24.1. Η έννοια του διαφορικού συνάρτησης

Έστω η συνάρτηση y=ƒ(x) να έχει μη μηδενική παράγωγο στο σημείο x.

Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα για τη σύνδεση μιας συνάρτησης, του ορίου της και μιας απείρως μικρής συνάρτησης, μπορούμε να γράψουμε D y / D x \u003d ƒ "(x) + α, όπου α → 0 για Δx → 0, ή ∆y \u003d ƒ" (x) ∆х+α ∆х.

Έτσι, η προσαύξηση της συνάρτησης ∆ου είναι το άθροισμα δύο όρων ƒ "(х) ∆χ και ενός ∆χ, οι οποίοι είναι απειροελάχιστοι στο ∆x→0. Στην περίπτωση αυτή, ο πρώτος όρος είναι μια απείρως μικρή συνάρτηση του ίδια σειρά με το ∆х, αφού και ο δεύτερος όρος είναι μια απειροελάχιστη συνάρτηση του περισσότερου υψηλή τάξηαπό το Δx:

Επομένως, ονομάζεται ο πρώτος όρος ƒ "(x) ∆x κύριο μέροςαυξήσειςσυναρτήσεις ∆у.

διαφορικό λειτουργίας y=ƒ(x) στο σημείο x καλείται κύριο μέροςτις προσαυξήσεις της, ίσο με το γινόμενοη παράγωγος της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος, και συμβολίζεται με dу (ή dƒ(x)):

dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24.1)

Το διαφορικό dу ονομάζεται επίσης διαφορικό πρώτης τάξης.Ας βρούμε το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x, δηλαδή το διαφορικό της συνάρτησης y=x.

Εφόσον y"=x"=1, τότε, σύμφωνα με τον τύπο (24.1), έχουμε dy=dx=∆x, δηλ. η διαφορά της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ίση με την αύξηση αυτής της μεταβλητής: dx=∆x.

Επομένως, ο τύπος (24.1) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (24.2)

με άλλα λόγια το διαφορικό της συνάρτησης είναι ίσο με το γινόμενοπαράγωγος αυτής της συνάρτησης από το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Από τον τύπο (24.2) ακολουθεί η ισότητα dy / dx \u003d ƒ "(x). Τώρα ο προσδιορισμός

η παράγωγος dy/dx μπορεί να θεωρηθεί ως ο λόγος των διαφορών dy και dx.

<< Пример 24.1

Να βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Λύση: Σύμφωνα με τον τύπο dy \u003d ƒ "(x) dx βρίσκουμε

dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

Να βρείτε το διαφορικό μιας συνάρτησης

Υπολογίστε το dy στο x=0, dx=0,1.

Λύση:

Αντικαθιστώντας x=0 και dx=0,1, παίρνουμε

24.2. Η γεωμετρική σημασία του διαφορικού μιας συνάρτησης

Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία του διαφορικού.

Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε την εφαπτομένη MT στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d ƒ (x) στο σημείο M (x; y) και θεωρούμε την τεταγμένη αυτής της εφαπτομένης για το σημείο x + ∆x (βλ. Εικ. 138 ). Στο σχήμα ½ AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Από το ορθογώνιο τρίγωνο MAB έχουμε:

Αλλά, σύμφωνα με τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου, tga \u003d ƒ "(x). Επομένως, AB \u003d ƒ" (x) ∆x.

Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα που προέκυψε με τον τύπο (24.1), λαμβάνουμε dy=AB, δηλ. η διαφορά της συνάρτησης y=ƒ(x) στο σημείο x ισούται με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, όταν το x λαμβάνει την αύξηση ∆x.

Αυτή είναι η γεωμετρική έννοια του διαφορικού.

24.3 Θεμελιώδη διαφορικά θεωρήματα

Τα κύρια θεωρήματα σχετικά με τα διαφορικά είναι εύκολο να ληφθούν χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ του διαφορικού και της παραγώγου της συνάρτησης (dy=f"(x)dx) και των αντίστοιχων θεωρημάτων για τις παραγώγους.

Για παράδειγμα, δεδομένου ότι η παράγωγος της συνάρτησης y \u003d c είναι ίση με μηδέν, τότε το διαφορικό μιας σταθερής τιμής είναι ίσο με μηδέν: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.

Θεώρημα 24.1.Η διαφορά του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων ορίζεται από τους ακόλουθους τύπους:

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, τον δεύτερο τύπο. Εξ ορισμού του διαφορικού, έχουμε:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Θεώρημα 24.2.Το διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίσο με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με ένα ενδιάμεσο όρισμα και το διαφορικό αυτού του ενδιάμεσου ορίσματος.

Έστω y=ƒ(u) και u=φ(x) δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις που σχηματίζουν μια σύνθετη συνάρτηση y=ƒ(φ(x)). Με το θεώρημα για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης, μπορεί κανείς να γράψει

y" x = y" u u" x .

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη αυτής της ισότητας με dx, μαθαίνουμε y "x dx \u003d y" u u "x dx. Αλλά y" x dx \u003d dy και u "x dx \u003d du. Επομένως, η τελευταία ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως ακολουθεί:

dy=y" u du.

Συγκρίνοντας τους τύπους dy=y "x dx και dy=y" u du, βλέπουμε ότι το πρώτο διαφορικό της συνάρτησης y=ƒ(x) καθορίζεται από τον ίδιο τύπο, ανεξάρτητα από το αν το όρισμά της είναι ανεξάρτητη μεταβλητή ή είναι συνάρτηση άλλου επιχειρήματος.

Αυτή η ιδιότητα του διαφορικού ονομάζεται αμετάβλητη (invariance) της μορφής του πρώτου διαφορικού.

Ο τύπος dy \u003d y "x dx στην εμφάνιση συμπίπτει με τον τύπο dy \u003d y" u du, αλλά υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ τους: στον πρώτο τύπο x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, επομένως, dx \u003d ∆x, στον δεύτερο τύπο και υπάρχει συνάρτηση του x , άρα, μιλώντας γενικά, du≠∆u.

Με τη βοήθεια του ορισμού του διαφορικού και των θεμελιωδών θεωρημάτων για τα διαφορικά, είναι εύκολο να μετατραπεί ένας πίνακας παραγώγων σε πίνακα διαφορικών.

Για παράδειγμα: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Διαφορικός πίνακας

24.5. Εφαρμογή της διαφοράς σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Όπως είναι ήδη γνωστό, η αύξηση ∆у της συνάρτησης y=ƒ(х) στο σημείο x μπορεί να αναπαρασταθεί ως ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, όπου α→0 ως ∆х→0, ή dy+α ∆x Απορρίπτοντας το απειροελάχιστο α ∆x υψηλότερης τάξης από το ∆x, προκύπτει η κατά προσέγγιση ισότητα

∆у≈dy, (24.3)

Επιπλέον, αυτή η ισότητα είναι όσο πιο ακριβής, τόσο μικρότερη είναι η Δx.

Αυτή η ισότητα μας επιτρέπει να υπολογίσουμε περίπου την προσαύξηση οποιασδήποτε διαφοροποιήσιμης συνάρτησης με μεγάλη ακρίβεια.

Το διαφορικό βρίσκεται συνήθως πολύ πιο εύκολα από την αύξηση μιας συνάρτησης, επομένως ο τύπος (24.3) χρησιμοποιείται ευρέως στην υπολογιστική πρακτική.

<< Пример 24.3

Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της αύξησης της συνάρτησης y \u003d x 3 -2x + 1 για x \u003d 2 και ∆x \u003d 0,001.

Λύση: Εφαρμόζουμε τον τύπο (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

Άρα, ∆ου» 0,01.

Ας δούμε τι σφάλμα έγινε με τον υπολογισμό του διαφορικού της συνάρτησης αντί της προσαύξησής της. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε Δу:

∆y \u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);

Το απόλυτο σφάλμα προσέγγισης ισούται με

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Αντικαθιστώντας σε ισότητα (24.3) τις τιμές ∆ου και dy, παίρνουμε

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Ο τύπος (24.4) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των κατά προσέγγιση τιμών των συναρτήσεων.

<< Пример 24.4

Υπολογίστε περίπου το arctg(1,05).

Λύση: Θεωρήστε τη συνάρτηση ƒ(х)=arctgx. Σύμφωνα με τον τύπο (24.4) έχουμε:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

δηλ.

Αφού x+∆x=1,05, τότε για x=1 και ∆x=0,05 παίρνουμε:

Μπορεί να αποδειχθεί ότι το απόλυτο σφάλμα του τύπου (24.4) δεν υπερβαίνει την τιμή M (∆x) 2, όπου M είναι η μεγαλύτερη τιμή του |ƒ"(x)| στο τμήμα [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Ποια απόσταση θα διανύσει το σώμα σε ελεύθερη πτώση στη Σελήνη σε 10,04 δευτερόλεπτα από την αρχή της πτώσης. Εξίσωση ελεύθερης πτώσης σώματος

H \u003d g l t 2 /2, g l \u003d 1,6 m / s 2.

Λύση: Απαιτείται η εύρεση του H(10,04). Χρησιμοποιούμε τον κατά προσέγγιση τύπο (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Σε t=10 s και ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, βρίσκουµε

Εργασία (για ανεξάρτητη λύση).Σώμα μάζας m=20 kg κινείται με ταχύτητα ν=10,02 m/s. Να υπολογίσετε περίπου την κινητική ενέργεια του σώματος

24.6. Διαφορικά υψηλότερης τάξης

Έστω y=ƒ(x) μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση και το όρισμά της x είναι ανεξάρτητη μεταβλητή.Τότε το πρώτο του διαφορικό dy=ƒ"(x)dx είναι επίσης συνάρτηση του x· μπορεί κανείς να βρει το διαφορικό αυτής της συνάρτησης.

Το διαφορικό από το διαφορικό της συνάρτησης y=ƒ(x) λέγεται το δεύτερο διαφορικό της(ή διαφορικό δεύτερης τάξης) και συμβολίζεται d 2 y ή d 2 ƒ(x).

Άρα, εξ ορισμού d 2 y=d(dy). Ας βρούμε την έκφραση για το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης y=ƒ(x).

Εφόσον το dx=∆x δεν εξαρτάται από το x, υποθέτουμε ότι το dx είναι σταθερό όταν διαφοροποιούμε:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 δηλ.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)

Εδώ το dx 2 σημαίνει (dx) 2 .

Το διαφορικό τρίτης τάξης ορίζεται και βρίσκεται παρόμοια

d 3 y \u003d d (d 2 y) \u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

Και, γενικά, το διαφορικό της νης τάξης είναι το διαφορικό του διαφορικού της (n-1) ης τάξης: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Ως εκ τούτου, βρίσκουμε ότι, ειδικότερα, για n=1,2,3

αντίστοιχα παίρνουμε:

Δηλαδή, η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να θεωρηθεί ως ο λόγος του διαφορικού της της αντίστοιχης τάξης προς την αντίστοιχη ισχύ του διαφορικού της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Σημειώστε ότι όλοι οι παραπάνω τύποι ισχύουν μόνο εάν το x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Εάν η συνάρτηση y \u003d ƒ (x), όπου x - συνάρτηση κάποιας άλλης ανεξάρτητης μεταβλητής, τότε τα διαφορικά της δεύτερης και ανώτερης τάξης δεν έχουν την ιδιότητα αναλλοίωτης μορφής και υπολογίζονται χρησιμοποιώντας άλλους τύπους. Ας το δείξουμε αυτό με το παράδειγμα ενός διαφορικού δεύτερης τάξης.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφορικού προϊόντος (d(uv)=vdu+udv), παίρνουμε:

d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , δηλ.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24.6)

Συγκρίνοντας τους τύπους (24.5) και (24.6), βλέπουμε ότι στην περίπτωση μιας μιγαδικής συνάρτησης, ο διαφορικός τύπος δεύτερης τάξης αλλάζει: ο δεύτερος όρος εμφανίζεται ƒ "(x) d 2 x.

Είναι σαφές ότι αν το x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

και ο τύπος (24.6) περνάει στον τύπο (24.5).

<< Пример 24.6

Να βρείτε d 2 y αν y=e 3x και x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Λύση: Αφού y"=3e 3x, y"=9e 3x, τότε με τον τύπο (24.5) έχουμε d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Να βρείτε d 2 y αν y=x 2 και x=t 3 +1 και t είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Λύση: Χρησιμοποιούμε τον τύπο (24.6): αφού

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,

έπειτα d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Άλλη λύση: y=x 2 , x=t 3 +1. Επομένως, y \u003d (t 3 +1) 2. Στη συνέχεια με τον τύπο (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Διαφορικά υψηλότερης τάξης.

Έστω η συνάρτηση y= ¦(x) να οριστεί σε κάποιο διάστημα X (για παράδειγμα, ένα διάστημα) και να έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε κάθε εσωτερικό σημείο. Τότε το διαφορικό του είναι dy=y 1 dx. Θα το ονομάσουμε διαφορικό πρώτης τάξης.

Σε κάθε συγκεκριμένο σημείο, το διαφορικό της συνάρτησης είναι ένας αριθμός. Στο διάστημα είναι συνάρτηση του x. Επομένως, μπορούμε να μιλάμε για διαφορά από την πρώτη διαφορά.

Ορισμός: Το διαφορικό του διαφορικού πρώτης τάξης της συνάρτησης y \u003d ¦ (x) ονομάζεται διαφορικό δεύτερης τάξης αυτής της συνάρτησης και συμβολικά γράφεται d (dy) \u003d d 2 y.

Γενικά: το διαφορικό της ν-ης τάξης της συνάρτησης y \u003d ¦ (x) ονομάζεται διαφορικό του διαφορικού (n-1) της τάξης της συνάρτησης d n y \u003d d (d n-1 y).

Οι ονομασίες d¦(x) , d 2 ¦(x) , d n ¦(x) ισχύουν επίσης

Τα διαφορικά υψηλότερης τάξης από την πρώτη ονομάζονται διαφορικά υψηλότερων τάξεων.

Κατά τον υπολογισμό διαφορών υψηλότερων τάξεων, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι ο dx είναι ένας αυθαίρετος αριθμός που δεν εξαρτάται από το x και όταν διαφοροποιείται ως προς το x πρέπει να θεωρείται σταθερός παράγοντας.

Επομένως, dy \u003d y 1 dx, d 2 y \u003d d (dy) \u003d d (y 1 dx) \u003d dx d (y 1) \u003d dx (y 11 dx) \u003d y 11 (d . Συνηθίζεται να γράφεται ο βαθμός του διαφορικού χωρίς αγκύλες (dx) 2 = dx 2.

Έτσι, d 2 y \u003d y ''dx 2, αλλά αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με το d (x 2) \u003d 2xdx

Ομοίως: d 3 y \u003d d (y 11 dx 2) \u003d dx 2 d (y 11) \u003d dx 2 (y 111 dx) \u003d y 111 dx 3; d 3 y \u003d y 111 dx 3.

Εδώ πάλι dx 3 \u003d dx dx dx, και όχι d (x 3) \u003d 3x 2 dx

d n y \u003d y n dx n

Εδώ dx n = (dx) n όπως πριν.

Από τον γενικό τύπο για το διαφορικό nης τάξης, συγκεκριμένα, ακολουθεί ο τύπος για την παράγωγο nης τάξης.

Y (n) \u003d d n y / dx n, δηλ. η παράγωγος της νης τάξης είναι το πηλίκο του ντος διαφορικού της συνάρτησης και του nου βαθμού της διαφ. ανεξάρτητος αλλαγή.

Είδαμε ότι η μορφή του πρώτου διαφορικού dy=y 1 dx δεν εξαρτάται από το αν το x είναι ανεξάρτητη μεταβλητή ή το x είναι το ίδιο συνάρτηση κάποιας μεταβλητής t.

Η μορφή του διαφορικού τάξης n=2 δεν διατηρείται πλέον σε αυτή την περίπτωση, δεν έχει αμετάβλητο.

Στην περίπτωση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής x d 2 y \u003d y 11 dx 2 είναι διαφορικό δεύτερης τάξης. Έστω τώρα х= , dу 1 =у 1 dх. Αλλά τώρα το dx δεν είναι πλέον αυθαίρετη σταθερά, dx = dt, δηλ. Το dx- είναι συνάρτηση του t και επομένως, όταν βρίσκουμε το d 2 y, δεν μπορούμε να βγάλουμε το dx από το διαφορικό πρόσημο.

d 2 y \u003d d (y 1 dx) \u003d d (y 1) dx + y 1 d (dx) \u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, π.χ.

d 2 y \u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x - η μορφή του διαφορικού έχει αλλάξει, ο όρος y 1 d 2 x έχει προστεθεί. Επιπλέον, η μορφή d n y δεν διατηρείται. Ως εκ τούτου, στην περίπτωση που το x δεν είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, ο προσδιορισμός y (n) = d p y / dx p θα πρέπει να κατανοηθεί ως ένα ενιαίο σύμβολο και όχι ως λόγος διαφορών.

Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων δύο μεταβλητών.
Έννοια και παραδείγματα λύσεων

Σε αυτό το μάθημα, θα συνεχίσουμε τη γνωριμία μας με τη συνάρτηση δύο μεταβλητών και θα εξετάσουμε, ίσως, την πιο κοινή θεματική εργασία - την εύρεση επιμέρους παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης, καθώς και το ολικό διαφορικό της συνάρτησης. Οι φοιτητές μερικής φοίτησης κατά κανόνα αντιμετωπίζουν επιμέρους παράγωγα στο 1ο έτος στο 2ο εξάμηνο. Επιπλέον, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, το έργο της εύρεσης μερικών παραγώγων βρίσκεται σχεδόν πάντα στην εξέταση.

Για να μελετήσετε αποτελεσματικά το παρακάτω υλικό, εσείς απαραίτητηνα είναι σε θέση να βρει λίγο πολύ με σιγουριά τις «συνήθεις» παραγώγους μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Μπορείτε να μάθετε πώς να χειρίζεστε σωστά τα παράγωγα στα μαθήματα Πώς να βρείτε το παράγωγο;και Παράγωγο σύνθετης συνάρτησης. Χρειαζόμαστε επίσης έναν πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων και κανόνων διαφοροποίησης, είναι πιο βολικό εάν είναι διαθέσιμος σε έντυπη μορφή. Μπορείτε να βρείτε υλικό αναφοράς στη σελίδα Μαθηματικοί τύποι και πίνακες.

Ας επαναλάβουμε γρήγορα την έννοια της συνάρτησης δύο μεταβλητών, θα προσπαθήσω να περιοριστώ στο ελάχιστο. Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών συνήθως γράφεται ως , με τις μεταβλητές να καλούνται ανεξάρτητες μεταβλητέςή επιχειρήματα.

Παράδειγμα: - συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Μερικές φορές χρησιμοποιείται ο συμβολισμός. Υπάρχουν επίσης εργασίες όπου χρησιμοποιείται το γράμμα αντί για ένα γράμμα.

Από γεωμετρική άποψη, συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι τις περισσότερες φορές μια επιφάνεια τρισδιάστατου χώρου (επίπεδο, κύλινδρος, μπάλα, παραβολοειδές, υπερβολοειδές κ.λπ.). Αλλά, στην πραγματικότητα, αυτή είναι ήδη πιο αναλυτική γεωμετρία και έχουμε μαθηματική ανάλυση στην ημερήσια διάταξη, την οποία ο καθηγητής μου στο πανεπιστήμιο δεν με άφησε ποτέ να διαγράψω είναι το «άλογό μου».

Περνάμε στο ζήτημα της εύρεσης μερικών παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης. Έχω μερικά καλά νέα για όσους από εσάς έχετε πιει μερικά φλιτζάνια καφέ και έχετε διάθεση για αφάνταστα δύσκολο υλικό: οι μερικές παράγωγοι είναι σχεδόν οι ίδιες με τις "συνήθεις" παράγωγες μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Για τις μερικές παραγώγους ισχύουν όλοι οι κανόνες διαφοροποίησης και ο πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων. Υπάρχουν μόνο μερικές μικρές διαφορές που θα μάθουμε τώρα:

... ναι, παρεμπιπτόντως, για αυτό το θέμα δημιούργησα μικρό βιβλίο pdf, που θα σας επιτρέψει να «γεμίσετε το χέρι σας» σε λίγες μόνο ώρες. Αλλά, χρησιμοποιώντας τον ιστότοπο, φυσικά, θα έχετε επίσης το αποτέλεσμα - ίσως λίγο πιο αργά:

Παράδειγμα 1

Να βρείτε μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης μιας συνάρτησης

Αρχικά, βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. Υπάρχουν δύο από αυτούς.

Σημειογραφία:
ή - μερική παράγωγος σε σχέση με το "x"
ή - μερικό παράγωγο σε σχέση με το "y"

Ας ξεκινήσουμε με . Όταν βρούμε τη μερική παράγωγο ως προς το "x", τότε η μεταβλητή θεωρείται σταθερή (σταθερός αριθμός).

Σχόλια για τις ενέργειες που έγιναν:

(1) Το πρώτο πράγμα που κάνουμε όταν βρίσκουμε τη μερική παράγωγο είναι να συμπεράνουμε όλασυνάρτηση σε παρένθεση κάτω από την παύλα με δείκτη.

Σημαντική προσοχή!Οι συνδρομητές ΔΕΝ ΧΑΝΟΥΝ στην πορεία της λύσης. Σε αυτήν την περίπτωση, αν σχεδιάσετε ένα "εγκεφαλικό επεισόδιο" κάπου χωρίς, τότε ο δάσκαλος, τουλάχιστον, μπορεί να το βάλει δίπλα στην εργασία (να δαγκώσει αμέσως μέρος της βαθμολογίας για απροσεξία).

(2) Χρησιμοποιήστε τους κανόνες διαφοροποίησης , . Για ένα απλό παράδειγμα όπως αυτό, και οι δύο κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν στο ίδιο βήμα. Προσοχή στον πρώτο όρο: αφού θεωρείται σταθερά, και οποιαδήποτε σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου, μετά το βγάζουμε από αγκύλες. Δηλαδή, σε αυτήν την κατάσταση, δεν είναι καλύτερο από έναν κανονικό αριθμό. Ας δούμε τώρα τον τρίτο όρο: εδώ, αντίθετα, δεν υπάρχει τίποτα να βγάλουμε. Εφόσον είναι σταθερά, είναι επίσης σταθερά, και από αυτή την άποψη δεν είναι καλύτερος από τον τελευταίο όρο - το «επτά».

(3) Χρησιμοποιούμε παράγωγα σε πίνακα και .

(4) Απλοποιούμε, ή, όπως μου αρέσει να λέω, «συνδυάζουμε» την απάντηση.

Τώρα . Όταν βρούμε τη μερική παράγωγο ως προς το "y", τότε τη μεταβλητήθεωρείται σταθερά (σταθερός αριθμός).

(1) Χρησιμοποιούμε τους ίδιους κανόνες διαφοροποίησης , . Στον πρώτο όρο βγάζουμε τη σταθερά πέρα ​​από το πρόσημο της παραγώγου, στον δεύτερο όρο δεν μπορεί να αφαιρεθεί τίποτα γιατί είναι ήδη σταθερά.

(2) Χρησιμοποιούμε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων. Αλλάξτε διανοητικά στον πίνακα όλα τα "Χ" σε "Υ". Δηλαδή, αυτός ο πίνακας ισχύει εξίσου (και μάλιστα για σχεδόν οποιοδήποτε γράμμα). Συγκεκριμένα, οι τύποι που χρησιμοποιούμε μοιάζουν με αυτό: και .

Ποια είναι η έννοια των μερικών παραγώγων;

Στον πυρήνα τους, τα μερικά παράγωγα 1ης τάξης μοιάζουν «συνηθισμένο» παράγωγο:

- αυτό είναι λειτουργίες, που χαρακτηρίζουν ρυθμός αλλαγήςλειτουργεί προς την κατεύθυνση των αξόνων και αντίστοιχα. Έτσι, για παράδειγμα, η συνάρτηση χαρακτηρίζει την απότομη κλίση των «ανηφοριών» και των «πλαγιών» επιφάνειεςπρος την κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης, και η συνάρτηση μας λέει για το «ανάγλυφο» της ίδιας επιφάνειας προς την κατεύθυνση του άξονα τεταγμένων.

! Σημείωση : εδώ αναφέρεται σε οδηγίες που είναι παράλληλεςάξονες συντεταγμένων.

Για λόγους καλύτερης κατανόησης, ας εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου και ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης («ύψος») σε αυτό:
- και τώρα φανταστείτε ότι είστε εδώ (ΣΤΗΝ ΠΟΛΥ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ).

Υπολογίζουμε τη μερική παράγωγο ως προς το "x" σε ένα δεδομένο σημείο:

Το αρνητικό πρόσημο της παραγώγου "Χ" μας λέει για φθίνωνσυναρτήσεις σε σημείο προς την κατεύθυνση του άξονα x. Αν κάνουμε δηλαδή ένα μικρό-μικρό (απειροελάχιστος)βήμα προς την άκρη του άξονα (παράλληλα με αυτόν τον άξονα), στη συνέχεια κατεβείτε την κλίση της επιφάνειας.

Τώρα ανακαλύπτουμε τη φύση του "εδάφους" προς την κατεύθυνση του άξονα y:

Η παράγωγος ως προς το "y" είναι θετική, επομένως, σε σημείο κατά μήκος του άξονα, η συνάρτηση αυξάνει. Αν είναι αρκετά απλό, τότε εδώ περιμένουμε μια ανηφόρα.

Επιπλέον, η μερική παράγωγος σε ένα σημείο χαρακτηρίζει ρυθμός αλλαγήςλειτουργεί προς τη σχετική κατεύθυνση. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή που προκύπτει modulo- όσο πιο απότομη είναι η επιφάνεια και αντίστροφα, όσο πιο κοντά στο μηδέν, τόσο πιο επίπεδη είναι η επιφάνεια. Έτσι, στο παράδειγμά μας, η "κλίση" προς την κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης είναι πιο απότομη από το "βουνό" προς την κατεύθυνση του άξονα τεταγμένης.

Αλλά αυτά ήταν δύο ιδιωτικά μονοπάτια. Είναι ξεκάθαρο ότι από το σημείο στο οποίο βρισκόμαστε, (και γενικά από οποιοδήποτε σημείο της δεδομένης επιφάνειας)μπορούμε να κινηθούμε προς κάποια άλλη κατεύθυνση. Έτσι, υπάρχει ενδιαφέρον για τη σύνταξη ενός γενικού «χάρτου πλοήγησης» που θα μας έλεγε για το «τοπίο» της επιφάνειας. αν είναι δυνατόνσε κάθε σημείο πεδίο εφαρμογής αυτής της λειτουργίαςμε όλους τους διαθέσιμους τρόπους. Θα μιλήσω για αυτό και άλλα ενδιαφέροντα πράγματα σε ένα από τα επόμενα μαθήματα, αλλά προς το παρόν, ας επιστρέψουμε στην τεχνική πλευρά του θέματος.

Συστηματοποιούμε τους στοιχειώδεις κανόνες που εφαρμόζονται:

1) Όταν διαφοροποιούμε κατά , τότε η μεταβλητή θεωρείται σταθερά.

2) Όταν η διαφοροποίηση πραγματοποιείται σύμφωνα με, τότε θεωρείται σταθερά.

3) Οι κανόνες και ο πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων ισχύουν και ισχύουν για οποιαδήποτε μεταβλητή (ή οποιαδήποτε άλλη) ως προς την οποία πραγματοποιείται διαφοροποίηση.

Βήμα δυο. Βρίσκουμε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης. Είναι τέσσερις από αυτούς.

Σημειογραφία:
ή - η δεύτερη παράγωγος σε σχέση με το "x"
ή - η δεύτερη παράγωγος σε σχέση με το "y"
ή - μικτόςπαράγωγο "x κατά y"
ή - μικτόςπαράγωγο "Υ με Χ"

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τη δεύτερη παράγωγο. Με απλά λόγια, η δεύτερη παράγωγος είναι η παράγωγος της πρώτης παραγώγου.

Για ευκολία, θα ξαναγράψω τα μερικά παράγωγα πρώτης τάξης που έχουν ήδη βρεθεί:

Πρώτα βρίσκουμε τις μικτές παράγωγες:

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι απλά: παίρνουμε τη μερική παράγωγο και τη διαφοροποιούμε ξανά, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, ήδη με το "y".

Ομοίως:

Σε πρακτικά παραδείγματα, μπορείτε να εστιάσετε στην ακόλουθη ισότητα:

Έτσι, μέσω μικτών παραγώγων δεύτερης τάξης, είναι πολύ βολικό να ελέγξουμε αν βρήκαμε σωστά τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης.

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο ως προς το "x".
Καμία εφεύρεση, παίρνουμε και διαφοροποιήστε το ξανά με "Χ":

Ομοίως:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά την εύρεση , πρέπει να δείξετε αυξημένη προσοχή, αφού δεν υπάρχουν θαυματουργές ισότητες για να τις δοκιμάσουν.

Τα δεύτερα παράγωγα βρίσκουν επίσης ευρεία πρακτική εφαρμογή, ειδικότερα, χρησιμοποιούνται στο πρόβλημα της εύρεσης άκρα συνάρτησης δύο μεταβλητών. Όλα όμως έχουν τον χρόνο τους:

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε τις επιμέρους παραγώγους πρώτης τάξης της συνάρτησης στο σημείο . Βρείτε παράγωγα δεύτερης τάξης.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος). Εάν δυσκολεύεστε να διαφοροποιήσετε τις ρίζες, επιστρέψτε στο μάθημα Πώς να βρείτε το παράγωγο;Σε γενικές γραμμές, πολύ σύντομα θα μάθετε πώς να βρίσκετε παρόμοια παράγωγα εν κινήσει.

Γεμίζουμε το χέρι μας με πιο σύνθετα παραδείγματα:

Παράδειγμα 3

Ελεγξε εκείνο . Γράψτε το συνολικό διαφορικό της πρώτης τάξης.

Λύση: Βρίσκουμε μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

Προσοχή στον δείκτη: δίπλα στο «x» δεν απαγορεύεται να γράψετε σε αγκύλες ότι είναι σταθερά. Αυτό το σημάδι μπορεί να είναι πολύ χρήσιμο για αρχάριους για να διευκολύνουν την πλοήγηση στη λύση.

Περαιτέρω σχόλια:

(1) Βγάζουμε όλες τις σταθερές έξω από το πρόσημο της παραγώγου. Σε αυτή την περίπτωση, και , και, ως εκ τούτου, το γινόμενο τους θεωρείται σταθερός αριθμός.

(2) Μην ξεχνάτε πώς να διαφοροποιείτε σωστά τις ρίζες.

(1) Βγάζουμε όλες τις σταθερές από το πρόσημο της παραγώγου, στην περίπτωση αυτή η σταθερά είναι .

(2) Κάτω από τον πρώτο, έχουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων, επομένως, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντος .

(3) Μην ξεχνάτε ότι είναι μια σύνθετη συνάρτηση (αν και η απλούστερη από τις σύνθετες). Χρησιμοποιούμε τον αντίστοιχο κανόνα: .

Τώρα βρίσκουμε μικτές παραγώγους δεύτερης τάξης:

Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι υπολογισμοί είναι σωστοί.

Ας γράψουμε τη συνολική διαφορά. Στο πλαίσιο της εργασίας που εξετάζουμε, δεν έχει νόημα να πούμε ποια είναι η συνολική διαφορά μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Είναι σημαντικό ότι αυτή η πολύ διαφορά χρειάζεται πολύ συχνά να καταγράφεται σε πρακτικά προβλήματα.

Συνολική διαφορά πρώτης παραγγελίαςοι συναρτήσεις δύο μεταβλητών έχουν τη μορφή:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Δηλαδή, στον τύπο απλά πρέπει να αντικαταστήσετε ανόητα τα ήδη βρέθηκαν μερικές παράγωγα πρώτης τάξης. Διαφορικά εικονίδια και σε αυτήν και παρόμοιες καταστάσεις, αν είναι δυνατόν, είναι καλύτερο να γράψετε σε αριθμητές:

Και μετά από επανειλημμένο αίτημα των αναγνωστών, πλήρες διαφορικό δεύτερης τάξης.

Μοιάζει με αυτό:

Βρείτε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τις «μονογράμματες» παράγωγες 2ης τάξης:

και γράψτε το "τέρας", "κολλώντας" προσεκτικά τα τετράγωνα, το γινόμενο και μην ξεχάσετε να διπλασιάσετε τη μικτή παράγωγο:

Δεν πειράζει αν κάτι φαινόταν δύσκολο, μπορείτε πάντα να επιστρέψετε στα παράγωγα αργότερα, αφού χρησιμοποιήσετε την τεχνική διαφοροποίησης:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε μερικές παραγώγους πρώτης τάξης μιας συνάρτησης . Ελεγξε εκείνο . Γράψτε το συνολικό διαφορικό της πρώτης τάξης.

Εξετάστε μια σειρά παραδειγμάτων με σύνθετες συναρτήσεις:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε μερικές παραγώγους της πρώτης τάξης της συνάρτησης .

Λύση:

Παράδειγμα 6

Να βρείτε μερικές παραγώγους πρώτης τάξης μιας συνάρτησης .
Καταγράψτε τη συνολική διαφορά.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απάντηση στο τέλος του μαθήματος). Δεν θα δημοσιεύσω την πλήρη λύση γιατί είναι αρκετά απλή.

Αρκετά συχνά, όλοι οι παραπάνω κανόνες εφαρμόζονται συνδυαστικά.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε μερικές παραγώγους πρώτης τάξης μιας συνάρτησης .

(1) Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος

(2) Ο πρώτος όρος σε αυτή την περίπτωση θεωρείται σταθερός, αφού δεν υπάρχει τίποτα στην έκφραση που να εξαρτάται από το "x" - μόνο "y". Ξέρεις, είναι πάντα ωραίο όταν ένα κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε μηδέν). Για τον δεύτερο όρο, εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων. Παρεμπιπτόντως, υπό αυτή την έννοια, τίποτα δεν θα άλλαζε εάν αντ' αυτού δινόταν μια συνάρτηση - είναι σημαντικό αυτό εδώ το γινόμενο δύο συναρτήσεων, ΚΑΘΕ ένα από τα οποία εξαρτάται από "Χ", και επομένως, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα διαφοροποίησης του προϊόντος. Για τον τρίτο όρο εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης.

(1) Ο πρώτος όρος και στον αριθμητή και στον παρονομαστή περιέχει ένα "y", επομένως, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του πηλίκου: . Ο δεύτερος όρος εξαρτάται ΜΟΝΟ από το "x", που σημαίνει ότι θεωρείται σταθερά και μετατρέπεται σε μηδέν. Για τον τρίτο όρο, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης.

Για όσους αναγνώστες έφτασαν με θάρρος σχεδόν στο τέλος του μαθήματος, θα σας πω ένα παλιό ανέκδοτο του Μεχμάτοφ για εκτόνωση:

Κάποτε εμφανίστηκε ένα κακό παράγωγο στον χώρο των συναρτήσεων και πώς πήγε να διαφοροποιήσει τους πάντες. Όλες οι λειτουργίες σκορπίζονται προς όλες τις κατευθύνσεις, κανείς δεν θέλει να στρίψει! Και μόνο μία λειτουργία δεν ξεφεύγει πουθενά. Η παράγωγος το πλησιάζει και ρωτά:

«Γιατί δεν τρέχεις μακριά μου;»

- Χα. Αλλά δεν με νοιάζει, γιατί είμαι «ε στη δύναμη του x», και δεν μπορείς να μου κάνεις τίποτα!

Στο οποίο το κακό παράγωγο με ένα ύπουλο χαμόγελο απαντά:

- Εδώ κάνεις λάθος, θα σε διαφοροποιήσω με το «y», οπότε μηδέν για σένα.

Ποιος κατάλαβε το αστείο, κατέκτησε τα παράγωγα, τουλάχιστον για την «τρόικα»).

Παράδειγμα 8

Να βρείτε μερικές παραγώγους πρώτης τάξης μιας συνάρτησης .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Μια ολοκληρωμένη λύση και ένα δείγμα σχεδίασης του προβλήματος βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Λοιπόν, αυτό είναι σχεδόν όλο. Τέλος, δεν μπορώ παρά να παρακαλέσω τους μαθηματικούς με ένα ακόμη παράδειγμα. Δεν πρόκειται καν για ερασιτέχνες, ο καθένας έχει διαφορετικό επίπεδο μαθηματικής κατάρτισης - υπάρχουν άνθρωποι (και όχι τόσο σπάνιοι) που τους αρέσει να ανταγωνίζονται πιο δύσκολες εργασίες. Αν και, το τελευταίο παράδειγμα σε αυτό το μάθημα δεν είναι τόσο περίπλοκο όσο δυσκίνητο όσον αφορά τους υπολογισμούς.

Έστω y \u003d f (x) μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση και το όρισμά της x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Τότε το πρώτο της διαφορικό dy = f ′ (x )dx είναι επίσης συνάρτηση otx ; βρείτε το διαφορικό αυτής της συνάρτησης.

Το διαφορικό από το διαφορικό της συνάρτησης y \u003d f (x) ονομάζεται του δεύτερο διαφορικό(ή διαφορικό δεύτερης τάξης) και συμβολίζεται d 2 y ή d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Εδώ το dx 2 σημαίνει (dx)2.

Το διαφορικό τρίτης τάξης ορίζεται και βρίσκεται ομοίως: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3 .

Γενικά, το διαφορικό n-ης τάξης είναι το διαφορικό του διαφορικού (n-1)-ης τάξης: d n y \u003d d (d n - 1 y ) \u003d f (n) (x) (dx) n.

Από εδώ βρίσκουμε ότι f (n) (x) = d n y . Συγκεκριμένα, για n = 1, 2, 3, αντίστοιχα, λαμβάνουμε: dx n

f′(x)=			f′′(x)=	d2y		f′′′(x) =	δ 3 ε	Εκείνοι. Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να θεωρηθεί ως

ο λόγος του διαφορικού του της αντίστοιχης τάξης προς τον αντίστοιχο βαθμό του διαφορικού της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Σημειώστε ότι όλοι οι παραπάνω τύποι ισχύουν μόνο εάν το x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή.

Παράδειγμα. Να βρείτε d 2 y αν y = e 3 x τους είναι ανεξάρτητη μεταβλητή Λύση: αφού y ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x , τότε έχουμε d 2 y = 9e 3 x dx 2 .

Κανόνες του L'Hospital

Οι κανόνες του L'Hopital χρησιμοποιούνται για να αποκαλύψουν αβεβαιότητες της μορφής 0 0 και ∞ ∞ , οι οποίες ονομάζονται βασικές.

Θεώρημα 3. (Κανόνας L'Hopital για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων της μορφής 0 0 ).

Έστω οι συναρτήσεις f (x) και g (x) συνεχείς και διαφορίσιμες κοντά στα σημεία 0 και

εξαφανίζονται σε αυτό το σημείο: f (x 0 ) =g (x 0 ) = 0. Έστω g ′ (x )≠ 0 στην περιοχή του σημείου x 0 . Αν ένα

υπάρχει ένα όριο

f'(x)

L, λοιπόν

f(x)

f'(x)

g(x)

g (x)

x → x0

x → x0

x → x0

Παράδειγμα. Βρείτε lim1 − cos6 x .

x → 0

2x2

Λύση: λιμ

1− συν 6x

σελ. Λ.

6 sin 6x

σελ. Λ.

36 cos 6x

x → 0

x → 0

x → 0

Θεώρημα 4. (Κανόνας L'Hopital για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων της μορφής ∞ ∞ ).

Έστω οι συναρτήσεις f (x) και g (x) συνεχείς και διαφοροποιήσιμες σε μια γειτονιά των σημείων 0 (εκτός από
ίσως σημεία x 0 ), σε αυτή τη γειτονιά limf (x ) = limg (x ) = ∞ ,g ′ (x )≠ 0. Αν υπάρχει
	f'(x)			f(x)			f'(x)	x → x0	x → x0
όριο lim
	g (x)			g(x)
x → x0			x → x0			x → x0	g (x)

tg 3x

Παράδειγμα. Βρείτε lim tg 5x

x → π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim3cos

σελ. Λ.

σελ. Λ.

x→

tg5x

x→

x→

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10x

5 x →

− 6 cos 3x αμαρτία 3x

x→

sin6x

x→

6cos6x

Οι αβεβαιότητες της μορφής , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], μειώνονται σε δύο κύριους τρόπους ταυτόσημων μετασχηματισμών.

Έστω f (x) → 0 και g (x) → 0 ως x → x 0. Τότε οι παρακάτω μετασχηματισμοί είναι προφανείς:

lim(f (x) g (x)) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x → x

x → x

x → x

g(x)

g(x)

Βρείτε lim tg

Χ

(2 − x ).

x → 2

2 − x

0=λίμ

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

σελ. Λ.

x → 2

x → 2

Χ

ctg 4

x → 2

2 x

Έστω f (x) → ∞ και g (x) → ∞ ως x → x 0. Τότε μπορείτε να κάνετε αυτό:

lim (f (x) −g (x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x → x0

x → x0

x → x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Έστω f (x) → 1, και g (x) → ∞, ή f (x) → ∞, και g (x) → 0, ή f (x) → 0, και g (x) → 0 με x → x 0.

Για να βρούμε το όριο της μορφής lim f (x) g (x) ανακαλούμε την ιδιότητα του λογάριθμου

x → x0

e lnf (x) g (x) \u003d f (x) g (x).

Παράδειγμα. Βρείτε lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .