Ποιο διάνυσμα ονομάζεται μονάδα. Διανύσματα: ορισμός και βασικές έννοιες

Μια τέτοια έννοια ως διάνυσμα θεωρείται σε όλες σχεδόν τις φυσικές επιστήμες και μπορεί να έχει εντελώς διαφορετικές έννοιες, επομένως είναι αδύνατο να δοθεί ένας σαφής ορισμός ενός διανύσματος για όλες τις περιοχές. Αλλά ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε. Λοιπόν, διάνυσμα - τι είναι;

Η έννοια ενός διανύσματος στην κλασική γεωμετρία

Διάνυσμα στη γεωμετρία είναι ένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύεται ποιο από τα σημεία του είναι η αρχή και ποιο το τέλος. Δηλαδή, για να το θέσω απλά, ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα.

Κατά συνέπεια, υποδεικνύεται ένα διάνυσμα (τι είναι - συζητήθηκε παραπάνω), καθώς και ένα τμήμα, δηλαδή δύο κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου με την προσθήκη μιας γραμμής ή ενός βέλους που δείχνει προς τα δεξιά στην κορυφή. Μπορεί επίσης να υπογραφεί με πεζό (μικρό) γράμμα του λατινικού αλφαβήτου με παύλα ή βέλος. Το βέλος δείχνει πάντα προς τα δεξιά και δεν αλλάζει ανάλογα με τη θέση του διανύσματος.

Άρα ένα διάνυσμα έχει κατεύθυνση και μήκος.

Ο προσδιορισμός ενός διανύσματος περιέχει και την κατεύθυνσή του. Αυτό εκφράζεται όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Η αλλαγή κατεύθυνσης αντιστρέφει την τιμή του διανύσματος.

Το μήκος ενός διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος από το οποίο σχηματίζεται. Ορίζεται ως ενότητα από ένα διάνυσμα. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Συνεπώς, το μηδέν είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, επιπλέον, τα σημεία έναρξης και λήξης συμπίπτουν σε αυτό.

Το μήκος ενός διανύσματος είναι πάντα μια μη αρνητική τιμή. Με άλλα λόγια, εάν υπάρχει ένα τμήμα, τότε αυτό έχει απαραίτητα ένα ορισμένο μήκος ή είναι ένα σημείο, τότε το μήκος του είναι μηδέν.

Η ίδια η έννοια του σημείου είναι βασική και δεν έχει ορισμό.

Διάνυσμα προσθήκη

Υπάρχουν ειδικοί τύποι και κανόνες για διανύσματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτέλεση πρόσθεσης.

Κανόνας τριγώνου. Για να προσθέσετε διανύσματα σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα, αρκεί να συνδυάσετε το τέλος του πρώτου διανύσματος και την αρχή του δεύτερου, χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση και να τα συνδέσετε. Το τρίτο διάνυσμα που προκύπτει θα είναι ίσο με την προσθήκη των άλλων δύο.

κανόνας παραλληλογράμμου. Για να προσθέσετε σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα, πρέπει να σχεδιάσετε και τα δύο διανύσματα από ένα σημείο και στη συνέχεια να σχεδιάσετε ένα άλλο διάνυσμα από το τέλος καθενός από αυτά. Δηλαδή, το δεύτερο θα κληρωθεί από το πρώτο και το πρώτο από το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα, θα ληφθεί ένα νέο σημείο τομής και θα σχηματιστεί ένα παραλληλόγραμμο. Αν συνδυάσουμε το σημείο τομής των αρχών και των άκρων των διανυσμάτων, τότε το διάνυσμα που προκύπτει θα είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης.

Ομοίως, είναι δυνατή η εκτέλεση αφαίρεσης.

Διανυσματική διαφορά

Ομοίως με την προσθήκη διανυσμάτων, είναι δυνατή η εκτέλεση της αφαίρεσης τους. Βασίζεται στην αρχή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αρκεί δηλαδή να αναπαραστήσουμε το διάνυσμα που θα αφαιρεθεί ως διάνυσμα απέναντι του και να υπολογίσουμε σύμφωνα με τις αρχές της πρόσθεσης.

Επίσης, απολύτως οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα μπορεί να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αριθμό k, αυτό θα αλλάξει το μήκος του κατά k φορές.

Εκτός από αυτούς, υπάρχουν και άλλοι τύποι διανυσμάτων (για παράδειγμα, για να εκφράσουμε το μήκος ενός διανύσματος ως προς τις συντεταγμένες του).

Θέση των φορέων

Σίγουρα πολλοί έχουν συναντήσει μια τέτοια έννοια όπως ένα συγγραμμικό διάνυσμα. Τι είναι η συγγραμμικότητα;

Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων είναι το ισοδύναμο του παραλληλισμού των ευθειών. Εάν δύο διανύσματα βρίσκονται σε γραμμές που είναι παράλληλες μεταξύ τους ή στην ίδια ευθεία, τότε τέτοια διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά.

Κατεύθυνση. Σε σχέση μεταξύ τους, τα συγγραμμικά διανύσματα μπορούν να είναι συν-κατευθυνόμενα ή αντίθετα, αυτό καθορίζεται από την κατεύθυνση των διανυσμάτων. Αντίστοιχα, εάν ένα διάνυσμα συνκατευθύνεται με ένα άλλο, τότε το διάνυσμα που βρίσκεται απέναντι του κατευθύνεται αντίθετα.

Το πρώτο σχήμα δείχνει δύο αντίθετα κατευθυνόμενα διανύσματα και ένα τρίτο που δεν είναι συγγραμμικό με αυτά.

Μετά την εισαγωγή των παραπάνω ιδιοτήτων, είναι επίσης δυνατό να οριστούν ίσα διανύσματα - αυτά είναι διανύσματα που κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση και έχουν το ίδιο μήκος των τμημάτων από τα οποία σχηματίζονται.

Σε πολλές επιστήμες χρησιμοποιείται επίσης η έννοια του διανύσματος ακτίνας. Ένα τέτοιο διάνυσμα περιγράφει τη θέση ενός σημείου του επιπέδου σε σχέση με ένα άλλο σταθερό σημείο (συχνά αυτή είναι η αρχή).

Διανύσματα στη φυσική

Ας υποθέσουμε ότι κατά την επίλυση του προβλήματος προέκυψε μια συνθήκη: το σώμα κινείται με ταχύτητα 3 m/s. Αυτό σημαίνει ότι το σώμα κινείται με μια συγκεκριμένη κατεύθυνση σε μια ευθεία γραμμή, επομένως αυτή η μεταβλητή θα είναι διανυσματική ποσότητα. Για να το λύσετε, είναι σημαντικό να γνωρίζετε τόσο την τιμή όσο και την κατεύθυνση, αφού ανάλογα με την εκτίμηση, η ταχύτητα μπορεί να είναι είτε 3 m/s είτε -3 m/s.

Γενικά, το διάνυσμα στη φυσική χρησιμοποιείται για να υποδείξει την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το σώμα και να καθορίσει το προκύπτον.

Όταν αυτές οι δυνάμεις υποδεικνύονται στο σχήμα, υποδεικνύονται με βέλη με μια διανυσματική ετικέτα πάνω από αυτό. Κλασικά, το μήκος του βέλους είναι εξίσου σημαντικό, με τη βοήθεια του υποδεικνύουν ποια δύναμη είναι ισχυρότερη, αλλά αυτή η ιδιότητα είναι δευτερεύουσα, δεν πρέπει να βασίζεστε σε αυτήν.

Διάνυσμα στη γραμμική άλγεβρα και τον λογισμό

Τα στοιχεία των γραμμικών χώρων ονομάζονται επίσης διανύσματα, αλλά στην περίπτωση αυτή είναι ένα διατεταγμένο σύστημα αριθμών που περιγράφουν ορισμένα από τα στοιχεία. Επομένως, η κατεύθυνση σε αυτή την περίπτωση δεν είναι πλέον σημαντική. Ο ορισμός ενός διανύσματος στην κλασική γεωμετρία και στη μαθηματική ανάλυση είναι πολύ διαφορετικός.

Διάνυσμα προβολής

Προβαλλόμενο διάνυσμα - τι είναι;

Αρκετά συχνά, για έναν σωστό και βολικό υπολογισμό, είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί ένα διάνυσμα που βρίσκεται σε δισδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων. Αυτή η λειτουργία είναι απαραίτητη, για παράδειγμα, στη μηχανική κατά τον υπολογισμό των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Το διάνυσμα στη φυσική χρησιμοποιείται αρκετά συχνά.

Για να εκτελέσετε την προβολή, αρκεί να χαμηλώσετε τις κάθετες από την αρχή και το τέλος του διανύσματος σε κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, τα τμήματα που λαμβάνονται σε αυτά θα ονομάζονται προβολή του διανύσματος στον άξονα.

Για τον υπολογισμό του μήκους προβολής, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το αρχικό του μήκος με μια ορισμένη τριγωνομετρική συνάρτηση, η οποία προκύπτει με την επίλυση ενός μίνι προβλήματος. Στην πραγματικότητα, υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η υποτείνουσα είναι το αρχικό διάνυσμα, το ένα σκέλος είναι η προβολή και το άλλο σκέλος είναι η πτωτική κάθετη.

Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου ένα εκτενές και πολυαναμενόμενο θέμα αναλυτική γεωμετρία. Πρώτον, λίγα για αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών…. Σίγουρα θυμηθήκατε τώρα το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο σφραγισμένες μαθηματικές στροφές έρχονται αμέσως στο μυαλό: «γραφική μέθοδος λύσης» και «αναλυτική μέθοδος λύσης». Γραφική μέθοδος, φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων, σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων της αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής, συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε με ακρίβεια τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα κάνει καθόλου σχέδια χωρίς σχέδια, εξάλλου για την καλύτερη κατανόηση του υλικού θα προσπαθήσω να τα φέρω πέρα ​​από την ανάγκη.

Το ανοιχτό μάθημα των μαθημάτων στη γεωμετρία δεν ισχυρίζεται ότι είναι θεωρητική πληρότητα, επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε μια πληρέστερη αναφορά σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσβάσιμη βιβλιογραφία:

1) Κάτι που, χωρίς αστείο, είναι γνωστό σε πολλές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, οι συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη αντέξει 20 (!) επανεκδόσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.

2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Οι συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που εμφανίζονται σπάνια μπορεί να ξεφύγουν από το οπτικό μου πεδίο και το σεμινάριο θα είναι πολύτιμη βοήθεια.

Και τα δύο βιβλία είναι δωρεάν για λήψη διαδικτυακά. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, που μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα ανώτερων μαθηματικών.

Από τα εργαλεία, προσφέρω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει σημαντικά τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια σας επαναλήπτες)

Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Περαιτέρω προτείνω να διαβάσετε το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, καθώς Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Η τοπική εργασία δεν θα είναι περιττή - Διαίρεση του τμήματος από αυτή την άποψη. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε εξίσωση ευθείας σε επίπεδοΜε τα πιο απλά παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν πώς να λύνουν προβλήματα στη γεωμετρία. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα στη γραμμή και στο επίπεδο , άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.

Η έννοια του διανύσματος. ελεύθερο διάνυσμα

Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, εάν αναδιατάξετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να παραδεχτείτε ότι η είσοδος στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή η έξοδος από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.

Είναι βολικό να ληφθούν υπόψη μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου, το διάστημα ως το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα. Ένα τέτοιο διάνυσμα έχει το ίδιο τέλος και αρχή.

!!! Σημείωση: Εδώ και παρακάτω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.

Ονομασίες:Πολλοί τράβηξαν αμέσως την προσοχή σε ένα ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν ότι έβαλαν και ένα βέλος στην κορυφή! Αυτό είναι σωστό, μπορείτε να γράψετε με ένα βέλος: , αλλά παραδεκτό και εγγραφή που θα χρησιμοποιήσω αργότερα. Γιατί; Προφανώς, μια τέτοια συνήθεια έχει αναπτυχθεί από πρακτικούς λόγους, οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχθηκαν πολύ διαφορετικοί και δασύτριχοι. Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, μερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά επισημαίνουν τα γράμματα με έντονη γραφή: , υπονοώντας έτσι ότι πρόκειται για διάνυσμα.

Αυτό ήταν το στυλ, και τώρα για τους τρόπους γραφής των διανυσμάτων:

1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα:
και ούτω καθεξής. Ενώ το πρώτο γράμμα αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το τελικό σημείο του διανύσματος.

2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να επανασχεδιαστεί για συντομία με ένα μικρό λατινικό γράμμα .

Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικά.

Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το πρόσημο του modulo: ,

Πώς να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα μάθουμε (ή θα επαναλάβουμε, για ποιον πώς) λίγο αργότερα.

Αυτή ήταν στοιχειώδης πληροφορία για το διάνυσμα, γνωστή σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.

Αν είναι πολύ απλό - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:

Παλαιότερα ονομάζαμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Επειδή κατά την επίλυση προβλημάτων, μπορείτε να «προσαρτήσετε» ένα ή άλλο διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο ακίνητο! Φανταστείτε ένα διάνυσμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει μια τέτοια παροιμία μαθητή: Κάθε λέκτορας στο f ** u στο διάνυσμα. Άλλωστε, όχι μόνο μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι μαθηματικά σωστά - ένα διάνυσμα μπορεί επίσης να προσαρτηθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, οι ίδιοι οι μαθητές υποφέρουν πιο συχνά =)

Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- αυτό είναι πολλά πανομοιότυπα κατευθυντικά τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα ...», υποδηλώνει ειδικόςένα κατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο σύνολο, το οποίο είναι προσαρτημένο σε ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου ή του χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά λανθασμένη και το σημείο εφαρμογής του διανύσματος έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο είναι αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, όχι δωρεάνδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).

Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας εξετάζονται διάφορες ενέργειες και κανόνες με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ο κανόνας της διαφοράς των διανυσμάτων, ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων κ.λπ.Ως σπόρος, επαναλαμβάνουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων

Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :

Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, αναβάλλουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα. Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, συνιστάται να βάλετε ένα φυσικό νόημα σε αυτόν: αφήστε κάποιο σώμα να κάνει μια διαδρομή κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος. Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει που ξεκινά από το σημείο αναχώρησης και τελειώνει στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να ακολουθήσει τον δρόμο του έντονα ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως με αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος αθροίσματος που προκύπτει.

Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από αρχήδιάνυσμα , τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.

Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Σε σχέση όμως με αυτά χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο «συγγραμμικό».

Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συνκατευθυντική. Εάν τα βέλη κοιτάζουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετα κατευθυνόμενη.

Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο εικονίδιο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).

δουλειάενός μη μηδενικού διανύσματος από έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με μια εικόνα:

Καταλαβαίνουμε αναλυτικότερα:

1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.

2) Μήκος. Εάν ο παράγοντας περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι δύο φορές μικρότερο από το μήκος του διανύσματος. Αν ο πολλαπλασιαστής modulo είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.

3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως ένα άλλο, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Με αυτόν τον τρόπο: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.

4) Τα διανύσματα είναι συμκατευθυντικά. Τα διανύσματα και είναι επίσης συμκατευθυντικά. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας είναι αντίθετο με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.

Ποια διανύσματα είναι ίσα;

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συν-κατεύθυνση υποδηλώνει ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Ο ορισμός θα είναι ανακριβής (περιττός) αν πείτε: "Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συνκατευθυνόμενα και έχουν το ίδιο μήκος."

Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, το οποίο συζητήθηκε ήδη στην προηγούμενη παράγραφο.

Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα

Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα σε ένα επίπεδο. Σχεδιάστε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και αφήστε το στην άκρη από την αρχή μονόκλινοφορείς και:

Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Συνιστώ σιγά σιγά να συνηθίσουμε τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότητακαι ορθογωνικότητα.

Ονομασία:η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο κάθετο πρόσημο, για παράδειγμα: .

Τα θεωρούμενα διανύσματα ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Ποια είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς, πιο λεπτομερείς πληροφορίες μπορούν να βρεθούν στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση.Με απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίωσης πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.

Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: "ορθό" - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο "κανονικοποιημένο" σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.

Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟανταλλάξουμε θέσεις.

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς:
, όπου - αριθμοί, που ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Αλλά η ίδια η έκφραση που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάση .

Δείπνο που σερβίρεται:

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση του διανύσματος ως προς τη βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις εξετάστηκαν:
1) ο κανόνας του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .

Τώρα παραμερίστε διανοητικά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο στο επίπεδο. Είναι αρκετά προφανές ότι η διαφθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα «κουβαλάει τα πάντα μαζί σου». Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να παραμερίζονται από την προέλευση, το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει από αυτό! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, γιατί ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας βγάλει ένα "πάσο" σε ένα απροσδόκητο μέρος.

Τα διανύσματα , απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα συν-κατευθύνεται με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν, μπορεί να γραφτεί σχολαστικά ως εξής:


Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).

Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν σας είπα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι που, παρατήρησα ότι η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται ήρεμα ως άθροισμα: . Αναδιάταξη των όρων σε θέσεις και ακολουθήστε το σχέδιο πόσο ξεκάθαρα λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις καταστάσεις.

Θεωρείται αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή στο σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα, η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:

Ή με σύμβολο ίσον:

Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικές εργασίες, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές εγγραφής.

Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά και πάλι θα πω: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα . Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.

Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα σκεφτείτε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, όλα είναι σχεδόν ίδια εδώ! Θα προστεθεί μόνο μία ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να εκτελέσω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα αναβάλω από την αρχή:

Οποιοςτρισδιάστατο διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται σε ορθοκανονική βάση:
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) στη δεδομένη βάση.

Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι κανόνες διανυσματικών ενεργειών εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (ματζέντα βέλος). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτήν την περίπτωση τριών, διανυσμάτων: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το σημείο εκκίνησης (η αρχή του διανύσματος) και καταλήγει στο τελικό σημείο άφιξης (το τέλος του διανύσματος).

Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα, προσπαθήστε να αναβάλετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η επέκτασή του «μένει μαζί του».

Ομοίως με την θήκη του αεροπλάνου, εκτός από τη γραφή εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .

Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην επέκταση, τότε τοποθετούνται μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε .

Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:

Εδώ, ίσως, βρίσκονται όλες οι ελάχιστες θεωρητικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Ίσως υπάρχουν πάρα πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό συνιστώ στα ανδρείκελα να ξαναδιαβάσουν και να κατανοήσουν ξανά αυτές τις πληροφορίες. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να αναφέρεται στο βασικό μάθημα κατά καιρούς για καλύτερη αφομοίωση της ύλης. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιηθούν συχνά σε όσα ακολουθούν. Σημειώνω ότι τα υλικά του ιστότοπου δεν επαρκούν για να περάσετε ένα θεωρητικό τεστ, ένα συνέδριο για τη γεωμετρία, αφού κωδικοποιώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (εκτός από αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας του θέματος. Για λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, σας ζητώ να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.

Τώρα ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος:

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Οι εργασίες που θα εξεταστούν, είναι πολύ επιθυμητό να μάθετε πώς να τις επιλύετε πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, μην το θυμάστε καν επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, αφού άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να ξοδεύετε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια. Δεν χρειάζεται να κουμπώσεις τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σου, πολλά πράγματα σου είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες ...θα το δείτε μόνοι σας.

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα με δύο σημεία;

Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες διανυσματική έναρξη.

Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος συμβολισμός:

Οι αισθητικοί θα αποφασίσουν ως εξής:

Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση του δίσκου.

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν χρειαζόταν να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να εξηγήσω ορισμένα σημεία στα ανδρείκελα, δεν θα είμαι πολύ τεμπέλης:

Πρέπει να γίνει κατανοητό διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:

Συντεταγμένες σημείωνείναι οι συνήθεις συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων από τον βαθμό 5-6. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.

Οι συντεταγμένες του ίδιου διανύσματοςείναι η επέκτασή του ως προς τη βάση , στην προκειμένη περίπτωση . Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, αν χρειαστεί, μπορούμε εύκολα να το αναβάλουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα, δεν μπορείτε να δημιουργήσετε καθόλου άξονες, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση, μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.

Οι εγγραφές των σημειακών συντεταγμένων και των διανυσματικών συντεταγμένων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και αίσθηση των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το χώρο.

Κυρίες και κύριοι, γεμίζουμε τα χέρια μας:

Παράδειγμα 2

α) Δίνονται σημεία και . Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .

Ίσως αρκετά. Αυτά είναι παραδείγματα για μια ανεξάρτητη απόφαση, προσπαθήστε να μην τα παραμελήσετε, θα αποδώσει ;-). Δεν απαιτούνται σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Τι είναι σημαντικό για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε το αριστοτεχνικό σφάλμα «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη αν έκανα λάθος =)

Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;

Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.

Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική

Παράδειγμα 3

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο

Ευθύγραμμο τμήμα - δεν είναι διάνυσμα, και δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά, φυσικά. Επιπλέον, εάν ολοκληρώσετε το σχέδιο σε κλίμακα: 1 μονάδα. \u003d 1 cm (δύο τετραδικά κελιά), τότε η απάντηση μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.

Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά υπάρχουν μερικά σημαντικά σημεία σε αυτήν που θα ήθελα να διευκρινίσω:

Αρχικά, στην απάντηση ορίσαμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, η γενική διατύπωση θα είναι μια μαθηματικά ικανή λύση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".

Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για το εξεταζόμενο πρόβλημα:

δώσε προσοχή στο σημαντικό τεχνικό κόλπο – βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, πήραμε το αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Η διαδικασία φαίνεται πιο αναλυτικά ως εξής: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση στη φόρμα δεν θα είναι λάθος - αλλά είναι σίγουρα ένα ελάττωμα και ένα βαρύ επιχείρημα για τσιμπήματα από την πλευρά του δασκάλου.

Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:

Συχνά ένας αρκετά μεγάλος αριθμός λαμβάνεται κάτω από τη ρίζα, για παράδειγμα. Πώς να είσαι σε τέτοιες περιπτώσεις; Στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4:. Ναι, χωρίστε εντελώς, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Με αυτόν τον τρόπο: . Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά είναι σαφώς αδύνατη. Προσπαθώντας να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.

Συμπέρασμα:αν κάτω από τη ρίζα λάβουμε έναν εντελώς μη εξαγόμενο αριθμό, τότε προσπαθούμε να βγάλουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, και τα λοιπά.

Κατά την επίλυση διάφορων προβλημάτων, συχνά βρίσκονται ρίζες, προσπαθήστε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερη βαθμολογία και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας σύμφωνα με την παρατήρηση του δασκάλου.

Ας επαναλάβουμε τον τετραγωνισμό των ριζών και άλλων δυνάμεων ταυτόχρονα:

Οι κανόνες για ενέργειες με πτυχία σε γενική μορφή μπορούν να βρεθούν σε ένα σχολικό εγχειρίδιο για την άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα από τα παραδείγματα που δίνονται.

Εργασία για μια ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:

Παράδειγμα 4

Δεδομένα σημεία και . Βρείτε το μήκος του τμήματος.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;

Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.

Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .

ΔΙΑΝΥΣΜΑ
Στη φυσική και τα μαθηματικά, ένα διάνυσμα είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζεται από την αριθμητική του τιμή και κατεύθυνση. Στη φυσική, υπάρχουν πολλά σημαντικά μεγέθη που είναι διανύσματα, όπως δύναμη, θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση, ροπή, ορμή, ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία. Μπορούν να αντιπαραβληθούν με άλλα μεγέθη, όπως μάζα, όγκος, πίεση, θερμοκρασία και πυκνότητα, τα οποία μπορούν να περιγραφούν με έναν συνηθισμένο αριθμό και ονομάζονται «σκαλάρια». Ο διανυσματικός συμβολισμός χρησιμοποιείται όταν εργάζεστε με ποσότητες που δεν μπορούν να προσδιοριστούν πλήρως χρησιμοποιώντας συνηθισμένους αριθμούς. Για παράδειγμα, θέλουμε να περιγράψουμε τη θέση ενός αντικειμένου σε σχέση με κάποιο σημείο. Μπορούμε να πούμε πόσα χιλιόμετρα από ένα σημείο σε ένα αντικείμενο, αλλά δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε πλήρως τη θέση του μέχρι να μάθουμε την κατεύθυνση στην οποία βρίσκεται. Έτσι, η θέση ενός αντικειμένου χαρακτηρίζεται από μια αριθμητική τιμή (απόσταση σε χιλιόμετρα) και μια κατεύθυνση. Γραφικά, τα διανύσματα απεικονίζονται ως κατευθυνόμενα τμήματα μιας ευθείας γραμμής συγκεκριμένου μήκους, όπως στο Σχ. 1. Για παράδειγμα, για να αναπαραστήσετε γραφικά μια δύναμη πέντε κιλών, πρέπει να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή μήκους πέντε μονάδων προς την κατεύθυνση της δύναμης. Το βέλος δείχνει ότι η δύναμη δρα από το Α στο Β. αν η δύναμη ενεργούσε από το Β στο Α, τότε θα γράφαμε ή Για ευκολία, τα διανύσματα συνήθως σημειώνονται με έντονα κεφαλαία γράμματα (Α, Β, Γ κ.λπ.). Τα διανύσματα Α και -Α έχουν ίσες αριθμητικές τιμές, αλλά αντίθετες στην κατεύθυνση. Η αριθμητική τιμή του διανύσματος Α ονομάζεται συντελεστής ή μήκος και συμβολίζεται με Α ή |Α|. Αυτή η ποσότητα είναι, φυσικά, βαθμωτή. Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με Ο.

Δύο διανύσματα ονομάζονται ίσα (ή ελεύθερα) εάν τα συντελεστές και οι κατευθύνσεις τους είναι ίδιες. Στη μηχανική και τη φυσική, ωστόσο, αυτός ο ορισμός πρέπει να χρησιμοποιείται με προσοχή, καθώς δύο ίσες δυνάμεις που εφαρμόζονται σε διαφορετικά σημεία του σώματος θα οδηγήσουν γενικά σε διαφορετικά αποτελέσματα. Από αυτή την άποψη, τα διανύσματα χωρίζονται σε "συνδεδεμένα" ή "συρόμενα", ως εξής: Τα συνδεδεμένα διανύσματα έχουν σταθερά σημεία εφαρμογής. Για παράδειγμα, το διάνυσμα ακτίνας υποδεικνύει τη θέση ενός σημείου σε σχέση με κάποια σταθερή αρχή. Τα σχετικά διανύσματα θεωρούνται ίσα εάν όχι μόνο έχουν τις ίδιες ενότητες και κατευθύνσεις, αλλά έχουν επίσης ένα κοινό σημείο εφαρμογής. Τα συρόμενα διανύσματα είναι ίσα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Προσθήκη διανυσμάτων.Η ιδέα της προσθήκης διανύσματος προέρχεται από το γεγονός ότι μπορούμε να βρούμε ένα μόνο διάνυσμα που έχει το ίδιο αποτέλεσμα με δύο άλλα διανύσματα μαζί. Εάν, για να φτάσουμε σε κάποιο σημείο, πρέπει να περπατήσουμε πρώτα Α χιλιόμετρα προς τη μία κατεύθυνση και μετά Β χιλιόμετρα προς την άλλη κατεύθυνση, τότε θα μπορούσαμε να φτάσουμε στο τελικό μας σημείο περπατώντας C χιλιόμετρα σε τρίτη κατεύθυνση (Εικ. 2). Υπό αυτή την έννοια, μπορεί κανείς να πει ότι

Α+Β=Γ.
Το διάνυσμα C ονομάζεται «διάνυσμα αποτελέσματος» των Α και Β και δίνεται από την κατασκευή που φαίνεται στο σχήμα. ένα παραλληλόγραμμο είναι χτισμένο στα διανύσματα A και B όπως στις πλευρές, και το C είναι μια διαγώνιος που συνδέει την αρχή του A και το τέλος του B. Από το σχ. 2 μπορεί να φανεί ότι η προσθήκη διανυσμάτων είναι "ανταλλαγή", δηλ. A + B = B + A. Ομοίως, μπορείτε να προσθέσετε πολλά διανύσματα συνδέοντάς τα σε σειρά σε μια "συνεχή αλυσίδα", όπως φαίνεται στο σχ. 3 για τρία διανύσματα D, E και F. Από το σχ. Το 3 δείχνει επίσης ότι

(D + E) + F = D + (E + F), δηλ. Η προσθήκη διανυσμάτων είναι συνειρμική. Οποιοσδήποτε αριθμός διανυσμάτων μπορεί να αθροιστεί και τα διανύσματα δεν χρειάζεται να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Η αφαίρεση των διανυσμάτων αντιπροσωπεύεται ως πρόσθεση σε ένα αρνητικό διάνυσμα. Για παράδειγμα, A - B = A + (-B), όπου, όπως ορίστηκε προηγουμένως, -B είναι ένα διάνυσμα ίσο με το B σε απόλυτη τιμή αλλά αντίθετο στην κατεύθυνση. Αυτός ο κανόνας πρόσθεσης μπορεί τώρα να χρησιμοποιηθεί ως πραγματικό κριτήριο για τον έλεγχο του αν κάποια ποσότητα είναι διάνυσμα ή όχι. Οι μετακινήσεις συνήθως υπόκεινται στους όρους αυτού του κανόνα. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τις ταχύτητες. οι δυνάμεις αθροίζονται με τον ίδιο τρόπο που μπορούσε να φανεί από το «τρίγωνο των δυνάμεων». Ωστόσο, ορισμένες ποσότητες που έχουν και αριθμητικές τιμές και κατευθύνσεις δεν υπακούουν σε αυτόν τον κανόνα και επομένως δεν μπορούν να θεωρηθούν ως διανύσματα. Ένα παράδειγμα είναι οι πεπερασμένες περιστροφές.
Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με ένα βαθμωτό.Το γινόμενο mA ή Am, όπου m (m # 0) είναι βαθμωτό και το A είναι μη μηδενικό διάνυσμα, ορίζεται ως ένα άλλο διάνυσμα που είναι m φορές μεγαλύτερο από το A και έχει την ίδια κατεύθυνση με το A εάν το m είναι θετικό, και το αντίθετο αν m αρνητικό, όπως φαίνεται στο Σχ. 4, όπου m είναι 2 και -1/2, αντίστοιχα. Επιπλέον, 1Α = Α, δηλ. όταν πολλαπλασιαστεί με 1, το διάνυσμα δεν αλλάζει. Η τιμή -1Α είναι ένα διάνυσμα ίσο σε μήκος με το Α αλλά αντίθετο στην κατεύθυνση, συνήθως γραμμένο ως -Α. Αν το Α είναι μηδενικό διάνυσμα και (ή) m = 0, τότε το mA είναι μηδενικό διάνυσμα. Ο πολλαπλασιασμός είναι κατανεμητικός, δηλ.

Μπορούμε να προσθέσουμε οποιονδήποτε αριθμό διανυσμάτων και η σειρά των όρων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Ισχύει και το αντίστροφο: οποιοδήποτε διάνυσμα αποσυντίθεται σε δύο ή περισσότερα «συστατικά», δηλ. σε δύο ή περισσότερα διανύσματα που, όταν προστεθούν μαζί, θα δώσουν το αρχικό διάνυσμα ως αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, στο σχ. 2, Α και Β είναι συστατικά του Γ. Πολλές μαθηματικές πράξεις με διανύσματα απλοποιούνται εάν το διάνυσμα αποσυντεθεί σε τρία συστατικά σε τρεις αμοιβαία κάθετες κατευθύνσεις. Ας επιλέξουμε το σωστό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Ox, Oy και Oz όπως φαίνεται στο σχ. 5. Με τον όρο δεξιό σύστημα συντεταγμένων, εννοούμε ότι οι άξονες x, y και z είναι τοποθετημένοι όπως ο αντίχειρας, ο δείκτης και ο μεσαίος δάκτυλος του δεξιού χεριού, αντίστοιχα, μπορούν να τοποθετηθούν. Από ένα δεξιό σύστημα συντεταγμένων, είναι πάντα δυνατό να ληφθεί ένα άλλο σωστό σύστημα συντεταγμένων με κατάλληλη περιστροφή. Στο σχ. Το σχήμα 5 δείχνει την αποσύνθεση του διανύσματος Α σε τρία συστατικά και αθροίζονται στο διάνυσμα Α, αφού

Συνεπώς,

Κάποιος θα μπορούσε επίσης πρώτα να προσθέσει και να πάρει και στη συνέχεια να προσθέσει στο Οι προβολές του διανύσματος Α στους τρεις άξονες συντεταγμένων, που συμβολίζονται με Ax, Ay και Az, ονομάζονται «βαθμωτές συνιστώσες» του διανύσματος Α:

όπου a, b και g είναι οι γωνίες μεταξύ του A και των τριών αξόνων συντεταγμένων. Τώρα εισάγουμε τρία μοναδιαία διανύσματα μήκους i, j και k (όρθιοι) που έχουν την ίδια διεύθυνση με τους αντίστοιχους άξονες x, y και z. Τότε, αν το Ax πολλαπλασιαστεί με i, τότε το γινόμενο που προκύπτει είναι ένα διάνυσμα ίσο με και

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες βαθμωτές συνιστώσες τους είναι ίσες. Έτσι, A = B αν και μόνο αν Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Δύο διανύσματα μπορούν να προστεθούν προσθέτοντας τα συστατικά τους:

Επιπλέον, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Γραμμικές συναρτήσεις. Η έκφραση aA + bB, όπου τα a και b είναι βαθμωτές, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση των διανυσμάτων Α και Β. Πρόκειται για ένα διάνυσμα που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με το Α και το Β. αν τα Α και Β δεν είναι παράλληλα, τότε όταν τα α και β αλλάξουν, το διάνυσμα aA + bB θα κινηθεί σε ολόκληρο το επίπεδο (Εικ. 6). Εάν τα Α, Β και Γ δεν βρίσκονται όλα στο ίδιο επίπεδο, τότε το διάνυσμα aA + bB + cC (μεταβολή a, b και c) κινείται σε όλο το διάστημα. Ας υποθέσουμε ότι τα Α, Β και Γ είναι μοναδιαία διανύσματα i, j και k. Το διάνυσμα ai βρίσκεται στον άξονα x. το διάνυσμα ai + bj μπορεί να κινηθεί κατά μήκος ολόκληρου του επιπέδου xy. το διάνυσμα ai + bj + ck μπορεί να κινηθεί σε όλο το διάστημα.

Θα μπορούσε κανείς να επιλέξει τέσσερα αμοιβαία κάθετα διανύσματα i, j, k και l και να ορίσει ένα τετραδιάστατο διάνυσμα ως την ποσότητα A = Axi + Ayj + Azk + Awl
με μήκος

και κάποιος θα μπορούσε να συνεχίσει μέχρι πέντε, έξι ή οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων. Αν και είναι αδύνατο να αναπαραστήσουμε ένα τέτοιο διάνυσμα οπτικά, δεν υπάρχουν μαθηματικές δυσκολίες εδώ. Μια τέτοια σημείωση είναι συχνά χρήσιμη. για παράδειγμα, η κατάσταση ενός κινούμενου σωματιδίου περιγράφεται από ένα εξαδιάστατο διάνυσμα P (x, y, z, px, py, pz), του οποίου τα συστατικά είναι η θέση του στο χώρο (x, y, z) και η ορμή (px , py, pz). Ένας τέτοιος χώρος ονομάζεται "χώρος φάσης". αν θεωρήσουμε δύο σωματίδια, τότε ο χώρος των φάσεων είναι 12-διάστατος, αν τρεις, τότε 18 κ.ο.κ. Ο αριθμός των διαστάσεων μπορεί να αυξηθεί επ' αόριστον. Ωστόσο, οι ποσότητες με τις οποίες θα ασχοληθούμε συμπεριφέρονται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο με αυτές που θα εξετάσουμε στο υπόλοιπο αυτού του άρθρου, δηλαδή τα τρισδιάστατα διανύσματα.
Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων.Ο κανόνας προσθήκης διανύσματος λήφθηκε μελετώντας τη συμπεριφορά των ποσοτήτων που αντιπροσωπεύονται από διανύσματα. Δεν υπάρχει προφανής λόγος για τον οποίο δύο διανύσματα δεν μπορούσαν να πολλαπλασιαστούν με κάποιο τρόπο, αλλά αυτός ο πολλαπλασιασμός θα έχει νόημα μόνο εάν μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι μαθηματικά ορθός. Επιπλέον, είναι επιθυμητό το προϊόν να έχει μια ορισμένη φυσική σημασία. Υπάρχουν δύο τρόποι πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων που πληρούν αυτές τις προϋποθέσεις. Το αποτέλεσμα ενός από αυτά είναι ένα βαθμωτό, ένα τέτοιο γινόμενο ονομάζεται «βαθμωτό γινόμενο» ή «εσωτερικό γινόμενο» δύο διανυσμάτων και γράφεται ACHB ή (Α, Β). Το αποτέλεσμα ενός άλλου πολλαπλασιασμού είναι ένα διάνυσμα που ονομάζεται «σταυρό γινόμενο» ή «εξωτερικό γινόμενο» και γράφεται Α*Β ή []. Τα προϊόντα κουκκίδων έχουν φυσική σημασία για μία, δύο ή τρεις διαστάσεις, ενώ τα διανυσματικά προϊόντα ορίζονται μόνο για τρεις διαστάσεις.
Scalar προϊόντα.Εάν, υπό την επίδραση κάποιας δύναμης F, το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται κινείται κατά μια απόσταση r, τότε το έργο που γίνεται είναι ίσο με το γινόμενο του r και της συνιστώσας F στην κατεύθυνση r. Αυτή η συνιστώσα είναι ίση με F cos bF, rc, όπου bF, rc είναι η γωνία μεταξύ F και r, δηλ. Έργο που έγινε = Fr cos bF, rc. Αυτό είναι ένα παράδειγμα της φυσικής αιτιολόγησης του βαθμωτού γινομένου που ορίζεται για οποιαδήποτε δύο διανύσματα Α, Β μέσω του τύπου
A*B = AB cos bA, Bs.
Εφόσον όλες οι ποσότητες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι βαθμωτές, τότε A*B = B*A. Επομένως, ο κλιμακωτός πολλαπλασιασμός είναι ανταλλάξιμος. Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός έχει επίσης την κατανεμητική ιδιότητα: A*(B + C) = A*B + A*C. Εάν τα διανύσματα A και B είναι κάθετα, τότε το cos bA, το Bc είναι ίσο με μηδέν και, επομένως, το A*B = 0, ακόμα κι αν ούτε το A ούτε το B είναι ίσο με μηδέν. Γι' αυτό δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με διάνυσμα. Ας υποθέσουμε ότι διαιρούσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης A*B = A*C με το A. Αυτό θα έδινε B = C, και αν μπορούσε να γίνει διαίρεση, τότε αυτή η ισότητα θα ήταν το μόνο δυνατό αποτέλεσμα. Ωστόσο, αν ξαναγράψουμε την εξίσωση A*B = A*C ως A*(B - C) = 0 και θυμηθούμε ότι το (B - C) είναι ένα διάνυσμα, τότε είναι σαφές ότι το (B - C) δεν είναι απαραίτητα μηδέν και, επομένως, το B δεν πρέπει να είναι ίσο με το C. Αυτά τα αντικρουόμενα αποτελέσματα δείχνουν ότι η διαίρεση του διανύσματος είναι αδύνατη. Το κλιμακωτό γινόμενο δίνει έναν άλλο τρόπο για να γράψετε την αριθμητική τιμή (μέτρο) του διανύσματος: A*A = AA*cos 0° = A2;
να γιατί

Το βαθμωτό γινόμενο μπορεί επίσης να γραφτεί με άλλο τρόπο. Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε ότι: A = Ax i + Ayj + Azk. σημειώσε ότι

Επειτα,

Δεδομένου ότι η τελευταία εξίσωση περιέχει x, y και z ως δείκτες, η εξίσωση φαίνεται να εξαρτάται από το συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων που επιλέχθηκε. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει, όπως φαίνεται από τον ορισμό, ο οποίος δεν εξαρτάται από τους επιλεγμένους άξονες συντεταγμένων.
Διάνυσμα έργα τέχνης.Διάνυσμα ή εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μέτρο είναι ίσο με το γινόμενο των συντελεστών τους και το ημίτονο της γωνίας κάθετου στα αρχικά διανύσματα και μαζί με αυτά συνθέτουν το δεξιό τριπλό. Αυτό το προϊόν εισάγεται πιο εύκολα λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση μεταξύ ταχύτητας και γωνιακής ταχύτητας. Το πρώτο είναι ένα διάνυσμα. θα δείξουμε τώρα ότι το τελευταίο μπορεί να ερμηνευτεί και ως διάνυσμα. Η γωνιακή ταχύτητα ενός περιστρεφόμενου σώματος προσδιορίζεται ως εξής: επιλέξτε οποιοδήποτε σημείο του σώματος και σχεδιάστε μια κάθετη από αυτό το σημείο προς τον άξονα περιστροφής. Τότε η γωνιακή ταχύτητα του σώματος είναι ο αριθμός των ακτίνων που έχει περιστραφεί αυτή η γραμμή ανά μονάδα χρόνου. Εάν η γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα, πρέπει να έχει αριθμητική τιμή και διεύθυνση. Η αριθμητική τιμή εκφράζεται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο, η κατεύθυνση μπορεί να επιλεγεί κατά μήκος του άξονα περιστροφής, μπορεί να προσδιοριστεί κατευθύνοντας το διάνυσμα προς την κατεύθυνση στην οποία θα κινούνταν ο δεξιόστροφος κοχλίας όταν περιστρέφεται με το σώμα. Θεωρήστε την περιστροφή ενός σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα. Εάν εγκαταστήσουμε αυτόν τον άξονα μέσα σε έναν δακτύλιο, ο οποίος με τη σειρά του είναι στερεωμένος σε έναν άξονα που εισάγεται μέσα σε έναν άλλο δακτύλιο, μπορούμε να δώσουμε περιστροφή στο σώμα μέσα στον πρώτο δακτύλιο με γωνιακή ταχύτητα w1 και στη συνέχεια να κάνουμε τον εσωτερικό δακτύλιο (και το σώμα) να περιστραφεί με μια γωνιακή ταχύτητα w2. Το Σχήμα 7 εξηγεί την ουσία του θέματος. Τα κυκλικά βέλη δείχνουν την κατεύθυνση περιστροφής. Αυτό το σώμα είναι μια συμπαγής σφαίρα με κέντρο O και ακτίνα r.

Ρύζι. 7. ΜΙΑ ΣΦΑΙΡΑ ΜΕ ΚΕΝΤΡΟ Ο, περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα w1 εντός του δακτυλίου BC, η οποία, με τη σειρά της, περιστρέφεται εντός του δακτυλίου DE με γωνιακή ταχύτητα w2. Η σφαίρα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ίση με το άθροισμα των γωνιακών ταχυτήτων και όλα τα σημεία της ευθείας POP» βρίσκονται σε κατάσταση στιγμιαίας ηρεμίας.

Ας δώσουμε σε αυτό το σώμα μια κίνηση που είναι το άθροισμα δύο διαφορετικών γωνιακών ταχυτήτων. Αυτή η κίνηση είναι μάλλον δύσκολο να οπτικοποιηθεί, αλλά είναι προφανές ότι το σώμα δεν περιστρέφεται πλέον γύρω από έναν σταθερό άξονα. Ωστόσο, μπορείτε ακόμα να πείτε ότι περιστρέφεται. Για να το δείξουμε αυτό, ας επιλέξουμε κάποιο σημείο P στην επιφάνεια του σώματος, το οποίο τη στιγμή που εξετάζουμε βρίσκεται σε έναν μεγάλο κύκλο που συνδέει τα σημεία στα οποία δύο άξονες τέμνουν την επιφάνεια της σφαίρας. Ας ρίξουμε κάθετες από το P στον άξονα. Αυτές οι κάθετες γίνονται οι ακτίνες PJ και PK των κύκλων PQRS και PTUW, αντίστοιχα. Ας σχεδιάσουμε μια γραμμή POPў που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. Τώρα το σημείο P, την εξεταζόμενη χρονική στιγμή, κινείται ταυτόχρονα κατά μήκος των κύκλων που εφάπτονται στο σημείο P. Για ένα μικρό χρονικό διάστημα Dt, το P μετακινείται σε απόσταση

Αυτή η απόσταση είναι μηδέν αν

Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο P βρίσκεται σε κατάσταση στιγμιαίας ανάπαυσης, και ομοίως όλα τα σημεία της ευθείας POP. ο άξονας περιστροφής της σφαίρας, ακριβώς όπως ένας τροχός που κυλά σε έναν δρόμο κάθε στιγμή του χρόνου περιστρέφεται περίπου στο χαμηλότερο σημείο του σημείο. , μετακινείται σε χρόνο Dt σε απόσταση

Σε κύκλο ακτίνας r sin w1. Εξ ορισμού, η γωνιακή ταχύτητα

Από αυτόν τον τύπο και τη σχέση (1) παίρνουμε

Με άλλα λόγια, εάν γράψετε μια αριθμητική τιμή και επιλέξετε την κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας όπως περιγράφεται παραπάνω, τότε αυτές οι ποσότητες αθροίζονται ως διανύσματα και μπορούν να θεωρηθούν ως τέτοιες. Τώρα μπορείτε να εισαγάγετε το διασταυρούμενο προϊόν. θεωρήστε ένα σώμα που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα w. Επιλέγουμε οποιοδήποτε σημείο P στο σώμα και οποιαδήποτε αρχή Ο, που βρίσκεται στον άξονα περιστροφής. Έστω r ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από το O στο P. Το σημείο P κινείται κατά μήκος ενός κύκλου με ταχύτητα V = w r sin (w, r). Το διάνυσμα ταχύτητας V εφάπτεται στον κύκλο και δείχνει προς την κατεύθυνση που φαίνεται στο σχήμα. οκτώ.

Αυτή η εξίσωση δίνει την εξάρτηση της ταχύτητας V ενός σημείου από το συνδυασμό δύο διανυσμάτων w και r. Χρησιμοποιούμε αυτή τη σχέση για να ορίσουμε ένα νέο είδος προϊόντος και γράφουμε: V = w * r. Δεδομένου ότι το αποτέλεσμα ενός τέτοιου πολλαπλασιασμού είναι ένα διάνυσμα, αυτό το γινόμενο ονομάζεται διανυσματικό γινόμενο. Για οποιαδήποτε δύο διανύσματα A και B, αν A * B = C, τότε C = AB sin bA, Bc, και η κατεύθυνση του διανύσματος C είναι τέτοια ώστε να είναι κάθετο στο επίπεδο που διέρχεται από τα Α και Β και να δείχνει στο ίδιο κατεύθυνση ως η φορά κίνησης του δεξιοστροφικού κοχλία αν είναι παράλληλος στο C και περιστρέφεται από το Α στο Β. Με άλλα λόγια, μπορούμε να πούμε ότι τα Α, Β και Γ, με αυτή τη σειρά, σχηματίζουν το σωστό σύνολο αξόνων συντεταγμένων. Το προϊόν φορέα είναι αντιμεταθετικό. το διάνυσμα B * A έχει τον ίδιο συντελεστή με το A * B, αλλά κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση: A * B = -B * A. Αυτό το γινόμενο είναι διανεμητικό, αλλά όχι συνειρμικό. μπορεί να αποδειχθεί ότι

Ας δούμε πώς γράφεται το διανυσματικό γινόμενο σε συνιστώσες και μοναδιαία διανύσματα. Πρώτα απ 'όλα, για οποιοδήποτε διάνυσμα A, A * A = AA sin 0 = 0.
Επομένως, στην περίπτωση των μοναδιαίων διανυσμάτων, i * i = j * j = k * k = 0 και i * j = k, j * k = i, k * i = j. Επειτα,

Αυτή η ισότητα μπορεί επίσης να γραφτεί ως προσδιοριστικός παράγοντας:

Εάν A * B = 0, τότε είτε το A είτε το B είναι 0, είτε το A και το B είναι συγγραμμικά. Έτσι, όπως και με το γινόμενο με τελείες, η διαίρεση με ένα διάνυσμα δεν είναι δυνατή. Η τιμή του A * B είναι ίση με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με τις πλευρές Α και Β. Αυτό είναι εύκολο να το δούμε, αφού B sin bA, Bc είναι το ύψος του και το A είναι η βάση του. Υπάρχουν πολλές άλλες φυσικές ποσότητες που είναι διανυσματικά προϊόντα. Ένα από τα πιο σημαντικά διανυσματικά προϊόντα εμφανίζεται στη θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού και ονομάζεται διάνυσμα Poynting P. Αυτό το διάνυσμα ορίζεται ως εξής: P = E * H, όπου E και H είναι τα διανύσματα ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, αντίστοιχα. Το διάνυσμα P μπορεί να θεωρηθεί ως μια δεδομένη ροή ενέργειας σε watt ανά τετραγωνικό μέτρο σε οποιοδήποτε σημείο. Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα: η ροπή της δύναμης F (ροπή) σε σχέση με την αρχή, που ενεργεί σε ένα σημείο του οποίου το διάνυσμα ακτίνας είναι r, ορίζεται ως r * F; ένα σωματίδιο που βρίσκεται στο σημείο r, με μάζα m και ταχύτητα V, έχει γωνιακή ορμή mr * V σε σχέση με την αρχή. η δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο που μεταφέρει ηλεκτρικό φορτίο q μέσω ενός μαγνητικού πεδίου Β με ταχύτητα V είναι qV * B.
Τριπλά έργα.Από τρία διανύσματα, μπορούμε να σχηματίσουμε τα ακόλουθα τριπλά γινόμενα: διάνυσμα (A*B) * C; διάνυσμα(A*B)*C; βαθμωτό (A * B) *C. Ο πρώτος τύπος είναι το γινόμενο ενός διανύσματος C και ενός βαθμωτού A*B. έχουμε ήδη μιλήσει για τέτοια έργα. Ο δεύτερος τύπος ονομάζεται διπλό σταυρωτό γινόμενο. το διάνυσμα A * B είναι κάθετο στο επίπεδο όπου βρίσκονται τα A και B, και επομένως (A * B) * C είναι ένα διάνυσμα που βρίσκεται στο επίπεδο A και B και είναι κάθετο στο C. Επομένως, γενικά, (A *B) * Το C δεν είναι ίσο με A * (B * C). Γράφοντας τα Α, Β και Γ ως προς τις συντεταγμένες τους x, y και z (συστατικά) και πολλαπλασιάζοντας, μπορούμε να δείξουμε ότι A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A* ΣΙ). Ο τρίτος τύπος προϊόντος που εμφανίζεται στους υπολογισμούς του πλέγματος στη φυσική στερεάς κατάστασης είναι αριθμητικά ίσος με τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου με ακμές A, B, C. Επειδή (A * B) * C = A * (B * C), τα πρόσημα βαθμωτών και διανυσματικών πολλαπλασιασμών μπορούν να εναλλάσσονται και το γινόμενο συχνά γράφεται ως (A B C). Αυτό το γινόμενο είναι ίσο με την ορίζουσα

Σημειώστε ότι (A B C) = 0 εάν και τα τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή εάν A = 0 ή (και) B = 0 ή (και) C = 0.
ΔΙΑΦΑΝΙΣΜΟΣ
Ας υποθέσουμε ότι το διάνυσμα U είναι συνάρτηση μιας βαθμωτής μεταβλητής t. Για παράδειγμα, το U θα μπορούσε να είναι το διάνυσμα της ακτίνας που σχεδιάζεται από την αρχή στο κινούμενο σημείο και t θα μπορούσε να είναι ο χρόνος. Έστω το t να αλλάξει κατά ένα μικρό ποσό Dt, το οποίο θα αλλάξει το U κατά DU. Αυτό φαίνεται στο σχ. 9. Ο λόγος DU/Dt είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με το DU. Μπορούμε να ορίσουμε την παράγωγο του U ως προς το t ως

εφόσον υπάρχει τέτοιο όριο. Από την άλλη πλευρά, μπορεί κανείς να αναπαραστήσει το U ως το άθροισμα των συνιστωσών κατά μήκος των τριών αξόνων και να γράψει

Αν U είναι το διάνυσμα ακτίνας r, τότε dr/dt είναι η ταχύτητα του σημείου, εκφρασμένη ως συνάρτηση του χρόνου. Διαφοροποιώντας σε σχέση με το χρόνο πάλι, παίρνουμε την επιτάχυνση. Ας υποθέσουμε ότι το σημείο κινείται κατά μήκος της καμπύλης που φαίνεται στο Σχ. 10. Έστω s η απόσταση που διανύει το σημείο κατά μήκος της καμπύλης. Κατά τη διάρκεια ενός μικρού χρονικού διαστήματος Dt, το σημείο θα περάσει την απόσταση Ds κατά μήκος της καμπύλης. η θέση του διανύσματος ακτίνας θα αλλάξει σε Dr. Ως εκ τούτου, ο Dr/Ds είναι ένας φορέας που σκηνοθετείται όπως ο Dr. Περαιτέρω

Δρ διάνυσμα - αλλαγή ακτίνας-διανύσματος.

είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι καθώς το σημείο Q πλησιάζει το σημείο P, το PQ πλησιάζει την εφαπτομένη και το Dr προσεγγίζει το Ds. Οι τύποι για τη διαφοροποίηση ενός προϊόντος είναι παρόμοιοι με τους τύπους για τη διαφοροποίηση ενός γινομένου βαθμωτών συναρτήσεων. Ωστόσο, δεδομένου ότι το διασταυρούμενο γινόμενο είναι αντιμεταθετικό, η σειρά πολλαπλασιασμού πρέπει να διατηρηθεί. Να γιατί,

Έτσι, βλέπουμε ότι εάν το διάνυσμα είναι συνάρτηση μιας βαθμωτής μεταβλητής, τότε μπορούμε να αναπαραστήσουμε την παράγωγο με τον ίδιο σχεδόν τρόπο όπως στην περίπτωση μιας βαθμωτής συνάρτησης.
Διανυσματικά και βαθμωτά πεδία. Βαθμίδα.Στη φυσική, κάποιος συχνά πρέπει να ασχοληθεί με διανυσματικά ή βαθμωτά μεγέθη που αλλάζουν από σημείο σε σημείο σε μια δεδομένη περιοχή. Τέτοιες περιοχές ονομάζονται «χωράφια». Για παράδειγμα, ένας βαθμωτός μπορεί να είναι θερμοκρασία ή πίεση. το διάνυσμα μπορεί να είναι η ταχύτητα ενός κινούμενου ρευστού ή το ηλεκτροστατικό πεδίο ενός συστήματος φορτίων. Εάν έχουμε επιλέξει κάποιο σύστημα συντεταγμένων, τότε οποιοδήποτε σημείο P (x, y, z) στη δεδομένη περιοχή αντιστοιχεί σε κάποιο διάνυσμα ακτίνας r (= xi + yj + zk) και επίσης την τιμή της διανυσματικής ποσότητας U (r) ή το βαθμωτό f (r) που σχετίζεται με αυτό. Ας υποθέσουμε ότι τα U και f ορίζονται μοναδικά στον τομέα. εκείνοι. κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μία και μόνο τιμή U ή f, αν και διαφορετικά σημεία μπορεί, φυσικά, να έχουν διαφορετικές τιμές. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να περιγράψουμε τον ρυθμό με τον οποίο αλλάζουν τα U και f καθώς κινούμαστε σε αυτήν την περιοχή. Απλές μερικές παράγωγες, όπως dU / dx και df / dy, δεν μας ταιριάζουν, επειδή εξαρτώνται από ειδικά επιλεγμένους άξονες συντεταγμένων. Ωστόσο, είναι δυνατό να εισαχθεί ένας διανυσματικός διαφορικός τελεστής ανεξάρτητος από την επιλογή των αξόνων συντεταγμένων. αυτός ο τελεστής ονομάζεται "gradient". Ας ασχοληθούμε με ένα βαθμωτό πεδίο f. Αρχικά, ως παράδειγμα, εξετάστε έναν χάρτη περιγράμματος μιας περιοχής μιας χώρας. Στην περίπτωση αυτή, f είναι το ύψος πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. οι γραμμές περιγράμματος συνδέουν σημεία με την ίδια τιμή f. Όταν κινείστε σε οποιαδήποτε από αυτές τις γραμμές, το f δεν αλλάζει. αν κινηθούμε κάθετα σε αυτές τις ευθείες, τότε ο ρυθμός μεταβολής της f θα είναι μέγιστος. Μπορούμε να συσχετίσουμε κάθε σημείο με ένα διάνυσμα που δείχνει το μέγεθος και την κατεύθυνση της μέγιστης αλλαγής στην ταχύτητα f. ένας τέτοιος χάρτης και μερικά από αυτά τα διανύσματα φαίνονται στο Σχ. 11. Αν το κάνουμε αυτό για κάθε σημείο του πεδίου, θα έχουμε ένα διανυσματικό πεδίο που σχετίζεται με το βαθμωτό πεδίο f. Αυτό είναι το πεδίο ενός διανύσματος που ονομάζεται "gradient" f, το οποίο γράφεται ως grad f ή Cf (το σύμβολο C ονομάζεται επίσης "nabla").

Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων, οι γραμμές περιγράμματος γίνονται επιφάνειες. Μια μικρή μετατόπιση Dr (= iDx + jDy + kDz) οδηγεί σε μια αλλαγή στο f, η οποία γράφεται ως

όπου οι τελείες υποδηλώνουν όρους υψηλότερης τάξης. Αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο με τελείες

Διαιρέστε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας με το D και έστω ότι το D τείνει στο μηδέν. έπειτα

όπου dr/ds είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην επιλεγμένη κατεύθυνση. Η έκφραση σε παρένθεση είναι διάνυσμα ανάλογα με το επιλεγμένο σημείο. Άρα το df/ds έχει μέγιστη τιμή όταν το dr/ds δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση, η έκφραση σε παρένθεση είναι η κλίση. Με αυτόν τον τρόπο,

- ένα διάνυσμα ίσο σε μέγεθος και που συμπίπτει σε κατεύθυνση με το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της f σε σχέση με τις συντεταγμένες. Η διαβάθμιση f συχνά γράφεται ως

Αυτό σημαίνει ότι ο τελεστής C υπάρχει από μόνος του. Σε πολλές περιπτώσεις συμπεριφέρεται σαν διάνυσμα και στην πραγματικότητα είναι «διανυσματικός διαφορικός τελεστής» - ένας από τους σημαντικότερους διαφορικούς τελεστές στη φυσική. Παρά το γεγονός ότι το C περιέχει μοναδιαία διανύσματα i, j και k, η φυσική του σημασία δεν εξαρτάται από το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων. Ποια είναι η σχέση μεταξύ Cf και f; Πρώτα απ 'όλα, ας υποθέσουμε ότι η f ορίζει το δυναμικό σε οποιοδήποτε σημείο. Για οποιαδήποτε μικρή μετατόπιση Dr, η τιμή του f θα αλλάξει κατά

Εάν το q είναι μια ποσότητα (για παράδειγμα, μάζα, φορτίο) που κινείται από τον Dr, τότε το έργο που γίνεται όταν μετακινείται το q κατά Dr είναι ίσο με

Εφόσον το Dr είναι μετατόπιση, το qСf είναι δύναμη. -Cf είναι η τάση (δύναμη ανά μονάδα ποσότητας) που σχετίζεται με τη f. Για παράδειγμα, έστω U το ηλεκτροστατικό δυναμικό. τότε E είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, που δίνεται από τον τύπο E = -СU. Ας υποθέσουμε ότι το U δημιουργείται από ένα σημειακό ηλεκτρικό φορτίο q κουλόμπ τοποθετημένο στην αρχή. Η τιμή του U στο σημείο P (x, y, z) με το διάνυσμα ακτίνας r δίνεται από τον τύπο

Όπου e0 είναι η διηλεκτρική σταθερά του ελεύθερου χώρου. Να γιατί

από όπου προκύπτει ότι το E δρα κατά την κατεύθυνση r και το μέγεθός του είναι ίσο με q/(4pe0r3). Γνωρίζοντας ένα βαθμωτό πεδίο, μπορεί κανείς να προσδιορίσει το σχετικό διανυσματικό πεδίο. Το αντίθετο είναι επίσης πιθανό. Από την άποψη της μαθηματικής επεξεργασίας, τα βαθμωτά πεδία λειτουργούν ευκολότερα από τα διανυσματικά πεδία, αφού δίνονται από μία συνάρτηση συντεταγμένων, ενώ ένα διανυσματικό πεδίο απαιτεί τρεις συναρτήσεις που αντιστοιχούν στα διανυσματικά συστατικά σε τρεις κατευθύνσεις. Έτσι, τίθεται το ερώτημα: με δεδομένο ένα διανυσματικό πεδίο, μπορούμε να γράψουμε το βαθμωτό πεδίο που σχετίζεται με αυτό;
Απόκλιση και ρότορας.Είδαμε το αποτέλεσμα του C να ενεργεί σε μια βαθμωτή συνάρτηση. Τι συμβαίνει εάν το C εφαρμοστεί σε ένα διάνυσμα; Υπάρχουν δύο πιθανότητες: έστω το U (x, y, z) διάνυσμα. τότε μπορούμε να σχηματίσουμε ένα γινόμενο σταυρού και κουκκίδων ως εξής:

Η πρώτη από αυτές τις εκφράσεις είναι ένας βαθμωτός που ονομάζεται απόκλιση του U (σημαίνει divU). το δεύτερο είναι ένα διάνυσμα που ονομάζεται ρότορας U (σημαίνει rotU). Αυτές οι διαφορικές συναρτήσεις, η απόκλιση και η μπούκλα, χρησιμοποιούνται ευρέως στη μαθηματική φυσική. Φανταστείτε ότι το U είναι κάποιο διάνυσμα και ότι αυτό και οι πρώτες του παράγωγοι είναι συνεχείς σε κάποιο τομέα. Έστω P ένα σημείο σε αυτή την περιοχή που περιβάλλεται από μια μικρή κλειστή επιφάνεια S που οριοθετεί τον όγκο DV. Έστω n ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο σε αυτή την επιφάνεια σε κάθε σημείο (n αλλάζει κατεύθυνση καθώς κινείται γύρω από την επιφάνεια, αλλά έχει πάντα μοναδιαίο μήκος). ας δείχνει προς τα έξω. Ας το δείξουμε

Εδώ το S δείχνει ότι αυτά τα ολοκληρώματα λαμβάνονται σε ολόκληρη την επιφάνεια, το da είναι ένα στοιχείο της επιφάνειας του S. Για απλότητα, θα επιλέξουμε τη βολική μορφή του S με τη μορφή ενός μικρού παραλληλεπίπεδου (όπως φαίνεται στο Σχ. 12) με πλευρές Dx, Dy και Dz. Το σημείο P είναι το κέντρο του παραλληλεπίπεδου. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα από την εξίσωση (4) πρώτα σε μια όψη του παραλληλεπίπεδου. Για την μπροστινή όψη n = i (το μοναδιαίο διάνυσμα είναι παράλληλο με τον άξονα x). Da = DyDz. Η συμβολή στο ολοκλήρωμα από την μπροστινή όψη είναι ίση με

Στην απέναντι όψη n = -i; αυτό το πρόσωπο συμβάλλει στο ολοκλήρωμα

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Taylor, παίρνουμε τη συνολική συμβολή από τις δύο όψεις

Σημειώστε ότι DxDyDz = DV. Ομοίως, μπορεί να υπολογιστεί η συνεισφορά από τα άλλα δύο ζεύγη προσώπων. Το πλήρες ολοκλήρωμα ισούται με

και αν ορίσουμε DV (r) 0, τότε οι όροι υψηλότερης τάξης εξαφανίζονται. Σύμφωνα με τον τύπο (2), η έκφραση σε αγκύλες είναι divU, που αποδεικνύει την ισότητα (4). Η ισότητα (5) μπορεί να αποδειχθεί με τον ίδιο τρόπο. Ας χρησιμοποιήσουμε το Σχ. 12; τότε η συμβολή από την μπροστινή όψη στο ολοκλήρωμα θα είναι ίση με

Και, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Taylor, παίρνουμε ότι η συνολική συνεισφορά στο ολοκλήρωμα από δύο όψεις έχει τη μορφή

εκείνοι. αυτοί είναι δύο όροι από την έκφραση για rotU στην εξίσωση (3). Οι άλλοι τέσσερις όροι θα ληφθούν αφού ληφθούν υπόψη οι συνεισφορές από τα άλλα τέσσερα πρόσωπα. Τι σημαίνουν στην πραγματικότητα αυτές οι αναλογίες; Εξετάστε την ισότητα (4). Ας υποθέσουμε ότι U είναι η ταχύτητα (για παράδειγμα ενός υγρού). Τότε nЧU da = Un da, όπου Un είναι η κανονική συνιστώσα του διανύσματος U στην επιφάνεια. Επομένως, Un da ​​είναι ο όγκος του ρευστού που ρέει μέσω του da ανά μονάδα χρόνου και είναι ο όγκος του ρευστού που ρέει μέσω του S ανά μονάδα χρόνου. Συνεπώς,

Ο ρυθμός διαστολής μιας μονάδας όγκου γύρω από το σημείο P. Αυτό είναι όπου η απόκλιση παίρνει το όνομά της. δείχνει τον ρυθμό με τον οποίο το ρευστό διαστέλλεται έξω από (δηλαδή αποκλίνει από) P. Για να εξηγήσετε τη φυσική έννοια του ρότορα U, θεωρήστε μια άλλη επιφάνεια αναπόσπαστη σε έναν μικρό κυλινδρικό όγκο ύψους h που περιβάλλει το P. οι επίπεδες παράλληλες επιφάνειες μπορούν να προσανατολιστούν προς οποιαδήποτε κατεύθυνση επιλέξουμε. Έστω k το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο σε κάθε επιφάνεια και έστω το εμβαδόν κάθε επιφάνειας DA. τότε ο συνολικός όγκος DV = hDA (Εικ. 13). Σκεφτείτε τώρα το ολοκλήρωμα

Το ολοκλήρωμα είναι το προαναφερθέν τριπλό βαθμωτό γινόμενο. Αυτό το γινόμενο θα είναι μηδέν σε επίπεδες επιφάνειες όπου το k και το n είναι παράλληλες. Σε καμπύλη επιφάνεια

Όπου ds είναι το στοιχείο καμπύλης όπως φαίνεται στο σχ. 13. Συγκρίνοντας αυτές τις ισότητες με τη σχέση (5), προκύπτει ότι

Εξακολουθούμε να υποθέτουμε ότι U είναι η ταχύτητα. Ποια θα είναι η μέση γωνιακή ταχύτητα του ρευστού γύρω από το k σε αυτή την περίπτωση; Είναι προφανές ότι

εάν το DA δεν είναι ίσο με 0. Αυτή η έκφραση είναι μέγιστη όταν το k και το rotU δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι η rotU είναι ένα διάνυσμα ίσο με το διπλάσιο της γωνιακής ταχύτητας του ρευστού στο σημείο P. Εάν το ρευστό περιστρέφεται γύρω από το P, τότε το rotU είναι #0 και τα διανύσματα U θα περιστρέφονται γύρω από το P. Εξ ου και το όνομα ρότορας. Το θεώρημα της απόκλισης (το θεώρημα Ostrogradsky-Gauss) είναι μια γενίκευση του τύπου (4) για πεπερασμένους όγκους. Δηλώνει ότι για κάποιο όγκο V οριοθετημένος από μια κλειστή επιφάνεια S,

Ένα διάνυσμα είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που χαρακτηρίζεται από κατεύθυνση και μέγεθος. Στη γεωμετρία, ένα διάνυσμα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ένα επίπεδο ή στο χώρο, το οποίο έχει τη δική του συγκεκριμένη κατεύθυνση και μήκος.

Διάνυσμα σημειογραφία

Για να ορίσετε ένα διάνυσμα, χρησιμοποιείται είτε ένα πεζό γράμμα είτε δύο κεφαλαία γράμματα, τα οποία αντιστοιχούν στην αρχή και το τέλος του διανύσματος, ενώ πάνω από τα γράμματα εμφανίζεται μια οριζόντια παύλα. Το πρώτο γράμμα δείχνει την αρχή του διανύσματος, το δεύτερο - το τέλος (βλ. Εικόνα 1). Μια γραφική απεικόνιση ενός διανύσματος δείχνει ένα βέλος που δείχνει την κατεύθυνσή του.

Ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός διανύσματος στο επίπεδο και στο διάστημα;

Οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι οι συντελεστές του μοναδικού δυνατού γραμμικού συνδυασμού βασικών διανυσμάτων στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων. Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι αρκετά απλό. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος α. Ας το τοποθετήσουμε σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων (βλ. Εικόνα 2) και ας εκτελέσουμε προβολές του διανύσματος σε κάθε άξονα. Το διάνυσμα a σε αυτή την περίπτωση θα γραφεί ως εξής: a= a x i+ a y j+ a z k, όπου i, j, k είναι διανύσματα βάσης, a x , a y , a z είναι οι συντελεστές που καθορίζουν τις συντεταγμένες του διανύσματος a. Η ίδια η έκφραση θα ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός. Σε ένα επίπεδο (σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων), ένας γραμμικός συνδυασμός θα αποτελείται από δύο βάσεις και συντελεστές.

Διανυσματικές σχέσεις

Στη θεωρία των διανυσμάτων, υπάρχει ένας τέτοιος όρος όπως ο λόγος των διανυσμάτων. Αυτή η έννοια ορίζει τη θέση των διανυσμάτων σε σχέση μεταξύ τους στο επίπεδο και στο χώρο. Οι πιο διάσημες ειδικές περιπτώσεις διανυσματικών σχέσεων είναι:

• συγγραμμικότητα?
• συν-κατευθυντικότητα?
• ομοεπίπεδη?
• ισότητα.

Τα συγγραμμικά διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή ή είναι παράλληλα μεταξύ τους, τα συνκατευθυντικά διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση, τα συνεπίπεδα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα, τα ίσα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση και μήκος.

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας γραμμής στον Ευκλείδειο χώρο, στο οποίο το ένα άκρο (σημείο Α) ονομάζεται αρχή του διανύσματος και το άλλο άκρο (σημείο Β) ονομάζεται τέλος του διανύσματος (Εικ. 1). . Τα διανύσματα συμβολίζονται:

Αν η αρχή και το τέλος του διανύσματος είναι ίδια, τότε το διάνυσμα καλείται μηδενικό διάνυσμακαι συμβολίζεται 0 .

Παράδειγμα. Ας έχει συντεταγμένες η αρχή του διανύσματος στον δισδιάστατο χώρο ΕΝΑ(12,6) , και το τέλος του διανύσματος είναι οι συντεταγμένες σι(12.6). Τότε το διάνυσμα είναι μηδενικό διάνυσμα.

Μήκος κοπής ΑΒπου ονομάζεται μονάδα μέτρησης (μήκος, ο κανόνας) διάνυσμα και συμβολίζεται με | ένα|. Ένα διάνυσμα μήκους ίσου με ένα ονομάζεται μονάδα διάνυσμα. Εκτός από το μέτρο, ένα διάνυσμα χαρακτηρίζεται από μια κατεύθυνση: ένα διάνυσμα έχει κατεύθυνση από ΕΝΑπρος την σι. Ένα διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα, απεναντι αποδιάνυσμα .

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Στο Σχ. 3 κόκκινα διανύσματα είναι συγγραμμικά από τότε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τα μπλε διανύσματα είναι συγγραμμικά, γιατί βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες. Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα εξίσου σκηνοθετημένοαν τα άκρα τους βρίσκονται στην ίδια πλευρά της γραμμής που ενώνει τις αρχές τους. Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα αντίθετες κατευθύνσειςαν τα άκρα τους βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της γραμμής ενώνοντας τις αρχές τους. Εάν δύο συγγραμμικά διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε ονομάζονται εξίσου κατευθυνόμενα εάν μία από τις ακτίνες που σχηματίζονται από το ένα διάνυσμα περιέχει πλήρως την ακτίνα που σχηματίζεται από το άλλο διάνυσμα. Διαφορετικά, τα διανύσματα ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα. Στο σχήμα 3, τα μπλε διανύσματα είναι στην ίδια κατεύθυνση και τα κόκκινα διανύσματα είναι στην αντίθετη κατεύθυνση.

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσοςεάν έχουν ίσες ενότητες και είναι εξίσου κατευθυνόμενες. Στο Σχ.2, τα διανύσματα είναι ίσα επειδή οι συντελεστές τους είναι ίσοι και έχουν την ίδια κατεύθυνση.

Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδηαν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα.

ΣΤΟ nΣε ένα διανυσματικό χώρο, θεωρήστε το σύνολο όλων των διανυσμάτων των οποίων η αφετηρία συμπίπτει με την αρχή. Τότε το διάνυσμα μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

(1)

όπου x 1 , x 2 , ..., x nδιανυσματικές συντεταγμένες τελικού σημείου Χ.

Το διάνυσμα που γράφεται με τη μορφή (1) ονομάζεται διάνυσμα σειράς, και το διάνυσμα γράφεται ως

(2)

που ονομάζεται διάνυσμα στήλης.

Αριθμός nπου ονομάζεται διάσταση (για να) διάνυσμα. Αν ένα τότε καλείται το διάνυσμα μηδενικό διάνυσμα(γιατί το σημείο εκκίνησης του διανύσματος ). Δύο φορείς Χκαι yείναι ίσα αν και μόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.