Όταν μια τετραγωνική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων: τύπος ρίζας, παραδείγματα

Με πιο απλό τρόπο. Για να το κάνετε αυτό, βγάλτε το z από αγκύλες. Παίρνετε: z(az + b) = 0. Οι συντελεστές μπορούν να γραφούν: z=0 και az + b = 0, αφού και οι δύο μπορούν να έχουν ως αποτέλεσμα μηδέν. Στον συμβολισμό az + b = 0, μετακινούμε το δεύτερο προς τα δεξιά με διαφορετικό πρόσημο. Από εδώ παίρνουμε z1 = 0 και z2 = -b/а. Αυτές είναι οι ρίζες του πρωτότυπου.

Εάν υπάρχει μια ημιτελής εξίσωση της μορφής az² + c \u003d 0, σε αυτήν την περίπτωση βρίσκονται μεταφέροντας απλώς τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Αλλάξτε και το σήμα του. Λαμβάνετε το ρεκόρ az² \u003d -s. Εκφράστε z² = -c/a. Πάρτε τη ρίζα και σημειώστε δύο λύσεις - μια θετική και μια αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας.

Σημείωση

Εάν υπάρχουν κλασματικοί συντελεστές στην εξίσωση, πολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα, ώστε να απαλλαγείτε από τα κλάσματα.

Η γνώση του τρόπου επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων είναι απαραίτητη τόσο για μαθητές όσο και για μαθητές, μερικές φορές μπορεί να βοηθήσει έναν ενήλικα στην καθημερινή ζωή. Υπάρχουν πολλές συγκεκριμένες μέθοδοι λήψης αποφάσεων.

Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων

Μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής a*x^2+b*x+c=0. Ο συντελεστής x είναι η επιθυμητή μεταβλητή, a, b, c - αριθμητικοί συντελεστές. Θυμηθείτε ότι το σύμβολο "+" μπορεί να αλλάξει σε "-".

Για να λύσετε αυτή την εξίσωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Vieta ή να βρείτε το διαχωριστικό. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος είναι να βρείτε το διακριτικό, αφού για ορισμένες τιμές των a, b, c δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα Vieta.

Για να βρείτε το διαχωριστικό (D), πρέπει να γράψετε τον τύπο D=b^2 - 4*a*c. Η τιμή του D μπορεί να είναι μεγαλύτερη από, μικρότερη ή ίση με μηδέν. Εάν το D είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από μηδέν, τότε θα υπάρχουν δύο ρίζες, εάν D = 0, τότε μόνο μία ρίζα παραμένει, πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να πούμε ότι το D σε αυτή την περίπτωση έχει δύο ισοδύναμες ρίζες. Αντικαταστήστε τους γνωστούς συντελεστές a, b, c στον τύπο και υπολογίστε την τιμή.

Αφού βρείτε το διαχωριστικό, για να βρείτε το x, χρησιμοποιήστε τους τύπους: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a όπου sqrt είναι η συνάρτηση που παίρνει την τετραγωνική ρίζα του δεδομένου αριθμού. Αφού υπολογίσετε αυτές τις εκφράσεις, θα βρείτε τις δύο ρίζες της εξίσωσής σας, μετά τις οποίες η εξίσωση θεωρείται λυμένη.

Αν το D είναι μικρότερο από το μηδέν, τότε εξακολουθεί να έχει ρίζες. Στο σχολείο, αυτό το τμήμα πρακτικά δεν μελετάται. Οι φοιτητές πρέπει να γνωρίζουν ότι κάτω από τη ρίζα εμφανίζεται ένας αρνητικός αριθμός. Γλιτώνουμε χωρίζοντας το φανταστικό μέρος, δηλαδή το -1 κάτω από τη ρίζα είναι πάντα ίσο με το φανταστικό στοιχείο "i", το οποίο πολλαπλασιάζεται με τη ρίζα με τον ίδιο θετικό αριθμό. Για παράδειγμα, αν D=sqrt(-20), μετά τον μετασχηματισμό, προκύπτει D=sqrt(20)*i. Μετά από αυτόν τον μετασχηματισμό, η λύση της εξίσωσης ανάγεται στο ίδιο εύρημα των ριζών, όπως περιγράφηκε παραπάνω.

Το θεώρημα του Vieta συνίσταται στην επιλογή των τιμών x(1) και x(2). Χρησιμοποιούνται δύο πανομοιότυπες εξισώσεις: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Επιπλέον, ένα πολύ σημαντικό σημείο είναι το πρόσημο μπροστά από τον συντελεστή b, να θυμάστε ότι αυτό το πρόσημο είναι αντίθετο από αυτό της εξίσωσης. Με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι ο υπολογισμός των x(1) και x(2) είναι πολύ απλός, αλλά κατά την επίλυση, θα συναντήσετε το γεγονός ότι οι αριθμοί θα πρέπει να επιλεγούν ακριβώς.

Στοιχεία επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, μερικά μπορούν να ληφθούν υπόψη: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, αν καταφέρατε να μετατρέψετε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση με αυτόν τον τρόπο χρησιμοποιώντας μαθηματικούς τύπους, τότε μη διστάσετε να γράψτε την απάντηση. Τα x(1) και x(2) θα είναι ίσα με τους διπλανούς συντελεστές σε αγκύλες, αλλά με το αντίθετο πρόσημο.

Επίσης, μην ξεχνάτε τις ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Μπορεί να σας λείπουν κάποιοι από τους όρους, αν ναι, τότε όλοι οι συντελεστές του είναι απλώς ίσοι με μηδέν. Αν πριν από το x^2 ή το x δεν υπάρχει τίποτα, τότε οι συντελεστές a και b είναι ίσοι με 1.

Ορισμένα προβλήματα στα μαθηματικά απαιτούν την ικανότητα υπολογισμού της τιμής της τετραγωνικής ρίζας. Αυτά τα προβλήματα περιλαμβάνουν την επίλυση εξισώσεων δεύτερης τάξης. Σε αυτό το άρθρο, παρουσιάζουμε μια αποτελεσματική μέθοδο για τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών και τη χρησιμοποιούμε όταν εργαζόμαστε με τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Τι είναι η τετραγωνική ρίζα;

Στα μαθηματικά, αυτή η έννοια αντιστοιχεί στο σύμβολο √. Τα ιστορικά δεδομένα λένε ότι άρχισε να χρησιμοποιείται για πρώτη φορά γύρω στο πρώτο μισό του 16ου αιώνα στη Γερμανία (το πρώτο γερμανικό έργο για την άλγεβρα του Christoph Rudolf). Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι αυτό το σύμβολο είναι ένα μετασχηματισμένο λατινικό γράμμα r (radix σημαίνει "ρίζα" στα λατινικά).

Η ρίζα οποιουδήποτε αριθμού είναι ίση με μια τέτοια τιμή, το τετράγωνο της οποίας αντιστοιχεί στη ρίζα. Στη γλώσσα των μαθηματικών, αυτός ο ορισμός θα μοιάζει με αυτό: √x = y αν y 2 = x.

Η ρίζα ενός θετικού αριθμού (x > 0) είναι επίσης θετικός αριθμός (y > 0), αλλά αν πάρετε τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Ακολουθούν δύο απλά παραδείγματα:

√9 = 3 γιατί 3 2 = 9; √(-9) = 3i αφού i 2 = -1.

Ο επαναληπτικός τύπος του Heron για την εύρεση των τιμών των τετραγωνικών ριζών

Τα παραπάνω παραδείγματα είναι πολύ απλά και ο υπολογισμός των ριζών σε αυτά δεν είναι δύσκολος. Οι δυσκολίες αρχίζουν να εμφανίζονται ήδη κατά την εύρεση των τιμών ρίζας για οποιαδήποτε τιμή που δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού, για παράδειγμα √10, √11, √12, √13, για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι στην πράξη είναι απαραίτητο να βρούμε ρίζες για μη ακέραιους αριθμούς: για παράδειγμα √(12.15), √(8.5) και ούτω καθεξής.

Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις θα πρέπει να χρησιμοποιείται ειδική μέθοδος υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας. Επί του παρόντος, πολλές τέτοιες μέθοδοι είναι γνωστές: για παράδειγμα, επέκταση σε μια σειρά Taylor, διαίρεση με στήλη και μερικές άλλες. Από όλες τις γνωστές μεθόδους, ίσως η πιο απλή και αποτελεσματική είναι η χρήση του επαναληπτικού τύπου του Heron, ο οποίος είναι επίσης γνωστός ως Βαβυλωνιακή μέθοδος για τον προσδιορισμό των τετραγωνικών ριζών (υπάρχουν στοιχεία ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι τη χρησιμοποιούσαν στους πρακτικούς υπολογισμούς τους).

Ας είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή του √x. Ο τύπος για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας είναι ο εξής:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), όπου lim n->∞ (a n) => x.

Ας αποκρυπτογραφήσουμε αυτή τη μαθηματική σημειογραφία. Για να υπολογίσετε το √x, θα πρέπει να πάρετε έναν αριθμό α 0 (μπορεί να είναι αυθαίρετος, ωστόσο, για να πάρετε γρήγορα το αποτέλεσμα, θα πρέπει να τον επιλέξετε έτσι ώστε το (a 0) 2 να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε τον στο υποδεικνύεται ο τύπος για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας και να ληφθεί ένας νέος αριθμός a 1, ο οποίος θα είναι ήδη πιο κοντά στην επιθυμητή τιμή. Μετά από αυτό, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε ένα 1 στην παράσταση και να πάρετε ένα 2. Αυτή η διαδικασία πρέπει να επαναληφθεί μέχρι επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια.

Ένα παράδειγμα εφαρμογής του επαναληπτικού τύπου του Heron

Για πολλούς, ο αλγόριθμος για την απόκτηση της τετραγωνικής ρίζας ενός δεδομένου αριθμού μπορεί να ακούγεται μάλλον περίπλοκος και συγκεχυμένος, αλλά στην πραγματικότητα όλα αποδεικνύονται πολύ πιο απλά, αφού αυτός ο τύπος συγκλίνει πολύ γρήγορα (ειδικά αν επιλεγεί ένας καλός αριθμός 0).

Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα: είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το √11. Επιλέγουμε ένα 0 \u003d 3, αφού το 3 2 \u003d 9, το οποίο είναι πιο κοντά στο 11 από το 4 2 \u003d 16. Αντικαθιστώντας τον τύπο, παίρνουμε:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Δεν έχει νόημα να συνεχίσουμε τους υπολογισμούς, αφού διαπιστώσαμε ότι το 2 και το 3 αρχίζουν να διαφέρουν μόνο στο 5ο δεκαδικό ψηφίο. Έτσι, αρκούσε να εφαρμόσουμε τον τύπο μόνο 2 φορές για να υπολογίσουμε το √11 με ακρίβεια 0,0001.

Επί του παρόντος, οι αριθμομηχανές και οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται ευρέως για τον υπολογισμό των ριζών, ωστόσο, είναι χρήσιμο να θυμάστε τον σημειωμένο τύπο για να μπορείτε να υπολογίσετε με μη αυτόματο τρόπο την ακριβή τους τιμή.

Εξισώσεις δεύτερης τάξης

Η κατανόηση του τι είναι τετραγωνική ρίζα και η ικανότητα υπολογισμού της χρησιμοποιείται κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. Αυτές οι εξισώσεις είναι ισότητες με έναν άγνωστο, η γενική μορφή του οποίου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Εδώ τα c, b και a είναι ορισμένοι αριθμοί και το a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν και οι τιμές των c και b μπορεί να είναι εντελώς αυθαίρετες, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός.

Οποιεσδήποτε τιμές του x ικανοποιούν την ισότητα που υποδεικνύεται στο σχήμα ονομάζονται ρίζες του (αυτή η έννοια δεν πρέπει να συγχέεται με την τετραγωνική ρίζα √). Εφόσον η εξίσωση που εξετάζουμε έχει τη 2η τάξη (x 2), τότε δεν μπορούν να υπάρχουν περισσότερες ρίζες για αυτήν από δύο αριθμούς. Θα εξετάσουμε αργότερα στο άρθρο πώς να βρείτε αυτές τις ρίζες.

Εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης (τύπος)

Αυτή η μέθοδος επίλυσης του τύπου των ισοτήτων που εξετάζονται ονομάζεται επίσης καθολική ή μέθοδος μέσω της διάκρισης. Μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιεσδήποτε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Ο τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης έχει ως εξής:

Μπορεί να φανεί από αυτό ότι οι ρίζες εξαρτώνται από την τιμή καθενός από τους τρεις συντελεστές της εξίσωσης. Επιπλέον, ο υπολογισμός του x 1 διαφέρει από τον υπολογισμό του x 2 μόνο από το πρόσημο μπροστά από την τετραγωνική ρίζα. Η ριζική έκφραση, η οποία είναι ίση με b 2 - 4ac, δεν είναι τίποτα άλλο από τη διάκριση της θεωρούμενης ισότητας. Η διάκριση στον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης παίζει σημαντικό ρόλο επειδή καθορίζει τον αριθμό και το είδος των λύσεων. Έτσι, εάν είναι μηδέν, τότε θα υπάρχει μόνο μία λύση, εάν είναι θετική, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες και, τέλος, μια αρνητική διάκριση οδηγεί σε δύο μιγαδικές ρίζες x 1 και x 2.

Το θεώρημα του Vieta ή κάποιες ιδιότητες των ριζών εξισώσεων δεύτερης τάξης

Στα τέλη του 16ου αιώνα, ένας από τους ιδρυτές της σύγχρονης άλγεβρας, ένας Γάλλος, που μελετούσε τις εξισώσεις δεύτερης τάξης, μπόρεσε να αποκτήσει τις ιδιότητες των ριζών της. Μαθηματικά, μπορούν να γραφτούν ως εξής:

x 1 + x 2 = -b / a και x 1 * x 2 = c / a.

Και οι δύο ισότητες μπορούν εύκολα να ληφθούν από όλους· για αυτό, είναι απαραίτητο μόνο να εκτελεστούν οι κατάλληλες μαθηματικές πράξεις με τις ρίζες που λαμβάνονται μέσω ενός τύπου με διάκριση.

Ο συνδυασμός αυτών των δύο εκφράσεων μπορεί δικαίως να ονομαστεί ο δεύτερος τύπος των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης, που καθιστά δυνατή την εικασία των λύσεών της χωρίς τη χρήση της διάκρισης. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι παρόλο που και οι δύο εκφράσεις είναι πάντα έγκυρες, είναι βολικό να τις χρησιμοποιήσετε για να λύσετε μια εξίσωση μόνο εάν μπορεί να συνυπολογιστεί.

Το έργο της εμπέδωσης της αποκτηθείσας γνώσης

Θα λύσουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα στο οποίο θα δείξουμε όλες τις τεχνικές που συζητούνται στο άρθρο. Οι συνθήκες του προβλήματος είναι οι εξής: πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς για τους οποίους το γινόμενο είναι -13 και το άθροισμα είναι 4.

Αυτή η συνθήκη θυμίζει αμέσως το θεώρημα του Vieta, χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών και το γινόμενο τους, γράφουμε:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Υποθέτοντας a = 1, τότε b = -4 και c = -13. Αυτοί οι συντελεστές μας επιτρέπουν να συνθέσουμε μια εξίσωση δεύτερης τάξης:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο με το διακριτικό, παίρνουμε τις ακόλουθες ρίζες:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Δηλαδή, η εργασία περιορίστηκε στην εύρεση του αριθμού √68. Σημειώστε ότι 68 = 4 * 17, τότε, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε: √68 = 2√17.

Τώρα χρησιμοποιούμε τον θεωρούμενο τύπο τετραγωνικής ρίζας: a 0 \u003d 4, στη συνέχεια:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε το 3 γιατί οι τιμές που βρέθηκαν διαφέρουν μόνο κατά 0,02. Έτσι, √68 = 8,246. Αντικαθιστώντας το στον τύπο για x 1,2, παίρνουμε:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 και x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

Όπως μπορείτε να δείτε, το άθροισμα των αριθμών που βρέθηκαν είναι πραγματικά ίσο με 4, αλλά αν βρείτε το γινόμενο τους, τότε θα είναι ίσο με -12,999, που ικανοποιεί την συνθήκη του προβλήματος με ακρίβεια 0,001.

Βιβλιογραφική περιγραφή: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων // Νέος επιστήμονας. 2016. №6.1. Σ. 17-20..03.2019).



Το έργο μας είναι αφιερωμένο στους τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Σκοπός του έργου: να μάθουν πώς να λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις με τρόπους που δεν περιλαμβάνονται στο σχολικό πρόγραμμα. Εργασία: βρείτε όλους τους πιθανούς τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων και μάθετε πώς να τις χρησιμοποιείτε μόνοι σας και εισάγετε τους συμμαθητές σε αυτές τις μεθόδους.

Τι είναι οι «τετραγωνικές εξισώσεις»;

Τετραγωνική εξίσωση- εξίσωση της φόρμας τσεκούρι2 + bx + c = 0, όπου ένα, σι, ντο- μερικοί αριθμοί ( a ≠ 0), Χ- άγνωστο.

Οι αριθμοί α, β, γ ονομάζονται συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

• α ονομάζεται πρώτος συντελεστής.
• Το b ονομάζεται δεύτερος συντελεστής.
• γ - ελεύθερο μέλος.

Και ποιος ήταν ο πρώτος που «εφηύρε» τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις;

Ορισμένες αλγεβρικές τεχνικές για την επίλυση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων ήταν γνωστές ήδη πριν από 4000 χρόνια στην Αρχαία Βαβυλώνα. Οι αρχαίες βαβυλωνιακές πήλινες πινακίδες που βρέθηκαν, που χρονολογούνται κάπου μεταξύ 1800 και 1600 π.Χ., είναι η παλαιότερη απόδειξη της μελέτης των τετραγωνικών εξισώσεων. Τα ίδια δισκία περιέχουν μεθόδους για την επίλυση ορισμένων τύπων τετραγωνικών εξισώσεων.

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο του πρώτου, αλλά και του δεύτερου βαθμού στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση περιοχών γης και χωματουργικών εργασιών στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και την ανάπτυξη της αστρονομίας και της αστρονομίας και της ανάπτυξης. τα ίδια τα μαθηματικά.

Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που αναφέρεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, συμπίπτει ουσιαστικά με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που βρέθηκαν μέχρι τώρα δίνουν μόνο προβλήματα με λύσεις που δηλώνονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν. Παρά το υψηλό επίπεδο ανάπτυξης της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και τις γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Βαβυλώνιοι μαθηματικοί περίπου από τον 4ο αιώνα π.Χ. χρησιμοποίησε τη μέθοδο του τετραγωνικού συμπληρώματος για να λύσει εξισώσεις με θετικές ρίζες. Γύρω στο 300 π.Χ. Ο Ευκλείδης βρήκε μια γενικότερη μέθοδο γεωμετρικής λύσης. Ο πρώτος μαθηματικός που βρήκε λύσεις σε μια εξίσωση με αρνητικές ρίζες με τη μορφή αλγεβρικού τύπου ήταν ένας Ινδός επιστήμονας. Μπραμαγκούπτα(Ινδία, 7ος αιώνας μ.Χ.).

Ο Brahmagupta περιέγραψε έναν γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:

ax2 + bx = c, a>0

Σε αυτή την εξίσωση, οι συντελεστές μπορεί να είναι αρνητικοί. Ο κανόνας του Brahmagupta ουσιαστικά συμπίπτει με τον δικό μας.

Στην Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Σε ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία, λέγεται το εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι και ένας μορφωμένος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα στις δημόσιες συναντήσεις, προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα καθήκοντα ήταν συχνά ντυμένα με ποιητική μορφή.

Σε μια αλγεβρική πραγματεία Αλ-Χουαρίζμιδίνεται ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας απαριθμεί 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:

1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με ρίζες», δηλαδή ax2 = bx.

2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό», δηλαδή ax2 = c.

3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. ax2 = c.

4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλαδή ax2 + c = bx.

5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλαδή ax2 + bx = c.

6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλαδή bx + c == ax2.

Για τον Al-Khwarizmi, ο οποίος απέφυγε τη χρήση αρνητικών αριθμών, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσεις. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας περιγράφει τις μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους al-jabr και al-muqabala. Η απόφασή του βέβαια δεν συμπίπτει απόλυτα με τη δική μας. Για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι είναι καθαρά ρητορικό, πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνει μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου, ο Αλ-Χουαρίζμι, όπως όλοι οι μαθηματικοί πριν από τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη το μηδέν λύση, πιθανώς γιατί σε συγκεκριμένες πρακτικές εργασίες, δεν έχει σημασία. Όταν λύνει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, ο Al-Khwarizmi καθορίζει τους κανόνες για την επίλυσή τους χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και στη συνέχεια τις γεωμετρικές τους αποδείξεις.

Οι μορφές για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στο μοντέλο του Al-Khwarizmi στην Ευρώπη περιγράφηκαν για πρώτη φορά στο "Βιβλίο του Άβακα", που γράφτηκε το 1202. Ιταλός μαθηματικός Λέοναρντ Φιμπονάτσι. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών.

Αυτό το βιβλίο συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλές εργασίες από αυτό το βιβλίο μεταφέρθηκαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά εγχειρίδια του 14ου-17ου αιώνα. Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή x2 + bx = c με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σημείων και συντελεστών b, c, διατυπώθηκε στην Ευρώπη το 1544. M. Stiefel.

Ο Vieta έχει μια γενική εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας εξίσωσης τετραγωνικής, αλλά ο Vieta αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelliαπό τα πρώτα τον 16ο αιώνα. λάβετε υπόψη, εκτός από τις θετικές, και τις αρνητικές ρίζες. Μόνο τον XVII αιώνα. χάρη στο έργο Girard, Descartes, Newtonκαι άλλους επιστήμονες, ο τρόπος επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.

Εξετάστε διάφορους τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.

Τυπικοί τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

1. Παραγοντοποίηση της αριστερής πλευράς της εξίσωσης.
2. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου.
3. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με τύπο.
4. Γραφική λύση τετραγωνικής εξίσωσης.
5. Επίλυση εξισώσεων με το θεώρημα του Βιέτα.

Ας σταθούμε αναλυτικότερα στη λύση ανηγμένων και μη ανηγμένων τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta.

Θυμηθείτε ότι για να λύσουμε τις δεδομένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις, αρκεί να βρούμε δύο αριθμούς τέτοιους που το γινόμενο των οποίων να είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο και το άθροισμα να είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο.

Παράδειγμα.Χ 2 -5x+6=0

Πρέπει να βρείτε αριθμούς των οποίων το γινόμενο είναι 6 και το άθροισμα είναι 5. Αυτοί οι αριθμοί θα είναι 3 και 2.

Απάντηση: x 1 =2, x 2 =3.

Αλλά μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέθοδο για εξισώσεις με τον πρώτο συντελεστή να μην είναι ίσος με ένα.

Παράδειγμα.3x 2 +2x-5=0

Παίρνουμε τον πρώτο συντελεστή και τον πολλαπλασιάζουμε με τον ελεύθερο όρο: x 2 +2x-15=0

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης θα είναι αριθμοί των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με -15 και το άθροισμα είναι ίσο με -2. Αυτοί οι αριθμοί είναι 5 και 3. Για να βρούμε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης, διαιρούμε τις ρίζες που προέκυψαν με τον πρώτο συντελεστή .

Απάντηση: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο της «μεταφοράς».

Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0, όπου a≠0.

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη του με a, παίρνουμε την εξίσωση a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Έστω ax = y, από όπου x = y/a; τότε καταλήγουμε στην εξίσωση y 2 + κατά + ac = 0, η οποία είναι ισοδύναμη με τη δεδομένη. Βρίσκουμε τις ρίζες του στο 1 και στο 2 χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta.

Τέλος παίρνουμε x 1 = y 1 /a και x 2 = y 2 /a.

Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής α πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να «μεταφέρεται» σε αυτόν, επομένως ονομάζεται μέθοδος «μεταφοράς». Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν είναι εύκολο να βρεθούν οι ρίζες μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.

Παράδειγμα.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Ας «μεταφέρουμε» τον συντελεστή 2 στον ελεύθερο όρο και κάνοντας την αντικατάσταση παίρνουμε την εξίσωση y 2 - 11y + 30 = 0.

Σύμφωνα με το αντίστροφο θεώρημα του Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Απάντηση: x 1 =2,5; Χ 2 = 3.

7. Ιδιότητες των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Εάν a + b + c \u003d 0 (δηλαδή, το άθροισμα των συντελεστών της εξίσωσης είναι μηδέν), τότε x 1 \u003d 1.

2. Εάν a - b + c \u003d 0, ή b \u003d a + c, τότε x 1 \u003d - 1.

Παράδειγμα.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Αφού a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), τότε x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Απάντηση: x 1 =1; Χ 2 = -208/345 .

Παράδειγμα.132x 2 + 247x + 115 = 0

Επειδή a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), μετά x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Απάντηση: x 1 = - 1; Χ 2 =- 115/132

Υπάρχουν και άλλες ιδιότητες των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. αλλά η χρήση τους είναι πιο περίπλοκη.

8. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση νομογράμματος.

Εικ. 1. Νομόγραμμα

Πρόκειται για μια παλιά και ξεχασμένη επί του παρόντος μέθοδο επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, τοποθετημένη στη σελ. 83 της συλλογής: Bradis V.M. Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες. - Μ., Εκπαίδευση, 1990.

Πίνακας XXII. Νομόγραμμα επίλυσης εξισώσεων z2 + pz + q = 0. Αυτό το νομόγραμμα επιτρέπει, χωρίς να λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση, να προσδιορίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης από τους συντελεστές της.

Η καμπυλόγραμμη κλίμακα του νομογράμματος είναι κατασκευασμένη σύμφωνα με τους τύπους (Εικ. 1):

Υποθέτοντας OS = p, ED = q, OE = a(όλα σε cm), από το Σχ. 1 ομοιότητα τριγώνων SANκαι CDFπαίρνουμε την αναλογία

οπότε μετά από αντικαταστάσεις και απλοποιήσεις ακολουθεί η εξίσωση z 2 + pz + q = 0,και το γράμμα zσημαίνει την ετικέτα οποιουδήποτε σημείου στην καμπύλη κλίμακα.

Ρύζι. 2 Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με νομόγραμμα

Παραδείγματα.

1) Για την εξίσωση z 2 - 9z + 8 = 0το νομόγραμμα δίνει τις ρίζες z 1 = 8,0 και z 2 = 1,0

Απάντηση: 8.0; 1.0.

2) Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας το νομόγραμμα

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Διαιρέστε τους συντελεστές αυτής της εξίσωσης με 2, παίρνουμε την εξίσωση z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Το νομόγραμμα δίνει τις ρίζες z 1 = 4 και z 2 = 0,5.

Απάντηση: 4; 0,5.

9. Γεωμετρική μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.

Παράδειγμα.Χ 2 + 10x = 39.

Στο πρωτότυπο, αυτό το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: «Το τετράγωνο και οι δέκα ρίζες είναι ίσες με 39».

Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά x, στις πλευρές του χτίζονται ορθογώνια έτσι ώστε η άλλη πλευρά καθενός από αυτά να είναι 2,5, επομένως, το εμβαδόν του καθενός είναι 2,5x. Το σχήμα που προκύπτει συμπληρώνεται σε ένα νέο τετράγωνο ABCD, συμπληρώνοντας τέσσερα ίσα τετράγωνα στις γωνίες, η πλευρά καθενός από αυτά είναι 2,5 και το εμβαδόν είναι 6,25

Ρύζι. 3 Γραφικός τρόπος επίλυσης της εξίσωσης x 2 + 10x = 39

Η περιοχή S του τετραγώνου ABCD μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των εμβαδών: το αρχικό τετράγωνο x 2, τέσσερα ορθογώνια (4 ∙ 2,5x = 10x) και τέσσερα προσαρτημένα τετράγωνα (6,25 ∙ 4 = 25), δηλ. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Αντικαθιστώντας το x 2 + 10x με τον αριθμό 39, παίρνουμε ότι S \u003d 39 + 25 \u003d 64, πράγμα που σημαίνει ότι η πλευρά του τετραγώνου ABCD, δηλ. τμήμα AB \u003d 8. Για την επιθυμητή πλευρά x του αρχικού τετραγώνου, παίρνουμε

10. Λύση εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Bezout.

Το θεώρημα του Bezout. Το υπόλοιπο μετά τη διαίρεση του πολυωνύμου P(x) με το διώνυμο x - α ισούται με P(α) (δηλαδή η τιμή του P(x) στο x = α).

Αν ο αριθμός α είναι η ρίζα του πολυωνύμου P(x), τότε αυτό το πολυώνυμο διαιρείται με το x -α χωρίς υπόλοιπο.

Παράδειγμα.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Διαιρέστε το P(x) με το (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ή x-3=0, x=3; Απάντηση: x1 =2, x2 =3.

Συμπέρασμα:Η ικανότητα γρήγορης και ορθολογικής επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων είναι απλώς απαραίτητη για την επίλυση πιο σύνθετων εξισώσεων, για παράδειγμα, κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, εξισώσεων υψηλότερων δυνάμεων, διτετραγωνικών εξισώσεων και στο γυμνάσιο τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει όλες τις μεθόδους που βρέθηκαν για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, μπορούμε να συμβουλεύσουμε τους συμμαθητές, εκτός από τις τυπικές μεθόδους, να λύσουν με τη μέθοδο μεταφοράς (6) και να λύσουν εξισώσεις με την ιδιότητα των συντελεστών (7), καθώς είναι πιο προσιτές για κατανόηση .

Βιβλιογραφία:

1. Bradis V.M. Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες. - Μ., Εκπαίδευση, 1990.
2. Άλγεβρα τάξη 8: εγχειρίδιο για την τάξη 8. γενική εκπαίδευση ιδρύματα Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15η έκδ., αναθεωρημένη. - Μ.: Διαφωτισμός, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο. Ένας οδηγός για δασκάλους. / Εκδ. V.N. Πιο ΝΕΟΣ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1964.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

1. Δεν έχουν ρίζες.
2. Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
3. Έχουν δύο διαφορετικές ρίζες.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .

Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

1. Αν ο Δ< 0, корней нет;
2. Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
3. Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Μια εργασία. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση ισούται με μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολλές.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.

Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:

Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο όταν (−c / a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:

1. Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
2. Αν (−c / a )< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι υπάρχει στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:

Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:

Μια εργασία. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.