Αντίστροφη συνάρτηση 3. Αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις, βασικοί ορισμοί, ιδιότητες, γραφήματα

Τελειωμένες εργασίες

ΑΥΤΑ ΤΑ ΕΡΓΑ

Πολλά είναι ήδη πίσω και τώρα είστε πτυχιούχος, αν, φυσικά, γράψετε τη διατριβή σας εγκαίρως. Αλλά η ζωή είναι τέτοιο πράγμα που μόνο τώρα σου γίνεται ξεκάθαρο ότι, έχοντας πάψει να είσαι μαθητής, θα χάσεις όλες τις φοιτητικές χαρές, πολλές από τις οποίες δεν έχεις δοκιμάσει, αναβάλλοντας τα πάντα και αναβάλλοντάς τα για αργότερα. Και τώρα, αντί να προλάβετε, μπερδεύετε τη διατριβή σας; Υπάρχει μια εξαιρετική διέξοδος: κατεβάστε τη διατριβή που χρειάζεστε από τον ιστότοπό μας - και θα έχετε αμέσως πολύ ελεύθερο χρόνο!
Οι διπλωματικές εργασίες έχουν υπερασπιστεί με επιτυχία στα κορυφαία Πανεπιστήμια της Δημοκρατίας του Καζακστάν.
Κόστος εργασίας από 20 000 tenge

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το πρόγραμμα του μαθήματος είναι η πρώτη σοβαρή πρακτική εργασία. Με τη συγγραφή μιας εργασίας όρου ξεκινά η προετοιμασία για την ανάπτυξη έργων αποφοίτησης. Εάν ένας μαθητής μάθει να δηλώνει σωστά το περιεχόμενο του θέματος σε μια εργασία μαθήματος και να το συντάσσει σωστά, τότε στο μέλλον δεν θα έχει προβλήματα ούτε με τη σύνταξη εκθέσεων, ούτε με τη σύνταξη διατριβών ή με την εκτέλεση άλλων πρακτικών εργασιών. Προκειμένου να βοηθηθούν οι μαθητές στη συγγραφή αυτού του τύπου μαθητικής εργασίας και να διευκρινιστούν τα ερωτήματα που προκύπτουν κατά την εκπόνησή της, μάλιστα, δημιουργήθηκε αυτή η ενότητα πληροφοριών.
Κόστος εργασίας από 2 500 tenge

Πτυχιακές Εργασίες

Επί του παρόντος, στα ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα του Καζακστάν και των χωρών της ΚΑΚ, το στάδιο της τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης, το οποίο ακολουθεί μετά το πτυχίο - το μεταπτυχιακό, είναι πολύ συνηθισμένο. Στη μαγεία οι φοιτητές σπουδάζουν με στόχο την απόκτηση μεταπτυχιακού τίτλου, το οποίο αναγνωρίζεται στις περισσότερες χώρες του κόσμου περισσότερο από ένα πτυχίο και αναγνωρίζεται και από ξένους εργοδότες. Το αποτέλεσμα της εκπαίδευσης στη Δικαιοσύνη είναι η υπεράσπιση μιας μεταπτυχιακής διατριβής.
Θα σας παρέχουμε ενημερωμένο αναλυτικό και κειμενικό υλικό, στην τιμή περιλαμβάνονται 2 επιστημονικά άρθρα και μια περίληψη.
Κόστος εργασίας από 35 000 tenge

ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Μετά την ολοκλήρωση κάθε είδους φοιτητικής πρακτικής (εκπαιδευτικής, βιομηχανικής, προπτυχιακής) απαιτείται έκθεση. Αυτό το έγγραφο θα είναι μια επιβεβαίωση της πρακτικής εργασίας του μαθητή και η βάση για τη διαμόρφωση της αξιολόγησης για την πρακτική. Συνήθως, για να συντάξετε μια έκθεση πρακτικής άσκησης, πρέπει να συλλέξετε και να αναλύσετε πληροφορίες σχετικά με την επιχείρηση, να εξετάσετε τη δομή και το πρόγραμμα εργασίας του οργανισμού στον οποίο πραγματοποιείται η πρακτική άσκηση, να καταρτίσετε ένα χρονοδιάγραμμα και να περιγράψετε τις πρακτικές σας δραστηριότητες.
Θα σας βοηθήσουμε να συντάξετε μια αναφορά για την πρακτική άσκηση, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιαιτερότητες των δραστηριοτήτων μιας συγκεκριμένης επιχείρησης.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός:

• να σχηματίσει γνώσεις για ένα νέο θέμα σύμφωνα με το υλικό του προγράμματος.
• να μελετήσει την ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας μιας συνάρτησης και να διδάξει πώς να βρει μια συνάρτηση αντίστροφη σε μια δεδομένη.

Ανάπτυξη:

• ανάπτυξη δεξιοτήτων αυτοελέγχου, υποκειμενικής ομιλίας.
• κατακτήστε την έννοια μιας αντίστροφης συνάρτησης και μάθετε τις μεθόδους εύρεσης μιας αντίστροφης συνάρτησης.

Εκπαιδευτική: για τη διαμόρφωση επικοινωνιακής ικανότητας.

Εξοπλισμός:υπολογιστής, προβολέας, οθόνη, διαδραστικός πίνακας SMART Board, φυλλάδιο (ανεξάρτητη εργασία) για ομαδική εργασία.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

1. Οργανωτική στιγμή.

Στόχος – προετοιμασία των μαθητών για εργασία στην τάξη:

Ορισμός απουσίας,

Στάση των μαθητών στην εργασία, οργάνωση της προσοχής.

Μήνυμα για το θέμα και το σκοπό του μαθήματος.

2. Επικαιροποίηση των βασικών γνώσεων των μαθητών.μπροστινή δημοσκόπηση.

στόχος - να διαπιστωθεί η ορθότητα και η επίγνωση του μελετημένου θεωρητικού υλικού, η επανάληψη του καλυπτόμενου υλικού.<Приложение 1 >

Ένα γράφημα της συνάρτησης εμφανίζεται στον διαδραστικό πίνακα για τους μαθητές. Ο δάσκαλος διατυπώνει την εργασία - να εξετάσει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και να απαριθμήσει τις ιδιότητες της συνάρτησης που μελετήθηκαν. Οι μαθητές απαριθμούν τις ιδιότητες μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον σχεδιασμό της έρευνας. Ο δάσκαλος, στα δεξιά της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, σημειώνει τις ονομαστικές ιδιότητες με ένα μαρκαδόρο στον διαδραστικό πίνακα.

Ιδιότητες λειτουργίας:

Στο τέλος της μελέτης, ο δάσκαλος αναφέρει ότι σήμερα στο μάθημα θα εξοικειωθούν με μια ακόμη ιδιότητα της συνάρτησης - την αντιστρεψιμότητα. Για μια ουσιαστική μελέτη νέου υλικού, ο δάσκαλος καλεί τα παιδιά να εξοικειωθούν με τις κύριες ερωτήσεις που πρέπει να απαντήσουν οι μαθητές στο τέλος του μαθήματος. Οι ερωτήσεις γράφονται σε έναν συνηθισμένο πίνακα και κάθε μαθητής έχει ένα φυλλάδιο (διανέμεται πριν από το μάθημα)

1. Τι είναι η αναστρέψιμη συνάρτηση;
2. Είναι κάθε συνάρτηση αναστρέψιμη;
3. Ποια είναι η αντίστροφη δεδομένη συνάρτηση;
4. Πώς σχετίζονται το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης και της αντίστροφης συνάρτησής της;
5. Εάν η συνάρτηση δίνεται αναλυτικά, πώς ορίζετε την αντίστροφη συνάρτηση με έναν τύπο;
6. Εάν μια συνάρτηση δίνεται γραφικά, πώς να σχεδιάσετε την αντίστροφη συνάρτησή της;

3. Επεξήγηση νέου υλικού.

Στόχος - να σχηματίσουν γνώσεις για ένα νέο θέμα σύμφωνα με το υλικό του προγράμματος. να μελετήσει την ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας μιας συνάρτησης και να διδάξει πώς να βρει μια συνάρτηση αντίστροφη σε μια δεδομένη. αναπτύξουν το αντικείμενο.

Ο εκπαιδευτικός πραγματοποιεί παρουσίαση του υλικού σύμφωνα με το υλικό της παραγράφου. Στον διαδραστικό πίνακα, ο δάσκαλος συγκρίνει τα γραφήματα δύο συναρτήσεων των οποίων τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών είναι τα ίδια, αλλά η μία από τις συναρτήσεις είναι μονότονη και η άλλη όχι, φέρνοντας έτσι τους μαθητές στην έννοια της αντιστρεπτής συνάρτησης .

Στη συνέχεια ο δάσκαλος διατυπώνει τον ορισμό μιας αντιστρεπτής συνάρτησης και αποδεικνύει το θεώρημα της αντιστρεπτής συνάρτησης χρησιμοποιώντας το γράφημα της μονότονης συνάρτησης στον διαδραστικό πίνακα.

Ορισμός 1: Καλείται η συνάρτηση y=f(x), x X αναστρεπτός, εάν λάβει κάποια από τις τιμές του μόνο σε ένα σημείο του συνόλου X.

Θεώρημα: Αν η συνάρτηση y=f(x) είναι μονότονη στο σύνολο X , τότε είναι αντιστρέψιμη.

Απόδειξη:

1. Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)αυξάνεται κατά Χάστο να πάει x 1 ≠ x 2- δύο σημεία του σετ Χ.
2. Για βεβαιότητα, ας x 1< x 2.
   Μετά από τι x 1< x 2ακολουθεί ότι f(x 1) < f(x 2).
3. Έτσι, διαφορετικές τιμές του ορίσματος αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές της συνάρτησης, δηλ. η λειτουργία είναι αναστρέψιμη.

(Κατά την απόδειξη του θεωρήματος, ο δάσκαλος κάνει όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις στο σχέδιο με μαρκαδόρο)

Πριν διατυπώσει τον ορισμό μιας αντίστροφης συνάρτησης, ο δάσκαλος ζητά από τους μαθητές να προσδιορίσουν ποια από τις προτεινόμενες συναρτήσεις είναι αντιστρέψιμη; Ο διαδραστικός πίνακας δείχνει γραφήματα συναρτήσεων και γράφονται διάφορες αναλυτικά καθορισμένες συναρτήσεις:

ΣΙ)

ΣΟΛ) y = 2x + 5

ΡΕ) y = -x 2 + 7

Ο δάσκαλος εισάγει τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης.

Ορισμός 2: Έστω μια αντιστρέψιμη λειτουργία y=f(x)ορίζεται στο σετ Χκαι E(f)=Y. Ας ταιριάξουμε το καθένα yαπό Υτότε το μόνο νόημα Χ, στο οποίο f(x)=y.Τότε παίρνουμε μια συνάρτηση που ορίζεται στο Υ, ένα Χείναι το εύρος της συνάρτησης

Αυτή η συνάρτηση σημειώνεται x=f -1 (y)και ονομάζεται αντίστροφος της συνάρτησης y=f(x).

Οι μαθητές καλούνται να βγάλουν ένα συμπέρασμα σχετικά με τη σχέση μεταξύ του πεδίου ορισμού και του συνόλου των τιμών των αντίστροφων συναρτήσεων.

Για να εξετάσει το ερώτημα πώς να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση ενός δεδομένου, ο δάσκαλος συμμετείχε δύο μαθητές. Την προηγούμενη μέρα, τα παιδιά έλαβαν μια εργασία από τον δάσκαλο να αναλύσουν ανεξάρτητα τις αναλυτικές και γραφικές μεθόδους για την εύρεση της αντίστροφης δεδομένης συνάρτησης. Ο δάσκαλος ενήργησε ως σύμβουλος στην προετοιμασία των μαθητών για το μάθημα.

Μήνυμα από τον πρώτο μαθητή.

Σημείωση: η μονοτονία μιας συνάρτησης είναι επαρκήςπροϋπόθεση για την ύπαρξη αντίστροφης συνάρτησης. Αλλά δεν είναιαπαραίτητη προϋπόθεση.

Ο μαθητής έδωσε παραδείγματα διαφόρων καταστάσεων όταν η συνάρτηση δεν είναι μονότονη, αλλά αναστρέψιμη, όταν η συνάρτηση δεν είναι μονότονη και μη αναστρέψιμη, όταν είναι μονότονη και αναστρέψιμη

Στη συνέχεια ο μαθητής εισάγει τους μαθητές στη μέθοδο εύρεσης της αντίστροφης συνάρτησης που δίνεται αναλυτικά.

Αλγόριθμος εύρεσης

1. Βεβαιωθείτε ότι η λειτουργία είναι μονότονη.
2. Εκφράστε το x ως y.
3. Μετονομασία μεταβλητών. Αντί για x \u003d f -1 (y) γράφουν y \u003d f -1 (x)

Στη συνέχεια λύνει δύο παραδείγματα για να βρει τη συνάρτηση του αντιστρόφου του δεδομένου.

Παράδειγμα 1:Δείξτε ότι υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y=5x-3 και βρείτε την αναλυτική της έκφραση.

Λύση. Η γραμμική συνάρτηση y=5x-3 ορίζεται στο R, αυξάνεται στο R, και το εύρος της είναι R. Επομένως, η αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει στο R. Για να βρούμε την αναλυτική της έκφραση, λύνουμε την εξίσωση y=5x-3 ως προς το Χ; παίρνουμε Αυτή είναι η επιθυμητή αντίστροφη συνάρτηση. Ορίζεται και αυξάνεται κατά R.

Παράδειγμα 2:Δείξτε ότι υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y=x 2 , x≤0 και βρείτε την αναλυτική της έκφραση.

Η συνάρτηση είναι συνεχής, μονότονη στο πεδίο ορισμού της, επομένως είναι αντιστρέψιμη. Έχοντας αναλύσει τα πεδία ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης, προκύπτει ένα αντίστοιχο συμπέρασμα σχετικά με την αναλυτική έκφραση για την αντίστροφη συνάρτηση.

Ο δεύτερος μαθητής κάνει μια παρουσίαση για γραφικόςπώς να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση. Κατά την εξήγησή του ο μαθητής χρησιμοποιεί τις δυνατότητες του διαδραστικού πίνακα.

Για να πάρετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f -1 (x), αντίστροφη της συνάρτησης y=f(x), είναι απαραίτητο να μετασχηματίσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) συμμετρικά ως προς την ευθεία γραμμή. y=x.

Κατά την επεξήγηση στον διαδραστικό πίνακα, εκτελείται η ακόλουθη εργασία:

Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και μια γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησής της στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Γράψτε μια αναλυτική έκφραση για την αντίστροφη συνάρτηση.

4. Πρωτογενής στερέωση του νέου υλικού.

στόχος - να διαπιστωθεί η ορθότητα και η επίγνωση της κατανόησης του υλικού που μελετάται, να εντοπιστούν κενά στην πρωτογενή κατανόηση του υλικού, να διορθωθούν.

Οι μαθητές χωρίζονται σε ζευγάρια. Τους δίνονται φύλλα με εργασίες στις οποίες εργάζονται ανά δύο. Ο χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας είναι περιορισμένος (5-7 λεπτά). Ένα ζευγάρι μαθητών δουλεύει στον υπολογιστή, ο προβολέας είναι απενεργοποιημένος για αυτό το διάστημα και τα υπόλοιπα παιδιά δεν μπορούν να δουν πώς δουλεύουν οι μαθητές στον υπολογιστή.

Στο τέλος του χρόνου (υποτίθεται ότι η πλειοψηφία των μαθητών ολοκλήρωσε την εργασία), ο διαδραστικός πίνακας (ο προβολέας ανάβει ξανά) δείχνει την εργασία των μαθητών, όπου διευκρινίζεται κατά τη διάρκεια του τεστ ότι η εργασία ολοκληρώθηκε το ζεύγη. Εάν είναι απαραίτητο, ο δάσκαλος διεξάγει διορθωτική, επεξηγηματική εργασία.

Ανεξάρτητη εργασία σε ζευγάρια<Παράρτημα 2 >

5. Το αποτέλεσμα του μαθήματος.Για τις ερωτήσεις που τέθηκαν πριν από τη διάλεξη. Ανακοίνωση βαθμών για το μάθημα.

Εργασία για το σπίτι §10. №№ 10.6(α,γ) 10.8-10.9(β) 10.12(β)

Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Βαθμός 10 Σε 2 μέρη για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova και άλλοι. εκδ. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Έχουμε ήδη αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα όταν, με δεδομένη μια συνάρτηση f και μια δεδομένη τιμή του ορίσματός της, ήταν απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Αλλά μερικές φορές πρέπει να αντιμετωπίσει κανείς το αντίστροφο πρόβλημα: να βρει, δεδομένης της γνωστής συνάρτησης f και της ορισμένης τιμής της y, την τιμή του ορίσματος στο οποίο η συνάρτηση παίρνει τη δεδομένη τιμή y.

Μια συνάρτηση που λαμβάνει κάθε τιμή της σε ένα μόνο σημείο στον τομέα ορισμού της ονομάζεται αντιστρεπτή συνάρτηση. Για παράδειγμα, μια γραμμική συνάρτηση θα ήταν αναστρέψιμη λειτουργία. Μια τετραγωνική συνάρτηση ή μια ημιτονοειδής συνάρτηση δεν θα είναι αντιστρέψιμες συναρτήσεις. Δεδομένου ότι η συνάρτηση μπορεί να πάρει την ίδια τιμή με διαφορετικά ορίσματα.

Αντίστροφη συνάρτηση

Ας υποθέσουμε ότι η f είναι κάποια αυθαίρετη αντιστρέψιμη συνάρτηση. Κάθε αριθμός από το εύρος του y0 αντιστοιχεί μόνο σε έναν αριθμό από τον τομέα x0, έτσι ώστε f(x0) = y0.

Αν τώρα εκχωρήσουμε μια τιμή y0 σε κάθε τιμή του x0, τότε θα πάρουμε μια νέα συνάρτηση. Για παράδειγμα, για μια γραμμική συνάρτηση f(x) = k * x + b, η συνάρτηση g(x) = (x - b)/k θα είναι αντίστροφη.

Αν κάποια λειτουργία σολσε κάθε σημείο ΧΤο εύρος της αντιστρέψιμης συνάρτησης f παίρνει την τιμή y έτσι ώστε f(y) = x, τότε λέμε ότι η συνάρτηση σολ- υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση της f.

Εάν έχουμε μια γραφική παράσταση κάποιας αντιστρεπτής συνάρτησης f, τότε για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη πρόταση: η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και η συνάρτηση g αντίστροφη προς αυτήν θα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που δίνεται από την εξίσωση y = x.

Αν η συνάρτηση g είναι το αντίστροφο της συνάρτησης f, τότε η συνάρτηση g θα είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση. Και η συνάρτηση f θα είναι αντίστροφη της συνάρτησης g. Συνήθως λέγεται ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι αμοιβαία αντίστροφες μεταξύ τους.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων f και g αμοιβαία αντίστροφα μεταξύ τους.

Ας εξαγάγουμε το εξής θεώρημα: αν μια συνάρτηση f αυξάνεται (ή μειώνεται) σε κάποιο διάστημα Α, τότε είναι αντιστρέψιμη. Η συνάρτηση g αντίστροφη προς το a, που ορίζεται στο εύρος της συνάρτησης f, είναι επίσης αύξουσα (ή, αντίστοιχα, φθίνουσα) συνάρτηση. Αυτό το θεώρημα ονομάζεται Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης.

αντίγραφο

1 Αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις Δύο συναρτήσεις f και g ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφες αν οι τύποι y=f(x) και x=g(y) εκφράζουν την ίδια σχέση μεταξύ των μεταβλητών x και y, δηλ. αν η ισότητα y=f(x) είναι αληθής αν και μόνο αν η ισότητα x=g(y) είναι αληθής: y=f(x) x=g(y) Αν δύο συναρτήσεις f και g είναι αμοιβαία αντίστροφες, τότε η g ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση για f και αντίστροφα, f είναι η αντίστροφη συνάρτηση για g. Για παράδειγμα, y=10 x και x=lgy είναι αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Η συνθήκη για την ύπαρξη αμοιβαία αντίστροφης συνάρτησης Η συνάρτηση f έχει αντίστροφη αν από τη σχέση y=f(x) η μεταβλητή x μπορεί να εκφραστεί μοναδικά ως y. Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες είναι αδύνατο να εκφράσουμε μοναδικά το όρισμα μέσω της δεδομένης τιμής της συνάρτησης. Για παράδειγμα: 1. y= x. Για έναν δεδομένο θετικό αριθμό y, υπάρχουν δύο τιμές του ορίσματος x τέτοιες ώστε x = y. Για παράδειγμα, αν y \u003d 2, τότε x \u003d 2 ή x \u003d - 2. Επομένως, είναι αδύνατο να εκφράσουμε το x μοναδικά μέσω του y. Επομένως, αυτή η συνάρτηση δεν έχει αμοιβαία αντίστροφη. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. Για μια δεδομένη τιμή του y (y 1), υπάρχουν άπειρες τιμές x τέτοιες ώστε y=sinx. Η συνάρτηση y=f(x) έχει αντίστροφο αν οποιαδήποτε ευθεία y=y 0 τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) σε όχι περισσότερο από ένα σημείο (μπορεί να μην τέμνει καθόλου τη γραφική παράσταση εάν η y 0 δεν το κάνει ανήκουν στο εύρος της συνάρτησης f) . Αυτή η συνθήκη μπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά: η εξίσωση f(x)=y 0 για κάθε y 0 δεν έχει περισσότερες από μία λύσεις. Η συνθήκη ότι μια συνάρτηση έχει αντίστροφο βεβαίως ικανοποιείται εάν η συνάρτηση είναι αυστηρά αύξουσα ή αυστηρά φθίνουσα. Εάν η f είναι αυστηρά αυξανόμενη, τότε για δύο διαφορετικές τιμές του ορίσματος παίρνει διαφορετικές τιμές, αφού η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Επομένως, η εξίσωση f(x)=y για μια αυστηρά μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία λύση. Η εκθετική συνάρτηση y \u003d a x είναι αυστηρά μονότονη, επομένως έχει μια αντίστροφη λογαριθμική συνάρτηση. Πολλές συναρτήσεις δεν έχουν αντίστροφα. Αν για κάποιο b η εξίσωση f(x)=b έχει περισσότερες από μία λύσεις, τότε η συνάρτηση y=f(x) δεν έχει αντίστροφη. Στο γράφημα, αυτό σημαίνει ότι η ευθεία y=b τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε περισσότερα από ένα σημεία. Για παράδειγμα, y \u003d x 2; y=sinx; y=tgx.

2 Η ασάφεια της λύσης της εξίσωσης f(x)=b μπορεί να αντιμετωπιστεί εάν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f μειωθεί έτσι ώστε το εύρος τιμών της να μην αλλάξει, αλλά να λάβει κάθε τιμή της μια φορά. Για παράδειγμα, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Ο γενικός κανόνας για την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης για μια συνάρτηση: 1. λύνοντας την εξίσωση για το x, βρίσκουμε; 2. Αλλάζοντας τον προσδιορισμό της μεταβλητής x σε y, και y σε x, παίρνουμε τη συνάρτηση αντίστροφη από τη δεδομένη. Ιδιότητες αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων Ταυτότητες Έστω f και g αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι οι ισότητες y=f(x) και x=g(y) είναι ισοδύναμες: f(g(y))=y και g(f(x))=x. Για παράδειγμα, 1. Έστω f εκθετική συνάρτηση και g λογαριθμική συνάρτηση. Παίρνουμε: i. 2. Οι συναρτήσεις y \u003d x 2, x 0 και y \u003d είναι αμοιβαία αντίστροφες. Έχουμε δύο ταυτότητες: και για x 0. Τομέας ορισμού Έστω f και g αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f συμπίπτει με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g και αντίστροφα, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f συμπίπτει με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. Παράδειγμα. Το πεδίο ορισμού της εκθετικής συνάρτησης είναι ο ακέραιος αριθμητικός άξονας R και το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο όλων των θετικών αριθμών. Η λογαριθμική συνάρτηση έχει το αντίθετο: το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των θετικών αριθμών και το πεδίο τιμών είναι ολόκληρο το σύνολο R. Μονοτονία Εάν μία από τις αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις είναι αυστηρά αυξανόμενη, τότε η άλλη είναι αυστηρά αυξανόμενη . Απόδειξη. Έστω x 1 και x 2 δύο αριθμοί που βρίσκονται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης g και x 1

3 Γραφήματα αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων Θεώρημα. Έστω f και g αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=f(x) και x=g(y) είναι συμμετρικές μεταξύ τους ως προς τη διχοτόμο της γωνίας Howe. Απόδειξη. Εξ ορισμού των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων, οι τύποι y=f(x) και x=g(y) εκφράζουν την ίδια εξάρτηση μεταξύ των μεταβλητών x και y, πράγμα που σημαίνει ότι αυτή η εξάρτηση απεικονίζεται από το ίδιο γράφημα κάποιας καμπύλης C. Καμπύλη Το C είναι μια γραφική παράσταση συναρτήσεις y=f(x). Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο P(a; b) C. Αυτό σημαίνει ότι b=f(a) και ταυτόχρονα a=g(b). Ας κατασκευάσουμε ένα σημείο Q συμμετρικό προς το σημείο P ως προς τη διχοτόμο της γωνίας how. Το σημείο Q θα έχει συντεταγμένες (b; a). Αφού a=g(b), τότε το σημείο Q ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=g(x): πράγματι, για x=b η τιμή του y=a είναι ίση με g(x). Έτσι, όλα τα σημεία συμμετρικά με τα σημεία της καμπύλης C σε σχέση με την καθορισμένη ευθεία βρίσκονται στο γράφημα της συνάρτησης y \u003d g (x). Παραδείγματα συναρτήσεων γραφικών των οποίων είναι αμοιβαία αντίστροφα: y=e x και y=lnx; y=x 2 (x 0) και y= ; y=2x4 και y=+2.

4 Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης Έστω f και g αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=f(x) και x=g(y) είναι συμμετρικές μεταξύ τους ως προς τη διχοτόμο της γωνίας Howe. Ας πάρουμε ένα σημείο x=a και ας υπολογίσουμε την τιμή μιας από τις συναρτήσεις σε αυτό το σημείο: f(a)=b. Τότε εξ ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης g(b)=a. Τα σημεία (a; f(a))=(a; b) και (b; g(b))=(b; a) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία l. Δεδομένου ότι οι καμπύλες είναι συμμετρικές, οι εφαπτομένες σε αυτές είναι επίσης συμμετρικές ως προς την ευθεία l. Από τη συμμετρία, η γωνία μιας από τις ευθείες με τον άξονα x είναι ίση με τη γωνία της άλλης ευθείας με τον άξονα y. Αν η ευθεία σχηματίζει γωνία α με τον άξονα x, τότε η κλίση της είναι ίση με k 1 =tgα; τότε η δεύτερη γραμμή έχει κλίση k 2 =tg(α)=ctgα=. Έτσι, οι συντελεστές κλίσης των γραμμών συμμετρικών ως προς τη γραμμή l είναι αμοιβαία αντίστροφοι, δηλ. k 2 =, ή k 1 k 2 = 1. Περνώντας στις παραγώγους και λαμβάνοντας υπόψη ότι η κλίση της εφαπτομένης είναι η τιμή της παραγώγου στο σημείο επαφής, συμπεραίνουμε: Οι τιμές των παραγώγων των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία είναι αμοιβαία αντίστροφες, δηλ. Παράδειγμα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=x 3, αντιστρέψιμη. Λύση. y=f(x)=x 3. Η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι η συνάρτηση y=g(x)=. Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης g:. Εκείνοι. =. Εργασία 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο είναι αντιστρέψιμη 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Παράδειγμα 2. Να βρείτε τη συνάρτηση αντίστροφη της συνάρτησης y=2x+1. Λύση. Η συνάρτηση y \u003d 2x + 1 αυξάνεται, επομένως, έχει αντίστροφο. Εκφράζουμε x έως y: παίρνουμε .. Περνώντας σε γενικά αποδεκτό συμβολισμό, Απάντηση: Εργασία 2. Βρείτε τις αντίστροφες συναρτήσεις για αυτές τις συναρτήσεις 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Κεφάλαιο 9 Μοίρες Ένας βαθμός με ακέραιο εκθέτη. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Αν είναι ακόμη, τότε ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Για παράδειγμα, () => = = (), έτσι

Τι θα μελετήσουμε: Μάθημα με θέμα: Διερεύνηση συνάρτησης για μονοτονία. Μείωση και αύξηση συναρτήσεων. Σχέση παραγώγου και μονοτονίας μιας συνάρτησης. Δύο σημαντικά θεωρήματα μονοτονίας. Παραδείγματα. Παιδιά, εμείς

6 Προβλήματα που οδηγούν στην έννοια της παραγώγου Έστω ένα υλικό σημείο να κινείται σε ευθεία γραμμή προς μία κατεύθυνση σύμφωνα με το νόμο s f (t), όπου t είναι ο χρόνος και s η διαδρομή που διανύει το χρονικό σημείο t Σημειώστε μια συγκεκριμένη στιγμή

1 SA Lavrenchenko Διάλεξη 12 Αντίστροφες συναρτήσεις 1 Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης Ορισμός 11 Μια συνάρτηση ονομάζεται ένα προς ένα εάν δεν παίρνει καμία τιμή περισσότερες από μία φορές, όπως προκύπτει από

Διάλεξη 5 Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων Περίληψη: Δίνονται φυσικές και γεωμετρικές ερμηνείες της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, εξετάζονται παραδείγματα διαφοροποίησης μιας συνάρτησης και ενός κανόνα.

Κεφάλαιο 1. Όρια και συνέχεια 1. Αριθμητικά σύνολα 1 0. Πραγματικοί αριθμοί Από τα σχολικά μαθηματικά γνωρίζετε φυσικούς Ν ακέραιους Z ορθολογικούς αριθμούς Q και πραγματικούς R Αριθμούς Φυσικούς και ακέραιους αριθμούς

Αριθμητικές συναρτήσεις και αριθμητικές ακολουθίες DV Lytkina NPP, I εξάμηνο DV Lytkina (SibSUTI) Μαθηματική Ανάλυση NPP, I εξάμηνο 1 / 35 Περιεχόμενα 1 Αριθμητική συνάρτηση Έννοια συνάρτησης Αριθμητικές συναρτήσεις.

Διάλεξη 19 ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Έστω ότι ορίζεται κάποια συνάρτηση y=f(x) σε κάποιο διάστημα. Για κάθε τιμή του ορίσματος x από αυτό το διάστημα, η συνάρτηση y=f(x)

Κεφάλαιο 5 Διερεύνηση συναρτήσεων με χρήση της φόρμουλας Taylor Local Extremum of a Function Definition

Τμήμα Μαθηματικών και Πληροφορικής Στοιχεία Ανώτερων Μαθηματικών Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για μαθητές δευτεροβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης που σπουδάζουν με χρήση τεχνολογιών εξ αποστάσεως Ενότητα Διαφορικός λογισμός Συντάχθηκε από:

Τμήμα Μαθηματικών και Πληροφορικής Μαθηματική Ανάλυση Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για φοιτητές HPE που σπουδάζουν με τη χρήση τεχνολογιών εξ αποστάσεως Ενότητα 4 Εφαρμογές του παραγώγου Συντάχθηκε από: Αναπληρωτή Καθηγητή

Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης 6x. Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης στον άξονα x της εφαπτομένης που διέρχεται από το σημείο Μ (;) της γραφικής παράστασης συνάρτησης. Βρείτε την εφαπτομένη μιας γωνίας

Θέμα Θεωρία ορίων Πρακτική άσκηση Αριθμητικές ακολουθίες Ορισμός αριθμητικής ακολουθίας Οριοθετημένες και απεριόριστες ακολουθίες Μονότονες ακολουθίες Απείρως μικρές

44 Παράδειγμα Βρείτε τη συνολική παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης = sin v cos w όπου v = ln + 1 w= 1 Σύμφωνα με τον τύπο (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Τώρα βρίσκουμε το συνολικό διαφορικό της μιγαδικής συνάρτησης f

ΕΝΟΤΗΤΑ «Εφαρμογή συνέχειας και παραγώγου. Εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη συναρτήσεων. Εφαρμογή της συνέχειας.. Μέθοδος διαστημάτων.. Εφαπτομένη στο γράφημα. Φόρμουλα Lagrange. 4. Εφαρμογή της παραγώγου

Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας Εκθετικές, λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις, η μέθοδος της ενίσχυσης και ο λογάριθμος στην επίλυση προβλημάτων. Μεθοδολογικός οδηγός προετοιμασίας για τις Ολυμπιάδες.

Κεφάλαιο 8 Συναρτήσεις και γραφήματα Μεταβλητές και εξαρτήσεις μεταξύ τους. Δύο μεγέθη και λέγονται ευθέως αναλογικά αν ο λόγος τους είναι σταθερός, δηλαδή αν =, πού είναι ένας σταθερός αριθμός που δεν αλλάζει με την αλλαγή

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ "ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ GRODNO ΜΕ ΤΟ ΟΝΟΜΑ ΓΙΑΝΚΑ ΚΟΥΠΑΛΑ" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich ΕΚΘΕΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟΣ

Θέμα Αριθμητική συνάρτηση, οι ιδιότητές της και η γραφική παράσταση Η έννοια μιας αριθμητικής συνάρτησης Το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης Έστω να δοθεί ένα αριθμητικό σύνολο X Ένας κανόνας που ταιριάζει με κάθε αριθμό X με έναν μοναδικό

I Ορισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών Τομέας ορισμού Κατά τη μελέτη πολλών φαινομένων, πρέπει κανείς να ασχοληθεί με συναρτήσεις δύο ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών, για παράδειγμα, τη θερμοκρασία του σώματος σε μια δεδομένη στιγμή

1. Ορισμένο ολοκλήρωμα 1.1. Έστω f μια περιορισμένη συνάρτηση που ορίζεται στο τμήμα [, b] R. Ένα διαμέρισμα του τμήματος [, b] είναι ένα σύνολο σημείων τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] τέτοιο ώστε = x< x 1 < < x n 1

Διάλεξη Διερεύνηση συνάρτησης και κατασκευή του γραφήματος της Περίληψη: Διερευνάται η συνάρτηση για μονοτονία, ακραίο, κυρτότητα-κοιλότητα, για ύπαρξη ασυμπτωτών

Θέμα. Λειτουργία. Μέθοδοι εργασιών. Σιωπηρή λειτουργία. Αντίστροφη συνάρτηση. Ταξινόμηση συναρτήσεων Στοιχεία της θεωρίας των συνόλων. Βασικές έννοιες Μία από τις βασικές έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών είναι η έννοια του συνόλου.

Θέμα 2.1 Αριθμητικές συναρτήσεις. Η συνάρτηση, οι ιδιότητές της και η γραφική παράσταση Έστω X και Y Μερικά σύνολα αριθμών Αν σε καθένα σύμφωνα με κάποιον κανόνα F εκχωρηθεί ένα μόνο στοιχείο, τότε λένε ότι

Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, XI ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΛΑ. Strauss, I.V. Barinova Tasks με μια παράμετρο στις κατευθυντήριες οδηγίες για τις ενοποιημένες κρατικές εξετάσεις y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Εργασίες με παράμετρο στη ΧΡΗΣΗ [Κείμενο]: οδηγίες / L.A. Strauss, I.V.

Κεφάλαιο 3. Διερεύνηση συναρτήσεων με τη βοήθεια παραγώγων 3.1. Ακρότατα και μονοτονία Θεωρήστε μια συνάρτηση y = f () που ορίζεται σε κάποιο διάστημα I R. Λέγεται ότι έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο

Θέμα. Λογαριθμικές εξισώσεις, ανισώσεις και συστήματα εξισώσεων I. Γενικές οδηγίες

Τι θα μελετήσουμε: Μάθημα με θέμα: Εύρεση των σημείων των ακραίων συναρτήσεων. 1. Εισαγωγή. 2) Βαθμοί ελάχιστου και μέγιστου. 3) Ακραίο της συνάρτησης. 4) Πώς να υπολογίσετε τα άκρα; 5) Παραδείγματα Παιδιά, για να δούμε

1 SA Lavrenchenko Διάλεξη 13 Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις 1 Η έννοια μιας εκθετικής συνάρτησης Ορισμός 11 Μια εκθετική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της θετικής σταθεράς βάσης της μορφής, όπου η συνάρτηση

Webinar 5 Θέμα: Ανασκόπηση Προετοιμασία για την Εξέταση Ενοποιημένου Κράτους (εργασία 8) Εργασία 8 Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση a a 0 έχει είτε επτά είτε οκτώ λύσεις Let, μετά t t Αρχική εξίσωση

Το Κρατικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας πήρε το όνομά του από τον N.E. Bauman Faculty of Fundamental Sciences Τμήμα Μαθηματικών Μοντελοποίησης А.Н. Kanatnikov, A.P. Κρισένκο

Γενικές πληροφορίες Εργασίες με παραμέτρους Εξισώσεις με ενότητα εργασιών τύπου C 5 1 Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση Dikhtyar M.B. 1. Η απόλυτη τιμή, ή συντελεστής του αριθμού x, είναι ο ίδιος ο αριθμός x, εάν x 0; αριθμός x,

I. V. Yakovlev Υλικά στα μαθηματικά MathUs.ru Λογάριθμος

13. Μερικές Παράγωγοι Ανώτερων Τάξεων Έστω = έχουν και ορίζονται στο Δ Ο. Οι συναρτήσεις και λέγονται και επιμέρους παράγωγοι πρώτης τάξης μιας συνάρτησης ή πρώτες μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης. και γενικά

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΑΡΧΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ...10 Βασικές ιδιότητες συναρτήσεων...11 άρτιες και περιττές...11 Περιοδικότητα...12 συνάρτηση μηδενικά...12 Μονοτονία (αύξηση, μείωση)...13 Ακραίες (μέγιστο

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Διάλεξη. Η έννοια του συνόλου. Ορισμός συνάρτησης βασικές ιδιότητες. Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ: Στοιχεία θεωρίας συνόλων Σύνολο πραγματικών αριθμών Αριθμητικό

Θέμα 36 "Ιδιότητες συναρτήσεων" Θα αναλύσουμε τις ιδιότητες μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της γραφικής παράστασης μιας αυθαίρετης συνάρτησης y = f (x): 1. Ο τομέας μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των τιμών της μεταβλητής x που έχουν αντίστοιχες

Ασύμπτωτες Γράφημα συνάρτησης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Γραμμική-κλασματική συνάρτηση Τετράγωνο τριώνυμο Γραμμική συνάρτηση Τοπικό άκρο Σύνολο τετραγωνικών τριωνυμικών τιμών Σύνολο τιμών συνάρτησης

Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ural, Institute of Mathematics and Computer Science, Department of Algebra and Discrete Mathematics Εισαγωγικές παρατηρήσεις Αυτή η διάλεξη είναι αφιερωμένη στη μελέτη του αεροπλάνου. Το υλικό που περιέχει

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Βασικές έννοιες Μια διαφορική εξίσωση ως προς κάποια συνάρτηση είναι μια εξίσωση που συνδέει αυτή τη συνάρτηση με τις ανεξάρτητες μεταβλητές της και με τις παραγώγους της.

ΧΡΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εργασίες Γ5 7 Ανισότητες (μέθοδος εμβαδού) Ενδείξεις και λύσεις Υλικό αναφοράς Πηγές Koryanov A G, Bryansk Στείλτε σχόλια και προτάσεις στο: [email προστατευμένο]ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ

Θέμα 41 «Εργασίες με παράμετρο» Οι κύριες διατυπώσεις εργασιών με παράμετρο: 1) Βρείτε όλες τις τιμές παραμέτρων, καθεμία από τις οποίες ικανοποιεί μια συγκεκριμένη συνθήκη.) Λύστε μια εξίσωση ή ανισότητα με

Θέμα 39. «Παράγωγοι συναρτήσεων» Η συνάρτηση Παράγωγος συνάρτησης στο σημείο x 0 ονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση της μεταβλητής, δηλαδή = lim = lim + () Πίνακας παραγώγων: Παράγωγο

Τμήμα Μαθηματικών και Πληροφορικής Στοιχεία Ανώτατων Μαθηματικών Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για μαθητές δευτεροβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης που σπουδάζουν με χρήση τεχνολογιών εξ αποστάσεως Ενότητα Θεωρία ορίων Συντάκτης: Αναπληρωτής Καθηγητής

Παράγωγος συνάρτησης Η γεωμετρική και φυσική της σημασία Τεχνική διαφοροποίησης Βασικοί ορισμοί Έστω η f () ορίζεται σε (,) a, b κάποιο σταθερό σημείο, προσαύξηση ορίσματος σε ένα σημείο,

Διαφοροποίηση μιας άρρητης συνάρτησης Θεωρήστε τη συνάρτηση (,) = C (C = const) Αυτή η εξίσωση ορίζει μια άρρητη συνάρτηση () Ας υποθέσουμε ότι έχουμε λύσει αυτήν την εξίσωση και βρήκαμε μια ρητή έκφραση = () Τώρα μπορούμε

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Κρατικό Πανεπιστήμιο του Γιαροσλάβλ με το όνομα PG Demidov Τμήμα Διακριτικής Ανάλυσης ΣΥΛΛΟΓΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΛΥΣΗ ΣΤΟ ΘΕΜΑ ΟΡΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ

Περιφερειακό επιστημονικό-πρακτικό συνέδριο εκπαιδευτικών, ερευνητικών και σχεδιαστικών εργασιών μαθητών 6-11 τάξεων «Εφαρμοσμένα και θεμελιώδη ζητήματα των μαθηματικών» Μεθοδολογικές πτυχές της μελέτης των μαθηματικών

Όρια και συνέχεια. Όριο συνάρτησης Έστω η συνάρτηση = f) να οριστεί σε κάποια γειτονιά του σημείου = α. Ταυτόχρονα, στο σημείο α, η συνάρτηση δεν ορίζεται απαραίτητα. Ορισμός. Ο αριθμός b ονομάζεται όριο

Εξέταση Ενιαίας Πολιτείας στα Μαθηματικά, επίδειξη 7 ετών Μέρος Α Βρείτε την τιμή της παράστασης 6p p με p = Λύση Χρησιμοποιήστε την ιδιότητα του βαθμού: Αντικαταστήστε στην παράσταση που προκύπτει Σωστό

0.5 Λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις. Μεταχειρισμένα βιβλία:. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης 0 - επιμέλεια A.N. Kolmogorov. Ανεξάρτητες και ελεγχόμενες εργασίες στην άλγεβρα 0- επιμέλεια E.P. Ershov

Σύστημα εργασιών με θέμα «Εφαπτομενική εξίσωση» Να προσδιορίσετε το πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y f (), σε σημεία με τετμημένα α, β, γ α) β) Να αναφέρετε τα σημεία στα οποία η παράγωγος

Ανισότητες με παράμετρο στην ενιαία κρατική εξέταση VV Silvestrov

Αλγεβρικές εξισώσεις όπου Ορισμός. Η αλγεβρική είναι μια εξίσωση της μορφής 0, P () 0, μερικοί πραγματικοί αριθμοί. 0 0 Σε αυτήν την περίπτωση, η μεταβλητή ονομάζεται άγνωστη και οι αριθμοί 0 καλούνται

Εξισώσεις ευθείας γραμμής και επιπέδου Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής. Σημάδι παραλληλισμού και καθετότητας ευθειών. Στις καρτεσιανές συντεταγμένες, κάθε γραμμή στο επίπεδο Oxy ορίζεται από

Γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης Διαστήματα μονοτονίας μιας συνάρτησης Παράδειγμα 1. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση y =f (x) της παραγώγου της συνάρτησης f (x) που ορίζεται στο διάστημα (1;13). Βρείτε τα διαστήματα της συνάρτησης αύξησης

Δείγμα βασικών προβλημάτων ΜΑ και ερωτήσεων για το όριο ακολουθίας εξαμήνου Simple Calculate Sequence Limit l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Calculate Sequence Limit

Problems in Analytical Geometry, Mech-Math, Moscow State University Πρόβλημα Dan είναι ένα τετράεδρο O Εκφράστε το διάνυσμα EF ως προς τα διανύσματα O O O με αρχή στο μέσο E της ακμής O και τελειώνοντας στο σημείο F της τομής των διαμέσου του τριγώνου Λύση Έστω

Δήλωση του προβλήματος Μέθοδος διχοτόμησης Μέθοδος χορδών (μέθοδος αναλογικών μερών 4 Μέθοδος Newton (μέθοδος εφαπτομένων 5 Μέθοδος επαναλήψεων (μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων) Δήλωση του προβλήματος Έστω δεδομένο

1. Εκφράσεις και μετασχηματισμοί 1.1 Ρίζα του βαθμού n Έννοια της ρίζας του βαθμού n Ιδιότητες της ρίζας του βαθμού n: Η ρίζα του προϊόντος και το γινόμενο των ριζών: απλοποίηση της έκφρασης. βρείτε τιμές Ρίζα ενός πηλίκου

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν4. Διαφορική συνάρτησης πρώτης και ανώτερης τάξης. Αμετάβλητο της διαφορικής μορφής. Παράγωγα υψηλότερων τάξεων. Εφαρμογή του διαφορικού σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς. 1. Η έννοια του διαφορικού ....

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 «Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις». Γενίκευση της έννοιας του πτυχίου. Η ρίζα του βαθμού και οι ιδιότητές του.. ​​Ανορθολογικές εξισώσεις.. Βαθμός με λογικό εκθέτη.. Εκθετική συνάρτηση..

13. Εκθέτης και λογάριθμος Για να ολοκληρώσουμε την απόδειξη της Πρότασης 12.8, μένει να δώσουμε έναν ορισμό και να αποδείξουμε μία πρόταση. Ορισμός 13.1. Μια σειρά a i ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα αν

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ NOVOSIBIRSK ΕΙΔΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Μαθηματικά Βαθμός 10 ΕΡΕΥΝΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ Novosibirsk Για επαλήθευση

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν. Scalar field. Κατευθυντική παράγωγος. Βαθμίδα. Εφαπτόμενο επίπεδο και επιφάνεια κανονική. Ακραία συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Ακραίο υπό όρους. Παράγωγο σε σχέση με

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ NOVOSIBIRSK ΕΙΔΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Μαθηματικά Βαθμός 0 ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ Νοβοσιμπίρσκ Διαισθητικό

Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης και ιδιότητές της: λήμμα για την αμοιβαία μονοτονία ευθείας και αντίστροφης συνάρτησης. συμμετρία γραφημάτων ευθειών και αντίστροφων συναρτήσεων. θεωρήματα για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης για μια συνάρτηση αυστηρά μονότονη σε τμήμα, διάστημα και ημιδιάστημα. Παραδείγματα αντίστροφων συναρτήσεων. Ένα παράδειγμα λύσης προβλήματος. Αποδείξεις ιδιοτήτων και θεωρήματα.

Ορισμός και ιδιότητες

Ορισμός της αντίστροφης συνάρτησης
Αφήστε τη συνάρτηση να έχει έναν τομέα X και ένα σύνολο τιμών Y . Και ας έχει την ιδιότητα:
για όλα .
Στη συνέχεια, για οποιοδήποτε στοιχείο από το σύνολο Y, μόνο ένα στοιχείο του συνόλου X μπορεί να συσχετιστεί, για το οποίο . Αυτή η αντιστοιχία ορίζει μια συνάρτηση που ονομάζεται αντίστροφη συνάρτησηπρος την . Η αντίστροφη συνάρτηση συμβολίζεται ως εξής:
.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι
;
για όλα ;
για όλα .

Ιδιότητα για τη συμμετρία των γραφημάτων ευθείας και αντίστροφης συνάρτησης
Οι γραφικές παραστάσεις της ευθείας και της αντίστροφης συνάρτησης είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία γραμμή.

Θεώρημα για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης σε ένα τμήμα
Αφήστε τη συνάρτηση να είναι συνεχής και αυστηρά αυξανόμενη (φθίνουσα) στο διάστημα. Στη συνέχεια, στο διάστημα η αντίστροφη συνάρτηση ορίζεται και συνεχίζεται, η οποία είναι αυστηρά αύξουσα (φθίνουσα).

Για αυξανόμενη συνάρτηση. Για φθίνουσα - .

Θεώρημα για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης σε διάστημα
Αφήστε τη συνάρτηση να είναι συνεχής και αυστηρά αύξουσα (φθίνουσα) σε ένα ανοιχτό πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα. Τότε η αντίστροφη συνάρτηση ορίζεται και συνεχίζεται στο διάστημα, το οποίο είναι αυστηρά αύξουσα (φθίνουσα).

Για αυξανόμενη συνάρτηση.
Για φθίνουσα πορεία: .

Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί κανείς να διατυπώσει ένα θεώρημα για την ύπαρξη και τη συνέχεια μιας αντίστροφης συνάρτησης σε ένα μισό διάστημα.

Εάν η συνάρτηση είναι συνεχής και αυστηρά αυξάνεται (μειώνεται) στο μισό διάστημα ή στο , τότε ορίζεται στο μισό διάστημα ή η αντίστροφη συνάρτηση, η οποία αυστηρά αυξάνεται (μειώνεται). Εδώ .

Αν είναι αυστηρά αυξανόμενη, τότε τα διαστήματα και αντιστοιχούν στα διαστήματα και . Αν είναι αυστηρά φθίνουσα, τότε τα διαστήματα και αντιστοιχούν στα διαστήματα και .
Αυτό το θεώρημα αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο όπως το θεώρημα για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης σε ένα διάστημα.

Παραδείγματα αντίστροφων συναρτήσεων

Αρξίνη

Οικόπεδα y= αμαρτία xκαι αντίστροφη συνάρτηση y = arcsin x.

Θεωρήστε την τριγωνομετρική συνάρτηση κόλπος: . Είναι καθορισμένο και συνεχές για όλες τις τιμές του ορίσματος, αλλά δεν είναι μονοτονικό. Ωστόσο, εάν το πεδίο ορισμού περιοριστεί, τότε μπορούν να διακριθούν μονότονα τμήματα. Έτσι, στο τμήμα, η συνάρτηση ορίζεται, συνεχής, αυστηρά αυξανόμενη και παίρνει τιμές από -1 πριν +1 . Επομένως, έχει μια αντίστροφη συνάρτηση πάνω του, η οποία ονομάζεται τόξο. Το τόξο έχει ένα πεδίο ορισμού και ένα σύνολο τιμών.

Λογάριθμος

Οικόπεδα y= 2 xκαι αντίστροφη συνάρτηση y = ημερολόγιο 2 x.

Η εκθετική συνάρτηση είναι καθορισμένη, συνεχής και αυστηρά αυξανόμενη για όλες τις τιμές του ορίσματος. Το σύνολο των τιμών του είναι ένα ανοιχτό διάστημα. Η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο λογάριθμος βάσης δύο. Έχει ένα εύρος και ένα σύνολο αξιών.

Τετραγωνική ρίζα

Οικόπεδα y=x 2 και αντίστροφη συνάρτηση.

Η συνάρτηση ισχύος είναι καθορισμένη και συνεχής για όλους. Το σύνολο των τιμών του είναι ένα μισό διάστημα. Αλλά δεν είναι μονοτονικό για όλες τις τιμές του επιχειρήματος. Ωστόσο, στο μισό διάστημα είναι συνεχής και αυστηρά μονότονα αυξανόμενος. Επομένως, εάν ως πεδίο ορισμού πάρουμε το σύνολο, τότε υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση, η οποία ονομάζεται τετραγωνική ρίζα. Η αντίστροφη συνάρτηση έχει ένα πεδίο ορισμού και ένα σύνολο τιμών.

Παράδειγμα. Απόδειξη ύπαρξης και μοναδικότητας ρίζας βαθμού ν

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση , όπου n είναι φυσικός αριθμός, είναι πραγματικός μη αρνητικός αριθμός, έχει μοναδική λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, . Αυτή η λύση ονομάζεται η ρίζα του a. Δηλαδή, πρέπει να δείξετε ότι οποιοσδήποτε μη αρνητικός αριθμός έχει μια μοναδική ρίζα βαθμού n.

Θεωρήστε μια συνάρτηση της μεταβλητής x:
(P1) .

Ας αποδείξουμε ότι είναι συνεχής.
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέχειας, το δείχνουμε
.
Εφαρμόζουμε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:
(P2)
.
Ας εφαρμόσουμε τις αριθμητικές ιδιότητες των ορίων της συνάρτησης . Αφού , τότε μόνο ο πρώτος όρος είναι μη μηδενικός:
.
Η συνέχεια έχει αποδειχθεί.

Ας αποδείξουμε ότι η συνάρτηση (P1) αυξάνεται αυστηρά ως .
Ας πάρουμε αυθαίρετους αριθμούς που συνδέονται με ανισώσεις:
, , .
Πρέπει να το δείξουμε. Ας εισάγουμε μεταβλητές. Επειτα . Δεδομένου ότι , φαίνεται από το (Α2) ότι . Ή
.
Αποδεικνύεται αυστηρή αύξηση.

Βρείτε το σύνολο τιμών συνάρτησης για .
Στο σημείο , .
Ας βρούμε το όριο.
Για να γίνει αυτό, εφαρμόστε την ανισότητα Bernoulli. Όταν έχουμε:
.
Από τότε και .
Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των ανισώσεων απείρως μεγάλων συναρτήσεων, βρίσκουμε ότι .
Με αυτόν τον τρόπο, , .

Σύμφωνα με το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης, μια αντίστροφη συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Δηλαδή, για οποιοδήποτε υπάρχει ένα μοναδικό που ικανοποιεί την εξίσωση. Εφόσον έχουμε , αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε , η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση, η οποία ονομάζεται ρίζα του βαθμού n από τον αριθμό x:
.

Αποδείξεις ιδιοτήτων και θεωρήματα

Απόδειξη του λήμματος για την αμοιβαία μονοτονία ευθείας και αντίστροφης συνάρτησης

Αφήστε τη συνάρτηση να έχει έναν τομέα X και ένα σύνολο τιμών Y . Ας αποδείξουμε ότι έχει αντίστροφη συνάρτηση. Με βάση το , πρέπει να το αποδείξουμε
για όλα .

Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Ας υπάρχουν αριθμοί , άρα . Αφήστε ταυτόχρονα. Διαφορετικά, αλλάζουμε τη σημείωση ώστε να είναι . Τότε, λόγω της αυστηρής μονοτονίας της f , μία από τις ανισότητες πρέπει να ισχύει:
αν η f είναι αυστηρά αυξανόμενη.
αν η f είναι αυστηρά φθίνουσα.
Αυτό είναι . Υπήρχε μια αντίφαση. Επομένως, έχει αντίστροφη συνάρτηση.

Αφήστε τη συνάρτηση να είναι αυστηρά αυξανόμενη. Ας αποδείξουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι επίσης αυστηρά αύξουσα. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:
. Δηλαδή, πρέπει να αποδείξουμε ότι αν , τότε .

Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Αφήστε, αλλά.

Αν τότε . Αυτή η υπόθεση έχει βγει.

Αφήστε . Στη συνέχεια, λόγω της αυστηρής αύξησης της συνάρτησης , , ή . Υπήρχε μια αντίφαση. Επομένως, μόνο η περίπτωση είναι δυνατή.

Το λήμμα αποδεικνύεται για μια αυστηρά αυξανόμενη συνάρτηση. Αυτό το λήμμα μπορεί να αποδειχθεί με παρόμοιο τρόπο για μια αυστηρά φθίνουσα συνάρτηση.

Απόδειξη ιδιότητας για τη συμμετρία γραφημάτων ευθείας και αντίστροφης συνάρτησης

Έστω ένα αυθαίρετο σημείο του γραφήματος της άμεσης συνάρτησης:
(2.1) .
Ας δείξουμε ότι το σημείο , συμμετρικό προς το σημείο Α ως προς την ευθεία , ανήκει στη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης :
.
Από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει ότι
(2.2) .
Επομένως, πρέπει να δείξουμε (2.2).

Γράφημα της αντίστροφης συνάρτησης y = f -1(x)είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της ευθείας συνάρτησης y = f (Χ)σε σχέση με την ευθεία y = x .

Από τα σημεία Α και Σ ρίχνουμε κάθετες στους άξονες συντεταγμένων. Επειτα
, .

Μέσα από το σημείο Α τραβάμε μια ευθεία κάθετη στην ευθεία. Αφήστε τις ευθείες να τέμνονται στο σημείο Γ. Κατασκευάζουμε ένα σημείο S στην ευθεία έτσι ώστε . Τότε το σημείο S θα είναι συμμετρικό προς το σημείο Α ως προς την ευθεία.

Θεωρήστε τρίγωνα και . Έχουν δύο πλευρές ίσες σε μήκος: και , και ίσες γωνίες μεταξύ τους: . Επομένως είναι συνεπείς. Επειτα
.

Ας εξετάσουμε ένα τρίγωνο. Από τότε
.
Το ίδιο ισχύει και για το τρίγωνο:
.
Επειτα
.

Τώρα βρίσκουμε:
;
.

Άρα, η εξίσωση (2.2):
(2.2)
είναι ικανοποιημένος επειδή , και (2.1) ικανοποιείται:
(2.1) .

Εφόσον επιλέξαμε το σημείο Α αυθαίρετα, αυτό ισχύει για όλα τα σημεία του γραφήματος:
όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, που αντανακλώνται συμμετρικά ως προς την ευθεία, ανήκουν στη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης.
Τότε μπορούμε να ανταλλάξουμε θέσεις. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε
όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, που αντανακλώνται συμμετρικά ως προς την ευθεία γραμμή, ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Από αυτό προκύπτει ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία.

Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη του θεωρήματος για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης σε διάστημα

Let υποδηλώνει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης - το τμήμα .

1. Ας δείξουμε ότι το σύνολο των τιμών της συνάρτησης είναι το διάστημα :
,
όπου .

Πράγματι, εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής στο τμήμα , τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Weierstrass, φτάνει το ελάχιστο και το μέγιστο σε αυτό. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano-Cauchy, η συνάρτηση παίρνει όλες τις τιμές από το τμήμα. Δηλαδή για οποιοδήποτε υπάρχει , για το οποίο . Δεδομένου ότι υπάρχει ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο, η συνάρτηση παίρνει μόνο τις τιμές του τμήματος από το σύνολο.

2. Εφόσον η συνάρτηση είναι αυστηρά μονότονη, τότε σύμφωνα με τα παραπάνω, υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση , η οποία είναι επίσης αυστηρά μονότονη (αυξάνεται αν αυξάνεται και μειώνεται αν μειώνεται). Ο τομέας της αντίστροφης συνάρτησης είναι το σύνολο και το σύνολο των τιμών είναι το σύνολο.

3. Τώρα αποδεικνύουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής.

3.1. Έστω ένα αυθαίρετο εσωτερικό σημείο του τμήματος : . Ας αποδείξουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.

Αφήστε το να αντιστοιχεί στο σημείο. Δεδομένου ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι αυστηρά μονότονη, δηλαδή το εσωτερικό σημείο του τμήματος:
.
Σύμφωνα με τον ορισμό της συνέχειας, πρέπει να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε υπάρχει μια συνάρτηση τέτοια που
(3.1) για όλα .

Σημειώστε ότι μπορούμε να πάρουμε αυθαίρετα μικρά. Πράγματι, εάν έχουμε βρει μια συνάρτηση τέτοια ώστε οι ανισότητες (3.1) να ικανοποιούνται για αρκετά μικρές τιμές του , τότε θα ικανοποιούνται αυτόματα για οποιεσδήποτε μεγάλες τιμές του , εάν ορίσουμε για .

Ας το πάρουμε τόσο μικρό ώστε οι πόντοι να ανήκουν στο τμήμα :
.
Ας εισαγάγουμε και ας τακτοποιήσουμε τη σημειογραφία:



.

Μετασχηματίζουμε την πρώτη ανισότητα (3.1):
(3.1) για όλα .
;
;
;
(3.2) .
Εφόσον είναι αυστηρά μονοτονικό, συνεπάγεται ότι
(3.3.1) , αν αυξηθεί?
(3.3.2) αν μειωθεί.
Εφόσον η αντίστροφη συνάρτηση είναι επίσης αυστηρά μονότονη, οι ανισώσεις (3.3) συνεπάγονται ανισώσεις (3.2).

Για οποιαδήποτε ε > 0 υπάρχει δ, άρα |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε για όλους |y - y 0 | < δ .

Οι ανισώσεις (3.3) ορίζουν ένα ανοιχτό διάστημα του οποίου τα άκρα χωρίζονται από το σημείο με αποστάσεις και . Έστω η μικρότερη από αυτές τις αποστάσεις:
.
Λόγω της αυστηρής μονοτονίας του , , . Να γιατί . Τότε το διάστημα θα βρίσκεται στο διάστημα που ορίζεται από τις ανισότητες (3.3). Και για όλες τις τιμές που ανήκουν σε αυτό, οι ανισότητες (3.2) θα ικανοποιηθούν.

Έτσι, βρήκαμε ότι για αρκετά μικρό , υπάρχει , έτσι ώστε
στο .
Τώρα ας αλλάξουμε τη σημειογραφία.
Για αρκετά μικρό, υπάρχει τέτοιο που
στο .
Αυτό σημαίνει ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής σε εσωτερικά σημεία.

3.2. Τώρα εξετάστε τα άκρα του τομέα ορισμού. Εδώ όλα τα επιχειρήματα παραμένουν ίδια. Πρέπει να ληφθούν υπόψη μόνο μονόπλευρες γειτονιές αυτών των σημείων. Αντί για τελεία θα υπάρχει ή , και αντί για τελεία - ή .

Έτσι, για μια αυξανόμενη συνάρτηση, .
στο .
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής στο , γιατί για κάθε αρκετά μικρό υπάρχει , έτσι ώστε
στο .

Για φθίνουσα συνάρτηση , .
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής στο , γιατί για κάθε αρκετά μικρό υπάρχει , έτσι ώστε
στο .
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής στο , γιατί για κάθε αρκετά μικρό υπάρχει , έτσι ώστε
στο .

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη του θεωρήματος για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης στο διάστημα

Let υποδηλώνει τον τομέα της συνάρτησης - ένα ανοιχτό διάστημα. Έστω το σύνολο των αξιών του. Σύμφωνα με τα παραπάνω, υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση που έχει ένα πεδίο ορισμού, ένα σύνολο τιμών και είναι αυστηρά μονότονη (αυξάνεται αν αυξάνεται και μειώνεται αν μειώνεται). Αυτό μένει να το αποδείξουμε
1) το σύνολο είναι ένα ανοιχτό διάστημα , και αυτό
2) η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής σε αυτό.
Εδώ .

1. Ας δείξουμε ότι το σύνολο τιμών συνάρτησης είναι ένα ανοιχτό διάστημα:
.

Όπως κάθε μη κενό σύνολο του οποίου τα στοιχεία έχουν λειτουργία σύγκρισης, το σύνολο τιμών συνάρτησης έχει κάτω και άνω όρια:
.
Εδώ, και μπορεί να είναι πεπερασμένοι αριθμοί ή σύμβολα και .

1.1. Ας δείξουμε ότι τα σημεία και δεν ανήκουν στο σύνολο των τιμών της συνάρτησης. Δηλαδή, το σύνολο τιμών δεν μπορεί να είναι τμήμα.

Εάν ή είναι σημείο στο άπειρο: ή , τότε ένα τέτοιο σημείο δεν είναι στοιχείο του συνόλου. Επομένως, δεν μπορεί να ανήκει σε ένα σύνολο τιμών.

Έστω (ή ) ένας πεπερασμένος αριθμός. Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Έστω το σημείο (ή ) να ανήκει στο σύνολο των τιμών της συνάρτησης. Δηλαδή, υπάρχουν τέτοια για τα οποία (ή ). Πάρτε βαθμούς και ικανοποιώντας τις ανισότητες:
.
Αφού η συνάρτηση είναι αυστηρά μονοτονική, λοιπόν
, αν η f αυξάνεται.
αν η f μειώνεται.
Δηλαδή, βρήκαμε ένα σημείο στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι μικρότερη (μεγαλύτερη από ). Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό του κάτω (άνω) προσώπου, σύμφωνα με τον οποίο
για όλα .
Επομένως τα σημεία και δεν μπορεί να ανήκει σε ένα σύνολο τιμών λειτουργίες .

1.2. Τώρα ας δείξουμε ότι το σύνολο τιμών είναι ένα διάστημα , παρά μια ένωση διαστημάτων και σημείων. Δηλαδή για οποιοδήποτε σημείο υπάρχει , για το οποίο .

Σύμφωνα με τους ορισμούς της κάτω και της άνω όψης, σε οποιαδήποτε γειτονιά των σημείων και περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του συνόλου . Αφήνω - ένας αυθαίρετος αριθμός που ανήκει στο διάστημα : . Μετά για τη γειτονιά υπάρχει , για το οποίο
.
Για τη γειτονιά υπάρχει , για το οποίο
.

Επειδή η και , έπειτα . Επειτα
(4.1.1) αν αυξάνει?
(4.1.2) αν μειώνεται.
Οι ανισότητες (4.1) είναι εύκολο να αποδειχθούν με αντίφαση. Αλλά μπορείτε να χρησιμοποιήσετε , σύμφωνα με το οποίο στο σετ υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση , η οποία αυξάνεται αυστηρά αν και μειώνεται αυστηρά αν . Τότε λαμβάνουμε αμέσως ανισότητες (4.1).

Έχουμε λοιπόν ένα τμήμα , όπου αν αυξάνει?
αν μειώνεται.
Στα άκρα του τμήματος, η συνάρτηση παίρνει τις τιμές και . Επειδή η , τότε από το θεώρημα Bolzano-Cauchy, υπάρχει ένα σημείο , για το οποίο .

Επειδή η , δείξαμε έτσι ότι για οποιαδήποτε υπάρχει , για το οποίο . Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των τιμών συνάρτησης είναι ένα ανοιχτό διάστημα .

2. Ας δείξουμε τώρα ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα αυθαίρετο σημείο διάστημα : . Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε το στο τμήμα . Επειδή η , τότε η αντίστροφη συνάρτηση συνεχής στο τμήμα , συμπεριλαμβανομένου στο σημείο .

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
Ο.Ι. Δαίμονες. Διαλέξεις για τη μαθηματική ανάλυση. Μέρος 1. Μόσχα, 2004.
ΕΚ. Νικόλσκι. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. Τόμος 1. Μόσχα, 1983.