Γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα διανυσμάτων. Γραμμική εξάρτηση συστήματος διανυσμάτων

Ορισμός. Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων a 1 , ..., a n με συντελεστές x 1 , ..., x n ονομάζεται διάνυσμα

x 1 a 1 + ... + x n a n .

ασήμαντος, αν όλοι οι συντελεστές x 1 , ..., x n είναι ίσοι με μηδέν.

Ορισμός. Ο γραμμικός συνδυασμός x 1 a 1 + ... + x n a n ονομάζεται μη τετριμμένο, αν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές x 1 , ..., x n δεν είναι ίσος με μηδέν.

γραμμικά ανεξάρτητη, εάν δεν υπάρχει κανένας μη τετριμμένος συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα.

Δηλαδή, τα διανύσματα a 1 , ..., a n είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 αν και μόνο αν x 1 = 0, ..., x n = 0.

Ορισμός. Τα διανύσματα a 1 , ..., a n λέγονται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα.

Ιδιότητες γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων:

Για 2 και τρισδιάστατα διανύσματα.

Δύο γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συγγραμμικά. (Τα συγγραμμικά διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.) .

Για τρισδιάστατα διανύσματα.

Τρία γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συνεπίπεδα. (Τα τρία συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.)

Για διανύσματα n διαστάσεων.
Τα n + 1 διανύσματα εξαρτώνται πάντα γραμμικά.

Παραδείγματα εργασιών για γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων:

Παράδειγμα 1. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) είναι γραμμικά ανεξάρτητα .

Λύση:

Τα διανύσματα θα εξαρτώνται γραμμικά, αφού η διάσταση των διανυσμάτων είναι μικρότερη από τον αριθμό των διανυσμάτων.

Παράδειγμα 2. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Λύση:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

αφαιρέστε το δεύτερο από την πρώτη γραμμή. προσθέστε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Αυτή η λύση δείχνει ότι το σύστημα έχει πολλές λύσεις, δηλαδή υπάρχει ένας μη μηδενικός συνδυασμός τιμών των αριθμών x 1 , x 2 , x 3 έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων a , b , c να είναι ίσος στο μηδενικό διάνυσμα, για παράδειγμα:

Α + β + γ = 0

που σημαίνει ότι τα διανύσματα a , b , c εξαρτώνται γραμμικά.

Απάντηση:Τα διανύσματα a , b , c εξαρτώνται γραμμικά.

Παράδειγμα 3. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Λύση:Ας βρούμε τις τιμές των συντελεστών στους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων θα είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Αυτή η διανυσματική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως σύστημα γραμμικών εξισώσεων

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Επιλύουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

αφαιρέστε την πρώτη από τη δεύτερη γραμμή. αφαιρέστε την πρώτη από την τρίτη σειρά:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

αφαιρέστε το δεύτερο από την πρώτη σειρά. προσθέστε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή.

Εργασία 1.Μάθετε εάν το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Το σύστημα των διανυσμάτων θα οριστεί από τον πίνακα του συστήματος, οι στήλες του οποίου αποτελούνται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων.

Λύση.Αφήστε τον γραμμικό συνδυασμό ισούται με μηδέν. Έχοντας γράψει αυτή την ισότητα σε συντεταγμένες, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων ονομάζεται τριγωνικό. Έχει τη μόνη λύση. . Εξ ου και τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Εργασία 2.Μάθετε εάν το σύστημα των διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Λύση.Διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητες (βλ. Πρόβλημα 1). Ας αποδείξουμε ότι το διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων . Διανυσματικοί συντελεστές επέκτασης καθορίζονται από το σύστημα των εξισώσεων

Αυτό το σύστημα, όπως ένα τριγωνικό, έχει μια μοναδική λύση.

Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά εξαρτώμενη.

Σχόλιο. Οι πίνακες όπως στο πρόβλημα 1 καλούνται τριγωνικός και στο πρόβλημα 2 - κλιμακωτό τριγωνικό . Το ζήτημα της γραμμικής εξάρτησης ενός συστήματος διανυσμάτων λύνεται εύκολα εάν ο πίνακας που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι σταδιακά τριγωνικός. Εάν η μήτρα δεν έχει ειδική μορφή, τότε χρησιμοποιήστε στοιχειώδεις μετασχηματισμοί χορδών , διατηρώντας τις γραμμικές σχέσεις μεταξύ των στηλών, μπορεί να μειωθεί σε μια βαθμιδωτή τριγωνική μορφή.

Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί χορδώνΠίνακες (EPS) ονομάζονται οι ακόλουθες πράξεις στον πίνακα:

1) μετάθεση γραμμών.

2) πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν μη μηδενικό αριθμό.

3) προσθέτοντας στη συμβολοσειρά μια άλλη συμβολοσειρά, πολλαπλασιασμένη με έναν αυθαίρετο αριθμό.

Εργασία 3.Βρείτε το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα και υπολογίστε την κατάταξη του συστήματος των διανυσμάτων

Λύση.Ας μειώσουμε τη μήτρα του συστήματος με τη βοήθεια του EPS σε μια κλιμακωτή-τριγωνική μορφή. Για να εξηγηθεί η διαδικασία, η γραμμή με τον αριθμό του πίνακα που θα μετασχηματιστεί θα συμβολίζεται με το σύμβολο . Η στήλη μετά το βέλος δείχνει τις ενέργειες που πρέπει να εκτελεστούν στις σειρές του πίνακα που έχει μετατραπεί για να ληφθούν οι σειρές του νέου πίνακα.

Προφανώς, οι δύο πρώτες στήλες του προκύπτοντος πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες, η τρίτη στήλη είναι ο γραμμικός συνδυασμός τους και η τέταρτη δεν εξαρτάται από τις δύο πρώτες. Διανύσματα ονομάζονται βασικά. Αποτελούν το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος , και η κατάταξη του συστήματος είναι τρεις.

Βάση, συντεταγμένες

Εργασία 4.Βρείτε τη βάση και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε αυτή τη βάση στο σύνολο των γεωμετρικών διανυσμάτων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τη συνθήκη .

Λύση. Το σετ είναι ένα αεροπλάνο που διέρχεται από την αρχή. Μια αυθαίρετη βάση στο επίπεδο αποτελείται από δύο μη γραμμικά διανύσματα. Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων στην επιλεγμένη βάση καθορίζονται με την επίλυση του αντίστοιχου συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, όταν μπορείτε να βρείτε τη βάση με συντεταγμένες.

Συντεταγμένες Οι χώροι δεν είναι συντεταγμένες στο επίπεδο, αφού σχετίζονται με τη σχέση , δηλαδή δεν είναι ανεξάρτητα. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές και (ονομάζονται ελεύθερες) καθορίζουν μοναδικά το διάνυσμα στο επίπεδο και, επομένως, μπορούν να επιλεγούν ως συντεταγμένες στο . Στη συνέχεια η βάση αποτελείται από διανύσματα που βρίσκονται μέσα και αντιστοιχούν σε σύνολα ελεύθερων μεταβλητών και , αυτό είναι .

Εργασία 5.Βρείτε τη βάση και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε αυτή τη βάση στο σύνολο όλων των διανυσμάτων του χώρου , των οποίων οι περιττές συντεταγμένες είναι ίσες μεταξύ τους.

Λύση. Επιλέγουμε, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, συντεταγμένες στο διάστημα .

Επειδή , μετά τις ελεύθερες μεταβλητές ορίζουν μοναδικά ένα διάνυσμα από και, επομένως, είναι συντεταγμένες. Η αντίστοιχη βάση αποτελείται από διανύσματα .

Εργασία 6.Βρείτε τη βάση και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε αυτή τη βάση στο σύνολο όλων των πινάκων της φόρμας , όπου είναι αυθαίρετοι αριθμοί.

Λύση. Κάθε πίνακας από μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως:

Αυτή η σχέση είναι η επέκταση του διανύσματος από ως προς τη βάση
με συντεταγμένες .

Εργασία 7.Να βρείτε τη διάσταση και τη βάση του γραμμικού ανοίγματος ενός συστήματος διανυσμάτων

Λύση.Χρησιμοποιώντας το EPS, μετατρέπουμε τον πίνακα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων του συστήματος σε μια κλιμακωτή τριγωνική μορφή.

στήλες του τελευταίου πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες και οι στήλες εκφράζονται γραμμικά μέσα από αυτά. Εξ ου και τα διανύσματα αποτελούν τη βάση , και .

Σχόλιο. Βάση σε επιλεγεί διφορούμενα. Για παράδειγμα, διανύσματα αποτελούν επίσης τη βάση .

Τα διανύσματα, οι ιδιότητές τους και οι ενέργειες μαζί τους

Διανύσματα, ενέργειες με διανύσματα, γραμμικός διανυσματικός χώρος.

Τα διανύσματα είναι μια διατεταγμένη συλλογή ενός πεπερασμένου αριθμού πραγματικών αριθμών.

Ενέργειες: 1. Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό: λάμδα * διάνυσμα x \u003d (λάμδα * x 1, λάμδα * x 2 ... λάμδα * x n). (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Προσθήκη διανυσμάτων (ανήκουν στον ίδιο διανυσματικό χώρο) διάνυσμα x + διάνυσμα y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Διάνυσμα 0=(0,0…0)---n E n – n-διάστατο (γραμμικός χώρος) διάνυσμα x + διάνυσμα 0 = διάνυσμα x

Θεώρημα. Για να είναι γραμμικά εξαρτημένο ένα σύστημα n διανυσμάτων σε γραμμικό χώρο n διαστάσεων, είναι απαραίτητο και αρκετό ένα από τα διανύσματα να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Θεώρημα. Οποιοδήποτε σύνολο n+ 1ου διανύσματος n-διάστατου γραμμικού χώρου yavl. γραμμικά εξαρτώμενη.

Πρόσθεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός διανυσμάτων με αριθμούς. Αφαίρεση διανυσμάτων.

Το άθροισμα δύο διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή του διανύσματος έως το τέλος του διανύσματος, με την προϋπόθεση ότι η αρχή συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος. Εάν τα διανύσματα δίνονται από τις επεκτάσεις τους ως διανύσματα βάσης, τότε προσθέτοντας τα διανύσματα αθροίζονται οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους.

Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Αφήνω

Ας το δείξουμε

Το σχήμα 3 δείχνει ότι

Το άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολυγώνου (Εικ. 4): για να κατασκευαστεί το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων, αρκεί να αντιστοιχίσετε την αρχή κάθε επόμενου διανύσματος με το τέλος του προηγούμενου και κατασκευάστε ένα διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το τέλος του τελευταίου.

Ιδιότητες της πράξης πρόσθεσης διανύσματος:

Σε αυτές τις παραστάσεις τα m, n είναι αριθμοί.

Η διαφορά των διανυσμάτων ονομάζεται διάνυσμα Ο δεύτερος όρος είναι ένα διάνυσμα αντίθετο προς το διάνυσμα ως προς τη διεύθυνση, αλλά ίσο με αυτό σε μήκος.

Έτσι, η πράξη αφαίρεσης του διανύσματος αντικαθίσταται από την πράξη πρόσθεσης

Το διάνυσμα του οποίου η αρχή βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων και το τέλος του στο σημείο Α (x1, y1, z1), ονομάζεται διάνυσμα ακτίνας του σημείου Α και συμβολίζεται ή απλά. Δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του σημείου Α, η επέκτασή του ως προς τα διανύσματα έχει τη μορφή

Ένα διάνυσμα που ξεκινά από το σημείο A(x1, y1, z1) και τελειώνει στο σημείο B(x2, y2, z2) μπορεί να γραφτεί ως

όπου r 2 είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Β. r 1 - διάνυσμα ακτίνας του σημείου Α.

Επομένως, η επέκταση του διανύσματος ως προς τα orts έχει τη μορφή

Το μήκος του είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Έτσι, στην περίπτωση ενός επίπεδου προβλήματος, το γινόμενο ενός διανύσματος κατά a = (ax; ay) και ενός αριθμού b βρίσκεται από τον τύπο

a b = (ax b; ay b)

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο του διανύσματος a = (1; 2) επί 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Έτσι, στην περίπτωση ενός χωρικού προβλήματος, το γινόμενο του διανύσματος a = (ax; ay; az) και του αριθμού b βρίσκεται από τον τύπο

a b = (ax b; ay b; az b)

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο του διανύσματος a = (1; 2; -5) επί 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Τελική γινόμενο διανυσμάτων και πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και ? αν το ένα, τότε

Από τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου, προκύπτει ότι

όπου, για παράδειγμα, είναι η τιμή της προβολής του διανύσματος στην κατεύθυνση του διανύσματος .

Κλιμακωτό τετράγωνο ενός διανύσματος:

Ιδιότητες προϊόντος Dot:

Το προϊόν με τελείες σε συντεταγμένες

Αν ένα έπειτα

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων - η γωνία μεταξύ των κατευθύνσεων αυτών των διανυσμάτων (μικρότερη γωνία).

Διανυσματικό γινόμενο (Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.)-είναι ένα ψευδοδιάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που κατασκευάζεται από δύο παράγοντες, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της δυαδικής πράξης «πολλαπλασιασμός διανυσμάτων» σε διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το γινόμενο δεν είναι ούτε αντιμεταθετικό ούτε συνειρμικό (είναι αντιμεταθετικό) και διαφέρει από το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων. Σε πολλά προβλήματα μηχανικής και φυσικής, είναι απαραίτητο να μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο ήδη υπάρχοντα - το διανυσματικό γινόμενο παρέχει αυτή την ευκαιρία. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι χρήσιμο για τη "μέτρηση" της καθετότητας των διανυσμάτων - το μήκος του εγκάρσιου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών τους εάν είναι κάθετα και μειώνεται στο μηδέν εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

Το διανυσματικό προϊόν ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατους και επταδιάστατους χώρους. Το αποτέλεσμα του διανυσματικού γινόμενου, όπως και του βαθμωτό γινόμενο, εξαρτάται από τη μετρική του Ευκλείδειου χώρου.

Σε αντίθεση με τον τύπο για τον υπολογισμό του βαθμωτού γινόμενου από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε ένα τρισδιάστατο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο τύπος για το διανυσματικό γινόμενο εξαρτάται από τον προσανατολισμό του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων ή, με άλλα λόγια, τη «χειρομορφία» του.

Συγγραμμικότητα διανυσμάτων.

Δύο μη μηδενικά (όχι ίσα με 0) διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά αν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες ή στην ίδια ευθεία. Επιτρέπουμε, αλλά δεν συνιστούμε, ένα συνώνυμο - «παράλληλα» διανύσματα. Τα συγγραμμικά διανύσματα μπορούν να κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση ("συν-κατευθυνόμενα") ή αντίθετα (στην τελευταία περίπτωση ονομάζονται μερικές φορές "αντισγραμμικά" ή "αντιπαράλληλα").

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων( αλφάβητο)- κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος a και διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων b και c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

μερικές φορές ονομάζεται τριπλό βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, προφανώς λόγω του γεγονότος ότι το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό (ακριβέστερα, ψευδοκλιμακωτή).

Γεωμετρική έννοια: Το μέτρο του μικτού γινόμενου είναι αριθμητικά ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα (αλφάβητο) .

Ιδιότητες

Ένα μικτό γινόμενο είναι λοξό-συμμετρικό ως προς όλα τα επιχειρήματά του: δηλαδή, ε. μια μετάθεση οποιωνδήποτε δύο παραγόντων αλλάζει το πρόσημο του προϊόντος. Από αυτό προκύπτει ότι το μικτό γινόμενο στο σωστό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (σε ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα που αποτελείται από τα διανύσματα και:

Το μικτό γινόμενο στο αριστερό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (σε ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα ενός πίνακα που αποτελείται από διανύσματα και λαμβάνεται με πρόσημο μείον:

Συγκεκριμένα,

Εάν οποιαδήποτε δύο διανύσματα είναι παράλληλα, τότε με οποιοδήποτε τρίτο διάνυσμα σχηματίζουν ένα μικτό γινόμενο ίσο με μηδέν.

Εάν τρία διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτώμενα (δηλαδή, συνεπίπεδα, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο), τότε το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

Γεωμετρική σημασία - Το μικτό γινόμενο σε απόλυτη τιμή είναι ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου (βλ. σχήμα) που σχηματίζεται από τα διανύσματα και? το πρόσημο εξαρτάται από το αν αυτή η τριάδα των διανυσμάτων είναι δεξιά ή αριστερά.

Συμφωνία διανυσμάτων.

Τρία (ή περισσότερα) διανύσματα ονομάζονται συνεπίπεδα εάν, αν αναχθούν σε κοινή αρχή, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

Ιδιότητες συμβατότητας

Εάν τουλάχιστον ένα από τα τρία διανύσματα είναι μηδέν, τότε τα τρία διανύσματα θεωρούνται επίσης συνεπίπεδα.

Ένα τριπλό διανυσμάτων που περιέχει ένα ζεύγος συγγραμμικών διανυσμάτων είναι συνεπίπεδο.

Μικτό γινόμενο συνεπίπεδων διανυσμάτων. Αυτό είναι ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη τριών διανυσμάτων.

Τα συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Αυτό είναι επίσης ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη.

Στον τρισδιάστατο χώρο, 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα αποτελούν τη βάση

Γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.

Γραμμικά εξαρτώμενα και ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων.Ορισμός. Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα. Διαφορετικά, δηλ. αν μόνο ένας τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός δεδομένων διανυσμάτων είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα, τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη.

Θεώρημα (κριτήριο γραμμικής εξάρτησης). Για να είναι γραμμικά εξαρτημένο ένα σύστημα διανυσμάτων σε έναν γραμμικό χώρο, είναι απαραίτητο και αρκετό τουλάχιστον ένα από αυτά τα διανύσματα να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

1) Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μηδενικό διάνυσμα μεταξύ των διανυσμάτων, τότε ολόκληρο το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Πράγματι, αν, για παράδειγμα, , τότε, υποθέτοντας , έχουμε έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό .▲

2) Εάν μερικά από τα διανύσματα σχηματίζουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα, τότε ολόκληρο το σύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Πράγματι, αφήστε τα διανύσματα , , να είναι γραμμικά εξαρτημένα. Επομένως, υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός ίσος με το μηδενικό διάνυσμα. Στη συνέχεια όμως, υποθέτοντας , λαμβάνουμε επίσης έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.

2. Βάση και διάσταση. Ορισμός. Σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων καλείται διανυσματικός χώρος βάσηαυτός ο χώρος, εάν οποιοδήποτε διάνυσμα από μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων αυτού του συστήματος, δηλ. για κάθε διάνυσμα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοια που ισχύει η ισότητα.Αυτή η ισότητα ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςσύμφωνα με τη βάση και τους αριθμούς που ονομάζεται διανυσματικές συντεταγμένες σε σχέση με τη βάση(ή στη βάση) .

Θεώρημα (σχετικά με τη μοναδικότητα της επέκτασης ως προς τη βάση). Κάθε διάνυσμα χώρου μπορεί να επεκταθεί ως προς τη βάση με μοναδικό τρόπο, δηλ. συντεταγμένες κάθε διανύσματος στη βάση ορίζονται ξεκάθαρα.

Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί , μεταξύ των οποίων τουλάχιστον ένας είναι διαφορετικός από το μηδέν, ότι η ισότητα https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Αν αυτή η ισότητα ισχύει μόνο αν όλα , τότε καλείται το σύστημα των διανυσμάτων γραμμικά ανεξάρτητη.

Θεώρημα.Το σύστημα των διανυσμάτων θα γραμμικά εξαρτώμενηαν και μόνο αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Παράδειγμα 1Πολυώνυμος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Τα πολυώνυμα αποτελούν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα, αφού το https πολυώνυμο: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Παράδειγμα 2Το σύστημα μήτρας , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με το μηδενικός πίνακας μόνο όταν https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> γραμμικά εξαρτώμενο.

Λύση.

Συνθέστε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των διανυσμάτων https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ύψος =" 22">.

Εξισώνοντας τις ομώνυμες συντεταγμένες ίσων διανυσμάτων, παίρνουμε https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Τελικά παίρνουμε

και

Το σύστημα έχει μια μοναδική τετριμμένη λύση, επομένως ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι μηδέν μόνο εάν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν. Επομένως, αυτό το σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Παράδειγμα 4Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ποια θα είναι τα συστήματα των διανυσμάτων

ένα).;

σι).?

Λύση.

ένα).Συνθέστε έναν γραμμικό συνδυασμό και εξισώστε τον με μηδέν

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων με διανύσματα σε γραμμικό χώρο, ξαναγράφουμε την τελευταία ισότητα στη μορφή

Δεδομένου ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, οι συντελεστές για πρέπει να είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή.gif" width="12" height="23 src=">

Το προκύπτον σύστημα εξισώσεων έχει μια μοναδική ασήμαντη λύση .

Από την ισότητα (*) εκτελείται μόνο στη διεύθυνση https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – γραμμικά ανεξάρτητο.

σι).Συνθέστε την ισότητα https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Εφαρμόζοντας παρόμοιο σκεπτικό, παίρνουμε

Λύνοντας το σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss, παίρνουμε

Το τελευταίο σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Επομένως, υπάρχει μια μη μηδενικό σύνολο συντελεστών για τους οποίους η ισότητα (**) . Επομένως, το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Παράδειγμα 5Το διανυσματικό σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο και το διανυσματικό σύστημα εξαρτάται γραμμικά..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Ανισότητα (***) . Πράγματι, για το , το σύστημα θα ήταν γραμμικά εξαρτημένο.

Από τη σχέση (***) παίρνουμε ή Σημαίνω .

Παίρνω

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (στην τάξη)

1. Ένα σύστημα που περιέχει μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

2. Ενιαίο διανυσματικό σύστημα ένα, εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο αν, a=0.

3. Ένα σύστημα που αποτελείται από δύο διανύσματα εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι ανάλογα (δηλαδή, το ένα από αυτά προκύπτει από το άλλο πολλαπλασιάζοντας με έναν αριθμό).

4. Εάν προστεθεί ένα διάνυσμα σε ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα, τότε προκύπτει ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα.

5. Εάν ένα διάνυσμα αφαιρεθεί από ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα, τότε το προκύπτον σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

6. Εάν το σύστημα μικρόγραμμικά ανεξάρτητο, αλλά γίνεται γραμμικά εξαρτώμενο όταν προστεθεί ένα διάνυσμα σι, μετά το διάνυσμα σιεκφράζεται γραμμικά ως προς τα διανύσματα του συστήματος μικρό.

ντο).Το σύστημα πινάκων , , στο χώρο πινάκων δεύτερης τάξης.

10. Αφήστε το σύστημα των διανυσμάτων ένα,σι,ντοΟ διανυσματικός χώρος είναι γραμμικά ανεξάρτητος. Να αποδείξετε τη γραμμική ανεξαρτησία των ακόλουθων συστημάτων διανυσμάτων:

ένα).α+β, β, γ.

σι).α+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–αυθαίρετος αριθμός

ντο).α+β, α+γ, β+γ.

11. Αφήνω ένα,σι,ντοείναι τρία διανύσματα στο επίπεδο που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν ένα τρίγωνο. Αυτά τα διανύσματα θα εξαρτώνται γραμμικά;

12. Δίνονται δύο διανύσματα a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Σηκώστε δύο ακόμη 4D διανύσματα α3 καια4ώστε το σύστημα Α'1,Α2,α3,α4ήταν γραμμικά ανεξάρτητη .

Σε αυτό το άρθρο, θα καλύψουμε:

τι είναι τα συγγραμμικά διανύσματα;
ποιες είναι οι συνθήκες για συγγραμμικά διανύσματα;
ποιες είναι οι ιδιότητες των συγγραμμικών διανυσμάτων;
ποια είναι η γραμμική εξάρτηση των συγγραμμικών διανυσμάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ορισμός 1

Τα συγγραμμικά διανύσματα είναι διανύσματα που είναι παράλληλα στην ίδια ευθεία ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Παράδειγμα 1

Προϋποθέσεις για συγγραμμικά διανύσματα

Δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά εάν ισχύει κάποια από τις ακόλουθες συνθήκες:

συνθήκη 1 . Τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά αν υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε a = λ b ;
συνθήκη 2 . Τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά με ίσο λόγο συντεταγμένων:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

συνθήκη 3 . Τα διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά με την προϋπόθεση ότι το γινόμενο του διανύσματος και το μηδενικό διάνυσμα είναι ίσα:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Παρατήρηση 1

Συνθήκη 2 δεν ισχύει εάν μία από τις διανυσματικές συντεταγμένες είναι μηδέν.

Παρατήρηση 2

Συνθήκη 3 ισχύει μόνο για εκείνα τα διανύσματα που δίνονται στο χώρο.

Παραδείγματα προβλημάτων για τη μελέτη της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων

Παράδειγμα 1

Εξετάζουμε τα διανύσματα a \u003d (1; 3) και b \u003d (2; 1) για συγγραμμικότητα.

Πώς να αποφασίσετε;

Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τη 2η συνθήκη συγγραμμικότητας. Για δεδομένα διανύσματα, μοιάζει με αυτό:

Η ισότητα είναι λάθος. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα διανύσματα a και b είναι μη συγγραμμικά.

Απάντηση : α | | σι

Παράδειγμα 2

Ποια τιμή m του διανύσματος a = (1 ; 2) και b = (- 1 ; m) είναι απαραίτητη για να είναι τα διανύσματα συγγραμμικά;

Πώς να αποφασίσετε;

Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη συγγραμμική συνθήκη, τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά εάν οι συντεταγμένες τους είναι ανάλογες:

Αυτό δείχνει ότι m = - 2 .

Απάντηση: m = - 2 .

Κριτήρια γραμμικής εξάρτησης και γραμμικής ανεξαρτησίας συστημάτων διανυσμάτων

Θεώρημα

Ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο εξαρτάται γραμμικά μόνο εάν ένα από τα διανύσματα του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως προς τα υπόλοιπα διανύσματα του συστήματος.

Απόδειξη

Έστω το σύστημα e 1 , e 2 , . . . , το e n εξαρτάται γραμμικά. Ας γράψουμε τον γραμμικό συνδυασμό αυτού του συστήματος ίσο με το μηδενικό διάνυσμα:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

στην οποία τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές του συνδυασμού δεν είναι ίσος με μηδέν.

Έστω k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με έναν μη μηδενικό συντελεστή:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Σημαίνω:

A k - 1 a m , όπου m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Σε αυτήν την περίπτωση:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

ή e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Συνεπάγεται ότι ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται ως προς όλα τα άλλα διανύσματα του συστήματος. Κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί (π.τ.δ.).

Επάρκεια

Αφήστε ένα από τα διανύσματα να εκφραστεί γραμμικά ως προς όλα τα άλλα διανύσματα του συστήματος:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Μεταφέρουμε το διάνυσμα e k στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Εφόσον ο συντελεστής του διανύσματος e k είναι ίσος με - 1 ≠ 0 , παίρνουμε μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενός από ένα σύστημα διανυσμάτων e 1 , e 2 , . . . , e n , και αυτό, με τη σειρά του, σημαίνει ότι το δεδομένο σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά. Κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί (π.τ.δ.).

Συνέπεια:

Ένα σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο όταν κανένα από τα διανύσματά του δεν μπορεί να εκφραστεί ως προς όλα τα άλλα διανύσματα του συστήματος.
Ένα διανυσματικό σύστημα που περιέχει ένα μηδενικό διάνυσμα ή δύο ίσα διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.

Ιδιότητες γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων

Για 2- και 3-διάστατα διανύσματα, πληρούται η προϋπόθεση: δύο γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Δύο συγγραμμικά διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.
Για τρισδιάστατα διανύσματα, πληρούται η προϋπόθεση: τρία γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συνεπίπεδα. (3 συνεπίπεδα διανύσματα - γραμμικά εξαρτώμενα).
Για διανύσματα n διαστάσεων, πληρούται η συνθήκη: n + 1 διανύσματα είναι πάντα γραμμικά εξαρτώμενα.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων για γραμμική εξάρτηση ή γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων

Παράδειγμα 3

Ας ελέγξουμε τα διανύσματα a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 για γραμμική ανεξαρτησία.

Λύση. Τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά επειδή η διάσταση των διανυσμάτων είναι μικρότερη από τον αριθμό των διανυσμάτων.

Παράδειγμα 4

Ας ελέγξουμε τα διανύσματα a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 για γραμμική ανεξαρτησία.

Λύση. Βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών στους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός θα ισούται με το μηδέν διάνυσμα:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Γράφουμε τη διανυσματική εξίσωση με τη μορφή γραμμικής:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Επιλύουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Από τη 2η γραμμή αφαιρούμε την 1η, από την 3η - την 1η:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Αφαιρέστε τη 2η από την 1η γραμμή, προσθέστε τη 2η στην 3η:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Από τη λύση προκύπτει ότι το σύστημα έχει πολλές λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας μη μηδενικός συνδυασμός των τιμών τέτοιων αριθμών x 1 , x 2 , x 3 για τους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός a , b , c ισούται με το μηδενικό διάνυσμα. Άρα τα διανύσματα a , b , c είναι γραμμικά εξαρτώμενη.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter