Ποιους βασικούς τύπους διαφοροποίησης γνωρίζετε. Παράγωγος, κανόνες και τύποι διαφοροποίησης

Πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων

Ορισμός 1

Ο υπολογισμός της παραγώγου λέγεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.

Δηλώστε την παράγωγο $y"$ ή $\frac(dy)(dx)$.

Παρατήρηση 1

Για να βρεθεί η παράγωγος μιας συνάρτησης, σύμφωνα με τους βασικούς κανόνες, η διαφοροποίηση μετατρέπεται σε άλλη συνάρτηση.

Εξετάστε τον πίνακα των παραγώγων. Ας προσέξουμε ότι οι συναρτήσεις μετά την εύρεση των παραγώγων τους μετατρέπονται σε άλλες συναρτήσεις.

Η μόνη εξαίρεση είναι το $y=e^x$, το οποίο μετατρέπεται στον εαυτό του.

Κανόνες διαφοροποίησης παραγώγων

Τις περισσότερες φορές, όταν βρίσκετε μια παράγωγο, απαιτείται όχι μόνο να κοιτάξετε τον πίνακα των παραγώγων, αλλά πρώτα να εφαρμόσετε τους κανόνες διαφοροποίησης και την απόδειξη της παραγώγου του προϊόντος και μόνο στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων .

1. Η σταθερά βγαίνει από το πρόσημο της παραγώγου

Το $C$ είναι μια σταθερά (σταθερά).

Παράδειγμα 1

Διαφοροποιήστε τη συνάρτηση $y=7x^4$.

Λύση.

Βρείτε $y"=(7x^4)"$. Βγάζουμε τον αριθμό $7$ για το πρόσημο της παραγώγου, παίρνουμε:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

χρησιμοποιώντας τον πίνακα, πρέπει να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης ισχύος:

$=7 \cdot 4x^3=$

Μετατρέπουμε το αποτέλεσμα στη μορφή που είναι αποδεκτή στα μαθηματικά:

Απάντηση:$28x^3$.

2. Η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Παράδειγμα 2

Διαφοροποιήστε τη συνάρτηση $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

Λύση.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

εφαρμόστε τον κανόνα διαφοροποίησης του αθροίσματος και της διαφοράς παραγώγου:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

Σημειώστε ότι κατά τη διαφοροποίηση, όλες οι δυνάμεις και οι ρίζες πρέπει να μετατραπούν στη μορφή $x^(\frac(a)(b))$;

βγάζουμε όλες τις σταθερές από το πρόσημο της παραγώγου:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

έχοντας ασχοληθεί με τους κανόνες διαφοροποίησης, ορισμένοι από αυτούς (για παράδειγμα, όπως οι δύο τελευταίοι) εφαρμόζονται ταυτόχρονα για να αποφευχθεί η επανεγγραφή μιας μεγάλης έκφρασης.

έχουμε λάβει μια έκφραση από στοιχειώδεις συναρτήσεις κάτω από το πρόσημο της παραγώγου. Ας χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα των παραγώγων:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

μετατροπή στη μορφή που είναι αποδεκτή στα μαθηματικά:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$

Σημειώστε ότι όταν βρίσκετε το αποτέλεσμα, συνηθίζεται να μετατρέπετε όρους με κλασματικές δυνάμεις σε ρίζες και με αρνητικούς σε κλάσματα.

Απάντηση: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. Ο τύπος για την παράγωγο του γινομένου των συναρτήσεων:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Παράδειγμα 3

Διαφοροποιήστε τη συνάρτηση $y=x^(11) \ln x$.

Λύση.

Πρώτα εφαρμόζουμε τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου του γινομένου των συναρτήσεων και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον πίνακα των παραγώγων:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

Απάντηση: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. Ο τύπος για την παράγωγο μιας ιδιωτικής συνάρτησης:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

Παράδειγμα 4

Διαφοροποιήστε τη συνάρτηση $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

Λύση.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

σύμφωνα με τους κανόνες προτεραιότητας των μαθηματικών πράξεων, εκτελούμε πρώτα διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση, επομένως εφαρμόζουμε πρώτα τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου του πηλίκου:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

εφαρμόστε τους κανόνες των παραγώγων του αθροίσματος και της διαφοράς, ανοίξτε τις αγκύλες και απλοποιήστε την έκφραση:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

Απάντηση:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

Παράδειγμα 5

Ας διαφοροποιήσουμε τη συνάρτηση $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

Λύση.

Η συνάρτηση y είναι πηλίκο δύο συναρτήσεων, επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου ενός πηλίκου, αλλά σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε μια δυσκίνητη συνάρτηση. Για να απλοποιήσετε αυτή τη συνάρτηση, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο ανά όρο:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

Ας εφαρμόσουμε στην απλοποιημένη συνάρτηση τον κανόνα διαφοροποίησης του αθροίσματος και της διαφοράς των συναρτήσεων:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Απάντηση: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

1. (f(h(x))) "= f" (h(x)) x ∙ h"(x)

2. (αμαρτία x) " = cos x

3. (cos x) " = - αμαρτία x

4. (tg x) " = 1/cos 2 x

5.(ctg x)" = 1/αμαρτία 2 x

6. (a x) " = a x ∙ ln a

7. (ε χ) " = ε χ

8. (lnx)" = 1/x

9. (log a x) " = 1/ x ∙ ln a a

10.(arcsinx)" = 1/

11. (arccos x) "= -1/

12. (arctg x) "= 1/ 1+x 2

13. (arcctg x) " = -1/1+x 2

Παράδειγμα. Υπολογισμός παραγώγου

y=sin3(1-x2)

y"= (αμαρτία 3 (1-x 2))"* (αμαρτία (1-x 2))"* (1-x 2)" = 3 αμαρτία 2 (1-x 2) * cos (1-x 2 ) ) * (-2x) =

6x * sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2)

Ορισμός. Έστω η συνάρτηση y = f(x), x Є(a;b) να είναι διαφορίσιμη σε κάποιο σημείο x o Є(a;b), δηλ. στο σημείο x o υπάρχει ένα όριο lim Δf(x o) / Δx = f"’ (x o)

Από εδώ έχουμε Δ f(x o) / Δx = f’(x o) + α , όπου α είναι μια απειροελάχιστη τιμή στο Δ x→0, δηλ. λίμα = 0

Άρα Δ f(x o) = f"" (x o) ∙ Δx + α∙ Δx.

Ο δεύτερος όρος είναι απείρως μικρός ως Δx→0, επομένως d f(x o)= f "(x o)∙ Δx ή

Παράδειγμα. Υπολογίστε το διαφορικό της συνάρτησης y = x 2 + cos 3x - 5

Dy \u003d (x 2 + cos 3x - 5) "dx \u003d (2x - 3 sin 3x) dx.

Ορισμός. Μια διαφορική συνάρτηση f(x) που ορίζεται σε κάποιο διάστημα x ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) που ορίζεται στο ίδιο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα F"(x) = f(x) ή d F(x) = f(x) * dx

Ορισμός. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) που ορίζεται σε κάποιο διάστημα x ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) σε αυτό το διάστημα και συμβολίζεται με το σύμβολο

∫ f(x) dx = f(x) + C, όπου F(x) είναι το αντιπαράγωγο

C είναι η σταθερά της παραγώγου.

Για τον υπολογισμό του αόριστου ολοκληρώματος υπάρχει πίνακας βασικών ολοκληρωμάτων (βλ. σχολικό βιβλίο Μαθηματικά για τεχνικές σχολές του I.I. Valuta), σελ.251).

Παράδειγμα. Εύρημα

1. ∫(4x 3 - 6x 2 + 2x + 3)dx = ∫4x 3 dx - ∫6x 2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x 4 /4 - 6 x 3 /3 + 2 x 2 /2 +

2. ∫(5x 4 – 8/cos 2 x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x 4 dx – ∫8/cos 2 x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =

5 * x 5 / 5 - 8 * tg x + 3 x 3/2 / 3/2 + x + C = x 5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫2 3x * 3 x dx = ∫(2 3 * 3) x dx = ∫ 24 x dx = 24 x / ln 24 + C.

Ορισμός. Οι προσαυξήσεις F(b) - F (a) οποιασδήποτε από τις αντιπαράγωγες συναρτήσεις f(x) + C όταν το όρισμα αλλάζει από x = a σε x = b ονομάζεται οριστικό ολοκλήρωμα από το a στο b της συνάρτησης f(x ), και συμβολίζεται με f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a), και ονομάζεται τύπος Newton-Leibniz.

Παράδειγμα. Υπολογίζω

1. ∫ (x 2 - 3x + 7)dx = ( x 3 - 3/2 x 2 + 7x) | = (1/3 * 2 3 - 3/2 * 2 2 + 7*2) - (1/3 *(-1) 3 -

3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

Ορισμός. Το σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x), ένα τμήμα και ευθείες x \u003d a και x \u003d b ονομάζεται καμπυλόγραμμο τραπέζιο.

S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

Παράδειγμα. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός οριοθετημένου σχήματος y = ½ x 2 + 1 y = 0 x = -2 x = 3

S= ∫ (1/2 x 2 + 1) dx = (1/6 x 3 + x) | = (1/6 * 3 3 +3) -

- (1/6 (-2) 3 – 2) = 10 5/6

Θέμα 1.2. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Η επίλυση διαφόρων προβλημάτων με τη μέθοδο της μαθηματικής μοντελοποίησης ανάγεται στην εύρεση μιας άγνωστης συνάρτησης από μια εξίσωση που περιέχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή, την επιθυμητή συνάρτηση και τις παραγώγους αυτής της συνάρτησης. Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση.

Ορισμός. Λύση σε μια διαφορική εξίσωση είναι κάθε συνάρτηση που μετατρέπει τη δεδομένη εξίσωση σε ταυτότητα.

Συμβολικά, η διαφορική εξίσωση γράφεται ως εξής:

F(x, y, y" , y"", .....y (h)) = 0

2x + y – 3y"= 0 y" 2 – 4 = 0, sin y"= cos xy, y"" = 2x είναι διαφορικές εξισώσεις.

Ορισμός 2. Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η μεγαλύτερη τάξη των παραγώγων που περιλαμβάνονται στη δεδομένη εξίσωση.

xy" + y - 2 = 0 - εξίσωση πρώτης τάξης

y"" + 7y"- 3y = 0 - εξίσωση τρίτης τάξης

Ορισμός 3. Μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής F(x, y, y") = 0

y"= f(x, y) είναι μια εξίσωση πρώτης τάξης που λύνεται σε σχέση με την παράγωγο.

Ορισμός 4. Κάθε μεμονωμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ιδιαίτερη λύση της.

Ορισμός 5. Η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y = (e (x,C) ή y = y(x,C) - αντιπροσωπεύει τη γενική λύση της διαφορικής λύσης F(x, y, y") = 0 ή

Πρόβλημα Cauchy. Κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, είναι συχνά απαραίτητο να ξεχωρίσουμε από το σύνολο των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης τη συγκεκριμένη λύση που είναι η απάντηση στο ερώτημα που τίθεται. Για να ξεχωρίσουμε μια ξεχωριστή ολοκληρωτική καμπύλη από ολόκληρο το σύνολο των λύσεων, τίθενται οι λεγόμενες αρχικές συνθήκες.

Στην περίπτωση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης y" = f(x, y), η αρχική συνθήκη για τη λύση της y = y(x) νοείται ως οι συνθήκες όπου y = y o στο x = x o δηλ. y (x o) \u003d y o, όπου x o και y o δίνονται αριθμοί (αρχικά δεδομένα), έτσι ώστε όταν x \u003d x o και y \u003d y o, η συνάρτηση f (x, y) έχει νόημα, δηλαδή υπάρχει f (x o, y περίπου) .

Ορισμός 6. Το πρόβλημα της εύρεσης μιας συγκεκριμένης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί δεδομένες αρχικές συνθήκες ονομάζεται πρόβλημα Cauchy.

Στην περίπτωση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης, το πρόβλημα Cauchy διατυπώνεται ως εξής: βρείτε μια λύση y \u003d y (x) της εξίσωσης y "= f (x, y), που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη για δεδομένα αρχικά δεδομένα (x o, y o)

y (x o) \u003d y o ή, σε άλλη σημείωση, y x \u003d x0 \u003d y o, όπου x o, y o δίνονται αριθμοί.

Ορισμός 7. Μια διαφορική εξίσωση ονομάζεται εξίσωση με χωριστές μεταβλητές εάν έχει την ακόλουθη μορφή: y "= f 1 (x) f 2 (y) ή

dy/f 2 (y) = f 1 (x) dx.

Θεώρημα: Αν υπάρχουν τα ολοκληρώματα ∫dy/f 2 (y) και ∫ f 1 (x) dx, τότε το γενικό ολοκλήρωμα της διαχωρισμένης μεταβλητής εξίσωσης δίνεται από την εξίσωση

F 2 (y) = F 1 (x) + C, όπου F 2 (y) και F 1 (x) είναι μερικά αντιπαράγωγα των συναρτήσεων 1/f 2 (y) και f 1 (x), αντίστοιχα.

Κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων με διαχωριστικές μεταβλητές, μπορεί κανείς να καθοδηγηθεί από τον ακόλουθο αλγόριθμο:

1) διαχωρίστε τις μεταβλητές (λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες στις οποίες μπορεί να γίνει αυτό).

2) ολοκλήρωση όρο προς όρο εξισώσεις που λαμβάνονται με διαχωρισμένες μεταβλητές, βρείτε το γενικό του ολοκλήρωμα.

3) Μάθετε εάν η εξίσωση έχει λύσεις που δεν λαμβάνονται από το γενικό ολοκλήρωμα.

4) βρείτε ένα μερικό ολοκλήρωμα (ή λύση) που να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (αν απαιτείται).

Παράδειγμα. Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στην εξίσωση 2yy" = 1-3x 2 εάν y o = 3 για x o =1

Αυτή είναι μια διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση. Ας το παραστήσουμε σε διαφορικά:

Επομένως 2y * dy = (1-3 x 2) dx

Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη της τελευταίας ισότητας, βρίσκουμε ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx παίρνουμε y 2 = x - x 3 + C. Αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές y o = 3 x o =1 βρίσκουμε

C: 9 \u003d 1-1 + C δηλ. C = 9.

Επομένως, το επιθυμητό μερικό ολοκλήρωμα θα είναι y 2 \u003d x - x 3 + 9 ή

x 3 + y 2 - x - 9 \u003d 0

Θέμα 1.4. Σειρές.

Ορισμός 1. Μια σειρά αριθμών είναι μια έκφραση της μορφής

а 1 + а 2 + …а n + ………., όπου α 1 , а 2 , ……а n – αριθμοί που ανήκουν σε κάποιο συγκεκριμένο αριθμητικό σύστημα.

Για τη συντομογραφία της σειράς, χρησιμοποιείται το πρόσημο Σ και

δηλαδή a 1 + a 2 + …a n + ……….= Σ a n

Ορισμός 2. Οι αριθμοί a 1, a 2, ... και n, ..... ονομάζονται μέλη της σειράς. και το n ονομάζεται κοινό μέλος της σειράς.

Ορισμός 3. Μια σειρά ονομάζεται συγκλίνουσα αν η ακολουθία των μερικών της αθροισμάτων S 1 , S 2 , S 3 .........S n , ...... συγκλίνει, δηλ. εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο

Ο αριθμός S ονομάζεται άθροισμα της σειράς. Εάν δεν υπάρχει Lim S n ή Lim S n = ∞, τότε η σειρά

h →∞ h →∞

ονομάζεται αποκλίνουσα και δεν του αποδίδεται αριθμητική τιμή.

Θεώρημα 1. Εάν η σειρά συγκλίνει, τότε ο κοινός όρος της a n τείνει στο μηδέν.

Εάν Lim a n ≠ 0 ή αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε η σειρά αποκλίνει.

Θεώρημα 2. Έστω μια σειρά α 1 + а 2 + …а n + ………., με θετικούς όρους.

a n + 1 a n + 1

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει Lim και Lim = P

h →∞ a n h →∞ a n

1) εάν ο R<1, то ряд сходится

2) εάν Р>1, τότε η σειρά αποκλίνει.

Ορισμός 3. Οι σειρές που περιέχουν θετικούς και αρνητικούς όρους ονομάζονται κανονικές.

Ορισμός 4. Μια κανονική σειρά ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα αν η σειρά συγκλίνει

|a 1 | + |а 2 | + …+ | και ν | + ………., που αποτελείται από τις ενότητες των μελών του.

Ορισμός 5. Σειρά а 1 + а 2 + …а n + ………., ονομάζεται υπό όρους συγκλίνουσα αν συγκλίνει, και η σειρά |а 1 | + |а 2 | + …+ | και ν | + ………., που αποτελείται από τις ενότητες των μελών του, αποκλίνει.

Ορισμός 6. Μια σειρά ονομάζεται εναλλασσόμενη αν οι θετικοί και αρνητικοί όροι διαδέχονται ο ένας τον άλλον με τη σειρά τους (a 1 + a 2 + a 3 - a 4 +…..+(-1) n +1 *

Θεώρημα 3. Μια εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει αν:

1) τα μέλη του μειώνουν το modulo,

a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a n ≥ ……..

2) ο κοινός όρος του τείνει στο μηδέν,

Επιπλέον, το άθροισμα S της σειράς ικανοποιεί την ανισότητα 0≤ S ≤a 1

Ορισμός 7. Έστω u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) ... κάποια ακολουθία συναρτήσεων.

Μια έκφραση της μορφής Σ u n (x) = u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) + ονομάζεται συναρτητική σειρά.

Ορισμός 8. Μια συναρτησιακή σειρά ονομάζεται συγκλίνουσα σε ένα σημείο x o αν

σειρά αριθμών Σ u n (x o) = u 1 (x o), u 2 (x o),.....u n (x o) + ......

που προκύπτει από τη συναρτησιακή σειρά με αντικατάσταση x = x o , είναι μια συγκλίνουσα σειρά. Αυτό ονομάζεται το σημείο σύγκλισης της σειράς.

Ορισμός 9. Μια σειρά ισχύος είναι μια λειτουργική σειρά της μορφής

Σ a n (x-x o) n = a o + a 1 (x-x o), a 2 (x-x o) 2 ,.....a n (x-x o) n + ......

όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, х o είναι σταθερός αριθμός, α o , a 1 , a 2 , … а n ….. είναι σταθεροί συντελεστές.

Ενότητα 2.1. Βασικές αρχές διακριτών μαθηματικών.

Θέμα 2.1. Σύνολα και σχέσεις. Ιδιότητες σχέσης. Λειτουργίες σε σετ.

Ένα σύνολο είναι η βασική έννοια της θεωρίας συνόλων, η οποία εισάγεται χωρίς ορισμό. Τουλάχιστον, αυτό που είναι γνωστό για ένα σύνολο είναι ότι αποτελείται από στοιχεία.

Το σύνολο Α ονομάζεται

είναι το στοιχείο Β (Εικ. 1)

εικόνα 1

Τρόποι καθορισμού συνόλων:

1. Με απαρίθμηση, δηλ. κατάλογο των στοιχείων του.

2. Μια διαδικασία παραγωγής που περιγράφει μια μέθοδο για τη λήψη στοιχείων ενός συνόλου από ήδη ληφθέντα στοιχεία ή άλλα αντικείμενα. Σε αυτήν την περίπτωση, τα στοιχεία του συνόλου είναι όλα τα αντικείμενα που μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας μια τέτοια διαδικασία.

3. Περιγραφή των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που πρέπει να έχουν τα στοιχεία του.

Προσδιορίστε με διάφορους τρόπους το σύνολο N όλων των φυσικών αριθμών 1, 2, 3…..

α) το σύνολο N δεν μπορεί να καθοριστεί ως λίστα λόγω του άπειρου του.

β) η διαδικασία παραγωγής περιέχει δύο κανόνες:

1) 1 О N ; 2) αν n н N, τότε n + 1 н N

γ) περιγραφή της χαρακτηριστικής ιδιότητας των στοιχείων του συνόλου N:

N = (x, x είναι θετικός ακέραιος αριθμός)

Λειτουργίες σε σετ.

1. Η ένωση των συνόλων Α και Β ονομάζεται

το σύνολο όλων αυτών των στοιχείων

που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα

A, B. (Εικόνα 2)

Σχήμα 2

2. Η τομή των συνόλων Α και Β ονομάζεται

ένα σύνολο που αποτελείται από όλα αυτά και μόνο αυτά τα στοιχεία

που ανήκουν τόσο στο Α όσο και στο Β. (Εικόνα 3)

Εικόνα 3

3. Η διαφορά των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο

όλα εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία του Α που

Εικόνα 4

4. Το συμπλήρωμα (μέχρι το Β) ενός συνόλου Α ονομάζεται Β

ΑΛΛΑ

το σύνολο όλων των στοιχείων που δεν ανήκουν στο A (Εικ. 5)

Εικόνα 5

Εκτελέστε πράξεις στα σύνολα A = (a, b, c, d) και B = (c, d, f.g, h)

A U B =(a, b, c, d, e, f.g,h)

A ∩ B = (c, d)

Οι πράξεις συμπληρώματος στα σύνολα Α και Β δεν μπορούν να εκτελεστούν δηλ. το καθολικό σύνολο δεν έχει οριστεί.

Οι σχέσεις είναι ένας από τους τρόπους καθορισμού σχέσεων μεταξύ στοιχείων ενός συνόλου. Οι πιο μελετημένες και πιο συχνά χρησιμοποιούμενες είναι οι λεγόμενες σχέσεις κάτω και δύο ζευγών.

Οι σχέσεις μπορούν να οριστούν:

λίστα;

Μήτρα.

Ιδιότητες σχέσης.

Έστω R μια σχέση στο σύνολο M, R ≤ M x M, τότε:

1. Το R είναι αντανακλαστικό εάν ισχύει ένα R a για οποιοδήποτε a Î M.

2. Το R είναι αντιανακλαστικό εάν κανένα από τα δύο a Î M δεν ισχύει για ένα R.

3. Το R είναι συμμετρικό εάν ένα R b υποδηλώνει bRа.

4. Το R είναι αντισημμετρικό εάν τα aRb και bRa υποδηλώνουν a=b, δηλ. για οποιαδήποτε διακριτά στοιχεία το a και το b (a≠b) δεν είναι τόσο aRb όσο και bRa .

5. Το R είναι μεταβατικό εάν τα aRb και bRa υποδηλώνουν aRc.

Θέμα 2.2 Βασικές έννοιες της θεωρίας γραφημάτων

Οι γραφικές αναπαραστάσεις με την ευρεία έννοια είναι οποιεσδήποτε οπτικές αναπαραστάσεις του υπό μελέτη συστήματος, διαδικασίας, φαινομένου σε ένα επίπεδο. Αυτά μπορεί να περιλαμβάνουν σχέδια, σχέδια, γραφήματα εξαρτήσεων χαρακτηριστικών, χάρτες σχεδίων περιοχών, διαγράμματα ροής διεργασιών, διαγράμματα κ.λπ.

Οι γραφικές αναπαραστάσεις είναι ένας βολικός τρόπος για την απεικόνιση του περιεχομένου διαφόρων εννοιών που σχετίζονται με άλλους τρόπους επισημοποιημένων αναπαραστάσεων.

Μια ισχυρή και πιο μελετημένη κατηγορία αντικειμένων που σχετίζονται με γραφικές αναπαραστάσεις είναι τα λεγόμενα γραφήματα.

Η θεωρία γραφημάτων έχει τεράστιες εφαρμογές, αφού η γλώσσα της αφενός είναι σαφής και κατανοητή και αφετέρου βολεύει στην επίσημη έρευνα.

Οι γραφικές αναπαραστάσεις με τη στενή έννοια είναι μια περιγραφή του συστήματος, της διαδικασίας, του φαινομένου που μελετάται μέσω της θεωρίας γραφημάτων με τη μορφή ενός συνόλου δύο τάξεων αντικειμένων: κορυφές και γραμμές που τις συνδέουν - άκρες ή τόξα.

Ορισμός: Ένα γράφημα D είναι μια συλλογή δύο συνόλων: κορυφών V και ακμών E, μεταξύ των οποίων ορίζεται μια σχέση πρόσπτωσης - κάθε ακμή e E είναι παρεμπιπτόντως ίση με δύο κορυφές v", v"" V, τις οποίες συνδέει.

Επίσης σχετικά με τη θεωρία των γραφημάτων, σχετικά με τα στοιχεία των γραφημάτων, να εξοικειωθείτε με τους τύπους των γραφημάτων και να εξετάσετε τις πράξεις σε αυτά, μπορείτε να μελετήσετε την ενότητα 3 «Θεωρία γραφημάτων», σελ. 195-214 στο σχολικό βιβλίο για τον XXI αιώνα, έκδοση από τον Γ.Ι.».

Για ανεξάρτητη μελέτη του θέματος 3.1. Βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές. Πιθανότητα. Θεωρήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων. Θέματα 3.2. Τυχαία μεταβλητή, συνάρτηση κατανομής της. Θέματα 3.3. Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη βιβλιογραφία: V.S. Shchipachev "Fundamentals of Higher Mathematics", καθώς και I.P. Natanson. Ένα σύντομο μάθημα στα ανώτερα μαθηματικά ή NV Bogomolov Πρακτικό μάθημα στα μαθηματικά.

Έστω η συνάρτηση y = f(x) να οριστεί στο διάστημα X. παράγωγοΗ συνάρτηση y \u003d f (x) στο σημείο x o ονομάζεται όριο

= .

Αν αυτό το όριο πεπερασμένος,τότε καλείται η συνάρτηση f(x). διαφοροποιήσιμοστο σημείο Χ ο; εξάλλου, αποδεικνύεται αναγκαστικά και συνεχής σε αυτό το σημείο.

Αν το εξεταζόμενο όριο είναι ίσο με  (ή - ), τότε με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση στο σημείο Χ οείναι συνεχής, θα πούμε ότι η συνάρτηση f(x) έχει σε ένα σημείο Χ ο άπειρη παράγωγος.

Η παράγωγος συμβολίζεται με τα σύμβολα

y , f (x o), , .

Η εύρεση της παραγώγου λέγεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηλειτουργίες. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγουείναι ότι η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη y=f(x) σε ένα δεδομένο σημείο Χ ο ; φυσική αίσθηση -στο ότι η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κινούμενου σημείου κατά την ευθύγραμμη κίνηση s = s(t) τη στιγμή t o .

Αν ένα Μεείναι ένας σταθερός αριθμός και u = u(x), v = v(x) είναι μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, τότε ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες διαφοροποίησης:

1) (γ) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) αν y = f(u), u = (x), δηλ. y = f((x)) - σύνθετη λειτουργία,ή προσθήκη, που αποτελείται από διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις  και f, τότε , ή

6) αν για τη συνάρτηση y = f(x) υπάρχει αντίστροφη διαφοροποιήσιμη συνάρτηση x = g(y), και  0, τότε .

Με βάση τον ορισμό της παραγώγου και τους κανόνες διαφοροποίησης, μπορεί κανείς να συντάξει μια λίστα με πίνακα παραγώγων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Ας υπολογίσουμε την παράγωγο της εκθετικής παράστασης y=u v , (u>0), όπου uκαι vουσία της λειτουργίας Χέχοντας παράγωγα σε ένα δεδομένο σημείο εσύ",v".

Λαμβάνοντας τον λογάριθμο της ισότητας y=u v , παίρνουμε ln y = v ln u.

Εξίσωση παραγώγων σε σχέση με ΧΚαι από τα δύο μέρη της ισότητας που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους κανόνες 3, 5 και τον τύπο για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης, θα έχουμε:

y"/y = vu"/u + v" ln u, απ' όπου y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Για παράδειγμα, αν y \u003d x sin x, τότε y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).

Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο Χ, δηλ. έχει μια πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο y", τότε = y "+, όπου 0 στο х 0· επομένως  y = y" х +  x.

Το κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης, γραμμικό ως προς το x, ονομάζεται διαφορικός λειτουργίεςκαι συμβολίζεται με dy: dy \u003d y "x. Αν βάλουμε y \u003d x σε αυτόν τον τύπο, τότε παίρνουμε dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x, επομένως dy \u003d y "dx, δηλαδή ένα σύμβολο για τον συμβολισμό για την παράγωγο μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα.

Αύξηση συνάρτησης  yείναι η αύξηση της τεταγμένης της καμπύλης, και το διαφορικό d yείναι η προσαύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης.

Ας βρούμε για τη συνάρτηση y=f(x) την παράγωγό της y = f (x). Η παράγωγος αυτής της παραγώγου λέγεται παράγωγο δεύτερης τάξηςσυναρτήσεις f(x), ή δεύτερο παράγωγο,και συμβολίζεται .

Τα ακόλουθα ορίζονται και σημειώνονται με τον ίδιο τρόπο:

παράγωγο τρίτης τάξης - ,

παράγωγο τέταρτης τάξης -

και γενικά μιλώντας παράγωγο νης τάξης - .

Παράδειγμα 3.15. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Λύση.Σύμφωνα με τον κανόνα 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) συν x.

Παράδειγμα 3.16 . Βρείτε y", y = tg x + .

Λύση.Χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος και του πηλίκου, παίρνουμε: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Παράδειγμα 3.17. Να βρείτε την παράγωγο μιγαδικής συνάρτησης y= , u=x 4 +1.

Λύση.Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, παίρνουμε: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Αφού u \u003d x 4 +1, μετά (2 x 4 + 2+ .

Παράγωγος, κανόνες και τύποι διαφοροποίησης

Έστω η συνάρτηση y = f(x) να οριστεί στο διάστημα X. παράγωγοΗ συνάρτηση y \u003d f (x) στο σημείο x o ονομάζεται όριο

= .

Αν αυτό το όριο πεπερασμένος,τότε καλείται η συνάρτηση f(x). διαφοροποιήσιμοστο σημείο x o; εξάλλου, αποδεικνύεται αναγκαστικά και συνεχής σε αυτό το σημείο.

Εάν το εξεταζόμενο όριο είναι ίσο με ¥ (ή - ¥), τότε υπό την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση στο σημείο x oείναι συνεχής, θα πούμε ότι η συνάρτηση f(x) έχει σε ένα σημείο x o άπειρη παράγωγος.

Η παράγωγος συμβολίζεται με τα σύμβολα

y ¢, f ¢(x o), , .

Η εύρεση της παραγώγου λέγεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηλειτουργίες. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγουείναι ότι η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη y=f(x) σε ένα δεδομένο σημείο x o; φυσική αίσθηση -στο ότι η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κινούμενου σημείου κατά την ευθύγραμμη κίνηση s = s(t) τη στιγμή t o .

1) (γ) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) αν y = f(u), u = j(x), δηλ. y = f(j(x)) - σύνθετη λειτουργία,ή προσθήκη, που αποτελείται από διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις j και f, τότε , ή

6) εάν για μια συνάρτηση y = f(x) υπάρχει μια αντίστροφη διαφοροποιήσιμη συνάρτηση x = g(y), και 1 0, τότε .

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna × u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u × u".

7. (cos u)" = - sin u × u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Λαμβάνοντας τον λογάριθμο της ισότητας y=u v , παίρνουμε ln y = v ln u.

y"/y = vu"/u + v" ln u, απ' όπου y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Για παράδειγμα, αν y \u003d x sin x, τότε y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο Χ, δηλ. έχει μια πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο y", τότε \u003d y "+a, όπου a®0 στο Dx® 0, επομένως D y \u003d y" Dx + a x.

Το κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης, γραμμικό ως προς το Dx, ονομάζεται διαφορικό λειτουργίαςκαι συμβολίζεται dy: dy \u003d y "Dx. Αν βάλουμε y \u003d x σε αυτόν τον τύπο, τότε παίρνουμε dx \u003d x" Dx \u003d 1 × Dx \u003d Dx, επομένως dy \u003d y "dx, δηλ. το σύμβολο για την ένδειξη της παραγώγου μπορεί να θεωρηθεί σαν κλάσμα.

Αύξηση συνάρτησης D yείναι η αύξηση της τεταγμένης της καμπύλης, και το διαφορικό d yείναι η προσαύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης.

Ας βρούμε για τη συνάρτηση y=f(x) την παράγωγό της y ¢= f ¢(x). Η παράγωγος αυτής της παραγώγου λέγεται παράγωγο δεύτερης τάξηςσυναρτήσεις f(x), ή δεύτερο παράγωγο,και συμβολίζεται .

Τα ακόλουθα ορίζονται και σημειώνονται με τον ίδιο τρόπο:

παράγωγο τρίτης τάξης - ,

παράγωγο τέταρτης τάξης -

και γενικά μιλώντας παράγωγο νης τάξης - .

Παράδειγμα 3.15. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης y=(3x 3 -2x+1)×sin x.

Λύση.Σύμφωνα με τον κανόνα 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.

Παράδειγμα 3.16. Βρείτε y", y = tg x + .

Παράδειγμα 3.17. Να βρείτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης y= ,
u=x 4 +1.

Λύση.Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, παίρνουμε: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Αφού u \u003d x 4 +1, λοιπόν
(2 x 4 +2+ .

Παράδειγμα 3.18.

Λύση.Ας παραστήσουμε τη συνάρτηση y= ως υπέρθεση δύο συναρτήσεων: y = e u και u = x 2 . Έχουμε: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u ×2x. Αντικατάσταση x2αντί u, παίρνουμε y=2x .

Παράδειγμα 3.19. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=ln sin x.

Λύση.Συμβολίστε u=sin x, τότε η παράγωγος της μιγαδικής συνάρτησης y=ln u υπολογίζεται με τον τύπο y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Παράδειγμα 3.20.Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= .

Λύση.Η περίπτωση μιας μιγαδικής συνάρτησης που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα πολλών υπερθέσεων εξαντλείται με τη διαδοχική εφαρμογή του κανόνα 5:

Παράδειγμα 3.21. Υπολογίστε την παράγωγο y=ln .

Λύση.Λαμβάνοντας λογάριθμους και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, παίρνουμε:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Διαφοροποιώντας και τα δύο μέρη της τελευταίας ισότητας, παίρνουμε:

Λειτουργία ακραία

Καλείται η συνάρτηση y=f(x). αυξανόμενη (φθίνουσα) σε κάποιο διάστημα αν για x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Εάν μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση y = f(x) σε ένα τμήμα αυξάνεται (μειώνεται), τότε η παράγωγός της σε αυτό το τμήμα f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Τελεία x oπου ονομάζεται τοπικό μέγιστο σημείο (ελάχιστο) της συνάρτησης f(x) αν υπάρχει γειτονιά του σημείου x o, για όλα τα σημεία των οποίων η ανίσωση f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)) είναι αληθής.

Ο μέγιστος και ο ελάχιστος βαθμός καλούνται ακραία σημεία, και οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι της ακραία.

Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ. Αν σημείο x oείναι ένα ακραίο σημείο της συνάρτησης f(x), τότε είτε f ¢(x o) = 0, είτε f ¢(x o) δεν υπάρχει. Τέτοια σημεία λέγονται κρίσιμος,όπου η ίδια η συνάρτηση ορίζεται στο κρίσιμο σημείο. Τα άκρα μιας συνάρτησης πρέπει να αναζητούνται μεταξύ των κρίσιμων σημείων της.

Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση.Αφήνω x o- κρίσιμο σημείο. Αν f ¢ (x) όταν διέρχεται από το σημείο x oαλλάζει το σύμβολο συν σε μείον και μετά στο σημείο x oη συνάρτηση έχει μέγιστο, διαφορετικά έχει ελάχιστο. Εάν η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο όταν διέρχεται από ένα κρίσιμο σημείο, τότε στο σημείο x oδεν υπάρχει ακρότητα.

Η δεύτερη επαρκής προϋπόθεση.Έστω η συνάρτηση f(x) να έχει παράγωγο
f ¢ (x) σε μια γειτονιά ενός σημείου x oκαι η δεύτερη παράγωγος στο ίδιο σημείο x o. Αν f ¢(x o) = 0, >0 (<0), то точка x oείναι ένα τοπικό ελάχιστο (μέγιστο) σημείο της συνάρτησης f(x). Αν =0, τότε κάποιος πρέπει είτε να χρησιμοποιήσει την πρώτη επαρκή συνθήκη είτε να περιλαμβάνει υψηλότερες παραγώγους.

Σε ένα τμήμα, η συνάρτηση y = f(x) μπορεί να φτάσει την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της είτε σε κρίσιμα σημεία είτε στα άκρα του τμήματος.

Παράδειγμα 3.22.Να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Λύση.Εφόσον f ¢ (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), τότε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης x 1 \u003d 2 και x 2 \u003d 3. Τα ακραία σημεία μπορούν να είναι μόνο σε αυτά τα σημεία. Δεδομένου ότι όταν διέρχεται από το σημείο x 1 \u003d 2, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο. Όταν διέρχεται από το σημείο x 2 \u003d 3, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επομένως, στο σημείο x 2 \u003d 3, η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο. Έχοντας υπολογίσει τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x 1 = 2 και x 2 = 3, βρίσκουμε τα άκρα της συνάρτησης: μέγιστη f (2) = 14 και ελάχιστη f (3) = 13.

Παράδειγμα 3.23.Είναι απαραίτητο να χτιστεί ένας ορθογώνιος χώρος κοντά στον πέτρινο τοίχο, έτσι ώστε να περιφράσσεται με συρμάτινο πλέγμα στις τρεις πλευρές του και να εφάπτεται στον τοίχο από την τέταρτη πλευρά. Για αυτό υπάρχει έναγραμμικά μέτρα του πλέγματος. Σε ποια αναλογία διαστάσεων ο ιστότοπος θα έχει τη μεγαλύτερη περιοχή;

Λύση.Σημειώστε τις πλευρές του ιστότοπου μέσω Χκαι y. Η περιοχή της τοποθεσίας είναι S = xy. Αφήνω yείναι το μήκος της πλευράς δίπλα στον τοίχο. Τότε, κατά συνθήκη, ισχύει η ισότητα 2x + y = a must. Επομένως, y = a - 2x και S = x(a - 2x), όπου 0 £ x £ a/2 (το μήκος και το πλάτος της περιοχής δεν μπορεί να είναι αρνητικά). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 για x = a/4, εξ ου και
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Εφόσον το x = a/4 είναι το μόνο κρίσιμο σημείο, ας ελέγξουμε αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει κατά τη διέλευση από αυτό το σημείο. Για x< a/4 S ¢ >0, και για x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Εφόσον το S είναι συνεχές και οι τιμές του στα άκρα των S(0) και S(a/2) είναι ίσες με μηδέν, τότε η τιμή που βρέθηκε θα είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Έτσι, η πιο ευνοϊκή αναλογία διαστάσεων της τοποθεσίας υπό τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματος είναι y = 2x.

Παράδειγμα 3.24.Απαιτείται η κατασκευή κλειστής κυλινδρικής δεξαμενής χωρητικότητας V=16p » 50 m 3 . Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της δεξαμενής (ακτίνα R και ύψος H) ώστε να χρησιμοποιηθεί η μικρότερη ποσότητα υλικού για την κατασκευή της;

Λύση.Η συνολική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι S = 2pR(R+H). Γνωρίζουμε τον όγκο του κυλίνδρου V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Επομένως, S(R) = 2p(R2 +16/R). Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:
S¢(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S ¢(R) = 0 για R 3 = 8, επομένως,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Σε όλους τους παρακάτω τύπους, γράμματα uκαι vδιαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής συμβολίζονται Χ: , , αλλά με γράμματα ένα, c, n- μόνιμη:

Οι υπόλοιποι τύποι γράφονται τόσο για συναρτήσεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής όσο και για μιγαδικές συναρτήσεις:

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7α.

8α.

9α.

11α.

12α.

13α.

16α.

17α.

Κατά την επίλυση των παρακάτω παραδειγμάτων, γίνονται λεπτομερείς σημειώσεις. Ωστόσο, θα πρέπει να μάθει κανείς να διαφοροποιεί χωρίς ενδιάμεσες καταχωρήσεις.

Παράδειγμα 1Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης .

Λύση. Αυτή η συνάρτηση είναι το αλγεβρικό άθροισμα των συναρτήσεων. Το διαφοροποιούμε χρησιμοποιώντας τους τύπους 3, 5, 7 και 8:

Παράδειγμα 2Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Εφαρμόζοντας τους τύπους 6, 3, 7 και 1, παίρνουμε

Παράδειγμα 3Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης και υπολογίστε την τιμή του στο

Λύση. Αυτή είναι μια σύνθετη συνάρτηση με ένα ενδιάμεσο όρισμα. Χρησιμοποιώντας τους τύπους 7α και 10, έχουμε

Παράδειγμα 4Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης .

Λύση. Αυτή είναι μια σύνθετη συνάρτηση με ένα ενδιάμεσο όρισμα. Εφαρμόζοντας τους τύπους 3, 5, 7a, 11, 16a, παίρνουμε

Παράδειγμα 5Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης .

Λύση. Διαφοροποιούμε αυτή τη συνάρτηση με τους τύπους 6, 12, 3 και 1:

Παράδειγμα 6Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης και να υπολογίσετε την τιμή του στο .

Λύση. Αρχικά, μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων:

Τώρα διαφοροποιούμε με τους τύπους 3, 16a, 7 και 1:

Ας υπολογίσουμε την τιμή της παραγώγου στο .

Παράδειγμα 7Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης και υπολογίστε την τιμή της στο .

Λύση. Χρησιμοποιούμε τους τύπους 6, 3, 14a, 9a, 5 και 1:

Υπολογίστε την τιμή της παραγώγου στο:

Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης έχει μια απλή και σημαντική γεωμετρική ερμηνεία.

Εάν η συνάρτηση διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο Χ, τότε η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης έχει μια εφαπτομένη στο αντίστοιχο σημείο, και η κλίση της εφαπτομένης είναι ίση με την τιμή της παραγώγου στο σημείο που εξετάζουμε.

Η κλίση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο ( Χ 0 , στο 0), ισούται με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο x = x 0, δηλ. .

Η εξίσωση αυτής της εφαπτομένης έχει τη μορφή

Παράδειγμα 8. Γράψτε μια εξίσωση για μια εφαπτομένη σε μια γραφική παράσταση συνάρτησης στο σημείο Α (3.6).

Λύση. Για να βρούμε την κλίση της εφαπτομένης, βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:

Χ= 3:

Η εφαπτομενική εξίσωση έχει τη μορφή

, ή , δηλ.

Παράδειγμα 9Να συνθέσετε την εξίσωση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο με την τετμημένη x=2.

Λύση. Πρώτα, βρείτε τη τεταγμένη του σημείου επαφής. Εφόσον το σημείο Α βρίσκεται στην καμπύλη, οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση της καμπύλης, δηλ.

; .

Η εξίσωση της εφαπτομένης που σύρεται στην καμπύλη στο σημείο έχει τη μορφή . Για να βρούμε την κλίση της εφαπτομένης, βρίσκουμε την παράγωγο:

Η κλίση της εφαπτομένης είναι ίση με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στο Χ= 2:

Η εφαπτομενική εξίσωση είναι:

, , δηλ.

Η φυσική έννοια του παραγώγου.Αν το σώμα κινείται σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με το νόμο s=s(t), στη συνέχεια για ένα χρονικό διάστημα (από τη στιγμή tμέχρι τη στιγμή ) θα πάει κάπως. Στη συνέχεια, υπάρχει η μέση ταχύτητα κίνησης για μια χρονική περίοδο.

Ταχύτητακινήσεις του σώματος σε μια δεδομένη στιγμή tονομάζεται όριο του λόγου της διαδρομής προς την αύξηση του χρόνου, όταν η αύξηση του χρόνου τείνει στο μηδέν:

Επομένως, η χρονική παράγωγος της διαδρομής s tίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης του σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή:

Ο ρυθμός των φυσικών, χημικών και άλλων διεργασιών εκφράζεται επίσης χρησιμοποιώντας το παράγωγο.

Παράγωγος συνάρτησης ισούται με το ρυθμό μεταβολής αυτής της συνάρτησης για μια δεδομένη τιμή του ορίσματος Χ:

Παράδειγμα 10Ο νόμος της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής δίνεται από τον τύπο (s - σε μέτρα, t - σε δευτερόλεπτα). Βρείτε την ταχύτητα του σημείου στο τέλος του πρώτου δευτερολέπτου.

Λύση. Η ταχύτητα ενός σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι ίση με την παράγωγο της διαδρομής μικρόμε το καιρο t:

Άρα, η ταχύτητα του σημείου στο τέλος του πρώτου δευτερολέπτου είναι 9 m/s.

Παράδειγμα 11.Ένα σώμα που ρίχνεται κάθετα προς τα πάνω κινείται σύμφωνα με το νόμο, όπου v 0 - αρχική ταχύτητα, σολείναι η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης. Βρείτε την ταχύτητα αυτής της κίνησης για οποιαδήποτε στιγμή του χρόνου t. Πόσο καιρό θα σηκωθεί το σώμα και σε ποιο ύψος αν v0= 40 m/s;

Λύση. Η ταχύτητα με την οποία κινείται ένα σημείο σε μια δεδομένη στιγμή tίσο με την παράγωγο της διαδρομής μικρόμε το καιρο t:

Στο υψηλότερο σημείο της ανάβασης, η ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν:

, , , , Με.

Πάνω από 40/ σολδευτερόλεπτα το σώμα ανεβαίνει σε ύψος

, Μ.

Δεύτερη παράγωγος.

Παράγωγος συνάρτησης γενικά είναι συνάρτηση του Χ. Αν υπολογίσουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης, τότε παίρνουμε την παράγωγο δεύτερης τάξης ή τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης .

Δεύτερη παράγωγοςλειτουργίες λέγεται παράγωγος της πρώτης του παραγώγου .

Η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης συμβολίζεται με ένα από τα σύμβολα - , , . Με αυτόν τον τρόπο, .

Τα παράγωγα οποιασδήποτε τάξης ορίζονται και σημειώνονται με παρόμοιο τρόπο. Για παράδειγμα, μια παράγωγος τρίτης τάξης:

ή ,

Παράδειγμα 12. .

Λύση. Πρώτα βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο

Παράδειγμα 13Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης και υπολογίστε την τιμή του στο x=2.

Λύση. Πρώτα βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο:

Διαφοροποιώντας πάλι, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο:

Ας υπολογίσουμε την τιμή της δεύτερης παραγώγου στο x=2; έχουμε

Η φυσική σημασία της δεύτερης παραγώγου.

Αν το σώμα κινείται σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με το νόμο s = s(t), τότε η δεύτερη παράγωγος της διαδρομής μικρόμε το καιρο tίση με την επιτάχυνση του σώματος σε μια δεδομένη στιγμή t:

Έτσι, η πρώτη παράγωγος χαρακτηρίζει την ταχύτητα κάποιας διαδικασίας και η δεύτερη παράγωγος χαρακτηρίζει την επιτάχυνση της ίδιας διαδικασίας.

Παράδειγμα 14Το σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με το νόμο . Βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση της κίνησης .

Λύση. Η ταχύτητα του σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή είναι ίση με την παράγωγο της διαδρομής μικρόμε το καιρο t,και η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της διαδρομής μικρόμε το καιρο t. Βρίσκουμε:

; έπειτα ;

; έπειτα

Παράδειγμα 15Η ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της διαδρομής που διανύθηκε (όπως, για παράδειγμα, στην ελεύθερη πτώση). Να αποδείξετε ότι αυτή η κίνηση συμβαίνει υπό τη δράση μιας σταθερής δύναμης.

Λύση. Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη F που προκαλεί την κίνηση είναι ανάλογη με την επιτάχυνση, δηλ.

Σύμφωνα με την προϋπόθεση . Διαφοροποιώντας αυτή την ισότητα, βρίσκουμε

Επομένως, η δρούσα δύναμη .

Εφαρμογές της παραγώγου στη μελέτη συνάρτησης.

1) Η προϋπόθεση για να αυξηθεί η συνάρτηση: Μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση y = f(x) αυξάνεται μονοτονικά στο διάστημα X αν και μόνο αν η παράγωγός της είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, δηλ. y = f(x) f'(x) > 0. Αυτή η συνθήκη γεωμετρικά σημαίνει ότι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης σχηματίζει μια οξεία γωνία με θετική κατεύθυνση προς τον άξονα x.

2) Η προϋπόθεση για να μειωθεί η συνάρτηση: Μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση y = f(x) μειώνεται μονοτονικά στο διάστημα X αν και μόνο αν η παράγωγός της είναι μικρότερη από το μηδέν, δηλ.

y = f(x)↓ f'(x) Αυτή η συνθήκη γεωμετρικά σημαίνει ότι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης σχηματίζει αμβλεία γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα x)

3) Η συνθήκη της σταθερότητας της συνάρτησης:Μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση y = f(x) είναι σταθερή στο διάστημα X αν και μόνο αν η παράγωγός της είναι ίση με μηδέν, δηλ. y = f(x) - σταθερά f'(x) = 0 .Αυτή η συνθήκη γεωμετρικά σημαίνει ότι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι παράλληλη προς τον άξονα oX, δηλ. α \u003d 0)

Ακραίες συναρτήσεων.

Ορισμός 1: Καλείται το σημείο x \u003d x 0 ελάχιστο σημείοσυνάρτηση y = f(x), αν αυτό το σημείο έχει γειτονιά, για όλα τα σημεία της οποίας (εκτός από το ίδιο το σημείο) η ανίσωση f(x)> f(x 0)

Ορισμός 2:Καλείται το σημείο x \u003d x 0 μέγιστο σημείοσυνάρτηση y = f(x) αν αυτό το σημείο έχει γειτονιά για όλα τα σημεία της οποίας (εκτός από το ίδιο το σημείο) η ανίσωση f(x)< f(x 0).

Ορισμός 3: Το ελάχιστο ή μέγιστο σημείο μιας συνάρτησης ονομάζεται σημείο ακραίο. Η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο ονομάζεται ακραία.

Παρατηρήσεις: 1. Το μέγιστο (ελάχιστο) δεν είναι απαραίτητα η μέγιστη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης.

2. Μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά μέγιστα ή ελάχιστα.

3. Μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα τμήμα μπορεί να φτάσει σε ένα άκρο μόνο στα εσωτερικά σημεία αυτού του τμήματος.

5) Απαραίτητη προϋπόθεση για εξτρέμ:Εάν η συνάρτηση y \u003d f (x) έχει ένα άκρο στο σημείο x \u003d x 0, τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει. Αυτά τα σημεία ονομάζονται κρίσιμα σημεία 1ου είδους.

6) Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη του άκρου της συνάρτησης:Έστω η συνάρτηση y \u003d f (x) συνεχής στο διάστημα X και έχει μέσα σε αυτό το διάστημα ως κρίσιμο σημείο του 1ου είδους x \u003d x 0, τότε:

α) αν αυτό το σημείο έχει γειτονιά στην οποία για x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, τότε x = x 0 είναι ένα σημείο ελάχιστοσυναρτήσεις y = f(x);

β) αν αυτό το σημείο έχει γειτονιά στην οποία για x< х 0 f’(x) >0 και για x> x 0

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой το μέγιστοσυναρτήσεις y = f(x);

γ) αν αυτό το σημείο έχει τέτοια γειτονιά που σε αυτό και στα δεξιά και στα αριστερά του σημείου x 0 τα πρόσημα της παραγώγου είναι ίδια, τότε δεν υπάρχει άκρο στο σημείο x 0.

Τα διαστήματα των συναρτήσεων φθίνουσας ή αύξησης ονομάζονται διαστήματα. μονοτονία.

Ορισμός 1:Καλείται η καμπύλη y = f(x). κυρτό προς τα κάτωστο διάστημα α< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется κυρτόστο διάστημα α< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Ορισμός 2:Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή προς τα πάνω ή προς τα κάτω ονομάζονται διογκώνονται κατά διαστήματαγράφημα συνάρτησης.

Μια επαρκής συνθήκη για να είναι η καμπύλη κυρτή.Η γραφική παράσταση της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης Y = f(x) είναι κυρτόστο διάστημα α< х <в, если f”(x) < 0 и κυρτό προς τα κάτω, εάν f”(x) > 0.

Ορισμός 1:Τα σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει λέγονται κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους.

Ορισμός 2:Το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Y = f(x), που διαχωρίζει τα διαστήματα της κυρτότητας των αντίθετων κατευθύνσεων αυτής της γραφικής παράστασης, ονομάζεται σημείο κλίση.

σημείο καμπής

Παράδειγμα: Δίνεται συνάρτηση y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Διερευνήστε τη συνάρτηση για διαστήματα μονοτονίας και ακραία σημεία. Προσδιορίστε την κατεύθυνση των σημείων κυρτότητας και καμπής.

Λύση: 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: D(y) = ;

2. Βρείτε την πρώτη παράγωγο: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Ας λύσουμε την εξίσωση: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, τότε αυτή η εξίσωση δεν έχει λύση, επομένως δεν υπάρχουν ακραία σημεία. y' , τότε η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

4. Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο: y” = 6x - 4;

5. Λύστε την εξίσωση: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

Απάντηση: ( ; - ) - σημείο καμπής, η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω στο x και κυρτή προς τα πάνω στο x

Ασύμπτωτοι.

1. Ορισμός: Η ασύμπτωτη μιας καμπύλης είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία η γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης προσεγγίζει απεριόριστα.

2. Τύποι ασυμπτωμάτων:

1) Κάθετες ασύμπτωτες. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη αν . Η κατακόρυφη ασυμπτωτική εξίσωση έχει τη μορφή x = a

2) Οριζόντιες ασύμπτωτες. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) έχει οριζόντια ασύμπτωτη αν . Η οριζόντια ασυμπτωτική εξίσωση είναι y = b.

Παράδειγμα 1: Για τη συνάρτηση y = βρείτε τις ασύμπτωτες.

3) Πλάγια ασύμπτωτα.Η ευθεία y = kx + b ονομάζεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x) αν . Οι τιμές των k και b υπολογίζονται με τους τύπους: k = ; β = .

Λύση: , τότε y = 0 είναι η οριζόντια ασύμπτωτη.

(αφού x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), τότε x = 3 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη. , t. δηλ. k = 0, τότε η καμπύλη δεν έχει λοξή ασύμπτωτη.

Παράδειγμα 2: Για τη συνάρτηση y = βρείτε τις ασύμπτωτες.

Λύση: x 2 - 25 ≠ 0 με x ≠ ± 5, μετά x \u003d 5 και x \u003d - 5 είναι οριζόντιες ασύμπτωτες.

y = , τότε η καμπύλη δεν έχει κάθετη ασύμπτωτη.

k = ; b = , δηλαδή y = 5x - λοξή ασύμπτωτη.

Παραδείγματα κατασκευής γραφημάτων συναρτήσεων.

Παράδειγμα 1 .

Ερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: D(y) = R

y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), δηλ.

(y \u003d x 5 - x 3 - περιττό, y \u003d x 4 + x 2 - ζυγό)

3. Δεν είναι περιοδικό.

4. Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων: αν x \u003d 0, τότε y \u003d - 3 (0; - 3)

εάν Y = 0, το x είναι δύσκολο να βρεθεί.

5. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: Δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες, γιατί δεν υπάρχουν τιμές x για τις οποίες η συνάρτηση είναι απροσδιόριστη. y = , δηλ. δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες.

k = , δηλ. δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

6. Εξετάζουμε τη συνάρτηση για διαστήματα μονοτονίας και τα άκρα της: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y'= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - κρίσιμα σημεία του 1ου είδους.

Ας προσδιορίσουμε τα πρόσημα της παραγώγου: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - μέγιστο σημείο; y min \u003d y (3) \u003d - 3, (3; - 3) - ελάχιστο σημείο, συνάρτηση y για x και y .

7. Εξετάζουμε τη συνάρτηση για διαστήματα κυρτότητας και σημεία καμπής:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - κρίσιμο σημείο του 1ου είδους.

Ας προσδιορίσουμε τα πρόσημα της δεύτερης παραγώγου: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - σημείο καμπής, η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω στο x και κυρτή προς τα κάτω στο x.

8. Πρόσθετα σημεία:

Χ	- 1
στο	- 19

9. Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης:

Διερευνήστε τη συνάρτηση και σχεδιάστε τη συνάρτηση y =

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. Βρείτε αν η δεδομένη συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή: ,

y(- x) ≠ y(x) δεν είναι άρτιο και y(- x) ≠ - y(x) δεν είναι περιττό

3. Δεν είναι περιοδικό.

4. Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων: x \u003d 0, μετά y \u003d - 2; y = 0, τότε (0; - 2); ().

5. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: αφού x ≠ 1, τότε η ευθεία x = 1 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη.