εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις. Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε διάφορες εκθετικές ανισώσεις και θα μάθουμε πώς να τις λύνουμε με βάση τη μέθοδο για την επίλυση των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων

1. Ορισμός και ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης

Θυμηθείτε τον ορισμό και τις κύριες ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης. Στις ιδιότητες βασίζεται η λύση όλων των εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Εκθετικη συναρτησηείναι συνάρτηση της μορφής , όπου η βάση είναι ο βαθμός και εδώ το x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, ένα όρισμα. y - εξαρτημένη μεταβλητή, συνάρτηση.

Ρύζι. 1. Γράφημα της εκθετικής συνάρτησης

Το γράφημα δείχνει έναν αυξανόμενο και φθίνοντα εκθέτη, απεικονίζοντας την εκθετική συνάρτηση σε βάση μεγαλύτερη από μία και μικρότερη από μία, αλλά μεγαλύτερη από μηδέν, αντίστοιχα.

Και οι δύο καμπύλες περνούν από το σημείο (0;1)

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης:

Τομέα: ;

Εύρος τιμών: ;

Η συνάρτηση είναι μονότονη, αυξάνεται όσο , μειώνεται ως .

Μια μονότονη συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της με μία μόνο τιμή του ορίσματος.

Όταν, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μηδέν, χωρίς να συμπεριλαμβάνεται, στο συν άπειρο, δηλαδή, για δεδομένες τιμές του ορίσματος, έχουμε μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση (). Όταν, αντίθετα, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν, συμπεριλαμβανομένου, δηλαδή, για δεδομένες τιμές του ορίσματος, έχουμε μια μονότονα φθίνουσα συνάρτηση ().

2. Οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις, τεχνική λύσης, παράδειγμα

Με βάση τα παραπάνω, παρουσιάζουμε μια μέθοδο για την επίλυση των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων:

Μέθοδος επίλυσης ανισώσεων:

Εξισώστε τις βάσεις των μοιρών.

Συγκρίνετε δείκτες, διατηρώντας ή μεταβάλλοντας στο αντίθετο πρόσημο της ανισότητας.

Η λύση των μιγαδικών εκθετικών ανισώσεων συνίσταται, κατά κανόνα, στην αναγωγή τους στις απλούστερες εκθετικές ανισώσεις.

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, που σημαίνει ότι διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας:

Ας μετατρέψουμε τη δεξιά πλευρά σύμφωνα με τις ιδιότητες του βαθμού:

Η βάση του βαθμού είναι μικρότερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας πρέπει να αντιστραφεί:

Για να λύσουμε μια δευτεροβάθμια ανίσωση, λύνουμε την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση:

Με το θεώρημα του Vieta, βρίσκουμε τις ρίζες:

Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Έτσι, έχουμε μια λύση στην ανισότητα:

Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι η δεξιά πλευρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη με μηδενικό εκθέτη:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει, παίρνουμε:

Θυμηθείτε τη διαδικασία για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων.

Θεωρήστε μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση:

Εύρεση του πεδίου ορισμού:

Βρίσκουμε τις ρίζες της συνάρτησης:

Η συνάρτηση έχει μια ενιαία ρίζα,

Ξεχωρίζουμε διαστήματα σταθερότητας πρόσημου και προσδιορίζουμε τα πρόσημα της συνάρτησης σε κάθε διάστημα:

Ρύζι. 2. Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου

Λοιπόν πήραμε την απάντηση.

Απάντηση:

3. Λύση τυπικών εκθετικών ανισώσεων

Θεωρήστε ανισότητες με τους ίδιους εκθέτες αλλά διαφορετικές βάσεις.

Μία από τις ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης είναι ότι παίρνει αυστηρά θετικές τιμές για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να χωριστεί σε μια εκθετική συνάρτηση. Ας διαιρέσουμε τη δεδομένη ανισότητα με τη δεξιά πλευρά της:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη του ενός, το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται.

Ας δείξουμε τη λύση:

Το σχήμα 6.3 δείχνει τα γραφήματα των συναρτήσεων και . Προφανώς, όταν το όρισμα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται ψηλότερα, αυτή η συνάρτηση είναι μεγαλύτερη. Όταν οι τιμές του ορίσματος είναι αρνητικές, η συνάρτηση περνά από κάτω, είναι μικρότερη. Εάν η τιμή του ορίσματος είναι ίση, τότε το δεδομένο σημείο είναι επίσης μια λύση στη δεδομένη ανισότητα.

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για παράδειγμα 4

Μετασχηματίζουμε τη δεδομένη ανισότητα σύμφωνα με τις ιδιότητες του βαθμού:

Εδώ είναι παρόμοια μέλη:

Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη σε:

Τώρα συνεχίζουμε να λύνουμε παρόμοια με το παράδειγμα 4, διαιρούμε και τα δύο μέρη με:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας:

4. Γραφική λύση εκθετικών ανισώσεων

Παράδειγμα 6 - λύστε την ανισότητα γραφικά:

Εξετάστε τις συναρτήσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά και σχεδιάστε καθεμία από αυτές.

Η συνάρτηση είναι ένας εκθέτης, αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού της, δηλαδή για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος.

Η συνάρτηση είναι γραμμική, μειώνεται σε όλο το πεδίο ορισμού της, δηλαδή για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος.

Εάν αυτές οι συναρτήσεις τέμνονται, δηλαδή το σύστημα έχει μια λύση, τότε μια τέτοια λύση είναι μοναδική και μπορεί εύκολα να μαντέψει. Για να το κάνετε αυτό, επαναλάβετε τους ακέραιους αριθμούς ()

Είναι εύκολο να δούμε ότι η ρίζα αυτού του συστήματος είναι:

Έτσι, τα γραφήματα συναρτήσεων τέμνονται σε ένα σημείο με όρισμα ίσο με ένα.

Τώρα πρέπει να πάρουμε μια απάντηση. Η έννοια της δεδομένης ανισότητας είναι ότι ο εκθέτης πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τη γραμμική συνάρτηση, δηλαδή πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με αυτήν. Η απάντηση είναι προφανής: (Εικόνα 6.4)

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για παράδειγμα 6

Έτσι, εξετάσαμε τη λύση διαφόρων τυπικών εκθετικών ανισώσεων. Στη συνέχεια, στραφούμε στην εξέταση πιο περίπλοκων εκθετικών ανισοτήτων.

Βιβλιογραφία

Mordkovich A. G. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Μνημοσύνη. Muravin G. K., Muravina O. V. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Μπάσταρντ. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Διαφωτισμός.

Μαθηματικά. md . Μαθηματικά-επανάληψη. com. Diffur. κεμσού. ru.

Εργασία για το σπίτι

1. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης, βαθμοί 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Λύστε την ανίσωση:

3. Λύστε την ανίσωση.

και x = b είναι η απλούστερη εκθετική εξίσωση. Σε αυτόν έναμεγαλύτερο από το μηδέν και έναδεν ισούται με ένα.

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων

Από τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης, γνωρίζουμε ότι το εύρος τιμών της περιορίζεται σε θετικούς πραγματικούς αριθμούς. Τότε αν b = 0, η εξίσωση δεν έχει λύσεις. Η ίδια κατάσταση συμβαίνει και στην εξίσωση όπου β

Τώρα ας υποθέσουμε ότι b>0. Αν σε εκθετική συνάρτηση η βάση έναμεγαλύτερο από ένα, τότε η συνάρτηση θα αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Αν στην εκθετική συνάρτηση για τη βάση έναικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη 0

Με βάση αυτό και εφαρμόζοντας το θεώρημα της ρίζας, παίρνουμε ότι η εξίσωση a x = b έχει μία μοναδική ρίζα, για b>0 και θετική έναόχι ίσο με ένα. Για να το βρείτε, πρέπει να αναπαραστήσετε το b με τη μορφή b = a c .
Τότε είναι προφανές ότι Μεθα είναι λύση της εξίσωσης a x = a c .

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα: λύστε την εξίσωση 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25.

Ας αντιπροσωπεύσουμε το 25 ως 5 2, παίρνουμε:

5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 .

Ή τι είναι ισοδύναμο:

x 2 - 2 * x - 1 = 2.

Λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει με οποιαδήποτε από τις γνωστές μεθόδους. Παίρνουμε δύο ρίζες x = 3 και x = -1.

Απάντηση: 3;-1.

Ας λύσουμε την εξίσωση 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: t=2 x και πάρουμε την παρακάτω τετραγωνική εξίσωση:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Λύνουμε αυτήν την εξίσωση με οποιαδήποτε από τις γνωστές μεθόδους. Παίρνουμε τις ρίζες t1 = 1 t2 = 4

Τώρα λύνουμε τις εξισώσεις 2 x = 1 και 2 x = 4.

Απάντηση: 0;2.

Επίλυση εκθετικών ανισώσεων

Η λύση των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων βασίζεται επίσης στις ιδιότητες των αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης. Εάν σε μια εκθετική συνάρτηση η βάση a είναι μεγαλύτερη από ένα, τότε η συνάρτηση θα αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. Αν στην εκθετική συνάρτηση για τη βάση έναικανοποιείται η παρακάτω προϋπόθεση 0, τότε αυτή η συνάρτηση θα είναι φθίνουσα σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: λύστε την ανίσωση (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Σημειώστε ότι 4 = (0,5) 2 . Τότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Παίρνουμε: 7 - 3*x>-2.

Από εδώ: x<3.

Απάντηση: x<3.

Εάν στην ανισότητα η βάση ήταν μεγαλύτερη από ένα, τότε όταν απαλλαγείτε από τη βάση, το πρόσημο της ανισότητας δεν θα χρειαζόταν να αλλάξει.

Εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις είναι εκείνες οι εξισώσεις και ανισώσεις στις οποίες ο άγνωστος περιέχεται στον εκθέτη.

Η λύση των εκθετικών εξισώσεων συχνά καταλήγει στην επίλυση της εξίσωσης a x \u003d a b, όπου a > 0, a ≠ 1, x είναι ένας άγνωστος. Αυτή η εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα x \u003d b, καθώς ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα. Αν a > 0, a ≠ 1 και a x 1 = a x 2, τότε x 1 = x 2.

Ας δικαιολογήσουμε τον εξεταζόμενο ισχυρισμό.

Έστω ότι η ισότητα x 1 = x 2 δεν ικανοποιείται, δηλ. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, τότε η εκθετική συνάρτηση y \u003d a x αυξάνεται και επομένως η ανισότητα a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >α x 2. Και στις δύο περιπτώσεις, λάβαμε μια αντίφαση στην συνθήκη a x 1 = a x 2 .

Ας εξετάσουμε διάφορες εργασίες.

Λύστε την εξίσωση 4 ∙ 2 x = 1.

Λύση.

Γράφουμε την εξίσωση με τη μορφή 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.

Απάντηση. x = -2.

Λύστε την εξίσωση 2 3x ∙ 3 x = 576.

Λύση.

Δεδομένου ότι 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί με τη μορφή 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 ή με τη μορφή 24 x \u003d 24 2.

Από εδώ παίρνουμε x = 2.

Απάντηση. x = 2.

Λύστε την εξίσωση 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.

Λύση.

Ανεβάζοντας τον κοινό παράγοντα 3 x - 2 στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,

από όπου 3 x - 2 = 1, δηλ. x - 2 = 0, x = 2.

Απάντηση. x = 2.

Λύστε την εξίσωση 3 x = 7 x.

Λύση.

Εφόσον 7 x ≠ 0, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως 3 x / 7 x = 1, επομένως (3/7) x = 1, x = 0.

Απάντηση. x = 0.

Λύστε την εξίσωση 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.

Λύση.

Αντικαθιστώντας το 3 x \u003d a, αυτή η εξίσωση ανάγεται σε μια τετραγωνική εξίσωση a 2 - 4a - 45 \u003d 0.

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, βρίσκουμε τις ρίζες της: a 1 \u003d 9 και 2 \u003d -5, από όπου 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.

Η εξίσωση 3 x \u003d 9 έχει ρίζα 2 και η εξίσωση 3 x \u003d -5 δεν έχει ρίζες, καθώς η εκθετική συνάρτηση δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές.

Απάντηση. x = 2.

Η επίλυση εκθετικών ανισώσεων συχνά καταλήγει στην επίλυση ανισώσεων a x > a b ή a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Ας εξετάσουμε μερικά καθήκοντα.

Λύστε την ανισότητα 3 x< 81.

Λύση.

Γράφουμε την ανισότητα με τη μορφή 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, τότε η συνάρτηση y \u003d 3 x αυξάνεται.

Επομένως, για το x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Έτσι, για το x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Απάντηση. Χ< 4.

Λύστε την ανίσωση 16 x +4 x - 2 > 0.

Λύση.

Σημειώστε 4 x = t, τότε παίρνουμε την τετραγωνική ανισότητα t2 + t - 2 > 0.

Αυτή η ανισότητα ισχύει για t< -2 и при t > 1.

Εφόσον t = 4 x, παίρνουμε δύο ανισώσεις 4 x< -2, 4 х > 1.

Η πρώτη ανισότητα δεν έχει λύση, αφού 4 x > 0 για όλα τα x ∈ R.

Γράφουμε τη δεύτερη ανίσωση με τη μορφή 4 x > 4 0 , από όπου x > 0.

Απάντηση. x > 0.

Λύστε γραφικά την εξίσωση (1/3) x = x - 2/3.

Λύση.

1) Ας σχεδιάσουμε τα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d (1/3) x και y \u003d x - 2/3.

2) Με βάση το σχήμα μας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των εξεταζόμενων συναρτήσεων τέμνονται σε ένα σημείο με την τετμημένη x ≈ 1. Η επαλήθευση αποδεικνύει ότι

x \u003d 1 - η ρίζα αυτής της εξίσωσης:

(1/3) 1 = 1/3 και 1 - 2/3 = 1/3.

Με άλλα λόγια, βρήκαμε μια από τις ρίζες της εξίσωσης.

3) Βρείτε άλλες ρίζες ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν. Η συνάρτηση (1/3) x μειώνεται και η συνάρτηση y \u003d x - 2/3 αυξάνεται. Επομένως, για x > 1, οι τιμές της πρώτης συνάρτησης είναι μικρότερες από 1/3 και της δεύτερης είναι μεγαλύτερες από 1/3. στο x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 και x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Απάντηση. x = 1.

Σημειώστε ότι από τη λύση αυτού του προβλήματος, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι η ανίσωση (1/3) x > x – 2/3 ικανοποιείται για το x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.