Πώς να υπολογίσετε τον μέσο όρο των αριθμών στο Excel

Μπορείτε να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών στο Excel χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση.

Σύνταξη ΜΕΣΟΣ

=AVERAGE(αριθμός1,[αριθμός2],…) - Ρωσική έκδοση

Επιχειρήματα ΜΕΣΟΣ

• νούμερο 1- τον πρώτο αριθμό ή εύρος αριθμών, για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου.
• νούμερο 2(Προαιρετικό) – δεύτερος αριθμός ή εύρος αριθμών για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου. Ο μέγιστος αριθμός ορισμάτων συνάρτησης είναι 255.

Για να υπολογίσετε, κάντε τα ακόλουθα βήματα:

• Επιλέξτε οποιοδήποτε κελί.
• Γράψτε έναν τύπο σε αυτό =ΜΕΣΟΣ(
• Επιλέξτε το εύρος των κελιών για τα οποία θέλετε να κάνετε έναν υπολογισμό.
• Πατήστε το πλήκτρο "Enter" στο πληκτρολόγιο

Η συνάρτηση θα υπολογίσει τη μέση τιμή στο καθορισμένο εύρος μεταξύ των κελιών που περιέχουν αριθμούς.

Πώς να βρείτε τη μέση τιμή δεδομένου κειμένου

Εάν υπάρχουν κενές γραμμές ή κείμενο στην περιοχή δεδομένων, τότε η συνάρτηση τις αντιμετωπίζει ως "μηδέν". Εάν υπάρχουν λογικές εκφράσεις FALSE ή TRUE μεταξύ των δεδομένων, τότε η συνάρτηση αντιλαμβάνεται FALSE ως "μηδέν" και TRUE ως "1".

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο ανά συνθήκη

Η συνάρτηση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μέσου όρου με βάση μια συνθήκη ή κριτήριο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε δεδομένα πωλήσεων προϊόντων:

Το καθήκον μας είναι να υπολογίσουμε τις μέσες πωλήσεις στυλό. Για να το κάνουμε αυτό, θα κάνουμε τα εξής βήματα:

• Σε ένα κελί Α13γράψτε το όνομα του προϊόντος "Πένα"·
• Σε ένα κελί Β13ας εισάγουμε τον τύπο:

=AVERAGEIF(A2:A10,A13,B2:B10)

Εύρος κυττάρων " Α2: Α10” δείχνει τη λίστα των προϊόντων στην οποία θα αναζητήσουμε τη λέξη “Πένα”. Διαφωνία Α13αυτός είναι ένας σύνδεσμος προς ένα κελί με κείμενο που θα αναζητήσουμε σε ολόκληρη τη λίστα προϊόντων. Εύρος κυττάρων " Β2:Β10” είναι ένα εύρος με δεδομένα πωλήσεων προϊόντων, μεταξύ των οποίων η συνάρτηση θα βρει το “Πένα” και θα υπολογίσει τη μέση τιμή.

Προκειμένου να αναλυθούν και να ληφθούν στατιστικά συμπεράσματα σχετικά με το αποτέλεσμα της περίληψης και της ομαδοποίησης, υπολογίζονται γενικοί δείκτες - μέσες και σχετικές τιμές.

Το πρόβλημα των μέσων όρων - να χαρακτηρίζει όλες τις μονάδες του στατιστικού πληθυσμού με μία τιμή του χαρακτηριστικού.

Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν τους ποιοτικούς δείκτες της επιχειρηματικής δραστηριότητας: κόστος διανομής, κέρδος, κερδοφορία κ.λπ.

μέση αξία- αυτό είναι ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό των μονάδων του πληθυσμού σύμφωνα με κάποιο διαφορετικό χαρακτηριστικό.

Οι μέσες τιμές καθιστούν δυνατή τη σύγκριση των επιπέδων του ίδιου χαρακτηριστικού σε διαφορετικούς πληθυσμούς και την εύρεση των αιτιών για αυτές τις αποκλίσεις.

Στην ανάλυση των υπό μελέτη φαινομένων, ο ρόλος των μέσων τιμών είναι τεράστιος. Ο Άγγλος οικονομολόγος W. Petty (1623-1687) έκανε εκτενή χρήση των μέσων όρων. Ο V. Petty ήθελε να χρησιμοποιήσει τις μέσες τιμές ως μέτρο του κόστους των δαπανών για τη μέση ημερήσια διαβίωση ενός εργάτη. Η σταθερότητα της μέσης τιμής είναι μια αντανάκλαση των προτύπων των υπό μελέτη διαδικασιών. Πίστευε ότι οι πληροφορίες μπορούν να μετασχηματιστούν ακόμη και αν δεν υπάρχουν αρκετά αρχικά δεδομένα.

Ο Άγγλος επιστήμονας G. King (1648-1712) χρησιμοποίησε μέσες και σχετικές τιμές κατά την ανάλυση δεδομένων για τον πληθυσμό της Αγγλίας.

Οι θεωρητικές εξελίξεις του Βέλγου στατιστικολόγου A. Quetelet (1796-1874) βασίζονται στην ασυνέπεια της φύσης των κοινωνικών φαινομένων - εξαιρετικά σταθερά στη μάζα, αλλά καθαρά ατομικά.

Σύμφωνα με τον A. Quetelet, οι μόνιμες αιτίες δρουν με τον ίδιο τρόπο σε κάθε φαινόμενο υπό μελέτη και κάνουν αυτά τα φαινόμενα παρόμοια μεταξύ τους, δημιουργούν μοτίβα κοινά σε όλα.

Συνέπεια των διδασκαλιών του A. Quetelet ήταν η κατανομή των μέσων τιμών ως η κύρια μέθοδος στατιστικής ανάλυσης. Είπε ότι οι στατιστικοί μέσοι όροι δεν είναι κατηγορία αντικειμενικής πραγματικότητας.

Ο A. Quetelet εξέφρασε τις απόψεις του για τον μέσο όρο στη θεωρία του για τον μέσο άνθρωπο. Ένας μέσος άνθρωπος είναι ένα άτομο που έχει όλα τα χαρακτηριστικά σε ένα μέσο μέγεθος (μέση θνησιμότητα ή ποσοστό γεννήσεων, μέσο ύψος και βάρος, μέση ταχύτητα τρεξίματος, μέση τάση για γάμο και αυτοκτονία, για καλές πράξεις κ.λπ.). Για τον A. Quetelet, ο μέσος άνθρωπος είναι το ιδανικό ενός ανθρώπου. Η ασυνέπεια της θεωρίας του A. Quetelet για τον μέσο άνθρωπο αποδείχθηκε στη ρωσική στατιστική βιβλιογραφία στα τέλη του 19ου-20ου αιώνα.

Ο διάσημος Ρώσος στατιστικολόγος Yu. E. Yanson (1835-1893) έγραψε ότι ο A. Quetelet υποθέτει την ύπαρξη στη φύση του τύπου του μέσου ανθρώπου ως κάτι δεδομένο, από το οποίο η ζωή έχει απορρίψει τους μέσους ανθρώπους μιας δεδομένης κοινωνίας και ενός δεδομένου χρόνος, και αυτό τον οδηγεί σε μια εντελώς μηχανική άποψη των νόμων της κίνησης της κοινωνικής ζωής: η κίνηση είναι μια σταδιακή αύξηση των μέσων ιδιοτήτων ενός ατόμου, μια σταδιακή αποκατάσταση του τύπου. κατά συνέπεια, μια τέτοια ισοπέδωση όλων των εκφάνσεων της ζωής του κοινωνικού σώματος, πέρα ​​από την οποία παύει κάθε κίνηση προς τα εμπρός.

Η ουσία αυτής της θεωρίας έχει βρει την περαιτέρω ανάπτυξή της στα έργα ορισμένων θεωρητικών της στατιστικής ως η θεωρία των αληθινών αξιών. Ο A. Quetelet είχε οπαδούς - τον Γερμανό οικονομολόγο και στατιστικολόγο W. Lexis (1837-1914), ο οποίος μετέφερε τη θεωρία των αληθινών αξιών στα οικονομικά φαινόμενα της κοινωνικής ζωής. Η θεωρία του είναι γνωστή ως η θεωρία της σταθερότητας. Μια άλλη εκδοχή της ιδεαλιστικής θεωρίας των μέσων όρων βασίζεται στη φιλοσοφία

Ιδρυτής του είναι ο Άγγλος στατιστικολόγος A. Bowley (1869–1957), ένας από τους πιο εξέχοντες θεωρητικούς της σύγχρονης εποχής στον τομέα της θεωρίας των μέσων όρων. Η έννοια του για τους μέσους όρους σκιαγραφείται στο βιβλίο «Στοιχεία Στατιστικής».

Ο A. Bowley εξετάζει τους μέσους όρους μόνο από την ποσοτική πλευρά, διαχωρίζοντας έτσι την ποσότητα από την ποιότητα. Καθορίζοντας την έννοια των μέσων τιμών (ή τη «λειτουργία τους»), ο A. Bowley προβάλλει τη μαχιστική αρχή της σκέψης. Ο A. Bowley έγραψε ότι η συνάρτηση των μέσων όρων πρέπει να εκφράζει μια σύνθετη ομάδα

με μερικούς πρώτους αριθμούς. Τα στατιστικά δεδομένα πρέπει να απλοποιηθούν, να ομαδοποιηθούν και να υπολογιστούν κατά μέσο όρο.Αυτές τις απόψεις συμμερίστηκαν οι R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) και άλλοι.

Στη δεκαετία του '30. 20ος αιώνας και τα επόμενα έτη, η μέση τιμή θεωρείται ως κοινωνικά σημαντικό χαρακτηριστικό, το πληροφοριακό περιεχόμενο του οποίου εξαρτάται από την ομοιογένεια των δεδομένων.

Οι πιο εξέχοντες εκπρόσωποι της ιταλικής σχολής R. Benini (1862-1956) και C. Gini (1884-1965), θεωρώντας τη στατιστική ως κλάδο της λογικής, διεύρυναν το πεδίο της στατιστικής επαγωγής, αλλά συνέδεσαν τις γνωστικές αρχές της λογικής. και στατιστικές με τη φύση των μελετηθέντων φαινομένων, ακολουθώντας τις παραδόσεις της κοινωνιολογικής ερμηνείας των στατιστικών.

Στα έργα του Κ. Μαρξ και του Β. Ι. Λένιν, ένας ιδιαίτερος ρόλος αποδίδεται στις μέσες τιμές.

Ο Κ. Μαρξ υποστήριξε ότι οι μεμονωμένες αποκλίσεις από το γενικό επίπεδο ακυρώνονται στη μέση τιμή και το μέσο επίπεδο γίνεται γενικευτικό χαρακτηριστικό του φαινομένου μάζας.Η μέση τιμή γίνεται τέτοιο χαρακτηριστικό του φαινομένου μάζας μόνο εάν ληφθεί σημαντικός αριθμός μονάδων και αυτές οι μονάδες είναι ποιοτικά ομοιογενείς. Ο Μαρξ έγραψε ότι η μέση τιμή που βρέθηκε ήταν ο μέσος όρος «...πολλών διαφορετικών ατομικών αξιών του ίδιου είδους».

Η μέση τιμή αποκτά ιδιαίτερη σημασία σε μια οικονομία της αγοράς. Βοηθά στον προσδιορισμό της αναγκαίας και γενικής, της τάσης των νόμων της οικονομικής ανάπτυξης άμεσα μέσω του ατομικού και τυχαίου.

Μέσες τιμέςείναι γενικευτικοί δείκτες στους οποίους εκφράζεται η δράση των γενικών συνθηκών, η κανονικότητα του υπό μελέτη φαινομένου.

Οι στατιστικοί μέσοι όροι υπολογίζονται με βάση τα μαζικά δεδομένα μιας στατιστικά σωστά οργανωμένης μαζικής παρατήρησης. Εάν ο στατιστικός μέσος όρος υπολογιστεί από μαζικά δεδομένα για έναν ποιοτικά ομοιογενή πληθυσμό (μαζικά φαινόμενα), τότε θα είναι αντικειμενικός.

Η μέση τιμή είναι αφηρημένη, αφού χαρακτηρίζει την τιμή μιας αφηρημένης μονάδας.

Ο μέσος όρος αφαιρείται από την ποικιλομορφία του χαρακτηριστικού σε μεμονωμένα αντικείμενα. Η αφαίρεση είναι ένα στάδιο επιστημονικής έρευνας. Η διαλεκτική ενότητα του ατόμου και του γενικού πραγματοποιείται στη μέση τιμή.

Οι μέσες τιμές θα πρέπει να εφαρμόζονται με βάση τη διαλεκτική κατανόηση των κατηγοριών του ατόμου και του γενικού, του ατόμου και της μάζας.

Το μεσαίο αντικατοπτρίζει κάτι κοινό που προστίθεται σε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο.

Για τον εντοπισμό προτύπων σε μαζικές κοινωνικές διαδικασίες, η μέση τιμή έχει μεγάλη σημασία.

Η απόκλιση του ατόμου από το γενικό είναι εκδήλωση της αναπτυξιακής διαδικασίας.

Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει το χαρακτηριστικό, τυπικό, πραγματικό επίπεδο των φαινομένων που μελετώνται. Ο σκοπός των μέσων όρων είναι να χαρακτηρίσουν αυτά τα επίπεδα και τις αλλαγές τους σε χρόνο και χώρο.

Ο μέσος δείκτης είναι μια συνηθισμένη τιμή, επειδή σχηματίζεται σε κανονικές, φυσικές, γενικές συνθήκες για την ύπαρξη ενός συγκεκριμένου μαζικού φαινομένου, που θεωρείται ως σύνολο.

Μια αντικειμενική ιδιότητα μιας στατιστικής διαδικασίας ή φαινομένου αντανακλά τη μέση τιμή.

Οι επιμέρους τιμές του μελετώμενου στατιστικού χαρακτηριστικού είναι διαφορετικές για κάθε μονάδα του πληθυσμού. Η μέση τιμή των επιμέρους αξιών ενός είδους είναι προϊόν ανάγκης, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της σωρευτικής δράσης όλων των μονάδων του πληθυσμού, που εκδηλώνεται σε μια μάζα επαναλαμβανόμενων ατυχημάτων.

Ορισμένα μεμονωμένα φαινόμενα έχουν σημάδια που υπάρχουν σε όλα τα φαινόμενα, αλλά σε διαφορετικές ποσότητες - αυτό είναι το ύψος ή η ηλικία ενός ατόμου. Άλλα σημάδια ενός μεμονωμένου φαινομένου είναι ποιοτικά διαφορετικά σε διαφορετικά φαινόμενα, δηλαδή υπάρχουν σε άλλα και δεν παρατηρούνται σε άλλα (ένας άντρας δεν θα γίνει γυναίκα). Η μέση τιμή υπολογίζεται για ζώδια που είναι ποιοτικά ομοιογενή και διαφέρουν μόνο ποσοτικά, τα οποία είναι εγγενή σε όλα τα φαινόμενα σε ένα δεδομένο σύνολο.

Η μέση τιμή είναι μια αντανάκλαση των τιμών του χαρακτηριστικού που μελετάται και μετράται στην ίδια διάσταση με αυτό το χαρακτηριστικό.

Η θεωρία του διαλεκτικού υλισμού διδάσκει ότι τα πάντα στον κόσμο αλλάζουν και εξελίσσονται. Και επίσης τα σημάδια που χαρακτηρίζονται από μέσες τιμές αλλάζουν και, κατά συνέπεια, οι ίδιοι οι μέσοι όροι.

Η ζωή είναι μια συνεχής διαδικασία δημιουργίας κάτι καινούργιου. Ο φορέας μιας νέας ποιότητας είναι μεμονωμένα αντικείμενα, τότε ο αριθμός αυτών των αντικειμένων αυξάνεται και το νέο γίνεται μάζα, τυπικό.

Η μέση τιμή χαρακτηρίζει τον πληθυσμό που μελετήθηκε μόνο σε μία βάση. Για μια πλήρη και ολοκληρωμένη παρουσίαση του υπό μελέτη πληθυσμού για μια σειρά από συγκεκριμένα χαρακτηριστικά, είναι απαραίτητο να υπάρχει ένα σύστημα μέσων τιμών που να μπορεί να περιγράφει το φαινόμενο από διαφορετικές οπτικές γωνίες.

2. Είδη μέσου όρου

Κατά τη στατιστική επεξεργασία του υλικού, προκύπτουν διάφορα προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν και ως εκ τούτου χρησιμοποιούνται διάφορες μέσες τιμές στη στατιστική πρακτική. Οι μαθηματικές στατιστικές χρησιμοποιούν διάφορους μέσους όρους, όπως: αριθμητικός μέσος όρος; γεωμετρικό μέσο; μέση αρμονική? ρίζα μέσο τετράγωνο.

Για να εφαρμοστεί ένας από τους παραπάνω τύπους μέσου όρου, είναι απαραίτητο να αναλυθεί ο υπό μελέτη πληθυσμός, να προσδιοριστεί το υλικό περιεχόμενο του υπό μελέτη φαινομένου, όλα αυτά γίνονται με βάση τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την αρχή της σημασίας των αποτελεσμάτων κατά τη ζύγιση ή τη σύνοψη.

Στη μελέτη των μέσων όρων χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι δείκτες και σημειογραφία.

Το κριτήριο με το οποίο βρίσκεται ο μέσος όρος ονομάζεται μέσο όρο χαρακτηριστικό και συμβολίζεται με x; ονομάζεται η τιμή του μέσου όρου του χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα του στατιστικού πληθυσμού την ατομική του σημασίαή επιλογές,και συμβολίζεται ως Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 ,… Χ Π ; Η συχνότητα είναι η επαναληψιμότητα των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού, που υποδηλώνεται με το γράμμα φά.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ένας από τους πιο συνηθισμένους τύπους μέσου αριθμητικός μέσος όρος, το οποίο υπολογίζεται όταν ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως το άθροισμα των τιμών του για μεμονωμένες μονάδες του υπό μελέτη στατιστικού πληθυσμού.

Για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου, το άθροισμα όλων των επιπέδων χαρακτηριστικών διαιρείται με τον αριθμό τους.

Εάν ορισμένες επιλογές εμφανίζονται πολλές φορές, τότε το άθροισμα των επιπέδων χαρακτηριστικών μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας κάθε επίπεδο με τον αντίστοιχο αριθμό μονάδων πληθυσμού, ακολουθούμενο από το άθροισμα των προϊόντων που προκύπτουν, ο αριθμητικός μέσος όρος που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται σταθμισμένη αριθμητική σημαίνω.

Ο τύπος για τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο έχει ως εξής:

όπου x i είναι επιλογές,

f i - συχνότητες ή βάρη.

Θα πρέπει να χρησιμοποιείται ένας σταθμισμένος μέσος όρος σε όλες τις περιπτώσεις όπου οι παραλλαγές έχουν διαφορετική αφθονία.

Ο αριθμητικός μέσος όρος, όπως ήταν, κατανέμει εξίσου μεταξύ των επιμέρους αντικειμένων τη συνολική τιμή του χαρακτηριστικού, η οποία στην πραγματικότητα ποικίλλει για καθένα από αυτά.

Ο υπολογισμός των μέσων τιμών πραγματοποιείται σύμφωνα με δεδομένα που ομαδοποιούνται με τη μορφή σειρών κατανομής διαστήματος, όταν οι παραλλαγές χαρακτηριστικών από τις οποίες υπολογίζεται ο μέσος όρος παρουσιάζονται με τη μορφή διαστημάτων (από - έως).

Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου:

1) ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων τιμών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων: Αν x i = y i + z i , τότε

Αυτή η ιδιότητα δείχνει σε ποιες περιπτώσεις είναι δυνατό να συνοψιστούν οι μέσες τιμές.

2) το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού από τη μέση τιμή είναι ίσο με μηδέν, καθώς το άθροισμα των αποκλίσεων προς μια κατεύθυνση αντισταθμίζεται από το άθροισμα των αποκλίσεων προς την άλλη κατεύθυνση:

Αυτός ο κανόνας δείχνει ότι ο μέσος όρος είναι το αποτέλεσμα.

3) εάν όλες οι παραλλαγές της σειράς αυξηθούν ή μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό;, τότε ο μέσος όρος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί κατά τον ίδιο αριθμό;:

4) εάν όλες οι παραλλαγές της σειράς αυξηθούν ή μειωθούν κατά Α φορές, τότε ο μέσος όρος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί επίσης κατά Α φορές:

5) η πέμπτη ιδιότητα του μέσου όρου μας δείχνει ότι δεν εξαρτάται από το μέγεθος των βαρών, αλλά από την αναλογία μεταξύ τους. Ως βάρη, μπορούν να ληφθούν όχι μόνο σχετικές, αλλά και απόλυτες τιμές.

Αν όλες οι συχνότητες της σειράς διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό d, τότε ο μέσος όρος δεν θα αλλάξει.

Μέση αρμονική.Για να προσδιοριστεί ο αριθμητικός μέσος όρος, είναι απαραίτητο να έχουμε έναν αριθμό επιλογών και συχνοτήτων, δηλ., τιμές Χκαι φά.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τις μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού Χκαι έργα Χ/,και συχνότητες φάείναι άγνωστα, τότε, για να υπολογίσουμε τον μέσο όρο, συμβολίζουμε το γινόμενο = Χ/;που:

Ο μέσος όρος σε αυτή τη μορφή ονομάζεται αρμονικός σταθμισμένος μέσος όρος και συμβολίζεται x βλάβη. vzvv.

Κατά συνέπεια, ο αρμονικός μέσος όρος είναι πανομοιότυπος με τον αριθμητικό μέσο όρο. Ισχύει όταν τα πραγματικά βάρη δεν είναι γνωστά. φάκαι το προϊόν είναι γνωστό fx = z

Όταν τα έργα fxίδιο ή ίσο με ένα (m = 1), χρησιμοποιείται ο αρμονικός απλός μέσος όρος, που υπολογίζεται από τον τύπο:

που Χ- ξεχωριστές επιλογές

n- αριθμός.

Γεωμετρικό μέσο

Εάν υπάρχουν n αυξητικοί παράγοντες, τότε ο τύπος για τον μέσο συντελεστή είναι:

Αυτός είναι ο γεωμετρικός μέσος τύπος.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι ίσος με τη ρίζα του βαθμού nαπό το γινόμενο των συντελεστών ανάπτυξης που χαρακτηρίζουν την αναλογία της αξίας κάθε επόμενης περιόδου προς την τιμή της προηγούμενης.

Εάν οι τιμές που εκφράζονται ως τετράγωνες συναρτήσεις υπόκεινται σε μέσο όρο, χρησιμοποιείται το μέσο τετράγωνο της ρίζας. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το μέσο τετράγωνο της ρίζας, μπορείτε να προσδιορίσετε τις διαμέτρους σωλήνων, τροχών κ.λπ.

Το μέσο τετράγωνο του απλού καθορίζεται λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου από τη διαίρεση του αθροίσματος των τετραγώνων των μεμονωμένων τιμών χαρακτηριστικών με τον αριθμό τους.

Το σταθμισμένο μέσο τετράγωνο της ρίζας είναι:

3. Διαρθρωτικοί μέσοι όροι. Λειτουργία και διάμεσος

Για τον χαρακτηρισμό της δομής του στατιστικού πληθυσμού χρησιμοποιούνται δείκτες που καλούνται διαρθρωτικούς μέσους όρους.Αυτά περιλαμβάνουν τη λειτουργία και τη διάμεσο.

Μόδα (Μ σχετικά με ) - η πιο κοινή επιλογή. Μόδακαλείται η τιμή του χαρακτηριστικού, η οποία αντιστοιχεί στο μέγιστο σημείο της καμπύλης θεωρητικής κατανομής.

Η λειτουργία αντιπροσωπεύει την πιο συχνά εμφανιζόμενη ή τυπική τιμή.

Η μόδα χρησιμοποιείται στην εμπορική πρακτική για τη μελέτη της καταναλωτικής ζήτησης και την καταγραφή των τιμών.

Σε μια διακριτή σειρά, η λειτουργία είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. Στη σειρά μεταβολών διαστήματος, η κεντρική παραλλαγή του διαστήματος, που έχει την υψηλότερη συχνότητα (ιδιαιτερότητα), θεωρείται ο τρόπος λειτουργίας.

Μέσα στο διάστημα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του χαρακτηριστικού, που είναι ο τρόπος.

που Χ σχετικά μεείναι το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.

ηείναι η τιμή του τροπικού διαστήματος.

fmείναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.

f t-1 - συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.

fmΤο +1 είναι η συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.

Η λειτουργία εξαρτάται από το μέγεθος των ομάδων, από την ακριβή θέση των ορίων των ομάδων.

Μόδα- ο αριθμός που εμφανίζεται στην πραγματικότητα πιο συχνά (είναι μια ορισμένη τιμή), στην πράξη έχει την ευρύτερη χρήση (ο πιο κοινός τύπος αγοραστή).

Διάμεσος (Μ μι- αυτή είναι η τιμή που διαιρεί τον αριθμό των διατεταγμένων σειρών παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη: το ένα μέρος έχει τιμές του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού που είναι μικρότερες από τη μέση παραλλαγή και το άλλο είναι μεγάλο.

Διάμεσοςείναι ένα στοιχείο που είναι μεγαλύτερο ή ίσο με και ταυτόχρονα μικρότερο ή ίσο με τα μισά από τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς διανομής.

Η ιδιότητα της διάμεσης τιμής είναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή.

Η χρήση του μέσου όρου σάς επιτρέπει να λαμβάνετε πιο ακριβή αποτελέσματα από τη χρήση άλλων μορφών μέσου όρου.

Η σειρά εύρεσης της διάμεσης τιμής στη σειρά παραλλαγής διαστήματος έχει ως εξής: τακτοποιούμε τις μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού ανά κατάταξη. Προσδιορίστε τις συσσωρευμένες συχνότητες για αυτήν τη σειρά κατάταξης. Σύμφωνα με τις συσσωρευμένες συχνότητες, βρίσκουμε το διάμεσο διάστημα:

που x εμέναείναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.

Εγώ Μουείναι η τιμή του διάμεσου διαστήματος.

f/2είναι το μισό άθροισμα των συχνοτήτων της σειράς.

μικρό Μου-1 είναι το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων που προηγούνται του διάμεσου διαστήματος.

φά Μουείναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος.

Η διάμεσος διαιρεί τον αριθμό των σειρών στο μισό, επομένως, είναι όπου η αθροιστική συχνότητα είναι η μισή ή μεγαλύτερη από το ήμισυ του συνολικού αριθμού συχνοτήτων και η προηγούμενη (αθροιστική) συχνότητα είναι μικρότερη από το ήμισυ του αριθμού του πληθυσμού.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα δεδομένα συγκεντρώνονται γύρω από κάποιο κεντρικό σημείο. Έτσι, για να περιγράψουμε οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων, αρκεί να υποδείξουμε τη μέση τιμή. Εξετάστε διαδοχικά τρία αριθμητικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της μέσης τιμής της κατανομής: αριθμητικός μέσος όρος, διάμεσος και τρόπος λειτουργίας.

Μέση τιμή

Ο αριθμητικός μέσος όρος (συχνά αναφέρεται απλώς ως μέσος όρος) είναι η πιο κοινή εκτίμηση του μέσου όρου μιας κατανομής. Είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αθροίσματος όλων των παρατηρούμενων αριθμητικών τιμών με τον αριθμό τους. Για ένα δείγμα αριθμών Χ 1, Χ 2, ..., Χn, ο μέσος όρος του δείγματος (σημειώνεται με το σύμβολο ) ισοδυναμεί \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, ή

πού είναι ο μέσος όρος του δείγματος, n- το μέγεθος του δείγματος, ΧΕγώ– i-ο στοιχείο του δείγματος.

Λήψη σημείωσης σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Εξετάστε το ενδεχόμενο να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο των πενταετών μέσων ετήσιων αποδόσεων 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου (Εικόνα 1).

Ρύζι. 1. Μέση ετήσια απόδοση 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου

Ο μέσος όρος του δείγματος υπολογίζεται ως εξής:

Αυτή είναι μια καλή απόδοση, ειδικά σε σύγκριση με την απόδοση 3-4% που έλαβαν οι καταθέτες τραπεζών ή πιστωτικών ενώσεων την ίδια χρονική περίοδο. Εάν ταξινομήσετε τις τιμές απόδοσης, είναι εύκολο να δείτε ότι οκτώ αμοιβαία κεφάλαια έχουν απόδοση πάνω από το μέσο όρο και επτά - κάτω από το μέσο όρο. Ο αριθμητικός μέσος όρος λειτουργεί ως σημείο ισορροπίας, έτσι ώστε τα κεφάλαια χαμηλού εισοδήματος να εξισορροπούν τα κεφάλαια υψηλού εισοδήματος. Όλα τα στοιχεία του δείγματος εμπλέκονται στον υπολογισμό του μέσου όρου. Κανένας από τους άλλους εκτιμητές του μέσου όρου κατανομής δεν έχει αυτήν την ιδιότητα.

Πότε να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο.Δεδομένου ότι ο αριθμητικός μέσος όρος εξαρτάται από όλα τα στοιχεία του δείγματος, η παρουσία ακραίων τιμών επηρεάζει σημαντικά το αποτέλεσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να παραμορφώσει την έννοια των αριθμητικών δεδομένων. Επομένως, κατά την περιγραφή ενός συνόλου δεδομένων που περιέχει ακραίες τιμές, είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται η διάμεσος ή ο αριθμητικός μέσος όρος και η διάμεσος. Για παράδειγμα, εάν η απόδοση του αμοιβαίου κεφαλαίου της Αναδυόμενης Ανάπτυξης της RS αφαιρεθεί από το δείγμα, ο μέσος όρος του δείγματος της απόδοσης των 14 κεφαλαίων μειώνεται σχεδόν κατά 1% σε 5,19%.

Διάμεσος

Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή ενός διατεταγμένου πίνακα αριθμών. Εάν ο πίνακας δεν περιέχει επαναλαμβανόμενους αριθμούς, τότε τα μισά στοιχεία του θα είναι μικρότερα από και τα μισά περισσότερα από τη διάμεσο. Εάν το δείγμα περιέχει ακραίες τιμές, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται η διάμεσος παρά ο αριθμητικός μέσος όρος για την εκτίμηση του μέσου όρου. Για να υπολογιστεί η διάμεσος ενός δείγματος, πρέπει πρώτα να ταξινομηθεί.

Αυτή η φόρμουλα είναι διφορούμενη. Το αποτέλεσμά του εξαρτάται από το αν ο αριθμός είναι άρτιος ή μονός. n:

• Εάν το δείγμα περιέχει μονό αριθμό στοιχείων, η διάμεσος είναι (n+1)/2-ο στοιχείο.
• Εάν το δείγμα περιέχει ζυγό αριθμό στοιχείων, η διάμεσος βρίσκεται μεταξύ των δύο μεσαίων στοιχείων του δείγματος και ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο που υπολογίζεται σε αυτά τα δύο στοιχεία.

Για να υπολογίσουμε τη διάμεση τιμή για ένα δείγμα 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου, πρέπει πρώτα να ταξινομήσουμε τα πρωτογενή δεδομένα (Εικόνα 2). Τότε η διάμεσος θα είναι απέναντι από τον αριθμό του μεσαίου στοιχείου του δείγματος. στο παράδειγμά μας με αριθμό 8. Το Excel έχει μια ειδική συνάρτηση =MEDIAN() που λειτουργεί και με μη ταξινομημένους πίνακες.

Ρύζι. 2. Διάμεσος 15 ταμεία

Έτσι, η διάμεσος είναι 6,5. Αυτό σημαίνει ότι τα μισά από τα κεφάλαια πολύ υψηλού κινδύνου δεν ξεπερνούν τα 6,5, ενώ τα άλλα μισά το κάνουν. Σημειώστε ότι η διάμεσος του 6,5 είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από τη διάμεσο του 6,08.

Εάν αφαιρέσουμε την κερδοφορία του αμοιβαίου κεφαλαίου RS Emerging Growth από το δείγμα, τότε η διάμεσος των υπολοίπων 14 κεφαλαίων θα μειωθεί στο 6,2%, δηλαδή όχι τόσο σημαντικά όσο ο αριθμητικός μέσος όρος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Διάμεσος 14 ταμεία

Μόδα

Ο όρος εισήχθη για πρώτη φορά από τον Pearson το 1894. Η μόδα είναι ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά στο δείγμα (το πιο μοδάτο). Η μόδα περιγράφει καλά, για παράδειγμα, την τυπική αντίδραση των οδηγών σε ένα σήμα κυκλοφορίας για να σταματήσει την κυκλοφορία. Ένα κλασικό παράδειγμα χρήσης της μόδας είναι η επιλογή του μεγέθους της παραγόμενης παρτίδας παπουτσιών ή του χρώματος της ταπετσαρίας. Εάν μια διανομή έχει πολλαπλούς τρόπους λειτουργίας, τότε λέγεται ότι είναι πολυτροπική ή πολυτροπική (έχει δύο ή περισσότερες "κορυφές"). Η πολυτροπική κατανομή παρέχει σημαντικές πληροφορίες σχετικά με τη φύση της υπό μελέτη μεταβλητής. Για παράδειγμα, σε κοινωνιολογικές έρευνες, εάν μια μεταβλητή αντιπροσωπεύει μια προτίμηση ή στάση απέναντι σε κάτι, τότε η πολυτροπικότητα θα μπορούσε να σημαίνει ότι υπάρχουν πολλές σαφώς διαφορετικές απόψεις. Η πολυτροπικότητα είναι επίσης ένας δείκτης ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές και ότι οι παρατηρήσεις μπορεί να δημιουργηθούν από δύο ή περισσότερες «επικαλυπτόμενες» κατανομές. Σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, οι ακραίες τιμές δεν επηρεάζουν τη λειτουργία. Για τυχαίες μεταβλητές που κατανέμονται συνεχώς, όπως οι μέσες ετήσιες αποδόσεις των αμοιβαίων κεφαλαίων, η λειτουργία μερικές φορές δεν υπάρχει καθόλου (ή δεν έχει νόημα). Δεδομένου ότι αυτοί οι δείκτες μπορούν να λάβουν μια ποικιλία τιμών, οι επαναλαμβανόμενες τιμές είναι εξαιρετικά σπάνιες.

τεταρτημόρια

Τα τεταρτημόρια είναι μέτρα που χρησιμοποιούνται πιο συχνά για την αξιολόγηση της κατανομής των δεδομένων κατά την περιγραφή των ιδιοτήτων μεγάλων αριθμητικών δειγμάτων. Ενώ η διάμεσος χωρίζει τον ταξινομημένο πίνακα στο μισό (50% των στοιχείων του πίνακα είναι λιγότερα από το διάμεσο και το 50% είναι μεγαλύτερα), τα τεταρτημόρια διαχωρίζουν το ταξινομημένο σύνολο δεδομένων σε τέσσερα μέρη. Οι τιμές Q 1 , διάμεσος και Q 3 είναι το 25ο, 50ο και 75ο εκατοστημόριο, αντίστοιχα. Το πρώτο τεταρτημόριο Q 1 είναι ένας αριθμός που χωρίζει το δείγμα σε δύο μέρη: το 25% των στοιχείων είναι μικρότερα από και το 75% είναι περισσότερα από το πρώτο τεταρτημόριο.

Το τρίτο τεταρτημόριο Q 3 είναι ένας αριθμός που χωρίζει επίσης το δείγμα σε δύο μέρη: το 75% των στοιχείων είναι μικρότερα από και το 25% είναι περισσότερα από το τρίτο τεταρτημόριο.

Για τον υπολογισμό των τεταρτημορίων σε εκδόσεις του Excel πριν από το 2007, χρησιμοποιήθηκε η συνάρτηση =QUARTILE(πίνακας, μέρος). Ξεκινώντας με το Excel 2010, ισχύουν δύο λειτουργίες:

• =QUARTILE.ON (πίνακας, τμήμα)
• =QUARTILE.EXC(πίνακας, τμήμα)

Αυτές οι δύο συναρτήσεις δίνουν ελαφρώς διαφορετικές τιμές (Εικόνα 4). Για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό των τεταρτημορίων για ένα δείγμα που περιέχει δεδομένα για τη μέση ετήσια απόδοση 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου, Q 1 = 1,8 ή -0,7 για QUARTILE.INC και QUARTILE.EXC, αντίστοιχα. Παρεμπιπτόντως, η συνάρτηση QUARTILE που χρησιμοποιήθηκε νωρίτερα αντιστοιχεί στη σύγχρονη συνάρτηση QUARTILE.ON. Για να υπολογίσετε τεταρτημόρια στο Excel χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, ο πίνακας δεδομένων μπορεί να παραμείνει χωρίς σειρά.

Ρύζι. 4. Υπολογίστε τεταρτημόρια στο Excel

Να τονίσουμε ξανά. Το Excel μπορεί να υπολογίσει τεταρτημόρια για μονομεταβλητή διακριτές σειρές, που περιέχει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής. Ο υπολογισμός των τεταρτημορίων για μια κατανομή με βάση τη συχνότητα δίνεται στην παρακάτω ενότητα.

γεωμετρικό μέσο

Σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, ο γεωμετρικός μέσος όρος μετρά πόσο έχει αλλάξει μια μεταβλητή με την πάροδο του χρόνου. Το γεωμετρικό μέσο είναι η ρίζα nου βαθμού από το προϊόν nτιμές (στο Excel, χρησιμοποιείται η συνάρτηση = CUGEOM):

σολ= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Μια παρόμοια παράμετρος - ο γεωμετρικός μέσος όρος του ρυθμού απόδοσης - καθορίζεται από τον τύπο:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

που R i- ποσοστό απόδοσης Εγώ-η χρονική περίοδος.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η αρχική επένδυση είναι 100.000 $. Μέχρι το τέλος του πρώτου έτους, πέφτει στα 50.000 $ και μέχρι το τέλος του δεύτερου έτους, επανέρχεται στα αρχικά 100.000 $. Το ποσοστό απόδοσης αυτής της επένδυσης σε διάστημα δύο περίοδος έτους είναι ίση με 0, αφού το αρχικό και το τελικό ποσό των κεφαλαίων είναι ίσα μεταξύ τους. Ωστόσο, ο αριθμητικός μέσος όρος των ετήσιων ποσοστών απόδοσης είναι = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ή 25%, δεδομένου ότι το ποσοστό απόδοσης το πρώτο έτος R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0,5 , και στο δεύτερο R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Ταυτόχρονα, ο γεωμετρικός μέσος όρος του ποσοστού απόδοσης για δύο χρόνια είναι: G = [(1–0,5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Έτσι, ο γεωμετρικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια τη μεταβολή (ακριβέστερα, καμία αλλαγή) στον όγκο της επένδυσης κατά τη διετία από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Ενδιαφέροντα γεγονότα.Πρώτον, ο γεωμετρικός μέσος όρος θα είναι πάντα μικρότερος από τον αριθμητικό μέσο όρο των ίδιων αριθμών. Εκτός από την περίπτωση που όλοι οι αριθμοί που λαμβάνονται είναι ίσοι μεταξύ τους. Δεύτερον, έχοντας εξετάσει τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορεί κανείς να καταλάβει γιατί ο μέσος όρος ονομάζεται γεωμετρικός. Το ύψος ενός ορθογώνιου τριγώνου, χαμηλωμένο στην υποτείνουσα, είναι η μέση αναλογία μεταξύ των προβολών των σκελών στην υποτείνουσα, και κάθε σκέλος είναι η μέση αναλογία μεταξύ της υποτείνουσας και της προβολής της στην υποτείνουσα (Εικ. 5). Αυτό δίνει έναν γεωμετρικό τρόπο κατασκευής του γεωμετρικού μέσου όρου δύο (μήκη) τμημάτων: πρέπει να χτίσετε έναν κύκλο στο άθροισμα αυτών των δύο τμημάτων ως διάμετρο και, στη συνέχεια, το ύψος, που θα αποκατασταθεί από το σημείο της σύνδεσής τους στη τομή με το κύκλος, θα δώσει την επιθυμητή τιμή:

Ρύζι. 5. Η γεωμετρική φύση του γεωμετρικού μέσου (σχήμα από τη Wikipedia)

Η δεύτερη σημαντική ιδιότητα των αριθμητικών δεδομένων είναι το δικό τους παραλλαγήχαρακτηρίζοντας το βαθμό διασποράς των δεδομένων. Δύο διαφορετικά δείγματα μπορεί να διαφέρουν τόσο σε μέσες τιμές όσο και σε παραλλαγές. Ωστόσο, όπως φαίνεται στο σχ. 6 και 7, δύο δείγματα μπορεί να έχουν την ίδια παραλλαγή αλλά διαφορετικά μέσα ή τον ίδιο μέσο όρο και εντελώς διαφορετική παραλλαγή. Τα δεδομένα που αντιστοιχούν στο πολύγωνο Β στο Σχ. 7 αλλάζουν πολύ λιγότερο από τα δεδομένα από τα οποία κατασκευάστηκε το πολύγωνο Α.

Ρύζι. 6. Δύο συμμετρικές κατανομές σε σχήμα καμπάνας με το ίδιο spread και διαφορετικές μέσες τιμές

Ρύζι. 7. Δύο συμμετρικές κατανομές σε σχήμα καμπάνας με τις ίδιες μέσες τιμές και διαφορετική διασπορά

Υπάρχουν πέντε εκτιμήσεις της διακύμανσης των δεδομένων:

• σπιθαμή,
• διατεταρτημοριακό εύρος,
• διασπορά,
• τυπική απόκλιση,
• ο συντελεστής διακύμανσης.

πεδίο εφαρμογής

Το εύρος είναι η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου στοιχείου του δείγματος:

Σύρετε = XMax-XΕλάχ

Το εύρος ενός δείγματος που περιέχει δεδομένα για τις μέσες ετήσιες αποδόσεις 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν ταξινομημένο πίνακα (βλ. Εικόνα 4): εύρος = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Αυτό σημαίνει ότι η διαφορά μεταξύ της υψηλότερης και της χαμηλότερης μέσης ετήσιας απόδοσης για αμοιβαία κεφάλαια πολύ υψηλού κινδύνου είναι 24,6%.

Το εύρος μετρά τη συνολική εξάπλωση των δεδομένων. Αν και το εύρος του δείγματος είναι μια πολύ απλή εκτίμηση της συνολικής εξάπλωσης των δεδομένων, η αδυναμία του είναι ότι δεν λαμβάνει υπόψη ακριβώς πώς κατανέμονται τα δεδομένα μεταξύ του ελάχιστου και του μέγιστου στοιχείου. Αυτό το αποτέλεσμα φαίνεται καλά στο Σχ. 8 που απεικονίζει δείγματα που έχουν το ίδιο εύρος. Η κλίμακα Β δείχνει ότι εάν το δείγμα περιέχει τουλάχιστον μία ακραία τιμή, το εύρος του δείγματος είναι μια πολύ ανακριβής εκτίμηση της εξάπλωσης των δεδομένων.

Ρύζι. 8. Σύγκριση τριών δειγμάτων με το ίδιο εύρος. το τρίγωνο συμβολίζει την υποστήριξη της ισορροπίας και η θέση του αντιστοιχεί στη μέση τιμή του δείγματος

Διατεταρτημοριακό εύρος

Το διατεταρτημόριο ή το μέσο εύρος είναι η διαφορά μεταξύ του τρίτου και του πρώτου τεταρτημορίου του δείγματος:

Εύρος διατεταρτημορίου \u003d Q 3 - Q 1

Αυτή η τιμή καθιστά δυνατή την εκτίμηση της εξάπλωσης του 50% των στοιχείων και να μην λαμβάνεται υπόψη η επιρροή των ακραίων στοιχείων. Το διατεταρτημόριο για ένα δείγμα που περιέχει δεδομένα για τις μέσες ετήσιες αποδόσεις 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στο Σχήμα. 4 (για παράδειγμα, για τη συνάρτηση QUARTILE.EXC): Εύρος διατεταρτημορίων = 9,8 - (-0,7) = 10,5. Το διάστημα μεταξύ 9,8 και -0,7 αναφέρεται συχνά ως μεσαίο μισό.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι τιμές Q 1 και Q 3, και ως εκ τούτου το διατεταρτημόριο, δεν εξαρτώνται από την παρουσία ακραίων τιμών, καθώς ο υπολογισμός τους δεν λαμβάνει υπόψη καμία τιμή που θα ήταν μικρότερη από Q 1 ή μεγαλύτερη από Q 3 . Τα συνολικά ποσοτικά χαρακτηριστικά, όπως η διάμεσος, το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο και το διατεταρτημόριο, τα οποία δεν επηρεάζονται από ακραίες τιμές, ονομάζονται ισχυροί δείκτες.

Ενώ το εύρος και το διατεταρτημόριο εύρος παρέχουν μια εκτίμηση της συνολικής και της μέσης διασποράς του δείγματος, αντίστοιχα, καμία από αυτές τις εκτιμήσεις δεν λαμβάνει υπόψη ακριβώς τον τρόπο με τον οποίο κατανέμονται τα δεδομένα. Διακύμανση και τυπική απόκλισηαπαλλαγμένο από αυτό το μειονέκτημα. Αυτοί οι δείκτες σάς επιτρέπουν να αξιολογήσετε τον βαθμό διακύμανσης των δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο. Διακύμανση δείγματοςείναι μια προσέγγιση του αριθμητικού μέσου όρου που υπολογίζεται από τις τετραγωνικές διαφορές μεταξύ κάθε στοιχείου δείγματος και του μέσου όρου του δείγματος. Για ένα δείγμα X 1 , X 2 , ... X n η διακύμανση του δείγματος (που συμβολίζεται με το σύμβολο S 2 δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

Γενικά, η διακύμανση του δείγματος είναι το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών μεταξύ των στοιχείων του δείγματος και του μέσου όρου του δείγματος, διαιρούμενο με μια τιμή ίση με το μέγεθος του δείγματος μείον ένα:

που - αριθμητικός μέσος όρος, n- το μέγεθος του δείγματος, X i - Εγώ-ο δείγμα στοιχείου Χ. Στο Excel πριν από την έκδοση 2007, η συνάρτηση =VAR() χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της διακύμανσης του δείγματος, από την έκδοση 2010, χρησιμοποιείται η συνάρτηση =VAR.V().

Η πιο πρακτική και ευρέως αποδεκτή εκτίμηση της διασποράς δεδομένων είναι τυπική απόκλιση. Αυτός ο δείκτης συμβολίζεται με το σύμβολο S και ισούται με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης του δείγματος:

Στο Excel πριν από την έκδοση 2007, η συνάρτηση =STDEV() χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης, από την έκδοση 2010 χρησιμοποιείται η συνάρτηση =STDEV.V(). Για τον υπολογισμό αυτών των συναρτήσεων, ο πίνακας δεδομένων μπορεί να είναι μη ταξινομημένος.

Ούτε η διακύμανση του δείγματος ούτε η τυπική απόκλιση του δείγματος μπορεί να είναι αρνητικές. Η μόνη περίπτωση στην οποία οι δείκτες S 2 και S μπορούν να είναι μηδενικοί είναι εάν όλα τα στοιχεία του δείγματος είναι ίσα. Σε αυτή την εντελώς απίθανη περίπτωση, η εμβέλεια και το διατεταρτημόριο είναι επίσης μηδέν.

Τα αριθμητικά δεδομένα είναι εγγενώς ασταθή. Οποιαδήποτε μεταβλητή μπορεί να λάβει πολλές διαφορετικές τιμές. Για παράδειγμα, διαφορετικά αμοιβαία κεφάλαια έχουν διαφορετικά ποσοστά απόδοσης και ζημιών. Λόγω της μεταβλητότητας των αριθμητικών δεδομένων, είναι πολύ σημαντικό να μελετηθούν όχι μόνο οι εκτιμήσεις του μέσου όρου, οι οποίες έχουν αθροιστικό χαρακτήρα, αλλά και οι εκτιμήσεις της διακύμανσης, που χαρακτηρίζουν τη διασπορά των δεδομένων.

Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε την εξάπλωση των δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο, με άλλα λόγια, να προσδιορίσουμε πόσα στοιχεία του δείγματος είναι λιγότερα από τον μέσο όρο και πόσα είναι μεγαλύτερα. Η διασπορά έχει μερικές πολύτιμες μαθηματικές ιδιότητες. Ωστόσο, η τιμή του είναι το τετράγωνο μιας μονάδας μέτρησης - τετραγωνικό ποσοστό, τετραγωνικό δολάριο, τετραγωνική ίντσα κ.λπ. Επομένως, μια φυσική εκτίμηση της διακύμανσης είναι η τυπική απόκλιση, η οποία εκφράζεται στις συνήθεις μονάδες μέτρησης - ποσοστό εισοδήματος, δολάρια ή ίντσες.

Η τυπική απόκλιση σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το μέγεθος της διακύμανσης των στοιχείων του δείγματος γύρω από τη μέση τιμή. Σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις, η πλειονότητα των παρατηρούμενων τιμών βρίσκεται εντός συν ή πλην μίας τυπικής απόκλισης από τον μέσο όρο. Επομένως, γνωρίζοντας τον αριθμητικό μέσο όρο των στοιχείων του δείγματος και την τυπική απόκλιση του δείγματος, είναι δυνατό να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο ανήκει το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων.

Η τυπική απόκλιση των αποδόσεων σε 15 αμοιβαία κεφάλαια πολύ υψηλού κινδύνου είναι 6,6 (Εικόνα 9). Αυτό σημαίνει ότι η κερδοφορία του μεγαλύτερου μέρους των κεφαλαίων διαφέρει από τη μέση αξία κατά όχι περισσότερο από 6,6% (δηλαδή, κυμαίνεται στο εύρος από – Σ= 6,2 – 6,6 = –0,4 έως + Σ= 12,8). Μάλιστα, αυτό το διάστημα περιέχει μέση ετήσια απόδοση 53,3% (8 στα 15) πενταετίας.

Ρύζι. 9. Τυπική απόκλιση

Σημειώστε ότι κατά τη διαδικασία άθροισης των τετραγωνικών διαφορών, τα στοιχεία που είναι πιο μακριά από τη μέση κερδίζουν περισσότερο βάρος από τα στοιχεία που είναι πιο κοντά. Αυτή η ιδιότητα είναι ο κύριος λόγος για τον οποίο ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνότερα για την εκτίμηση του μέσου όρου μιας κατανομής.

Ο συντελεστής διακύμανσης

Σε αντίθεση με προηγούμενες εκτιμήσεις διασποράς, ο συντελεστής διακύμανσης είναι μια σχετική εκτίμηση. Μετριέται πάντα ως ποσοστό, όχι στις αρχικές μονάδες δεδομένων. Ο συντελεστής διακύμανσης, που συμβολίζεται με τα σύμβολα CV, μετρά τη διασπορά των δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή. Ο συντελεστής διακύμανσης είναι ίσος με την τυπική απόκλιση διαιρούμενη με τον αριθμητικό μέσο όρο και πολλαπλασιαζόμενη επί 100%:

που μικρό- τυπική απόκλιση δείγματος, - μέσος όρος δείγματος.

Ο συντελεστής διακύμανσης σας επιτρέπει να συγκρίνετε δύο δείγματα, τα στοιχεία των οποίων εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Για παράδειγμα, ο διαχειριστής μιας υπηρεσίας παράδοσης αλληλογραφίας σκοπεύει να αναβαθμίσει τον στόλο φορτηγών. Κατά τη φόρτωση πακέτων, υπάρχουν δύο τύποι περιορισμών που πρέπει να λάβετε υπόψη: το βάρος (σε λίβρες) και ο όγκος (σε κυβικά πόδια) κάθε συσκευασίας. Ας υποθέσουμε ότι σε ένα δείγμα 200 σακουλών, το μέσο βάρος είναι 26,0 λίβρες, η τυπική απόκλιση του βάρους είναι 3,9 λίβρες, ο μέσος όγκος συσκευασίας είναι 8,8 κυβικά πόδια και η τυπική απόκλιση του όγκου είναι 2,2 κυβικά πόδια. Πώς να συγκρίνετε την κατανομή βάρους και όγκου πακέτων;

Δεδομένου ότι οι μονάδες μέτρησης για το βάρος και τον όγκο διαφέρουν μεταξύ τους, ο διαχειριστής πρέπει να συγκρίνει τη σχετική διασπορά αυτών των τιμών. Ο συντελεστής διακύμανσης βάρους είναι CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, και ο συντελεστής διακύμανσης όγκου CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25% . Έτσι, η σχετική διασπορά των όγκων πακέτων είναι πολύ μεγαλύτερη από τη σχετική διασπορά των βαρών τους.

Φόρμα διανομής

Η τρίτη σημαντική ιδιότητα του δείγματος είναι η μορφή της κατανομής του. Αυτή η κατανομή μπορεί να είναι συμμετρική ή ασύμμετρη. Για να περιγράψουμε το σχήμα μιας κατανομής, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τη μέση και τη διάμεσή της. Εάν αυτά τα δύο μέτρα είναι τα ίδια, η μεταβλητή λέγεται ότι είναι συμμετρικά κατανεμημένη. Εάν η μέση τιμή μιας μεταβλητής είναι μεγαλύτερη από τη διάμεσο, η κατανομή της έχει θετική λοξότητα (Εικ. 10). Εάν η διάμεσος είναι μεγαλύτερη από τη μέση, η κατανομή της μεταβλητής είναι αρνητικά λοξή. Η θετική λοξότητα εμφανίζεται όταν ο μέσος όρος αυξάνεται σε ασυνήθιστα υψηλές τιμές. Η αρνητική λοξότητα εμφανίζεται όταν ο μέσος όρος μειώνεται σε ασυνήθιστα μικρές τιμές. Μια μεταβλητή κατανέμεται συμμετρικά εάν δεν λάβει ακραίες τιμές προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, έτσι ώστε οι μεγάλες και οι μικρές τιμές της μεταβλητής να αλληλοεξουδετερώνονται.

Ρύζι. 10. Τρεις τύποι διανομών

Τα δεδομένα που απεικονίζονται στην κλίμακα Α έχουν αρνητική λοξότητα. Αυτό το σχήμα δείχνει μια μακριά ουρά και μια αριστερή λοξή που προκαλείται από ασυνήθιστα μικρές τιμές. Αυτές οι εξαιρετικά μικρές τιμές μετατοπίζουν τη μέση τιμή προς τα αριστερά και γίνεται μικρότερη από τη διάμεση τιμή. Τα δεδομένα που εμφανίζονται στην κλίμακα Β κατανέμονται συμμετρικά. Το αριστερό και το δεξί μισό της κατανομής είναι οι κατοπτρικές τους εικόνες. Οι μεγάλες και οι μικρές τιμές εξισορροπούνται μεταξύ τους και ο μέσος όρος και ο διάμεσος είναι ίσοι. Τα δεδομένα που εμφανίζονται στην κλίμακα Β έχουν θετική λοξότητα. Αυτό το σχήμα δείχνει μια μακριά ουρά και μια λοξή προς τα δεξιά, που προκαλούνται από την παρουσία ασυνήθιστα υψηλών τιμών. Αυτές οι πολύ μεγάλες τιμές μετατοπίζουν τον μέσο όρο προς τα δεξιά και γίνεται μεγαλύτερος από τον διάμεσο.

Στο Excel, μπορείτε να λάβετε περιγραφικά στατιστικά στοιχεία χρησιμοποιώντας το πρόσθετο Πακέτο ανάλυσης. Περάστε από το μενού Δεδομένα → Ανάλυση δεδομένων, στο παράθυρο που ανοίγει, επιλέξτε τη γραμμή Περιγραφικά στατιστικάκαι κάντε κλικ Εντάξει. Στο παράθυρο Περιγραφικά στατιστικάφροντίστε να υποδείξετε διάστημα εισαγωγής(Εικ. 11). Εάν θέλετε να δείτε περιγραφικά στατιστικά στοιχεία στο ίδιο φύλλο με τα αρχικά δεδομένα, επιλέξτε το κουμπί επιλογής διάστημα εξόδουκαι καθορίστε το κελί στο οποίο θέλετε να τοποθετήσετε την επάνω αριστερή γωνία των εμφανιζόμενων στατιστικών (στο παράδειγμά μας, $C$1). Εάν θέλετε να εξάγετε δεδομένα σε ένα νέο φύλλο ή σε ένα νέο βιβλίο εργασίας, απλώς επιλέξτε το κατάλληλο κουμπί επιλογής. Επιλέξτε το πλαίσιο δίπλα Τελικά στατιστικά στοιχεία. Προαιρετικά, μπορείτε επίσης να επιλέξετε Επίπεδο δυσκολίας,κ-ο μικρότερο καικ-ο μεγαλύτερος.

Αν σε κατάθεση Δεδομέναστην περιοχή Ανάλυσηδεν βλέπετε το εικονίδιο Ανάλυση δεδομένων, πρέπει πρώτα να εγκαταστήσετε το πρόσθετο Πακέτο ανάλυσης(βλ., για παράδειγμα,).

Ρύζι. 11. Περιγραφικά στατιστικά στοιχεία των πενταετών μέσων ετήσιων αποδόσεων κεφαλαίων με πολύ υψηλά επίπεδα κινδύνου, που υπολογίζονται με τη χρήση του πρόσθετου Ανάλυση δεδομένωνΠρογράμματα Excel

Το Excel υπολογίζει έναν αριθμό στατιστικών στοιχείων που συζητήθηκαν παραπάνω: μέσος όρος, διάμεσος, τρόπος, τυπική απόκλιση, διακύμανση, εύρος ( διάστημα), ελάχιστο, μέγιστο και μέγεθος δείγματος ( έλεγχος). Επιπλέον, το Excel υπολογίζει ορισμένα νέα στατιστικά στοιχεία για εμάς: τυπικό σφάλμα, κύρτωση και λοξότητα. τυπικό σφάλμαισούται με την τυπική απόκλιση διαιρούμενη με την τετραγωνική ρίζα του μεγέθους του δείγματος. ασυμμετρίαχαρακτηρίζει την απόκλιση από τη συμμετρία της κατανομής και είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από τον κύβο των διαφορών μεταξύ των στοιχείων του δείγματος και της μέσης τιμής. Η κούρτωση είναι ένα μέτρο της σχετικής συγκέντρωσης δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο σε σχέση με τις ουρές της κατανομής και εξαρτάται από τις διαφορές μεταξύ του δείγματος και του μέσου όρου που ανέρχεται στην τέταρτη ισχύ.

Υπολογισμός περιγραφικών στατιστικών για το γενικό πληθυσμό

Ο μέσος όρος, η διασπορά και το σχήμα της κατανομής που συζητήθηκαν παραπάνω είναι χαρακτηριστικά που βασίζονται σε δείγμα. Ωστόσο, εάν το σύνολο δεδομένων περιέχει αριθμητικές μετρήσεις ολόκληρου του πληθυσμού, τότε οι παράμετροί του μπορούν να υπολογιστούν. Αυτές οι παράμετροι περιλαμβάνουν τον μέσο όρο, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση του πληθυσμού.

Αναμενόμενη αξίαισούται με το άθροισμα όλων των τιμών του γενικού πληθυσμού διαιρεμένο με τον όγκο του γενικού πληθυσμού:

που µ - αναμενόμενη αξία, ΧΕγώ- Εγώ-η μεταβλητή παρατήρηση Χ, Ν- τον όγκο του γενικού πληθυσμού. Στο Excel, για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας, χρησιμοποιείται η ίδια συνάρτηση με τον αριθμητικό μέσο όρο: =AVERAGE().

Διακύμανση πληθυσμούίσο με το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών μεταξύ των στοιχείων του γενικού πληθυσμού και του ματ. προσδοκίες διαιρεμένες με το μέγεθος του πληθυσμού:

που σ2είναι η διακύμανση του γενικού πληθυσμού. Το Excel πριν από την έκδοση 2007 χρησιμοποιεί τη συνάρτηση =VAR() για να υπολογίσει τη διακύμανση του πληθυσμού, ξεκινώντας από την έκδοση 2010 =VAR.G().

τυπική απόκλιση πληθυσμούισούται με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης του πληθυσμού:

Το Excel πριν από την έκδοση 2007 χρησιμοποιεί το =STDEV() για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού, ξεκινώντας με την έκδοση 2010 =STDEV.Y(). Σημειώστε ότι οι τύποι διακύμανσης πληθυσμού και τυπικής απόκλισης διαφέρουν από τους τύπους διακύμανσης δείγματος και τυπικής απόκλισης. Κατά τον υπολογισμό των δειγματοληπτικών στατιστικών S2και μικρόο παρονομαστής του κλάσματος είναι n - 1, και κατά τον υπολογισμό των παραμέτρων σ2και σ - τον όγκο του γενικού πληθυσμού Ν.

εμπειρικός κανόνας

Στις περισσότερες περιπτώσεις, ένα μεγάλο ποσοστό παρατηρήσεων συγκεντρώνεται γύρω από τη διάμεσο, σχηματίζοντας ένα σύμπλεγμα. Σε σύνολα δεδομένων με θετική λοξότητα, αυτό το σύμπλεγμα βρίσκεται στα αριστερά (δηλαδή, κάτω) της μαθηματικής προσδοκίας, και σε σύνολα με αρνητική λοξότητα, αυτό το σύμπλεγμα βρίσκεται στα δεξιά (δηλαδή, πάνω) της μαθηματικής προσδοκίας. Τα συμμετρικά δεδομένα έχουν τον ίδιο μέσο όρο και διάμεσο, και οι παρατηρήσεις συγκεντρώνονται γύρω από το μέσο όρο, σχηματίζοντας μια κατανομή σε σχήμα καμπάνας. Εάν η κατανομή δεν έχει έντονη λοξότητα και τα δεδομένα συγκεντρώνονται γύρω από ένα συγκεκριμένο κέντρο βάρους, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας εμπειρικός κανόνας για την εκτίμηση της μεταβλητότητας, ο οποίος λέει: εάν τα δεδομένα έχουν κατανομή σε σχήμα καμπάνας, τότε περίπου το 68% από τις παρατηρήσεις είναι εντός μίας τυπικής απόκλισης της μαθηματικής προσδοκίας, περίπου το 95% των παρατηρήσεων είναι εντός δύο τυπικών αποκλίσεων από την αναμενόμενη τιμή και το 99,7% των παρατηρήσεων είναι εντός τριών τυπικών αποκλίσεων από την αναμενόμενη τιμή.

Έτσι, η τυπική απόκλιση, η οποία είναι μια εκτίμηση της μέσης διακύμανσης γύρω από τη μαθηματική προσδοκία, βοηθά στην κατανόηση του τρόπου κατανομής των παρατηρήσεων και στον προσδιορισμό των ακραίων τιμών. Από τον εμπειρικό κανόνα προκύπτει ότι για κατανομές σε σχήμα καμπάνας, μόνο μία τιμή στις είκοσι διαφέρει από τη μαθηματική προσδοκία κατά περισσότερες από δύο τυπικές αποκλίσεις. Επομένως, τιμές εκτός του διαστήματος μ ± 2σ, μπορούν να θεωρηθούν ακραίες τιμές. Επιπλέον, μόνο τρεις στις 1000 παρατηρήσεις διαφέρουν από τις μαθηματικές προσδοκίες κατά περισσότερες από τρεις τυπικές αποκλίσεις. Έτσι, τιμές εκτός του διαστήματος μ ± 3σείναι σχεδόν πάντα ακραίες. Για διανομές που είναι πολύ λοξές ή δεν έχουν σχήμα καμπάνας, μπορεί να εφαρμοστεί ο εμπειρικός κανόνας Biename-Chebyshev.

Πριν από περισσότερα από εκατό χρόνια, οι μαθηματικοί Bienamay και Chebyshev ανακάλυψαν ανεξάρτητα μια χρήσιμη ιδιότητα της τυπικής απόκλισης. Βρήκαν ότι για οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων, ανεξάρτητα από το σχήμα της κατανομής, το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται σε απόσταση που δεν υπερβαίνει κτυπικές αποκλίσεις από τις μαθηματικές προσδοκίες, όχι λιγότερες (1 – 1/ 2)*100%.

Για παράδειγμα, εάν κ= 2, ο κανόνας Biename-Chebyshev δηλώνει ότι τουλάχιστον (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% των παρατηρήσεων πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα μ ± 2σ. Αυτός ο κανόνας ισχύει για οποιονδήποτε κυπερβαίνει το ένα. Ο κανόνας Biename-Chebyshev είναι πολύ γενικής φύσης και ισχύει για διανομές κάθε είδους. Υποδεικνύει τον ελάχιστο αριθμό παρατηρήσεων, η απόσταση από την οποία μέχρι τη μαθηματική προσδοκία δεν υπερβαίνει μια δεδομένη τιμή. Ωστόσο, εάν η κατανομή είναι σε σχήμα καμπάνας, ο εμπειρικός κανόνας εκτιμά με μεγαλύτερη ακρίβεια τη συγκέντρωση των δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή.

Υπολογισμός περιγραφικών στατιστικών για μια κατανομή με βάση τη συχνότητα

Εάν τα αρχικά δεδομένα δεν είναι διαθέσιμα, η κατανομή συχνότητας γίνεται η μόνη πηγή πληροφοριών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορείτε να υπολογίσετε τις κατά προσέγγιση τιμές των ποσοτικών δεικτών της κατανομής, όπως ο αριθμητικός μέσος όρος, η τυπική απόκλιση, τα τεταρτημόρια.

Εάν τα δεδομένα του δείγματος παρουσιάζονται ως κατανομή συχνότητας, μπορεί να υπολογιστεί μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμητικού μέσου όρου, υποθέτοντας ότι όλες οι τιμές σε κάθε κατηγορία συγκεντρώνονται στο μέσο της κατηγορίας:

που - μέσος όρος δείγματος, n- αριθμός παρατηρήσεων ή μέγεθος δείγματος, με- τον αριθμό των κλάσεων στην κατανομή συχνότητας, mj- μεσαίο σημείο ι-η τάξη, φάι- συχνότητα που αντιστοιχεί σε ι-η τάξη.

Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης από την κατανομή συχνότητας, θεωρείται επίσης ότι όλες οι τιμές σε κάθε κατηγορία συγκεντρώνονται στο μέσο της κατηγορίας.

Για να κατανοήσουμε πώς καθορίζονται τα τεταρτημόρια της σειράς με βάση τις συχνότητες, ας εξετάσουμε τον υπολογισμό του κατώτερου τεταρτημορίου βάσει δεδομένων για το 2013 σχετικά με την κατανομή του ρωσικού πληθυσμού κατά μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα σε μετρητά (Εικ. 12).

Ρύζι. 12. Το μερίδιο του πληθυσμού της Ρωσίας με κατά κεφαλήν νομισματικό εισόδημα κατά μέσο όρο ανά μήνα, ρούβλια

Για να υπολογίσετε το πρώτο τεταρτημόριο της σειράς παραλλαγής διαστήματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

όπου Q1 είναι η τιμή του πρώτου τεταρτημορίου, xQ1 είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το πρώτο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, η πρώτη υπερβαίνει το 25%). i είναι η τιμή του διαστήματος. Σf είναι το άθροισμα των συχνοτήτων ολόκληρου του δείγματος. πιθανώς πάντα ίσο με 100%? SQ1–1 είναι η αθροιστική συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο. fQ1 είναι η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο. Ο τύπος για το τρίτο τεταρτημόριο διαφέρει στο ότι σε όλα τα μέρη, αντί για Q1, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το Q3 και να αντικαταστήσετε το ¾ αντί για το ¼.

Στο παράδειγμά μας (Εικ. 12), το κατώτερο τεταρτημόριο είναι στην περιοχή 7000,1 - 10,000, η ​​αθροιστική συχνότητα του οποίου είναι 26,4%. Το κατώτερο όριο αυτού του διαστήματος είναι 7000 ρούβλια, η τιμή του διαστήματος είναι 3000 ρούβλια, η συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κάτω τεταρτημόριο είναι 13,4%, η συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κάτω τεταρτημόριο είναι 13,0%. Έτσι: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 \u003d 9677 ρούβλια.

Παγίδες που σχετίζονται με περιγραφικές στατιστικές

Σε αυτό το σημείωμα, εξετάσαμε πώς να περιγράψουμε ένα σύνολο δεδομένων χρησιμοποιώντας διάφορα στατιστικά στοιχεία που εκτιμούν τον μέσο όρο, τη διασπορά και την κατανομή του. Το επόμενο βήμα είναι η ανάλυση και η ερμηνεία των δεδομένων. Μέχρι στιγμής, μελετήσαμε τις αντικειμενικές ιδιότητες των δεδομένων και τώρα στραφούμε στην υποκειμενική ερμηνεία τους. Δύο λάθη περιμένουν τον ερευνητή: ένα εσφαλμένα επιλεγμένο θέμα ανάλυσης και μια εσφαλμένη ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

Η ανάλυση της απόδοσης 15 αμοιβαίων κεφαλαίων πολύ υψηλού κινδύνου είναι αρκετά αμερόληπτη. Οδήγησε σε εντελώς αντικειμενικά συμπεράσματα: όλα τα αμοιβαία κεφάλαια έχουν διαφορετικές αποδόσεις, το spread των αποδόσεων των αμοιβαίων κεφαλαίων κυμαίνεται από -6,1 έως 18,5 και η μέση απόδοση είναι 6,08. Η αντικειμενικότητα της ανάλυσης δεδομένων διασφαλίζεται από τη σωστή επιλογή των συνολικών ποσοτικών δεικτών της κατανομής. Εξετάστηκαν διάφορες μέθοδοι για την εκτίμηση του μέσου όρου και της διασποράς των δεδομένων και αναφέρθηκαν τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους. Πώς να επιλέξετε τα σωστά στατιστικά στοιχεία που παρέχουν μια αντικειμενική και αμερόληπτη ανάλυση; Εάν η κατανομή των δεδομένων είναι ελαφρώς λοξή, πρέπει να επιλεγεί η διάμεσος έναντι του αριθμητικού μέσου όρου; Ποιος δείκτης χαρακτηρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια την εξάπλωση των δεδομένων: τυπική απόκλιση ή εύρος; Πρέπει να αναφέρεται η θετική λοξότητα της κατανομής;

Από την άλλη πλευρά, η ερμηνεία δεδομένων είναι μια υποκειμενική διαδικασία. Διαφορετικοί άνθρωποι καταλήγουν σε διαφορετικά συμπεράσματα, ερμηνεύοντας τα ίδια αποτελέσματα. Ο καθένας έχει τη δική του άποψη. Κάποιος θεωρεί καλές τις συνολικές μέσες ετήσιες αποδόσεις 15 αμοιβαίων κεφαλαίων με πολύ υψηλό επίπεδο κινδύνου και είναι αρκετά ικανοποιημένος με τα εισοδήματα που εισπράττει. Άλλοι μπορεί να πιστεύουν ότι αυτά τα κεφάλαια έχουν πολύ χαμηλές αποδόσεις. Έτσι, η υποκειμενικότητα θα πρέπει να αντισταθμίζεται από την ειλικρίνεια, την ουδετερότητα και τη σαφήνεια των συμπερασμάτων.

Ηθικά ζητήματα

Η ανάλυση δεδομένων είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με ηθικά ζητήματα. Κάποιος πρέπει να είναι επικριτικός απέναντι στις πληροφορίες που διαδίδονται από τις εφημερίδες, το ραδιόφωνο, την τηλεόραση και το Διαδίκτυο. Με τον καιρό, θα μάθετε να είστε δύσπιστοι όχι μόνο για τα αποτελέσματα, αλλά και για τους στόχους, το αντικείμενο και την αντικειμενικότητα της έρευνας. Ο διάσημος Βρετανός πολιτικός Benjamin Disraeli το είπε καλύτερα: «Υπάρχουν τρία είδη ψεμάτων: ψέματα, καταραμένα ψέματα και στατιστικές».

Όπως σημειώνεται στη σημείωση, προκύπτουν ηθικά ζητήματα κατά την επιλογή των αποτελεσμάτων που πρέπει να παρουσιάζονται στην έκθεση. Τόσο τα θετικά όσο και τα αρνητικά αποτελέσματα πρέπει να δημοσιεύονται. Επιπλέον, όταν κάνετε μια αναφορά ή γραπτή αναφορά, τα αποτελέσματα πρέπει να παρουσιάζονται με ειλικρίνεια, ουδέτερη και αντικειμενική. Διακρίνετε τις κακές και τις ανέντιμες παρουσιάσεις. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να καθοριστούν ποιες ήταν οι προθέσεις του ομιλητή. Μερικές φορές ο ομιλητής παραλείπει σημαντικές πληροφορίες από άγνοια, και μερικές φορές εσκεμμένα (για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιεί τον αριθμητικό μέσο όρο για να εκτιμήσει τη μέση τιμή των σαφώς λοξών δεδομένων για να πάρει το επιθυμητό αποτέλεσμα). Είναι επίσης ανέντιμο να καταστείλουμε αποτελέσματα που δεν ανταποκρίνονται στην άποψη του ερευνητή.

Χρησιμοποιούνται υλικά από το βιβλίο Levin et al Στατιστικά για μάνατζερ. - Μ.: Williams, 2004. - Σελ. 178–209

Η συνάρτηση QUARTILE διατηρήθηκε για ευθυγράμμιση με προηγούμενες εκδόσεις του Excel

Οι μέσες τιμές αναφέρονται σε γενίκευση στατιστικών δεικτών που δίνουν ένα συνοπτικό (τελικό) χαρακτηριστικό μαζικών κοινωνικών φαινομένων, δεδομένου ότι χτίζονται με βάση μεγάλο αριθμό μεμονωμένων τιμών ποικίλου χαρακτηριστικού. Για να διευκρινιστεί η ουσία της μέσης τιμής, είναι απαραίτητο να εξεταστούν τα χαρακτηριστικά του σχηματισμού των τιμών των σημείων αυτών των φαινομένων, σύμφωνα με τα οποία υπολογίζεται η μέση τιμή.

Είναι γνωστό ότι οι μονάδες κάθε μαζικού φαινομένου έχουν πολυάριθμα χαρακτηριστικά. Όποιο από αυτά τα σημάδια πάρουμε, οι τιμές του για μεμονωμένες μονάδες θα είναι διαφορετικές, αλλάζουν ή, όπως λένε στα στατιστικά στοιχεία, διαφέρουν από τη μια μονάδα στην άλλη. Έτσι, για παράδειγμα, ο μισθός ενός εργαζομένου καθορίζεται από τα προσόντα του, τη φύση της εργασίας, τη διάρκεια της υπηρεσίας και έναν αριθμό άλλων παραγόντων, και επομένως ποικίλλει σε πολύ ευρύ φάσμα. Η σωρευτική επιρροή όλων των παραγόντων καθορίζει το ύψος των αποδοχών κάθε εργαζόμενου, ωστόσο, μπορούμε να μιλήσουμε για τους μέσους μηνιαίους μισθούς των εργαζομένων σε διαφορετικούς τομείς της οικονομίας. Εδώ λειτουργούμε με μια τυπική, χαρακτηριστική τιμή μιας μεταβλητής ιδιότητας, που σχετίζεται με μια μονάδα μεγάλου πληθυσμού.

Ο μέσος όρος το αντικατοπτρίζει γενικός,που είναι τυπικό για όλες τις μονάδες του πληθυσμού που μελετήθηκε. Ταυτόχρονα, εξισορροπεί την επιρροή όλων των παραγόντων που δρουν στο μέγεθος της ιδιότητας των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού, σαν να τις ακυρώνει αμοιβαία. Το επίπεδο (ή το μέγεθος) κάθε κοινωνικού φαινομένου καθορίζεται από τη δράση δύο ομάδων παραγόντων. Μερικά από αυτά είναι γενικά και κύρια, λειτουργούν συνεχώς, σχετίζονται στενά με τη φύση του φαινομένου ή της διαδικασίας που μελετάται και αποτελούν τυπικόςγια όλες τις μονάδες του πληθυσμού που μελετήθηκε, το οποίο αντικατοπτρίζεται στη μέση τιμή. Άλλοι είναι άτομο,Η δράση τους είναι λιγότερο έντονη και είναι επεισοδιακή, τυχαία. Ενεργούν προς την αντίθετη κατεύθυνση, προκαλούν διαφορές μεταξύ των ποσοτικών χαρακτηριστικών επιμέρους μονάδων του πληθυσμού, επιδιώκοντας να αλλάξουν τη σταθερή τιμή των χαρακτηριστικών που μελετώνται. Η δράση των επιμέρους ζωδίων σβήνει στη μέση τιμή. Στη σωρευτική επιρροή τυπικών και μεμονωμένων παραγόντων, η οποία είναι ισορροπημένη και αμοιβαία ακυρώνεται σε γενικευμένα χαρακτηριστικά, η θεμελιώδης νόμος των μεγάλων αριθμών.

Συνολικά, οι επιμέρους τιμές των ζωδίων συγχωνεύονται σε μια κοινή μάζα και, όπως ήταν, διαλύονται. Ως εκ τούτου και μέση αξίαδρα ως «απρόσωπο», το οποίο μπορεί να αποκλίνει από τις επιμέρους αξίες των χαρακτηριστικών, χωρίς να συμπίπτει ποσοτικά με κανένα από αυτά. Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει τη γενική, χαρακτηριστική και τυπική για ολόκληρο τον πληθυσμό λόγω της αμοιβαίας ακύρωσης σε αυτόν τυχαίων, άτυπων διαφορών μεταξύ των προσώπων των επιμέρους μονάδων του, αφού η τιμή του καθορίζεται, όπως λέγαμε, από το κοινό αποτέλεσμα όλων αιτίες.

Ωστόσο, για να αντικατοπτρίζει η μέση τιμή την πιο τυπική τιμή ενός χαρακτηριστικού, δεν θα πρέπει να προσδιορίζεται για κανέναν πληθυσμό, αλλά μόνο για πληθυσμούς που αποτελούνται από ποιοτικά ομοιογενείς μονάδες. Η απαίτηση αυτή αποτελεί την κύρια προϋπόθεση για την επιστημονικά τεκμηριωμένη εφαρμογή των μέσων όρων και συνεπάγεται στενή σύνδεση μεταξύ της μεθόδου των μέσων όρων και της μεθόδου των ομαδοποιήσεων στην ανάλυση κοινωνικοοικονομικών φαινομένων. Επομένως, η μέση τιμή είναι ένας γενικός δείκτης που χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο ενός μεταβλητού χαρακτηριστικού ανά μονάδα ομοιογενούς πληθυσμού σε συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

Καθορίζοντας, έτσι, την ουσία των μέσων τιμών, πρέπει να τονιστεί ότι ο σωστός υπολογισμός οποιασδήποτε μέσης τιμής συνεπάγεται την εκπλήρωση των ακόλουθων απαιτήσεων:

• ποιοτική ομοιογένεια του πληθυσμού στον οποίο υπολογίζεται η μέση τιμή. Αυτό σημαίνει ότι ο υπολογισμός των μέσων τιμών θα πρέπει να βασίζεται στη μέθοδο ομαδοποίησης, η οποία διασφαλίζει την επιλογή ομοιογενών φαινομένων ίδιου τύπου.
• αποκλεισμός της επιρροής στον υπολογισμό της μέσης τιμής τυχαίων, καθαρά μεμονωμένων αιτιών και παραγόντων. Αυτό επιτυγχάνεται στην περίπτωση που ο υπολογισμός του μέσου όρου βασίζεται σε ένα αρκετά τεράστιο υλικό στο οποίο εκδηλώνεται η λειτουργία του νόμου των μεγάλων αριθμών και όλα τα ατυχήματα αλληλοεξουδετερώνονται.
• κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής, είναι σημαντικό να καθοριστεί ο σκοπός του υπολογισμού της και το λεγόμενο ορίζοντας δείκτη-τηλ(ιδιότητα) στην οποία θα πρέπει να προσανατολίζεται.

Ο καθοριστικός δείκτης μπορεί να λειτουργεί ως το άθροισμα των τιμών του μέσου όρου χαρακτηριστικού, το άθροισμα των αντίστροφών του, το γινόμενο των τιμών του κ.λπ. Η σχέση μεταξύ του καθοριστικού δείκτη και της μέσης τιμής εκφράζεται ως εξής: εάν όλες οι τιμές του μέσου όρου του χαρακτηριστικού αντικαθίστανται από τη μέση τιμή, τότε το άθροισμα ή το γινόμενο τους σε αυτήν την περίπτωση δεν θα αλλάξει τον καθοριστικό δείκτη. Με βάση αυτή τη σύνδεση του προσδιοριστικού δείκτη με τη μέση τιμή, δημιουργείται μια αρχική ποσοτική αναλογία για τον άμεσο υπολογισμό της μέσης τιμής. Η ικανότητα των μέσων όρων να διατηρούν τις ιδιότητες των στατιστικών πληθυσμών ονομάζεται τον καθορισμό της ιδιοκτησίας.

Η μέση τιμή που υπολογίζεται για τον πληθυσμό συνολικά ονομάζεται γενικός μέσος όρος;Μέσες τιμές που υπολογίζονται για κάθε ομάδα - ομαδικούς μέσους όρους.Ο γενικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει τα γενικά χαρακτηριστικά του υπό μελέτη φαινομένου, ο μέσος όρος της ομάδας δίνει μια περιγραφή του φαινομένου που αναπτύσσεται κάτω από τις ειδικές συνθήκες αυτής της ομάδας.

Οι μέθοδοι υπολογισμού μπορεί να είναι διαφορετικές, επομένως, στις στατιστικές, διακρίνονται διάφοροι τύποι μέσου όρου, οι κυριότεροι από τους οποίους είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο αρμονικός μέσος όρος και ο γεωμετρικός μέσος όρος.

Στην οικονομική ανάλυση, η χρήση των μέσων όρων είναι το κύριο εργαλείο για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της επιστημονικής και τεχνολογικής προόδου, των κοινωνικών μέτρων και της αναζήτησης αποθεμάτων για οικονομική ανάπτυξη. Ταυτόχρονα, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι η υπερβολική εστίαση στους μέσους όρους μπορεί να οδηγήσει σε μεροληπτικά συμπεράσματα κατά τη διεξαγωγή οικονομικής και στατιστικής ανάλυσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μέσες τιμές, ως γενικευτικοί δείκτες, ακυρώνουν και αγνοούν εκείνες τις διαφορές στα ποσοτικά χαρακτηριστικά των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού που πραγματικά υπάρχουν και μπορεί να έχουν ανεξάρτητο ενδιαφέρον.

Είδη μέσου όρου

Στις στατιστικές, χρησιμοποιούνται διάφοροι τύποι μέσων όρων, οι οποίοι χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες:

• μέσοι όροι ισχύος (αρμονικός μέσος όρος, γεωμετρικός μέσος όρος, αριθμητικός μέσος όρος, μέσος όρος τετράγωνο, μέσος κυβικός).
• διαρθρωτικούς μέσους όρους (τρόπος λειτουργίας, διάμεσος).

Να υπολογίσω δύναμη σημαίνειπρέπει να χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες χαρακτηριστικές τιμές. Μόδακαι διάμεσοςκαθορίζονται μόνο από τη δομή κατανομής, επομένως ονομάζονται δομικοί, μέσοι όροι θέσης. Η διάμεσος και ο τρόπος χρησιμοποιούνται συχνά ως μέσο χαρακτηριστικό σε εκείνους τους πληθυσμούς όπου ο υπολογισμός της μέσης εκθετικής είναι αδύνατος ή μη πρακτικός.

Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος. Κάτω από αριθμητικός μέσος όροςνοείται ως μια τέτοια τιμή ενός χαρακτηριστικού που θα είχε κάθε μονάδα του πληθυσμού εάν το σύνολο όλων των τιμών του χαρακτηριστικού κατανεμήθηκε ομοιόμορφα σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού. Ο υπολογισμός αυτής της τιμής μειώνεται στο άθροισμα όλων των τιμών της μεταβλητής ιδιότητας και στη διαίρεση του προκύπτοντος ποσού με τον συνολικό αριθμό των μονάδων πληθυσμού. Για παράδειγμα, πέντε εργάτες ολοκλήρωσαν μια παραγγελία για την κατασκευή ανταλλακτικών, ενώ ο πρώτος παρήγαγε 5 εξαρτήματα, ο δεύτερος - 7, ο τρίτος - 4, ο τέταρτος - 10, ο πέμπτος - 12. Δεδομένου ότι η αξία κάθε επιλογής εμφανίστηκε μόνο μία φορά στα αρχικά δεδομένα, για τον προσδιορισμό της μέσης απόδοσης ενός εργαζομένου θα πρέπει να εφαρμοστεί ο απλός αριθμητικός μέσος τύπος:

Δηλαδή, στο παράδειγμά μας, η μέση παραγωγή ενός εργάτη είναι ίση με

Μαζί με τον απλό αριθμητικό μέσο όρο μελετούν σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος.Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τη μέση ηλικία των μαθητών σε μια ομάδα 20 μαθητών των οποίων η ηλικία κυμαίνεται από 18 έως 22 ετών, όπου xi- παραλλαγές του μέσου όρου χαρακτηριστικού, fi- συχνότητα, η οποία δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται i-thσυνολική αξία (Πίνακας 5.1).

Πίνακας 5.1

Μέση ηλικία μαθητών

Εφαρμόζοντας τον τύπο σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου, παίρνουμε:

Υπάρχει ένας συγκεκριμένος κανόνας για την επιλογή ενός σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου: εάν υπάρχει μια σειρά δεδομένων σε δύο δείκτες, για έναν από τους οποίους είναι απαραίτητο να υπολογιστεί

η μέση τιμή, και ταυτόχρονα, οι αριθμητικές τιμές του παρονομαστή του λογικού τύπου του είναι γνωστές και οι τιμές του αριθμητή είναι άγνωστες, αλλά μπορούν να βρεθούν ως το γινόμενο του αυτούς τους δείκτες, τότε η μέση τιμή θα πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η φύση των αρχικών στατιστικών δεδομένων είναι τέτοια που ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου χάνει το νόημά του και ο μόνος γενικευμένος δείκτης μπορεί να είναι μόνο ένας άλλος τύπος μέσης τιμής - μέση αρμονική.Επί του παρόντος, οι υπολογιστικές ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου έχουν χάσει τη σημασία τους στον υπολογισμό των γενικευμένων στατιστικών δεικτών λόγω της ευρείας εισαγωγής ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η μέση αρμονική τιμή, η οποία είναι επίσης απλή και σταθμισμένη, έχει αποκτήσει μεγάλη πρακτική σημασία. Εάν οι αριθμητικές τιμές του αριθμητή του λογικού τύπου είναι γνωστές και οι τιμές του παρονομαστή είναι άγνωστες, αλλά μπορούν να βρεθούν ως πηλίκο ενός δείκτη από έναν άλλο, τότε η μέση τιμή υπολογίζεται από τη σταθμισμένη αρμονική μέση φόρμουλα.

Για παράδειγμα, ας γίνει γνωστό ότι το αυτοκίνητο διένυσε τα πρώτα 210 χλμ. με ταχύτητα 70 χλμ./ώρα και τα υπόλοιπα 150 χλμ. με ταχύτητα 75 χλμ./ώρα. Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλη τη διαδρομή των 360 km χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο. Αφού οι επιλογές είναι οι ταχύτητες σε επιμέρους τμήματα xj= 70 km/h και x2= 75 km/h και τα βάρη (fi) είναι τα αντίστοιχα τμήματα της διαδρομής, τότε τα γινόμενα των επιλογών ανά βάρη δεν θα έχουν ούτε φυσική ούτε οικονομική σημασία. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι λογικό να διαιρέσουμε τα τμήματα της διαδρομής στις αντίστοιχες ταχύτητες (επιλογές xi), δηλαδή στον χρόνο που δαπανάται για τη διέλευση μεμονωμένων τμημάτων της διαδρομής (fi / xi). Εάν τα τμήματα της διαδρομής συμβολίζονται με fi, τότε ολόκληρη η διαδρομή εκφράζεται ως Σfi και ο χρόνος που δαπανάται σε ολόκληρη τη διαδρομή εκφράζεται ως Σ fi / xi , Στη συνέχεια, η μέση ταχύτητα μπορεί να βρεθεί ως το πηλίκο της συνολικής απόστασης διαιρούμενο με το συνολικό χρόνο που δαπανήθηκε:

Στο παράδειγμά μας, παίρνουμε:

Εάν όταν χρησιμοποιείτε το μέσο αρμονικό βάρος όλων των επιλογών (f) είναι ίσα, τότε αντί του σταθμισμένου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απλή (μη σταθμισμένη) αρμονική μέση:

όπου xi - μεμονωμένες επιλογές. n- τον αριθμό των παραλλαγών του μέσου όρου του χαρακτηριστικού. Στο παράδειγμα με την ταχύτητα, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ένας απλός αρμονικός μέσος όρος εάν τα τμήματα της διαδρομής που διανύθηκε με διαφορετικές ταχύτητες ήταν ίσα.

Οποιαδήποτε μέση τιμή θα πρέπει να υπολογίζεται έτσι ώστε όταν αντικαθιστά κάθε παραλλαγή του μέσου όρου χαρακτηριστικού, η τιμή κάποιου τελικού, γενικευτικού δείκτη, που σχετίζεται με τον μέσο όρο δείκτη, να μην αλλάζει. Έτσι, κατά την αντικατάσταση των πραγματικών ταχυτήτων σε μεμονωμένα τμήματα της διαδρομής με τη μέση τιμή τους (μέση ταχύτητα), η συνολική απόσταση δεν πρέπει να αλλάξει.

Η μορφή (τύπος) της μέσης τιμής καθορίζεται από τη φύση (μηχανισμό) της σχέσης αυτού του τελικού δείκτη με τον μέσο όρο, επομένως ο τελικός δείκτης, η τιμή του οποίου δεν πρέπει να αλλάξει όταν οι επιλογές αντικατασταθούν από τη μέση τιμή τους , λέγεται καθοριστικό δείκτη.Για να εξαγάγετε τον τύπο μέσου όρου, πρέπει να συνθέσετε και να λύσετε μια εξίσωση χρησιμοποιώντας τη σχέση του μέσου όρου δείκτη με τον καθοριστικό. Αυτή η εξίσωση κατασκευάζεται αντικαθιστώντας τις παραλλαγές του μέσου όρου χαρακτηριστικού (δείκτη) με τη μέση τιμή τους.

Εκτός από τον αριθμητικό μέσο όρο και τον αρμονικό μέσο όρο, χρησιμοποιούνται και άλλοι τύποι (μορφές) του μέσου όρου στη στατιστική. Όλες είναι ειδικές περιπτώσεις. βαθμός μέσος όρος.Εάν υπολογίσουμε όλους τους τύπους των μέσων όρων ισχύος-νόμου για τα ίδια δεδομένα, τότε οι τιμές

θα είναι τα ίδια, ο κανόνας ισχύει εδώ σπουδαιότηταςΜεσαίο. Καθώς ο εκθέτης του μέσου όρου αυξάνεται, αυξάνεται και ο ίδιος ο μέσος όρος. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι τύποι στην πρακτική έρευνα για τον υπολογισμό διαφόρων τύπων μέσων τιμών ισχύος παρουσιάζονται στον Πίνακα. 5.2.

Πίνακας 5.2

Ο γεωμετρικός μέσος όρος εφαρμόζεται όταν είναι διαθέσιμος. nαυξητικούς παράγοντες, ενώ οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού είναι, κατά κανόνα, σχετικές τιμές της δυναμικής, χτισμένες με τη μορφή αλυσιδωτών τιμών, ως αναλογία προς το προηγούμενο επίπεδο κάθε επιπέδου στη σειρά δυναμικής. Ο μέσος όρος χαρακτηρίζει έτσι τον μέσο ρυθμό ανάπτυξης. γεωμετρική μέση απλήυπολογίζεται με τον τύπο

Τύπος γεωμετρική μέση σταθμισμένηέχει την εξής μορφή:

Οι παραπάνω τύποι είναι πανομοιότυποι, αλλά ο ένας εφαρμόζεται σε τρέχοντες συντελεστές ή ρυθμούς ανάπτυξης και ο δεύτερος - στις απόλυτες τιμές των επιπέδων της σειράς.

ρίζα μέσο τετράγωνοχρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό με τις τιμές των τετραγωνικών συναρτήσεων, χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βαθμού διακύμανσης των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο στη σειρά κατανομής και υπολογίζεται από τον τύπο

Μέσο τετράγωνο σταθμισμένουπολογίζεται με διαφορετικό τύπο:

Μέσο κυβικόχρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό με τις τιμές των κυβικών συναρτήσεων και υπολογίζεται από τον τύπο

σταθμισμένο μέσο κυβικό:

Όλες οι παραπάνω μέσες τιμές μπορούν να αναπαρασταθούν ως γενικός τύπος:

πού είναι η μέση τιμή? - ατομική αξία n- τον αριθμό των μονάδων του πληθυσμού που μελετήθηκε· κ- εκθέτης, ο οποίος καθορίζει τον τύπο του μέσου όρου.

Όταν χρησιμοποιείτε τα ίδια δεδομένα πηγής, τόσο περισσότερα κστον γενικό τύπο μέσης ισχύος, τόσο μεγαλύτερη είναι η μέση τιμή. Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχει μια τακτική σχέση μεταξύ των αξιών των μέσων ισχύος:

Οι μέσες τιμές που περιγράφονται παραπάνω δίνουν μια γενικευμένη ιδέα του υπό μελέτη πληθυσμού και από αυτή την άποψη, η θεωρητική, εφαρμοσμένη και γνωστική σημασία τους είναι αδιαμφισβήτητη. Συμβαίνει όμως η τιμή του μέσου όρου να μην συμπίπτει με καμία από τις πραγματικά υπάρχουσες επιλογές, επομένως, εκτός από τους εξεταζόμενους μέσους όρους, στη στατιστική ανάλυση είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν οι τιμές των συγκεκριμένων επιλογών που καταλαμβάνουν ένα πηγάδι -καθορισμένη θέση σε μια διατεταγμένη (κατάταξη) σειρά τιμών χαρακτηριστικών. Μεταξύ αυτών των ποσοτήτων, οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες είναι κατασκευαστικός,ή περιγραφικός, μέσος όρος- λειτουργία (Mo) και διάμεσος (Me).

Μόδα- την αξία του χαρακτηριστικού που συναντάται συχνότερα σε αυτόν τον πληθυσμό. Όσον αφορά τη σειρά μεταβλητών, η λειτουργία είναι η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή της σειράς κατάταξης, δηλαδή η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. Η μόδα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των καταστημάτων με τις περισσότερες επισκέψεις, της πιο κοινής τιμής για οποιοδήποτε προϊόν. Δείχνει το μέγεθος του χαρακτηριστικού ενός σημαντικού μέρους του πληθυσμού και καθορίζεται από τον τύπο

όπου x0 είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος. η- τιμή διαστήματος fm- συχνότητα διαστήματος fm_ 1 - συχνότητα του προηγούμενου διαστήματος. fm+ 1 - συχνότητα του επόμενου διαστήματος.

Διάμεσοςκαλείται η παραλλαγή που βρίσκεται στο κέντρο της σειράς κατάταξης. Η διάμεσος χωρίζει τη σειρά σε δύο ίσα μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε και στις δύο πλευρές της να υπάρχει ο ίδιος αριθμός πληθυσμιακών μονάδων. Ταυτόχρονα, στο ένα ήμισυ των μονάδων πληθυσμού, η τιμή της μεταβλητής είναι μικρότερη από τη διάμεσο, στο άλλο μισό είναι μεγαλύτερη από αυτήν. Η διάμεσος χρησιμοποιείται κατά την εξέταση ενός στοιχείου του οποίου η τιμή είναι μεγαλύτερη ή ίση ή ταυτόχρονα μικρότερη ή ίση με το ήμισυ των στοιχείων της σειράς διανομής. Η διάμεσος δίνει μια γενική ιδέα για το πού συγκεντρώνονται οι τιμές του χαρακτηριστικού, με άλλα λόγια, πού είναι το κέντρο τους.

Η περιγραφική φύση της διάμεσης τιμής εκδηλώνεται στο γεγονός ότι χαρακτηρίζει το ποσοτικό όριο των τιμών του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού, που κατέχει το ήμισυ των μονάδων πληθυσμού. Το πρόβλημα της εύρεσης της διάμεσης τιμής για μια διακριτή μεταβλητή σειρά επιλύεται απλά. Εάν σε όλες τις μονάδες της σειράς δίνονται αύξοντες αριθμοί, τότε ο σειριακός αριθμός της διάμεσης παραλλαγής ορίζεται ως (n + 1) / 2 με περιττό αριθμό μελών n. Εάν ο αριθμός των μελών της σειράς είναι άρτιος αριθμός, τότε η διάμεσος θα είναι η μέση τιμή δύο παραλλαγών με σειριακούς αριθμούς n/ 2 και n / 2 + 1.

Κατά τον προσδιορισμό της διάμεσης σειρής διακύμανσης διαστήματος, προσδιορίζεται πρώτα το διάστημα στο οποίο βρίσκεται (το διάμεσο διάστημα). Αυτό το διάστημα χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το συσσωρευμένο άθροισμα των συχνοτήτων του είναι ίσο ή υπερβαίνει το μισό του αθροίσματος όλων των συχνοτήτων της σειράς. Ο υπολογισμός της διάμεσης τιμής της σειράς μεταβολής διαστήματος πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

που Χ0- το κατώτερο όριο του διαστήματος. η- τιμή διαστήματος fm- συχνότητα διαστήματος φά- τον αριθμό των μελών της σειράς·

∫m-1 - το άθροισμα των συσσωρευμένων όρων της σειράς που προηγείται αυτής.

Μαζί με τη διάμεσο, για τον πληρέστερο χαρακτηρισμό της δομής του πληθυσμού που μελετήθηκε, χρησιμοποιούνται και άλλες τιμές επιλογών, οι οποίες καταλαμβάνουν μια αρκετά σαφή θέση στη σειρά κατάταξης. Αυτά περιλαμβάνουν τεταρτημόριακαι δεκατιανοί.Τα τεταρτημόρια διαιρούν τη σειρά με το άθροισμα των συχνοτήτων σε 4 ίσα μέρη και τα δεκατιανά - σε 10 ίσα μέρη. Υπάρχουν τρία τεταρτημόρια και εννέα δεκαδικά.

Η διάμεσος και ο τρόπος, σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, δεν ακυρώνουν μεμονωμένες διαφορές στις τιμές μιας μεταβλητής ιδιότητας και, ως εκ τούτου, είναι πρόσθετα και πολύ σημαντικά χαρακτηριστικά ενός στατιστικού πληθυσμού. Στην πράξη, χρησιμοποιούνται συχνά αντί του μέσου όρου ή μαζί με αυτόν. Είναι ιδιαίτερα σκόπιμο να υπολογιστεί η διάμεσος και ο τρόπος λειτουργίας σε εκείνες τις περιπτώσεις που ο πληθυσμός που μελετήθηκε περιέχει έναν ορισμένο αριθμό μονάδων με πολύ μεγάλη ή πολύ μικρή τιμή του χαρακτηριστικού μεταβλητής. Αυτές οι τιμές των επιλογών, που δεν είναι πολύ χαρακτηριστικές για τον πληθυσμό, ενώ επηρεάζουν την τιμή του αριθμητικού μέσου όρου, δεν επηρεάζουν τις τιμές της διάμεσης τιμής και του τρόπου λειτουργίας, γεγονός που καθιστά τους τελευταίους πολύτιμους δείκτες για οικονομική και στατιστική ανάλυση .

Δείκτες διακύμανσης

Ο σκοπός μιας στατιστικής μελέτης είναι να εντοπίσει τις κύριες ιδιότητες και τα πρότυπα του υπό μελέτη στατιστικού πληθυσμού. Στη διαδικασία της συνοπτικής επεξεργασίας των δεδομένων στατιστικής παρατήρησης, χτίζουμε γραμμές διανομής.Υπάρχουν δύο τύποι σειρών διανομής - αποδοτικές και μεταβλητές, ανάλογα με το αν το χαρακτηριστικό που λαμβάνεται ως βάση της ομαδοποίησης είναι ποιοτικό ή ποσοτικό.

μεταβλητήπου ονομάζονται σειρές διανομής που χτίζονται σε ποσοτική βάση. Οι τιμές των ποσοτικών χαρακτηριστικών για μεμονωμένες μονάδες του πληθυσμού δεν είναι σταθερές, διαφέρουν περισσότερο ή λιγότερο μεταξύ τους. Αυτή η διαφορά στην τιμή ενός χαρακτηριστικού ονομάζεται παραλλαγές.Ονομάζονται ξεχωριστές αριθμητικές τιμές του χαρακτηριστικού που εμφανίζονται στον υπό μελέτη πληθυσμό επιλογές αξίας.Η παρουσία διακύμανσης σε μεμονωμένες μονάδες του πληθυσμού οφείλεται στην επίδραση ενός μεγάλου αριθμού παραγόντων στη διαμόρφωση του επιπέδου χαρακτηριστικών. Η μελέτη της φύσης και του βαθμού διακύμανσης των σημείων σε επιμέρους μονάδες του πληθυσμού είναι το σημαντικότερο θέμα κάθε στατιστικής μελέτης. Οι δείκτες διακύμανσης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν το μέτρο της μεταβλητότητας των χαρακτηριστικών.

Ένα άλλο σημαντικό καθήκον της στατιστικής έρευνας είναι ο προσδιορισμός του ρόλου των επιμέρους παραγόντων ή των ομάδων τους στη διακύμανση ορισμένων χαρακτηριστικών του πληθυσμού. Για την επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος στη στατιστική, χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι για τη μελέτη της παραλλαγής, που βασίζονται στη χρήση ενός συστήματος δεικτών που μετρούν τη διακύμανση. Στην πράξη, ο ερευνητής αντιμετωπίζει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επιλογών για τις τιμές του χαρακτηριστικού, το οποίο δεν δίνει μια ιδέα για την κατανομή των μονάδων σύμφωνα με την τιμή του χαρακτηριστικού στο σύνολο. Για να γίνει αυτό, όλες οι παραλλαγές των τιμών των χαρακτηριστικών ταξινομούνται σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται κατάταξη σειρών.Η σειρά κατάταξης δίνει αμέσως μια γενική ιδέα για τις τιμές που παίρνει το χαρακτηριστικό στο σύνολο.

Η ανεπάρκεια της μέσης τιμής για έναν εξαντλητικό χαρακτηρισμό του πληθυσμού καθιστά απαραίτητη τη συμπλήρωση των μέσων τιμών με δείκτες που καθιστούν δυνατή την αξιολόγηση της τυπικότητας αυτών των μέσων όρων μετρώντας τη διακύμανση (παραλλαγή) του υπό μελέτη χαρακτηριστικού. Η χρήση αυτών των δεικτών διακύμανσης καθιστά δυνατή την πληρέστερη και ουσιαστικότερη στατιστική ανάλυση και, κατά συνέπεια, την καλύτερη κατανόηση της ουσίας των κοινωνικών φαινομένων που μελετήθηκαν.

Τα πιο απλά σημάδια παραλλαγής είναι ελάχιστοκαι το μέγιστο -αυτή είναι η μικρότερη και μεγαλύτερη τιμή του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό. Ο αριθμός των επαναλήψεων των μεμονωμένων παραλλαγών των τιμών χαρακτηριστικών ονομάζεται ρυθμός επανάληψης.Ας υποδηλώσουμε τη συχνότητα επανάληψης της τιμής του χαρακτηριστικού fi,το άθροισμα των συχνοτήτων ίσο με τον όγκο του πληθυσμού που μελετήθηκε θα είναι:

που κ- αριθμός παραλλαγών τιμών χαρακτηριστικών. Είναι βολικό να αντικαταστήσετε τις συχνότητες με συχνότητες - w.i. Συχνότητα- δείκτης σχετικής συχνότητας - μπορεί να εκφραστεί σε κλάσματα μιας μονάδας ή σε ποσοστό και σας επιτρέπει να συγκρίνετε σειρές παραλλαγών με διαφορετικό αριθμό παρατηρήσεων. Επίσημα έχουμε:

Για τη μέτρηση της διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού, χρησιμοποιούνται διάφοροι απόλυτοι και σχετικοί δείκτες. Οι απόλυτοι δείκτες διακύμανσης περιλαμβάνουν τη μέση γραμμική απόκλιση, το εύρος διακύμανσης, διακύμανση, τυπική απόκλιση.

Παραλλαγή ανοιγμάτων(R) είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του χαρακτηριστικού στον υπό μελέτη πληθυσμό: R= Xmax - Xmin. Αυτός ο δείκτης δίνει μόνο την πιο γενική ιδέα της διακύμανσης του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, καθώς δείχνει τη διαφορά μόνο μεταξύ των οριακών τιμών των επιλογών. Είναι εντελώς άσχετο με τις συχνότητες της μεταβλητής σειράς, δηλαδή με τη φύση της κατανομής και η εξάρτησή της μπορεί να της δώσει έναν ασταθή, τυχαίο χαρακτήρα μόνο από τις ακραίες τιμές του χαρακτηριστικού. Το εύρος διακύμανσης δεν παρέχει καμία πληροφορία σχετικά με τα χαρακτηριστικά των πληθυσμών που μελετήθηκαν και δεν μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε τον βαθμό τυπικότητας των λαμβανόμενων μέσων τιμών. Το εύρος αυτού του δείκτη περιορίζεται σε αρκετά ομοιογενείς πληθυσμούς, πιο συγκεκριμένα, χαρακτηρίζει την παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού, έναν δείκτη που βασίζεται στη συνεκτίμηση της μεταβλητότητας όλων των τιμών του χαρακτηριστικού.

Για να χαρακτηριστεί η παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού, είναι απαραίτητο να γενικευθούν οι αποκλίσεις όλων των τιμών από οποιαδήποτε τιμή τυπική για τον υπό μελέτη πληθυσμό. Τέτοιοι δείκτες

παραλλαγές, όπως η μέση γραμμική απόκλιση, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση, βασίζονται στην εξέταση των αποκλίσεων των τιμών της ιδιότητας των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Μέση γραμμική απόκλισηείναι ο αριθμητικός μέσος όρος των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων μεμονωμένων επιλογών από τον αριθμητικό μέσο όρο τους:

Η απόλυτη τιμή (μέτρο) της απόκλισης της παραλλαγής από τον αριθμητικό μέσο όρο. φά-συχνότητα.

Ο πρώτος τύπος εφαρμόζεται εάν καθεμία από τις επιλογές εμφανίζεται συνολικά μόνο μία φορά και ο δεύτερος - σε σειρά με άνισες συχνότητες.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για τον μέσο όρο των αποκλίσεων των επιλογών από τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η μέθοδος, που είναι πολύ διαδεδομένη στα στατιστικά, περιορίζεται στον υπολογισμό των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τη μέση τιμή και στη συνέχεια στον υπολογισμό του μέσου όρου τους. Σε αυτή την περίπτωση, παίρνουμε έναν νέο δείκτη διακύμανσης - τη διακύμανση.

Διασπορά(σ 2) - ο μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων των παραλλαγών των τιμών των χαρακτηριστικών από τη μέση τιμή τους:

Ο δεύτερος τύπος χρησιμοποιείται εάν οι παραλλαγές έχουν τα δικά τους βάρη (ή τις συχνότητες της σειράς παραλλαγών).

Στην οικονομική και στατιστική ανάλυση, είναι σύνηθες να αξιολογείται η παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού πιο συχνά χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση. Τυπική απόκλιση(σ) είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Οι μέσες γραμμικές και μέσες αποκλίσεις τετραγώνου δείχνουν πόσο κυμαίνεται η τιμή του χαρακτηριστικού κατά μέσο όρο για τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού και εκφράζονται στις ίδιες μονάδες με τις παραλλαγές.

Στη στατιστική πρακτική, συχνά καθίσταται απαραίτητο να συγκρίνουμε την ποικιλία των διαφόρων χαρακτηριστικών. Για παράδειγμα, έχει μεγάλο ενδιαφέρον να συγκρίνουμε τις διακυμάνσεις στην ηλικία του προσωπικού και τα προσόντα του, τη διάρκεια υπηρεσίας και τους μισθούς κ.λπ. Για τέτοιες συγκρίσεις, οι δείκτες της απόλυτης μεταβλητότητας των σημείων - η μέση γραμμική και τυπική απόκλιση - δεν είναι κατάλληλοι . Είναι αδύνατο, στην πραγματικότητα, να συγκριθεί η διακύμανση της εργασιακής εμπειρίας, που εκφράζεται σε χρόνια, με τη διακύμανση των μισθών, που εκφράζεται σε ρούβλια και καπίκια.

Κατά τη σύγκριση της μεταβλητότητας διαφόρων χαρακτηριστικών στο σύνολο, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν σχετικοί δείκτες διακύμανσης. Αυτοί οι δείκτες υπολογίζονται ως ο λόγος των απόλυτων δεικτών προς τον αριθμητικό μέσο όρο (ή διάμεσο). Χρησιμοποιώντας ως απόλυτο δείκτη διακύμανσης το εύρος διακύμανσης, τη μέση γραμμική απόκλιση, την τυπική απόκλιση, λαμβάνει κανείς τους σχετικούς δείκτες διακύμανσης:

Ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος δείκτης σχετικής μεταβλητότητας, που χαρακτηρίζει την ομοιογένεια του πληθυσμού. Το σύνολο θεωρείται ομοιογενές εάν ο συντελεστής διακύμανσης δεν υπερβαίνει το 33% για κατανομές κοντά στο κανονικό.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τον μέσο αριθμό ημερών για εργασίες που πρέπει να ολοκληρωθούν από διαφορετικούς υπαλλήλους. Ή θέλετε να υπολογίσετε ένα χρονικό διάστημα 10 ετών Μέση θερμοκρασία σε μια συγκεκριμένη ημέρα. Υπολογισμός της μέσης τιμής μιας σειράς αριθμών με διάφορους τρόπους.

Ο μέσος όρος είναι συνάρτηση του μέτρου της κεντρικής τάσης, που είναι το κέντρο μιας σειράς αριθμών σε μια στατιστική κατανομή. Τα τρία πιο κοινά κριτήρια για την κεντρική τάση είναι.

Ο μέσος όροςΟ αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται προσθέτοντας μια σειρά αριθμών και στη συνέχεια διαιρώντας τον αριθμό αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος των 2, 3, 3, 5, 7 και 10 έχει το 30 διαιρούμενο με το 6, 5.

ΔιάμεσοςΟ μεσαίος αριθμός μιας σειράς αριθμών. Οι μισοί από τους αριθμούς έχουν τιμές που είναι μεγαλύτερες από τη διάμεση, και οι μισοί από τους αριθμούς έχουν τιμές που είναι μικρότερες από τη διάμεση. Για παράδειγμα, η διάμεσος των 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 4.

ΤρόποςΟ πιο συχνά εμφανιζόμενος αριθμός σε μια ομάδα αριθμών. Για παράδειγμα τη λειτουργία 2, 3, 3, 5, 7 και 10 - 3.

Αυτά τα τρία μέτρα της κεντρικής τάσης της συμμετρικής κατανομής μιας σειράς αριθμών είναι ένα και το αυτό. Σε μια ασύμμετρη κατανομή ενός αριθμού αριθμών, μπορεί να είναι διαφορετικοί.

Υπολογίστε τη μέση τιμή των κελιών που βρίσκονται συνεχώς σε μια σειρά ή μια στήλη

Κάντε το εξής.

Υπολογισμός του μέσου όρου των διάσπαρτων κυττάρων

Για να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ. Αντιγράψτε τον παρακάτω πίνακα σε ένα κενό φύλλο.

Υπολογισμός του σταθμισμένου μέσου όρου

SUMPRODUCTκαι ποσά. Το vΑυτό το παράδειγμα υπολογίζει τη μέση τιμή μονάδας που καταβάλλεται για τρεις αγορές, όπου κάθε αγορά αφορά διαφορετικό αριθμό μονάδων μέτρησης σε διαφορετικές τιμές μονάδας.

Αντιγράψτε τον παρακάτω πίνακα σε ένα κενό φύλλο.

Υπολογισμός της μέσης τιμής των αριθμών, αγνοώντας μηδενικές τιμές

Για να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία, χρησιμοποιήστε τις συναρτήσεις ΜΕΣΗ ΤΙΜΗκαι αν. Αντιγράψτε τον παρακάτω πίνακα και λάβετε υπόψη ότι σε αυτό το παράδειγμα, για να γίνει πιο κατανοητό, αντιγράψτε τον σε ένα κενό φύλλο.