Ολική ενέργεια ενός μαθηματικού τύπου εκκρεμούς. Αρμονικές δονήσεις

Ορισμός

Μαθηματικό εκκρεμές- πρόκειται για ειδική περίπτωση φυσικού εκκρεμούς, η μάζα του οποίου βρίσκεται σε ένα σημείο.

Συνήθως, μια μικρή σφαίρα (σημείο υλικού), με μεγάλη μάζα, που αιωρείται σε ένα μακρύ μη εκτάσιμο νήμα (αιώρηση) θεωρείται μαθηματικό εκκρεμές. Αυτό είναι ένα εξιδανικευμένο σύστημα που ταλαντώνεται υπό την επίδραση της βαρύτητας. Μόνο για γωνίες της τάξης του 50-100 το μαθηματικό εκκρεμές είναι αρμονικός ταλαντωτής, δηλαδή εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις.

Μελετώντας την ταλάντευση ενός πολυελαίου σε μια μακριά αλυσίδα, ο Galileo μελέτησε τις ιδιότητες ενός μαθηματικού εκκρεμούς. Συνειδητοποίησε ότι η περίοδος ταλάντωσης ενός δεδομένου συστήματος δεν εξαρτάται από το πλάτος σε μικρές γωνίες παραμόρφωσης.

Ο τύπος για την περίοδο ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς

Αφήστε το σημείο ανάρτησης του εκκρεμούς να σταθεροποιηθεί. Ένα φορτίο που αιωρείται από ένα νήμα εκκρεμούς κινείται κατά μήκος ενός τόξου κύκλου (Εικ.1(α)) με επιτάχυνση, και κάποια δύναμη επαναφοράς ($\overline(F)$) επενεργεί σε αυτό. Αυτή η δύναμη αλλάζει καθώς το φορτίο κινείται. Ως αποτέλεσμα, ο υπολογισμός της κίνησης γίνεται πολύπλοκος. Ας εισάγουμε μερικές απλοποιήσεις. Αφήστε το εκκρεμές να μην ταλαντώνεται σε επίπεδο, αλλά να περιγράφει έναν κώνο (Εικ. 1 (β)). Το φορτίο σε αυτή την περίπτωση κινείται κυκλικά. Η περίοδος των ταλαντώσεων που μας ενδιαφέρει θα συμπέσει με την περίοδο της κωνικής κίνησης του φορτίου. Η περίοδος περιστροφής ενός κωνικού εκκρεμούς γύρω από την περιφέρεια είναι ίση με το χρόνο που ξοδεύει το βάρος σε μια στροφή γύρω από την περιφέρεια:

όπου $L$ είναι η περιφέρεια. $v$ - η ταχύτητα της κίνησης του φορτίου. Εάν οι γωνίες απόκλισης του νήματος από την κατακόρυφο είναι μικρές (μικρά πλάτη ταλάντωσης), τότε θεωρείται ότι η δύναμη επαναφοράς ($F_1$) κατευθύνεται κατά μήκος της ακτίνας του κύκλου που περιγράφει το φορτίο. Τότε αυτή η δύναμη είναι ίση με την κεντρομόλο δύναμη:

Εξετάστε παρόμοια τρίγωνα: AOB και DBC (Εικ. 1 (β)).

Εξισώνουμε τα σωστά μέρη των παραστάσεων (2) και (3), εκφράζουμε την ταχύτητα κίνησης του φορτίου:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\αριστερά(4\δεξιά).\]

Αντικαθιστούμε την ταχύτητα που προκύπτει με τον τύπο (1), έχουμε:

\ \

Από τον τύπο (5) βλέπουμε ότι η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από το μήκος της ανάρτησής του (η απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου) και την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης. Ο τύπος (5) για την περίοδο ενός μαθηματικού εκκρεμούς ονομάζεται τύπος Huygens· εκπληρώνεται όταν το σημείο ανάρτησης του εκκρεμούς δεν κινείται.

Χρησιμοποιώντας την εξάρτηση της περιόδου ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς από την επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης, προσδιορίζεται η τιμή αυτής της επιτάχυνσης. Για να το κάνετε αυτό, μετρήστε το μήκος του εκκρεμούς, λαμβάνοντας υπόψη έναν μεγάλο αριθμό ταλαντώσεων, βρείτε την περίοδο $T$ και μετά υπολογίστε την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύση

Παράδειγμα 1

Ασκηση.Όπως γνωρίζετε, το μέγεθος της επιτάχυνσης της ελεύθερης πτώσης εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος. Ποια είναι η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης στο γεωγραφικό πλάτος της Μόσχας εάν η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς μήκους $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m είναι T=1 c?\textit()

Λύση.Ως βάση για την επίλυση του προβλήματος, παίρνουμε τον τύπο για την περίοδο ενός μαθηματικού εκκρεμούς:

Ας εκφράσουμε από την (1.1) την επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης:

Ας υπολογίσουμε την επιθυμητή επιτάχυνση:

Απάντηση.$g=9,81\frac(m)(s^2)$

Παράδειγμα 2

Ασκηση.Ποια θα είναι η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς αν το σημείο της ανάρτησής του κινείται κάθετα προς τα κάτω 1) με σταθερή ταχύτητα; 2) με επιτάχυνση $a$; Το μήκος του νήματος αυτού του εκκρεμούς είναι $l.$

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο.

1) Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς του οποίου το σημείο ανάρτησης κινείται ομοιόμορφα είναι ίση με την περίοδο ενός εκκρεμούς με σταθερό σημείο ανάρτησης:

2) Η επιτάχυνση του σημείου ανάρτησης του εκκρεμούς μπορεί να θεωρηθεί ως η εμφάνιση πρόσθετης δύναμης ίσης με $F=ma$, η οποία στρέφεται ενάντια στην επιτάχυνση. Δηλαδή, αν η επιτάχυνση κατευθύνεται προς τα πάνω, τότε η πρόσθετη δύναμη κατευθύνεται προς τα κάτω, που σημαίνει ότι προστίθεται στη δύναμη της βαρύτητας ($mg$). Εάν το σημείο ανάρτησης κινείται με καθοδική επιτάχυνση, τότε η πρόσθετη δύναμη αφαιρείται από τη δύναμη της βαρύτητας.

Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς που ταλαντώνεται και για το οποίο το σημείο ανάρτησης κινείται με επιτάχυνση, βρίσκουμε ως:

Απάντηση. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

(λατ. εύρος- μέγεθος) - αυτή είναι η μεγαλύτερη απόκλιση του ταλαντούμενου σώματος από τη θέση ισορροπίας.

Για ένα εκκρεμές, αυτή είναι η μέγιστη απόσταση που κινείται η μπάλα από τη θέση ισορροπίας της (σχήμα παρακάτω). Για ταλαντώσεις με μικρά πλάτη, αυτή η απόσταση μπορεί να ληφθεί ως το μήκος του τόξου 01 ή 02, καθώς και τα μήκη αυτών των τμημάτων.

Το πλάτος ταλάντωσης μετριέται σε μονάδες μήκους - μέτρα, εκατοστά, κ.λπ. Στο γράφημα ταλάντωσης, το πλάτος ορίζεται ως η μέγιστη (modulo) τεταγμένη της ημιτονοειδούς καμπύλης, (βλ. παρακάτω σχήμα).

Περίοδος ταλάντωσης.

Περίοδος ταλάντωσης- αυτή είναι η μικρότερη χρονική περίοδος μετά την οποία το σύστημα, κάνοντας ταλαντώσεις, επιστρέφει ξανά στην ίδια κατάσταση στην οποία βρισκόταν την αρχική χρονική στιγμή, επιλεγμένη αυθαίρετα.

Με άλλα λόγια, η περίοδος ταλάντωσης ( Τ) είναι ο χρόνος για τον οποίο λαμβάνει χώρα μία πλήρης ταλάντωση. Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα, αυτός είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να μετακινηθεί το βάρος του εκκρεμούς από το δεξιότερο σημείο στο σημείο ισορροπίας Οστο πιο αριστερό σημείο και πίσω μέσα από το σημείο Οπάλι προς τα δεξιά.

Για μια πλήρη περίοδο ταλάντωσης, λοιπόν, το σώμα διανύει μια διαδρομή ίση με τέσσερα πλάτη. Η περίοδος ταλάντωσης μετριέται σε μονάδες χρόνου - δευτερόλεπτα, λεπτά, κ.λπ. Η περίοδος ταλάντωσης μπορεί να προσδιοριστεί από το γνωστό γράφημα ταλάντωσης, (βλ. παρακάτω σχήμα).

Η έννοια της «περιόδου ταλάντωσης», αυστηρά μιλώντας, ισχύει μόνο όταν οι τιμές της ταλαντούμενης ποσότητας επαναλαμβάνονται ακριβώς μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, δηλαδή για αρμονικές ταλαντώσεις. Ωστόσο, αυτή η έννοια εφαρμόζεται επίσης σε περιπτώσεις κατά προσέγγιση επαναλαμβανόμενων ποσοτήτων, για παράδειγμα, για απόσβεση ταλαντώσεων.

Συχνότητα ταλάντωσης.

Συχνότητα ταλάντωσηςείναι ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου, για παράδειγμα, σε 1 s.

Η μονάδα συχνότητας SI ονομάζεται χέρτζ(Hz) προς τιμήν του Γερμανού φυσικού G. Hertz (1857-1894). Εάν η συχνότητα ταλάντωσης ( v) είναι ίσο με 1 Hz, τότε αυτό σημαίνει ότι γίνεται μία ταλάντωση για κάθε δευτερόλεπτο. Η συχνότητα και η περίοδος των ταλαντώσεων σχετίζονται με τις σχέσεις:

Στη θεωρία των ταλαντώσεων χρησιμοποιείται και η έννοια κυκλικός, ή κυκλική συχνότητα ω . Σχετίζεται με την κανονική συχνότητα vκαι περίοδος ταλάντωσης Ταναλογίες:

.

Κυκλική συχνότηταείναι ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά 2πδευτερόλεπτα.

Ως συγκεκριμένο παράδειγμα ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, εξετάστε την κίνηση των εκκρεμών.

Ένα φυσικό εκκρεμές είναι ένα άκαμπτο σώμα με οριζόντιο άξονα περιστροφής, γύρω από τον οποίο ταλαντώνεται υπό την επίδραση του βάρους του (Εικ. 119).

Η θέση του εκκρεμούς καθορίζεται πλήρως από τη γωνία της απόκλισής του από τη θέση ισορροπίας και επομένως, για να προσδιοριστεί ο νόμος κίνησης του εκκρεμούς, αρκεί να βρεθεί η εξάρτηση αυτής της γωνίας από το χρόνο.

Εξίσωση τύπου:

ονομάζεται εξίσωση (νόμος) κίνησης του εκκρεμούς. Εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή από τη γωνία και τη γωνιακή ταχύτητα.

Η οριακή περίπτωση ενός φυσικού Εκκρεμούς είναι ένα μαθηματικό εκκρεμές που αντιπροσωπεύει (όπως αναφέρθηκε προηγουμένως - Κεφάλαιο 2, § 3) ένα υλικό σημείο που συνδέεται με τον οριζόντιο άξονα γύρω από τον οποίο περιστρέφεται με μια άκαμπτη ράβδο χωρίς βάρος (Εικ. 120). Η απόσταση ενός υλικού σημείου από τον άξονα περιστροφής ονομάζεται μήκος του μαθηματικού εκκρεμούς.

Εξισώσεις κίνησης φυσικών και μαθηματικών εκκρεμών

Επιλέγουμε ένα σύστημα αξόνων συντεταγμένων έτσι ώστε το επίπεδο xy να διέρχεται από το κέντρο βάρους του σώματος C και να συμπίπτει με το επίπεδο αιώρησης του εκκρεμούς, όπως φαίνεται στο σχέδιο (Εικ. 119). Κατευθύνουμε τον άξονα κάθετο στο επίπεδο του σχεδίου πάνω μας. Στη συνέχεια, με βάση τα αποτελέσματα της προηγούμενης ενότητας, γράφουμε την εξίσωση κίνησης ενός φυσικού εκκρεμούς με τη μορφή:

όπου δηλώνει τη ροπή αδράνειας του εκκρεμούς ως προς τον άξονα περιστροφής του και

Επομένως, μπορείτε να γράψετε:

Η ενεργός δύναμη που ασκεί το εκκρεμές είναι το βάρος του, η ροπή του οποίου σε σχέση με τον άξονα αύξησης βάρους θα είναι:

πού είναι η απόσταση από τον άξονα περιστροφής του εκκρεμούς έως το κέντρο μάζας του C.

Επομένως, καταλήγουμε στην ακόλουθη εξίσωση κίνησης ενός φυσικού εκκρεμούς:

Εφόσον το μαθηματικό εκκρεμές είναι ειδική περίπτωση του φυσικού, η διαφορική εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω ισχύει και για το μαθηματικό εκκρεμές. Αν το μήκος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι ίσο με και το βάρος του, τότε η ροπή αδράνειας του σε σχέση με τον άξονα περιστροφής είναι ίση με

Δεδομένου ότι η απόσταση του κέντρου βάρους του μαθηματικού εκκρεμούς από τον άξονα είναι ίση με την τελική διαφορική εξίσωση κίνησης του μαθηματικού εκκρεμούς μπορεί να γραφτεί ως:

Μειωμένο μήκος ενός φυσικού εκκρεμούς

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (16.8) και (16.9), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αν οι παράμετροι του φυσικού και μαθηματικού εκκρεμούς σχετίζονται με τη σχέση

τότε οι νόμοι της κίνησης του φυσικού και μαθηματικού εκκρεμούς είναι ίδιοι (υπό τις ίδιες αρχικές συνθήκες).

Η τελευταία σχέση δείχνει το μήκος που πρέπει να έχει ένα μαθηματικό εκκρεμές για να κινείται με τον ίδιο τρόπο όπως το αντίστοιχο φυσικό εκκρεμές. Αυτό το μήκος ονομάζεται μειωμένο μήκος του φυσικού εκκρεμούς. Το νόημα αυτής της έννοιας έγκειται στο γεγονός ότι η μελέτη της κίνησης ενός φυσικού εκκρεμούς μπορεί να αντικατασταθεί από τη μελέτη της κίνησης ενός μαθηματικού εκκρεμούς, που είναι το απλούστερο μηχανικό σχήμα.

Το πρώτο ολοκλήρωμα της εξίσωσης κίνησης του εκκρεμούς

Οι εξισώσεις κίνησης των φυσικών και μαθηματικών εκκρεμών έχουν την ίδια μορφή, επομένως, η εξίσωση της κίνησής τους θα είναι

Εφόσον η μόνη δύναμη που λαμβάνεται υπόψη σε αυτή την εξίσωση θα είναι η δύναμη της βαρύτητας που ανήκει στο δυναμικό πεδίο, τότε ισχύει ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.

Το τελευταίο μπορεί να ληφθεί με ένα απλό κόλπο, απλώς πολλαπλασιάστε την εξίσωση (16.10) μέχρι τότε

Ενσωματώνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε

Προσδιορίζοντας τη σταθερά ολοκλήρωσης C από τις αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε

Λύνοντας την τελευταία εξίσωση παίρνουμε

Αυτή η σχέση είναι το πρώτο ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης (16.10).

Προσδιορισμός των αντιδράσεων στήριξης φυσικών και μαθηματικών εκκρεμών

Το πρώτο ολοκλήρωμα των εξισώσεων κίνησης μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τις αντιδράσεις στήριξης των εκκρεμών. Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, οι αντιδράσεις των στηρίξεων προσδιορίζονται από τις εξισώσεις (16.5). Στην περίπτωση ενός φυσικού εκκρεμούς, οι συνιστώσες της ενεργού δύναμης κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων και οι ροπές της σε σχέση με τους άξονες θα είναι:

Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας καθορίζονται από τους τύπους:

Τότε οι εξισώσεις για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων των στηρίξεων παίρνουν τη μορφή:

Οι φυγόκεντρες ροπές αδράνειας του σώματος και η απόσταση μεταξύ των στηρίξεων πρέπει να είναι γνωστές σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος. Η γωνιακή επιτάχυνση και η γωνιακή ταχύτητα w καθορίζονται από τις εξισώσεις (16.9) και (16.4) με τη μορφή:

Έτσι, οι εξισώσεις (16.12) καθορίζουν πλήρως τις συνιστώσες των αντιδράσεων στήριξης ενός φυσικού εκκρεμούς.

Οι εξισώσεις (16.12) απλοποιούνται περαιτέρω εάν λάβουμε υπόψη ένα μαθηματικό εκκρεμές. Πράγματι, εφόσον το υλικό σημείο του μαθηματικού εκκρεμούς βρίσκεται στο επίπεδο, τότε Επιπλέον, εφόσον ένα σημείο είναι σταθερό, τότε οι εξισώσεις (16.12) μετατρέπονται σε εξισώσεις της μορφής:

Από τις εξισώσεις (16.13) χρησιμοποιώντας την εξίσωση (16.9) προκύπτει ότι η αντίδραση του στηρίγματος κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος I (Εικ. 120). Το τελευταίο είναι το προφανές αποτέλεσμα. Επομένως, προβάλλοντας τις συνιστώσες των ισοτήτων (16.13) στην κατεύθυνση του νήματος, θα βρούμε μια εξίσωση για τον προσδιορισμό της αντίδρασης της στήριξης της φόρμας (Εικ. 120):

Αντικαθιστώντας την τιμή εδώ και λαμβάνοντας υπόψη ότι γράφουμε:

Η τελευταία σχέση καθορίζει τη δυναμική απόκριση του μαθηματικού εκκρεμούς. Σημειώστε ότι η στατική του αντίδραση θα είναι

Ποιοτική μελέτη της φύσης της κίνησης του εκκρεμούς

Το πρώτο ολοκλήρωμα της εξίσωσης κίνησης του εκκρεμούς μας επιτρέπει να διεξάγουμε μια ποιοτική μελέτη της φύσης της κίνησής του. Δηλαδή, γράφουμε αυτό το ολοκλήρωμα (16.11) με τη μορφή:

Κατά τη διάρκεια της κίνησης, η ριζοσπαστική έκφραση πρέπει είτε να είναι θετική είτε να εξαφανιστεί σε ορισμένα σημεία. Ας υποθέσουμε ότι οι αρχικές συνθήκες είναι τέτοιες που

Σε αυτή την περίπτωση, η ριζοσπαστική έκφραση δεν εξαφανίζεται πουθενά. Κατά συνέπεια, όταν κινείται, το εκκρεμές θα διατρέχει όλες τις τιμές της γωνίας και η γωνιακή ταχύτητα του εκκρεμούς έχει το ίδιο πρόσημο, το οποίο καθορίζεται από την κατεύθυνση της αρχικής γωνιακής ταχύτητας, ή η γωνία είτε θα αυξήσει όλα τα χρόνο ή μειώνεται συνεχώς, δηλαδή το εκκρεμές θα περιστρέφεται στη μία πλευρά.

Οι κατευθύνσεις κίνησης θα αντιστοιχούν σε ένα ή άλλο σημάδι στην έκφραση (16.11). Απαραίτητη προϋπόθεση για την υλοποίηση μιας τέτοιας κίνησης είναι η παρουσία μιας αρχικής γωνιακής ταχύτητας, αφού είναι σαφές από την ανισότητα (16.14) ότι εάν τότε για οποιαδήποτε αρχική γωνία απόκλισης είναι αδύνατο να επιτευχθεί μια τέτοια κίνηση του εκκρεμούς.

Τώρα ας είναι οι αρχικές συνθήκες τέτοιες ώστε

Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχουν δύο τέτοιες τιμές της γωνίας στην οποία εξαφανίζεται η ριζική έκφραση. Ας αντιστοιχούν στις γωνίες που ορίζει η ισότητα

Και θα είναι κάπου στο εύρος της αλλαγής από 0 έως . Περαιτέρω, είναι προφανές ότι όταν

η ριζική έκφραση (16.11) θα είναι θετική, και αν είναι αυθαίρετα μικρή, θα είναι αρνητική.

Επομένως, όταν το εκκρεμές κινείται, η γωνία του αλλάζει στην περιοχή:

Στο , η γωνιακή ταχύτητα του εκκρεμούς εξαφανίζεται και η γωνία αρχίζει να μειώνεται σε . Στην περίπτωση αυτή, το πρόσημο της γωνιακής ταχύτητας ή το πρόσημο μπροστά από τη ρίζα στην έκφραση (16.11) θα αλλάξει. Όταν φτάσει στην τιμή, η γωνιακή ταχύτητα του εκκρεμούς εξαφανίζεται και πάλι και η γωνία αρχίζει και πάλι να αυξάνεται στην τιμή

Έτσι, το εκκρεμές θα ταλαντωθεί

Πλάτος ταλάντωσης εκκρεμούς

Όταν το εκκρεμές ταλαντώνεται, η μέγιστη τιμή της απόκλισής του από την κατακόρυφο ονομάζεται πλάτος ταλάντωσης. Είναι ίσο με το οποίο καθορίζεται από την ισότητα

Όπως προκύπτει από τον τελευταίο τύπο, το πλάτος ταλάντωσης εξαρτάται από τα αρχικά δεδομένα των κύριων χαρακτηριστικών του εκκρεμούς ή το μειωμένο μήκος του.

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, όταν το εκκρεμές εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας και απελευθερώνεται χωρίς αρχική ταχύτητα, τότε θα είναι ίσο με , επομένως, το πλάτος δεν εξαρτάται από το μειωμένο μήκος.

Η εξίσωση κίνησης του εκκρεμούς σε πεπερασμένη μορφή

Έστω η αρχική ταχύτητα του εκκρεμούς ίση με μηδέν, τότε το πρώτο ολοκλήρωμα της εξίσωσης κίνησής του θα είναι:

Ενσωματώνοντας αυτή την εξίσωση, βρίσκουμε

Θα μετρήσουμε τον χρόνο από τη θέση του εκκρεμούς, που αντιστοιχεί τότε

Μετασχηματίζουμε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Τότε παίρνουμε:

Το ολοκλήρωμα που προκύπτει ονομάζεται ελλειπτικό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους. Δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών συναρτήσεων.

Η αντιστροφή του ελλειπτικού ολοκληρώματος (16.15) ως προς το άνω όριο του αντιπροσωπεύει την εξίσωση κίνησης του εκκρεμούς:

Αυτή θα είναι η καλά μελετημένη ελλειπτική συνάρτηση Jacobi.

Περίοδος εκκρεμούς

Ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης του εκκρεμούς ονομάζεται περίοδος ταλάντωσής του. Ας το συμβολίσουμε ως Τ. Δεδομένου ότι ο χρόνος της κίνησης του εκκρεμούς από θέση σε θέση είναι ίδιος με τον χρόνο κίνησης από τότε το Τ καθορίζεται από τον τύπο:

Κάνουμε αλλαγή μεταβλητών ορίζοντας

Όταν αλλάζετε εντός του εύρους από 0 σε , θα αλλάξει από 0 σε . Περαιτέρω,

και ως εκ τούτου

Το τελευταίο ολοκλήρωμα ονομάζεται πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους (οι τιμές του δίνονται σε ειδικούς πίνακες).

Στο , το integrand τείνει προς την ενότητα και .

Κατά προσέγγιση τύποι για μικρές ταλαντώσεις εκκρεμούς

Στην περίπτωση που οι ταλαντώσεις του εκκρεμούς έχουν μικρό πλάτος (πρακτικά δεν πρέπει να υπερβαίνει τις 20°), μπορούμε να βάλουμε

Τότε η διαφορική εξίσωση κίνησης του εκκρεμούς παίρνει τη μορφή:

Ποια είναι η περίοδος ταλάντωσης; Τι είναι αυτή η ποσότητα, τι φυσική σημασία έχει και πώς να την υπολογίσετε; Σε αυτό το άρθρο, θα ασχοληθούμε με αυτά τα ζητήματα, θα εξετάσουμε διάφορους τύπους με τους οποίους μπορεί να υπολογιστεί η περίοδος των ταλαντώσεων και επίσης θα μάθουμε ποια σχέση υπάρχει μεταξύ φυσικών μεγεθών όπως η περίοδος και η συχνότητα των ταλαντώσεων ενός σώματος / συστήματος.

Ορισμός και φυσική έννοια

Η περίοδος ταλάντωσης είναι μια τέτοια χρονική περίοδος κατά την οποία το σώμα ή το σύστημα κάνει μία ταλάντωση (αναγκαστικά πλήρης). Παράλληλα, μπορούμε να σημειώσουμε την παράμετρο στην οποία η ταλάντωση μπορεί να θεωρηθεί πλήρης. Ο ρόλος μιας τέτοιας κατάστασης είναι η επιστροφή του σώματος στην αρχική του κατάσταση (στην αρχική συντεταγμένη). Η αναλογία με την περίοδο μιας συνάρτησης είναι πολύ καλά σχεδιασμένη. Παρεμπιπτόντως, είναι λάθος να πιστεύουμε ότι λαμβάνει χώρα αποκλειστικά στα κοινά και ανώτερα μαθηματικά. Όπως γνωρίζετε, αυτές οι δύο επιστήμες είναι άρρηκτα συνδεδεμένες. Και η περίοδος των συναρτήσεων μπορεί να συναντηθεί όχι μόνο κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, αλλά και σε διάφορους κλάδους της φυσικής, δηλαδή, μιλάμε για μηχανική, οπτική και άλλα. Κατά τη μεταφορά της περιόδου ταλάντωσης από τα μαθηματικά στη φυσική, πρέπει να νοείται απλώς ως φυσικό μέγεθος (και όχι συνάρτηση), που έχει άμεση εξάρτηση από τον χρόνο που περνά.

Ποιες είναι οι διακυμάνσεις;

Οι ταλαντώσεις χωρίζονται σε αρμονικές και αναρμονικές, καθώς και σε περιοδικές και μη περιοδικές. Θα ήταν λογικό να υποθέσουμε ότι στην περίπτωση των αρμονικών ταλαντώσεων, αυτές συμβαίνουν σύμφωνα με κάποια αρμονική συνάρτηση. Μπορεί να είναι είτε ημιτονοειδές είτε συνημίτονο. Σε αυτή την περίπτωση, οι συντελεστές συμπίεσης-έκτασης και αύξησης-μείωσης μπορεί επίσης να αποδειχθούν στην περίπτωση. Επίσης, οι δονήσεις αποσβένονται. Δηλαδή, όταν μια συγκεκριμένη δύναμη ενεργεί στο σύστημα, η οποία σταδιακά «επιβραδύνει» τις ίδιες τις ταλαντώσεις. Σε αυτή την περίπτωση, η περίοδος γίνεται μικρότερη, ενώ η συχνότητα των ταλαντώσεων αυξάνεται συνεχώς. Το απλούστερο πείραμα που χρησιμοποιεί ένα εκκρεμές καταδεικνύει πολύ καλά ένα τέτοιο φυσικό αξίωμα. Μπορεί να είναι τύπου ελατηρίου, αλλά και μαθηματικού. Δεν πειράζει. Παρεμπιπτόντως, η περίοδος ταλάντωσης σε τέτοια συστήματα θα καθοριστεί από διαφορετικούς τύπους. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα. Τώρα ας δώσουμε παραδείγματα.

Εμπειρία με εκκρεμή

Μπορείτε να πάρετε πρώτα οποιοδήποτε εκκρεμές, δεν θα υπάρχει διαφορά. Οι νόμοι της φυσικής είναι νόμοι της φυσικής, που σε κάθε περίπτωση τηρούνται. Αλλά για κάποιο λόγο, το μαθηματικό εκκρεμές μου αρέσει περισσότερο. Αν κάποιος δεν ξέρει τι είναι: είναι μια μπάλα σε μια μη εκτάσιμη κλωστή που είναι προσαρτημένη σε μια οριζόντια ράβδο που είναι προσαρτημένη στα πόδια (ή στα στοιχεία που παίζουν τον ρόλο τους - για να διατηρεί το σύστημα σε ισορροπία). Η μπάλα λαμβάνεται καλύτερα από μέταλλο, έτσι ώστε η εμπειρία να είναι πιο ξεκάθαρη.

Έτσι, εάν βγάλετε ένα τέτοιο σύστημα εκτός ισορροπίας, εφαρμόστε λίγη δύναμη στην μπάλα (με άλλα λόγια, σπρώξτε την), τότε η μπάλα θα αρχίσει να ταλαντεύεται στο νήμα, ακολουθώντας μια συγκεκριμένη τροχιά. Με την πάροδο του χρόνου, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι η τροχιά κατά μήκος της οποίας περνά η μπάλα μειώνεται. Ταυτόχρονα, η μπάλα αρχίζει να τρέχει μπρος-πίσω όλο και πιο γρήγορα. Αυτό δείχνει ότι η συχνότητα ταλάντωσης αυξάνεται. Όμως ο χρόνος που χρειάζεται για να επιστρέψει η μπάλα στην αρχική της θέση μειώνεται. Αλλά ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης, όπως ανακαλύψαμε νωρίτερα, ονομάζεται περίοδος. Αν η μία τιμή μειώνεται και η άλλη αυξάνεται, τότε μιλούν για αντιστρόφως αναλογικότητα. Φτάσαμε λοιπόν στην πρώτη στιγμή, με βάση την οποία κατασκευάζονται τύποι για τον προσδιορισμό της περιόδου των ταλαντώσεων. Εάν πάρουμε ένα εκκρεμές ελατηρίου για δοκιμή, τότε ο νόμος θα τηρηθεί εκεί με μια ελαφρώς διαφορετική μορφή. Προκειμένου να αναπαρασταθεί πιο καθαρά, θέτουμε το σύστημα σε κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο. Για να γίνει πιο σαφές, άξιζε πρώτα να πούμε τι είναι το εκκρεμές ελατηρίου. Από το όνομα είναι σαφές ότι ένα ελατήριο πρέπει να υπάρχει στο σχεδιασμό του. Και πράγματι είναι. Και πάλι, έχουμε ένα οριζόντιο επίπεδο στα στηρίγματα, στο οποίο αναρτάται ένα ελατήριο συγκεκριμένου μήκους και ακαμψίας. Σε αυτό, με τη σειρά του, ένα βάρος αναστέλλεται. Μπορεί να είναι ένας κύλινδρος, ένας κύβος ή μια άλλη φιγούρα. Μπορεί ακόμη και να είναι κάποιο στοιχείο τρίτου μέρους. Σε κάθε περίπτωση, όταν το σύστημα βγει από την ισορροπία, θα αρχίσει να εκτελεί αποσβεσμένες ταλαντώσεις. Η αύξηση της συχνότητας φαίνεται πιο καθαρά στο κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς καμία απόκλιση. Σε αυτήν την εμπειρία, μπορείτε να ολοκληρώσετε.

Έτσι, στην πορεία τους, ανακαλύψαμε ότι η περίοδος και η συχνότητα των ταλαντώσεων είναι δύο φυσικά μεγέθη που έχουν αντίστροφη σχέση.

Προσδιορισμός ποσοτήτων και διαστάσεων

Συνήθως, η περίοδος ταλάντωσης συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα T. Πολύ λιγότερο συχνά, μπορεί να υποδηλωθεί διαφορετικά. Η συχνότητα συμβολίζεται με το γράμμα μ («Mu»). Όπως είπαμε στην αρχή, μια περίοδος δεν είναι τίποτα άλλο από τον χρόνο κατά τον οποίο συμβαίνει μια πλήρης ταλάντωση στο σύστημα. Τότε η διάσταση της περιόδου θα είναι ένα δευτερόλεπτο. Και δεδομένου ότι η περίοδος και η συχνότητα είναι αντιστρόφως ανάλογες, η διάσταση της συχνότητας θα διαιρεθεί μονάδα με ένα δευτερόλεπτο. Στην εγγραφή των εργασιών, όλα θα φαίνονται ως εξής: T (s), µ (1/s).

Τύπος για ένα μαθηματικό εκκρεμές. Εργασία #1

Όπως και στην περίπτωση των πειραμάτων, αποφάσισα πρώτα από όλα να ασχοληθώ με το μαθηματικό εκκρεμές. Δεν θα προχωρήσουμε λεπτομερώς στην παραγωγή του τύπου, καθώς μια τέτοια εργασία δεν είχε αρχικά τεθεί. Ναι, και το ίδιο το συμπέρασμα είναι δυσκίνητο. Αλλά ας εξοικειωθούμε με τους ίδιους τους τύπους, ας μάθουμε τι είδους ποσότητες περιλαμβάνουν. Έτσι, ο τύπος για την περίοδο ταλάντωσης για ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ο εξής:

Όπου l είναι το μήκος του νήματος, n \u003d 3,14 και g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας (9,8 m / s ^ 2). Η φόρμουλα δεν πρέπει να προκαλεί δυσκολίες. Επομένως, χωρίς επιπλέον ερωτήσεις, θα προχωρήσουμε αμέσως στην επίλυση του προβλήματος του προσδιορισμού της περιόδου ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς. Μια μεταλλική μπάλα βάρους 10 γραμμαρίων αιωρείται από μια μη εκτάσιμη κλωστή μήκους 20 εκατοστών. Υπολογίστε την περίοδο ταλάντωσης του συστήματος, λαμβάνοντας το για ένα μαθηματικό εκκρεμές. Η λύση είναι πολύ απλή. Όπως σε όλα τα προβλήματα της φυσικής, είναι απαραίτητο να το απλοποιήσουμε όσο το δυνατόν περισσότερο, απορρίπτοντας τις περιττές λέξεις. Εντάσσονται στο πλαίσιο για να συγχέεται το καθοριστικό, αλλά στην πραγματικότητα δεν έχουν καμία απολύτως βαρύτητα. Στις περισσότερες περιπτώσεις βέβαια. Εδώ είναι δυνατό να αποκλειστεί η στιγμή με "αέκτατο νήμα". Αυτή η φράση δεν πρέπει να οδηγεί σε λήθαργο. Και αφού έχουμε μαθηματικό εκκρεμές, δεν πρέπει να μας ενδιαφέρει η μάζα του φορτίου. Δηλαδή, οι λέξεις για τα 10 γραμμάρια είναι επίσης απλά σχεδιασμένες να μπερδεύουν τον μαθητή. Ξέρουμε όμως ότι δεν υπάρχει μάζα στη φόρμουλα, οπότε με καθαρή συνείδηση ​​μπορούμε να προχωρήσουμε στη λύση. Έτσι, παίρνουμε τον τύπο και απλώς αντικαθιστούμε τις τιμές σε αυτόν, καθώς είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περίοδος του συστήματος. Δεδομένου ότι δεν καθορίστηκαν πρόσθετοι όροι, θα στρογγυλοποιήσουμε τις τιμές στο 3ο δεκαδικό ψηφίο, όπως συνηθίζεται. Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τις τιμές, παίρνουμε ότι η περίοδος ταλάντωσης είναι 0,886 δευτερόλεπτα. Το πρόβλημα λύθηκε.

Φόρμουλα για εκκρεμές ελατηρίου. Εργασία #2

Οι τύποι εκκρεμούς έχουν ένα κοινό μέρος, δηλαδή το 2p. Αυτή η τιμή υπάρχει σε δύο τύπους ταυτόχρονα, αλλά διαφέρουν στην έκφραση ρίζας. Εάν στο πρόβλημα που αφορά την περίοδο ενός εκκρεμούς ελατηρίου, αναγράφεται η μάζα του φορτίου, τότε είναι αδύνατο να αποφευχθούν υπολογισμοί με τη χρήση του, όπως συνέβη με το μαθηματικό εκκρεμές. Αλλά δεν πρέπει να φοβάστε. Έτσι φαίνεται ο τύπος περιόδου για ένα εκκρεμές ελατηρίου:

Σε αυτό, m είναι η μάζα του φορτίου που αναρτάται από το ελατήριο, k είναι ο συντελεστής ακαμψίας του ελατηρίου. Στο πρόβλημα, μπορεί να δοθεί η τιμή του συντελεστή. Αλλά αν στον τύπο ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν ξεκαθαρίσετε πραγματικά - τελικά, 2 από τις 4 τιμές είναι σταθερές - τότε προστίθεται μια 3η παράμετρος εδώ, η οποία μπορεί να αλλάξει. Και στην έξοδο έχουμε 3 μεταβλητές: την περίοδο (συχνότητα) των ταλαντώσεων, τον συντελεστή ακαμψίας του ελατηρίου, τη μάζα του αιωρούμενου φορτίου. Η εργασία μπορεί να προσανατολιστεί προς την εύρεση οποιασδήποτε από αυτές τις παραμέτρους. Η αναζήτηση μιας περιόδου ξανά θα ήταν πολύ εύκολη, οπότε θα αλλάξουμε λίγο την κατάσταση. Βρείτε την ακαμψία του ελατηρίου εάν ο χρόνος πλήρους αιώρησης είναι 4 δευτερόλεπτα και το βάρος του εκκρεμούς ελατηρίου είναι 200 ​​γραμμάρια.

Για να λύσετε οποιοδήποτε φυσικό πρόβλημα, καλό θα ήταν να κάνετε πρώτα ένα σχέδιο και να γράψετε τύπους. Είναι η μισή μάχη εδώ. Έχοντας γράψει τον τύπο, είναι απαραίτητο να εκφράσουμε τον συντελεστή ακαμψίας. Είναι κάτω από τη ρίζα μας, οπότε τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Για να απαλλαγείτε από το κλάσμα, πολλαπλασιάστε τα μέρη με k. Τώρα ας αφήσουμε μόνο τον συντελεστή στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, δηλαδή διαιρούμε τα μέρη με T^2. Κατ 'αρχήν, το πρόβλημα θα μπορούσε να είναι λίγο πιο περίπλοκο, ορίζοντας όχι μια περίοδο σε αριθμούς, αλλά μια συχνότητα. Σε κάθε περίπτωση, κατά τον υπολογισμό και τη στρογγυλοποίηση (συμφωνήσαμε να στρογγυλοποιήσουμε στο 3ο δεκαδικό ψηφίο), προκύπτει ότι k = 0,157 N/m.

Η περίοδος των ελεύθερων ταλαντώσεων. Δωρεάν φόρμουλα περιόδου

Ο τύπος για την περίοδο των ελεύθερων ταλαντώσεων εννοείται ότι σημαίνει εκείνους τους τύπους που εξετάσαμε στα δύο προβλήματα που δόθηκαν προηγουμένως. Αποτελούν επίσης μια εξίσωση ελεύθερων ταλαντώσεων, αλλά εκεί ήδη μιλάμε για μετατοπίσεις και συντεταγμένες και αυτή η ερώτηση ανήκει σε άλλο άρθρο.

1) Πριν αναλάβετε μια εργασία, σημειώστε τον τύπο που σχετίζεται με αυτήν.

2) Οι πιο απλές εργασίες δεν απαιτούν σχέδια, αλλά σε εξαιρετικές περιπτώσεις θα χρειαστεί να γίνουν.

3) Προσπαθήστε να απαλλαγείτε από τις ρίζες και τους παρονομαστές αν είναι δυνατόν. Μια εξίσωση γραμμένη σε μια γραμμή που δεν έχει παρονομαστή είναι πολύ πιο βολική και ευκολότερη στην επίλυση.

Η περίοδος ταλάντωσης ενός φυσικού εκκρεμούς εξαρτάται από πολλές περιστάσεις: από το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, από την απόσταση μεταξύ του κέντρου βάρους και του σημείου ανάρτησης και από την κατανομή της μάζας σώματος σε σχέση με αυτό το σημείο. Ως εκ τούτου, ο υπολογισμός της περιόδου ενός ανασταλμένου σώματος είναι ένα αρκετά δύσκολο έργο. Η κατάσταση είναι πιο απλή για το μαθηματικό εκκρεμές. Από τις παρατηρήσεις τέτοιων εκκρεμών, μπορούν να καθοριστούν οι ακόλουθοι απλοί νόμοι.

1. Εάν, ενώ διατηρείται το ίδιο μήκος του εκκρεμούς (η απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου), αιωρούνται διαφορετικά φορτία, τότε η περίοδος ταλάντωσης θα είναι η ίδια, αν και οι μάζες των φορτίων διαφέρουν πολύ. Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του φορτίου.

2. Εάν, κατά την εκκίνηση του εκκρεμούς, εκτρέπεται σε διαφορετικές (αλλά όχι πολύ μεγάλες) γωνίες, τότε θα ταλαντώνεται με την ίδια περίοδο, αν και με διαφορετικά πλάτη. Εφόσον τα πλάτη δεν είναι πολύ μεγάλα, οι ταλαντώσεις είναι αρκετά κοντά στη μορφή τους σε αρμονικές (§ 5) και η περίοδος του μαθηματικού εκκρεμούς δεν εξαρτάται από το πλάτος των ταλαντώσεων. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ισοχρονισμός (από τις ελληνικές λέξεις "ίσος" - ίσος, "χρόνος" - χρόνος).

Αυτό το γεγονός διαπιστώθηκε για πρώτη φορά το 1655 από τον Γαλιλαίο, υποτίθεται ότι υπό τις ακόλουθες συνθήκες. Ο Γαλιλαίος παρατήρησε στον καθεδρικό ναό της Πίζας την αιώρηση ενός πολυελαίου σε μια μακριά αλυσίδα, ο οποίος ωθήθηκε όταν αναφλεγόταν. Κατά τη διάρκεια της υπηρεσίας, το πλάτος των ταλαντώσεων σταδιακά εξασθενούσε (§ 11), δηλ. το πλάτος των ταλαντώσεων μειώθηκε, αλλά η περίοδος παρέμεινε η ίδια. Ο Γαλιλαίος χρησιμοποίησε τον δικό του παλμό ως ένδειξη χρόνου.

Εξάγουμε τώρα έναν τύπο για την περίοδο ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς.

Ρύζι. 16. Ταλαντώσεις εκκρεμούς σε επίπεδο (α) και κίνηση κατά μήκος κώνου (β)

Όταν το εκκρεμές ταλαντεύεται, το φορτίο κινείται επιταχυνόμενο κατά μήκος ενός τόξου (Εικ. 16, α) υπό τη δράση μιας δύναμης επαναφοράς, η οποία αλλάζει κατά την κίνηση. Ο υπολογισμός της κίνησης ενός σώματος υπό τη δράση μιας μη σταθερής δύναμης είναι μάλλον περίπλοκος. Επομένως, για λόγους απλότητας, θα προχωρήσουμε ως εξής.

Ας κάνουμε το εκκρεμές να μην ταλαντώνεται σε ένα επίπεδο, αλλά να περιγράψουμε τον κώνο έτσι ώστε το φορτίο να κινείται σε κύκλο (Εικ. 16, β). Αυτή η κίνηση μπορεί να επιτευχθεί προσθέτοντας δύο ανεξάρτητες δονήσεις: η μία ακίνητη στο επίπεδο του σχεδίου και η άλλη στο κάθετο επίπεδο. Προφανώς, οι περίοδοι και των δύο αυτών επίπεδων ταλαντώσεων είναι ίδιες, αφού οποιοδήποτε επίπεδο ταλάντωσης δεν διαφέρει από κανένα άλλο. Κατά συνέπεια, η περίοδος της σύνθετης κίνησης - η περιστροφή του εκκρεμούς κατά μήκος του κώνου - θα είναι ίδια με την περίοδο της αιώρησης του υδάτινου επιπέδου. Αυτό το συμπέρασμα μπορεί εύκολα να απεικονιστεί από την άμεση εμπειρία, παίρνοντας δύο πανομοιότυπα εκκρεμή και λέγοντας στο ένα από αυτά να αιωρείται σε ένα επίπεδο και στο άλλο να περιστρέφεται κατά μήκος ενός κώνου.

Αλλά η περίοδος περιστροφής του "κωνικού" εκκρεμούς είναι ίση με το μήκος του κύκλου που περιγράφεται από το φορτίο, διαιρούμενο με την ταχύτητα:

Εάν η γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο είναι μικρή (μικρά πλάτη), τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η δύναμη επαναφοράς κατευθύνεται κατά μήκος της ακτίνας του κύκλου, δηλαδή ίση με την κεντρομόλο δύναμη:

Από την άλλη πλευρά, από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει ότι . Από τότε από εδώ

Εξισώνοντας και τις δύο εκφράσεις μεταξύ τους, παίρνουμε την ταχύτητα κυκλοφορίας

Τέλος, αντικαθιστώντας αυτό με την έκφραση περιόδου, βρίσκουμε

Έτσι, η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης και από το μήκος του εκκρεμούς, δηλαδή την απόσταση από το σημείο ανάρτησης έως το κέντρο βάρους του φορτίου. Από τον τύπο που προκύπτει προκύπτει ότι η περίοδος του εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του και από το πλάτος του (υπό την προϋπόθεση ότι είναι αρκετά μικρό). Με άλλα λόγια, λάβαμε με υπολογισμό εκείνους τους βασικούς νόμους που θεσπίστηκαν νωρίτερα από παρατηρήσεις.

Αλλά η θεωρητική μας εξαγωγή μας δίνει περισσότερα: μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε μια ποσοτική σχέση μεταξύ της περιόδου του εκκρεμούς, του μήκους του και της επιτάχυνσης της ελεύθερης πτώσης. Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του λόγου του μήκους του εκκρεμούς προς την επιτάχυνση λόγω βαρύτητας. Ο συντελεστής αναλογικότητας είναι .

Ένας πολύ ακριβής τρόπος προσδιορισμού αυτής της επιτάχυνσης βασίζεται στην εξάρτηση της περιόδου του εκκρεμούς από την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης. Μετρώντας το μήκος του εκκρεμούς και προσδιορίζοντας την περίοδο από μεγάλο αριθμό ταλαντώσεων, μπορούμε να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο που προκύπτει. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη.

Είναι γνωστό (βλ. τόμος I, §53) ότι η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου (στον πόλο και στον ισημερινό). Οι παρατηρήσεις σχετικά με την περίοδο αιώρησης ενός συγκεκριμένου εκκρεμούς αναφοράς καθιστούν δυνατή τη μελέτη της κατανομής της επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης στο γεωγραφικό πλάτος. Αυτή η μέθοδος είναι τόσο ακριβής που με τη βοήθειά της μπορούν να ανιχνευθούν ακόμη πιο λεπτές διαφορές στο νόημα στην επιφάνεια της γης. Αποδεικνύεται ότι ακόμη και στον ίδιο παράλληλο, οι τιμές είναι διαφορετικές σε διαφορετικά σημεία στην επιφάνεια της γης. Αυτές οι ανωμαλίες στην κατανομή της βαρυτικής επιτάχυνσης συνδέονται με την ανομοιόμορφη πυκνότητα του φλοιού της γης. Χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της κατανομής της πυκνότητας, ιδίως για την ανίχνευση της εμφάνισης οποιωνδήποτε ορυκτών στο πάχος του φλοιού της γης. Εκτεταμένες βαρυμετρικές αλλαγές, που επέτρεψαν να κριθεί η εμφάνιση πυκνών μαζών, πραγματοποιήθηκαν στην ΕΣΣΔ στην περιοχή της λεγόμενης μαγνητικής ανωμαλίας του Κουρσκ (βλ. Τόμος II, § 130) υπό την καθοδήγηση του σοβιετικού φυσικού Pyotr Petrovich. Λαζάρεφ. Σε συνδυασμό με δεδομένα σχετικά με την ανωμαλία του μαγνητικού πεδίου της γης, αυτά τα βαρυμετρικά δεδομένα κατέστησαν δυνατό να καθοριστεί η κατανομή της εμφάνισης μαζών σιδήρου, που καθορίζουν τις μαγνητικές και βαρυτικές ανωμαλίες του Kursk.