Βρείτε την πιθανότητα του καθορισμένου γεγονότος χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli. Σχέδιο Bernoulli

Ας μην σκεφτόμαστε τα υψηλά πράγματα για πολύ καιρό - ας ξεκινήσουμε αμέσως με τον ορισμό.

- αυτό συμβαίνει όταν εκτελούνται n ανεξάρτητα πειράματα του ίδιου τύπου, σε καθένα από τα οποία μπορεί να εμφανίζεται το συμβάν Α που μας ενδιαφέρει και είναι γνωστή η πιθανότητα αυτού του συμβάντος P(A) = p. Πρέπει να προσδιορίσουμε την πιθανότητα ότι, μετά από n δοκιμές, το γεγονός Α θα συμβεί ακριβώς k φορές.

Τα προβλήματα που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας το σχήμα Bernoulli είναι εξαιρετικά ποικίλα: από απλά (όπως «βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει 1 φορά στις 10») έως πολύ σοβαρά (για παράδειγμα, προβλήματα που αφορούν ποσοστά ή τραπουλόχαρτα). Στην πραγματικότητα, αυτό το σύστημα χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την παρακολούθηση της ποιότητας των προϊόντων και την αξιοπιστία διαφόρων μηχανισμών, όλα τα χαρακτηριστικά των οποίων πρέπει να είναι γνωστά πριν από την έναρξη της εργασίας.

Ας επιστρέψουμε στον ορισμό. Επειδή η μιλάμε γιασχετικά με τις ανεξάρτητες δοκιμές, και σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα του συμβάντος Α είναι η ίδια, μόνο δύο αποτελέσματα είναι πιθανά:

A είναι η εμφάνιση του γεγονότος Α με πιθανότητα p.
«όχι Α» - το γεγονός Α δεν εμφανίστηκε, κάτι που συμβαίνει με πιθανότητα q = 1 − p.

Η πιο σημαντική προϋπόθεση, χωρίς την οποία το σχήμα του Μπερνούλι χάνει το νόημά του, είναι η σταθερότητα. Όσα πειράματα κι αν διεξάγουμε, μας ενδιαφέρει το ίδιο γεγονός Α, που συμβαίνει με την ίδια πιθανότητα p.

Παρεμπιπτόντως, δεν περιορίζονται όλα τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων σε σταθερές συνθήκες. Οποιοσδήποτε αρμόδιος δάσκαλος θα σας πει για αυτό. ανώτερα μαθηματικά. Ακόμη και κάτι τόσο απλό όπως το να βγάζετε πολύχρωμες μπάλες από ένα κουτί δεν είναι εμπειρία με σταθερές συνθήκες. Έβγαλαν άλλη μια μπάλα - η αναλογία των χρωμάτων στο κουτί άλλαξε. Κατά συνέπεια, έχουν αλλάξει και οι πιθανότητες.

Εάν οι συνθήκες είναι σταθερές, μπορούμε να προσδιορίσουμε με ακρίβεια την πιθανότητα το γεγονός Α να συμβεί ακριβώς k φορές από το n δυνατό. Ας διατυπώσουμε αυτό το γεγονός με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Έστω η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε πείραμα σταθερή και ίση με p. Τότε η πιθανότητα το γεγονός Α να εμφανίζεται ακριβώς k φορές σε n ανεξάρτητες δοκιμές υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου C n k είναι ο αριθμός των συνδυασμών, q = 1 − p.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται: . Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι τα προβλήματα που δίνονται παρακάτω μπορούν να λυθούν πλήρως χωρίς τη χρήση αυτού του τύπου. Για παράδειγμα, μπορείτε να εφαρμόσετε τους τύπους για την προσθήκη πιθανοτήτων. Ωστόσο, το ποσό του υπολογισμού θα είναι απλώς μη ρεαλιστικό.

Εργο. Η πιθανότητα παραγωγής ενός ελαττωματικού προϊόντος σε ένα μηχάνημα είναι 0,2. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι σε μια παρτίδα δέκα εξαρτημάτων που παράγονται σε αυτό το μηχάνημα ακριβώς k μέρη θα είναι χωρίς ελαττώματα. Λύστε το πρόβλημα για k = 0, 1, 10.

Σύμφωνα με την συνθήκη, μας ενδιαφέρει το γεγονός Α απελευθέρωσης προϊόντων χωρίς ελαττώματα, που συμβαίνει κάθε φορά με πιθανότητα p = 1 − 0,2 = 0,8. Πρέπει να προσδιορίσουμε την πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός k φορές. Το συμβάν Α αντιπαραβάλλεται με το συμβάν «όχι Α», δηλ. απελευθέρωση ελαττωματικού προϊόντος.

Έτσι, έχουμε: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Έτσι, βρίσκουμε την πιθανότητα ότι όλα τα εξαρτήματα μιας παρτίδας είναι ελαττωματικά (k = 0), ότι υπάρχει μόνο ένα μέρος χωρίς ελαττώματα (k = 1) και ότι δεν υπάρχουν καθόλου ελαττωματικά μέρη (k = 10):

Εργο. Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Η προσγείωση ενός θυρεού και ενός κεφαλιού είναι εξίσου πιθανή. Βρείτε την πιθανότητα ότι:

το εθνόσημο θα εμφανιστεί τρεις φορές.

το εθνόσημο θα εμφανιστεί μια φορά.

το εθνόσημο θα εμφανιστεί τουλάχιστον δύο φορές.

Έτσι, μας ενδιαφέρει το γεγονός Α, όταν πέφτει το εθνόσημο. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι p = 0,5. Το γεγονός Α αντιπαραβάλλεται με το συμβάν «όχι Α», όταν το αποτέλεσμα είναι κεφαλές, το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα q = 1 − 0,5 = 0,5. Πρέπει να προσδιορίσουμε την πιθανότητα το εθνόσημο να εμφανίζεται k φορές.

Έτσι, έχουμε: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Ας προσδιορίσουμε την πιθανότητα να τραβηχτεί το εθνόσημο τρεις φορές, δηλ. k = 3:

Τώρα ας προσδιορίσουμε την πιθανότητα το εθνόσημο να εμφανίστηκε μόνο μία φορά, δηλ. k = 1:

Απομένει να καθοριστεί με ποια πιθανότητα θα εμφανιστεί το εθνόσημο τουλάχιστον δύο φορές. Η κύρια σύλληψη βρίσκεται στη φράση "όχι λιγότερο". Αποδεικνύεται ότι οποιοδήποτε k εκτός από το 0 και το 1 θα μας ταιριάζει, δηλ. πρέπει να βρούμε την τιμή του αθροίσματος X = P 6 (2) + P 6 (3) + … + P 6 (6).

Σημειώστε ότι αυτό το άθροισμα είναι επίσης ίσο με (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), δηλ. αρκετά από όλα πιθανές επιλογές«έκοψε» αυτά που έπεσε το εθνόσημο 1 φορά (k = 1) ή δεν έπεσε καθόλου (k = 0). Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ήδη το P 6 (1), μένει να βρούμε το P 6 (0):

Εργο. Η πιθανότητα η τηλεόραση να έχει κρυφά ελαττώματα είναι 0,2. Έφτασαν στην αποθήκη 20 τηλεοράσεις. Ποιο συμβάν είναι πιο πιθανό: ότι σε αυτήν την παρτίδα υπάρχουν δύο τηλεοράσεις με κρυφά ελαττώματα ή τρεις;

Συμβάν ενδιαφέροντος Α είναι η παρουσία ενός λανθάνοντος ελαττώματος. Υπάρχουν n = 20 τηλεοράσεις συνολικά, η πιθανότητα κρυφού ελαττώματος είναι p = 0,2. Αντίστοιχα, η πιθανότητα λήψης τηλεόρασης χωρίς κρυφό ελάττωμα είναι q = 1 − 0,2 = 0,8.

Λαμβάνουμε τις συνθήκες εκκίνησης για το σχήμα Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Ας βρούμε την πιθανότητα να έχουμε δύο «ελαττωματικές» τηλεοράσεις (k = 2) και τρεις (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Προφανώς, P 20 (3) > P 20 (2), δηλ. η πιθανότητα λήψης τριών τηλεοράσεων με κρυφά ελαττώματα είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα λήψης μόνο δύο τέτοιων τηλεοράσεων. Επιπλέον, η διαφορά δεν είναι αδύναμη.

Μια γρήγορη σημείωση για τα παραγοντικά. Πολλοί άνθρωποι βιώνουν ένα ασαφές αίσθημα δυσφορίας όταν βλέπουν την καταχώριση "0!" (διαβάστε "μηδενικό παραγοντικό"). Λοιπόν, 0! = 1 εξ ορισμού.

ΥΓ. Και η μεγαλύτερη πιθανότητα στην τελευταία εργασία είναι να αποκτήσετε τέσσερις τηλεοράσεις με κρυφά ελαττώματα. Υπολογίστε μόνοι σας και δείτε μόνοι σας.

Δείτε επίσης:

Ευχαριστούμε που διαβάζετε και μοιράζεστε με άλλους.

Κατά την επίλυση πιθανοτικών προβλημάτων, συναντά κανείς συχνά καταστάσεις στις οποίες το ίδιο τεστ επαναλαμβάνεται πολλές φορές και το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής είναι ανεξάρτητο από τα αποτελέσματα άλλων. Αυτό το πείραμα ονομάζεται επίσης αλλεπάλληλος ανεξάρτητα τεστ ή Σχέδιο Bernoulli.

Παραδείγματα επαναλαμβανόμενων δοκιμών:

1) επαναλαμβανόμενη αφαίρεση μιας μπάλας από την τεφροδόχο, υπό την προϋπόθεση ότι η αφαιρεθείσα μπάλα επανατοποθετηθεί στην τεφροδόχο αφού καταγραφεί το χρώμα της.

2) επανάληψη βολών από έναν σκοπευτή στον ίδιο στόχο, με την προϋπόθεση ότι η πιθανότητα επιτυχημένου χτυπήματος με κάθε βολή θεωρείται η ίδια (ο ρόλος του μηδενισμού δεν λαμβάνεται υπόψη).

Έτσι, αφήστε τις δοκιμές να είναι δυνατές ως αποτέλεσμα δύο αποτελέσματα: είτε θα εμφανιστεί ένα συμβάν ΕΝΑ, ή το αντίθετο γεγονός. Ας πραγματοποιήσουμε δοκιμές n Bernoulli. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι n δοκιμές είναι ανεξάρτητες. η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος $A$ σε κάθε μεμονωμένη ή μεμονωμένη δοκιμή είναι σταθερή και δεν αλλάζει από δοκιμή σε δοκιμή (δηλαδή, οι δοκιμές πραγματοποιούνται υπό τις ίδιες συνθήκες). Ας υποδηλώσουμε την πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος $A$ σε μία μόνο δοκιμή με το γράμμα $p$, δηλ. $p=P(A)$ και η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος (το συμβάν $A$ δεν συνέβη) - με το γράμμα $q=P(\overline(A))=1-p$.

Τότε η πιθανότητα ότι το γεγονός ΕΝΑθα εμφανιστεί σε αυτά nδοκιμές ακριβώς κφορές, εκφράζεται Ο τύπος του Bernoulli

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Η κατανομή του αριθμού των επιτυχιών (εμφανίσεις ενός γεγονότος) ονομάζεται διωνυμική κατανομή.

Online αριθμομηχανές για τον τύπο του Bernoulli

Μερικοί από τους πιο δημοφιλείς τύπους προβλημάτων που χρησιμοποιούν τον τύπο Bernoulli συζητούνται σε άρθρα και είναι εξοπλισμένοι με μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μπορείτε να ακολουθήσετε τους συνδέσμους:

Παραδείγματα λύσεων σε προβλήματα χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli

Παράδειγμα.Υπάρχουν 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες σε ένα δοχείο. Βγάζονται 4 μπάλες και κάθε μπάλα που αφαιρείται επιστρέφεται στη λάρνακα πριν βγάλει την επόμενη και ανακατευτούν οι μπάλες στην λάρνακα.

Ο τύπος του Bernoulli. Επίλυση προβλήματος

Βρείτε την πιθανότητα από τις τέσσερις κληρωμένες μπάλες να υπάρχουν 2 λευκές.

Λύση.Εκδήλωση ΕΝΑ- Το έπιασα λευκή μπάλα. Μετά οι πιθανότητες
, .
Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με
.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να μην έχει περισσότερα από τρία κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες.

Λύση.Πιθανότητα να έχεις κορίτσι
, Επειτα .

Ας βρούμε τις πιθανότητες να μην υπάρχουν κορίτσια στην οικογένεια, γεννήθηκαν ένα, δύο ή τρία κορίτσια:

, ,

, .

Επομένως, η απαιτούμενη πιθανότητα

Παράδειγμα.Μεταξύ των εξαρτημάτων που επεξεργάζεται ένας εργαζόμενος, κατά μέσο όρο το 4% είναι μη τυποποιημένα. Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ 30 εξαρτημάτων που λαμβάνονται για δοκιμή, δύο θα είναι μη τυπικά.

Λύση.Εδώ η εμπειρία συνίσταται στον έλεγχο ποιότητας καθενός από τα 30 εξαρτήματα.

Το γεγονός Α είναι «η εμφάνιση ενός μη τυπικού εξαρτήματος», η πιθανότητα του είναι τότε . Από εδώ, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli, βρίσκουμε
.

Παράδειγμα.Με κάθε μεμονωμένη βολή από όπλο, η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος είναι 0,9. Βρείτε την πιθανότητα από τις 20 βολές ο αριθμός των επιτυχημένων βολών να είναι τουλάχιστον 16 και όχι περισσότερες από 19.

Λύση.Υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli:

Παράδειγμα.Οι ανεξάρτητες δοκιμές συνεχίζονται μέχρι την εκδήλωση ΕΝΑδε θα συμβεί κμια φορά. Βρείτε την πιθανότητα ότι θα απαιτηθεί nδοκιμές (n ³ k), εάν σε καθεμία από αυτές .

Λύση.Εκδήλωση ΣΕ- ακριβώς nδοκιμές πριν κ- εμφάνιση γεγονότος ΕΝΑ– είναι το προϊόν των ακόλουθων δύο γεγονότων:

Δ – μέσα n-η δοκιμή ΕΝΑσυνέβη?

Γ - πρώτα (n–1)-η δοκιμές ΕΝΑεμφανίστηκε (k-1)μια φορά.

Το θεώρημα πολλαπλασιασμού και ο τύπος του Bernoulli δίνουν την απαιτούμενη πιθανότητα:

Πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση του διωνυμικού νόμου συνδέεται συχνά με υπολογιστικές δυσκολίες. Επομένως, με αυξανόμενες τιμές nΚαι ΜΣυνιστάται η χρήση κατά προσέγγιση τύπων (Poisson, Moivre-Laplace), που θα συζητηθούν στις επόμενες ενότητες.

Βίντεο φροντιστήριο Bernoulli formula

Για όσους προτιμούν μια συνεπή εξήγηση βίντεο, ένα βίντεο 15 λεπτών:

Τύπος συνολικής πιθανότητας: θεωρία και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Τύπος συνολικής πιθανότητας και υπό όρους πιθανότητες γεγονότων

Τύπος πλήρη πιθανότητα είναι συνέπεια των βασικών κανόνων της θεωρίας πιθανοτήτων - των κανόνων πρόσθεσης και των κανόνων πολλαπλασιασμού.

Ο τύπος συνολικής πιθανότητας σάς επιτρέπει να βρείτε την πιθανότητα ενός συμβάντος ΕΝΑ, που μπορεί να συμβεί μόνο με καθένα από αυτά nαμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα που σχηματίζονται πλήρες σύστημα, εάν οι πιθανότητες τους είναι γνωστές, και υπό όρους πιθανότητες εκδηλώσεις ΕΝΑσε σχέση με καθένα από τα συμβάντα του συστήματος είναι ίσα.

Τα γεγονότα ονομάζονται επίσης υποθέσεις· είναι αμοιβαία αποκλειόμενα. Επομένως, στη βιβλιογραφία μπορείτε επίσης να βρείτε την ονομασία τους όχι με το γράμμα σι, και το γράμμα H(υπόθεση).

Για την επίλυση προβλημάτων με τέτοιες συνθήκες, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη 3, 4, 5 ή γενική περίπτωση nπιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑ- με κάθε εκδήλωση.

Χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, λαμβάνουμε το άθροισμα των γινομένων της πιθανότητας καθενός από τα γεγονότα του συστήματος με υπό όρους πιθανότητα εκδηλώσεις ΕΝΑσχετικά με καθένα από τα συμβάντα του συστήματος.

21 Δοκιμές Bernoulli. Ο τύπος του Bernoulli

Δηλαδή η πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

ή γενικά

η οποία ονομάζεται τύπος συνολικής πιθανότητας .

Τύπος συνολικής πιθανότητας: παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα 1.Υπάρχουν τρία πανομοιότυπα δοχεία: η πρώτη έχει 2 άσπρες μπάλες και 3 μαύρες, η δεύτερη έχει 4 άσπρες και μία μαύρη, η τρίτη έχει τρεις άσπρες μπάλες. Κάποιος πλησιάζει τυχαία ένα από τα δοχεία και βγάζει μια μπάλα από αυτό. Εκμεταλλεύομαι τύπος συνολικής πιθανότητας, βρείτε την πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι λευκή.

Λύση. Εκδήλωση ΕΝΑ- η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας. Διατυπώνουμε τρεις υποθέσεις:

— επιλέγεται η πρώτη κάλπη·

— επιλέγεται η δεύτερη κάλπη·

— έχει επιλεγεί η τρίτη λάρνακα.

Υπό προϋποθέσεις πιθανότητες ενός γεγονότος ΕΝΑγια καθεμία από τις υποθέσεις:

, , .

Εφαρμόζουμε τον τύπο συνολικής πιθανότητας, με αποτέλεσμα την απαιτούμενη πιθανότητα:

Παράδειγμα 2.Στο πρώτο εργοστάσιο, από κάθε 100 λαμπτήρες, παράγονται κατά μέσο όρο 90 τυπικοί λαμπτήρες, στο δεύτερο - 95, στο τρίτο - 85, και τα προϊόντα αυτών των εργοστασίων αντιπροσωπεύουν το 50%, το 30% και το 20% , αντίστοιχα, όλων των λαμπτήρων που παρέχονται σε καταστήματα μιας συγκεκριμένης περιοχής. Βρείτε την πιθανότητα αγοράς ενός τυπικού λαμπτήρα.

Λύση. Ας υποδηλώσουμε την πιθανότητα αγοράς ενός τυπικού λαμπτήρα με ΕΝΑ, και τα γεγονότα ότι ο λαμπτήρας που αγοράστηκε κατασκευάστηκε στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο εργοστάσιο, αντίστοιχα, μέσω . Κατά συνθήκη, οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων είναι γνωστές: , και οι πιθανότητες υπό όρους του γεγονότος ΕΝΑγια καθένα από αυτά: , , . Αυτές είναι οι πιθανότητες αγοράς ενός τυπικού λαμπτήρα, υπό την προϋπόθεση ότι κατασκευάστηκε στο πρώτο, δεύτερο και τρίτο εργοστάσιο, αντίστοιχα.

Εκδήλωση ΕΝΑθα συμβεί εάν συμβεί ένα συμβάν κ— ο λαμπτήρας κατασκευάζεται στο πρώτο εργοστάσιο και είναι στάνταρ, ή εκδήλωση μεγάλο— ο λαμπτήρας κατασκευάζεται στο δεύτερο εργοστάσιο και είναι στάνταρ, ή εκδήλωση Μ— ο λαμπτήρας κατασκευάστηκε στο τρίτο εργοστάσιο και είναι στάνταρ.

Άλλες πιθανότητες να συμβεί το συμβάν ΕΝΑΟχι. Ως εκ τούτου, η εκδήλωση ΕΝΑείναι το άθροισμα των γεγονότων κ, μεγάλοΚαι Μ, τα οποία είναι ασύμβατα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα πρόσθεσης πιθανότητας, φανταζόμαστε την πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑόπως και

και με το θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων παίρνουμε

αυτό είναι, ειδική περίπτωσητύπους συνολικών πιθανοτήτων.

Αντικαθιστώντας τις τιμές πιθανότητας στην αριστερή πλευρά του τύπου, λαμβάνουμε την πιθανότητα του συμβάντος ΕΝΑ:

Δεν έχετε χρόνο να εμβαθύνετε στη λύση; Μπορείτε να παραγγείλετε μια δουλειά!

Παράδειγμα 3.Το αεροπλάνο προσγειώνεται στο αεροδρόμιο. Εάν ο καιρός το επιτρέπει, ο πιλότος προσγειώνει το αεροπλάνο, χρησιμοποιώντας, εκτός από όργανα, και οπτική παρατήρηση. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα ασφαλούς προσγείωσης είναι ίση με . Εάν το αεροδρόμιο είναι καλυμμένο με χαμηλά σύννεφα, τότε ο πιλότος προσγειώνει το αεροπλάνο, καθοδηγούμενος μόνο από όργανα. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα ασφαλούς προσγείωσης είναι ίση με: .

Οι συσκευές που παρέχουν τυφλή προσγείωση είναι αξιόπιστες (πιθανότητα λειτουργίας χωρίς αστοχία) Π. Με την παρουσία χαμηλών νεφών και αποτυχημένων οργάνων τυφλής προσγείωσης, η πιθανότητα επιτυχούς προσγείωσης είναι ίση με: . Οι στατιστικές δείχνουν ότι σε κ% των προσγειώσεων το αεροδρόμιο καλύπτεται με χαμηλά σύννεφα. Εύρημα συνολική πιθανότητα ενός γεγονότοςΕΝΑ— ασφαλής προσγείωση του αεροπλάνου.

Λύση. Υποθέσεις:

— χωρίς χαμηλά σύννεφα.

— υπάρχει χαμηλή νέφωση.

Πιθανότητες αυτών των υποθέσεων (γεγονότων):

;

Υπό όρους πιθανότητα.

Θα βρούμε ξανά την υπό όρους πιθανότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο της συνολικής πιθανότητας με υποθέσεις

— οι συσκευές τυφλής προσγείωσης είναι σε λειτουργία·

— τα τυφλά όργανα προσγείωσης απέτυχαν.

Πιθανότητες αυτών των υποθέσεων:

Σύμφωνα με τον τύπο της συνολικής πιθανότητας

Παράδειγμα 4.Η συσκευή μπορεί να λειτουργήσει σε δύο λειτουργίες: κανονική και μη κανονική. Η κανονική λειτουργία παρατηρείται στο 80% όλων των περιπτώσεων λειτουργίας της συσκευής και η μη φυσιολογική λειτουργία παρατηρείται στο 20% των περιπτώσεων. Η πιθανότητα βλάβης της συσκευής εντός συγκεκριμένη ώρα tίσο με 0,1; σε ανώμαλο 0,7. Εύρημα πλήρη πιθανότητααστοχία της συσκευής με την πάροδο του χρόνου t.

Λύση. Υποδηλώνουμε και πάλι την πιθανότητα αστοχίας της συσκευής μέσω ΕΝΑ. Έτσι, όσον αφορά τη λειτουργία της συσκευής σε κάθε λειτουργία (γεγονός), οι πιθανότητες είναι γνωστές σύμφωνα με την συνθήκη: για κανονική λειτουργία αυτό είναι 80% (), για μη κανονική λειτουργία - 20% (). Πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑ(δηλαδή, αποτυχία συσκευής) ανάλογα με το πρώτο συμβάν (κανονική λειτουργία) είναι ίση με 0,1 () ανάλογα με το δεύτερο συμβάν (μη κανονική λειτουργία) - 0,7 ( ). Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στον τύπο συνολικής πιθανότητας (δηλαδή, το άθροισμα των γινομένων της πιθανότητας καθενός από τα γεγονότα του συστήματος από την υπό όρους πιθανότητα του συμβάντος ΕΝΑσχετικά με κάθε ένα από τα συμβάντα του συστήματος) και μπροστά μας είναι το απαιτούμενο αποτέλεσμα.

Ας μην σκεφτόμαστε τα υψηλά πράγματα για πολύ καιρό - ας ξεκινήσουμε αμέσως με τον ορισμό.

Το σχήμα του Bernoulli είναι όταν εκτελούνται n ανεξάρτητα πειράματα του ίδιου τύπου, σε καθένα από τα οποία το συμβάν που μας ενδιαφέρει μπορεί να εμφανίζεται A, και η πιθανότητα αυτού του γεγονότος P (A) = p είναι γνωστή. Πρέπει να προσδιορίσουμε την πιθανότητα ότι, μετά από n δοκιμές, το γεγονός Α θα συμβεί ακριβώς k φορές.

Τα προβλήματα που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας το σχήμα του Bernoulli είναι εξαιρετικά ποικίλα: από απλά (όπως «βρείτε την πιθανότητα ο σουτέρ να χτυπήσει 1 φορά στις 10») έως πολύ σοβαρά (για παράδειγμα, προβλήματα με ποσοστά ή τραπουλόχαρτα) . Στην πραγματικότητα, αυτό το σύστημα χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την παρακολούθηση της ποιότητας των προϊόντων και την αξιοπιστία διαφόρων μηχανισμών, όλα τα χαρακτηριστικά των οποίων πρέπει να είναι γνωστά πριν από την έναρξη της εργασίας.

Ας επιστρέψουμε στον ορισμό. Δεδομένου ότι μιλάμε για ανεξάρτητες δοκιμές, και σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα του συμβάντος Α είναι η ίδια, μόνο δύο αποτελέσματα είναι πιθανά:

A είναι η εμφάνιση του γεγονότος Α με πιθανότητα p.
«όχι Α» - το γεγονός Α δεν εμφανίστηκε, κάτι που συμβαίνει με πιθανότητα q = 1 − p.

Παρεμπιπτόντως, δεν περιορίζονται όλα τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων σε σταθερές συνθήκες. Οποιοσδήποτε ικανός δάσκαλος ανώτερων μαθηματικών θα σας πει για αυτό. Ακόμη και κάτι τόσο απλό όπως το να βγάζετε πολύχρωμες μπάλες από ένα κουτί δεν είναι εμπειρία με σταθερές συνθήκες. Έβγαλαν άλλη μια μπάλα - η αναλογία των χρωμάτων στο κουτί άλλαξε. Κατά συνέπεια, έχουν αλλάξει και οι πιθανότητες.

Θεώρημα Bernoulli. Έστω η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε πείραμα σταθερή και ίση με p. Τότε η πιθανότητα το γεγονός Α να εμφανίζεται ακριβώς k φορές σε n ανεξάρτητες δοκιμές υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου C n k είναι ο αριθμός των συνδυασμών, q = 1 − p.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος του Bernoulli. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι τα προβλήματα που δίνονται παρακάτω μπορούν να λυθούν πλήρως χωρίς τη χρήση αυτού του τύπου. Για παράδειγμα, μπορείτε να εφαρμόσετε τους τύπους για την προσθήκη πιθανοτήτων. Ωστόσο, το ποσό του υπολογισμού θα είναι απλώς μη ρεαλιστικό.

Εργο. Η πιθανότητα παραγωγής ενός ελαττωματικού προϊόντος σε ένα μηχάνημα είναι 0,2. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι σε μια παρτίδα δέκα εξαρτημάτων που παράγονται σε αυτό το μηχάνημα ακριβώς k μέρη θα είναι χωρίς ελαττώματα. Λύστε το πρόβλημα για k = 0, 1, 10.

Έτσι, έχουμε: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Εργο. Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Η προσγείωση ενός θυρεού και ενός κεφαλιού είναι εξίσου πιθανή. Βρείτε την πιθανότητα ότι:

το εθνόσημο θα εμφανιστεί τρεις φορές.

το εθνόσημο θα εμφανιστεί μια φορά.

το εθνόσημο θα εμφανιστεί τουλάχιστον δύο φορές.

Έτσι, έχουμε: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Ας προσδιορίσουμε την πιθανότητα να τραβηχτεί το εθνόσημο τρεις φορές, δηλ. k = 3:

Τώρα ας προσδιορίσουμε την πιθανότητα το εθνόσημο να εμφανίστηκε μόνο μία φορά, δηλ. k = 1:

Απομένει να καθοριστεί με ποια πιθανότητα θα εμφανιστεί το εθνόσημο τουλάχιστον δύο φορές. Η κύρια σύλληψη βρίσκεται στη φράση "όχι λιγότερο". Αποδεικνύεται ότι θα είμαστε ικανοποιημένοι με οποιοδήποτε k εκτός από το 0 και το 1, δηλ. πρέπει να βρούμε την τιμή του αθροίσματος X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Σημειώστε ότι αυτό το άθροισμα είναι επίσης ίσο με (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), δηλ. Από όλες τις πιθανές επιλογές, αρκεί να "κόψετε" εκείνες όταν το εθνόσημο έπεσε 1 φορά (k = 1) ή δεν εμφανίστηκε καθόλου (k = 0). Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ήδη το P 6 (1), μένει να βρούμε το P 6 (0):

Εργο. Η πιθανότητα η τηλεόραση να έχει κρυφά ελαττώματα είναι 0,2. Έφτασαν στην αποθήκη 20 τηλεοράσεις. Ποιο συμβάν είναι πιο πιθανό: ότι σε αυτήν την παρτίδα υπάρχουν δύο τηλεοράσεις με κρυφά ελαττώματα ή τρεις;

Λαμβάνουμε τις συνθήκες εκκίνησης για το σχήμα Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Ας βρούμε την πιθανότητα να έχουμε δύο «ελαττωματικές» τηλεοράσεις (k = 2) και τρεις (k = 3):

Π. ΜΙΚΡΟ. Και η μεγαλύτερη πιθανότητα στην τελευταία εργασία είναι να αποκτήσετε τέσσερις τηλεοράσεις με κρυφά ελαττώματα. Υπολογίστε μόνοι σας και δείτε μόνοι σας.

Πριν από την παρουσίαση της τρίτης ερώτησης της διάλεξης, ο δάσκαλος εντοπίζει ένα πρόβλημα που απαιτεί την εξέταση του θεωρήματος για την επανάληψη των πειραμάτων, ενώ σημειώνει ότι στο μάθημα της θεωρίας πιθανοτήτων που μελετάται, μόνο ένα συγκεκριμένο θεώρημα σχετίζεται με την επανάληψη ανεξάρτητων πειραμάτων, σε καθένα από τα οποία το γεγονός Α εμφανίζεται με σταθερή πιθανότητα, θα ληφθεί υπόψη.

Μετά από αυτό ο δάσκαλος δείχνει την απόδειξη αυτού του θεωρήματος (παραγωγή του τύπου του Bernoulli).

Για να εξηγήσει τη φυσική ουσία του θεωρήματος που εξετάζουμε, ο δάσκαλος χρησιμοποιεί έναν προβολέα και ετοίμασε διαφάνειες.

Στο τέλος της διάλεξης, ο δάσκαλος εξηγεί γιατί η κατανομή πιθανοτήτων της εμφάνισης του γεγονότος Α σε μια σειρά n τεστ, σε συνθήκες όπου είναι ασυνεπείς και σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, ονομάζεται διωνυμική και εφιστά την προσοχή στη σημασία της γνώσης αυτής της κατανομής για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων.

Μέχρι τώρα, έχουμε εξετάσει συνδυασμούς ενός σχετικά μικρού αριθμού γεγονότων, όταν η άμεση εφαρμογή των κανόνων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων δεν προκαλούσε μεγάλες υπολογιστικές δυσκολίες. Ωστόσο, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των γεγονότων ή ο αριθμός των δοκιμών στις οποίες μπορεί να εμφανιστεί το συμβάν ενδιαφέροντος, η μέθοδος υπολογισμού που μάθατε γίνεται πολύ περίπλοκη.

Επιπλέον, το πρόβλημα επιλύθηκε πολύ απλά μόνο εάν τα πειράματα ήταν ανεξάρτητα.

Καλούνται διάφορα πειράματα ανεξάρτητος, εάν η πιθανότητα του ενός ή του άλλου αποτελέσματος κάθε πειράματος δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα που είχαν άλλα πειράματα.

Στην πράξη, υπάρχουν περιπτώσεις όπου η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑσε όλα τα ανεξάρτητα πειράματα μπορεί να είναι είτε το ίδιο είτε να διαφέρει από πείραμα σε πείραμα. Για παράδειγμα, αν προσαρμόζετε τη φωτιά σας μετά από κάθε βολή, η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο θα αλλάζει με κάθε βολή.

Στην περίπτωση που σε ανεξάρτητα πειράματα η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος αλλάζει από πείραμα σε πείραμα, χρησιμοποιείται το γενικό θεώρημα για την επανάληψη των πειραμάτων και όταν σε ανεξάρτητα πειράματα η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος δεν αλλάζει από πείραμα για πειράματα, χρησιμοποιείται ένα συγκεκριμένο θεώρημα για την επανάληψη των πειραμάτων.

Στο μάθημα της θεωρίας πιθανοτήτων που μελετάμε, θα εξετάσουμε μόνο το συγκεκριμένο θέμα των επαναλαμβανόμενων πειραμάτων όταν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑσε μια σειρά από ανεξάρτητα πειράματα, σε καθένα από τα οποία το γεγονός Α εμφανίζεται με ίση πιθανότητα.

Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι με πέντε βολές από ένα όπλο σε σταθερές ρυθμίσεις, θα επιτευχθούν ακριβώς δύο χτυπήματα στον στόχο, εάν οι βολές είναι ανεξάρτητες και με κάθε βολή η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος είναι γνωστή και όχι αλλαγή.

Αν συνθέσουμε πιθανούς συνδυασμούς της εμφάνισης του γεγονότος που μας ενδιαφέρει το Α 1, παίρνουμε:

Θα υπάρχουν 10 πιθανοί συνδυασμοί στους οποίους συμβαίνει το γεγονός A=(πάρτε 2 χτυπήματα με πέντε βολές).

Εφαρμόζοντας το θεώρημα για το άθροισμα και το γινόμενο ανεξάρτητων γεγονότων, έχουμε:

Η αύξηση του αριθμού των γεγονότων ή των δοκιμών που μας ενδιαφέρουν θα οδηγήσει σε ακόμη μεγαλύτερη αύξηση του όγκου των υπολογιστικών πράξεων, επομένως προκύπτει το καθήκον της εύρεσης μεθόδων υπολογισμού με μικρότερη ένταση εργασίας.

Διατύπωση του προβλήματος:

Ας υποθέσουμε, κάτω από ίδιες συνθήκες, ότι θα πραγματοποιήσουμε n ανεξάρτητες δοκιμές, το αποτέλεσμα καθενός από τα οποία μπορεί να είναι η εμφάνιση ενός από τα δύο γεγονότα ΕΝΑ, ή το αντίθετό του .

Ας υποδηλώσουμε με ΕΝΑ 1 εμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑστην πρώτη δοκιμή, ΕΝΑ 2 - στη δεύτερη δοκιμή, ΕΝΑ n- στην τελευταία δοκιμή.

Λόγω της σταθερότητας των συνθηκών δοκιμής:

Ρ(Α 1 ) = P(A 2 ) = … P(A n ) = σελ

Μας ενδιαφέρει η πιθανότητα ότι το γεγονός Α θα συμβεί ακριβώς m φορές σε n δοκιμές και δεν θα συμβεί στις υπόλοιπες n-m δοκιμές (δηλαδή, θα συμβεί το αντίθετο συμβάν από το γεγονός Α - ).

Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός που μας ενδιαφέρει ΕΝΑεμφανίζεται διαδοχικά m φορές, ξεκινώντας από την πρώτη, δηλ. λαμβάνει χώρα μια εκδήλωση - μι.

Ε= Α 1 ΕΝΑ 2 … ΕΝΑ Μ -1 ΕΝΑ Μ 
(1)

Μ n- Μ

Σύμφωνα με την προϋπόθεση της επανάληψης των δοκιμών, τα γεγονότα που περιλαμβάνονται σε αυτόν τον συνδυασμό είναι ανεξάρτητα, ενώ οι πιθανότητες εμφάνισης των γεγονότων Α 1, ΕΝΑ 2 ,… ΕΝΑ Μ -1 , ΕΝΑ Μίδιοι και ίσοι p: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= Ρ(Α Μ ) = p,και τις πιθανότητες να μην συμβούν γεγονότα
ίδιοι και ίσοι q=1-ρ:.

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων για ανεξάρτητα γεγονότα στην έκφραση 1, λαμβάνουμε:

P(E) = P(A 1 ) Ρ(Α 2 ) … Ρ(Α Μ -1 ) Ρ(Α Μ ) R(
= σελ Μ (1-r) n  - Μ = σελ Μ q n - Μ

Λόγω της σταθερότητας των συνθηκών δοκιμής, υποθέσαμε ότι το γεγονός μας ενδιαφέρει ΕΝΑεμφανίζεται στη σειρά m φορές, ξεκινώντας από την πρώτη. Αλλά το γεγονός ΕΝΑ V nδοκιμές μπορεί να έρθουν ακριβώς Μφορές σε διαφορετικές ακολουθίες ή συνδυασμούς. Σε αυτή την περίπτωση, αδιαφορούμε για την ακριβή σειρά στην οποία εμφανίζεται ακριβώς το γεγονός Α Μμια φορά.

Ο αριθμός τέτοιων συνδυασμών είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών από n στοιχεία από Μ.

Επειδή αυτοί οι συνδυασμοί γεγονότων (παρόμοιοι με τον συνδυασμό Ε) είναι ασυμβίβαστοι και δεν μας ενδιαφέρει η αλληλουχία εμφάνισης του γεγονότος ΕΝΑστο τεστ ακριβως Μφορές, δηλώνοντας στη συνέχεια την πιθανότητα που μας ενδιαφέρει μέσω R Μ, παίρνουμε:

R Μ =
R Μ (1-r) n - Μ =
=

Οπου
- αριθμός συνδυασμών των nστοιχεία από Μ.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος του Bernoulli.

Ο τύπος του Bernoulli μας επιτρέπει να λάβουμε μια απάντηση στο ερώτημα: ποια είναι η πιθανότητα όταν επαναλαμβάνονται n ανεξάρτητα τεστ, κάποιο γεγονός ΕΝΑέρχεται ακριβώς Μφορές, εάν σε καθεμία από αυτές τις δοκιμές η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν ΕΝΑείναι σταθερό και ίσο P(A) = p.

Ο παραπάνω τύπος Bernoulli είναι εξαιρετικά σημαντικός στη θεωρία πιθανοτήτων για το λόγο ότι συνδέεται με επαναλαμβανόμενες δοκιμές υπό τις ίδιες συνθήκες, δηλ. με τέτοιες συνθήκες στις οποίες εκδηλώνονται οι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων.

Συμπέρασμα της διάλεξης:

Στη διάλεξη, εξετάσαμε τα θεμελιώδη ζητήματα της θεωρίας πιθανοτήτων σε σχέση με τυχαίες μεταβλητές, εισαγάγαμε τη βασική εννοιολογική συσκευή που απαιτείται για περαιτέρω μελέτη του κλάδου: ορισμός τυχαία μεταβλητή, την ταξινόμησή τους· έννοια του νόμου διανομής και η μορφή του για διάφοροι τύποιτυχαία μεταβλητή.

Κατά την προετοιμασία για επόμενες διαλέξεις και πρακτικές ασκήσεις, πρέπει να συμπληρώσετε ανεξάρτητα τις σημειώσεις των διαλέξεων σας, ενώ μελετάτε σε βάθος τη συνιστώμενη βιβλιογραφία και επιλύοντας τα προτεινόμενα προβλήματα.

Επιπλέον, στα επόμενα μαθήματα θα μελετήσουμε θεωρήματα και εξαρτήσεις που μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να εμφανίζεται τον απαιτούμενο αριθμό φορές ή σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, για παράδειγμα, την πιθανότητα να χτυπήσει έναν στόχο.

Εξερευνώ:

Βέντσελ Ε.Σ. Θεωρία πιθανοτήτων. Σχολικό βιβλίο. Όγδοη έκδοση, στερεότυπη. - Μ.: μεταπτυχιακό σχολείο, 2002 - 575 σελ. – σελ. 67-78, 80-84

Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Θεωρία πιθανοτήτων και οι μηχανικές εφαρμογές της. Φροντιστήριο. Τρίτη έκδοση, αναθεωρημένη και διευρυμένη. – Μ.: «Ακαδημία», 2003 – 464 σελ. – σελ. 73-93

Gmurman V.E. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. Φροντιστήριο. Δέκατη έκδοση, στερεότυπη - Μ.: Ανώτερη Σχολή», 2004 - 480 σελ. Σελίδα 64-73

Σε αυτό το μάθημα θα βρούμε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε ανεξάρτητες δοκιμές κατά την επανάληψη δοκιμών . Οι δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητες εάν η πιθανότητα του ενός ή του άλλου αποτελέσματος κάθε δοκιμής δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα που είχαν άλλες δοκιμές. . Ανεξάρτητες δοκιμές μπορούν να πραγματοποιηθούν τόσο υπό τις ίδιες συνθήκες όσο και υπό διαφορετικές συνθήκες. Στην πρώτη περίπτωση, η πιθανότητα να συμβεί κάποιο συμβάν είναι η ίδια σε όλες τις δοκιμές, στη δεύτερη περίπτωση ποικίλλει από δοκιμή σε δοκιμή.

Παραδείγματα ανεξάρτητων επαναληπτικών δοκιμών :

ένας από τους κόμβους της συσκευής ή δύο ή τρεις κόμβοι θα αποτύχει και η αποτυχία κάθε κόμβου δεν εξαρτάται από τον άλλο κόμβο και η πιθανότητα αποτυχίας ενός κόμβου είναι σταθερή σε όλες τις δοκιμές.
παράγεται σε κάποια σταθερά τεχνολογικές συνθήκεςένα μέρος, ή τρία, τέσσερα, πέντε μέρη, θα αποδειχθεί μη τυποποιημένο και ένα μέρος μπορεί να αποδειχθεί μη τυποποιημένο ανεξάρτητα από οποιοδήποτε άλλο μέρος και την πιθανότητα ότι το εξάρτημα θα αποδειχθεί μη τυπικό είναι σταθερό σε όλα τα τεστ.
Από πολλές βολές σε έναν στόχο, μία, τρεις ή τέσσερις βολές χτυπούν τον στόχο ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα των άλλων βολών και η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος είναι σταθερή σε όλες τις δοκιμές.
όταν ρίχνετε ένα κέρμα, το μηχάνημα θα λειτουργεί σωστά μία, δύο ή πολλές φορές, ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα άλλων πτώσεων νομισμάτων, και η πιθανότητα να λειτουργήσει σωστά το μηχάνημα είναι σταθερή σε όλες τις δοκιμές.

Αυτά τα γεγονότα μπορούν να περιγραφούν σε ένα διάγραμμα. Κάθε συμβάν εμφανίζεται σε κάθε δοκιμή με την ίδια πιθανότητα, η οποία δεν αλλάζει εάν γίνουν γνωστά τα αποτελέσματα προηγούμενων δοκιμών. Τέτοιες δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητες και το κύκλωμα ονομάζεται Σχέδιο Bernoulli . Υποτίθεται ότι τέτοιες δοκιμές μπορούν να επαναληφθούν όπως επιθυμείτε ένας μεγάλος αριθμός απόμια φορά.

Αν η πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑείναι σταθερή σε κάθε δοκιμή, τότε η πιθανότητα ότι σε nεκδήλωση ανεξάρτητης δοκιμής ΕΝΑθα έρθω Μφορές, βρίσκεται από Ο τύπος του Bernoulli :

(Οπου q= 1 – Π- η πιθανότητα να μην συμβεί το συμβάν)

Ας ορίσουμε την εργασία - να βρούμε την πιθανότητα να μπει ένα γεγονός αυτού του τύπου nθα έρθουν ανεξάρτητες εξετάσεις Μμια φορά.

Ο τύπος του Bernoulli: παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα 1.Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ πέντε τμημάτων που λαμβάνονται τυχαία, δύο να είναι τυπικά, εάν η πιθανότητα κάθε μέρος να αποδειχθεί τυπικό είναι 0,9.

Λύση. Πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑ, συνίσταται στο γεγονός ότι ένα μέρος που λαμβάνεται τυχαία είναι στάνταρ, υπάρχει Π=0,9 , και υπάρχει πιθανότητα να είναι μη τυπικό q=1–Π=0,1. Το συμβάν που ορίζεται στη δήλωση προβλήματος (το συμβολίζουμε με ΣΕ) θα συμβεί εάν, για παράδειγμα, τα δύο πρώτα μέρη αποδειχθούν τυπικά και τα επόμενα τρία είναι μη τυπικά. Αλλά το γεγονός ΣΕθα συμβεί επίσης εάν το πρώτο και το τρίτο μέρος αποδειχθούν τυπικά και τα υπόλοιπα είναι μη τυποποιημένα ή εάν το δεύτερο και το πέμπτο μέρος είναι τυπικά και τα υπόλοιπα είναι μη τυποποιημένα. Υπάρχουν άλλες πιθανότητες να συμβεί το συμβάν ΣΕ. Οποιοδήποτε από αυτά χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι από τα πέντε μέρη που λαμβάνονται, δύο, που καταλαμβάνουν οποιαδήποτε θέση από τα πέντε, θα αποδειχθούν στάνταρ. Ως εκ τούτου, συνολικός αριθμόςδιάφορες πιθανότητες για την εμφάνιση ενός γεγονότος ΣΕισούται με τον αριθμό των δυνατοτήτων τοποθέτησης δύο τυπικών εξαρτημάτων σε πέντε θέσεις, δηλ. ισούται με τον αριθμό των συνδυασμών πέντε στοιχείων επί δύο, και .

Η πιθανότητα κάθε πιθανότητας, σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων, είναι ίση με το γινόμενο πέντε παραγόντων, εκ των οποίων οι δύο, που αντιστοιχεί στην εμφάνισηΤα τυπικά μέρη είναι ίσα με 0,9 και τα υπόλοιπα τρία, που αντιστοιχούν στην εμφάνιση μη τυποποιημένων εξαρτημάτων, είναι ίσα με 0,1, δηλ. αυτή η πιθανότητα είναι . Αφού αυτές οι δέκα πιθανότητες είναι ασυμβίβαστα γεγονότα, σύμφωνα με το θεώρημα πρόσθεσης, η πιθανότητα ενός γεγονότος ΣΕ, που συμβολίζουμε

Παράδειγμα 2.Η πιθανότητα το μηχάνημα να απαιτήσει την προσοχή ενός εργάτη μέσα σε μια ώρα είναι 0,6. Υποθέτοντας ότι τα προβλήματα στις μηχανές είναι ανεξάρτητα, βρείτε την πιθανότητα ότι μέσα σε μια ώρα η προσοχή ενός εργάτη θα απαιτήσει οποιαδήποτε μηχανή από τις τέσσερις που χειρίζεται.

Λύση. Χρησιμοποιώντας Ο τύπος του Bernoulliστο n=4 , Μ=1 , Π=0,6 και q=1–Π=0,4, παίρνουμε

Παράδειγμα 3.Για την κανονική λειτουργία του carpool, πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον οκτώ οχήματα στη γραμμή και είναι δέκα από αυτά. Η πιθανότητα να μην μπει κάθε όχημα στη γραμμή είναι 0,1. Βρείτε την πιθανότητα κανονικής λειτουργίας της αποθήκης αυτοκινήτων την επόμενη μέρα.

Λύση. Το carpool θα λειτουργήσει κανονικά (εκδήλωση φά), εάν οκτώ ή οκτώ έρθουν στη γραμμή (εκδήλωση ΕΝΑ), ή εννέα (συμβάν ΣΕ), ή εκδήλωση και των δέκα αυτοκινήτων (εκδήλωση ντο). Σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης των πιθανοτήτων,

Βρίσκουμε κάθε όρο σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli. Εδώ n=10 , Μ=8; 10 και Π=1-0,1=0,9, αφού Πθα πρέπει να υποδεικνύει την πιθανότητα το όχημα να εισέλθει στη γραμμή· Επειτα q=0,1. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Παράδειγμα 4.Έστω η πιθανότητα ότι ένας πελάτης χρειάζεται ανδρικά παπούτσια μεγέθους 41 είναι 0,25. Βρείτε την πιθανότητα ότι από τους έξι αγοραστές, τουλάχιστον δύο χρειάζονται παπούτσια μεγέθους 41.

Έστω να πραγματοποιηθούν n δοκιμές σχετικά με το γεγονός Α. Ας παρουσιάσουμε τα συμβάντα: Ak - συμβάν Α συνέβη κατά τη διάρκεια της kth δοκιμής, $ k=1,2,\dots , n$. Τότε το $\bar(A)_(k) $ είναι το αντίθετο γεγονός (το συμβάν Α δεν συνέβη κατά τη διάρκεια της kth δοκιμής, $k=1,2,\dots , n$).

Τι είναι τα ομοιογενή και ανεξάρτητα τεστ;

Ορισμός

Οι δοκιμές λέγονται ότι είναι του ίδιου τύπου σε σχέση με το συμβάν A εάν οι πιθανότητες των γεγονότων $A1, A2, \dots , Аn$ συμπίπτουν: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (δηλαδή, η πιθανότητα εμφάνισης συμβάντων Α σε μία δοκιμή είναι σταθερή σε όλες τις δοκιμές).

Προφανώς, σε αυτή την περίπτωση οι πιθανότητες αντίθετα γεγονότασυμπίπτουν επίσης: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Ορισμός

Οι δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητα σε σχέση με το συμβάν A εάν τα συμβάντα $A1, A2, \dots , Аn$ είναι ανεξάρτητα.

Σε αυτήν την περίπτωση

Σε αυτήν την περίπτωση, η ισότητα διατηρείται όταν οποιοδήποτε γεγονός Аk αντικαθίσταται από $\bar(A)_(k) $.

Ας γίνει μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές του ίδιου τύπου σε σχέση με το γεγονός Α. Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό: p - η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α σε μία δοκιμή. q είναι η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος. Έτσι, P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ για οποιοδήποτε k και p+q=1.

Η πιθανότητα ότι σε μια σειρά n δοκιμών το γεγονός A θα συμβεί ακριβώς k φορές (0 ≤ k ≤ n) υπολογίζεται από τον τύπο:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Η ισότητα (1) ονομάζεται τύπος του Bernoulli.

Η πιθανότητα ότι σε μια σειρά από n πανομοιότυπες ανεξάρτητες δοκιμές το γεγονός Α θα συμβεί τουλάχιστον k1 φορές και όχι περισσότερες από k2 φορές υπολογίζεται από τον τύπο:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Εφαρμογή του τύπου του Bernoulli για μεγάλες αξίεςΤο n οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς, επομένως σε αυτές τις περιπτώσεις είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε άλλους τύπους - ασυμπτωτικούς.

Γενίκευση του σχήματος του Bernoulli

Ας εξετάσουμε μια γενίκευση του σχήματος του Bernoulli. Εάν σε μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία από τις οποίες έχει m ασυμβίβαστα κατά ζεύγη και πιθανά αποτελέσματα Ak με αντίστοιχες πιθανότητες Pk = pk(Ak). Τότε ισχύει ο τύπος πολυωνυμικής κατανομής:

Παράδειγμα 1

Η πιθανότητα να κολλήσετε γρίπη κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας είναι 0,4. Βρείτε την πιθανότητα στους 6 εργαζόμενους της εταιρείας να αρρωστήσουν

ακριβως 4 εργαζομενοι?
όχι περισσότερους από 4 εργαζόμενους.

Λύση. 1) Προφανώς, για την επίλυση αυτού του προβλήματος ισχύει ο τύπος Bernoulli, όπου n=6; k=4; p=0,4; q=1-ρ=0,6. Εφαρμόζοντας τον τύπο (1), λαμβάνουμε: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \περίπου 0,138$.

Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, ισχύει ο τύπος (2), όπου k1=0 και k2=4. Εχουμε:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ περίπου 0,959.) \end(array)\]

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα είναι πιο εύκολο να λυθεί χρησιμοποιώντας το αντίθετο γεγονός - περισσότεροι από 4 υπάλληλοι αρρώστησαν. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (7) σχετικά με τις πιθανότητες αντίθετων γεγονότων, παίρνουμε:

Απάντηση: 0,959 $\$.

Παράδειγμα 2

Υπάρχουν 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες σε ένα δοχείο. Αφαιρούνται 4 μπάλες και κάθε μπάλα που αφαιρείται επιστρέφεται στη λάρνακα πριν αφαιρεθεί η επόμενη και αναμειχθούν οι μπάλες στη λάρνακα. Βρείτε την πιθανότητα από τις τέσσερις συρόμενες μπάλες να υπάρχουν 2 λευκές (Εικόνα 1).

Εικόνα 1.

Λύση. Έστω γεγονός Α ότι αφαιρείται η λευκή μπάλα. Τότε οι πιθανότητες $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Απάντηση: $\frac(8)(27) $.

Παράδειγμα 3

Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να μην έχει περισσότερα από τρία κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες.

Λύση. Η πιθανότητα να έχετε ένα κορίτσι $\μερική =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ είναι η πιθανότητα να έχετε ένα αγόρι. Δεν υπάρχουν περισσότερα από τρία κορίτσια σε μια οικογένεια, που σημαίνει ότι είτε γεννήθηκαν ένα, δύο ή τρία κορίτσια, είτε η οικογένεια είναι όλα αγόρια.

Ας βρούμε τις πιθανότητες να μην υπάρχουν κορίτσια στην οικογένεια, γεννήθηκαν ένα, δύο ή τρία κορίτσια: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Επομένως, η επιθυμητή πιθανότητα $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.

Απάντηση: $\frac(13)(16) $.

Παράδειγμα 4

Ο πρώτος σουτέρ με μία βολή μπορεί να χτυπήσει την πρώτη δεκάδα με πιθανότητα 0,6, ο εννιά με πιθανότητα 0,3 και ο οκτώ με πιθανότητα 0,1. Ποια είναι η πιθανότητα με 10 βολές να χτυπήσει την πρώτη δεκάδα έξι φορές, τις εννέα τρεις φορές και τις οκτώ μία;