Η ακολουθία δίνεται από τον επαναλαμβανόμενο τύπο xn 2. Ιδιότητες αριθμητικών ακολουθιών

Βίντα y= φά(Χ), ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Ν, Οπου Ν- ένα μάτσο φυσικούς αριθμούς(ή συνάρτηση φυσικού ορίσματος), υποδηλώνεται y=φά(n) ή y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Αξίες y 1 ,y 2 ,y 3 ,… λέγονται αντίστοιχα τα πρώτα, δεύτερα, τρίτα, ... μέλη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση y= n 2 μπορεί να γραφτεί:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Μέθοδοι καθορισμού αλληλουχιών.Οι ακολουθίες μπορούν να καθοριστούν διαφορετικοί τρόποι, μεταξύ των οποίων τρία είναι ιδιαίτερα σημαντικά: αναλυτικό, περιγραφικό και επαναλαμβανόμενο.

1. Μια ακολουθία δίνεται αναλυτικά αν δίνεται ο τύπος της nτο μέλος:

y n=φά(n).

Παράδειγμα. y n= 2n - 1 – ακολουθία περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. Περιγραφικό Ο τρόπος για να ορίσετε μια αριθμητική ακολουθία είναι να εξηγήσετε από ποια στοιχεία είναι κατασκευασμένη η ακολουθία.

Παράδειγμα 1. "Όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ίσοι με 1." Αυτό σημαίνει, μιλάμε γιασχετικά με τη στατική ακολουθία 1, 1, 1, …, 1, ….

Παράδειγμα 2. «Μια ακολουθία αποτελείται από όλα πρώτοι αριθμοίμε αύξουσα σειρά». Έτσι, η δεδομένη ακολουθία είναι 2, 3, 5, 7, 11, …. Με αυτή τη μέθοδο καθορισμού της ακολουθίας σε σε αυτό το παράδειγμαείναι δύσκολο να απαντήσει κανείς με τι ισούται, ας πούμε, το 1000ο στοιχείο της ακολουθίας.

3. Η επαναλαμβανόμενη μέθοδος για τον καθορισμό μιας ακολουθίας είναι να καθορίσετε έναν κανόνα που σας επιτρέπει να υπολογίζετε n-ο μέλος μιας ακολουθίας αν είναι γνωστά τα προηγούμενα μέλη της. Το όνομα επαναλαμβανόμενη μέθοδος προέρχεται από Λατινική λέξη επαναλαμβανόμενος- ελα πισω. Τις περισσότερες φορές, σε τέτοιες περιπτώσεις, υποδεικνύεται ένας τύπος που επιτρέπει σε κάποιον να εκφραστεί nτο μέλος της ακολουθίας μέσω των προηγούμενων και ορίστε 1–2 αρχικό μέλοςακολουθίες.

Παράδειγμα 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 αν n = 2, 3, 4,….

Εδώ y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Μπορείτε να δείτε ότι η ακολουθία που λαμβάνεται σε αυτό το παράδειγμα μπορεί επίσης να καθοριστεί αναλυτικά: y n= 4n - 1.

Παράδειγμα 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 αν n = 3, 4,….

Εδώ: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Η ακολουθία σε αυτό το παράδειγμα μελετάται ιδιαίτερα στα μαθηματικά επειδή έχει μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες και εφαρμογές. Ονομάζεται ακολουθία Fibonacci, που πήρε το όνομά του από τον Ιταλό μαθηματικό του 13ου αιώνα. Είναι πολύ εύκολο να ορίσουμε την ακολουθία Fibonacci περιοδικά, αλλά πολύ δύσκολο αναλυτικά. nΟ αριθμός Fibonacci εκφράζεται μέσω του σειριακός αριθμόςτον ακόλουθο τύπο.

Με την πρώτη ματιά, η φόρμουλα για nο αριθμός Fibonacci φαίνεται απίθανος, καθώς ο τύπος που καθορίζει την ακολουθία των φυσικών αριθμών περιέχει μόνο τετραγωνικές ρίζες, αλλά μπορείτε να ελέγξετε "μη αυτόματα" την εγκυρότητα αυτού του τύπου για τα πρώτα n.

Ιδιότητες ακολουθιών αριθμών.

Αριθμητική ακολουθία – ειδική περίπτωση αριθμητική συνάρτηση, επομένως μια σειρά από ιδιότητες των συναρτήσεων λαμβάνονται υπόψη και για τις ακολουθίες.

Ορισμός . Ακολουθία ( y n} ονομάζεται αύξουσα αν κάθε όρος του (εκτός από τον πρώτο) είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Ορισμός.Ακολουθία ( y n} ονομάζεται φθίνουσα αν κάθε όρος του (εκτός από τον πρώτο) είναι μικρότερος από τον προηγούμενο:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Οι αύξουσες και φθίνουσες ακολουθίες συνδυάζονται με τον κοινό όρο - μονοτονικές ακολουθίες.

Παράδειγμα 1. y 1 = 1; y n= n 2 – αυξανόμενη ακολουθία.

Έτσι, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (χαρακτηριστική ιδιότητα αριθμητική πρόοδος). Μια αριθμητική ακολουθία είναι αριθμητική εάν και μόνο αν κάθε μέλος της, εκτός από το πρώτο (και το τελευταίο στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Παράδειγμα. Σε ποια τιμή Χαριθμοί 3 Χ + 2, 5Χ– 4 και 11 Χ+ 12 σχηματίζουν μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδο;

Σύμφωνα με χαρακτηριστική ιδιότητα, οι δοσμένες εκφράσεις πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση

5Χ – 4 = ((3Χ + 2) + (11Χ + 12))/2.

Η επίλυση αυτής της εξίσωσης δίνει Χ= –5,5. Σε αυτή την τιμή Χδοσμένες εκφράσεις 3 Χ + 2, 5Χ– 4 και 11 Χ+ 12 παίρνουν, αντίστοιχα, τις τιμές -14,5, –31,5, –48,5. Αυτή είναι μια αριθμητική πρόοδος, η διαφορά της είναι –17.

Γεωμετρική πρόοδος.

Μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας όλοι οι όροι είναι μη μηδενικοί και της οποίας καθένας από τους όρους, ξεκινώντας από τον δεύτερο, προκύπτει από τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο αριθμό q, ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, και ο αριθμός q- ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Έτσι, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία ( b n), που ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις

σι 1 = σι, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(σιΚαι q -δεδομένους αριθμούς, σι ≠ 0, q ≠ 0).

Παράδειγμα 1. 2, 6, 18, 54, ... – αύξηση της γεωμετρικής προόδου σι = 2, q = 3.

Παράδειγμα 2. 2, –2, 2, –2, … – γεωμετρική πρόοδος σι= 2,q= –1.

Παράδειγμα 3. 8, 8, 8, 8, … – γεωμετρική πρόοδος σι= 8, q= 1.

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αυξανόμενη ακολουθία αν σι 1 > 0, q> 1, και μειώνοντας εάν σι 1 > 0, 0 q

Μία από τις προφανείς ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου είναι ότι αν η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, τότε είναι και η ακολουθία τετραγώνων, δηλ.

σι 1 2 , σι 2 2 , σι 3 2 , …, b n 2,... είναι μια γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο πρώτος όρος είναι ίσος με σι 1 2 , και ο παρονομαστής είναι q 2 .

Τύπος n-ο όρος της γεωμετρικής προόδου έχει τη μορφή

b n= σι 1 qn– 1 .

Μπορείτε να αποκτήσετε έναν τύπο για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου.

Ας δοθεί μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

σι 1 ,σι 2 ,σι 3 , …, b n

αφήνω S n -το άθροισμα των μελών του, δηλ.

S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + … +b n.

Είναι αποδεκτό ότι qΝο. 1. Για να προσδιορίσετε S nχρησιμοποιείται μια τεχνητή τεχνική: μερικά γεωμετρικούς μετασχηματισμούςεκφράσεις S n q.

S n q = (σι 1 + σι 2 + σι 3 + … + b n –1 + b n)q = σι 2 + σι 3 + σι 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– σι 1 .

Ετσι, S n q= S n +b n q – β 1 και επομένως

Αυτή είναι η φόρμουλα με umma n όροι γεωμετρικής προόδουγια την περίπτωση που q≠ 1.

Στο q= 1 ο τύπος δεν χρειάζεται να προέρχεται χωριστά· είναι προφανές ότι σε αυτή την περίπτωση S n= ένα 1 n.

Η πρόοδος ονομάζεται γεωμετρική επειδή κάθε όρος σε αυτήν, εκτός από τον πρώτο, είναι ίσος με τον γεωμετρικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων όρων. Πράγματι, από τότε

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

ως εκ τούτου, b n 2=bn– 1 bn+ 1 και ισχύει το ακόλουθο θεώρημα (χαρακτηριστική ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου):

μια αριθμητική ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν το τετράγωνο κάθε όρου της, εκτός από τον πρώτο (και τον τελευταίο στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), ίσο με το γινόμενοπροηγούμενα και επόμενα μέλη.

Όριο συνέπειας.

Ας υπάρχει μια σειρά ( c n} = {1/n}. Αυτή η ακολουθία ονομάζεται αρμονική, αφού κάθε όρος της, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ο αρμονικός μέσος μεταξύ των προηγούμενων και των επόμενων όρων. Μέση τιμή γεωμετρικούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένας αριθμός

Διαφορετικά η ακολουθία ονομάζεται αποκλίνουσα.

Με βάση αυτόν τον ορισμό, μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να αποδείξει την ύπαρξη ενός ορίου Α=0για την αρμονική ακολουθία ( c n} = {1/n). Έστω το ε αυθαίρετα μικρό θετικός αριθμός. Η διαφορά θεωρείται

Υπάρχει κάτι τέτοιο; Ναυτό είναι για όλους n ≥ Νισχύει η ανισότητα 1 /Ν ? Αν το πάρουμε ως Νκάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1/ε , τότε για όλους n ≥ Nισχύει η ανισότητα 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Η απόδειξη της παρουσίας ενός ορίου για μια συγκεκριμένη ακολουθία μπορεί μερικές φορές να είναι πολύ δύσκολη. Οι πιο συχνά εμφανιζόμενες αλληλουχίες είναι καλά μελετημένες και παρατίθενται σε βιβλία αναφοράς. Υπάρχουν σημαντικά θεωρήματα που σας επιτρέπουν να συμπεράνετε ότι μια δεδομένη ακολουθία έχει ένα όριο (ακόμα και να το υπολογίσετε), με βάση τις ήδη μελετημένες ακολουθίες.

Θεώρημα 1. Αν μια ακολουθία έχει όριο, τότε είναι οριοθετημένη.

Θεώρημα 2. Αν μια ακολουθία είναι μονότονη και οριοθετημένη, τότε έχει όριο.

Θεώρημα 3. Αν η ακολουθία ( a n} έχει ένα όριο ΕΝΑ, μετά οι ακολουθίες ( μπορώ}, {a n+ γ) και (| a n|} έχουν όρια γΑ, ΕΝΑ +ντο, |ΕΝΑ| αναλόγως (εδώ ντο– αυθαίρετος αριθμός).

Θεώρημα 4. Αν οι ακολουθίες ( a n} Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σι τηγάνι + qbn) έχει ένα όριο pA+ qB.

Θεώρημα 5. Αν οι ακολουθίες ( a n) Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σιαντίστοιχα, τότε η σειρά ( a n b n) έχει ένα όριο ΑΒ.

Θεώρημα 6. Αν οι ακολουθίες ( a n} Και ( b n) έχουν όρια ίσα με ΕΝΑΚαι σικατά συνέπεια, και, επιπλέον, b n ≠ 0 και Β≠ 0 και μετά η ακολουθία ( a n / b n) έχει ένα όριο A/B.

Άννα Τσουγκάινοβα

Στόχοι μαθήματος:

σχηματισμός μιας ιδέας μιας αριθμητικής ακολουθίας ως συνάρτησης με ένα φυσικό όρισμα.
ο σχηματισμός γνώσης σχετικά με τις μεθόδους προσδιορισμού αριθμητικών ακολουθιών, την ικανότητα εύρεσης μελών μιας ακολουθίας χρησιμοποιώντας τον προτεινόμενο τύπο, καθώς και τη δυνατότητα εύρεσης του ίδιου του τύπου που ορίζει την ακολουθία.
ανάπτυξη δεξιοτήτων για την εφαρμογή προηγουμένως μελετημένου υλικού.
ανάπτυξη δεξιοτήτων ανάλυσης, σύγκρισης, γενίκευσης.
ανάπτυξη της ικανότητας εργασίας σε ζευγάρια και αξιολόγησης του εαυτού του.

Εξοπλισμός: εναέριος προβολέας, σετ διαφανών φιλμ με εργασίες, Ελεημοσύνη, μια αφίσα με τρόπους ρύθμισης ακολουθιών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

2. Προετοιμασία για την αντίληψη της νέας γνώσης.

Οι μαθητές καλούνται να λύσουν προφορικά 2 προβλήματα:

Πρόβλημα Νο 1: Υπάρχουν 500 τόνοι άνθρακα στην αποθήκη, 30 τόνοι παραδίδονται κάθε μέρα. Πόσο κάρβουνο θα υπάρχει στην αποθήκη σε 1 ημέρα; Ημέρα 2? 3η μέρα; 4η μέρα; 5η μέρα;

Εργασία Νο. 2: Πότε ελεύθερη πτώσητο σώμα διανύει 4,9 μέτρα το πρώτο δευτερόλεπτο και 9,8 μέτρα περισσότερα σε κάθε επόμενο δευτερόλεπτο. Πόσο μακριά θα διανύσει το σώμα που πέφτει σε 1 δευτερόλεπτο; 2 δευτερόλεπτα; 3 δευτερόλεπτα; 4 δευτερόλεπτα; 5 δευτερόλεπτα;

Οι απαντήσεις των μαθητών γράφονται στον πίνακα: Εργασία 1: 500; 530; 560; 590; 620

Εργασία 2: 4.9; 14.7; 24,5; 34.3; 44.1

Γίνονται ερωτήσεις για τις εργασίες:

στο πρόβλημα 1: Πόσο κάρβουνο θα υπάρχει στην αποθήκη για 35 ημέρες;

στο πρόβλημα 2: Ποια απόσταση θα διανύσει το σώμα σε 35 δευτερόλεπτα;

Για να λύσουμε τα προβλήματα που τίθενται, θεωρούμε τις απαντήσεις στα προβλήματα ως μια ακολουθία αριθμών, δηλαδή ακολουθίες αριθμών.

Στόχος του μαθήματος είναι: Βρείτε τρόπους να βρείτε οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας.

Στόχοι μαθήματος: Μάθετε τι είναι μια αριθμητική ακολουθία και πώς ορίζονται οι ακολουθίες.

Το θέμα του μαθήματος καταγράφεται

3. Εκμάθηση νέου υλικού.

1. Εισαγωγή του ορισμού μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Εισάγονται οι ακόλουθες ονομασίες: y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ,…- μέλη της ακολουθίας. 1,2,3,4,5,… - αύξων αριθμός του μέλους ακολουθίας. ( y 2) – η ίδια η αριθμητική ακολουθία

Κατά τη διάρκεια της συνομιλίας, ορίζουμε την έννοια της αριθμητικής ακολουθίας.

Κατευθυντήριες ερωτήσεις: Γνωρίζοντας τον αριθμό ενός μέλους της ακολουθίας, μπορούμε να βρούμε το μέλος της ίδιας της ακολουθίας; Τι γίνεται με το αντίστροφο; Πώς ονομάζονται αυτές οι εξαρτήσεις; Ποιο επιχείρημα; Ποια είναι η τιμή της συνάρτησης; Ποιο είναι το πεδίο εφαρμογής του ορισμού;

Οι μαθητές γράφουν τον ορισμό: Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Λύνουμε εργασίες προφορικά:

Προσδιορίστε εάν η ακόλουθη αντιστοίχιση είναι μια ακολουθία:

α) κάθε φυσικός αριθμός συνδέεται με το τετράγωνό του.
β) κάθε φυσικός αριθμός συνδέεται με τον αριθμό 7.
γ) κάθε φυσικός ζυγός αριθμός συσχετίζεται με τον κύβο του και κάθε φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 4 συνδέεται με τον αριθμό 9.

2. Προσδιορίστε αν η δεδομένη συνάρτηση είναι αριθμητική ακολουθία: (οι τύποι γράφονται στον πίνακα)

ΕΝΑ) y=2x-1, xI (0;+?)σι)

V) y=2x-1, xI ZΣΟΛ) ?

Συμπέρασμα: (διατυπώνεται μαζί με τα παιδιά) Ποιο είναι το κύριο πράγμα στον ορισμό;

Αριθμητική ακολουθία 1) συνάρτηση 2) το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο N.

2. Προσδιορισμός μεθόδων για τον καθορισμό αλληλουχιών.

Υπενθυμίζουμε ότι μια συνάρτηση θεωρείται καθορισμένη εάν οριστεί ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο οποιοδήποτε όρισμα συσχετίζεται με την τιμή της συνάρτησης.

Η συνθήκη για τον καθορισμό μιας αριθμητικής ακολουθίας διατυπώνεται από κοινού (και στη συνέχεια καταγράφεται): Μια αριθμητική ακολουθία θεωρείται δεδομένη εάν έχει καθοριστεί μια μέθοδος που επιτρέπει σε κάποιον να βρει ένα μέλος της ακολουθίας οποιουδήποτε αριθμού.

Κατά τη διάρκεια της συνομιλίας, θυμόμαστε τις μεθόδους προσδιορισμού συναρτήσεων (λεκτική, γραφική, τύπος (αναφέρεται ότι ονομάζεται αναλυτική)), την ουσία τους.

Ένα διάγραμμα είναι αναρτημένο στον πίνακα:

Α) Λεκτική μέθοδος. Η ουσία της μεθόδου εμφανίζεται στον πίνακα. Οι μαθητές καταγράφουν το όνομα της μεθόδου και την ουσία της στον πίνακα Νο. 1.

Πίνακας Νο. 1 Μέθοδοι για τον καθορισμό μιας αριθμητικής ακολουθίας:

Τρόπος
Παράδειγμα

Περιγράψτε με λόγια πώς να αποκτήσετε κάθε μέλος της ακολουθίας ή προσδιορίστε τα πρώτα μέλη της ακολουθίας.

Ο Πίνακας Νο. 1 περιέχει λεκτικές εργασίες δύο σειρών:

Ακολουθία 1. ( y n) – μια ακολουθία φυσικών αριθμών που διαιρείται με το 3.

Ακολουθία 2. ( y n) είναι μια ακολουθία ζυγών φυσικών αριθμών.

Εργασία: Καταγράψτε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας. (Καθοδηγητικές ερωτήσεις: τι είναι τα πολλαπλάσια του 3, ποιοι αριθμοί θεωρούνται ζυγοί). (2 μαθητές καλούνται στον πίνακα)

Δώστε τα παραδείγματά σας (προφορικά).

ΣΙ) Γραφική μέθοδος.

Κατασκευάστε ένα σύνολο σημείων (n; y n)

Εργασία: Ορίστε γραφικά την Ακολουθία 1 και 2 (δύο μαθητές στον πίνακα στο τελικό επίπεδο συντεταγμένων, οι υπόλοιποι στον πίνακα Νο. 1)

Β) Αναλυτική μέθοδος . Η ουσία της μεθόδου εμφανίζεται στον πίνακα. Οι μαθητές καταγράφουν το όνομα της μεθόδου και την ουσία της στον πίνακα Νο. 1.

Να δώσετε τον τύπο για τον nο όρο της ακολουθίας.

Εργασία: 1. Η ακολουθία δίνεται από τον τύπο: . Γράψτε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας. (Ένας μαθητής κάθε φορά στον πίνακα με πλήρη εξήγηση, οι υπόλοιποι σε ένα σημειωματάριο)

2. Ορίστε τον τύπο nτο μέλος της Ακολουθίας 1 και 2 (Μιλάμε προφορικά, το γράφουμε στον πίνακα Νο. 1)

Δ) Επαναλαμβανόμενη μέθοδος.

3. Ορίστε τον τύπο nο όρος της ακολουθίας ..., 74, 81, 88, 95, 102, ...

Μπορείτε να βρείτε το επόμενο μέλος της ακολουθίας; Τι ακολουθεί λοιπόν; (Καθοδηγητική ερώτηση: πώς να πάρετε το 81 από το 74 και το 88 από το 81)

Συμπέρασμα: Αν γνωρίζουμε n-1μέλος της ακολουθίας, τότε θα είναι δυνατό να βρεθεί n-Νυ.

Αυτή η μέθοδος καθορισμού μιας ακολουθίας ονομάζεται επαναλαμβανόμενη. (Μια σημείωση προστίθεται στο διάγραμμα στον πίνακα επαναλαμβανόμενος)

Στο παράδειγμά μας y n =y n-1 + 7

Τι δεδομένα μας λείπουν για αυτό; Και αν η ακολουθία δίνεται από τον τύπο

y n = y n-1 + y n-2 ;

Συμπέρασμα: Για να καθορίσετε επανειλημμένα μια ακολουθία, πρέπει:

1) γνωρίζουν έναν ή δύο πρώτους όρους της ακολουθίας
2) καθορίστε τον κανόνα για τον υπολογισμό των επόμενων μελών της ακολουθίας

Η ουσία της μεθόδου εμφανίζεται στον πίνακα. Οι μαθητές καταγράφουν το όνομα της μεθόδου και την ουσία της στον πίνακα Νο. 1.

Εκφράστε κάθε όρο της ακολουθίας, ξεκινώντας από τον 2ο (ή τον 3ο) μέχρι τους προηγούμενους.

Εργασία: 1. Η ακολουθία δίνεται αναδρομικά y 1 = 2,y n =5y n-1Καταγράψτε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας. (Ένας μαθητής κάθε φορά στον πίνακα με πλήρη εξήγηση, οι υπόλοιποι σε ένα σημειωματάριο)

2. Ρυθμίστε τις Ακολουθίες 1 και 2 περιοδικά (μιλάμε προφορικά, τις γράφουμε στον πίνακα Νο. 1)

ΜΕΡΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ: Έχουμε 4 τρόπους για να καθορίσουμε ακολουθίες αριθμών. Παρουσιάζονται στον πίνακα και στον πίνακα Νο 1. Οι πιο πολύτιμες για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων είναι οι 2 τελευταίες μέθοδοι: η αναλυτική και η επαναλαμβανόμενη. Και τώρα θα δουλέψουμε με αυτές τις μεθόδους.

4. Πρωτογενής κατανόηση και εμπέδωση του υλικού

Οδηγίες:Ακολουθούν οι πίνακες 2 και 3.

Πίνακας Νο 2: Αναλυτική μέθοδος Ασκηση:Συμπληρώστε τον πίνακα

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5
	x 1 =	x 4 =

Πίνακας Νο. 3: Επαναλαμβανόμενη μέθοδος Ασκηση:Συμπληρώστε τον πίνακα

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	x 1, x 2, x n
		x 1 =	x 4 =

Ο πίνακας δείχνει την αναλυτική μέθοδο και ο πίνακας 3 δείχνει την επαναλαμβανόμενη μέθοδο. Η εργασία στις γραμμές 1 και 2 αυτών των πινάκων: χρησιμοποιήστε αυτούς τους τύπους για να ορίσετε τους πρώτους 5 όρους της ακολουθίας. Η εργασία στις γραμμές 3 και 4 αυτών των πινάκων είναι να ορίσετε τον κατάλληλο τύπο χρησιμοποιώντας τους πρώτους όρους της ακολουθίας.

Αυτό το έργο δεν είναι πλέον ασήμαντο· απαιτεί μια ορισμένη ευρηματικότητα.

Οι μαθητές εργάζονται σε ζευγάρια σε εργασίες.

Στα πρώτα ζευγάρια που ολοκλήρωσαν την εργασία δίνονται διαφανείς ταινίες με την εργασία στην οποία γράφουν τις απαντήσεις τους.

Οι λύσεις ελέγχονται με χρήση προβολέα.

5. Πρωταρχικός έλεγχος απόκτησης γνώσης(ανεξάρτητη εργασία ακολουθούμενη από αυτοέλεγχο)

Οδηγίες: Πάρτε φύλλα με τον πίνακα Νο 5.

Πίνακας Νο. 5: Ανεξάρτητη εργασία Ασκηση:Συμπληρώστε τον πίνακα

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Αναλυτική μέθοδος	Επαναλαμβανόμενη μέθοδος
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
500; 530; 560; 590; 620; …
4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

Κριτήρια αξιολόγησης: 4 «+» βαθμολογία «5»; 3 "+" βαθμολογία "4"; 2 "+" βαθμολογία "3"

Υπογράψτε τους. Η εργασία στις γραμμές 1 και 2 αυτών των πινάκων: χρησιμοποιήστε αυτούς τους τύπους για να ορίσετε τους πρώτους 5 όρους της ακολουθίας. Η εργασία στις γραμμές 3 και 4 αυτών των πινάκων είναι να ορίσετε τον κατάλληλο τύπο χρησιμοποιώντας τους πρώτους όρους της ακολουθίας.

Οι εργασίες ολοκληρώνονται ανεξάρτητα. Μετά την εκτέλεση, ελέγχουμε τις λύσεις.

Οι λύσεις ελέγχονται με χρήση προβολέα (οι απαντήσεις καταγράφονται εκ των προτέρων).

Οδηγίες για δοκιμές και αξιολόγηση: Ακολουθούν οι απαντήσεις στις εργασίες. Συγκρίνετε τα με τα αποτελέσματά σας. Εάν είναι σωστό, τότε βάλτε "+", αν όχι, τότε "-". Στη συνέχεια, μετρήστε τον αριθμό του "+" και σημειώστε τον εαυτό σας σύμφωνα με τα κριτήρια που έχετε σημειώσει κάτω από τον πίνακα. Εάν θέλετε ο βαθμός που λάβατε να συμπεριληφθεί στο ημερολόγιο, τότε γράψτε "στο ημερολόγιο" σε παρένθεση δίπλα στον βαθμό.

6. Συνοψίζοντας το μάθημα

Δώστε προσοχή στις 2 τελευταίες γραμμές του πίνακα 5. Αυτές είναι ακολουθίες των εργασιών στην αρχή του μαθήματος. Οι ερωτήσεις εργασίας ανακαλούνται. Βρίσκουμε την απάντηση στα προβλήματα που τίθενται (ρωτούνται 2 μαθητές).

Πραγματοποιείται μετωπική έρευνα με μαθητές συμπεράσματα μαθήματος:

Τι είναι μια ακολουθία
Ποιοι είναι οι τρόποι ορισμού ακολουθιών; Ποια είναι η ουσία τους;
Ποια μέθοδος σας επιτρέπει να προσδιορίσετε ένα μέλος μιας ακολουθίας γνωρίζοντας μόνο τον αριθμό της;
Πού χρησιμοποιείται η γνώση σχετικά με τις ακολουθίες αριθμών;

Πίνακας Νο. 4: Πρόσθετη εργασία:Συμπληρώστε τον πίνακα

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Αναλυτική μέθοδος
		x 1 =	x 4 =

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Επαναλαμβανόμενη μέθοδος
		x 1 =	x 4 =

Επαναλαμβανόμενη ακολουθία. Από ένα μάθημα μαθηματικών γνωρίζουμε την έννοια της επαναλαμβανόμενης ακολουθίας. Αυτή η έννοια εισάγεται ως εξής: ας είναι γνωστοί οι k αριθμοί a1, ..., ak. Αυτοί οι αριθμοί είναι οι πρώτοι αριθμοί σε μια αριθμητική ακολουθία. Τα ακόλουθα στοιχεία αυτής της ακολουθίας υπολογίζονται ως εξής:

Εδώ το F είναι συνάρτηση k ορισμών. Ο τύπος της φόρμας

που ονομάζεται επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Η τιμή k ονομάζεται βάθος αναδρομής.

Με άλλα λόγια, μπορούμε να πούμε ότι μια επαναλαμβανόμενη ακολουθία είναι μια άπειρη σειρά αριθμών, καθένας από τους οποίους, με εξαίρεση το αρχικό k, εκφράζεται ως προς τους προηγούμενους.

Παραδείγματα επαναλαμβανόμενων ακολουθιών είναι οι αριθμητικές (1) και οι γεωμετρικές (2) προόδους:

Τύπος επανάληψης για την καθορισμένη αριθμητική πρόοδο:

Τύπος επανάληψης για αυτήν τη γεωμετρική πρόοδο:

Το βάθος αναδρομής και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσο με ένα (αυτή η εξάρτηση ονομάζεται επίσης αναδρομή ενός βήματος). Γενικά, μια επαναλαμβανόμενη ακολουθία περιγράφεται από ένα σύνολο αρχικές τιμέςκαι επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Όλα αυτά μπορούν να συνδυαστούν σε μια φόρμουλα διακλάδωσης. Για αριθμητική πρόοδο:

Για γεωμετρική πρόοδο:

Η ακόλουθη ακολουθία αριθμών είναι γνωστή στα μαθηματικά ως αριθμοί Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Ξεκινώντας από το τρίτο στοιχείο, κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των τιμών των δύο προηγούμενων, δηλαδή πρόκειται για μια επαναλαμβανόμενη ακολουθία με βάθος 2 (αναδρομή δύο βημάτων). Ας το περιγράψουμε σε διακλαδωτική μορφή:

Η εισαγωγή της έννοιας των επαναλαμβανόμενων ακολουθιών μας επιτρέπει να ρίξουμε μια νέα ματιά σε ορισμένα προβλήματα που είναι ήδη γνωστά σε εμάς. Για παράδειγμα, το παραγοντικό ενός ακέραιου αριθμού n! μπορεί να θεωρηθεί ως η τιμή του nου στοιχείου της ακόλουθης σειράς αριθμών:

Μια επαναλαμβανόμενη περιγραφή μιας τέτοιας ακολουθίας μοιάζει με αυτό:

Προγραμματισμός υπολογισμών επαναλαμβανόμενων ακολουθιών. Προβλήματα αυτού του είδους σχετίζονται με επαναλαμβανόμενες ακολουθίες:

1) Υπολογίστε το δεδομένο (n-ο) στοιχείο της ακολουθίας.

2) επεξεργαστείτε μαθηματικά ένα συγκεκριμένο μέρος της ακολουθίας (για παράδειγμα, υπολογίστε το άθροισμα ή το γινόμενο των πρώτων n όρων).

4) προσδιορίστε τον αριθμό του πρώτου στοιχείου που ικανοποιεί μια συγκεκριμένη προϋπόθεση.

Αυτή η λίστα εργασιών δεν ισχυρίζεται ότι είναι πλήρης, αλλά καλύπτει τους πιο συνηθισμένους τύπους. Στα πρώτα τέσσερα προβλήματα, δεν είναι απαραίτητο να αποθηκεύονται ταυτόχρονα πολλά στοιχεία μιας σειράς αριθμών στη μνήμη. Σε αυτή την περίπτωση, τα στοιχεία του μπορούν να ληφθούν διαδοχικά σε μία μεταβλητή, αντικαθιστώντας το ένα το άλλο.

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το ντο στοιχείο της αριθμητικής προόδου (1).

Var M,I: 0..Maxint;

Για I: =2 To N Do

WriteLn("A(",N:l,"")=",A:6:0)

Ο επαναλαμβανόμενος τύπος ai = ai-1 + 2 έχει μετατραπεί στον τελεστή A:= A + 2.

Παράδειγμα 2. Αθροίστε τα πρώτα n στοιχεία της γεωμετρικής προόδου (2) (χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων της προόδου).

Var N,1: 0..Maxint;

Write("N="); ReadLn(N);

Για I: =2 To N Do

WriteLn("Sum is",S:6:0)

Κατά τον υπολογισμό μιας επαναλαμβανόμενης ακολουθίας με βάθος 2, δεν είναι πλέον δυνατό να τα βγάλετε πέρα με μία μόνο μεταβλητή. Αυτό φαίνεται από το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3. Εκτυπώστε τους πρώτους n (n ≥ 3) αριθμούς Fibonacci. Μετρήστε πόσοι από αυτούς είναι ζυγοί αριθμοί.

Var N,I,K,F,F1,F2: 0..Maxint;

WriteLn("F(l)=",Fl,"F(2)=",F2);

Για I:=3 To N Do

WriteLn("F(",I:l,")=",F);

Αν δεν είναι μονό(F) Τότε K:=K+1;

WriteLn("Ο αριθμός των ζυγών αριθμών στην ακολουθία είναι",K)

Τρεις μεταβλητές χρειάστηκαν για τον διαδοχικό υπολογισμό μιας αναδρομής δύο βημάτων, αφού για να βρεθεί το επόμενο στοιχείο είναι απαραίτητο να θυμάστε τις τιμές των δύο προηγούμενων.

Παράδειγμα 4. Για δεδομένο πραγματικό x και μια μικρή τιμή ε (για παράδειγμα, ε = 0,000001), υπολογίστε το άθροισμα της σειράς

συμπεριλαμβανομένων μόνο όρων μεγαλύτερους του ε. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα μιας τέτοιας άπειρης σειράς έχει πεπερασμένη τιμή ίση με ex, όπου e = 2,71828... είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου. Δεδομένου ότι τα στοιχεία αυτής της σειράς αντιπροσωπεύουν μια φθίνουσα ακολουθία αριθμών που τείνει προς το μηδέν, η άθροιση πρέπει να πραγματοποιηθεί μέχρι τον πρώτο όρο, σύμφωνα με απόλυτη τιμήπου δεν υπερβαίνει το ε.

Εάν οι όροι αυτής της έκφρασης συμβολίζονται ως εξής:

τότε ο γενικευμένος τύπος για το i-ο στοιχείο θα είναι ο εξής:

Είναι εύκολο να δούμε ότι υπάρχει μια επαναλαμβανόμενη εξάρτηση μεταξύ των στοιχείων αυτής της ακολουθίας. Μπορεί να βρεθεί διαισθητικά, αλλά μπορεί επίσης να προκύψει τυπικά. Είναι αλήθεια ότι για αυτό πρέπει να μαντέψετε ότι η αναδρομή είναι ενός βήματος και ότι κάθε επόμενο στοιχείο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το προηγούμενο με έναν συγκεκριμένο παράγοντα, δηλ.

Χρησιμοποιώντας τον γενικευμένο τύπο, έχουμε:

Πραγματικά:

Επομένως, αυτή η επαναλαμβανόμενη ακολουθία μπορεί να περιγραφεί ως εξής:

Και τέλος, παρουσιάζουμε ένα πρόγραμμα που λύνει το πρόβλημα.

Var A,X,S,Eps: Real;

Write("X = "); ReadLn(X);

Write("Epsilon ="); ReadLn(Eps);

A:=l; S:=0; I:=0;

Ενώ Abs(A)>Eps Do

WriteLn("Το άθροισμα των σειρών είναι", S:10:4)

Όπως και πριν, οι τιμές μιας επαναλαμβανόμενης ακολουθίας ενός βήματος υπολογίζονται σε μία μόνο μεταβλητή.

Κάθε επαναλαμβανόμενη εκτέλεση του βρόχου σε αυτό το πρόγραμμα φέρνει την τιμή του S πιο κοντά στην επιθυμητή (διευκρινίζει τα σημαντικά ψηφία στη σημείωση του). Μια τέτοια υπολογιστική διαδικασία στα μαθηματικά ονομάζεται επαναληπτική διαδικασία. Αντίστοιχα, οι βρόχοι που υλοποιούν μια επαναληπτική υπολογιστική διαδικασία ονομάζονται επαναληπτικοί βρόχοι. Για την οργάνωσή τους, χρησιμοποιούνται οι εντολές while ή Repeat.

Παράδειγμα 5. Για δεδομένο φυσικό αριθμό N και πραγματικό x (x > 0), υπολογίστε την τιμή της παράστασης:

Σε αυτή την περίπτωση, η υποτροπή δεν είναι τόσο εμφανής. Ας προσπαθήσουμε να το βρούμε επαγωγικά. Θα υποθέσουμε ότι η επιθυμητή έκφραση είναι Νο στοιχείοακολουθίες της ακόλουθης μορφής:

Από εδώ μπορείτε να δείτε τη σύνδεση:

Τώρα η εργασία στο χέρι μπορεί να λυθεί πολύ απλά:

Var A,X: Real; I,N: Ακέραιος αριθμός;

Write("X="); ReadLn(X);

Write("N="); ReadLn(N);

Για I:=2 To N Do

WriteLn("Απάντηση:",Α)

Όλα τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να προσεγγιστούν διαφορετικά.

Ας σκεφτούμε αναδρομικά καθορισμένες υπορουτίνες. Κοιτάξτε την περιγραφή μιας αριθμητικής προόδου με τη μορφή επαναλαμβανόμενης ακολουθίας. Υπονοεί άμεσα μια μέθοδο για τον ορισμό μιας συνάρτησης για τον υπολογισμό ενός δεδομένου στοιχείου μιας προόδου.

Ας το κάνουμε αυτό για τη γενική περίπτωση ορίζοντας μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο a0 και τη διαφορά d:

Η αντίστοιχη υπορουτίνα συνάρτησης μοιάζει με αυτό:

Πρόοδος συνάρτησης(AO,D: Real;I: Integer): Real;

Τότε Πρόοδος:=ΑΟ

Άλλο Πρόοδος:=Πρόοδος(A0,D,I-1)+D

Το παρακάτω πρόγραμμα εμφανίζει τους πρώτους 20 αριθμούς Fibonacci, οι τιμές των οποίων υπολογίζονται από την αναδρομική συνάρτηση Fibon.

Συνάρτηση Fibon(N: Integer): Ακέραιος;

Εάν (N=1) Ή (N=2)

Else Fibon:=Fibon(N-1)+Fibon(N-2)

Για K:=l έως 20 Do WriteLn(Fibon(K))

Πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση αναδρομικών συναρτήσεων οδηγεί σε πιο αργούς υπολογισμούς. Επιπλέον, μπορεί να αντιμετωπίσετε το πρόβλημα του ανεπαρκούς μήκους της στοίβας στην οποία απομνημονεύεται η «διαδρομή» των αναδρομικών κλήσεων.

Οι επαναλαμβανόμενες ακολουθίες χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση διάφορα είδηεξελικτικά καθήκοντα, δηλ. εργασίες στις οποίες εντοπίζεται κάποια διαδικασία που αναπτύσσεται με την πάροδο του χρόνου. Ας εξετάσουμε αυτό το πρόβλημα.

Παράδειγμα 6. Κατά τη διάρκεια της θεραπευτικής νηστείας, το βάρος του ασθενούς μειώθηκε από 96 σε 70 κιλά σε 30 ημέρες. Η ημερήσια απώλεια βάρους έχει βρεθεί ότι είναι ανάλογη με το σωματικό βάρος. Υπολογίστε πόση μάζα του ασθενούς ήταν ίση με k ημέρες μετά την έναρξη της νηστείας για k = 1, 2, ..., 29.

Ας υποδηλώσουμε τη μάζα του ασθενούς μέσα i-η μέραμέσω pi (i = 0, 1, 2, ..., 30). Από τις προβληματικές συνθήκες είναι γνωστό ότι p0 = 96 kg, p30 = 70 kg.

Έστω K ο συντελεστής αναλογικότητας της μείωσης της μάζας σε μία ημέρα. Επειτα

Λαμβάνουμε μια ακολουθία που περιγράφεται από τον ακόλουθο επαναλαμβανόμενο τύπο:

Ωστόσο, δεν γνωρίζουμε τον συντελεστή K. Μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τη συνθήκη p30 = 70.

Για να γίνει αυτό, θα κάνουμε αντίστροφες αντικαταστάσεις:

Var I: Byte; P,Q: Real;

Ε:=Λήξη(l/30*Ln(70/96));

Για I:=l To 29 Do

WriteLn(I,"η ημέρα-",P:5:3,"kg")