Οι ιδιότητες και τα γραφήματα των συναρτήσεων ισχύος παρουσιάζονται για διάφορες τιμές του εκθέτη. Βασικοί τύποι, τομείς και σύνολα τιμών, ισοτιμία, μονοτονία, αύξηση και μείωση, ακρότατα, κυρτότητα, εγκλίσεις, σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων, όρια, συγκεκριμένες τιμές.

Τύποι Λειτουργίας Ισχύος

Στον τομέα της συνάρτησης ισχύος y = x p, ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Ιδιότητες συναρτήσεων ισχύος και γραφικές παραστάσεις τους

Συνάρτηση ισχύος με εκθέτη ίσο με μηδέν, p = 0

Αν ο εκθέτης της συνάρτησης ισχύος y = x p είναι ίσος με μηδέν, p = 0 , τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για όλα τα x ≠ 0 και είναι σταθερή, ίση με ένα:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Συνάρτηση ισχύος με φυσικό περιττό εκθέτη, p = n = 1, 3, 5, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με φυσικό περιττό εκθέτη n = 1, 3, 5, ... . Ένας τέτοιος δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί ως: n = 2k + 1, όπου k = 0, 1, 2, 3, ... είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Παρακάτω είναι οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ... .

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: -∞ < y < ∞
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο -∞< x < 0 выпукла вверх
στο 0< x < ∞ выпукла вниз
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ: x=0, y=0
x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
σε x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
για x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = 1 , η συνάρτηση είναι αντίστροφη προς τον εαυτό της: x = y
για n ≠ 1, η αντίστροφη συνάρτηση είναι μια ρίζα του βαθμού n:

Συνάρτηση ισχύος με φυσικό άρτιο εκθέτη, p = n = 2, 4, 6, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη n = 2, 4, 6, ... . Ένας τέτοιος δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί ως: n = 2k, όπου k = 1, 2, 3, ... είναι ένας φυσικός αριθμός. Οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων δίνονται παρακάτω.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 2, 4, 6, ... .

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: 0 ≤ y< ∞
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
για x ≤ 0 μειώνεται μονοτονικά
για x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
Ακρα:ελάχιστο, x=0, y=0
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
για x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = 2, τετραγωνική ρίζα:
για n ≠ 2, ρίζα βαθμού n:

Συνάρτηση ισχύος με ακέραιο αρνητικό εκθέτη, p = n = -1, -2, -3, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με αρνητικό ακέραιο εκθέτη n = -1, -2, -3, ... . Αν βάλουμε n = -k, όπου k = 1, 2, 3, ... είναι φυσικός αριθμός, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με αρνητικό ακέραιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = -1, -2, -3, ... .

Περιττός εκθέτης, n = -1, -3, -5, ...

Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με περιττό αρνητικό εκθέτη n = -1, -3, -5, ... .

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≠ 0
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:μειώνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο x< 0 : выпукла вверх
για x > 0 : κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι:
στο x< 0, y < 0
για x > 0, y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = -1,
για ν< -2 ,

Ζυγός εκθέτης, n = -2, -4, -6, ...

Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με άρτιο αρνητικό εκθέτη n = -2, -4, -6, ... .

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y > 0
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 : монотонно возрастает
για x > 0 : μονοτονικά φθίνουσα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι: y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = -2,
για ν< -2 ,

Συνάρτηση ισχύος με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη , όπου n είναι ακέραιος, m > 1 είναι φυσικός αριθμός. Επιπλέον, τα n, m δεν έχουν κοινούς διαιρέτες.

Ο παρονομαστής του κλασματικού δείκτη είναι περιττός

Έστω περιττός ο παρονομαστής του κλασματικού εκθέτη: m = 3, 5, 7, ... . Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση ισχύος x p ορίζεται τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές τιμές x. Εξετάστε τις ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων ισχύος όταν ο εκθέτης p είναι εντός ορισμένων ορίων.

Το p είναι αρνητικό, p< 0

Έστω ο ορθολογικός εκθέτης (με περιττό παρονομαστή m = 3, 5, 7, ... ) μικρότερος από το μηδέν: .

Γραφήματα εκθετικών συναρτήσεων με ορθολογικό αρνητικό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη, όπου m = 3, 5, 7, ... είναι περιττό.

Περιττός αριθμητής, n = -1, -3, -5, ...

Εδώ είναι οι ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με λογικό αρνητικό εκθέτη , όπου n = -1, -3, -5, ... είναι περιττός αρνητικός ακέραιος, m = 3, 5, 7 ... είναι ένας περιττός φυσικός αριθμός.

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≠ 0
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:μειώνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο x< 0 : выпукла вверх
για x > 0 : κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι:
στο x< 0, y < 0
για x > 0, y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ζυγός αριθμητής, n = -2, -4, -6, ...

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό αρνητικό εκθέτη, όπου n = -2, -4, -6, ... είναι άρτιος αρνητικός ακέραιος, m = 3, 5, 7 ... είναι περιττός φυσικός αριθμός .

Τομέα: x ≠ 0
Πολλαπλές τιμές: y > 0
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 : монотонно возрастает
για x > 0 : μονοτονικά φθίνουσα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Σημάδι: y > 0
Όρια:
; ; ;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Η τιμή p είναι θετική, μικρότερη από ένα, 0< p < 1

Γράφημα συνάρτησης ισχύος με λογικό εκθέτη (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Περιττός αριθμητής, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Τομέα: -∞ < x < +∞
Πολλαπλές τιμές: -∞ < y < +∞
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο x< 0 : выпукла вниз
για x > 0 : κυρτό προς τα πάνω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ: x=0, y=0
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Σημάδι:
στο x< 0, y < 0
για x > 0, y > 0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = -1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ζυγός αριθμητής, n = 2, 4, 6, ...

Παρουσιάζονται οι ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη , που βρίσκεται εντός 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Τομέα: -∞ < x < +∞
Πολλαπλές τιμές: 0 ≤ y< +∞
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 : монотонно убывает
για x > 0 : μονοτονικά αυξανόμενη
Ακρα:ελάχιστο σε x = 0, y = 0
Κυρτός:κυρτό προς τα πάνω στο x ≠ 0
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Σημάδι:για x ≠ 0, y > 0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = 1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ο εκθέτης p είναι μεγαλύτερος από ένα, p > 1

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος με ορθολογικό εκθέτη (p > 1 ) για διάφορες τιμές του εκθέτη , όπου m = 3, 5, 7, ... είναι περιττό.

Περιττός αριθμητής, n = 5, 7, 9, ...

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη μεγαλύτερο του ενός: . Όπου n = 5, 7, 9, ... είναι περιττός φυσικός αριθμός, m = 3, 5, 7 ... είναι περιττός φυσικός αριθμός.

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: -∞ < y < ∞
Ισοτιμία:περιττό, y(-x) = - y(x)
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Ακρα:Οχι
Κυρτός:
στο -∞< x < 0 выпукла вверх
στο 0< x < ∞ выпукла вниз
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ: x=0, y=0
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = -1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ζυγός αριθμητής, n = 4, 6, 8, ...

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη μεγαλύτερο του ενός: . Όπου n = 4, 6, 8, ... είναι άρτιος φυσικός αριθμός, m = 3, 5, 7 ... είναι περιττός φυσικός αριθμός.

Τομέα: -∞ < x < ∞
Πολλαπλές τιμές: 0 ≤ y< ∞
Ισοτιμία:ζυγό, y(-x) = y(x)
Μονότονη ομιλία:
στο x< 0 монотонно убывает
για x > 0 αυξάνεται μονοτονικά
Ακρα:ελάχιστο σε x = 0, y = 0
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
;
Ιδιωτικές αξίες:
για x = -1, y(-1) = 1
για x = 0, y(0) = 0
για x = 1, y(1) = 1
Αντίστροφη λειτουργία:

Ο παρονομαστής του κλασματικού δείκτη είναι άρτιος

Έστω άρτιος ο παρονομαστής του κλασματικού εκθέτη: m = 2, 4, 6, ... . Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση ισχύος x p δεν ορίζεται για αρνητικές τιμές του ορίσματος. Οι ιδιότητές του συμπίπτουν με αυτές μιας συνάρτησης ισχύος με παράλογο εκθέτη (δείτε την επόμενη ενότητα).

Συνάρτηση ισχύος με παράλογο εκθέτη

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p με παράλογο εκθέτη p . Οι ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων διαφέρουν από αυτές που εξετάστηκαν παραπάνω στο ότι δεν ορίζονται για αρνητικές τιμές του ορίσματος x. Για θετικές τιμές του ορίσματος, οι ιδιότητες εξαρτώνται μόνο από την τιμή του εκθέτη p και δεν εξαρτώνται από το αν το p είναι ακέραιος, ορθολογικός ή παράλογος.

y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

Συνάρτηση ισχύος με αρνητικό p< 0

Τομέα: x > 0
Πολλαπλές τιμές: y > 0
Μονότονη ομιλία:μειώνεται μονότονα
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:Οχι
Όρια: ;
ιδιωτική αξία:Για x = 1, y(1) = 1 p = 1

Συνάρτηση ισχύος με θετικό εκθέτη p > 0

Ο δείκτης είναι μικρότερος από ένα 0< p < 1

Τομέα: x ≥ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≥ 0
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Κυρτός:κυρτό
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
Ιδιωτικές αξίες:Για x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Για x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ο δείκτης είναι μεγαλύτερος από ένα p > 1

Τομέα: x ≥ 0
Πολλαπλές τιμές: y ≥ 0
Μονότονη ομιλία:αυξάνεται μονότονα
Κυρτός:κυρτό προς τα κάτω
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ:Οχι
Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: x=0, y=0
Όρια:
Ιδιωτικές αξίες:Για x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Για x = 1, y(1) = 1 p = 1

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Η ενότητα περιέχει υλικό αναφοράς για τις βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους. Δίνεται μια ταξινόμηση των στοιχειωδών συναρτήσεων. Παρακάτω υπάρχουν σύνδεσμοι προς υποενότητες που συζητούν τις ιδιότητες συγκεκριμένων συναρτήσεων - γραφήματα, τύπους, παράγωγα, αντιπαράγωγα (ολοκληρώματα), επεκτάσεις σε σειρές, εκφράσεις σε όρους μιγαδικών μεταβλητών.

Σελίδες αναφοράς για βασικές λειτουργίες

Ταξινόμηση στοιχειωδών συναρτήσεων

Αλγεβρική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση:
,
όπου είναι ένα πολυώνυμο στην εξαρτημένη μεταβλητή y και στην ανεξάρτητη μεταβλητή x . Μπορεί να γραφτεί ως:
,
όπου είναι τα πολυώνυμα.

Οι αλγεβρικές συναρτήσεις χωρίζονται σε πολυώνυμα (ολόκληρες ορθολογικές συναρτήσεις), ορθολογικές και ανορθολογικές συναρτήσεις.

Ολόκληρη ορθολογική λειτουργία, που λέγεται και πολυώνυμοςή πολυώνυμος, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης) και του πολλαπλασιασμού. Μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων, το πολυώνυμο ανάγεται στην κανονική μορφή:
.

Κλασματική ορθολογική συνάρτηση, ή απλά λογική λειτουργία, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης), του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η ορθολογική συνάρτηση μπορεί να αναχθεί στη μορφή
,
όπου και είναι πολυώνυμα.

Παράλογη λειτουργίαείναι μια αλγεβρική συνάρτηση που δεν είναι ορθολογική. Κατά κανόνα, μια παράλογη συνάρτηση νοείται ως ρίζες και οι συνθέσεις τους με ορθολογικές συναρτήσεις. Μια ρίζα βαθμού n ορίζεται ως λύση της εξίσωσης
.
Σημειώνεται ως εξής:
.

Υπερβατικές λειτουργίεςονομάζονται μη αλγεβρικές συναρτήσεις. Αυτές είναι συναρτήσεις εκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές και αντίστροφες.

Επισκόπηση βασικών στοιχειωδών λειτουργιών

Όλες οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένας πεπερασμένος αριθμός πράξεων πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης που εκτελούνται σε μια έκφραση της μορφής:
z t .
Οι αντίστροφες συναρτήσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν με όρους λογαρίθμων. Οι κύριες βασικές λειτουργίες παρατίθενται παρακάτω.

Λειτουργία ισχύος:
y(x) = x p,
όπου p είναι ο εκθέτης. Εξαρτάται από τη βάση του x.
Το αντίστροφο μιας συνάρτησης ισχύος είναι επίσης μια συνάρτηση ισχύος:
.
Για μια ακέραια μη αρνητική τιμή του εκθέτη p, είναι πολυώνυμο. Για μια ακέραια τιμή το p είναι μια ορθολογική συνάρτηση. Με μια λογική αξία - μια παράλογη συνάρτηση.

Υπερβατικές Συναρτήσεις

Εκθετικη συναρτηση :
y(x) = a x,
όπου α είναι η βάση του βαθμού. Εξαρτάται από τον εκθέτη x.
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο λογάριθμος που βασίζεται σε:
x= log a y.

Εκθέτης, e στη δύναμη του x:
y(x) = e x,
Αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση:
.
Η βάση του εκθέτη είναι ο αριθμός e:
≈ 2,718281828459045... .
Αντίστροφη συνάρτηση - φυσικός λογάριθμος - λογάριθμος στη βάση του e :
x= ln y ≡ log e y.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Sine : ;
Συνημίτονο : ;
Εφαπτομένη : ;
Συμεφαπτομένη : ;
Εδώ το i είναι μια φανταστική μονάδα, i 2 = -1.

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Αρξίνη: x = arcsin y, ;
Αρκοζίνη: x = τόξο cos y, ;
Arctagent: x = arctg y, ;
Εφαπτομένη τόξου: x = arcctg y, .

Για να κατανοήσετε αυτό το θέμα, εξετάστε τη συνάρτηση που εμφανίζεται στο γράφημα // Ας δείξουμε πώς το γράφημα συνάρτησης σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τις ιδιότητές του.

Αναλύουμε τις ιδιότητες μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα

Το εύρος της λειτουργίας είναι yavl. διάστημα [ 3,5; 5.5].

Το εύρος της λειτουργίας yavl. διάστημα [ 1; 3].

1. Στα x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν.

Η τιμή του ορίσματος, στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν, ονομάζεται μηδέν της συνάρτησης.

//εκείνοι. για αυτή τη συνάρτηση οι αριθμοί -3;-1;1,5; Το 4,5 είναι μηδενικά.

2. Στα διαστήματα [ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5; 5.5] η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα της τετμημένης και σε διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) κάτω από τον άξονα τετμημένη, αυτό είναι εξηγείται ως εξής - στα διαστήματα [ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5; 5.5] η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές και στα διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) είναι αρνητικές.

Κάθε ένα από τα υποδεικνυόμενα διαστήματα (όπου η συνάρτηση παίρνει τιμές του ίδιου πρόσημου) ονομάζεται διάστημα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης f.//δηλ. για παράδειγμα, αν πάρουμε το διάστημα (0; 3), τότε δεν είναι ένα διάστημα σταθερού προσήμου της δεδομένης συνάρτησης.

Στα μαθηματικά, κατά την αναζήτηση διαστημάτων σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης, συνηθίζεται να υποδεικνύονται διαστήματα μέγιστου μήκους. //Εκείνοι. το διάστημα (2; 3) είναι διάστημα σταθερότηταςσυνάρτηση f, αλλά η απάντηση πρέπει να περιλαμβάνει το διάστημα [ 4,5; 3) που περιέχει το διάστημα (2; 3).

3. Εάν μετακινηθείτε κατά μήκος του άξονα x από το 4,5 στο 2, θα παρατηρήσετε ότι το γράφημα της συνάρτησης κατεβαίνει, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης μειώνονται. //Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 4,5; 2] η συνάρτηση μειώνεται.

Καθώς το x αυξάνεται από 2 σε 0, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ανεβαίνει, δηλ. οι τιμές των συναρτήσεων αυξάνονται. //Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 2; 0] η συνάρτηση αυξάνεται.

Η συνάρτηση f καλείται εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστε x2 > x1, ικανοποιείται η ανισότητα f (x2) > f (x1). // ή Η συνάρτηση καλείται αυξάνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα, η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.//δηλ. όσο περισσότερο x, τόσο περισσότερο y.

Καλείται η συνάρτηση f μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα, έτσι ώστε x2 > x1, ικανοποιείται η ανισότητα f(x2) που μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα μια μεγαλύτερη Η τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης. //εκείνοι. όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y.

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται αυξανόμενη.

Εάν μια συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται φθίνουσα.

Παράδειγμα 1γραφική παράσταση αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα.

Παράδειγμα 2

Ορίστε το yavl. η γραμμική συνάρτηση f(x) = 3x + 5 είναι αύξουσα ή φθίνουσα;

Απόδειξη. Ας χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς. Έστω x1 και x2 αυθαίρετες τιμές του ορίσματος και x1< x2., например х1=1, х2=7

Λειτουργίες και οι ιδιότητές τους

Η συνάρτηση είναι μια από τις πιο σημαντικές μαθηματικές έννοιες.Λειτουργία είναι μια τέτοια εξάρτηση της μεταβλητής y από τη μεταβλητή x, στην οποία κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y.

μεταβλητός Χπου ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ή διαφωνία.μεταβλητός στοπου ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το λένε και αυτόΗ μεταβλητή y είναι συνάρτηση της μεταβλητής x. Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής καλούνταιτιμές συνάρτησης.

Αν η μεταβλητή εξάρτησηστο από μια μεταβλητήΧ είναι μια συνάρτηση, μπορεί να γραφτεί ως εξής:y= φά( Χ ). (Ανάγνωση:στο ισοδυναμείφά απόΧ .) Σύμβολοφά( Χ) συμβολίζει την τιμή της συνάρτησης που αντιστοιχεί στην τιμή του ορίσματος ίση μεΧ .

Όλες οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής μορφήςεύρος λειτουργίας . Όλες οι τιμές που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή σχηματίζονταιεύρος λειτουργίας .

Εάν μια συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο και το πεδίο ορισμού της δεν προσδιορίζεται, τότε ο τομέας της συνάρτησης θεωρείται ότι αποτελείται από όλες τις τιμές του ορίσματος για τις οποίες ο τύπος έχει νόημα.

Τρόποι για να ορίσετε μια λειτουργία:

1.αναλυτική μέθοδος (η συνάρτηση ορίζεται χρησιμοποιώντας έναν μαθηματικό τύπο.

2.πίνακας (η συνάρτηση ρυθμίζεται χρησιμοποιώντας τον πίνακα)

3.περιγραφικός τρόπος (η λειτουργία δίνεται με λεκτική περιγραφή)

4.γραφική μέθοδος (η συνάρτηση ρυθμίζεται με τη χρήση γραφήματος).

Γράφημα συνάρτησης καλούμε το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου συντεταγμένων, των οποίων τα τετμημένα είναι ίσα με τις τιμές του ορίσματος και τις τεταγμένες - αντίστοιχες τιμές συνάρτησης.

ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ

1. Συναρτήσεις μηδενικά

Η συνάρτηση μηδέν είναι η τιμή του ορίσματος στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.

2. Διαστήματα λειτουργιών

Τα διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης είναι τέτοια σύνολα τιμών ορισμάτων στα οποία οι τιμές της συνάρτησης είναι μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές.

3. Λειτουργία αύξησης (μείωσης).

Αυξάνεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, μια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση στην οποία η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Λειτουργία y= φά ( Χ ) που ονομάζεται αυξανόμενη στο μεσοδιάστημα (ένα; σι ), αν για κανένα Χ 1 και Χ 2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστεΧ 1 < Χ 2 , την ανισότηταφά ( Χ 1 )< φά ( Χ 2 ).

φθίνουσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, μια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Λειτουργία στο = φά ( Χ ) που ονομάζεται φθίνουσαστο μεσοδιάστημα (ένα; σι ) , εάν υπάρχει Χ 1 και Χ 2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστε Χ 1 < Χ 2 , την ανισότηταφά ( Χ 1 )> φά ( Χ 2 ).

4. Ζυγές (περιττές) συναρτήσεις

Ομοιόμορφη λειτουργία - μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτεΧ από το πεδίο ορισμού την ισότηταφά (- Χ ) = φά ( Χ ) . Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y.

Για παράδειγμα, y = x 2 είναι μια άρτια συνάρτηση.

περιττή συνάρτηση- μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού την ισότητα φά (- Χ ) = - φά (Χ ). Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.

Για παράδειγμα: y = x 3 - περιττή συνάρτηση .

Μια γενική συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή (y = x 2 +x ).

Ιδιότητες ορισμένων συναρτήσεων και τα γραφικά τους

1. Γραμμική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση της μορφής , όπου κ και σι - αριθμοί.

Το πεδίο ορισμού μιας γραμμικής συνάρτησης είναι το σύνολοR πραγματικούς αριθμούς.

Γράφημα γραμμικής συνάρτησηςστο = kx + σι ( κ ≠ 0) είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0;σι ) και παράλληλα με τη γραμμήστο = kx .

Ευθεία, όχι παράλληλα με τον άξοναOU, είναι η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης.

Ιδιότητες γραμμικής συνάρτησης.

1. Πότε κ > 0 λειτουργία στο = kx + σι

2. Πότε κ < 0 λειτουργία y= kx + σι μειώνεται στον τομέα του ορισμού.

y = kx + σι ( κ ≠ 0 ) είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. πολλάR πραγματικούς αριθμούς.

Στο κ = 0 σύνολο τιμών συνάρτησηςy= kx + σι αποτελείται από έναν αριθμόσι .

3. Πότε σι = 0 και κ = 0 η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Στο κ = 0 η γραμμική συνάρτηση έχει τη μορφήy= σι και στο σι ≠ 0 είναι άρτιο.

Στο κ = 0 και σι = 0 η γραμμική συνάρτηση έχει τη μορφήy= 0 και είναι και ζυγοί και περιττοί ταυτόχρονα.

Γράφημα γραμμικής συνάρτησηςy= σι είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0; σι ) και παράλληλα με τον άξοναΩ.Σημειώστε ότι όταν σι = 0 γράφημα συνάρτησηςy= σι συμπίπτουν με τον άξονα Ω .

5. Πότε κ > 0 έχουμε αυτό στο> 0 εάν και στο< 0 αν . Στο κ < 0 έχουμε ότι y > 0 ανκαι στο< 0, если .

2. Λειτουργία y = Χ 2

Rπραγματικούς αριθμούς.

Δίνοντας μια μεταβλητήΧ πολλαπλές τιμές από το εύρος της συνάρτησης και τον υπολογισμό των αντίστοιχων τιμώνστοσύμφωνα με τον τύπο y = Χ 2 , γραφικά τη συνάρτηση.

Γράφημα συνάρτησης y = Χ 2 που ονομάζεται παραβολή.

Ιδιότητες συνάρτησης y = x 2 .

1. Αν Χ= 0, λοιπόν y= 0, δηλ. η παραβολή έχει ένα κοινό σημείο (0; 0) με τους άξονες συντεταγμένων - την αρχή.

2. Αν x ≠ 0 , έπειτα στο > 0, δηλ. όλα τα σημεία της παραβολής, εκτός από την αρχή, βρίσκονται πάνω από τον άξονα x.

3. Ένα σύνολο τιμών συνάρτησηςστο = Χ 2 είναι η συνάρτηση spanστο = Χ 2 μειώνεται.

Χ

3.Λειτουργία

Το εύρος αυτής της λειτουργίας είναι η συνάρτηση spany = | Χ | μειώνεται.

7. Η συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή στο σημείοΧ,το είναι 0. Δεν υπάρχει μέγιστη τιμή.

6. Λειτουργία

Πεδίο λειτουργίας: .

Εύρος λειτουργιών: .

Το γράφημα είναι υπερβολικό.

1. Συναρτήσεις μηδενικά.

y ≠ 0, χωρίς μηδενικά.

2. Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου,

Αν ένα κ > 0, λοιπόν στο> 0 στο Χ > 0; στο < 0 при Χ < О.

Αν ένα κ < 0, то στο < 0 при Χ > 0; στο> 0 στο Χ < 0.

3. Διαστήματα αύξησης και μείωσης.

Αν ένα κ > 0, τότε η συνάρτηση μειώνεται όταν .

Αν ένα κ < 0, то функция возрастает при .

4. Ζυγές (περιττές) συναρτήσεις.

Η συνάρτηση είναι περίεργη.

Τετράγωνο τριώνυμο

Εξίσωση τύπου τσεκούρι 2 + bx + ντο = 0, όπου ένα , σικαι Με - μερικοί αριθμοί, καια≠ 0, κλήθηκε τετράγωνο.

Σε μια τετραγωνική εξίσωσητσεκούρι 2 + bx + ντο = 0 συντελεστής έναπου ονομάζεται ο πρώτος συντελεστής σι - δεύτεροι συντελεστές, με - ελεύθερο μέλος.

Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι:

.

Η έκφραση ονομάζεται διακριτική τετραγωνική εξίσωση και συμβολίζεται μερε .

Αν ένα ρε = 0, τότε υπάρχει μόνο ένας αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση τσεκούρι 2 + bx + ντο = 0. Ωστόσο, συμφωνήσαμε να πούμε ότι σε αυτή την περίπτωση η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες, και ο ίδιος ο αριθμός που ονομάζεται διπλή ρίζα.

Αν ένα ρε < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Αν ένα ρε > 0, τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

Έστω η τετραγωνική εξίσωσητσεκούρι 2 + bx + ντο = 0. Αφού α≠ 0, λοιπόν, διαιρώντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης μεένα, παίρνουμε την εξίσωση . Υποθέτοντας και , φτάνουμε στην εξίσωση , στην οποία ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με 1. Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεταιδεδομένος.

Ο τύπος για τις ρίζες της παραπάνω τετραγωνικής εξίσωσης είναι:

.

Εξισώσεις της φόρμας

ένα Χ 2 + bx = 0, τσεκούρι 2 + με = 0, ένα Χ 2 = 0

που ονομάζεται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις λύνονται με παραγοντοποίηση της αριστερής πλευράς της εξίσωσης.

Το θεώρημα του Βιέτα .

Το άθροισμα των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον λόγο του δεύτερου συντελεστή προς τον πρώτο, λαμβανόμενο με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ο λόγος του ελεύθερου όρου προς τον πρώτο συντελεστή, δηλ.

Αντίστροφο θεώρημα.

Αν το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε αριθμώνΧ 1 και Χ 2 είναι ίσο με , και το προϊόν τους είναι, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσηςΩ 2 + σι x + c = 0.

λειτουργία προβολής Ω 2 + σι x + cπου ονομάζεται τετράγωνο τριώνυμο. Οι ρίζες αυτής της συνάρτησης είναι οι ρίζες της αντίστοιχης τετραγωνικής εξίσωσηςΩ 2 + σι x + c = 0.

Εάν η διάκριση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε αυτό το τριώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Ω 2 + σι x + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 )

όπου Χ 1 και Χ 2 - τριωνυμικές ρίζες

Εάν η διάκριση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι μηδέν, τότε αυτό το τριώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Ω 2 + σι x + c \u003d a (x-x 1 ) 2

όπου Χ 1 είναι η ρίζα ενός τριωνύμου.

Για παράδειγμα, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Εξίσωση τύπου Ω 4 + σι Χ 2 + με= 0 καλείται διτετράγωνο. Αλλάζοντας τη μεταβλητή σύμφωνα με τον τύποΧ 2 = y ανάγεται στην τετραγωνική εξίσωσηένα y 2 + με + με = 0.

τετραγωνική λειτουργία

τετραγωνική λειτουργία είναι μια συνάρτηση που μπορεί να γραφτεί ως τύποςy = τσεκούρι 2 + bx + ντο , όπου Χ είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή,ένα , σι και ντο είναι κάποιοι αριθμοί, καιένα ≠ 0.

Οι ιδιότητες της συνάρτησης και ο τύπος του γραφήματος της καθορίζονται κυρίως από τις τιμές του συντελεστήένα και διάκριση.

Ιδιότητες τετραγωνικής συνάρτησης

Τομέα:R;

Εύρος τιμών:

στο ένα > 0 [- ρε/(4 ένα); ∞)

στο ένα < 0 (-∞; - ρε/(4 ένα)];

Ζυγά μονά:

στο σι = 0 η συνάρτηση είναι άρτια

στο σι ≠ 0 η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή

στο ρε> 0 δύο μηδενικά: ,

στο ρε= 0 ένα μηδέν:

στο ρε < 0 нулей нет

Διαστήματα σταθερότητας:

αν, a > 0, ρε> 0, λοιπόν

αν, a > 0, ρε= 0, λοιπόν

μιαν a > 0, ρε < 0, то

αν ένα< 0, ρε> 0, λοιπόν

αν ένα< 0, ρε= 0, λοιπόν

αν ένα< 0, ρε < 0, то

- Διαστήματα μονοτονίας

για > 0

σε ένα< 0

Η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης είναιπαραβολή - μια καμπύλη συμμετρική ως προς μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής (η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα συμμετρίας).

Για να σχεδιάσετε μια τετραγωνική συνάρτηση, χρειάζεστε:

1) βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής και σημειώστε την στο επίπεδο συντεταγμένων.

2) χτίστε μερικά ακόμα σημεία που ανήκουν στην παραβολή.

3) συνδέστε τα σημειωμένα σημεία με μια ομαλή γραμμή.

Οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής καθορίζονται από τους τύπους:

; .

Μετατροπή γραφημάτων συναρτήσεων

1. τέντωμα ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣy = x 2 κατά μήκος του άξοναστο σε|α| φορές (όταν|α| < 1 είναι συμπίεση σε 1/|α| μια φορά).

Αν ένα< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси Χ (οι κλάδοι της παραβολής θα κατευθύνονται προς τα κάτω).

Αποτέλεσμα: γράφημα συνάρτησηςy=ah 2 .

2. Παράλληλη μεταφορά γράφημα συνάρτησηςy=ah 2 κατά μήκος του άξοναΧ στο| Μ | (στα δεξιά στο

Μ > 0 και προς τα αριστερά στοt< 0).

Αποτέλεσμα: γράφημα συνάρτησηςy \u003d a (x - t) 2 .

3. Παράλληλη μεταφορά γράφημα συνάρτησης κατά μήκος του άξοναστο στο| n | (ξύπνιος στιςn> 0 και κάτω στοΠ< 0).

Αποτέλεσμα: γράφημα συνάρτησηςy \u003d a (x - t) 2 + σελ.

Τετραγωνικές ανισότητες

Ανισότητες της μορφήςΩ 2 + σι x + c > 0 καιΩ 2 + βχ + γ< 0, όπουΧ - μεταβλητή,ένα , σι καιΜε - κάποιοι αριθμοί και,α≠ 0 ονομάζονται ανισώσεις δεύτερου βαθμού με μία μεταβλητή.

Η επίλυση μιας ανισότητας δεύτερου βαθμού με μία μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί ως η εύρεση των διαστημάτων στα οποία η αντίστοιχη τετραγωνική συνάρτηση παίρνει θετικές ή αρνητικές τιμές.

Για την επίλυση ανισώσεων της μορφήςΩ 2 + bx + c > 0 καιΩ 2 + βχ + γ< 0 κάντε τα εξής:

1) Βρείτε τη διάκριση ενός τετράγωνου τριωνύμου και βρείτε αν το τριώνυμο έχει ρίζες.

2) αν το τριώνυμο έχει ρίζες, τότε σημειώστε τις στον άξοναΧ και μέσα από τα σημειωμένα σημεία σχεδιάζεται σχηματικά μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω στοένα > 0 ή κάτω στοένα< 0; εάν το τριώνυμο δεν έχει ρίζες, τότε απεικονίστε σχηματικά μια παραβολή που βρίσκεται στο άνω μισό επίπεδο στοένα > 0 ή στο κάτω μέρος ότανένα < 0;

3) βρείτε στον άξοναΧ διαστήματα για τα οποία τα σημεία της παραβολής βρίσκονται πάνω από τον άξοναΧ (αν λύσουν την ανισότηταΩ 2 + bx + c > 0) ή κάτω από τον άξοναΧ (αν λύσουν την ανισότηταΩ 2 + βχ + γ < 0).

Παράδειγμα:

Ας λύσουμε την ανισότητα .

Εξετάστε τη συνάρτηση

Η γραφική παράσταση του είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας είναι στραμμένοι προς τα κάτω (γιατί ).

Μάθετε πώς βρίσκεται το γράφημα σε σχέση με τον άξοναΧ. Ας λύσουμε την εξίσωση για αυτό . Το καταλαβαίνουμεx = 4. Η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα. Άρα η παραβολή αγγίζει τον άξοναΧ.

Έχοντας απεικονίσει σχηματικά μια παραβολή, διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές για οποιαδήποτεΧ, εκτός από 4.

Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:Χ - οποιοσδήποτε αριθμός όχι ίσος με 4.

Επίλυση ανισώσεων με τη μέθοδο του διαστήματος

σχέδιο λύσης

1. Βρείτε μηδενικά συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της ανισότητας.

2. Σημειώστε τη θέση των μηδενικών στον αριθμητικό άξονα και προσδιορίστε την πολλαπλότητα τους (ανκ Εγώ άρτιο, τότε μηδέν άρτια πολλαπλότητα, ανκ Εγώ περίεργο - μετά περιττό).

3. Βρείτε σημάδια μιας συνάρτησης στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών του, ξεκινώντας από το δεξιότερο διάστημα: σε αυτό το διάστημα, η συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι πάντα θετική για τη μειωμένη μορφή ανισοτήτων. Κατά τη μετάβαση από τα δεξιά προς τα αριστερά μέσα από το μηδέν μιας συνάρτησης από ένα διάστημα σε ένα γειτονικό, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη:

αν το μηδέν είναι περιττό πολλαπλότητα, το πρόσημο της συνάρτησης αλλάζει,

αν το μηδέν είναι άρτιο πολλαπλότητα, διατηρείται το πρόσημο της συνάρτησης.

4. Γράψτε την απάντηση.

Παράδειγμα:

(x + 6) (x + 1) (Χ - 4) < 0.

Βρέθηκαν μηδενικά συνάρτησης. Είναι ίσοι:Χ 1 = -6; Χ 2 = -1; Χ 3 = 4.

Σημειώνουμε τα μηδενικά της συνάρτησης στη γραμμή συντεταγμένωνφά ( Χ ) = (x + 6) (x + 1) (Χ - 4).

Βρείτε τα πρόσημα αυτής της συνάρτησης σε καθένα από τα διαστήματα (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) και

Από το σχήμα φαίνεται ότι το σύνολο των λύσεων της ανισότητας είναι η ένωση των διαστημάτων (-∞; -6) και (-1; 4).

Απάντηση: (-∞ ; -6) και (-1, 4).

Η εξεταζόμενη μέθοδος επίλυσης ανισώσεων ονομάζεταιμέθοδος διαστήματος.