Ορισμός.Ας οριστεί η συνάρτηση \(y = f(x) \) σε κάποιο διάστημα που περιέχει το σημείο \(x_0 \) μέσα. Ας αυξήσουμε το \(\Delta x \) στο όρισμα για να μην φύγουμε από αυτό το διάστημα. Βρείτε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης \(\Delta y \) (όταν περνάτε από το σημείο \(x_0 \) στο σημείο \(x_0 + \Delta x \)) και συνθέστε τη σχέση \(\frac(\Delta y )(\Δέλτα x) \). Εάν υπάρχει ένα όριο αυτής της σχέσης στο \(\Δέλτα x \δεξιό βέλος 0 \), τότε το υποδεικνυόμενο όριο καλείται παράγωγη συνάρτηση\(y=f(x) \) στο σημείο \(x_0 \) και δηλώνει \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Το σύμβολο y χρησιμοποιείται συχνά για να δηλώσει την παράγωγο. Σημειώστε ότι η y" = f(x) είναι μια νέα συνάρτηση, αλλά φυσικά σχετίζεται με τη συνάρτηση y = f(x), που ορίζεται σε όλα τα σημεία x στα οποία υπάρχει το παραπάνω όριο. Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται ως εξής: παράγωγος της συνάρτησης y \u003d f (x).

Η γεωμετρική σημασία της παραγώγουαποτελείται από τα εξής. Εάν μια εφαπτομένη που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα y μπορεί να σχεδιαστεί στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) σε ένα σημείο με την τετμημένη x \u003d a, τότε η f (a) εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης:
\(k = f"(a)\)

Εφόσον \(k = tg(a) \), η ισότητα \(f"(a) = tg(a) \) είναι αληθής.

Και τώρα ερμηνεύουμε τον ορισμό της παραγώγου ως προς τις κατά προσέγγιση ισότητες. Έστω η συνάρτηση \(y = f(x) \) να έχει παράγωγο σε ένα συγκεκριμένο σημείο \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Αυτό σημαίνει ότι κοντά στο σημείο x, η κατά προσέγγιση ισότητα \(\frac(\Δέλτα y)(\Δέλτα x) \περίπου f"(x) \), δηλ. \(\Δέλτα y \περίπου f"(x) \cdot \Deltax\). Το νόημα της λαμβανόμενης κατά προσέγγιση ισότητας έχει ως εξής: η αύξηση της συνάρτησης είναι «σχεδόν ανάλογη» με την αύξηση του ορίσματος και ο συντελεστής αναλογικότητας είναι η τιμή της παραγώγου σε ένα δεδομένο σημείο x. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση \(y = x^2 \) η κατά προσέγγιση ισότητα \(\Δέλτα y \περίπου 2x \cdot \Δέλτα x\) είναι αληθής. Αν αναλύσουμε προσεκτικά τον ορισμό της παραγώγου, θα διαπιστώσουμε ότι περιέχει έναν αλγόριθμο για την εύρεση της.

Ας το διατυπώσουμε.

Πώς να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y \u003d f (x) ;

1. Διορθώστε την τιμή \(x \), βρείτε \(f(x) \)
2. Αυξήστε το όρισμα \(x \) \(\Delta x \), μετακινηθείτε σε ένα νέο σημείο \(x+ \Delta x \), βρείτε το \(f(x+ \Delta x) \)
3. Βρείτε την αύξηση της συνάρτησης: \(\Δέλτα y = f(x + \Δέλτα x) - f(x) \)
4. Συνθέστε τη σχέση \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Υπολογίστε $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο x.

Αν η συνάρτηση y = f(x) έχει παράγωγο στο σημείο x, τότε ονομάζεται διαφοροποιήσιμη στο σημείο x. Καλείται η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου της συνάρτησης y \u003d f (x). ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισησυναρτήσεις y = f(x).

Ας συζητήσουμε το ακόλουθο ερώτημα: πώς σχετίζονται η συνέχεια και η διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο;

Έστω η συνάρτηση y = f(x) διαφορίσιμη στο σημείο x. Τότε μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο M (x; f (x)) και, θυμηθείτε, η κλίση της εφαπτομένης είναι ίση με f "(x). Ένα τέτοιο γράφημα δεν μπορεί να "σπάσει" στο το σημείο Μ, δηλαδή η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής στο x.

Ήταν συλλογισμός «στα δάχτυλα». Ας παρουσιάσουμε ένα πιο αυστηρό επιχείρημα. Εάν η συνάρτηση y = f(x) είναι διαφορίσιμη στο σημείο x, τότε ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα \(\Δέλτα y \περίπου f"(x) \cdot \Δέλτα x \) μηδέν, τότε \(\Δέλτα y \) ) θα τείνει επίσης στο μηδέν, και αυτή είναι η προϋπόθεση για τη συνέχεια της συνάρτησης σε ένα σημείο.

Ετσι, αν μια συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο x, τότε είναι και συνεχής σε αυτό το σημείο.

Το αντίστροφο δεν είναι αλήθεια. Για παράδειγμα: συνάρτηση y = |x| είναι συνεχής παντού, ιδιαίτερα στο σημείο x = 0, αλλά η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο «κοινό σημείο» (0; 0) δεν υπάρχει. Εάν σε κάποιο σημείο είναι αδύνατο να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στο γράφημα της συνάρτησης, τότε δεν υπάρχει παράγωγος σε αυτό το σημείο.

Ένα ακόμη παράδειγμα. Η συνάρτηση \(y=\sqrt(x) \) είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, συμπεριλαμβανομένου του σημείου x = 0. Και η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης υπάρχει σε οποιοδήποτε σημείο, συμπεριλαμβανομένου του σημείου x = 0 Αλλά σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη συμπίπτει με τον άξονα y, δηλαδή είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, η εξίσωσή της έχει τη μορφή x \u003d 0. Δεν υπάρχει κλίση για μια τέτοια ευθεία γραμμή, που σημαίνει ότι \ ( Ούτε η f "(0) \) δεν υπάρχει

Έτσι, γνωρίσαμε μια νέα ιδιότητα μιας συνάρτησης - τη διαφοροποίηση. Πώς μπορείτε να καταλάβετε εάν μια συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης;

Η απάντηση δίνεται στην πραγματικότητα παραπάνω. Αν σε κάποιο σημείο μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που δεν είναι κάθετη στον άξονα x, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη. Αν σε κάποιο σημείο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν υπάρχει ή είναι κάθετη στον άξονα x, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη.

Κανόνες διαφοροποίησης

Η πράξη εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Κατά την εκτέλεση αυτής της λειτουργίας, συχνά πρέπει να εργαστείτε με πηλίκα, αθροίσματα, γινόμενα συναρτήσεων, καθώς και με "συναρτήσεις συναρτήσεων", δηλαδή σύνθετες συναρτήσεις. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, μπορούμε να εξαγάγουμε κανόνες διαφοροποίησης που διευκολύνουν αυτή την εργασία. Αν το C είναι σταθερός αριθμός και οι f=f(x), g=g(x) είναι μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, τότε ισχύουν τα ακόλουθα κανόνες διαφοροποίησης:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Πίνακας παραγώγων ορισμένων συναρτήσεων

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\κείμενο(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Πρώτο επίπεδο

Παράγωγος συνάρτησης. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Φανταστείτε έναν ευθύ δρόμο που περνά μέσα από μια λοφώδη περιοχή. Δηλαδή ανεβοκατεβαίνει, αλλά δεν στρίβει δεξιά ή αριστερά. Εάν ο άξονας κατευθύνεται οριζόντια κατά μήκος του δρόμου και κάθετα, τότε η γραμμή του δρόμου θα μοιάζει πολύ με το γράφημα κάποιας συνεχούς συνάρτησης:

Ο άξονας είναι ένα ορισμένο επίπεδο μηδενικού ύψους, στη ζωή χρησιμοποιούμε το επίπεδο της θάλασσας ως αυτό.

Προχωρώντας σε έναν τέτοιο δρόμο, κινούμαστε επίσης πάνω ή κάτω. Μπορούμε επίσης να πούμε: όταν αλλάζει το όρισμα (κινείται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης), αλλάζει η τιμή της συνάρτησης (κινείται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων). Τώρα ας σκεφτούμε πώς να προσδιορίσουμε την «κλίση» του δρόμου μας; Ποια θα μπορούσε να είναι αυτή η τιμή; Πολύ απλό: πόσο θα αλλάξει το ύψος όταν κινείστε μπροστά σε μια συγκεκριμένη απόσταση. Πράγματι, σε διαφορετικά τμήματα του δρόμου, προχωρώντας (κατά μήκος της τετμημένης) ένα χιλιόμετρο, θα ανεβούμε ή θα πέσουμε διαφορετικό αριθμό μέτρων σε σχέση με το επίπεδο της θάλασσας (κατά μήκος της τεταγμένης).

Δηλώνουμε πρόοδο προς τα εμπρός (διαβάστε "δέλτα x").

Το ελληνικό γράμμα (δέλτα) χρησιμοποιείται συνήθως στα μαθηματικά ως πρόθεμα που σημαίνει "αλλαγή". Δηλαδή - αυτή είναι μια αλλαγή στο μέγεθος, - μια αλλαγή. τότε τι είναι? Αυτό είναι σωστό, μια αλλαγή στο μέγεθος.

Σημαντικό: η έκφραση είναι μια ενιαία οντότητα, μία μεταβλητή. Δεν πρέπει ποτέ να αποκόψετε το "δέλτα" από το "χ" ή οποιοδήποτε άλλο γράμμα! Δηλαδή, για παράδειγμα, .

Έτσι, προχωρήσαμε, οριζόντια, μπροστά. Αν συγκρίνουμε τη γραμμή του δρόμου με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε πώς συμβολίζουμε την άνοδο; Φυσικά, . Δηλαδή, όταν προχωράμε μπροστά ανεβαίνουμε ψηλότερα.

Είναι εύκολο να υπολογίσουμε την τιμή: αν στην αρχή βρισκόμασταν σε ύψος και μετά τη μετακίνηση ήμασταν σε ύψος, τότε. Εάν το τελικό σημείο αποδεικνύεται χαμηλότερο από το σημείο έναρξης, θα είναι αρνητικό - αυτό σημαίνει ότι δεν ανεβαίνουμε, αλλά κατεβαίνουμε.

Επιστροφή στην "απότομη": αυτή είναι μια τιμή που υποδεικνύει πόσο (απότομα) αυξάνεται το ύψος όταν κινείται προς τα εμπρός ανά μονάδα απόστασης:

Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο τμήμα του μονοπατιού, όταν προχωράτε κατά km, ο δρόμος ανεβαίνει κατά km. Τότε η κλίση σε αυτό το μέρος είναι ίση. Και αν ο δρόμος, όταν προχωρούσε με m, βυθίστηκε κατά χλμ; Τότε η κλίση είναι ίση.

Τώρα σκεφτείτε την κορυφή ενός λόφου. Εάν πάρετε την αρχή του τμήματος μισό χιλιόμετρο στην κορυφή και το τέλος - μισό χιλιόμετρο μετά από αυτό, μπορείτε να δείτε ότι το ύψος είναι σχεδόν το ίδιο.

Δηλαδή, σύμφωνα με τη λογική μας, αποδεικνύεται ότι η κλίση εδώ είναι σχεδόν ίση με το μηδέν, κάτι που σαφώς δεν ισχύει. Πολλά μπορούν να αλλάξουν λίγα μόλις χιλιόμετρα μακριά. Πρέπει να ληφθούν υπόψη μικρότερες περιοχές για μια πιο επαρκή και ακριβή εκτίμηση της απότομης κλίσης. Για παράδειγμα, αν μετρήσετε την αλλαγή ύψους όταν μετακινείστε ένα μέτρο, το αποτέλεσμα θα είναι πολύ πιο ακριβές. Αλλά ακόμη και αυτή η ακρίβεια μπορεί να μην είναι αρκετή για εμάς - άλλωστε, αν υπάρχει κοντάρι στη μέση του δρόμου, μπορούμε απλά να γλιστρήσουμε μέσα από αυτό. Τι απόσταση να επιλέξουμε τότε; Εκατοστόμετρο? Χιλιοστόμετρο? Λιγότερο είναι καλύτερο!

Στην πραγματική ζωή, η μέτρηση της απόστασης στο πλησιέστερο χιλιοστό είναι υπεραρκετή. Αλλά οι μαθηματικοί προσπαθούν πάντα για την τελειότητα. Επομένως, η ιδέα ήταν απειροελάχιστος, δηλαδή, η τιμή του modulo είναι μικρότερη από οποιονδήποτε αριθμό μπορούμε να ονομάσουμε. Για παράδειγμα, λέτε: ένα τρισεκατομμύριο! Πόσο λιγότερο; Και διαιρείτε αυτόν τον αριθμό με - και θα είναι ακόμη λιγότερος. Και ούτω καθεξής. Αν θέλουμε να γράψουμε ότι η τιμή είναι απείρως μικρή, γράφουμε ως εξής: (διαβάζουμε «το x τείνει στο μηδέν»). Είναι πολύ σημαντικό να καταλάβουμε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι ίσος με μηδέν!Αλλά πολύ κοντά σε αυτό. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να χωριστεί σε.

Η έννοια αντίθετη με το απείρως μικρό είναι απείρως μεγάλο (). Πιθανότατα το έχετε ήδη συναντήσει όταν εργαζόσασταν για ανισότητες: αυτός ο αριθμός είναι μεγαλύτερος σε συντελεστή από οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να σκεφτείτε. Αν καταλήξετε στον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό, απλώς πολλαπλασιάστε τον επί δύο και θα λάβετε ακόμη περισσότερους. Και το άπειρο είναι ακόμα περισσότερο από αυτό που συμβαίνει. Στην πραγματικότητα, το άπειρο μεγάλο και το απείρως μικρό είναι αντίστροφα μεταξύ τους, δηλαδή στο, και αντίστροφα: στο.

Τώρα πίσω στον δρόμο μας. Η ιδανικά υπολογισμένη κλίση είναι η κλίση που υπολογίζεται για ένα απείρως μικρό τμήμα της διαδρομής, δηλαδή:

Σημειώνω ότι με απείρως μικρή μετατόπιση, η αλλαγή ύψους θα είναι επίσης απείρως μικρή. Να θυμίσω όμως ότι το απείρως μικρό δεν σημαίνει ίσο με μηδέν. Εάν διαιρέσετε απειροελάχιστους αριθμούς μεταξύ τους, μπορείτε να πάρετε έναν εντελώς συνηθισμένο αριθμό, για παράδειγμα,. Δηλαδή, μια μικρή τιμή μπορεί να είναι ακριβώς δύο φορές μεγαλύτερη από μια άλλη.

Γιατί όλα αυτά; Ο δρόμος, η απότομη... Δεν πάμε σε ράλι, αλλά μαθαίνουμε μαθηματικά. Και στα μαθηματικά όλα είναι ακριβώς τα ίδια, ονομάζονται μόνο διαφορετικά.

Η έννοια του παραγώγου

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος σε μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος.

Αύξησηστα μαθηματικά λέγεται αλλαγή. Το πόσο έχει αλλάξει το όρισμα () όταν κινείται κατά μήκος του άξονα ονομάζεται προσαύξηση επιχειρήματοςκαι συμβολίζεται με το πόσο έχει αλλάξει η συνάρτηση (ύψος) όταν κινείται προς τα εμπρός κατά μήκος του άξονα κατά μια απόσταση λέγεται αύξηση συνάρτησηςκαι σημειώνεται.

Άρα, η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι η σχέση με το πότε. Συμβολίζουμε την παράγωγο με το ίδιο γράμμα με τη συνάρτηση, μόνο με μια διαδρομή από πάνω δεξιά: ή απλά. Λοιπόν, ας γράψουμε τον τύπο της παραγώγου χρησιμοποιώντας αυτούς τους συμβολισμούς:

Όπως και στην αναλογία με το δρόμο, εδώ, όταν αυξάνεται η συνάρτηση, η παράγωγος είναι θετική και όταν μειώνεται είναι αρνητική.

Είναι όμως η παράγωγος ίση με μηδέν; Φυσικά. Για παράδειγμα, αν οδηγούμε σε επίπεδο οριζόντιο δρόμο, η απότομη κλίση είναι μηδενική. Πράγματι, το ύψος δεν αλλάζει καθόλου. Έτσι με την παράγωγο: η παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης (σταθερά) είναι ίση με μηδέν:

αφού η αύξηση μιας τέτοιας συνάρτησης είναι μηδέν για οποιαδήποτε.

Ας πάρουμε το παράδειγμα στην κορυφή του λόφου. Αποδείχθηκε ότι ήταν δυνατό να τακτοποιηθούν τα άκρα του τμήματος σε αντίθετες πλευρές της κορυφής με τέτοιο τρόπο ώστε το ύψος στα άκρα να είναι το ίδιο, δηλαδή το τμήμα να είναι παράλληλο με τον άξονα:

Αλλά τα μεγάλα τμήματα είναι σημάδι ανακριβούς μέτρησης. Θα ανεβάσουμε το τμήμα μας παράλληλα με τον εαυτό του, τότε το μήκος του θα μειωθεί.

Στο τέλος, όταν είμαστε απείρως κοντά στην κορυφή, το μήκος του τμήματος θα γίνει απείρως μικρό. Ταυτόχρονα όμως παρέμεινε παράλληλος στον άξονα, δηλαδή η υψομετρική διαφορά στα άκρα του είναι ίση με μηδέν (δεν τείνει, αλλά ισούται με). Άρα το παράγωγο

Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό ως εξής: όταν στεκόμαστε στην κορυφή, μια μικρή μετατόπιση προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά αλλάζει αμελητέα το ύψος μας.

Υπάρχει επίσης μια καθαρά αλγεβρική εξήγηση: στα αριστερά της κορυφής, η συνάρτηση αυξάνεται και στα δεξιά, μειώνεται. Όπως έχουμε ήδη ανακαλύψει νωρίτερα, όταν η συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγος είναι θετική και όταν μειώνεται είναι αρνητική. Αλλάζει όμως ομαλά, χωρίς άλματα (γιατί ο δρόμος δεν αλλάζει απότομα πουθενά την κλίση του). Επομένως, πρέπει να υπάρχει μεταξύ αρνητικών και θετικών τιμών. Θα είναι όπου η συνάρτηση ούτε αυξάνεται ούτε μειώνεται - στο σημείο κορυφής.

Το ίδιο ισχύει και για την κοιλάδα (η περιοχή όπου η συνάρτηση μειώνεται στα αριστερά και αυξάνεται στα δεξιά):

Λίγα περισσότερα για τις προσαυξήσεις.

Έτσι αλλάζουμε το όρισμα σε τιμή. Αλλάζουμε από ποια τιμή; Τι έχει γίνει αυτός (επιχείρημα) τώρα; Μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο, και τώρα θα χορέψουμε από αυτό.

Θεωρήστε ένα σημείο με μια συντεταγμένη. Η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι ίση. Στη συνέχεια κάνουμε την ίδια αύξηση: αυξήστε τη συντεταγμένη κατά. Ποιο είναι το επιχείρημα τώρα; Πολύ εύκολο: . Ποια είναι η τιμή της συνάρτησης τώρα; Όπου πηγαίνει το όρισμα, η συνάρτηση πηγαίνει εκεί: . Τι γίνεται με την αύξηση συνάρτησης; Τίποτα νέο: αυτό είναι ακόμα το ποσό κατά το οποίο έχει αλλάξει η συνάρτηση:

Εξασκηθείτε στην εύρεση προσαυξήσεων:

1. Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης σε ένα σημείο με αύξηση του ορίσματος ίση με.
2. Το ίδιο για μια συνάρτηση σε ένα σημείο.

Λύσεις:

Σε διαφορετικά σημεία, με την ίδια αύξηση του ορίσματος, η αύξηση της συνάρτησης θα είναι διαφορετική. Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος σε κάθε σημείο έχει τη δική της (το συζητήσαμε στην αρχή - η κλίση του δρόμου σε διαφορετικά σημεία είναι διαφορετική). Επομένως, όταν γράφουμε μια παράγωγο, πρέπει να αναφέρουμε σε ποιο σημείο:

Λειτουργία ισχύος.

Μια συνάρτηση ισχύος ονομάζεται συνάρτηση όπου το όρισμα είναι σε κάποιο βαθμό (λογικό, σωστά;).

Και - σε οποιοδήποτε βαθμό: .

Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν ο εκθέτης είναι:

Ας βρούμε την παράγωγή του σε ένα σημείο. Θυμηθείτε τον ορισμό της παραγώγου:

Έτσι το επιχείρημα αλλάζει από σε. Ποια είναι η αύξηση της συνάρτησης;

Η προσαύξηση είναι. Αλλά η συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο είναι ίση με το όρισμά της. Να γιατί:

Το παράγωγο είναι:

Η παράγωγος είναι:

β) Θεωρήστε τώρα την τετραγωνική συνάρτηση (): .

Τώρα ας το θυμηθούμε. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της προσαύξησης μπορεί να παραμεληθεί, καθώς είναι απείρως μικρή και επομένως ασήμαντη στο πλαίσιο ενός άλλου όρου:

Λοιπόν, έχουμε έναν άλλο κανόνα:

γ) Συνεχίζουμε τη λογική σειρά: .

Αυτή η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί με διάφορους τρόπους: ανοίξτε την πρώτη αγκύλη χρησιμοποιώντας τον τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό του κύβου του αθροίσματος ή αποσυνθέστε ολόκληρη την έκφραση σε παράγοντες χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά των κύβων. Προσπαθήστε να το κάνετε μόνοι σας με οποιονδήποτε από τους προτεινόμενους τρόπους.

Λοιπόν, πήρα τα εξής:

Και ας το θυμηθούμε ξανά. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να παραβλέψουμε όλους τους όρους που περιέχουν:

Παίρνουμε: .

δ) Παρόμοιοι κανόνες μπορούν να ληφθούν για μεγάλες δυνάμεις:

ε) Αποδεικνύεται ότι αυτός ο κανόνας μπορεί να γενικευτεί για μια συνάρτηση ισχύος με αυθαίρετο εκθέτη, ούτε καν ακέραιο:

(2)

Μπορείτε να διατυπώσετε τον κανόνα με τις λέξεις: "ο βαθμός εμφανίζεται ως συντελεστής και στη συνέχεια μειώνεται κατά".

Αυτόν τον κανόνα θα τον αποδείξουμε αργότερα (σχεδόν στο τέλος). Τώρα ας δούμε μερικά παραδείγματα. Βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:

1. (με δύο τρόπους: με τον τύπο και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου - μετρώντας την αύξηση της συνάρτησης).

1. . Είτε το πιστεύετε είτε όχι, αυτή είναι μια λειτουργία ισχύος. Εάν έχετε ερωτήσεις όπως «Πώς είναι; Και πού είναι το πτυχίο; », Θυμηθείτε το θέμα« »!
   Ναι, ναι, και η ρίζα είναι μοίρα, μόνο κλασματική:.
   Άρα η τετραγωνική μας ρίζα είναι απλώς μια δύναμη με εκθέτη:
   .
   Αναζητούμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο που μάθαμε πρόσφατα:

   Αν σε αυτό το σημείο έγινε πάλι ασαφές, επαναλάβετε το θέμα "" !!! (περίπου πτυχίο με αρνητικό δείκτη)

2. . Τώρα ο εκθέτης:

   Και τώρα μέσα από τον ορισμό (το έχετε ξεχάσει ακόμα;):
   ;
   .
   Τώρα, ως συνήθως, παραμελούμε τον όρο που περιέχει:
   .

3. . Συνδυασμός προηγούμενων περιπτώσεων: .

τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε ένα γεγονός από ανώτερα μαθηματικά:

Όταν έκφραση.

Θα μάθετε την απόδειξη στο πρώτο έτος του ινστιτούτου (και για να φτάσετε εκεί, πρέπει να περάσετε καλά τις εξετάσεις). Τώρα θα το δείξω μόνο γραφικά:

Βλέπουμε ότι όταν η συνάρτηση δεν υπάρχει - το σημείο στο γράφημα είναι τρυπημένο. Αλλά όσο πιο κοντά στην τιμή, τόσο πιο κοντά είναι η συνάρτηση.Αυτό είναι το ίδιο το "strives".

Επιπλέον, μπορείτε να ελέγξετε αυτόν τον κανόνα με μια αριθμομηχανή. Ναι, ναι, μην ντρέπεσαι, πάρε μια αριθμομηχανή, δεν είμαστε ακόμα στις εξετάσεις.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν: ;

Μην ξεχάσετε να αλλάξετε την αριθμομηχανή σε λειτουργία Radians!

και τα λοιπά. Βλέπουμε ότι όσο μικρότερη, τόσο πιο κοντά είναι η τιμή της αναλογίας.

α) Θεωρήστε μια συνάρτηση. Ως συνήθως, βρίσκουμε την αύξησή του:

Ας μετατρέψουμε τη διαφορά των ημιτόνων σε προϊόν. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο (θυμηθείτε το θέμα ""):.

Τώρα η παράγωγος:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: . Τότε, για απείρως μικρό, είναι επίσης απείρως μικρό: . Η έκφραση για παίρνει τη μορφή:

Και τώρα το θυμόμαστε με την έκφραση. Και επίσης, τι γίνεται αν μια απείρως μικρή τιμή μπορεί να παραμεληθεί στο άθροισμα (δηλαδή στο).

Παίρνουμε λοιπόν τον εξής κανόνα: η παράγωγος του ημιτόνου ισούται με το συνημίτονο:

Αυτά είναι βασικά ("πίνακα") παράγωγα. Εδώ είναι σε μια λίστα:

Αργότερα θα προσθέσουμε μερικά ακόμα σε αυτά, αλλά αυτά είναι τα πιο σημαντικά, καθώς χρησιμοποιούνται συχνότερα.

Πρακτική:

1. Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.
2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.

Λύσεις:

1. Αρχικά, βρίσκουμε την παράγωγο σε μια γενική μορφή και, στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή της:
   ;
   .
2. Εδώ έχουμε κάτι παρόμοιο με μια συνάρτηση ισχύος. Ας προσπαθήσουμε να τη φέρουμε
   κανονική θέα:
   .
   Εντάξει, τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
   .
   .
3. . Εεεεεε….. Τι είναι;;;;

Εντάξει, έχεις δίκιο, ακόμα δεν ξέρουμε πώς να βρούμε τέτοια παράγωγα. Εδώ έχουμε έναν συνδυασμό πολλών τύπων συναρτήσεων. Για να εργαστείτε μαζί τους, πρέπει να μάθετε μερικούς ακόμη κανόνες:

Εκθέτης και φυσικός λογάριθμος.

Υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση στα μαθηματικά, η παράγωγος της οποίας για οποιαδήποτε είναι ίση με την τιμή της ίδιας της συνάρτησης για την ίδια. Ονομάζεται «εκθέτης» και είναι εκθετική συνάρτηση

Η βάση αυτής της συνάρτησης - σταθερά - είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα, δηλαδή ένας άρρητος αριθμός (όπως π.χ.). Ονομάζεται «αριθμός Euler», γι' αυτό και συμβολίζεται με γράμμα.

Ο κανόνας λοιπόν είναι:

Είναι πολύ εύκολο να το θυμάστε.

Λοιπόν, δεν θα πάμε μακριά, θα εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποιο είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης; Λογάριθμος:

Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ένας αριθμός:

Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται «φυσικός» και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση για αυτόν: γράφουμε αντ' αυτού.

Με τι ισούται; Φυσικά, .

Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;

Απαντήσεις: Ο εκθέτης και ο φυσικός λογάριθμος είναι συναρτήσεις που είναι μοναδικά απλές ως προς την παράγωγο. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνες διαφοροποίησης

Τι κανόνες; Άλλη μια νέα θητεία, πάλι;!...

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.

Μόνο και όλα. Ποια είναι άλλη λέξη για αυτή τη διαδικασία; Όχι proizvodnovanie... Το διαφορικό των μαθηματικών ονομάζεται η ίδια η αύξηση της συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.

Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:

Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.

Η σταθερά αφαιρείται από το πρόσημο της παραγώγου.

Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.

Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .

Ας το αποδείξουμε. Αφήστε, ή ευκολότερα.

Παραδείγματα.

Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

1. στο σημείο;
2. στο σημείο;
3. στο σημείο;
4. στο σημείο.

Λύσεις:

1. (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού είναι γραμμική συνάρτηση, θυμάστε;);

Παράγωγο προϊόντος

Όλα είναι παρόμοια εδώ: εισάγουμε μια νέα συνάρτηση και βρίσκουμε την προσαύξησή της:

Παράγωγο:

Παραδείγματα:

1. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων και?
2. Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Λύσεις:

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τον εκθέτη (έχετε ξεχάσει τι είναι ακόμα;).

Πού είναι λοιπόν κάποιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να φέρουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:

Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε έναν απλό κανόνα: . Επειτα:

Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.

Συνέβη;

Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:

Ο τύπος αποδείχθηκε πολύ παρόμοιος με την παράγωγο του εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.

Παραδείγματα:
Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

Απαντήσεις:

Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί σε πιο απλή μορφή. Επομένως, στην απάντηση μένει με αυτή τη μορφή.

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Εδώ είναι παρόμοιο: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

Επομένως, για να βρείτε ένα αυθαίρετο από τον λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα, :

Πρέπει να φέρουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:

Μόνο τώρα αντί για θα γράψουμε:

Ο παρονομαστής αποδείχθηκε ότι ήταν απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος είναι πολύ απλή:

Οι παράγωγοι των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στην εξέταση, αλλά δεν θα είναι περιττό να τις γνωρίζουμε.

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Τι είναι μια "σύνθετη συνάρτηση"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για εφαπτομένη τόξου. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να τις καταλάβετε (αν και αν ο λογάριθμος σας φαίνεται δύσκολος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και όλα θα πάνε καλά), αλλά όσον αφορά τα μαθηματικά, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".

Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορέα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη την δένει με μια κορδέλα. Αποδεικνύεται ένα τέτοιο σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με μια κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίθετα βήματα με αντίστροφη σειρά.

Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Έτσι, μας δίνουν έναν αριθμό (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη? Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, κάνουμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια άλλη δεύτερη ενέργεια με αυτό που συνέβη ως αποτέλεσμα της πρώτης.

Μπορεί κάλλιστα να κάνουμε τις ίδιες ενέργειες με αντίστροφη σειρά: πρώτα τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει:. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συναρτήσεων: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.

Με άλλα λόγια, Μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .

Για το πρώτο παράδειγμα, .

Δεύτερο παράδειγμα: (ίδιο). .

Η τελευταία ενέργεια που κάνουμε θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια που εκτελέστηκε πρώτη - αντίστοιχα "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:

Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός των εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, στη συνάρτηση

1. Τι ενέργειες θα κάνουμε πρώτα; Πρώτα υπολογίζουμε το ημίτονο και μόνο μετά το ανεβάζουμε σε κύβο. Άρα είναι μια εσωτερική λειτουργία, όχι μια εξωτερική.
   Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: .
2. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
3. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
4. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
5. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .

αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.

Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας - ψάξτε για το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Για το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Όλα φαίνονται απλά, σωστά;

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

Λύσεις:

1) Εσωτερικό: ;

Εξωτερικό: ;

2) Εσωτερικό: ;

(απλώς μην προσπαθήσετε να μειώσετε μέχρι τώρα! Δεν έχει αφαιρεθεί τίποτα από το συνημίτονο, θυμάστε;)

3) Εσωτερική: ;

Εξωτερικό: ;

Είναι αμέσως σαφές ότι υπάρχει μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων εδώ: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της, και εξακολουθούμε να εξάγουμε τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάλτε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα σε χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: ούτως ή άλλως, θα "ξεσυσκευάσουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.

Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή, ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών - όπως πριν:

Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε την πορεία δράσης.

1. Ριζοσπαστική έκφραση. .

2. Ρίζα. .

3. Κόλπος. .

4. Τετράγωνο. .

5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:

ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος με μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:

Βασικά παράγωγα:

Κανόνες διαφοροποίησης:

Η σταθερά αφαιρείται από το πρόσημο της παραγώγου:

Παράγωγο αθροίσματος:

Παράγωγο προϊόν:

Παράγωγος του πηλίκου:

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

1. Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
2. Ορίζουμε την "εξωτερική" συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
3. Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.

1- Παράγωγο, που σημαίνει σε διαφορετικές εργασίες και ιδιότητες

1.1. Η έννοια του παραγώγου

Αφήστε τη λειτουργία στο– φά(Χ) που ορίζεται στο διάστημα ρε. Πάρτε κάποια τιμή X0 ρεκαι θεωρήστε την προσαύξηση ∆ Χ: x0 +∆x ρε. Εάν υπάρχει όριο στον λόγο της αλλαγής (αύξησης) της συνάρτησης προς την αντίστοιχη αύξηση του ορίσματος, όταν το τελευταίο τείνει να προς τηνμηδέν, τότε λέγεται παράγωγη συνάρτηση στο= φά(Χ) στο σημείο x = x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Η διαδικασία εύρεσης παραγώγων ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση .

Αν ένα φά"(Χ) είναι πεπερασμένο για κάθε Χ ρε, μετά η συνάρτηση στο= φά(Χ) που ονομάζεται διαφοροποιήσιμο σε ρε. Μια ακριβής διατύπωση της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης και ένα κριτήριο για τη διαφορισιμότητα μιας συνάρτησης θα δοθεί στην Ενότητα 1.5.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου, λαμβάνουμε ορισμένους κανόνες διαφοροποίησης και παραγώγους των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων, τους οποίους στη συνέχεια συνοψίζουμε σε πίνακες.

10. Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Πραγματικά,

Συγκεκριμένα,

30 . Για λειτουργία y = x2παράγωγο y' = 2x.

Για να εξαγάγουμε αυτόν τον τύπο, βρίσκουμε την αύξηση της συνάρτησης:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Χρησιμοποιώντας το τύπος διωνυμικού Newton, μπορεί να αποδειχθεί ότι για μια συνάρτηση ισχύος

1.2. Η έννοια της μονόπλευρης παραγώγου

Στις βασικές αρχές του λογισμού για μια συνάρτηση στο=φά(χ) εισήχθησαν οι έννοιες των αριστερών και δεξιών ορίων σε ένα σημείο ένα:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

δεξιό παράγωγο -

Θυμηθείτε ότι για την ύπαρξη πεπερασμένου ορίου της συνάρτησης στο= φά(Χ) στο σημείο x = αείναι απαραίτητο και αρκετό το αριστερό και το δεξί όριο της συνάρτησης σε αυτό το σημείο να είναι πεπερασμένα και ίσα:

(Χ - 0) = φά’(Χ + 0).

1.3. Η έννοια των παραγώγων ανώτερης τάξης

Αφήστε για τη συνάρτηση στο= φά(Χ) ορίζεται στο σετ ρε, υπάρχει παράγωγο στο"= φά"(Χ) σε κάθε Χ ρε, t. μι. η παράγωγος είναι συνάρτηση και γι' αυτήν μπορεί κανείς να θέτει το ερώτημα της ύπαρξης παραγώγου. Παράγωγο της πρώτης παραγώγου, αν υπάρχει - δεύτερη παράγωγος αυτής της συνάρτησηςή παράγωγο δεύτερης τάξης

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

παράγωγο νης τάξης

0, y"" = 0,...y(n) = 0. Για τη συνάρτηση y = x2παράγωγο εσύ= 2x.Επειτα στο"= 2, στο""= 0,.., y(n) = 0.

1.4. Γεωμετρικές και μηχανικές ερμηνείες της παραγώγου

1.4.1. Η μηχανική έννοια του παραγώγου. Το πρόβλημα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της ανομοιόμορφης κίνησης

Αφήστε την εξάρτηση της διαδρομής που διένυσε το σώμα στο χρόνο t, περιγράφεται από τη συνάρτηση μικρό = μικρό(t), και την ταχύτητα κίνησης και την επιτάχυνση, αντίστοιχα, από τις συναρτήσεις v = v(t), ένα = ένα(t). Εάν το σώμα κινείται ομοιόμορφα, τότε, όπως είναι γνωστό από τη φυσική, μικρό = vּt, δηλ. v = μικρό/ t. Αν το σώμα κινείται με ομοιόμορφη επιτάχυνση και vo= 0, μετά επιτάχυνση ένα = v/ t.

Εάν η κίνηση δεν είναι ομοιόμορφη και ομοιόμορφα επιταχυνόμενη, τότε η μέση τιμή της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε μια χρονική περίοδο Δ tείναι προφανώς ίσες, αντίστοιχα.

Αφήνω v(t)- ταχύτητα κίνησης, ένα(t)- επιτάχυνση τη στιγμή t.

Τότε, έτσι,

Με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τα τελευταία όρια.

Η μηχανική σημασία του παραγώγου: παράγωγο μονοπατιούμικρό = μικρό(t) όχιχρόνοςtείναι η στιγμιαία ταχύτητα του υλικού σημείου, δηλ.v(t)= μικρό"(t). Η δεύτερη παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο- επιτάχυνση, δηλ.μικρό""(t)= v"(t)=α(t).

Με την εισαγωγή της έννοιας της παραγώγου μιας συνάρτησης, σύμφωνα με τον F. Engels, η κίνηση ήρθε στα μαθηματικά, αφού η παράγωγος σημαίνει το ρυθμό μεταβολής οποιασδήποτε διαδικασίας, για παράδειγμα: τη διαδικασία θέρμανσης ή ψύξης ενός σώματος, ο ρυθμός μιας χημικής ή πυρηνικής αντίδρασης κ.λπ.

Παράδειγμα 1.1. Η ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας (σε κουλόμπ) που διαρρέει έναν αγωγό καθορίζεται από το νόμο Q = 2 t2 + 3 t + 4 . Βρείτε το ρεύμα στο τέλος του τρίτου δευτερολέπτου.

Λύση. Τρέχουσα δύναμη Εγώ = Q" = 4 t+3. Στο t = 3 Εγώ=15 κ/s=15 A.

1.4.2.3 Πρόβλημα εφαπτομένης. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου

Αφήστε τη λειτουργία στο= φά(Χ) καθορισμένο και συνεχές σε ένα σημείο Χ= x0 και σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου. Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου μιας συνάρτησης.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, προχωράμε ως εξής. Πάρτε ένα σημείο στο γράφημα της συνάρτησης (Εικ. 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δου)και σχεδιάστε ένα τμήμα M0M.Ας κάνουμε ένα σημείο Μστο σημείο Μ0, δηλαδή Δ x → 0. σημείο Μ()είναι σταθερή, οπότε η τομή στο όριο θα πάρει τη θέση μιας εφαπτομένης ΠΡΟΣ ΤΗΝ.

Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= φά(Χ) μισημείοΜ0 ονομάζεται οριακή θέση της τέμνουσας M0M, με την προϋπόθεση ότι το σημείο M τείνει προς το σημείο M0 κατά μήκος της καμπύλης Gφά- γραφικά λειτουργιώνy = φά(Χ).

Στη συνέχεια η κλίση της τομής M0M

στο όριο γίνεται ίσο με την κλίση της εφαπτομένης:

{ Χ0 ) = tga, όπου α είναι η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα Ox(βλ. εικ. 1.1).

Όπως είναι γνωστό από την αναλυτική γεωμετρία, η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ( x0, y0) και έχοντας κλίση κθα είναι

y - y0 =κ(x-x0).

Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου, εφαπτομενική εξίσωση (ΠΡΟΣ ΤΗΝ)στο γράφημα της συνάρτησης στο= φά(Χ) στο σημείο (x0, y0)έχει τη μορφή

(K) y =φά(Χ0 ) + φά"(Χ0 )(Χ- Χ0 ).

Κανονική εξίσωση (Ν) - κάθετα στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(Ω)- σχετικά με-μικρό του Δx).

Θεώρημα. Για τη συνάρτηση στο= φάΤο (x) ήταν διαφοροποιήσιμο στο σημείο x ρε), είναι απαραίτητο και αρκετό στο σημείο αυτό να έχει πεπερασμένη παράγωγο y' =φά"(Χ).

Απόδειξη . Χρειάζομαι.Αφήστε τη λειτουργία y= φά(Χ) διαφοροποιήσιμο στο x ρε, δηλ. ισχύει η σχέση (1.1). Στη συνέχεια, με τον ορισμό της παραγώγου, λαμβάνοντας υπόψη την (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Στη συνέχεια, με βάση το θεώρημα για τη σύνδεση μεταξύ μιας συνάρτησης, του ορίου της και μιας απειροελάχιστης ποσότητας

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο όρων, ο πρώτος από τους οποίους είναι ανάλογος με την αύξηση του ορίσματος Δχμε συντελεστή αναλογικότητας φά'(Χ),και το δεύτερο είναι μια απειροελάχιστη υψηλότερη τάξη από Δχ, δηλ. ισχύει η (1.1) και έτσι η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο Χ ρε.

Σημειώστε ότι η αναλογία

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, αλλά η συνάρτηση είναι συνεχής για Χ= 0.

1.6. Κανόνες διαφοροποίησης

ένας . Διαφοροποίηση του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων. Το αλγεβρικό άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση και η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων. Για παράδειγμα: για δύο λειτουργίες

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Εξετάστε το ενδεχόμενο να αλλάξετε τη λειτουργία και ±vόταν αλλάζετε το όρισμα Δ Χ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Εφόσον το όριο κάθε όρου υπάρχει και είναι πεπερασμένο από την συνθήκη, το όριο του αλγεβρικού αθροίσματος είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των ορίων. δηλ. λειτουργία (και ±v) διαφοροποιήσιμο σε αυθαίρετο σημείο Χκαι (u± v)" = u’ ± v’ . Ο ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

2°.Διαφοροποίηση του γινομένου των συναρτήσεων . Το γινόμενο δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, ενώ η παράγωγος του γινομένου είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου του πρώτου παράγοντα με τον δεύτερο χωρίς μεταβολή, συν τον πρώτο παράγοντα πολλαπλασιασμένο με την παράγωγο του δεύτερου:

(καιv) = και"v + uv».

Ο παραπάνω κανόνας μπορεί εύκολα να γενικευτεί στο γινόμενο οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων, για παράδειγμα.

Απόδειξη. Κατά συνθήκη σε αυθαίρετο σημείο Χ ρε

Κατά την αλλαγή Δ Χαλλαγή λειτουργίας

αντιπροσωπεύουν στη μορφή

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Επειδή, λόγω διαφοροποίησης, και

λιμ Δ v = 0 λόγω της συνέχειας της συνάρτησης, μετά από τις ιδιότητες των ορίων

Δχ→ Ο

(UV)" = u"v + uv".

Ως συνέπεια του κανόνα για τη διαφοροποίηση ενός γινομένου συναρτήσεων, καλούμε τους αναγνώστες να λάβουν την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος Ηνωμένα Έθνη,n Ν :

(καιn)’ = καλόγρια-1 και'

3° Συμπέρασμα 2°. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το σημάδι

παράγωγο:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Απόδειξη. Κατά την αλλαγή Δ Χεξετάστε τις αλλαγές σε διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις u = u(x),v= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δχ) - τους)],Δ v = [ v(Χ+ Δχ) - v(Χ)].

Οι τροποποιημένες τιμές συνάρτησης θα είναι: και +Α, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Λειτουργίες και= w(x),v = v(x) ≠ 0 είναι διαφοροποιήσιμα κατά συνθήκη και, επομένως, επίσης συνεχείς, δηλ.

Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Διαφοροποίηση σύνθετης συνάρτησης . Αφήστε τη λειτουργία στο= φά(και) είναι διαφοροποιήσιμο σε σχέση με Χ, λειτουργία και= τους)διαφοροποιήσιμο σε σχέση με Χ. Στη συνέχεια η σύνθετη συνάρτηση στο= φά(u(Χ)) διαφοροποιήσιμο σε σχέση με Χ, και

y" =φά"(u)∙ u"

Απόδειξη . Λόγω της διαφοροποίησης των συναρτήσεων φά(u), u(Χ) και περιορίζουν τις ιδιότητες

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Αντίστροφη διαφοροποίηση συνάρτησης . Αφήστε τη λειτουργία y=φά(Χ) διαφοροποιήσιμο σε σχέση με Χκαι y "x ≠ 0.Τότε η αντίστροφη συνάρτηση x =σολ(στο) είναι διαφοροποιήσιμο σε σχέση με στοκαι x "y \u003d 1 / y" x

Απόδειξη. Πραγματικά,

Για ευκολία στη χρήση, παρουσιάζουμε τους βασικούς κανόνες διαφοροποίησης στον Πίνακα 1.

Τραπέζι 1

Κανόνες διαφοροποίησης

Αριθμός τύπου
	c =const,γ" = 0.
	(u± v)" =u"± v", και= τους),v = v(Χ).
	(u ∙ v)= γ ∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",Με = συνθ.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g(y)=>x"στο =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης και τους κανόνες διαφοροποίησης, βρίσκουμε τις παραγώγους των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, οι οποίες παρουσιάζονται στον Πίνακα 2 παρακάτω.

πίνακας 2

Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων

	Απλές Λειτουργίες	Σύνθετες λειτουργίες

Αν ακολουθήσουμε τον ορισμό, τότε η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου αύξησης της συνάρτησης Δ yστην προσαύξηση του ορίσματος Δ Χ:

Όλα δείχνουν να είναι ξεκάθαρα. Προσπαθήστε όμως να υπολογίσετε με αυτόν τον τύπο, ας πούμε, την παράγωγο της συνάρτησης φά(Χ) = Χ 2 + (2Χ+ 3) · μι Χαμαρτία Χ. Εάν κάνετε τα πάντα εξ ορισμού, τότε μετά από μερικές σελίδες υπολογισμών απλά θα κοιμηθείτε. Επομένως, υπάρχουν απλούστεροι και πιο αποτελεσματικοί τρόποι.

Αρχικά, σημειώνουμε ότι οι λεγόμενες στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να διακριθούν από όλη την ποικιλία των συναρτήσεων. Πρόκειται για σχετικά απλές εκφράσεις, τα παράγωγα των οποίων έχουν από καιρό υπολογιστεί και καταχωρηθεί στον πίνακα. Τέτοιες συναρτήσεις είναι αρκετά εύκολο να θυμόμαστε, μαζί με τις παράγωγές τους.

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι όλα όσα αναφέρονται παρακάτω. Οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων πρέπει να είναι γνωστές από καρδιάς. Επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να τα απομνημονεύσεις - γι' αυτό είναι στοιχειώδη.

Έτσι, οι παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ονομα	Λειτουργία	Παράγωγο
Συνεχής	φά(Χ) = ντο, ντο ∈ R	0 (ναι, ναι, μηδέν!)
Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη	φά(Χ) = Χ n	n · Χ n − 1
Κόλπος	φά(Χ) = αμαρτία Χ	cos Χ
Συνημίτονο	φά(Χ) = κοσ Χ	− αμαρτία Χ(μείον ημίτονο)
Εφαπτομένος	φά(Χ) = tg Χ	1/συν 2 Χ
Συνεφαπτομένη	φά(Χ) = ctg Χ	− 1/αμαρτία2 Χ
φυσικός λογάριθμος	φά(Χ) = κούτσουρο Χ	1/Χ
Αυθαίρετος λογάριθμος	φά(Χ) = κούτσουρο ένα Χ	1/(Χ ln ένα)
Εκθετικη συναρτηση	φά(Χ) = μι Χ	μι Χ(τίποτα δεν άλλαξε)

Εάν μια στοιχειώδης συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με μια αυθαίρετη σταθερά, τότε η παράγωγος της νέας συνάρτησης υπολογίζεται επίσης εύκολα:

(ντο · φά)’ = ντο · φά ’.

Γενικά, οι σταθερές μπορούν να αφαιρεθούν από το πρόσημο της παραγώγου. Για παράδειγμα:

(2Χ 3)' = 2 ( Χ 3)' = 2 3 Χ 2 = 6Χ 2 .

Προφανώς, οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους, να πολλαπλασιαστούν, να διαιρεθούν και πολλά άλλα. Έτσι θα εμφανιστούν νέες συναρτήσεις, όχι πλέον πολύ στοιχειώδεις, αλλά και διαφοροποιήσιμες σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Αυτοί οι κανόνες συζητούνται παρακάτω.

Παράγωγος αθροίσματος και διαφοράς

Αφήστε τις συναρτήσεις φά(Χ) και σολ(Χ), του οποίου τα παράγωγα είναι γνωστά σε εμάς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε τις στοιχειώδεις συναρτήσεις που συζητήθηκαν παραπάνω. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε την παράγωγο του αθροίσματος και της διαφοράς αυτών των συναρτήσεων:

1. (φά + σολ)’ = φά ’ + σολ ’
2. (φά − σολ)’ = φά ’ − σολ ’

Άρα, η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων. Μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι όροι. Για παράδειγμα, ( φά + σολ + η)’ = φά ’ + σολ ’ + η ’.

Αυστηρά μιλώντας, δεν υπάρχει η έννοια της «αφαίρεσης» στην άλγεβρα. Υπάρχει η έννοια του «αρνητικού στοιχείου». Επομένως, η διαφορά φά − σολμπορεί να ξαναγραφτεί ως άθροισμα φά+ (−1) σολ, και τότε μένει μόνο ένας τύπος - η παράγωγος του αθροίσματος.

φά(Χ) = Χ 2 + sinx; σολ(Χ) = Χ 4 + 2Χ 2 − 3.

Λειτουργία φά(Χ) είναι το άθροισμα δύο στοιχειωδών συναρτήσεων, άρα:

φά ’(Χ) = (Χ 2+ αμαρτία Χ)’ = (Χ 2)' + (αμαρτ Χ)’ = 2Χ+ cosx;

Υποστηρίζουμε παρόμοια για τη συνάρτηση σολ(Χ). Μόνο που υπάρχουν ήδη τρεις όροι (από την άποψη της άλγεβρας):

σολ ’(Χ) = (Χ 4 + 2Χ 2 − 3)’ = (Χ 4 + 2Χ 2 + (−3))’ = (Χ 4)’ + (2Χ 2)’ + (−3)’ = 4Χ 3 + 4Χ + 0 = 4Χ · ( Χ 2 + 1).

Απάντηση:
φά ’(Χ) = 2Χ+ cosx;
σολ ’(Χ) = 4Χ · ( Χ 2 + 1).

Παράγωγο προϊόντος

Τα μαθηματικά είναι μια λογική επιστήμη, τόσοι πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι αν η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων, τότε η παράγωγος του προϊόντος απεργία"\u003e ίσο με το γινόμενο των παραγώγων. Αλλά σύκα για εσάς! Η παράγωγος του προϊόντος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν εντελώς διαφορετικό τύπο. Δηλαδή:

(φά · σολ) ’ = φά ’ · σολ + φά · σολ ’

Η φόρμουλα είναι απλή, αλλά συχνά ξεχνιέται. Και όχι μόνο μαθητές, αλλά και φοιτητές. Το αποτέλεσμα είναι λανθασμένα λυμένα προβλήματα.

Μια εργασία. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων: φά(Χ) = Χ 3 cosx; σολ(Χ) = (Χ 2 + 7Χ− 7) · μι Χ .

Λειτουργία φά(Χ) είναι προϊόν δύο βασικών συναρτήσεων, επομένως όλα είναι απλά:

φά ’(Χ) = (Χ 3 συν Χ)’ = (Χ 3)' συν Χ + Χ 3 (συν Χ)’ = 3Χ 2 συν Χ + Χ 3 (−αμαρτ Χ) = Χ 2 (3κοσ Χ − Χαμαρτία Χ)

Λειτουργία σολ(Χ) ο πρώτος πολλαπλασιαστής είναι λίγο πιο περίπλοκος, αλλά το γενικό σχήμα δεν αλλάζει από αυτό. Προφανώς, ο πρώτος πολλαπλασιαστής της συνάρτησης σολ(Χ) είναι πολυώνυμο και η παράγωγός του είναι η παράγωγος του αθροίσματος. Εχουμε:

σολ ’(Χ) = ((Χ 2 + 7Χ− 7) · μι Χ)’ = (Χ 2 + 7Χ− 7)' · μι Χ + (Χ 2 + 7Χ− 7) ( μι Χ)’ = (2Χ+ 7) · μι Χ + (Χ 2 + 7Χ− 7) · μι Χ = μι Χ(2 Χ + 7 + Χ 2 + 7Χ −7) = (Χ 2 + 9Χ) · μι Χ = Χ(Χ+ 9) · μι Χ .

Απάντηση:
φά ’(Χ) = Χ 2 (3κοσ Χ − Χαμαρτία Χ);
σολ ’(Χ) = Χ(Χ+ 9) · μι Χ .

Σημειώστε ότι στο τελευταίο βήμα, η παράγωγος παραγοντοποιείται. Τυπικά, αυτό δεν είναι απαραίτητο, αλλά τα περισσότερα παράγωγα δεν υπολογίζονται από μόνα τους, αλλά για να εξερευνήσουν τη συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι περαιτέρω η παράγωγος θα εξισωθεί με το μηδέν, τα πρόσημά της θα βρεθούν και ούτω καθεξής. Για μια τέτοια περίπτωση, είναι καλύτερο να έχουμε μια έκφραση αποσυντεθειμένη σε παράγοντες.

Εάν υπάρχουν δύο λειτουργίες φά(Χ) και σολ(Χ), και σολ(Χ) ≠ 0 στο σύνολο που μας ενδιαφέρει, μπορούμε να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση η(Χ) = φά(Χ)/σολ(Χ). Για μια τέτοια συνάρτηση, μπορείτε επίσης να βρείτε την παράγωγο:

Όχι αδύναμο, σωστά; Από πού προέκυψε το μείον; Γιατί σολ 2; Αλλά κάπως έτσι! Αυτή είναι μια από τις πιο σύνθετες φόρμουλες - δεν μπορείτε να το καταλάβετε χωρίς ένα μπουκάλι. Επομένως, είναι καλύτερο να το μελετήσετε με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Μια εργασία. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

Υπάρχουν στοιχειώδεις συναρτήσεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή κάθε κλάσματος, οπότε το μόνο που χρειαζόμαστε είναι ο τύπος για την παράγωγο του πηλίκου:

Κατά παράδοση, συνυπολογίζουμε τον αριθμητή σε παράγοντες - αυτό θα απλοποιήσει σημαντικά την απάντηση:

Μια σύνθετη συνάρτηση δεν είναι απαραίτητα ένας τύπος μήκους μισού χιλιομέτρου. Για παράδειγμα, αρκεί να λάβουμε τη συνάρτηση φά(Χ) = αμαρτία Χκαι αντικαταστήστε τη μεταβλητή Χ, ας πούμε, επάνω Χ 2+ln Χ. Αποδεικνύεται φά(Χ) = αμαρτία ( Χ 2+ln Χ) είναι μια σύνθετη συνάρτηση. Έχει επίσης ένα παράγωγο, αλλά δεν θα λειτουργήσει για να το βρει σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω.

Πώς να είσαι; Σε τέτοιες περιπτώσεις, η αντικατάσταση μιας μεταβλητής και ο τύπος για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης βοηθούν:

φά ’(Χ) = φά ’(t) · t', αν Χαντικαθίσταται από t(Χ).

Κατά κανόνα, η κατάσταση με την κατανόηση αυτού του τύπου είναι ακόμη πιο θλιβερή από ό, τι με την παράγωγο του πηλίκου. Επομένως, είναι επίσης καλύτερο να το εξηγήσουμε με συγκεκριμένα παραδείγματα, με λεπτομερή περιγραφή κάθε βήματος.

Μια εργασία. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων: φά(Χ) = μι 2Χ + 3 ; σολ(Χ) = αμαρτία ( Χ 2+ln Χ)

Σημειώστε ότι εάν στη συνάρτηση φά(Χ) αντί της έκφρασης 2 Χ+ 3 θα είναι εύκολο Χ, τότε παίρνουμε μια στοιχειώδη συνάρτηση φά(Χ) = μι Χ. Επομένως, κάνουμε μια αντικατάσταση: ας 2 Χ + 3 = t, φά(Χ) = φά(t) = μι t. Αναζητούμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης με τον τύπο:

φά ’(Χ) = φά ’(t) · t ’ = (μι t)’ · t ’ = μι t · t ’

Και τώρα - προσοχή! Εκτέλεση αντίστροφης αντικατάστασης: t = 2Χ+ 3. Παίρνουμε:

φά ’(Χ) = μι t · t ’ = μι 2Χ+ 3 (2 Χ + 3)’ = μι 2Χ+ 3 2 = 2 μι 2Χ + 3

Τώρα ας δούμε τη συνάρτηση σολ(Χ). Προφανώς πρέπει να αντικατασταθεί. Χ 2+ln Χ = t. Εχουμε:

σολ ’(Χ) = σολ ’(t) · t' = (αμαρτ t)’ · t' = κοσ t · t ’

Αντίστροφη αντικατάσταση: t = Χ 2+ln Χ. Επειτα:

σολ ’(Χ) = cos ( Χ 2+ln Χ) · ( Χ 2+ln Χ)' = cos ( Χ 2+ln Χ) · (2 Χ + 1/Χ).

Αυτό είναι όλο! Όπως φαίνεται από την τελευταία έκφραση, το όλο πρόβλημα έχει περιοριστεί στον υπολογισμό της παραγώγου του αθροίσματος.

Απάντηση:
φά ’(Χ) = 2 μι 2Χ + 3 ;
σολ ’(Χ) = (2Χ + 1/Χ) cos ( Χ 2+ln Χ).

Πολύ συχνά στα μαθήματά μου, αντί για τον όρο «παράγωγο», χρησιμοποιώ τη λέξη «εγκεφαλικό». Για παράδειγμα, η διαδρομή του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διαδρομών. Είναι πιο ξεκάθαρο αυτό; Λοιπόν αυτό είναι καλό.

Έτσι, ο υπολογισμός της παραγώγου καταλήγει στο να απαλλαγούμε από αυτά τα εγκεφαλικά επεισόδια σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω. Ως τελευταίο παράδειγμα, ας επιστρέψουμε στην παράγωγη ισχύ με έναν ορθολογικό εκθέτη:

(Χ n)’ = n · Χ n − 1

Λίγοι το ξέρουν αυτό στον ρόλο nμπορεί κάλλιστα να είναι κλασματικός αριθμός. Για παράδειγμα, η ρίζα είναι Χ 0,5 . Τι γίνεται όμως αν υπάρχει κάτι δύσκολο κάτω από τη ρίζα; Και πάλι, θα αποδειχθεί μια σύνθετη συνάρτηση - τους αρέσει να δίνουν τέτοιες κατασκευές σε δοκιμές και εξετάσεις.

Μια εργασία. Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Αρχικά, ας ξαναγράψουμε τη ρίζα ως δύναμη με λογικό εκθέτη:

φά(Χ) = (Χ 2 + 8Χ − 7) 0,5 .

Τώρα κάνουμε μια αντικατάσταση: ας Χ 2 + 8Χ − 7 = t. Βρίσκουμε την παράγωγο με τον τύπο:

φά ’(Χ) = φά ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Κάνουμε αντίστροφη αντικατάσταση: t = Χ 2 + 8Χ− 7. Έχουμε:

φά ’(Χ) = 0,5 ( Χ 2 + 8Χ− 7) −0,5 ( Χ 2 + 8Χ− 7)' = 0,5 (2 Χ+ 8) ( Χ 2 + 8Χ − 7) −0,5 .

Τέλος, πίσω στις ρίζες:

Υπολογισμός παραγώγουείναι μια από τις πιο σημαντικές πράξεις στον διαφορικό λογισμό. Παρακάτω είναι ένας πίνακας για την εύρεση παραγώγων απλών συναρτήσεων. Για πιο σύνθετους κανόνες διαφοροποίησης, δείτε άλλα μαθήματα:

• Πίνακας παραγώγων εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων

Χρησιμοποιήστε τους τύπους που δίνονται ως τιμές αναφοράς. Θα βοηθήσουν στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων και προβλημάτων. Στην εικόνα, στον πίνακα παραγώγων απλών συναρτήσεων, υπάρχει ένα «φύλλο εξαπάτησης» των κύριων περιπτώσεων εύρεσης της παραγώγου σε μορφή κατανοητή για χρήση, δίπλα υπάρχουν επεξηγήσεις για κάθε περίπτωση.

Παράγωγοι απλών συναρτήσεων

1. Η παράγωγος ενός αριθμού είναι μηδέν
σ´ = 0
Παράδειγμα:
5' = 0

Εξήγηση:
Η παράγωγος δείχνει τον ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η τιμή της συνάρτησης όταν αλλάζει το όρισμα. Εφόσον ο αριθμός δεν αλλάζει με κανέναν τρόπο υπό οποιεσδήποτε συνθήκες, ο ρυθμός μεταβολής του είναι πάντα μηδενικός.

2. Παράγωγο μεταβλητήςίσο με ένα
x' = 1

Εξήγηση:
Με κάθε αύξηση του ορίσματος (x) κατά ένα, η τιμή της συνάρτησης (αποτέλεσμα υπολογισμού) αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της συνάρτησης y = x είναι ακριβώς ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τιμής του ορίσματος.

3. Η παράγωγος μιας μεταβλητής και ενός παράγοντα ισούται με αυτόν τον παράγοντα
сx´ = σ
Παράδειγμα:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Εξήγηση:
Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε φορά το όρισμα συνάρτησης ( Χ) η τιμή του (y) μεγαλώνει Μεμια φορά. Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της συνάρτησης σε σχέση με τον ρυθμό μεταβολής του ορίσματος είναι ακριβώς ίσος με την τιμή Με.

Από όπου προκύπτει ότι
(cx + b)" = γ
δηλαδή το διαφορικό της γραμμικής συνάρτησης y=kx+b ισούται με την κλίση της ευθείας (k).

4. Modulo παράγωγο μιας μεταβλητήςισούται με το πηλίκο αυτής της μεταβλητής προς το μέτρο της
|x|"= x / |x| με την προϋπόθεση ότι x ≠ 0
Εξήγηση:
Δεδομένου ότι η παράγωγος της μεταβλητής (βλ. τύπο 2) είναι ίση με ένα, η παράγωγος του συντελεστή διαφέρει μόνο στο ότι η τιμή του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης αλλάζει προς το αντίθετο κατά τη διέλευση του σημείου αρχής (δοκιμάστε να σχεδιάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης y = |x| και δείτε μόνοι σας Αυτή είναι ακριβώς η τιμή και επιστρέφει την παράσταση x / |x| Όταν x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ένα. Δηλαδή, με αρνητικές τιμές της μεταβλητής x, με κάθε αύξηση της αλλαγής στο όρισμα, η τιμή της συνάρτησης μειώνεται κατά την ίδια ακριβώς τιμή και με θετικές τιμές, αντίθετα, αυξάνεται, αλλά ακριβώς κατά την ίδια τιμή.

5. Παράγωγος ισχύος μιας μεταβλητήςισούται με το γινόμενο του αριθμού αυτής της ισχύος και της μεταβλητής της ισχύος, μειωμένο κατά ένα
(x c)"= cx c-1, με την προϋπόθεση ότι ορίζονται x c και cx c-1 και c ≠ 0
Παράδειγμα:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Για να απομνημονεύσετε τον τύπο:
Πάρτε τον εκθέτη της μεταβλητής "κάτω" ως πολλαπλασιαστή και στη συνέχεια μειώστε τον ίδιο τον εκθέτη κατά ένα. Για παράδειγμα, για το x 2 - δύο ήταν μπροστά από το x, και στη συνέχεια η μειωμένη ισχύς (2-1 = 1) μας έδωσε μόλις 2x. Το ίδιο συνέβη και για το x 3 - κατεβάζουμε το τριπλό, το μειώνουμε κατά ένα και αντί για κύβο έχουμε ένα τετράγωνο, δηλαδή 3x 2 . Λίγο «αντιεπιστημονικό», αλλά πολύ εύκολο να το θυμάστε.

6.Κλάσμα παράγωγο 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Παράδειγμα:
Δεδομένου ότι ένα κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως αύξηση σε αρνητική ισχύ
(1/x)" = (x -1)" , τότε μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο από τον κανόνα 5 του πίνακα παραγώγων
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Κλάσμα παράγωγο με μεταβλητή αυθαίρετου βαθμούστον παρονομαστή
(1/x γ)" = - c / x c+1
Παράδειγμα:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. ριζικό παράγωγο(παράγωγο μεταβλητής κάτω από τετραγωνική ρίζα)
(√x)" = 1 / (2√x)ή 1/2 x -1/2
Παράδειγμα:
(√x)" = (x 1/2)" ώστε να μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο από τον κανόνα 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Παράγωγο μεταβλητής κάτω από ρίζα αυθαίρετου βαθμού
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)