Παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμής σε απευθείας σύνδεση. Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο

Μάθημα από τη σειρά "Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι"

Γεια σου αγαπητέ αναγνώστη!

Σήμερα θα αρχίσουμε να μαθαίνουμε αλγόριθμους που σχετίζονται με τη γεωμετρία. Το γεγονός είναι ότι υπάρχουν αρκετά προβλήματα Ολυμπιάδας στην επιστήμη των υπολογιστών που σχετίζονται με την υπολογιστική γεωμετρία και η επίλυση τέτοιων προβλημάτων συχνά προκαλεί δυσκολίες.

Σε μερικά μαθήματα, θα εξετάσουμε μια σειρά από στοιχειώδη υποπροβλήματα στα οποία βασίζεται η λύση των περισσότερων προβλημάτων της υπολογιστικής γεωμετρίας.

Σε αυτό το μάθημα, θα γράψουμε ένα πρόγραμμα για βρίσκοντας την εξίσωση μιας ευθείαςπερνώντας μέσα από το δεδομένο δύο τελείες. Για να λύσουμε γεωμετρικά προβλήματα, χρειαζόμαστε κάποιες γνώσεις υπολογιστικής γεωμετρίας. Θα αφιερώσουμε μέρος του μαθήματος στη γνωριμία τους.

Πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία

Η υπολογιστική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της επιστήμης των υπολογιστών που μελετά αλγόριθμους για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Τα αρχικά δεδομένα για τέτοια προβλήματα μπορεί να είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, ένα σύνολο τμημάτων, ένα πολύγωνο (που δίνονται, για παράδειγμα, από μια λίστα των κορυφών του κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού) κ.λπ.

Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι είτε μια απάντηση σε κάποια ερώτηση (όπως αν ένα σημείο ανήκει σε ένα τμήμα, αν τέμνονται δύο τμήματα, ...), είτε κάποιο γεωμετρικό αντικείμενο (για παράδειγμα, το μικρότερο κυρτό πολύγωνο που συνδέει δεδομένα σημεία, το εμβαδόν του ένα πολύγωνο, κ.λπ.) .

Θα εξετάσουμε προβλήματα υπολογιστικής γεωμετρίας μόνο στο επίπεδο και μόνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Διανύσματα και συντεταγμένες

Για την εφαρμογή των μεθόδων υπολογιστικής γεωμετρίας, είναι απαραίτητο να μεταφραστούν οι γεωμετρικές εικόνες στη γλώσσα των αριθμών. Θα υποθέσουμε ότι δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, στο οποίο η φορά περιστροφής αριστερόστροφα ονομάζεται θετική.

Τώρα τα γεωμετρικά αντικείμενα λαμβάνουν μια αναλυτική έκφραση. Έτσι, για να ορίσετε ένα σημείο, αρκεί να καθορίσετε τις συντεταγμένες του: ένα ζεύγος αριθμών (x; y). Ένα τμήμα μπορεί να καθοριστεί καθορίζοντας τις συντεταγμένες των άκρων του, μια ευθεία μπορεί να καθοριστεί προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες ενός ζεύγους σημείων του.

Αλλά το κύριο εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων θα είναι τα διανύσματα. Επιτρέψτε μου, λοιπόν, να σας υπενθυμίσω κάποιες πληροφορίες για αυτούς.

Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που έχει ένα σημείο ΑΛΛΑθεωρείται η αρχή (σημείο εφαρμογής) και το σημείο ΣΤΟ- το τέλος ονομάζεται διάνυσμα ΑΒκαι συμβολίζεται με είτε , είτε με έντονους πεζούς χαρακτήρες, για παράδειγμα ένα .

Για να δηλώσουμε το μήκος ενός διανύσματος (δηλαδή το μήκος του αντίστοιχου τμήματος), θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο της ενότητας (για παράδειγμα, ).

Ένα αυθαίρετο διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες ίσες με τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων του τέλους και της αρχής του:

τελείες εδώ ΕΝΑκαι σι έχουν συντεταγμένες αντίστοιχα.

Για τους υπολογισμούς, θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια προσανατολισμένη γωνία, δηλαδή μια γωνία που λαμβάνει υπόψη τη σχετική θέση των διανυσμάτων.

Προσανατολισμένη γωνία μεταξύ διανυσμάτων ένα και σι θετικό εάν η περιστροφή είναι μακριά από το διάνυσμα ένα στο διάνυσμα σι γίνεται προς τη θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα) και αρνητική στην άλλη περίπτωση. Βλέπε εικ.1α, εικ.1β. Λέγεται επίσης ότι ένα ζεύγος διανυσμάτων ένα και σι θετικά (αρνητικά) προσανατολισμένο.

Έτσι, η τιμή της προσανατολισμένης γωνίας εξαρτάται από τη σειρά απαρίθμησης των διανυσμάτων και μπορεί να λάβει τιμές στο διάστημα.

Πολλά προβλήματα υπολογιστικής γεωμετρίας χρησιμοποιούν την έννοια των διανυσματικών (λοξών ή ψευδοκλιμακωμένων) προϊόντων διανυσμάτων.

Το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b είναι το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες:

Η έκφραση στα δεξιά είναι μια προσδιοριστική δεύτερης τάξης:

Σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αναλυτική γεωμετρία, αυτός είναι βαθμωτός.

Το πρόσημο του διασταυρούμενου γινομένου καθορίζει τη θέση των διανυσμάτων μεταξύ τους:

ένα και σι θετικά προσανατολισμένο.

Αν η τιμή είναι , τότε το ζεύγος των διανυσμάτων ένα και σι αρνητικά προσανατολισμένο.

Το διασταυρούμενο γινόμενο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο αν είναι συγγραμμικά ( ). Αυτό σημαίνει ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες.

Ας εξετάσουμε μερικές απλές εργασίες που είναι απαραίτητες για την επίλυση πιο περίπλοκων.

Ας ορίσουμε την εξίσωση μιας ευθείας με τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία που δίνεται από τις συντεταγμένες τους.

Έστω δύο μη συμπίπτοντα σημεία στην ευθεία: με συντεταγμένες (x1;y1) και με συντεταγμένες (x2; y2). Αντίστοιχα, το διάνυσμα με την αρχή στο σημείο και το τέλος στο σημείο έχει συντεταγμένες (x2-x1, y2-y1). Αν το P(x, y) είναι ένα αυθαίρετο σημείο στην ευθεία μας, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι (x-x1, y - y1).

Με τη βοήθεια του διασταυρούμενου γινόμενου, η συνθήκη για τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων και μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εκείνοι. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ξαναγράφουμε την τελευταία εξίσωση ως εξής:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Άρα, η ευθεία μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση της μορφής (1).

Εργασία 1. Δίνονται οι συντεταγμένες δύο σημείων. Βρείτε την αναπαράστασή του με τη μορφή ax + by + c = 0.

Σε αυτό το μάθημα, γνωρίσαμε κάποιες πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία. Λύσαμε το πρόβλημα εύρεσης της εξίσωσης της ευθείας με τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Στο επόμενο μάθημα, θα γράψουμε ένα πρόγραμμα για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών που δίνουν οι εξισώσεις μας.

Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο.

Όπως είναι γνωστό, οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Τα συστήματα συντεταγμένων μπορεί να είναι διαφορετικά ανάλογα με την επιλογή βάσης και προέλευσης.

Ορισμός. Γραμμική εξίσωσηείναι η σχέση y = f(x) μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων που απαρτίζουν αυτή την ευθεία.

Σημειώστε ότι η εξίσωση γραμμής μπορεί να εκφραστεί με παραμετρικό τρόπο, δηλαδή, κάθε συντεταγμένη κάθε σημείου εκφράζεται μέσω κάποιας ανεξάρτητης παραμέτρου t.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η τροχιά ενός κινούμενου σημείου. Σε αυτή την περίπτωση, ο χρόνος παίζει ρόλο παραμέτρου.

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

εξάλλου οι σταθερές Α, Β δεν ισούνται ταυτόχρονα με μηδέν, δηλ. A 2 + B 2  0. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C \u003d 0, A  0, B  0 - η γραμμή διέρχεται από την αρχή

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορες μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση Ax + By + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (1, 2) κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Ας συνθέσουμε στο A \u003d 3 και B \u003d -1 την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C \u003d 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου A στην παράσταση που προκύπτει.

Παίρνουμε: 3 - 2 + C \u003d 0, επομένως C \u003d -1.

Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία:

Εάν οποιοσδήποτε από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν.

Σε ένα επίπεδο, η εξίσωση μιας ευθείας που γράφεται παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1  x 2 και x \u003d x 1, εάν x 1 \u003d x 2.

Κλάσμα
=k λέγεται συντελεστής κλίσηςευθεία.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κλίση.

Αν η γενική εξίσωση της ευθείας Ax + Vy + C = 0 οδηγεί στη μορφή:

και ορίζουν
, τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίσηκ.

Η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα σημείο και ενός κατευθυντικού διανύσματος.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εκχώρηση μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός σημείου και ενός κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα ( 1 ,  2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν τη συνθήκη A 1 + B 2 = 0 ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και περνώντας από το σημείο Α(1, 2).

Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1A + (-1)B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0, ή x + y + C/A = 0.

στο x = 1, y = 2 παίρνουμε С/A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C 0, τότε, διαιρώντας με –C, παίρνουμε:
ή

, όπου

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής έναείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα x, και σι- η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας x - y + 1 = 0. Να βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας στα τμήματα.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + Wy + C = 0 διαιρούμενο με τον αριθμό
, το οποιο ονομαζεται παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcos + ysin - p = 0 –

κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Το πρόσημο  του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε С< 0.

p είναι το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στην ευθεία και  είναι η γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετο με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της γραμμής 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται να γραφούν διάφοροι τύποι εξισώσεων για αυτή τη γραμμή.

η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

κανονική εξίσωση ευθείας:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες παράλληλες προς τους άξονες ή που διέρχονται από την αρχή.

Παράδειγμα.Η ευθεία γραμμή κόβει ίσα θετικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής εάν το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από αυτά τα τμήματα είναι 8 cm 2.

Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή:
, a = b = 1; αβ/2 = 8; a = 4; - τέσσερα.

a = -4 δεν ταιριάζει στην συνθήκη του προβλήματος.

Σύνολο:
ή x + y - 4 = 0.

Παράδειγμα.Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (-2, -3) και την αρχή.

Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή:
, όπου x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 .

Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/k 2 .

Θεώρημα. Ευθείες γραμμές Ax + Vy + C = 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 είναι παράλληλοι όταν οι συντελεστές Α είναι ανάλογοι 1 =  Α, Β 1 =  Β. Εάν επίσης Γ 1 =  C, τότε οι γραμμές συμπίπτουν.

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

κάθετη σε αυτή τη γραμμή.

Ορισμός. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν ένα σημείο M(x 0 , y 0 ), τότε η απόσταση από τη γραμμή Ax + Vy + C = 0 ορίζεται ως

Απόδειξη. Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M στη δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Παράδειγμα.Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b.

k = . Τότε y =
. Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση:
από όπου b = 17. Σύνολο:
.

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Αναλυτική γεωμετρία στο χώρο.

Γραμμική εξίσωση στο χώρο.

Η εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο κατά ένα σημείο και

διάνυσμα κατεύθυνσης.

Πάρτε μια αυθαίρετη γραμμή και ένα διάνυσμα (m, n, p) παράλληλα με τη δεδομένη ευθεία. Διάνυσμα που ονομάζεται οδηγός διάνυσμαευθεία.

Ας πάρουμε δύο αυθαίρετα σημεία M 0 (x 0 , y 0 , z 0) και M(x, y, z) στην ευθεία.

Μ1

Ας υποδηλώσουμε τα διανύσματα ακτίνας αυτών των σημείων ως και , είναι προφανές ότι - =
.

Επειδή φορείς
και είναι συγγραμμικές, τότε η σχέση είναι αληθής
= t, όπου t είναι κάποια παράμετρος.

Συνολικά μπορούμε να γράψουμε: = + t.

Επειδή αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας, τότε η εξίσωση που προκύπτει είναι παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αυτή η διανυσματική εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή συντεταγμένων:

Μετασχηματίζοντας αυτό το σύστημα και εξισώνοντας τις τιμές της παραμέτρου t, λαμβάνουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο:

Ορισμός. Συνημίτονα κατεύθυνσηςάμεσες είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος , το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με τους τύπους:

;

.

Από εδώ παίρνουμε: m: n: p = cos : cos : cos.

Καλούνται οι αριθμοί m, n, p παράγοντες κλίσηςευθεία. Επειδή είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, τα m, n και p δεν μπορούν να είναι μηδέν ταυτόχρονα, αλλά ένας ή δύο από αυτούς τους αριθμούς μπορεί να είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, οι αντίστοιχοι αριθμητές θα πρέπει να εξισωθούν με το μηδέν.

Εξίσωση ευθείας σε διαστημική διέλευση

μέσα από δύο σημεία.

Εάν δύο αυθαίρετα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) σημειώνονται σε ευθεία γραμμή στο χώρο, τότε οι συντεταγμένες αυτών των σημείων πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του ευθεία γραμμή που λήφθηκε παραπάνω:

Επιπλέον, για το σημείο Μ 1 μπορούμε να γράψουμε:

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί, παίρνουμε:

Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία του χώρου.

Γενικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο.

Η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να θεωρηθεί ως η εξίσωση μιας ευθείας τομής δύο επιπέδων.

Όπως συζητήθηκε παραπάνω, ένα επίπεδο σε διανυσματική μορφή μπορεί να δοθεί από την εξίσωση:

+ D = 0, όπου

- κανονικό αεροπλάνο. - ακτίνα-διάνυσμα αυθαίρετου σημείου του επιπέδου.

Αυτό το άρθρο αποκαλύπτει την εξαγωγή της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Εξάγουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Θα δείξουμε οπτικά και θα λύσουμε αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με το υλικό που καλύπτεται.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Πριν λάβουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, είναι απαραίτητο να δώσουμε προσοχή σε ορισμένα γεγονότα. Υπάρχει ένα αξίωμα που λέει ότι μέσω δύο μη συμπίπτων σημείων σε ένα επίπεδο είναι δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή και μόνο μία. Με άλλα λόγια, δύο δεδομένα σημεία του επιπέδου καθορίζονται από μια ευθεία που διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Εάν το επίπεδο δίνεται από το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy, τότε οποιαδήποτε ευθεία που απεικονίζεται σε αυτό θα αντιστοιχεί στην εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο. Υπάρχει και σύνδεση με το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.Τα δεδομένα αυτά είναι επαρκή για να συντάξουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Εξετάστε ένα παράδειγμα επίλυσης παρόμοιου προβλήματος. Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής a που διέρχεται από δύο αταίριαστα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) που βρίσκονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Στην κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο, που έχει τη μορφή x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y καθορίζεται με μια ευθεία γραμμή που τέμνεται μαζί της σε ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) με οδηγό διάνυσμα a → = (a x , a y) .

Είναι απαραίτητο να συντεθεί η κανονική εξίσωση της ευθείας α, η οποία θα διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) .

Η ευθεία α έχει κατευθυντικό διάνυσμα M 1 M 2 → με συντεταγμένες (x 2 - x 1, y 2 - y 1), αφού τέμνει τα σημεία M 1 και M 2. Λάβαμε τα απαραίτητα δεδομένα για να μετασχηματίσουμε την κανονική εξίσωση με τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) και τις συντεταγμένες των σημείων M 1 που βρίσκονται πάνω τους (x 1, y 1) και M 2 (x 2 , y 2) . Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Ακολουθώντας τους υπολογισμούς γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) . Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ή x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από 2 δεδομένα σημεία με συντεταγμένες M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Λύση

Η κανονική εξίσωση για μια ευθεία που τέμνεται σε δύο σημεία με τις συντεταγμένες x 1 , y 1 και x 2 , y 2 παίρνει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, έχουμε ότι x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις αριθμητικές τιμές στην εξίσωση x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Από εδώ παίρνουμε ότι η κανονική εξίσωση θα πάρει τη μορφή x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Απάντηση: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Εάν είναι απαραίτητο να λύσετε ένα πρόβλημα με έναν διαφορετικό τύπο εξίσωσης, τότε για αρχή μπορείτε να πάτε στην κανονική, καθώς είναι ευκολότερο να έρθετε σε οποιοδήποτε άλλο από αυτό.

Παράδειγμα 2

Να συνθέσετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 1 (1, 1) και M 2 (4, 2) στο σύστημα συντεταγμένων O x y.

Λύση

Πρώτα πρέπει να γράψετε την κανονική εξίσωση μιας δεδομένης γραμμής που διέρχεται από τα δεδομένα δύο σημεία. Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Φέρνουμε την κανονική εξίσωση στην επιθυμητή μορφή και, στη συνέχεια, παίρνουμε:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Απάντηση: x - 3 y + 2 = 0 .

Παραδείγματα τέτοιων εργασιών εξετάστηκαν στα σχολικά εγχειρίδια στα μαθήματα άλγεβρας. Οι σχολικές εργασίες διέφεραν στο ότι ήταν γνωστή η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με συντελεστή κλίσης, με τη μορφή y \u003d k x + b. Εάν πρέπει να βρείτε την τιμή της κλίσης k και τον αριθμό b, στον οποίο η εξίσωση y \u003d k x + b ορίζει μια γραμμή στο σύστημα O x y που διέρχεται από τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2), όπου x 1 ≠ x 2 . Όταν x 1 = x 2 , τότε η κλίση παίρνει την τιμή του άπειρου και η ευθεία M 1 M 2 ορίζεται από μια γενική ατελή εξίσωση της μορφής x - x 1 = 0 .

Γιατί οι τελείες Μ 1και Μ 2βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση y 1 = k x 1 + b και y 2 = k x 2 + b. Είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b ως προς τα k και b.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Με τέτοιες τιμές των k και b, η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία παίρνει την ακόλουθη μορφή y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ή y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Η απομνημόνευση τόσο μεγάλου αριθμού τύπων ταυτόχρονα δεν θα λειτουργήσει. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αυξηθεί ο αριθμός των επαναλήψεων στην επίλυση προβλημάτων.

Παράδειγμα 3

Να γράψετε την εξίσωση ευθείας με κλίση που διέρχεται από σημεία με συντεταγμένες M 2 (2, 1) και y = k x + b.

Λύση

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε έναν τύπο με κλίση που έχει τη μορφή y \u003d k x + b. Οι συντελεστές k και b πρέπει να λάβουν τέτοια τιμή ώστε αυτή η εξίσωση να αντιστοιχεί σε μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (- 7 , - 5) και M 2 (2 , 1) .

σημεία Μ 1και Μ 2που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, τότε οι συντεταγμένες τους θα πρέπει να αντιστρέψουν την εξίσωση y = k x + b τη σωστή ισότητα. Από εδώ παίρνουμε ότι - 5 = k · (- 7) + b και 1 = k · 2 + b. Ας συνδυάσουμε την εξίσωση στο σύστημα - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b και ας λύσουμε.

Κατά την αντικατάσταση, το παίρνουμε αυτό

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Τώρα οι τιμές k = 2 3 και b = - 1 3 αντικαθίστανται στην εξίσωση y = k x + b. Παίρνουμε ότι η επιθυμητή εξίσωση που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία θα είναι μια εξίσωση που έχει τη μορφή y = 2 3 x - 1 3 .

Αυτός ο τρόπος επίλυσης προκαθορίζει τη δαπάνη μεγάλου χρόνου. Υπάρχει ένας τρόπος με τον οποίο η εργασία λύνεται κυριολεκτικά σε δύο βήματα.

Γράφουμε την κανονική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από M 2 (2, 1) και M 1 (- 7, - 5) , που έχει τη μορφή x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Τώρα ας προχωρήσουμε στην εξίσωση της κλίσης. Παίρνουμε ότι: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Απάντηση: y = 2 3 x - 1 3 .

Εάν στον τρισδιάστατο χώρο υπάρχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z με δύο δεδομένα μη συμπίπτοντα σημεία με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), η ευθεία γραμμή M που διέρχεται από αυτά 1 M 2, είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση αυτής της ευθείας.

Έχουμε ότι κανονικές εξισώσεις της μορφής x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z και παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ μπορούν να ορίσουν μια γραμμή στο σύστημα συντεταγμένων O x y z που διέρχεται από σημεία που έχουν συντεταγμένες (x 1, y 1, z 1) με ένα κατευθυντικό διάνυσμα a → = (a x, a y, a z) .

Ευθεία M 1 M 2 έχει διάνυσμα κατεύθυνσης της μορφής M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , όπου η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1 , y 1 , z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), επομένως η κανονική εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ή x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, με τη σειρά της, παραμετρική x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ή x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Θεωρήστε ένα σχήμα που δείχνει 2 δεδομένα σημεία στο χώρο και την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Παράδειγμα 4

Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατου χώρου, που διέρχεται από τα δεδομένα δύο σημεία με συντεταγμένες M 1 (2, - 3, 0) και M 2 (1, - 3, - 5). ) .

Λύση

Πρέπει να βρούμε την κανονική εξίσωση. Εφόσον μιλάμε για τρισδιάστατο χώρο, σημαίνει ότι όταν μια ευθεία διέρχεται από δεδομένα σημεία, η επιθυμητή κανονική εξίσωση θα πάρει τη μορφή x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Με συνθήκη, έχουμε ότι x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Από αυτό προκύπτει ότι οι απαραίτητες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν ως εξής:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Απάντηση: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο K(x 0; y 0) και είναι παράλληλη προς την ευθεία y = kx + a βρίσκεται με τον τύπο:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Όπου k είναι η κλίση της ευθείας.

Εναλλακτική φόρμουλα:
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1 ; y 1) και είναι παράλληλη προς την ευθεία Ax+By+C=0 αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Παράδειγμα #1. Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (-2.1) και ταυτόχρονα:
α) παράλληλη προς την ευθεία 2x+3y -7 = 0;
β) κάθετη στην ευθεία 2x+3y -7 = 0.
Λύση . Ας αναπαραστήσουμε την εξίσωση κλίσης ως y = kx + a . Για να γίνει αυτό, θα μεταφέρουμε όλες τις τιμές εκτός από το y στη δεξιά πλευρά: 3y = -2x + 7 . Στη συνέχεια διαιρούμε τη δεξιά πλευρά με τον συντελεστή 3 . Παίρνουμε: y = -2/3x + 7/3
Να βρείτε την εξίσωση ΝΚ που διέρχεται από το σημείο Κ(-2;1) παράλληλο στην ευθεία y = -2 / 3 x + 7 / 3
Αντικαθιστώντας x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 παίρνουμε:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ή
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ή 3y + 2x +1 = 0

Παράδειγμα #2. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας παράλληλης στην ευθεία 2x + 5y = 0 και σχηματίζοντας μαζί με τους άξονες συντεταγμένων ένα τρίγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι 5.
Λύση . Δεδομένου ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας είναι 2x + 5y + C = 0. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, όπου a και b είναι τα σκέλη του. Βρείτε τα σημεία τομής της επιθυμητής ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων:
;
.
Άρα, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Αντικαταστήστε στον τύπο για την περιοχή: . Παίρνουμε δύο λύσεις: 2x + 5y + 10 = 0 και 2x + 5y - 10 = 0 .

Παράδειγμα #3. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2; 5) και την παράλληλη ευθεία 5x-7y-4=0 .
Λύση. Αυτή η ευθεία μπορεί να παρασταθεί με την εξίσωση y = 5/7 x – 4/7 (εδώ a = 5/7). Η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής είναι y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), δηλ. 7(y-5)=5(x+2) ή 5x-7y+45=0 .

Παράδειγμα #4. Λύνοντας το παράδειγμα 3 (A=5, B=-7) χρησιμοποιώντας τον τύπο (2), βρίσκουμε 5(x+2)-7(y-5)=0.

Παράδειγμα αριθμός 5. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2;5) και μιας παράλληλης ευθείας 7x+10=0.
Λύση. Εδώ Α=7, Β=0. Ο τύπος (2) δίνει 7(x+2)=0, δηλ. x+2=0. Ο τύπος (1) δεν είναι εφαρμόσιμος, καθώς αυτή η εξίσωση δεν μπορεί να λυθεί ως προς το y (αυτή η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα y).

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία. Στο άρθρο" " Σας υποσχέθηκα να αναλύσω τον δεύτερο τρόπο επίλυσης των προβλημάτων που παρουσιάζονται για την εύρεση της παραγώγου, με ένα δεδομένο γράφημα συνάρτησης και μια εφαπτομένη σε αυτό το γράφημα. Θα εξερευνήσουμε αυτή τη μέθοδο στο , μην χάσετε! ΓιατίΕπόμενο?

Το γεγονός είναι ότι εκεί θα χρησιμοποιηθεί ο τύπος της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής. Φυσικά, κάποιος θα μπορούσε απλώς να δείξει αυτόν τον τύπο και να σας συμβουλεύσει να τον μάθετε. Αλλά είναι καλύτερα να εξηγήσουμε από πού προέρχεται (πώς προέρχεται). Είναι απαραίτητο! Εάν το ξεχάσετε, τότε επαναφέρετέ το γρήγοραδεν θα είναι δύσκολο. Όλα αναλυτικά παρακάτω. Άρα, έχουμε δύο σημεία Α στο επίπεδο συντεταγμένων(x 1; y 1) και B (x 2; y 2), χαράσσεται μια ευθεία γραμμή στα υποδεικνυόμενα σημεία:

Εδώ είναι ο άμεσος τύπος:

*Δηλαδή κατά την αντικατάσταση των συγκεκριμένων συντεταγμένων των σημείων παίρνουμε εξίσωση της μορφής y=kx+b.

** Εάν αυτός ο τύπος είναι απλώς «απομνημονευμένος», τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα σύγχυσης με δείκτες όταν Χ. Επιπλέον, τα ευρετήρια μπορούν να υποδηλωθούν με διαφορετικούς τρόπους, για παράδειγμα:

Γι' αυτό είναι σημαντικό να κατανοήσουμε το νόημα.

Τώρα η παραγωγή αυτού του τύπου. Όλα είναι πολύ απλά!

Τα τρίγωνα ABE και ACF είναι παρόμοια ως προς την οξεία γωνία (το πρώτο σημάδι της ομοιότητας των ορθογωνίων τριγώνων). Από αυτό προκύπτει ότι οι λόγοι των αντίστοιχων στοιχείων είναι ίσοι, δηλαδή:

Τώρα απλώς εκφράζουμε αυτά τα τμήματα ως προς τη διαφορά στις συντεταγμένες των σημείων:

Φυσικά, δεν θα υπάρξει σφάλμα εάν γράψετε τις σχέσεις των στοιχείων με διαφορετική σειρά (το κύριο πράγμα είναι να διατηρήσετε την αντιστοιχία):

Το αποτέλεσμα είναι η ίδια εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Είναι όλα!

Δηλαδή, ανεξάρτητα από το πώς ορίζονται τα ίδια τα σημεία (και οι συντεταγμένες τους), κατανοώντας αυτόν τον τύπο, θα βρείτε πάντα την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Ο τύπος μπορεί να συναχθεί χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των διανυσμάτων, αλλά η αρχή της παραγωγής θα είναι η ίδια, αφού θα μιλήσουμε για την αναλογικότητα των συντεταγμένων τους. Σε αυτή την περίπτωση, λειτουργεί η ίδια ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων. Κατά τη γνώμη μου, το συμπέρασμα που περιγράφεται παραπάνω είναι πιο κατανοητό)).

Προβολή εξόδου μέσω διανυσματικών συντεταγμένων >>>

Έστω μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο συντεταγμένων που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία A (x 1, y 1) και B (x 2, y 2). Ας σημειώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο C στην ευθεία με συντεταγμένες ( Χ; y). Δηλώνουμε επίσης δύο διανύσματα:

Είναι γνωστό ότι για διανύσματα που βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες (ή σε μία ευθεία), οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ανάλογες, δηλαδή:

- γράφουμε την ισότητα των λόγων των αντίστοιχων συντεταγμένων:

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες (2;5) και (7:3).

Δεν μπορείτε καν να φτιάξετε την ίδια τη γραμμή. Εφαρμόζουμε τον τύπο:

Είναι σημαντικό να πιάσετε την αλληλογραφία κατά την κατάρτιση της αναλογίας. Δεν μπορείτε να κάνετε λάθος αν γράψετε:

Απάντηση: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Για να βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση που προκύπτει βρίσκεται σωστά, φροντίστε να την ελέγξετε - αντικαταστήστε τις συντεταγμένες δεδομένων σε αυτήν στην κατάσταση των σημείων. Θα πρέπει να έχετε σωστές ισότητες.

Αυτό είναι όλο. Ελπίζω ότι το υλικό σας ήταν χρήσιμο.

Με εκτίμηση, Αλέξανδρος.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.