επτά πρόσωπα έχουν επτά γάτες. Κάθε γάτα τρώει επτά ποντίκια, κάθε ποντίκι τρώει επτά στάχυα και κάθε στάχυ μπορεί να καλλιεργήσει επτά μέτρα κριθαριού. Πόσο μεγάλοι είναι οι αριθμοί αυτής της σειράς και το άθροισμά τους;

Ρύζι. 1. Πρόβλημα γεωμετρικής προόδου της αρχαίας Αιγύπτου

Αυτό το έργο επαναλήφθηκε πολλές φορές με διαφορετικές παραλλαγές μεταξύ άλλων λαών άλλες φορές. Για παράδειγμα, σε γραπτό τον 13ο αιώνα. Το «The Book of the Abacus» του Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι) έχει ένα πρόβλημα στο οποίο εμφανίζονται 7 ηλικιωμένες γυναίκες στο δρόμο τους για τη Ρώμη (προφανώς προσκυνητές), καθεμία από τις οποίες έχει 7 μουλάρια, καθένα από τα οποία έχει 7 σακούλες, καθεμία από τις οποίες περιέχει 7 καρβέλια, το καθένα από τα οποία έχει 7 μαχαίρια, το καθένα από τα οποία έχει 7 θήκες. Το πρόβλημα ρωτά πόσα αντικείμενα υπάρχουν.

Το άθροισμα των πρώτων n όρων της γεωμετρικής προόδου S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Αυτός ο τύπος μπορεί να αποδειχθεί, για παράδειγμα, ως εξής: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Προσθέστε τον αριθμό b 1 q n στο S n και λάβετε:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Από εδώ S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), και παίρνουμε τον απαραίτητο τύπο.

Ήδη σε μια από τις πήλινες πλάκες Αρχαία Βαβυλώναχρονολογείται στον 6ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε., περιέχει το άθροισμα 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Είναι αλήθεια, όπως σε πολλές άλλες περιπτώσεις, δεν γνωρίζουμε πώς αυτό το γεγονός ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους .

Η ταχεία αύξηση της γεωμετρικής προόδου σε έναν αριθμό πολιτισμών, ιδιαίτερα στον Ινδικό, χρησιμοποιείται επανειλημμένα ως οπτικό σύμβολο της απεραντοσύνης του σύμπαντος. Στον διάσημο μύθο για την εμφάνιση του σκακιού, ο ηγεμόνας δίνει στον εφευρέτη του την ευκαιρία να επιλέξει μόνος του την ανταμοιβή και ζητά τον αριθμό των κόκκων σιταριού που θα προκύψουν αν τοποθετηθεί ένας στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, δύο στο η δεύτερη, τέσσερις στην τρίτη, οκτώ στην τέταρτη κ.λπ., κάθε φορά που ο αριθμός διπλασιάζεται. Ο Vladyka νόμιζε ότι το πολύ μιλούσαμε για μερικές τσάντες, αλλά δεν υπολόγισε σωστά. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι και για τα 64 τετράγωνα της σκακιέρας ο εφευρέτης θα έπρεπε να λάβει (2 64 - 1) κόκκους, που εκφράζεται ως 20ψήφιος αριθμός. ακόμα κι αν σπείρετε ολόκληρη την επιφάνεια της Γης, θα χρειαστούν τουλάχιστον 8 χρόνια για να συλλεχθεί απαιτούμενο ποσόδημητριακά Αυτός ο θρύλος μερικές φορές ερμηνεύεται ότι υποδεικνύει τις ουσιαστικά απεριόριστες δυνατότητες που κρύβονται στο παιχνίδι του σκακιού.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτός ο αριθμός είναι πραγματικά 20ψήφιος:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (ένας πιο ακριβής υπολογισμός δίνει 1,84∙10 19). Αλλά αναρωτιέμαι αν μπορείτε να μάθετε με ποιο ψηφίο τελειώνει αυτός ο αριθμός;

Γεωμετρική πρόοδοςΜπορεί να αυξάνεται εάν ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος από 1 σε απόλυτη τιμή ή να μειώνεται εάν είναι μικρότερος από ένα. ΣΕ η τελευταία περίπτωσηο αριθμός q n για αρκετά μεγάλο n μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρός. Ενώ η αυξανόμενη γεωμετρική πρόοδος αυξάνεται απροσδόκητα γρήγορα, η φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μειώνεται εξίσου γρήγορα.

Όσο μεγαλύτερο είναι το n, τόσο πιο αδύναμος ο αριθμός q n διαφέρει από το μηδέν και τόσο πιο κοντά είναι το άθροισμα των n όρων της γεωμετρικής προόδου S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) στον αριθμό S = b 1 / ( 1 – q). (Για παράδειγμα, ο F. Viet συλλογίστηκε έτσι). Ο αριθμός S ονομάζεται το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Ωστόσο, για πολλούς αιώνες το ερώτημα για το ποιο είναι το νόημα της άθροισης ΟΛΟΚΛΗΡΗΣ της γεωμετρικής προόδου, με τον άπειρο αριθμό όρων της, δεν ήταν αρκετά σαφές στους μαθηματικούς.

Μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μπορεί να φανεί, για παράδειγμα, στις αποριές του Ζήνωνα «Half Division» και «Achilles and the Tortoise». Στην πρώτη περίπτωση, φαίνεται ξεκάθαρα ότι ολόκληρος ο δρόμος (υποθέτοντας μήκος 1) είναι το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού τμημάτων 1/2, 1/4, 1/8 κ.λπ. Αυτό είναι, φυσικά, αυτό που είναι από την άποψη των ιδεών για τελικό ποσόάπειρη γεωμετρική πρόοδος. Και όμως - πώς μπορεί να είναι αυτό;

Ρύζι. 2. Πρόοδος με συντελεστή 1/2

Στην απορία για τον Αχιλλέα, η κατάσταση είναι λίγο πιο περίπλοκη, γιατί εδώ ο παρονομαστής της προόδου δεν είναι το 1/2, αλλά κάποιος άλλος αριθμός. Έστω, για παράδειγμα, ο Αχιλλέας να τρέξει με ταχύτητα v, η χελώνα κινείται με ταχύτητα u και η αρχική απόσταση μεταξύ τους είναι l. Ο Αχιλλέας θα διανύσει αυτή την απόσταση σε χρόνο l/v, και κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου η χελώνα θα μετακινηθεί μια απόσταση lu/v. Όταν ο Αχιλλέας τρέξει αυτό το τμήμα, η απόσταση μεταξύ αυτού και της χελώνας θα γίνει ίση με l (u /v) 2, κ.λπ. Αποδεικνύεται ότι το να φτάσουμε στη χελώνα σημαίνει να βρούμε το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με τον πρώτο όρο l και ο παρονομαστής u /v. Αυτό το άθροισμα - το τμήμα που θα τρέξει τελικά ο Αχιλλέας στον τόπο συνάντησης με τη χελώνα - είναι ίσο με l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Αλλά, και πάλι, πώς να ερμηνευτεί αυτό το αποτέλεσμα και γιατί έχει κανένα νόημα δεν ήταν πολύ σαφές για πολύ καιρό.

Ρύζι. 3. Γεωμετρική πρόοδος με συντελεστή 2/3

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου για να προσδιορίσει το εμβαδόν ενός τμήματος παραβολής. Έστω αυτό το τμήμα της παραβολής να οριοθετηθεί από τη χορδή ΑΒ και έστω η εφαπτομένη στο σημείο Δ της παραβολής παράλληλη προς την ΑΒ. Έστω C το μέσο του AB, E το μέσο του AC, F το μέσο του CB. Ας τραβήξουμε ευθείες παράλληλες στο DC μέσω των σημείων A, E, F, B. Έστω η εφαπτομένη που σχεδιάζεται στο σημείο D τέμνει αυτές τις ευθείες στα σημεία K, L, M, N. Ας σχεδιάσουμε επίσης τμήματα AD και DB. Έστω η ευθεία EL τέμνει την ευθεία AD στο σημείο G και την παραβολή στο σημείο H. Η γραμμή FM τέμνει τη γραμμή DB στο σημείο Q και την παραβολή στο σημείο R. Σύμφωνα με γενική θεωρίακωνικές τομές, DC – διάμετρος της παραβολής (δηλαδή τμήμα παράλληλο προς τον άξονά της). αυτό και η εφαπτομένη στο σημείο D μπορούν να χρησιμεύσουν ως άξονες συντεταγμένων x και y, στους οποίους η εξίσωση της παραβολής γράφεται ως y 2 = 2px (x είναι η απόσταση από το D σε οποιοδήποτε σημείο μιας δεδομένης διαμέτρου, y είναι το μήκος του ένα τμήμα παράλληλο σε μια δεδομένη εφαπτομένη από αυτό το σημείο διαμέτρου σε κάποιο σημείο της ίδιας της παραβολής).

Δυνάμει της εξίσωσης της παραβολής, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, και αφού DK = 2DL, τότε KA = 4LH. Επειδή KA = 2LG, LH = HG. Το εμβαδόν του τμήματος ADB μιας παραβολής είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ΔADB και τις περιοχές των τμημάτων AHD και DRB μαζί. Με τη σειρά του, η περιοχή του τμήματος AHD είναι παρόμοια με την περιοχή του τριγώνου AHD και τα υπόλοιπα τμήματα AH και HD, με καθένα από τα οποία μπορείτε να εκτελέσετε την ίδια λειτουργία - χωριστείτε σε τρίγωνο (Δ) και τα δύο υπόλοιπα τμήματα (), κ.λπ.:

Το εμβαδόν του τριγώνου ΔAHD είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τριγώνου ΔALD (έχουν κοινά σημείαμ.Χ., και τα ύψη διαφέρουν κατά συντελεστή 2), το οποίο, με τη σειρά του, είναι ίσο με το μισό εμβαδόν του τριγώνου ΔAKD, και επομένως το μισό του εμβαδού του τριγώνου ΔACD. Έτσι, το εμβαδόν του τριγώνου ΔAHD είναι ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ΔACD. Ομοίως, το εμβαδόν του τριγώνου ΔDRB είναι ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ΔDFB. Έτσι, τα εμβαδά των τριγώνων ΔAHD και ΔDRB, λαμβανόμενα μαζί, είναι ίσα με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ΔADB. Η επανάληψη αυτής της λειτουργίας όταν εφαρμόζεται στα τμήματα AH, HD, DR και RB θα επιλέξει τρίγωνα από αυτά, το εμβαδόν των οποίων, συνολικά, θα είναι 4 φορές μικρότερο από το εμβαδόν των τριγώνων ΔAHD και ΔDRB, μαζί και επομένως 16 φορές μικρότερο, από το εμβαδόν του τριγώνου ΔADB. Και ούτω καθεξής:

Έτσι, ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι «κάθε τμήμα που περιέχεται μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και μιας παραβολής αποτελεί τα τέσσερα τρίτα ενός τριγώνου που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος».

>>Μαθηματικά: Γεωμετρική πρόοδος

Για τη διευκόλυνση του αναγνώστη, αυτή η παράγραφος είναι κατασκευασμένη ακριβώς σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο που ακολουθήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο.

1. Βασικές έννοιες.

Ορισμός.Μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας όλοι οι όροι είναι διαφορετικοί από το 0 και κάθε όρος της οποίας, ξεκινώντας από τον δεύτερο, προκύπτει από τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιάζοντάς τον με τον ίδιο αριθμό, ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός 5 ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Έτσι, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία (b n) που ορίζεται επαναλαμβανόμενα από τις σχέσεις

Είναι δυνατόν να δούμε μια αριθμητική ακολουθία και να προσδιορίσουμε αν πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο; Μπορώ. Εάν είστε πεπεισμένοι ότι ο λόγος οποιουδήποτε μέλους της ακολουθίας προς το προηγούμενο μέλος είναι σταθερός, τότε έχετε μια γεωμετρική πρόοδο.
Παράδειγμα 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Παράδειγμα 2.

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος που έχει
Παράδειγμα 3.

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος που έχει
Παράδειγμα 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία b 1 - 8, q = 1.

Σημειώστε ότι αυτή η ακολουθία είναι επίσης μια αριθμητική πρόοδος (βλ. παράδειγμα 3 από § 15).

Παράδειγμα 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία b 1 = 2, q = -1.

Προφανώς, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αύξουσα ακολουθία εάν b 1 > 0, q > 1 (βλ. παράδειγμα 1) και μια φθίνουσα ακολουθία εάν b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Για να υποδείξετε ότι η ακολουθία (b n) είναι μια γεωμετρική πρόοδος, μερικές φορές είναι βολικό ο ακόλουθος συμβολισμός:

Το εικονίδιο αντικαθιστά τη φράση "γεωμετρική πρόοδος".
Ας σημειώσουμε μια περίεργη και ταυτόχρονα προφανή ιδιότητα της γεωμετρικής προόδου:
Αν η ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος, τότε η ακολουθία των τετραγώνων, δηλ. είναι μια γεωμετρική πρόοδος.
Στη δεύτερη γεωμετρική πρόοδο, ο πρώτος όρος είναι ίσος και ίσος με q 2.
Εάν σε μια γεωμετρική πρόοδο απορρίψουμε όλους τους όρους που ακολουθούν το b n , παίρνουμε μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδο
Σε περαιτέρω παραγράφους αυτής της παραγράφου θα εξετάσουμε τα περισσότερα σημαντικές ιδιότητεςγεωμετρική πρόοδος.

2. Τύπος για τον ένατο όρο μιας γεωμετρικής προόδου.

Εξετάστε μια γεωμετρική πρόοδο παρονομαστής q. Εχουμε:

Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι για οποιονδήποτε αριθμό n η ισότητα ισχύει

Αυτός είναι ο τύπος για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου.

Σχόλιο.

Αν διαβάζεις σημαντική σημείωσηαπό την προηγούμενη παράγραφο και κατανοήστε το, στη συνέχεια προσπαθήστε να αποδείξετε τον τύπο (1) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μαθηματική επαγωγήπαρόμοιο με αυτό που έγινε για τον τύπο του nου όρου αριθμητική πρόοδος.

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο για τον nο όρο της γεωμετρικής προόδου

και εισάγουμε τον συμβολισμό: Παίρνουμε y = mq 2, ή, πιο αναλυτικά,
Το όρισμα x περιέχεται στον εκθέτη, επομένως αυτή η συνάρτηση ονομάζεται εκθετική συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι μια γεωμετρική πρόοδος μπορεί να θεωρηθεί ως μια εκθετική συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο N των φυσικών αριθμών. Στο Σχ. Το 96α δείχνει το γράφημα της συνάρτησης Σχ. 966 - γράφημα συνάρτησης Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε απομονωμένα σημεία(με τετμημένα x = 1, x = 2, x = 3, κ.λπ.) που βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη καμπύλη (και τα δύο σχήματα δείχνουν την ίδια καμπύλη, μόνο διαφορετικά τοποθετημένα και απεικονισμένα σε διαφορετικές κλίμακες). Αυτή η καμπύλη ονομάζεται εκθετική καμπύλη. Διαβάστε περισσότερα για εκθετικη συναρτησηκαι το πρόγραμμά της θα μιλήσουμεστο μάθημα άλγεβρας της 11ης τάξης.

Ας επιστρέψουμε στα παραδείγματα 1-5 από την προηγούμενη παράγραφο.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος για την οποία b 1 = 1, q = 3. Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον nο όρο
2) Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος για την οποία Ας δημιουργήσουμε έναν τύπο για τον nο όρο

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος που έχει Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον nο όρο
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος για την οποία b 1 = 8, q = 1. Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον ν ο όρο
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία b 1 = 2, q = -1. Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον nο όρο

Παράδειγμα 6.

Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος

Σε όλες τις περιπτώσεις, η λύση βασίζεται στον τύπο του ντος όρου της γεωμετρικής προόδου

α) Βάζοντας n = 6 στον τύπο για τον nο όρο της γεωμετρικής προόδου, παίρνουμε

β) Έχουμε

Αφού 512 = 2 9, παίρνουμε n - 1 = 9, n = 10.

δ) Έχουμε

Παράδειγμα 7.

Η διαφορά μεταξύ του έβδομου και του πέμπτου όρου της γεωμετρικής προόδου είναι 48, το άθροισμα του πέμπτου και του έκτου όρου της προόδου είναι επίσης 48. Βρείτε τον δωδέκατο όρο αυτής της προόδου.

Πρώτο στάδιο.Σχεδιάζοντας ένα μαθηματικό μοντέλο.

Οι συνθήκες του προβλήματος μπορούν να γραφτούν εν συντομία ως εξής:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου, παίρνουμε:
Τότε η δεύτερη συνθήκη του προβλήματος (b 7 - b 5 = 48) μπορεί να γραφτεί ως

Η τρίτη συνθήκη του προβλήματος (b 5 + b 6 = 48) μπορεί να γραφτεί ως

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές b 1 και q:

που, σε συνδυασμό με την προϋπόθεση 1) που γράφτηκε παραπάνω, είναι μαθηματικό μοντέλοκαθήκοντα.

Δεύτερη φάση.

Εργασία με το μεταγλωττισμένο μοντέλο. Εξισώνοντας τις αριστερές πλευρές και των δύο εξισώσεων του συστήματος, παίρνουμε:

(διαιρέσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τη μη μηδενική έκφραση b 1 q 4).

Από την εξίσωση q 2 - q - 2 = 0 βρίσκουμε q 1 = 2, q 2 = -1. Αντικαθιστώντας την τιμή q = 2 στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, παίρνουμε
Αντικαθιστώντας την τιμή q = -1 στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, λαμβάνουμε b 1 1 0 = 48; αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Άρα, b 1 =1, q = 2 - αυτό το ζεύγος είναι η λύση στο μεταγλωττισμένο σύστημα εξισώσεων.

Τώρα μπορούμε να γράψουμε τη γεωμετρική πρόοδο για την οποία μιλάμε γιαστο πρόβλημα: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Τρίτο στάδιο.

Απάντηση στην προβληματική ερώτηση. Πρέπει να υπολογίσετε το b 12. Εχουμε

Απάντηση: b 12 = 2048.

3. Τύπος για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου.

Ας δοθεί μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

Ας συμβολίσουμε με S n το άθροισμα των όρων του, δηλ.

Ας εξαγάγουμε έναν τύπο για την εύρεση αυτού του ποσού.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή απλή υπόθεση, όταν q = 1. Τότε η γεωμετρική πρόοδος b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn αποτελείται από n αριθμούς ίσους με b 1 , δηλ. η εξέλιξη μοιάζει με b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Το άθροισμα αυτών των αριθμών είναι nb 1.

Έστω τώρα q = 1 Για να βρούμε το S n, εφαρμόζουμε μια τεχνητή τεχνική: εκτελούμε μερικούς μετασχηματισμούς της έκφρασης S n q. Εχουμε:

Κατά την εκτέλεση μετασχηματισμών, χρησιμοποιήσαμε πρώτα τον ορισμό μιας γεωμετρικής προόδου, σύμφωνα με τον οποίο (δείτε την τρίτη γραμμή συλλογισμού). δεύτερον, πρόσθεσαν και αφαίρεσαν, γι' αυτό και το νόημα της έκφρασης, φυσικά, δεν άλλαξε (βλ. τέταρτη γραμμή συλλογισμού). Τρίτον, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τον ένατο όρο μιας γεωμετρικής προόδου:

Από τον τύπο (1) βρίσκουμε:

Αυτός είναι ο τύπος για το άθροισμα των n όρων μιας γεωμετρικής προόδου (για την περίπτωση που q = 1).

Παράδειγμα 8.

Δίνεται μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

α) το άθροισμα των όρων της προόδου· β) το άθροισμα των τετραγώνων των όρων του.

β) Παραπάνω (βλ. σελ. 132) έχουμε ήδη σημειώσει ότι αν όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου είναι τετράγωνοι, τότε παίρνουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο b 2 και τον παρονομαστή q 2. Στη συνέχεια, το άθροισμα των έξι όρων της νέας προόδου θα υπολογιστεί με

Παράδειγμα 9.

Να βρείτε τον 8ο όρο της γεωμετρικής προόδου για τον οποίο

Στην πραγματικότητα, έχουμε αποδείξει το ακόλουθο θεώρημα.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν το τετράγωνο κάθε όρου της, εκτός από το πρώτο Θεώρημα (και το τελευταίο, στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με το γινόμενο των προηγούμενων και των επόμενων όρων ( μια χαρακτηριστική ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου).

Ας εξετάσουμε τώρα το ζήτημα της άθροισης μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου. Ας ονομάσουμε το μερικό άθροισμα μιας δεδομένης άπειρης προόδου άθροισμα των πρώτων όρων της. Ας υποδηλώσουμε το μερικό άθροισμα με το σύμβολο

Για κάθε άπειρη εξέλιξη

μπορεί κανείς να συνθέσει μια (επίσης άπειρη) ακολουθία των μερικών της αθροισμάτων

Ας έχει ένα όριο μια ακολουθία με απεριόριστη αύξηση

Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός S, δηλαδή το όριο των μερικών αθροισμάτων μιας προόδου, ονομάζεται άθροισμα μιας άπειρης προόδου. Θα αποδείξουμε ότι μια άπειρη φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος έχει πάντα ένα άθροισμα και θα εξαγάγουμε έναν τύπο για αυτό το άθροισμα (μπορούμε επίσης να δείξουμε ότι αν μια άπειρη πρόοδος δεν έχει άθροισμα, δεν υπάρχει).

Ας γράψουμε την έκφραση για το μερικό άθροισμα ως το άθροισμα των όρων της προόδου σύμφωνα με τον τύπο (91.1) και ας θεωρήσουμε το όριο του μερικού αθροίσματος στο

Από το Θεώρημα 89 είναι γνωστό ότι για μια φθίνουσα πρόοδο; Επομένως, εφαρμόζοντας το θεώρημα ορίου διαφοράς, βρίσκουμε

(εδώ χρησιμοποιείται επίσης ο κανόνας: ο σταθερός παράγοντας λαμβάνεται πέρα ​​από το οριακό πρόσημο). Η ύπαρξη αποδεικνύεται και ταυτόχρονα προκύπτει ο τύπος για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου:

Η ισότητα (92.1) μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα

Μπορεί εδώ να φαίνεται παράδοξο ότι το ποσό άπειρος αριθμόςΣτους όρους αποδίδεται μια πολύ συγκεκριμένη τελική τιμή.

Μπορεί να δοθεί μια σαφής απεικόνιση για να εξηγηθεί αυτή η κατάσταση. Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά ίσο με ένα(Εικ. 72). Χωρίστε αυτό το τετράγωνο με μια οριζόντια γραμμή σε δύο ίσα μέρη και πάνω μέροςΕφαρμόστε το στο κάτω μέρος έτσι ώστε να σχηματιστεί ένα παραλληλόγραμμο με τις πλευρές 2 και . Μετά από αυτό, θα χωρίσουμε ξανά το δεξί μισό αυτού του παραλληλογράμμου στη μέση με μια οριζόντια γραμμή και θα συνδέσουμε το πάνω μέρος στο κάτω (όπως φαίνεται στο Σχ. 72). Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, μεταμορφωνόμαστε συνεχώς πρωτότυπο τετράγωνομε εμβαδόν ίσο με 1, σε φιγούρες ίσου μεγέθους (που παίρνει τη μορφή σκάλας με αραιωτικά σκαλοπάτια).

Με την άπειρη συνέχιση αυτής της διαδικασίας, ολόκληρη η περιοχή του τετραγώνου αποσυντίθεται σε έναν άπειρο αριθμό όρων - τα εμβαδά των ορθογωνίων με βάσεις ίσες με 1 και ύψη Τα εμβαδά των ορθογωνίων σχηματίζουν ακριβώς μια άπειρη φθίνουσα πρόοδο, το άθροισμά της

δηλαδή, όπως θα περίμενε κανείς, ίσο με το εμβαδόν της πλατείας.

Παράδειγμα. Βρείτε τα αθροίσματα των παρακάτω άπειρων προόδων:

Λύση, α) Παρατηρούμε ότι αυτή η πρόοδος Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο (92.2) βρίσκουμε

β) Εδώ σημαίνει ότι χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο (92.2) έχουμε

γ) Διαπιστώνουμε ότι αυτή η πρόοδος επομένως δεν έχει άθροισμα.

Στην παράγραφο 5, παρουσιάστηκε η εφαρμογή του τύπου για το άθροισμα των όρων μιας απείρως φθίνουσας προόδου στη μετατροπή ενός περιοδικού δεκαδικού κλάσματος σε ένα συνηθισμένο κλάσμα.

Γυμνάσια

1. Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι 3/5 και το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι 13/27. Βρείτε τον πρώτο όρο και τον παρονομαστή της προόδου.

2. Βρείτε τέσσερις αριθμούς που σχηματίζουν μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδο, στους οποίους ο δεύτερος όρος είναι μικρότερος από τον πρώτο κατά 35 και ο τρίτος είναι μεγαλύτερος από τον τέταρτο κατά 560.

3. Δείξτε ότι αν η ακολουθία

σχηματίζει μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο και μετά την ακολουθία

για οποιοδήποτε, σχηματίζει μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Θα ισχύει αυτή η δήλωση όταν

Να εξάγετε τύπο για το γινόμενο των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.

Τα μαθηματικά είναι αυτόοι άνθρωποι ελέγχουν τη φύση και τον εαυτό τους.

Ο Σοβιετικός μαθηματικός, ακαδημαϊκός A.N. Κολμογκόροφ

Γεωμετρική πρόοδος.

Μαζί με τα προβλήματα στις αριθμητικές προόδους, προβλήματα που σχετίζονται με την έννοια της γεωμετρικής προόδου είναι επίσης κοινά στις εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά. Για επιτυχημένη λύσηΤέτοια προβλήματα απαιτούν γνώση των ιδιοτήτων των γεωμετρικών προόδων και καλές δεξιότητες στη χρήση τους.

Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων της γεωμετρικής προόδου. Παραδείγματα επίλυσης τυπικών προβλημάτων παρέχονται επίσης εδώ., δανείστηκε από τα καθήκοντα των εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά.

Ας σημειώσουμε πρώτα βασικές ιδιότητεςγεωμετρική πρόοδο και ανάκληση τα περισσότερα σημαντικές φόρμουλεςκαι δηλώσεις, συνδέονται με αυτή την έννοια.

Ορισμός.Μια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος εάν κάθε αριθμός, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Για γεωμετρική πρόοδοοι τύποι ισχύουν

, (1)

Οπου . Ο τύπος (1) ονομάζεται τύπος του γενικού όρου μιας γεωμετρικής προόδου και ο τύπος (2) αντιπροσωπεύει την κύρια ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου: κάθε όρος της προόδου συμπίπτει με τον γεωμετρικό μέσο όρο των γειτονικών όρων του και .

Σημείωση, ότι ακριβώς λόγω αυτής της ιδιότητας η εν λόγω εξέλιξη ονομάζεται «γεωμετρική».

Οι παραπάνω τύποι (1) και (2) γενικεύονται ως εξής:

, (3)

Για να υπολογίσετε το ποσόπρώτα όρους γεωμετρικής προόδουισχύει ο τύπος

Αν δηλώνουμε , τότε

Οπου . Επειδή , ο τύπος (6) είναι μια γενίκευση του τύπου (5).

Στην περίπτωση που και γεωμετρική πρόοδοςμειώνεται απείρως. Για να υπολογίσετε το ποσόγια όλους τους όρους μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, χρησιμοποιείται ο τύπος

. (7)

Για παράδειγμα , χρησιμοποιώντας τον τύπο (7) μπορούμε να δείξουμε, Τι

Οπου . Αυτές οι ισότητες λαμβάνονται από τον τύπο (7) υπό την προϋπόθεση ότι , (πρώτη ισότητα) και , (δεύτερη ισότητα).

Θεώρημα.Αν τότε

Απόδειξη. Αν τότε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων στο θέμα «Γεωμετρική πρόοδος».

Παράδειγμα 1.Δίνονται: , και . Εύρημα .

Λύση.Αν εφαρμόσουμε τον τύπο (5), τότε

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2.Ας είναι. Εύρημα .

Λύση.Αφού και , χρησιμοποιούμε τους τύπους (5), (6) και παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Αν η δεύτερη εξίσωση του συστήματος (9) διαιρεθεί με την πρώτη, τότε ή . Από αυτό προκύπτει ότι . Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.

1. Εάν, τότε από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (9) έχουμε.

2. Εάν , τότε .

Παράδειγμα 3.Αφήστε , και . Εύρημα .

Λύση.Από τον τύπο (2) προκύπτει ότι ή . Από τότε ή .

Κατά συνθήκη. Ωστόσο, επομένως. Αφού και τότε εδώ έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Εάν η δεύτερη εξίσωση του συστήματος διαιρεθεί με την πρώτη, τότε ή .

Επειδή, η εξίσωση έχει μια μοναδική κατάλληλη ρίζα. Στην περίπτωση αυτή, προκύπτει από την πρώτη εξίσωση του συστήματος.

Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (7), παίρνουμε.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4.Δεδομένα: και . Εύρημα .

Λύση.Από τότε.

Από τότε ή

Σύμφωνα με τον τύπο (2) έχουμε . Από την άποψη αυτή, από την ισότητα (10) λαμβάνουμε ή .

Ωστόσο, κατά συνθήκη, επομένως.

Παράδειγμα 5.Είναι γνωστό ότι . Εύρημα .

Λύση. Σύμφωνα με το θεώρημα, έχουμε δύο ισότητες

Από τότε ή . Γιατί, λοιπόν.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 6.Δεδομένα: και . Εύρημα .

Λύση.Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (5), παίρνουμε

Από τότε. Από , και , τότε .

Παράδειγμα 7.Ας είναι. Εύρημα .

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (1) μπορούμε να γράψουμε

Επομένως, έχουμε ή . Είναι γνωστό ότι και , επομένως και .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 8.Βρείτε τον παρονομαστή μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου αν

Και .

Λύση. Από τον τύπο (7) προκύπτειΚαι . Από εδώ και από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων

Αν η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι τετράγωνο, και μετά διαιρέστε την εξίσωση που προκύπτει με τη δεύτερη εξίσωση, τότε παίρνουμε

Ή .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 9.Βρείτε όλες τις τιμές για τις οποίες η ακολουθία , , είναι γεωμετρική πρόοδος.

Λύση.Αφήστε , και . Σύμφωνα με τον τύπο (2), που ορίζει την κύρια ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου, μπορούμε να γράψουμε ή .

Από εδώ παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση, του οποίου οι ρίζες είναιΚαι .

Ας ελέγξουμε: αν, τότε , και ; αν , τότε , και .

Στην πρώτη περίπτωση έχουμεκαι , και στο δεύτερο – και .

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 10.Λύστε την εξίσωση

, (11)

πού και .

Λύση. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (11) είναι το άθροισμα μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, στην οποία και , με την επιφύλαξη: και .

Από τον τύπο (7) προκύπτει, Τι . Από αυτή την άποψη, η εξίσωση (11) παίρνει τη μορφήή . Κατάλληλη ρίζα τετραγωνική εξίσωσηείναι

Απάντηση: .

Παράδειγμα 11.Π συνοχή θετικούς αριθμούς σχηματίζει μια αριθμητική πρόοδο, ΕΝΑ – γεωμετρική πρόοδος, τι σχέση έχει . Εύρημα .

Λύση.Επειδή αριθμητική ακολουθία, Οτι (η κύρια ιδιότητα της αριθμητικής προόδου). Επειδή η, τότε ή . Αυτό υπονοεί , ότι η γεωμετρική πρόοδος έχει τη μορφή. Σύμφωνα με τον τύπο (2), τότε το γράφουμε.

Από και τότε . Στην περίπτωση αυτή η έκφρασηπαίρνει τη μορφή ή . Κατά συνθήκη, έτσι από την Εξ.λαμβάνουμε μια μοναδική λύση στο υπό εξέταση πρόβλημα, δηλ. .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 12.Υπολογίστε το άθροισμα

. (12)

Λύση. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (12) επί 5 και πάρουμε

Αν αφαιρέσουμε το (12) από την παράσταση που προκύπτει, Οτι

ή .

Για να υπολογίσουμε, αντικαθιστούμε τις τιμές στον τύπο (7) και παίρνουμε . Από τότε.

Απάντηση: .

Τα παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που δίνονται εδώ θα είναι χρήσιμα στους αιτούντες κατά την προετοιμασία τους εισαγωγικές εξετάσεις. Για μια βαθύτερη μελέτη των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων, που σχετίζονται με τη γεωμετρική πρόοδο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί διδακτικά βοηθήματααπό τη λίστα της προτεινόμενης βιβλιογραφίας.

1. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους στα κολέγια / Εκδ. ΜΙ. Σκανάβι. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 σελ.

2. Suprun V.P. Μαθηματικά για μαθητές γυμνασίου: επιπλέον ενότητες σχολικό πρόγραμμα σπουδών. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 σελ.

3. Medynsky M.M. Πλήρες μάθημαστοιχειώδη μαθηματικά σε προβλήματα και ασκήσεις. Βιβλίο 2: Ακολουθίες αριθμώνκαι την εξέλιξη. – Μ.: Editus, 2015. – 208 σελ.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις;

Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.

ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.