Ο κανόνας για την επίλυση απλών εξισώσεων. Από την πρακτική μου

Όταν εργαζόμαστε με διάφορες παραστάσεις, συμπεριλαμβανομένων αριθμών, γραμμάτων και μεταβλητών, πρέπει να εκτελέσουμε μεγάλο αριθμό αριθμητικών πράξεων. Όταν κάνουμε έναν μετασχηματισμό ή υπολογίζουμε μια τιμή, είναι πολύ σημαντικό να ακολουθούμε τη σωστή σειρά αυτών των ενεργειών. Με άλλα λόγια, οι αριθμητικές πράξεις έχουν τη δική τους ειδική σειρά εκτέλεσης.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Σε αυτό το άρθρο, θα σας πούμε ποιες ενέργειες πρέπει να γίνουν πρώτα και ποιες μετά. Αρχικά, ας δούμε μερικές απλές εκφράσεις που περιέχουν μόνο μεταβλητές ή αριθμητικές τιμές, καθώς και σύμβολα διαίρεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης και πρόσθεσης. Στη συνέχεια θα πάρουμε παραδείγματα με παρενθέσεις και θα εξετάσουμε με ποια σειρά πρέπει να αξιολογηθούν. Στο τρίτο μέρος, θα δώσουμε τη σωστή σειρά μετασχηματισμών και υπολογισμών σε εκείνα τα παραδείγματα που περιλαμβάνουν τα σημάδια των ριζών, των δυνάμεων και άλλων συναρτήσεων.

Ορισμός 1

Στην περίπτωση των εκφράσεων χωρίς αγκύλες, η σειρά των ενεργειών καθορίζεται με σαφήνεια:

1. Όλες οι ενέργειες εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
2. Πρώτα απ 'όλα, κάνουμε διαίρεση και πολλαπλασιασμό, και δεύτερον, αφαίρεση και πρόσθεση.

Το νόημα αυτών των κανόνων είναι εύκολο να κατανοηθεί. Η παραδοσιακή σειρά γραφής από αριστερά προς τα δεξιά καθορίζει τη βασική ακολουθία των υπολογισμών και η ανάγκη να πολλαπλασιαστεί πρώτα ή να διαιρεθεί εξηγείται από την ίδια την ουσία αυτών των πράξεων.

Ας πάρουμε μερικές εργασίες για σαφήνεια. Χρησιμοποιήσαμε μόνο τις απλούστερες αριθμητικές εκφράσεις έτσι ώστε όλοι οι υπολογισμοί να μπορούν να γίνουν νοερά. Έτσι μπορείτε να θυμάστε γρήγορα την επιθυμητή παραγγελία και να ελέγξετε γρήγορα τα αποτελέσματα.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 7 − 3 + 6 .

Λύση

Δεν υπάρχουν αγκύλες στην έκφρασή μας, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση επίσης απουσιάζουν, επομένως εκτελούμε όλες τις ενέργειες με την καθορισμένη σειρά. Αρχικά, αφαιρέστε τρία από τα επτά, στη συνέχεια προσθέστε έξι στο υπόλοιπο, και ως αποτέλεσμα παίρνουμε δέκα. Εδώ είναι μια εγγραφή ολόκληρης της λύσης:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Απάντηση: 7 − 3 + 6 = 10 .

Παράδειγμα 2

Κατάσταση:με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι υπολογισμοί στην παράσταση 6:2 8:3?

Λύση

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ξαναδιαβάζουμε τον κανόνα για εκφράσεις χωρίς παρένθεση, τον οποίο διατυπώσαμε νωρίτερα. Εδώ έχουμε μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, που σημαίνει ότι κρατάμε τη γραπτή σειρά των υπολογισμών και μετράμε διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά.

Απάντηση:Αρχικά, διαιρούμε έξι με δύο, πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με οκτώ και διαιρούμε τον αριθμό που προκύπτει με το τρία.

Παράδειγμα 3

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο θα είναι 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.

Λύση

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε τη σωστή σειρά πράξεων, αφού εδώ έχουμε όλους τους βασικούς τύπους αριθμητικών πράξεων - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε. Αυτές οι ενέργειες δεν έχουν προτεραιότητα η μία έναντι της άλλης, επομένως τις εκτελούμε με τη γραπτή σειρά από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, το 5 πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 6 και να πάρει 30, μετά το 30 να διαιρεθεί με το 3 και να πάρει 10. Μετά από αυτό διαιρούμε το 4 με το 2, αυτό είναι 2. Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Δεν υπάρχει διαίρεση ή πολλαπλασιασμός εδώ, οπότε κάνουμε τους υπόλοιπους υπολογισμούς με τη σειρά και παίρνουμε την απάντηση:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Απάντηση:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Μέχρι να μαθευτεί σταθερά η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών, μπορείτε να βάλετε αριθμούς πάνω από τα σημάδια των αριθμητικών πράξεων, υποδεικνύοντας τη σειρά υπολογισμού. Για παράδειγμα, για το παραπάνω πρόβλημα, θα μπορούσαμε να το γράψουμε ως εξής:

Αν έχουμε κυριολεκτικές εκφράσεις, τότε κάνουμε το ίδιο με αυτές: πρώτα πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε, μετά προσθέτουμε και αφαιρούμε.

Τι είναι τα βήματα ένα και δύο

Μερικές φορές στα βιβλία αναφοράς όλες οι αριθμητικές πράξεις χωρίζονται σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου σταδίου. Ας διατυπώσουμε τον απαιτούμενο ορισμό.

Οι πράξεις του πρώτου σταδίου περιλαμβάνουν αφαίρεση και πρόσθεση, το δεύτερο - πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

Γνωρίζοντας αυτά τα ονόματα, μπορούμε να γράψουμε τον κανόνα που δόθηκε προηγουμένως σχετικά με τη σειρά των ενεργειών ως εξής:

Ορισμός 2

Σε μια έκφραση που δεν περιέχει παρενθέσεις, εκτελέστε πρώτα τις ενέργειες του δεύτερου βήματος προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά και μετά τις ενέργειες του πρώτου βήματος (στην ίδια κατεύθυνση).

Σειρά αξιολόγησης σε εκφράσεις με αγκύλες

Οι ίδιες οι παρενθέσεις είναι ένα σημάδι που μας λέει την επιθυμητή σειρά με την οποία πρέπει να εκτελέσουμε τις ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση, ο επιθυμητός κανόνας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Ορισμός 3

Εάν υπάρχουν αγκύλες στην έκφραση, τότε εκτελείται πρώτα η ενέργεια σε αυτές, μετά την οποία πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε και στη συνέχεια προσθέτουμε και αφαιρούμε προς την κατεύθυνση από αριστερά προς τα δεξιά.

Όσον αφορά την ίδια την έκφραση σε παρένθεση, μπορεί να θεωρηθεί ως συστατικό της κύριας έκφρασης. Κατά τον υπολογισμό της τιμής της έκφρασης σε αγκύλες, διατηρούμε την ίδια διαδικασία γνωστή σε εμάς. Ας επεξηγήσουμε την ιδέα μας με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 4

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Λύση

Αυτή η έκφραση έχει παρενθέσεις, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτές. Πρώτα απ 'όλα, ας υπολογίσουμε πόσο θα είναι το 7 − 2 · 3. Εδώ πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 3 και να αφαιρέσουμε το αποτέλεσμα από το 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Θεωρούμε το αποτέλεσμα στις δεύτερες αγκύλες. Εκεί έχουμε μόνο μία δράση: 6 − 4 = 2 .

Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε τις προκύπτουσες τιμές στην αρχική έκφραση:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Ας ξεκινήσουμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, μετά αφαιρούμε και παίρνουμε:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

Αυτό ολοκληρώνει τους υπολογισμούς.

Απάντηση: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Μην ανησυχείτε εάν η συνθήκη περιέχει μια έκφραση στην οποία ορισμένες αγκύλες περικλείουν άλλες. Χρειάζεται μόνο να εφαρμόσουμε τον παραπάνω κανόνα με συνέπεια σε όλες τις παραστάσεις σε παρένθεση. Ας αναλάβουμε αυτό το καθήκον.

Παράδειγμα 5

Κατάσταση:υπολογίστε πόσο 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Λύση

Έχουμε αγκύλες εντός παρενθέσεων. Ξεκινάμε με 3 + 1 + 4 (2 + 3) , δηλαδή 2 + 3 . Θα είναι 5. Η τιμή θα πρέπει να αντικατασταθεί στην παράσταση και να υπολογίσετε ότι 3 + 1 + 4 5 . Θυμόμαστε ότι πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσουμε και μετά να προσθέσουμε: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στην αρχική έκφραση, υπολογίζουμε την απάντηση: 4 + 24 = 28 .

Απάντηση: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Με άλλα λόγια, όταν αξιολογούμε την αξία μιας έκφρασης που περιλαμβάνει παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις, ξεκινάμε από τις εσωτερικές παρενθέσεις και προχωράμε προς τις εξωτερικές.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε πόσο θα είναι (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Ξεκινάμε με την έκφραση στις εσωτερικές αγκύλες. Εφόσον 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , η αρχική παράσταση μπορεί να γραφτεί ως (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Και πάλι γυρίζουμε στις εσωτερικές αγκύλες: 4 + 1 = 5 . Φτάσαμε στην έκφραση (4 + 5 − 1) − 1 . Πιστεύουμε 4 + 5 − 1 = 8 και ως αποτέλεσμα παίρνουμε τη διαφορά 8 - 1, το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι 7.

Η σειρά υπολογισμού σε παραστάσεις με δυνάμεις, ρίζες, λογάριθμους και άλλες συναρτήσεις

Αν έχουμε έκφραση στη συνθήκη με βαθμό, ρίζα, λογάριθμο ή τριγωνομετρική συνάρτηση (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη) ή άλλες συναρτήσεις, τότε πρώτα από όλα υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης. Μετά από αυτό, ενεργούμε σύμφωνα με τους κανόνες που καθορίζονται στις προηγούμενες παραγράφους. Με άλλα λόγια, οι συναρτήσεις έχουν ίση σημασία με την έκφραση που περικλείεται σε αγκύλες.

Ας δούμε ένα παράδειγμα τέτοιου υπολογισμού.

Παράδειγμα 6

Κατάσταση:βρείτε πόσο θα είναι (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Λύση

Έχουμε μια έκφραση με βαθμό, η τιμή της οποίας πρέπει να βρεθεί πρώτα. Θεωρούμε: 6 2 \u003d 36. Τώρα αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην παράσταση, μετά την οποία θα πάρει τη μορφή (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Απάντηση: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

Σε ένα ξεχωριστό άρθρο αφιερωμένο στον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων, παρέχουμε άλλα, πιο σύνθετα παραδείγματα υπολογισμών στην περίπτωση εκφράσεων με ρίζες, βαθμούς κ.λπ. Σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτό.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Σε αυτό το μάθημα, εξετάζεται λεπτομερώς η διαδικασία για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες και με αγκύλες. Δίνεται στους μαθητές η ευκαιρία, κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, να προσδιορίσουν εάν η σημασία των παραστάσεων εξαρτάται από τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις, να μάθουν εάν η σειρά των αριθμητικών πράξεων διαφέρει σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες και με αγκύλες, εξασκηθείτε στην εφαρμογή του μαθημένου κανόνα, για να βρείτε και να διορθώσετε τα λάθη που έγιναν στον καθορισμό της σειράς των ενεργειών.

Στη ζωή, εκτελούμε συνεχώς κάποιου είδους δράση: περπατάμε, μελετάμε, διαβάζουμε, γράφουμε, μετράμε, χαμογελάμε, μαλώνουμε και φτιάχνουμε. Εκτελούμε αυτά τα βήματα με διαφορετική σειρά. Μερικές φορές μπορούν να ανταλλάσσονται, μερικές φορές όχι. Για παράδειγμα, πηγαίνοντας στο σχολείο το πρωί, μπορείτε πρώτα να κάνετε ασκήσεις, μετά να στρώσετε το κρεβάτι ή το αντίστροφο. Αλλά δεν μπορείς να πας πρώτα στο σχολείο και μετά να φορέσεις ρούχα.

Και στα μαθηματικά, είναι απαραίτητο να εκτελούνται αριθμητικές πράξεις με μια συγκεκριμένη σειρά;

Ας ελέγξουμε

Ας συγκρίνουμε τις εκφράσεις:
8-3+4 και 8-3+4

Βλέπουμε ότι και οι δύο εκφράσεις είναι ακριβώς ίδιες.

Ας εκτελέσουμε ενέργειες σε μια έκφραση από αριστερά προς τα δεξιά και σε άλλη από δεξιά προς τα αριστερά. Οι αριθμοί μπορούν να υποδεικνύουν τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Διαδικασία

Στην πρώτη παράσταση, θα εκτελέσουμε πρώτα την αφαίρεση και μετά θα προσθέσουμε τον αριθμό 4 στο αποτέλεσμα.

Στη δεύτερη παράσταση, βρίσκουμε πρώτα την τιμή του αθροίσματος και μετά αφαιρούμε το αποτέλεσμα 7 από το 8.

Βλέπουμε ότι οι τιμές των εκφράσεων είναι διαφορετικές.

Ας καταλήξουμε: Η σειρά με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις δεν μπορεί να αλλάξει..

Ας μάθουμε τον κανόνα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες.

Αν η έκφραση χωρίς αγκύλες περιλαμβάνει μόνο πρόσθεση και αφαίρεση ή μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση, τότε οι ενέργειες εκτελούνται με τη σειρά με την οποία γράφτηκαν.

Ας εξασκηθούμε.

Σκεφτείτε την έκφραση

Αυτή η έκφραση έχει μόνο πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης. Αυτές οι ενέργειες ονομάζονται ενέργειες πρώτου βήματος.

Εκτελούμε ενέργειες από αριστερά προς τα δεξιά με τη σειρά (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Διαδικασία

Σκεφτείτε τη δεύτερη έκφραση

Σε αυτήν την έκφραση, υπάρχουν μόνο πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης - Αυτές είναι οι ενέργειες του δεύτερου βήματος.

Εκτελούμε ενέργειες από αριστερά προς τα δεξιά με τη σειρά (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Διαδικασία

Με ποια σειρά εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις αν η παράσταση περιέχει όχι μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, αλλά και πολλαπλασιασμό και διαίρεση;

Εάν η έκφραση χωρίς αγκύλες περιλαμβάνει όχι μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, αλλά και πολλαπλασιασμό και διαίρεση ή και τις δύο αυτές πράξεις, τότε εκτελέστε πρώτα τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με τη σειρά (από αριστερά προς τα δεξιά) και μετά πρόσθεση και αφαίρεση.

Σκεφτείτε μια έκφραση.

Σκεφτόμαστε έτσι. Αυτή η έκφραση περιέχει τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Ενεργούμε σύμφωνα με τον κανόνα. Αρχικά, εκτελούμε κατά σειρά (από αριστερά προς τα δεξιά) πολλαπλασιασμό και διαίρεση και μετά πρόσθεση και αφαίρεση. Ας ορίσουμε τη διαδικασία.

Ας υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Με ποια σειρά εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις αν η παράσταση περιέχει παρενθέσεις;

Εάν η παράσταση περιέχει παρενθέσεις, τότε υπολογίζεται πρώτα η τιμή των παραστάσεων στις παρενθέσεις.

Σκεφτείτε μια έκφραση.

30 + 6 * (13 - 9)

Βλέπουμε ότι σε αυτή την έκφραση υπάρχει μια ενέργεια σε αγκύλες, που σημαίνει ότι θα εκτελέσουμε πρώτα αυτήν την ενέργεια, μετά, κατά σειρά, πολλαπλασιασμό και πρόσθεση. Ας ορίσουμε τη διαδικασία.

30 + 6 * (13 - 9)

Ας υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Πώς πρέπει να συλλογιστεί κανείς για να καθορίσει σωστά τη σειρά των αριθμητικών πράξεων σε μια αριθμητική παράσταση;

Πριν προχωρήσετε στους υπολογισμούς, είναι απαραίτητο να εξετάσετε την έκφραση (να μάθετε αν περιέχει αγκύλες, ποιες ενέργειες έχει) και μόνο μετά από αυτό να εκτελέσετε τις ενέργειες με την ακόλουθη σειρά:

1. ενέργειες γραμμένες σε αγκύλες.

2. πολλαπλασιασμός και διαίρεση.

3. πρόσθεση και αφαίρεση.

Το διάγραμμα θα σας βοηθήσει να θυμάστε αυτόν τον απλό κανόνα (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Διαδικασία

Ας εξασκηθούμε.

Εξετάστε τις εκφράσεις, καθορίστε τη σειρά των πράξεων και εκτελέστε τους υπολογισμούς.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Ας ακολουθήσουμε τους κανόνες. Η έκφραση 43 - (20 - 7) +15 έχει πράξεις σε παρένθεση, καθώς και πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης. Ας ορίσουμε την πορεία δράσης. Το πρώτο βήμα είναι να εκτελέσετε την ενέργεια σε αγκύλες και στη συνέχεια με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, αφαίρεση και πρόσθεση.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Η έκφραση 32 + 9 * (19 - 16) έχει πράξεις σε παρένθεση, καθώς και πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης. Σύμφωνα με τον κανόνα, εκτελούμε πρώτα την ενέργεια σε αγκύλες, μετά πολλαπλασιάζουμε (ο αριθμός 9 πολλαπλασιάζεται με το αποτέλεσμα που προκύπτει με αφαίρεση) και πρόσθεση.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Στην έκφραση 2*9-18:3 δεν υπάρχουν αγκύλες, αλλά υπάρχουν πράξεις πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και αφαίρεσης. Ενεργούμε σύμφωνα με τον κανόνα. Πρώτα, εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση από τα αριστερά προς τα δεξιά και, στη συνέχεια, από το αποτέλεσμα που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό, αφαιρούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει από τη διαίρεση. Δηλαδή, η πρώτη ενέργεια είναι ο πολλαπλασιασμός, η δεύτερη είναι η διαίρεση και η τρίτη η αφαίρεση.

2*9-18:3=18-6=12

Ας μάθουμε αν η σειρά των ενεργειών στις παρακάτω εκφράσεις ορίζεται σωστά.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Σκεφτόμαστε έτσι.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Δεν υπάρχουν αγκύλες σε αυτήν την έκφραση, πράγμα που σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά και μετά πρόσθεση ή αφαίρεση. Σε αυτήν την έκφραση, η πρώτη ενέργεια είναι η διαίρεση, η δεύτερη είναι ο πολλαπλασιασμός. Η τρίτη ενέργεια πρέπει να είναι πρόσθεση, η τέταρτη - αφαίρεση. Συμπέρασμα: η σειρά των ενεργειών ορίζεται σωστά.

Βρείτε την αξία αυτής της έκφρασης.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Συνεχίζουμε να μαλώνουμε.

Η δεύτερη έκφραση περιέχει αγκύλες, που σημαίνει ότι εκτελούμε πρώτα την ενέργεια σε αγκύλες, μετά από αριστερά προς τα δεξιά πολλαπλασιασμό ή διαίρεση, πρόσθεση ή αφαίρεση. Ελέγχουμε: η πρώτη ενέργεια είναι σε αγκύλες, η δεύτερη είναι η διαίρεση, η τρίτη είναι η προσθήκη. Συμπέρασμα: η σειρά των ενεργειών ορίζεται λανθασμένα. Διορθώστε τα λάθη, βρείτε την τιμή της έκφρασης.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Αυτή η έκφραση περιέχει επίσης αγκύλες, που σημαίνει ότι εκτελούμε πρώτα την ενέργεια σε αγκύλες και μετά από αριστερά προς τα δεξιά πολλαπλασιασμό ή διαίρεση, πρόσθεση ή αφαίρεση. Ελέγχουμε: η πρώτη ενέργεια είναι σε αγκύλες, η δεύτερη είναι πολλαπλασιασμός, η τρίτη είναι η αφαίρεση. Συμπέρασμα: η σειρά των ενεργειών ορίζεται λανθασμένα. Διορθώστε τα λάθη, βρείτε την τιμή της έκφρασης.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Ας ολοκληρώσουμε την εργασία.

Ας τακτοποιήσουμε τη σειρά των ενεργειών στην έκφραση χρησιμοποιώντας τον κανόνα που μελετήθηκε (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Διαδικασία

Δεν βλέπουμε αριθμητικές τιμές, επομένως δεν θα μπορούμε να βρούμε το νόημα των εκφράσεων, αλλά θα εξασκηθούμε στην εφαρμογή του κανόνα που μάθαμε.

Ενεργούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο.

Η πρώτη έκφραση έχει παρενθέσεις, επομένως η πρώτη ενέργεια είναι σε παρένθεση. Στη συνέχεια, πολλαπλασιασμός και διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά, αφαίρεση και πρόσθεση από αριστερά προς τα δεξιά.

Η δεύτερη έκφραση περιέχει επίσης αγκύλες, που σημαίνει ότι εκτελούμε την πρώτη ενέργεια σε αγκύλες. Μετά από αυτό, από αριστερά προς τα δεξιά, πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά από αυτό - αφαίρεση.

Ας ελέγξουμε τον εαυτό μας (Εικ. 6).

Ρύζι. 6. Διαδικασία

Σήμερα στο μάθημα γνωρίσαμε τον κανόνα της σειράς εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες και με αγκύλες.

Βιβλιογραφία

1. ΜΙ. Moro, M.A. Μπάντοβα και άλλοι.Μαθηματικά: Σχολικό βιβλίο. Βαθμός 3: σε 2 μέρη, μέρος 1. - M .: "Διαφωτισμός", 2012.
2. ΜΙ. Moro, M.A. Μπάντοβα και άλλοι.Μαθηματικά: Σχολικό βιβλίο. Βαθμός 3: σε 2 μέρη, μέρος 2. - M .: "Διαφωτισμός", 2012.
3. ΜΙ. Moreau. Μαθήματα μαθηματικών: Οδηγίες για εκπαιδευτικούς. Βαθμός 3 - Μ.: Εκπαίδευση, 2012.
4. Κανονιστικό έγγραφο. Παρακολούθηση και αξιολόγηση των μαθησιακών αποτελεσμάτων. - Μ.: «Διαφωτισμός», 2011.
5. "Σχολείο της Ρωσίας": Προγράμματα για το δημοτικό σχολείο. - Μ.: «Διαφωτισμός», 2011.
6. ΣΙ. Volkov. Μαθηματικά: Δοκιμαστική εργασία. Βαθμός 3 - Μ.: Εκπαίδευση, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Δοκιμές. - Μ.: «Εξεταστική», 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Εργασία για το σπίτι

1. Προσδιορίστε τη σειρά των ενεργειών σε αυτές τις εκφράσεις. Βρείτε το νόημα των εκφράσεων.

2. Προσδιορίστε σε ποια έκφραση εκτελείται αυτή η σειρά ενεργειών:

1. πολλαπλασιασμός. 2. διαίρεση·. 3. προσθήκη? 4. αφαίρεση? 5. προσθήκη. Βρείτε την αξία αυτής της έκφρασης.

3. Συνθέστε τρεις εκφράσεις στις οποίες εκτελείται η ακόλουθη σειρά ενεργειών:

1. πολλαπλασιασμός. 2. προσθήκη? 3. αφαίρεση

1. προσθήκη? 2. αφαίρεση? 3. προσθήκη

1. πολλαπλασιασμός. 2. διαίρεση; 3. προσθήκη

Βρείτε το νόημα αυτών των εκφράσεων.

Και κατά τον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων, οι ενέργειες εκτελούνται με μια συγκεκριμένη σειρά, με άλλα λόγια, πρέπει να παρατηρήσετε σειρά ενεργειών.

Σε αυτό το άρθρο, θα καταλάβουμε ποιες ενέργειες πρέπει να εκτελεστούν πρώτα και ποιες μετά από αυτές. Ας ξεκινήσουμε με τις απλούστερες περιπτώσεις, όταν η παράσταση περιέχει μόνο αριθμούς ή μεταβλητές που συνδέονται με συν, πλην, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Στη συνέχεια, θα εξηγήσουμε ποια σειρά εκτέλεσης των ενεργειών πρέπει να ακολουθείται σε εκφράσεις με αγκύλες. Τέλος, εξετάστε τη σειρά με την οποία εκτελούνται ενέργειες σε εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις, ρίζες και άλλες συναρτήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση

Το σχολείο παρέχει τα ακόλουθα ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση:

• οι ενέργειες εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά,
• όπου γίνεται πρώτα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση.

Ο αναφερόμενος κανόνας γίνεται αντιληπτός αρκετά φυσιολογικά. Η εκτέλεση ενεργειών με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά εξηγείται από το γεγονός ότι συνηθίζεται να κρατάμε αρχεία από αριστερά προς τα δεξιά. Και το γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση εκτελούνται πριν από την πρόσθεση και την αφαίρεση εξηγείται από το νόημα που φέρουν από μόνες τους αυτές οι ενέργειες.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα. Για παράδειγμα, θα πάρουμε τις απλούστερες αριθμητικές εκφράσεις, ώστε να μην μας αποσπούν οι υπολογισμοί, αλλά να επικεντρωθούμε στη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες.

Παράδειγμα.

Ακολουθήστε τα βήματα 7−3+6.

Λύση.

Η αρχική έκφραση δεν περιέχει παρενθέσεις, ούτε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Επομένως, θα πρέπει να εκτελέσουμε όλες τις ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή πρώτα αφαιρούμε 3 από το 7, παίρνουμε 4, μετά από το οποίο προσθέτουμε 6 στη διαφορά που προκύπτει 4, παίρνουμε 10.

Συνοπτικά, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής: 7−3+6=4+6=10 .

Απάντηση:

7−3+6=10 .

Παράδειγμα.

Υποδείξτε τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες στην έκφραση 6:2·8:3 .

Λύση.

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, ας στραφούμε στον κανόνα που υποδεικνύει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες. Η αρχική έκφραση περιέχει μόνο τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει να εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

Απάντηση:

Πρώτα 6 διαιρούμενο με 2, αυτό το πηλίκο πολλαπλασιάζεται με 8, τελικά, το αποτέλεσμα διαιρείται με 3.

Παράδειγμα.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 17−5·6:3−2+4:2 .

Λύση.

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε με ποια σειρά πρέπει να εκτελούνται οι ενέργειες στην αρχική έκφραση. Περιλαμβάνει και πολλαπλασιασμό και διαίρεση και πρόσθεση και αφαίρεση. Πρώτα, από αριστερά προς τα δεξιά, πρέπει να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Έτσι πολλαπλασιάζουμε το 5 με το 6, παίρνουμε 30, διαιρούμε αυτόν τον αριθμό με το 3, παίρνουμε 10. Τώρα διαιρούμε το 4 με το 2, παίρνουμε 2. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε 10 αντί για 5 6:3 στην αρχική έκφραση και την τιμή 2 αντί για 4:2, έχουμε 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Δεν υπάρχει πολλαπλασιασμός και διαίρεση στην παράσταση που προκύπτει, επομένως μένει να εκτελέσουμε τις υπόλοιπες ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Απάντηση:

17−5 6:3−2+4:2=7 .

Αρχικά, για να μην συγχέεται η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών κατά τον υπολογισμό της τιμής μιας έκφρασης, είναι βολικό να τοποθετούνται οι αριθμοί πάνω από τα σημάδια των ενεργειών που αντιστοιχούν στη σειρά με την οποία εκτελούνται. Για το προηγούμενο παράδειγμα, θα μοιάζει με αυτό: .

Η ίδια σειρά πράξεων - πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση - πρέπει να ακολουθείται κατά την εργασία με κυριολεκτικές εκφράσεις.

Βήματα 1 και 2

Σε ορισμένα σχολικά βιβλία για τα μαθηματικά, υπάρχει μια διαίρεση των αριθμητικών πράξεων σε πράξεις του πρώτου και του δεύτερου βήματος. Ας ασχοληθούμε με αυτό.

Ορισμός.

Δράσεις πρώτου βήματοςλέγονται πρόσθεση και αφαίρεση και πολλαπλασιασμός και διαίρεση ενέργειες δεύτερου βήματος.

Με αυτούς τους όρους, ο κανόνας από την προηγούμενη παράγραφο, ο οποίος καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες, θα γραφτεί ως εξής: εάν η έκφραση δεν περιέχει αγκύλες, τότε με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, οι ενέργειες του δεύτερου σταδίου ( ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση) εκτελούνται πρώτα και μετά οι ενέργειες του πρώτου σταδίου (πρόσθεση και αφαίρεση).

Σειρά εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις με αγκύλες

Οι εκφράσεις συχνά περιέχουν παρενθέσεις για να υποδείξουν τη σειρά με την οποία πρέπει να εκτελεστούν οι ενέργειες. Σε αυτήν την περίπτωση ένας κανόνας που καθορίζει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις με αγκύλες, διατυπώνεται ως εξής: πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες σε αγκύλες, ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση γίνονται επίσης με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, μετά πρόσθεση και αφαίρεση.

Έτσι, οι εκφράσεις σε αγκύλες θεωρούνται συστατικά της αρχικής έκφρασης και η σειρά των ενεργειών που είναι ήδη γνωστές σε εμάς διατηρείται σε αυτές. Εξετάστε τις λύσεις των παραδειγμάτων για μεγαλύτερη σαφήνεια.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε τα δοσμένα βήματα 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Λύση.

Η έκφραση περιέχει αγκύλες, οπότε ας εκτελέσουμε πρώτα τις πράξεις στις εκφράσεις που περικλείονται σε αυτές τις αγκύλες. Ας ξεκινήσουμε με την έκφραση 7−2 3 . Σε αυτό, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, και μόνο μετά την αφαίρεση, έχουμε 7−2 3=7−6=1 . Περνάμε στη δεύτερη παράσταση στις αγκύλες 6−4 . Υπάρχει μόνο μία ενέργεια εδώ - αφαίρεση, την εκτελούμε 6−4=2 .

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική έκφραση: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. Στην παράσταση που προκύπτει, πρώτα κάνουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά, μετά αφαίρεση, παίρνουμε 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Σε αυτό, ολοκληρώθηκαν όλες οι ενέργειες, τηρήσαμε την ακόλουθη σειρά εκτέλεσής τους: 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Ας γράψουμε μια σύντομη λύση: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

Απάντηση:

5+(7−2 3)(6−4):2=6 .

Συμβαίνει μια έκφραση να περιέχει αγκύλες μέσα σε αγκύλες. Δεν πρέπει να φοβάστε αυτό, απλά πρέπει να εφαρμόζετε με συνέπεια τον εκφρασμένο κανόνα για την εκτέλεση ενεργειών σε εκφράσεις με αγκύλες. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Εκτελέστε τις ενέργειες στην παράσταση 4+(3+1+4·(2+3)) .

Λύση.

Αυτή είναι μια έκφραση με αγκύλες, που σημαίνει ότι η εκτέλεση των ενεργειών πρέπει να ξεκινά με την έκφραση σε αγκύλες, δηλαδή με 3+1+4 (2+3) . Αυτή η έκφραση περιέχει επίσης παρενθέσεις, επομένως πρέπει πρώτα να εκτελέσετε ενέργειες σε αυτές. Ας κάνουμε αυτό: 2+3=5 . Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε, παίρνουμε 3+1+4 5 . Σε αυτήν την παράσταση, κάνουμε πρώτα πολλαπλασιασμό, μετά πρόσθεση, έχουμε 3+1+4 5=3+1+20=24 . Η αρχική τιμή, αφού αντικαταστήσει αυτήν την τιμή, παίρνει τη μορφή 4+24 , και μένει μόνο να ολοκληρωθούν οι ενέργειες: 4+24=28 .

Απάντηση:

4+(3+1+4 (2+3))=28 .

Γενικά, όταν υπάρχουν παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις σε μια έκφραση, είναι συχνά βολικό να ξεκινήσετε με τις εσωτερικές παρενθέσεις και να προχωρήσετε προς τις εξωτερικές.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εκτελέσουμε πράξεις στην παράσταση (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Αρχικά, εκτελούμε ενέργειες σε εσωτερικές αγκύλες, αφού 4−6:2=4−3=1 , μετά από αυτό η αρχική έκφραση θα πάρει τη μορφή (4+(4+1)−1)−1. Και πάλι, εκτελούμε την ενέργεια στις εσωτερικές αγκύλες, αφού 4+1=5 , τότε φτάνουμε στην παρακάτω παράσταση (4+5−1)−1 . Και πάλι, εκτελούμε τις ενέργειες σε αγκύλες: 4+5−1=8 , ενώ φτάνουμε στη διαφορά 8−1 , που είναι ίση με 7 .

Οι εξισώσεις είναι ένα από τα πιο δύσκολα θέματα, αλλά είναι αρκετά ισχυρά για να λύσουν τα περισσότερα προβλήματα.

Με τη βοήθεια εξισώσεων περιγράφονται διάφορες διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση. Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως σε άλλες επιστήμες: στα οικονομικά, τη φυσική, τη βιολογία και τη χημεία.

Σε αυτό το μάθημα, θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε την ουσία των απλούστερων εξισώσεων, να μάθουμε πώς να εκφράζουμε αγνώστους και να λύνουμε πολλές εξισώσεις. Καθώς μαθαίνετε νέα υλικά, οι εξισώσεις θα γίνονται πιο περίπλοκες, επομένως η κατανόηση των βασικών είναι πολύ σημαντική.

Προκαταρκτικές Δεξιότητες Περιεχόμενο μαθήματος

Τι είναι μια εξίσωση;

Μια εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει μια μεταβλητή της οποίας την τιμή θέλετε να βρείτε. Αυτή η τιμή πρέπει να είναι τέτοια ώστε όταν αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση, να προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα.

Για παράδειγμα, η έκφραση 2 + 2 = 4 είναι ισότητα. Κατά τον υπολογισμό της αριστερής πλευράς, προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα 4 = 4 .

Αλλά η ισότητα 2 + Χ= 4 είναι μια εξίσωση γιατί περιέχει μια μεταβλητή Χ, η τιμή του οποίου μπορεί να βρεθεί. Η τιμή πρέπει να είναι τέτοια ώστε όταν αυτή η τιμή αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση, να προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα.

Με άλλα λόγια, πρέπει να βρούμε μια τιμή όπου το σύμβολο ίσου θα δικαιολογούσε τη θέση του - η αριστερή πλευρά θα πρέπει να είναι ίση με τη δεξιά πλευρά.

Εξίσωση 2+ Χ= 4 είναι στοιχειώδες. Μεταβλητή τιμή Χισούται με τον αριθμό 2. Οποιαδήποτε άλλη τιμή δεν θα είναι ίση

Ο αριθμός 2 λέγεται ότι είναι ρίζαή λύση της εξίσωσης 2 + Χ = 4

Ρίζαή λύση της εξίσωσηςείναι η τιμή της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση γίνεται αληθινή αριθμητική ισότητα.

Μπορεί να υπάρχουν πολλές ρίζες ή και καμία. λύσει την εξίσωσησημαίνει να βρεις τις ρίζες του ή να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν ρίζες.

Η μεταβλητή στην εξίσωση είναι επίσης γνωστή ως άγνωστος. Είστε ελεύθεροι να το ονομάσετε όπως θέλετε. Αυτά είναι συνώνυμα.

Σημείωση. Η φράση «λύστε την εξίσωση» μιλάει από μόνη της. Το να λύνεις μια εξίσωση σημαίνει να «εξισώνεις» μια εξίσωση—να την κάνεις ισορροπημένη έτσι ώστε η αριστερή πλευρά να ισούται με τη δεξιά πλευρά.

Εκφράστε το ένα ως προς το άλλο

Η μελέτη των εξισώσεων ξεκινά παραδοσιακά με την εκμάθηση της έκφρασης ενός αριθμού που περιλαμβάνεται στην ισότητα ως προς έναν αριθμό άλλων. Ας μην παραβιάσουμε αυτή την παράδοση και ας κάνουμε το ίδιο.

Σκεφτείτε την ακόλουθη έκφραση:

8 + 2

Αυτή η έκφραση είναι το άθροισμα των αριθμών 8 και 2. Η τιμή αυτής της παράστασης είναι 10

8 + 2 = 10

Έχουμε ισότητα. Τώρα μπορείτε να εκφράσετε οποιονδήποτε αριθμό από αυτήν την ισότητα ως προς άλλους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην ίδια ισότητα. Για παράδειγμα, ας εκφράσουμε τον αριθμό 2.

Για να εκφράσετε τον αριθμό 2, πρέπει να κάνετε την ερώτηση: "τι πρέπει να γίνει με τους αριθμούς 10 και 8 για να πάρει τον αριθμό 2." Είναι σαφές ότι για να πάρετε τον αριθμό 2, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμό 8 από τον αριθμό 10.

Έτσι κάνουμε. Γράφουμε τον αριθμό 2 και μέσω του ίσου λέμε ότι για να πάρουμε αυτόν τον αριθμό 2, αφαιρέσαμε τον αριθμό 8 από τον αριθμό 10:

2 = 10 − 8

Εκφράσαμε τον αριθμό 2 από την εξίσωση 8 + 2 = 10 . Όπως μπορείτε να δείτε από το παράδειγμα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό.

Κατά την επίλυση εξισώσεων, ιδιαίτερα όταν εκφράζουμε έναν αριθμό με όρους άλλους, είναι βολικό να αντικαταστήσουμε το σύμβολο ίσου με τη λέξη " υπάρχει" . Αυτό πρέπει να γίνει διανοητικά, και όχι στην ίδια την έκφραση.

Έτσι, εκφράζοντας τον αριθμό 2 από την ισότητα 8 + 2 = 10, πήραμε την ισότητα 2 = 10 − 8 . Αυτή η εξίσωση μπορεί να διαβαστεί ως εξής:

2 υπάρχει 10 − 8

Δηλαδή το σημάδι = αντικαθίσταται από τη λέξη «είναι». Επιπλέον, η ισότητα 2 = 10 − 8 μπορεί να μεταφραστεί από τη μαθηματική γλώσσα σε πλήρη ανθρώπινη γλώσσα. Τότε μπορεί να διαβαστεί ως εξής:

Νούμερο 2 υπάρχειδιαφορά μεταξύ 10 και 8

Νούμερο 2 υπάρχειτη διαφορά μεταξύ του αριθμού 10 και του αριθμού 8.

Αλλά θα περιοριστούμε στην αντικατάσταση του ίσου με τη λέξη "είναι", και τότε δεν θα το κάνουμε πάντα αυτό. Οι στοιχειώδεις εκφράσεις μπορούν να γίνουν κατανοητές χωρίς τη μετάφραση της μαθηματικής γλώσσας σε ανθρώπινη γλώσσα.

Ας επαναφέρουμε την προκύπτουσα ισότητα 2 = 10 − 8 στην αρχική της κατάσταση:

8 + 2 = 10

Ας εκφράσουμε αυτή τη φορά τον αριθμό 8. Τι πρέπει να κάνουμε με τους υπόλοιπους αριθμούς για να πάρουμε τον αριθμό 8; Σωστά, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμό 2 από τον αριθμό 10

8 = 10 − 2

Ας επαναφέρουμε την προκύπτουσα ισότητα 8 = 10 − 2 στην αρχική της κατάσταση:

8 + 2 = 10

Αυτή τη φορά θα εκφράσουμε τον αριθμό 10. Αποδεικνύεται όμως ότι το δέκα δεν χρειάζεται να εκφραστεί, αφού έχει ήδη εκφραστεί. Αρκεί να ανταλλάξουμε το αριστερό και το δεξί μέρος, τότε παίρνουμε αυτό που χρειαζόμαστε:

10 = 8 + 2

Παράδειγμα 2. Θεωρήστε την ισότητα 8 − 2 = 6

Από αυτήν την ισότητα εκφράζουμε τον αριθμό 8. Για να εκφράσουμε τον αριθμό 8, πρέπει να προστεθούν οι άλλοι δύο αριθμοί:

8 = 6 + 2

Ας επαναφέρουμε την προκύπτουσα ισότητα 8 = 6 + 2 στην αρχική της κατάσταση:

8 − 2 = 6

Εκφράζουμε τον αριθμό 2 από αυτήν την ισότητα. Για να εκφράσουμε τον αριθμό 2, πρέπει να αφαιρέσουμε το 6 από το 8

2 = 8 − 6

Παράδειγμα 3. Θεωρήστε την εξίσωση 3 × 2 = 6

Εκφράστε τον αριθμό 3. Για να εκφράσετε τον αριθμό 3, πρέπει να διαιρέσετε το 6 με το 2

Ας επαναφέρουμε την ισότητα που προκύπτει στην αρχική της κατάσταση:

3 x 2 = 6

Ας εκφράσουμε τον αριθμό 2 από αυτήν την ισότητα. Για να εκφράσουμε τον αριθμό 2, πρέπει να διαιρέσουμε το 3 με το 6

Παράδειγμα 4. Σκεφτείτε την ισότητα

Από αυτήν την ισότητα εκφράζουμε τον αριθμό 15. Για να εκφράσουμε τον αριθμό 15, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 3 και 5

15 = 3 x 5

Ας επαναφέρουμε την προκύπτουσα ισότητα 15 = 3 × 5 στην αρχική της κατάσταση:

Εκφράζουμε τον αριθμό 5 από αυτήν την ισότητα. Για να εκφράσουμε τον αριθμό 5, πρέπει να διαιρέσουμε το 15 με το 3

Κανόνες για την εύρεση αγνώστων

Εξετάστε αρκετούς κανόνες για την εύρεση αγνώστων. Ίσως σας είναι γνωστά, αλλά δεν βλάπτει να τα επαναλάβετε. Στο μέλλον, μπορούν να ξεχαστούν, αφού θα μάθουμε να λύνουμε εξισώσεις χωρίς να εφαρμόζουμε αυτούς τους κανόνες.

Ας επιστρέψουμε στο πρώτο παράδειγμα, που εξετάσαμε στο προηγούμενο θέμα, όπου στην εξίσωση 8 + 2 = 10 έπρεπε να εκφραστεί ο αριθμός 2.

Στην εξίσωση 8 + 2 = 10, οι αριθμοί 8 και 2 είναι όροι και ο αριθμός 10 είναι το άθροισμα.

Για να εκφράσουμε τον αριθμό 2, κάναμε τα εξής:

2 = 10 − 8

Δηλαδή, αφαιρέστε το 8 από το άθροισμα του 10.

Τώρα φανταστείτε ότι στην εξίσωση 8 + 2 = 10, αντί για τον αριθμό 2, υπάρχει μια μεταβλητή Χ

8 + Χ = 10

Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση 8 + 2 = 10 γίνεται η εξίσωση 8 + Χ= 10 και η μεταβλητή Χ άγνωστος όρος

Το καθήκον μας είναι να βρούμε αυτόν τον άγνωστο όρο, δηλαδή να λύσουμε την εξίσωση 8 + Χ= 10 . Για να βρείτε τον άγνωστο όρο, παρέχεται ο ακόλουθος κανόνας:

Για να βρείτε τον άγνωστο όρο, αφαιρέστε τον γνωστό όρο από το άθροισμα.

Αυτό είναι βασικά αυτό που κάναμε όταν εκφράσαμε τα δύο στην εξίσωση 8 + 2 = 10. Για να εκφράσουμε τον όρο 2, αφαιρέσαμε έναν άλλο όρο 8 από το άθροισμα 10

2 = 10 − 8

Και τώρα να βρούμε τον άγνωστο όρο Χ, πρέπει να αφαιρέσουμε τον γνωστό όρο 8 από το άθροισμα 10:

Χ = 10 − 8

Εάν υπολογίσετε τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει, τότε μπορείτε να μάθετε με τι ισούται η μεταβλητή Χ

Χ = 2

Έχουμε λύσει την εξίσωση. Μεταβλητή τιμή Χισούται με 2. Για να ελέγξετε την τιμή μιας μεταβλητής Χστάλθηκε στην αρχική εξίσωση 8 + Χ= 10 και αντικαθιστούμε Χ.Είναι επιθυμητό να το κάνετε αυτό με οποιαδήποτε λυμένη εξίσωση, καθώς δεν μπορείτε να είστε σίγουροι ότι η εξίσωση έχει λυθεί σωστά:

Σαν άποτέλεσμα

Ο ίδιος κανόνας θα ίσχυε αν ο άγνωστος όρος ήταν ο πρώτος αριθμός 8.

Χ + 2 = 10

Σε αυτή την εξίσωση Χείναι ο άγνωστος όρος, 2 είναι ο γνωστός όρος, 10 είναι το άθροισμα. Για να βρείτε τον άγνωστο όρο Χ, πρέπει να αφαιρέσετε τον γνωστό όρο 2 από το άθροισμα 10

Χ = 10 − 2

Χ = 8

Ας επιστρέψουμε στο δεύτερο παράδειγμα από το προηγούμενο θέμα, όπου στην εξίσωση 8 − 2 = 6 απαιτούνταν να εκφραστεί ο αριθμός 8.

Στην εξίσωση 8 − 2 = 6, ο αριθμός 8 είναι το minuend, ο αριθμός 2 είναι το subtrahend, ο αριθμός 6 είναι η διαφορά

Για να εκφράσουμε τον αριθμό 8, κάναμε τα εξής:

8 = 6 + 2

Δηλαδή, προσθέστε τη διαφορά του 6 και την αφαίρεση του 2.

Τώρα φανταστείτε ότι στην εξίσωση 8 − 2 = 6, αντί για τον αριθμό 8, υπάρχει μια μεταβλητή Χ

Χ − 2 = 6

Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή Χαναλαμβάνει το ρόλο του λεγόμενου άγνωστο λεπτό

Για να βρείτε το άγνωστο δευτερεύον, παρέχεται ο ακόλουθος κανόνας:

Για να βρείτε το άγνωστο minuend, πρέπει να προσθέσετε το subtrahend στη διαφορά.

Αυτό που κάναμε όταν εκφράσαμε τον αριθμό 8 στην εξίσωση 8 − 2 = 6. Για να εκφράσουμε το minuend 8, προσθέσαμε το subtrahend 2 στη διαφορά του 6.

Και τώρα, για να βρείτε το άγνωστο λεπτό Χ, πρέπει να προσθέσουμε το subtrahend 2 στη διαφορά 6

Χ = 6 + 2

Εάν υπολογίσετε τη δεξιά πλευρά, τότε μπορείτε να μάθετε με τι ισούται η μεταβλητή Χ

Χ = 8

Τώρα φανταστείτε ότι στην εξίσωση 8 − 2 = 6, αντί για τον αριθμό 2, υπάρχει μια μεταβλητή Χ

8 − Χ = 6

Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή Χαναλαμβάνει ρόλο άγνωστο υπόγειο

Για να βρείτε το άγνωστο υπόστρωμα, παρέχεται ο ακόλουθος κανόνας:

Για να βρείτε το άγνωστο subtrahend, πρέπει να αφαιρέσετε τη διαφορά από το minuend.

Αυτό κάναμε όταν εκφράσαμε τον αριθμό 2 στην εξίσωση 8 − 2 = 6. Για να εκφράσουμε τον αριθμό 2, αφαιρέσαμε τη διαφορά 6 από το μειωμένο 8.

Και τώρα, να βρω το άγνωστο υπόκρουση Χ, πρέπει πάλι να αφαιρέσετε τη διαφορά 6 από το μειωμένο 8

Χ = 8 − 6

Υπολογίστε τη δεξιά πλευρά και βρείτε την τιμή Χ

Χ = 2

Ας επιστρέψουμε στο τρίτο παράδειγμα από το προηγούμενο θέμα, όπου στην εξίσωση 3 × 2 = 6 προσπαθήσαμε να εκφράσουμε τον αριθμό 3.

Στην εξίσωση 3 × 2 = 6, ο αριθμός 3 είναι ο πολλαπλασιαστής, ο αριθμός 2 είναι ο πολλαπλασιαστής, ο αριθμός 6 είναι το γινόμενο

Για να εκφράσουμε τον αριθμό 3, κάναμε τα εξής:

Δηλαδή, διαιρέστε το γινόμενο του 6 με συντελεστή 2.

Τώρα φανταστείτε ότι στην εξίσωση 3 × 2 = 6, αντί για τον αριθμό 3, υπάρχει μια μεταβλητή Χ

Χ×2=6

Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή Χαναλαμβάνει ρόλο άγνωστος πολλαπλασιαστής.

Για να βρείτε τον άγνωστο πολλαπλασιαστή, παρέχεται ο ακόλουθος κανόνας:

Για να βρείτε τον άγνωστο πολλαπλασιαστή, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο με τον παράγοντα.

Αυτό που κάναμε όταν εκφράσαμε τον αριθμό 3 από την εξίσωση 3 × 2 = 6. Διαιρέσαμε το γινόμενο του 6 με συντελεστή 2.

Και τώρα να βρούμε τον άγνωστο πολλαπλασιαστή Χ, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο του 6 με συντελεστή 2.

Ο υπολογισμός της δεξιάς πλευράς μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή της μεταβλητής Χ

Χ = 3

Ο ίδιος κανόνας ισχύει αν η μεταβλητή Χβρίσκεται αντί του πολλαπλασιαστή, όχι του πολλαπλασιαστή. Φανταστείτε ότι στην εξίσωση 3 × 2 = 6, αντί για τον αριθμό 2, υπάρχει μια μεταβλητή Χ .

Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή Χαναλαμβάνει ρόλο άγνωστος πολλαπλασιαστής. Για να βρείτε έναν άγνωστο παράγοντα, παρέχεται το ίδιο όπως για την εύρεση ενός άγνωστου πολλαπλασιαστή, δηλαδή, διαίρεση του γινομένου με έναν γνωστό παράγοντα:

Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο με τον πολλαπλασιαστή.

Αυτό κάναμε όταν εκφράσαμε τον αριθμό 2 από την εξίσωση 3 × 2 = 6. Στη συνέχεια, για να πάρουμε τον αριθμό 2, διαιρέσαμε το γινόμενο του 6 με τον πολλαπλασιαστή 3.

Και τώρα να βρούμε τον άγνωστο παράγοντα Χδιαιρέσαμε το γινόμενο του 6 με τον πολλαπλασιαστή του 3.

Ο υπολογισμός της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης σάς επιτρέπει να μάθετε με τι ισούται το x

Χ = 2

Ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής μαζί ονομάζονται παράγοντες. Δεδομένου ότι οι κανόνες για την εύρεση ενός πολλαπλασιαστή και ενός παράγοντα είναι οι ίδιοι, μπορούμε να διατυπώσουμε έναν γενικό κανόνα για την εύρεση ενός άγνωστου παράγοντα:

Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το προϊόν με τον γνωστό παράγοντα.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση 9 × Χ= 18 . Μεταβλητός Χείναι ένας άγνωστος παράγοντας. Για να βρείτε αυτόν τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο 18 με τον γνωστό παράγοντα 9

Ας λύσουμε την εξίσωση Χ× 3 = 27 . Μεταβλητός Χείναι ένας άγνωστος παράγοντας. Για να βρείτε αυτόν τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο 27 με τον γνωστό παράγοντα 3

Ας επιστρέψουμε στο τέταρτο παράδειγμα από το προηγούμενο θέμα, όπου στην ισότητα έπρεπε να εκφραστεί ο αριθμός 15. Σε αυτήν την ισότητα, ο αριθμός 15 είναι το μέρισμα, ο αριθμός 5 είναι ο διαιρέτης, ο αριθμός 3 το πηλίκο.

Για να εκφράσουμε τον αριθμό 15, κάναμε τα εξής:

15 = 3 x 5

Δηλαδή, πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο του 3 με το διαιρέτη του 5.

Τώρα φανταστείτε ότι στην ισότητα, αντί για τον αριθμό 15, υπάρχει μια μεταβλητή Χ

Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή Χαναλαμβάνει ρόλο άγνωστο μέρισμα.

Για να βρείτε ένα άγνωστο μέρισμα, παρέχεται ο ακόλουθος κανόνας:

Για να βρείτε το άγνωστο μέρισμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο με τον διαιρέτη.

Αυτό που κάναμε όταν εκφράσαμε τον αριθμό 15 από την ισότητα. Για να εκφράσουμε τον αριθμό 15, έχουμε πολλαπλασιάσει το πηλίκο του 3 με το διαιρέτη του 5.

Και τώρα, να βρούμε το άγνωστο μέρισμα Χ, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο του 3 με τον διαιρέτη του 5

Χ= 3 × 5

Χ .

Χ = 15

Τώρα φανταστείτε ότι στην ισότητα, αντί για τον αριθμό 5, υπάρχει μια μεταβλητή Χ .

Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή Χαναλαμβάνει ρόλο άγνωστος διαιρέτης.

Για να βρείτε τον άγνωστο διαιρέτη, παρέχεται ο ακόλουθος κανόνας:

Πράγμα που κάναμε όταν εκφράσαμε τον αριθμό 5 από την ισότητα . Για να εκφράσουμε τον αριθμό 5, διαιρέσαμε το μέρισμα 15 με το πηλίκο 3.

Και τώρα να βρούμε τον άγνωστο διαιρέτη Χ, πρέπει να διαιρέσετε το μέρισμα 15 με το πηλίκο 3

Ας υπολογίσουμε τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει. Βρίσκουμε λοιπόν με τι ισούται η μεταβλητή Χ .

Χ = 5

Έτσι, για να βρούμε άγνωστα, μελετήσαμε τους ακόλουθους κανόνες:

• Για να βρείτε τον άγνωστο όρο, πρέπει να αφαιρέσετε τον γνωστό όρο από το άθροισμα.
• Για να βρείτε το άγνωστο minuend, πρέπει να προσθέσετε το subtrahend στη διαφορά.
• Για να βρείτε το άγνωστο subtrahend, πρέπει να αφαιρέσετε τη διαφορά από το minuend.
• Για να βρείτε τον άγνωστο πολλαπλασιαστή, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο με τον παράγοντα.
• Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο με τον πολλαπλασιαστή.
• Για να βρείτε το άγνωστο μέρισμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο με τον διαιρέτη.
• Για να βρείτε έναν άγνωστο διαιρέτη, πρέπει να διαιρέσετε το μέρισμα με το πηλίκο.

Συστατικά

Συνιστώσες θα ονομάσουμε τους αριθμούς και τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην ισότητα

Άρα, τα συστατικά της προσθήκης είναι όροικαι άθροισμα

Οι συνιστώσες της αφαίρεσης είναι minuend, αφαιρετέοςκαι διαφορά

Τα συστατικά του πολλαπλασιασμού είναι πολλαπλασιαστέος, παράγονταςκαι δουλειά

Τα συστατικά της διαίρεσης είναι το μέρισμα, ο διαιρέτης και το πηλίκο.

Ανάλογα με ποια στοιχεία έχουμε να κάνουμε, θα εφαρμόζονται και οι αντίστοιχοι κανόνες εύρεσης αγνώστων. Μελετήσαμε αυτούς τους κανόνες στο προηγούμενο θέμα. Κατά την επίλυση εξισώσεων, είναι επιθυμητό να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες από την καρδιά.

Παράδειγμα 1. Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης 45+ Χ = 60

45 - όρος, Χείναι ο άγνωστος όρος, 60 είναι το άθροισμα. Έχουμε να κάνουμε με εξαρτήματα προσθήκης. Υπενθυμίζουμε ότι για να βρείτε τον άγνωστο όρο, πρέπει να αφαιρέσετε τον γνωστό όρο από το άθροισμα:

Χ = 60 − 45

Υπολογίστε τη δεξιά πλευρά, λάβετε την τιμή Χίσο με 15

Χ = 15

Άρα η ρίζα της εξίσωσης είναι 45 + Χ= 60 ισούται με 15.

Τις περισσότερες φορές, ο άγνωστος όρος πρέπει να μειωθεί σε μια μορφή με την οποία θα μπορούσε να εκφραστεί.

Παράδειγμα 2. λύσει την εξίσωση

Εδώ, σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα, ο άγνωστος όρος δεν μπορεί να εκφραστεί αμέσως, καθώς περιέχει συντελεστή 2. Το καθήκον μας είναι να φέρουμε αυτήν την εξίσωση στη μορφή με την οποία θα μπορούσαμε να εκφράσουμε Χ

Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε να κάνουμε με τα συστατικά της πρόσθεσης - τους όρους και το άθροισμα. 2 Χείναι ο πρώτος όρος, 4 είναι ο δεύτερος όρος, 8 είναι το άθροισμα.

Στην περίπτωση αυτή, ο όρος 2 Χπεριέχει μια μεταβλητή Χ. Αφού βρεθεί η τιμή της μεταβλητής Χόρος 2 Χθα πάρει άλλη μορφή. Επομένως, ο όρος 2 Χμπορεί να εκληφθεί πλήρως για τον άγνωστο όρο:

Τώρα εφαρμόζουμε τον κανόνα για την εύρεση του άγνωστου όρου. Αφαιρέστε τον γνωστό όρο από το άθροισμα:

Ας υπολογίσουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει:

Έχουμε μια νέα εξίσωση. Τώρα έχουμε να κάνουμε με τα συστατικά του πολλαπλασιασμού: πολλαπλασιαστής, πολλαπλασιαστής και γινόμενο. 2 - πολλαπλασιαστής, Χ- πολλαπλασιαστής, 4 - γινόμενο

Ταυτόχρονα, η μεταβλητή Χδεν είναι απλώς ένας παράγοντας, αλλά ένας άγνωστος παράγοντας

Για να βρείτε αυτόν τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο με τον πολλαπλασιαστή:

Υπολογίστε τη δεξιά πλευρά, λάβετε την τιμή της μεταβλητής Χ

Για να ελέγξετε τη ρίζα που βρέθηκε, στείλτε την στην αρχική εξίσωση και αντικαταστήστε την Χ

Παράδειγμα 3. λύσει την εξίσωση 3Χ+ 9Χ+ 16Χ= 56

Εκφράστε το άγνωστο Χειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ. Πρώτα πρέπει να φέρετε αυτή την εξίσωση στη μορφή με την οποία θα μπορούσε να εκφραστεί.

Παρουσιάζουμε στην αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης:

Έχουμε να κάνουμε με τις συνιστώσες του πολλαπλασιασμού. 28 - πολλαπλασιαστής, Χ- πολλαπλασιαστής, 56 - γινόμενο. Εν Χείναι ένας άγνωστος παράγοντας. Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο με τον πολλαπλασιαστή:

Από εδώ Χείναι 2

Ισοδύναμες Εξισώσεις

Στο προηγούμενο παράδειγμα, κατά την επίλυση της εξίσωσης 3Χ + 9Χ + 16Χ = 56 , έχουμε δώσει παρόμοιους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Το αποτέλεσμα είναι μια νέα εξίσωση 28 Χ= 56 . παλιά εξίσωση 3Χ + 9Χ + 16Χ = 56 και η προκύπτουσα νέα εξίσωση 28 Χ= 56 κλήθηκε ισοδύναμες εξισώσειςγιατί οι ρίζες τους είναι ίδιες.

Οι εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες αν οι ρίζες τους είναι ίδιες.

Ας το ελέγξουμε. Για την εξίσωση 3Χ+ 9Χ+ 16Χ= 56 βρήκαμε τη ρίζα ίση με 2 . Αντικαταστήστε αυτή τη ρίζα πρώτα στην εξίσωση 3Χ+ 9Χ+ 16Χ= 56 , και μετά στην Εξίσωση 28 Χ= 56 , που προέκυψε από τη μείωση παρόμοιων όρων στην αριστερή πλευρά της προηγούμενης εξίσωσης. Πρέπει να λάβουμε τις σωστές αριθμητικές ισότητες

Σύμφωνα με τη σειρά των πράξεων, ο πολλαπλασιασμός εκτελείται πρώτα:

Αντικαταστήστε τη ρίζα 2 στη δεύτερη εξίσωση 28 Χ= 56

Βλέπουμε ότι και οι δύο εξισώσεις έχουν τις ίδιες ρίζες. Οι εξισώσεις λοιπόν 3Χ+ 9Χ+ 16Χ= 6 και 28 Χ= 56 είναι πράγματι ισοδύναμα.

Για να λύσουμε την εξίσωση 3Χ+ 9Χ+ 16Χ= 56 χρησιμοποιήσαμε έναν από τους — μείωση όμοιων όρων. Ο σωστός μετασχηματισμός ταυτότητας της εξίσωσης μας επέτρεψε να λάβουμε μια ισοδύναμη εξίσωση 28 Χ= 56 , που είναι πιο εύκολο να λυθεί.

Από τους ίδιους μετασχηματισμούς, αυτή τη στιγμή μπορούμε μόνο να μειώσουμε τα κλάσματα, να φέρουμε παρόμοιους όρους, να αφαιρέσουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες και επίσης να ανοίξουμε αγκύλες. Υπάρχουν και άλλοι μετασχηματισμοί που πρέπει να γνωρίζετε. Αλλά για μια γενική ιδέα πανομοιότυπων μετασχηματισμών εξισώσεων, τα θέματα που μελετήσαμε είναι αρκετά.

Εξετάστε ορισμένους μετασχηματισμούς που μας επιτρέπουν να λάβουμε μια ισοδύναμη εξίσωση

Αν προσθέσετε τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, θα έχετε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

και ομοίως:

Αν αφαιρεθεί ο ίδιος αριθμός και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης, τότε θα προκύψει μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Με άλλα λόγια, η ρίζα της εξίσωσης δεν αλλάζει εάν ο ίδιος αριθμός προστεθεί (ή αφαιρεθεί και από τις δύο πλευρές) της εξίσωσης.

Παράδειγμα 1. λύσει την εξίσωση

Αφαιρέστε τον αριθμό 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης

Αποκτώ την εξίσωση 5 Χ= 10 . Έχουμε να κάνουμε με τις συνιστώσες του πολλαπλασιασμού. Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα Χ, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο του 10 με τον γνωστό παράγοντα 5.

και αντικαταστήστε Χβρέθηκε τιμή 2

Πήραμε τον σωστό αριθμό. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Επίλυση της Εξίσωσης αφαιρέσαμε τον αριθμό 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Το αποτέλεσμα είναι μια ισοδύναμη εξίσωση. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης, όπως και οι εξισώσεις ισούται επίσης με 2

Παράδειγμα 2. Λύστε την εξίσωση 4( Χ+ 3) = 16

Αφαιρέστε τον αριθμό 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης

Η αριστερή πλευρά θα είναι 4 Χ, και στη δεξιά πλευρά ο αριθμός 4

Αποκτώ την εξίσωση 4 Χ= 4. Έχουμε να κάνουμε με τις συνιστώσες του πολλαπλασιασμού. Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα Χ, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο 4 με τον γνωστό παράγοντα 4

Ας επιστρέψουμε στην αρχική εξίσωση 4( Χ+ 3) = 16 και αντικαταστήστε Χβρέθηκε τιμή 1

Πήραμε τον σωστό αριθμό. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Επίλυση της εξίσωσης 4( Χ+ 3) = 16 έχουμε αφαιρέσει τον αριθμό 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε μια ισοδύναμη εξίσωση 4 Χ= 4. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης, καθώς και οι εξισώσεις 4( Χ+ 3) = 16 ισούται επίσης με 1

Παράδειγμα 3. λύσει την εξίσωση

Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

Ας προσθέσουμε τον αριθμό 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους και στα δύο μέρη της εξίσωσης:

Η αριστερή πλευρά θα είναι 2 Χ, και στη δεξιά πλευρά ο αριθμός 9

Στην προκύπτουσα εξίσωση 2 Χ= 9 εκφράζουμε τον άγνωστο όρο Χ

Επιστροφή στην αρχική εξίσωση και αντικαταστήστε Χβρέθηκε τιμή 4,5

Πήραμε τον σωστό αριθμό. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Επίλυση της Εξίσωσης προσθέσαμε τον αριθμό 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Ως αποτέλεσμα, πήραμε μια ισοδύναμη εξίσωση. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης, όπως και οι εξισώσεις ισούται επίσης με 4,5

Ο επόμενος κανόνας, που σας επιτρέπει να λάβετε μια ισοδύναμη εξίσωση, είναι ο ακόλουθος

Αν στην εξίσωση μεταφέρουμε τον όρο από το ένα μέρος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο του, τότε παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Δηλαδή, η ρίζα της εξίσωσης δεν θα αλλάξει αν μεταφέρουμε τον όρο από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο του. Αυτή η ιδιότητα είναι από τις πιο σημαντικές και από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες στην επίλυση εξισώσεων.

Θεωρήστε την ακόλουθη εξίσωση:

Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι 2. Αντικαταστήστε αντί για Χαυτή τη ρίζα και ελέγξτε αν προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα

Αποδεικνύεται η σωστή ισότητα. Άρα ο αριθμός 2 είναι πραγματικά η ρίζα της εξίσωσης.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να πειραματιστούμε με τους όρους αυτής της εξίσωσης, μεταφέροντάς τους από το ένα μέρος στο άλλο, αλλάζοντας πρόσημα.

Για παράδειγμα, όρος 3 Χπου βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Ας το μετακινήσουμε στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο:

Βγήκε η εξίσωση 12 = 9Χ − 3Χ . στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης:

Χείναι ένας άγνωστος παράγοντας. Ας βρούμε αυτόν τον γνωστό παράγοντα:

Από εδώ Χ= 2. Όπως μπορείτε να δείτε, η ρίζα της εξίσωσης δεν έχει αλλάξει. Άρα οι εξισώσεις 12 + 3 Χ = 9Χκαι 12 = 9Χ − 3Χ είναι ισοδύναμα.

Στην πραγματικότητα, αυτός ο μετασχηματισμός είναι μια απλοποιημένη μέθοδος του προηγούμενου μετασχηματισμού, όπου ο ίδιος αριθμός προστέθηκε (ή αφαιρέθηκε) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

Το είπαμε στην εξίσωση 12 + 3 Χ = 9Χόρος 3 Χμετακινήθηκε στη δεξιά πλευρά αλλάζοντας την πινακίδα. Στην πραγματικότητα, συνέβη το εξής: ο όρος 3 αφαιρέθηκε και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης Χ

Στη συνέχεια δόθηκαν παρόμοιοι όροι στην αριστερή πλευρά και προέκυψε η εξίσωση 12 = 9Χ − 3Χ. Στη συνέχεια δόθηκαν ξανά παρόμοιοι όροι, αλλά στη δεξιά πλευρά, και προέκυψε η εξίσωση 12 = 6 Χ.

Αλλά η λεγόμενη «μεταφορά» είναι πιο βολική για τέτοιες εξισώσεις, γι' αυτό και έχει γίνει τόσο διαδεδομένη. Όταν λύνουμε εξισώσεις, θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτόν τον συγκεκριμένο μετασχηματισμό.

Οι εξισώσεις 12 + 3 είναι επίσης ισοδύναμες Χ= 9Χκαι 3Χ - 9Χ= −12 . Αυτή τη φορά στην εξίσωση 12 + 3 Χ= 9ΧΟ όρος 12 μετακινήθηκε στη δεξιά πλευρά και ο όρος 9 Χαριστερά. Δεν πρέπει να λησμονείται ότι τα σημάδια των όρων αυτών άλλαξαν κατά τη μεταγραφή

Ο επόμενος κανόνας, ο οποίος σας επιτρέπει να λάβετε μια ισοδύναμη εξίσωση, είναι ο εξής:

Αν και τα δύο μέρη της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, τότε θα προκύψει μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Με άλλα λόγια, οι ρίζες μιας εξίσωσης δεν αλλάζουν εάν και οι δύο πλευρές πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό. Αυτή η ενέργεια χρησιμοποιείται συχνά όταν χρειάζεται να λύσετε μια εξίσωση που περιέχει κλασματικές εκφράσεις.

Αρχικά, εξετάστε παραδείγματα στα οποία και οι δύο πλευρές της εξίσωσης θα πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό.

Παράδειγμα 1. λύσει την εξίσωση

Κατά την επίλυση εξισώσεων που περιέχουν κλασματικές εκφράσεις, συνηθίζεται πρώτα να απλοποιείται αυτή η εξίσωση.

Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε να κάνουμε με μια τέτοια ακριβώς εξίσωση. Για να απλοποιηθεί αυτή η εξίσωση, και οι δύο πλευρές μπορούν να πολλαπλασιαστούν με 8:

Θυμόμαστε ότι για το , πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή ενός δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό. Έχουμε δύο κλάσματα και το καθένα από αυτά πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό 8. Το καθήκον μας είναι να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων με αυτόν τον αριθμό 8

Τώρα συμβαίνει το πιο ενδιαφέρον. Οι αριθμητές και οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων περιέχουν συντελεστή 8, ο οποίος μπορεί να μειωθεί κατά 8. Αυτό θα μας επιτρέψει να απαλλαγούμε από την κλασματική έκφραση:

Ως αποτέλεσμα, η απλούστερη εξίσωση παραμένει

Λοιπόν, είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι 4

Χβρέθηκε τιμή 4

Αποδεικνύεται η σωστή αριθμητική ισότητα. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, πολλαπλασιάσαμε και τα δύο μέρη της επί 8. Ως αποτέλεσμα, πήραμε την εξίσωση. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης, όπως και των εξισώσεων, είναι 4. Άρα αυτές οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.

Ο πολλαπλασιαστής με τον οποίο πολλαπλασιάζονται και τα δύο μέρη της εξίσωσης συνήθως γράφεται πριν από το μέρος της εξίσωσης και όχι μετά από αυτό. Έτσι, λύνοντας την εξίσωση, πολλαπλασιάσαμε και τα δύο μέρη με συντελεστή 8 και πήραμε την ακόλουθη καταχώρηση:

Από αυτό, η ρίζα της εξίσωσης δεν έχει αλλάξει, αλλά αν το κάναμε αυτό όταν ήταν στο σχολείο, θα είχαμε παρατήρηση, αφού στην άλγεβρα συνηθίζεται να γράφουμε τον παράγοντα πριν από την έκφραση με την οποία πολλαπλασιάζεται. Επομένως, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με συντελεστή 8 είναι επιθυμητό να ξαναγράψουμε ως εξής:

Παράδειγμα 2. λύσει την εξίσωση

Στην αριστερή πλευρά, οι συντελεστές 15 μπορούν να μειωθούν κατά 15 και στη δεξιά πλευρά, οι συντελεστές 15 και 5 μπορούν να μειωθούν κατά 5

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης:

Ας μετακινήσουμε τον όρο Χαπό την αριστερή πλευρά της εξίσωσης στη δεξιά πλευρά αλλάζοντας το πρόσημο. Και ο όρος 15 από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης θα μεταφερθεί στην αριστερή πλευρά, αλλάζοντας ξανά το πρόσημο:

Φέρνουμε παρόμοιους όρους και στα δύο μέρη, παίρνουμε

Έχουμε να κάνουμε με τις συνιστώσες του πολλαπλασιασμού. Μεταβλητός Χ

Επιστροφή στην αρχική εξίσωση και αντικαταστήστε Χβρέθηκε τιμή 5

Αποδεικνύεται η σωστή αριθμητική ισότητα. Άρα η εξίσωση είναι σωστή. Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, πολλαπλασιάσαμε και τις δύο πλευρές επί 15. Περαιτέρω, εκτελώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, λάβαμε την εξίσωση 10 = 2 Χ. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης, όπως και οι εξισώσεις ισούται με 5. Άρα αυτές οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.

Παράδειγμα 3. λύσει την εξίσωση

Στην αριστερή πλευρά, δύο τριάδες μπορούν να μειωθούν και η δεξιά πλευρά θα είναι ίση με 18

Η απλούστερη εξίσωση παραμένει. Έχουμε να κάνουμε με τις συνιστώσες του πολλαπλασιασμού. Μεταβλητός Χείναι ένας άγνωστος παράγοντας. Ας βρούμε αυτόν τον γνωστό παράγοντα:

Ας επιστρέψουμε στην αρχική εξίσωση και ας αντικαταστήσουμε Χβρέθηκε τιμή 9

Αποδεικνύεται η σωστή αριθμητική ισότητα. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Παράδειγμα 4. λύσει την εξίσωση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6

Ανοίξτε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Στη δεξιά πλευρά, ο παράγοντας 6 μπορεί να αυξηθεί στον αριθμητή:

Μειώνουμε και στα δύο μέρη των εξισώσεων ό,τι μπορεί να μειωθεί:

Ας ξαναγράψουμε ό,τι μας έχει απομείνει:

Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά όρων. Όροι που περιέχουν το άγνωστο Χ, ομαδοποιούμε στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και τους όρους χωρίς αγνώστους - στα δεξιά:

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους και στα δύο μέρη:

Τώρα ας βρούμε την τιμή της μεταβλητής Χ. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το γινόμενο 28 με τον γνωστό παράγοντα 7

Από εδώ Χ= 4.

Επιστροφή στην αρχική εξίσωση και αντικαταστήστε Χβρέθηκε τιμή 4

Αποδείχθηκε η σωστή αριθμητική ισότητα. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Παράδειγμα 5. λύσει την εξίσωση

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και στα δύο μέρη της εξίσωσης όπου είναι δυνατόν:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 15

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και στα δύο μέρη της εξίσωσης:

Ας μειώσουμε και στα δύο μέρη της εξίσωσης τι μπορεί να μειωθεί:

Ας ξαναγράψουμε ό,τι μας έχει απομείνει:

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες όπου είναι δυνατόν:

Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά όρων. Οι όροι που περιέχουν το άγνωστο ομαδοποιούνται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και οι όροι χωρίς αγνώστους ομαδοποιούνται στη δεξιά πλευρά. Μην ξεχνάτε ότι κατά τη μεταφορά, οι όροι αλλάζουν τα πρόσημά τους στο αντίθετο:

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους και στα δύο μέρη της εξίσωσης:

Ας βρούμε την τιμή Χ

Στην απάντηση που προκύπτει, μπορείτε να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος:

Ας επιστρέψουμε στην αρχική εξίσωση και ας αντικαταστήσουμε Χβρέθηκε αξία

Αποδεικνύεται μια μάλλον δυσκίνητη έκφραση. Ας χρησιμοποιήσουμε μεταβλητές. Βάζουμε την αριστερή πλευρά της ισότητας σε μια μεταβλητή ΕΝΑ, και η δεξιά πλευρά της ισότητας σε μια μεταβλητή σι

Το καθήκον μας είναι να βεβαιωθούμε ότι η αριστερή πλευρά είναι ίση με τη δεξιά πλευρά. Με άλλα λόγια, να αποδείξετε την ισότητα Α = Β

Βρείτε την τιμή της παράστασης στη μεταβλητή Α.

Μεταβλητή τιμή ΑΛΛΑισοδυναμεί . Τώρα ας βρούμε την τιμή της μεταβλητής σι. Δηλαδή η αξία της δεξιάς πλευράς της ισότητας μας. Αν είναι ίσο με , τότε η εξίσωση θα λυθεί σωστά

Βλέπουμε ότι η τιμή της μεταβλητής σι, καθώς και η τιμή της μεταβλητής Α είναι . Αυτό σημαίνει ότι η αριστερή πλευρά είναι ίση με τη δεξιά πλευρά. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση έχει λυθεί σωστά.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να μην πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό, αλλά να διαιρέσουμε.

Θεωρήστε την εξίσωση 30Χ+ 14Χ+ 14 = 70Χ− 40Χ+ 42 . Το λύνουμε με τον συνηθισμένο τρόπο: ομαδοποιούμε τους όρους που περιέχουν αγνώστους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και τους όρους χωρίς αγνώστους στη δεξιά. Περαιτέρω, εκτελώντας τους γνωστούς πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, βρίσκουμε την τιμή Χ

Αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε 2 αντί για Χστην αρχική εξίσωση:

Τώρα ας προσπαθήσουμε να διαχωρίσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης 30Χ+ 14Χ+ 14 = 70Χ− 40Χ+ 42 με κάποιον αριθμό Σημειώνουμε ότι όλοι οι όροι αυτής της εξίσωσης έχουν έναν κοινό παράγοντα 2. Διαιρούμε κάθε όρο με αυτόν:

Ας μειώσουμε σε κάθε όρο:

Ας ξαναγράψουμε ό,τι μας έχει απομείνει:

Λύνουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους γνωστούς πανομοιότυπους μετασχηματισμούς:

Πήραμε τη ρίζα 2 . Οι εξισώσεις λοιπόν 15Χ+ 7Χ+ 7 = 35Χ - 20Χ+ 21 και 30Χ+ 14Χ+ 14 = 70Χ− 40Χ+ 42 είναι ισοδύναμα.

Η διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό σας επιτρέπει να ελευθερώσετε το άγνωστο από τον συντελεστή. Στο προηγούμενο παράδειγμα, όταν πήραμε την εξίσωση 7 Χ= 14, χρειαζόταν να διαιρέσουμε το γινόμενο 14 με τον γνωστό παράγοντα 7. Αν όμως απελευθερώναμε το άγνωστο από τον συντελεστή 7 στην αριστερή πλευρά, η ρίζα θα βρισκόταν αμέσως. Για να γίνει αυτό, αρκούσε να διαιρεθούν και τα δύο μέρη κατά 7

Θα χρησιμοποιούμε επίσης αυτή τη μέθοδο συχνά.

Πολλαπλασιάστε με μείον ένα

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν με μείον ένα, τότε θα προκύψει μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Αυτός ο κανόνας προκύπτει από το γεγονός ότι από τον πολλαπλασιασμό (ή τη διαίρεση) και των δύο μερών της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό, η ρίζα αυτής της εξίσωσης δεν αλλάζει. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα δεν θα αλλάξει εάν και τα δύο μέρη της πολλαπλασιαστούν με -1.

Αυτός ο κανόνας σάς επιτρέπει να αλλάξετε τα σημάδια όλων των στοιχείων που περιλαμβάνονται στην εξίσωση. Σε τι χρησιμεύει; Και πάλι, για να πάρετε μια ισοδύναμη εξίσωση που είναι πιο εύκολο να λυθεί.

Θεωρήστε την εξίσωση. Ποια είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης;

Ας προσθέσουμε τον αριθμό 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Και τώρα ας θυμηθούμε. Ποια είναι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Αυτό είναι το γινόμενο του μείον ένα και της μεταβλητής Χ

Δηλαδή το μείον μπροστά από τη μεταβλητή Χδεν αναφέρεται στην ίδια τη μεταβλητή Χ, αλλά στη μονάδα, την οποία δεν βλέπουμε, αφού συνηθίζεται να μην σημειώνεται ο συντελεστής 1. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση στην πραγματικότητα μοιάζει με αυτό:

Έχουμε να κάνουμε με τις συνιστώσες του πολλαπλασιασμού. Να βρω Χ, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο −5 με τον γνωστό παράγοντα −1 .

ή διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με −1, πράγμα που είναι ακόμα πιο εύκολο

Άρα η ρίζα της εξίσωσης είναι 5. Για έλεγχο, το αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση. Μην ξεχνάτε ότι στην αρχική εξίσωση, το μείον μπροστά από τη μεταβλητή Χαναφέρεται σε μια αόρατη μονάδα

Αποδείχθηκε η σωστή αριθμητική ισότητα. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με μείον ένα:

Αφού ανοίξετε τις αγκύλες, η έκφραση σχηματίζεται στην αριστερή πλευρά και η δεξιά πλευρά θα είναι ίση με 10

Η ρίζα αυτής της εξίσωσης, όπως και της εξίσωσης, είναι 5

Άρα οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.

Παράδειγμα 2. λύσει την εξίσωση

Σε αυτή την εξίσωση, όλα τα συστατικά είναι αρνητικά. Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με θετικά στοιχεία παρά με αρνητικά, οπότε ας αλλάξουμε τα σημάδια όλων των στοιχείων που περιλαμβάνονται στην εξίσωση . Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με −1.

Είναι σαφές ότι μετά τον πολλαπλασιασμό με το −1, οποιοσδήποτε αριθμός θα αλλάξει το πρόσημο του στο αντίθετο. Επομένως, η ίδια η διαδικασία του πολλαπλασιασμού με το −1 και το άνοιγμα των αγκύλων δεν περιγράφονται λεπτομερώς, αλλά τα συστατικά της εξίσωσης με αντίθετα πρόσημα καταγράφονται αμέσως.

Έτσι, ο πολλαπλασιασμός μιας εξίσωσης με −1 μπορεί να γραφτεί λεπτομερώς ως εξής:

ή μπορείτε απλώς να αλλάξετε τα σημάδια όλων των εξαρτημάτων:

Θα βγει το ίδιο, αλλά η διαφορά θα είναι ότι θα εξοικονομήσουμε χρόνο.

Έτσι, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με −1, παίρνουμε την εξίσωση. Ας λύσουμε αυτή την εξίσωση. Αφαιρέστε τον αριθμό 4 και από τα δύο μέρη και διαιρέστε και τα δύο μέρη με το 3

Όταν βρεθεί η ρίζα, η μεταβλητή γράφεται συνήθως στην αριστερή πλευρά και η τιμή της στη δεξιά, κάτι που κάναμε.

Παράδειγμα 3. λύσει την εξίσωση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με −1. Τότε όλα τα εξαρτήματα θα αλλάξουν τα σημάδια τους σε αντίθετα:

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει Χκαι προσθέστε παρόμοιους όρους:

Προσθέτουμε ενότητα και στα δύο μέρη της εξίσωσης και δίνουμε παρόμοιους όρους:

Ισοδυναμεί με το μηδέν

Πρόσφατα, μάθαμε ότι αν σε μια εξίσωση μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέρος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο του, παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Και τι θα γίνει αν μεταφέρουμε από το ένα μέρος στο άλλο όχι έναν όρο, αλλά όλους τους όρους; Σωστά, στο τμήμα από το οποίο ελήφθησαν όλοι οι όροι θα παραμείνει το μηδέν. Με άλλα λόγια, δεν θα μείνει τίποτα.

Ας πάρουμε την εξίσωση ως παράδειγμα. Λύνουμε αυτήν την εξίσωση, ως συνήθως - ομαδοποιούμε τους όρους που περιέχουν αγνώστους στο ένα μέρος και αφήνουμε τους αριθμούς χωρίς αγνώστους στο άλλο. Περαιτέρω, εκτελώντας τους γνωστούς πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, βρίσκουμε την τιμή της μεταβλητής Χ

Τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την ίδια εξίσωση εξισώνοντας όλα τα συστατικά της με μηδέν. Για να γίνει αυτό, μεταφέρουμε όλους τους όρους από τη δεξιά πλευρά προς τα αριστερά, αλλάζοντας τα σημάδια:

Ακολουθούν οι παρόμοιοι όροι στην αριστερή πλευρά:

Ας προσθέσουμε 77 και στα δύο μέρη και ας διαιρέσουμε και τα δύο μέρη με το 7

Μια εναλλακτική στους κανόνες εύρεσης αγνώστων

Προφανώς, γνωρίζοντας για τους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων, δεν μπορεί κανείς να απομνημονεύσει τους κανόνες για την εύρεση αγνώστων.

Για παράδειγμα, για να βρούμε τον άγνωστο στην εξίσωση, διαιρέσαμε το γινόμενο 10 με τον γνωστό παράγοντα 2

Αν όμως στην εξίσωση και τα δύο μέρη διαιρεθούν με 2, η ρίζα βρίσκεται αμέσως. Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, ο παράγοντας 2 στον αριθμητή και ο παράγοντας 2 στον παρονομαστή θα μειωθούν κατά 2. Και η δεξιά πλευρά θα είναι ίση με 5

Λύσαμε εξισώσεις της μορφής εκφράζοντας τον άγνωστο όρο:

Αλλά μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ίδιους μετασχηματισμούς που μελετήσαμε σήμερα. Στην εξίσωση, ο όρος 4 μπορεί να μετακινηθεί στη δεξιά πλευρά αλλάζοντας το πρόσημο:

Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, δύο δυάρια θα μειωθούν. Η δεξιά πλευρά θα είναι ίση με 2. Επομένως .

Ή θα μπορούσατε να αφαιρέσετε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Τότε θα λάβετε το εξής:

Στην περίπτωση των εξισώσεων της μορφής, είναι πιο βολικό να διαιρέσουμε το προϊόν με έναν γνωστό παράγοντα. Ας συγκρίνουμε και τις δύο λύσεις:

Η πρώτη λύση είναι πολύ πιο σύντομη και τακτοποιημένη. Η δεύτερη λύση μπορεί να μειωθεί σημαντικά εάν κάνετε τη διαίρεση στο κεφάλι σας.

Ωστόσο, πρέπει να γνωρίζετε και τις δύο μεθόδους και μόνο τότε να χρησιμοποιείτε αυτήν που σας αρέσει περισσότερο.

Όταν υπάρχουν πολλές ρίζες

Μια εξίσωση μπορεί να έχει πολλές ρίζες. Για παράδειγμα εξίσωση Χ(x + 9) = 0 έχει δύο ρίζες: 0 και −9.

Στην εξίσωση Χ(x + 9) = 0 ήταν απαραίτητο να βρεθεί μια τέτοια τιμή Χγια το οποίο η αριστερή πλευρά θα ήταν ίση με μηδέν. Η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης περιέχει τις εκφράσεις Χκαι (x + 9), που είναι παράγοντες. Από τους νόμους του προϊόντος, γνωρίζουμε ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν (είτε ο πρώτος παράγοντας είτε ο δεύτερος).

Δηλαδή στην εξίσωση Χ(x + 9) = 0 ισότητα θα επιτευχθεί αν Χθα είναι μηδέν ή (x + 9)θα είναι μηδέν.

Χ= 0 ή Χ + 9 = 0

Εξισώνοντας και τις δύο αυτές εκφράσεις με μηδέν, μπορούμε να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης Χ(x + 9) = 0 . Η πρώτη ρίζα, όπως φαίνεται από το παράδειγμα, βρέθηκε αμέσως. Για να βρείτε τη δεύτερη ρίζα, πρέπει να λύσετε τη στοιχειώδη εξίσωση Χ+ 9 = 0 . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι −9. Ο έλεγχος δείχνει ότι η ρίζα είναι σωστή:

−9 + 9 = 0

Παράδειγμα 2. λύσει την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: 1 και 2. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι το γινόμενο των παραστάσεων ( Χ− 1) και ( Χ− 2) . Και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν (ή ο παράγοντας ( Χ− 1) ή παράγοντας ( Χ − 2) ).

Ας το βρούμε Χκάτω από τις οποίες οι εκφράσεις ( Χ− 1) ή ( Χ− 2) εξαφανίζονται:

Αντικαθιστούμε τις τιμές που βρέθηκαν με τη σειρά μας στην αρχική εξίσωση και βεβαιωνόμαστε ότι με αυτές τις τιμές η αριστερή πλευρά είναι ίση με μηδέν:

Όταν υπάρχουν άπειρες ρίζες

Μια εξίσωση μπορεί να έχει άπειρες ρίζες. Δηλαδή, αντικαθιστώντας οποιονδήποτε αριθμό σε μια τέτοια εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα.

Παράδειγμα 1. λύσει την εξίσωση

Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Εάν ανοίξετε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και φέρετε παρόμοιους όρους, τότε λαμβάνετε την ισότητα 14 \u003d 14. Αυτή η ισότητα θα επιτευχθεί για οποιαδήποτε Χ

Παράδειγμα 2. λύσει την εξίσωση

Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Αν ανοίξετε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, θα έχετε την ισότητα 10Χ + 12 = 10Χ + 12. Αυτή η ισότητα θα επιτευχθεί για οποιαδήποτε Χ

Όταν δεν υπάρχουν ρίζες

Συμβαίνει επίσης η εξίσωση να μην έχει καθόλου λύσεις, δηλαδή να μην έχει ρίζες. Για παράδειγμα, η εξίσωση δεν έχει ρίζες, γιατί για οποιαδήποτε τιμή Χ, η αριστερή πλευρά της εξίσωσης δεν θα είναι ίση με τη δεξιά πλευρά. Για παράδειγμα, ας . Τότε η εξίσωση θα πάρει την παρακάτω μορφή

Παράδειγμα 2. λύσει την εξίσωση

Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

Εδώ είναι παρόμοιοι όροι:

Βλέπουμε ότι η αριστερή πλευρά δεν είναι ίση με τη δεξιά πλευρά. Και έτσι θα είναι για οποιαδήποτε αξία y. Για παράδειγμα, ας y = 3 .

Εξισώσεις γραμμάτων

Μια εξίσωση μπορεί να περιέχει όχι μόνο αριθμούς με μεταβλητές, αλλά και γράμματα.

Για παράδειγμα, ο τύπος για την εύρεση της ταχύτητας είναι μια κυριολεκτική εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση περιγράφει την ταχύτητα του σώματος σε ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση.

Μια χρήσιμη δεξιότητα είναι η ικανότητα έκφρασης οποιουδήποτε στοιχείου περιλαμβάνεται σε μια εξίσωση γραμμάτων. Για παράδειγμα, για να προσδιορίσετε την απόσταση από μια εξίσωση, πρέπει να εκφράσετε τη μεταβλητή μικρό .

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με t

Μεταβλητές στα δεξιά tμείωση κατά t

Στην εξίσωση που προκύπτει, το αριστερό και το δεξί μέρος ανταλλάσσονται:

Έχουμε αποκτήσει τον τύπο για την εύρεση της απόστασης, τον οποίο μελετήσαμε νωρίτερα.

Ας προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το χρόνο από την εξίσωση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε τη μεταβλητή t .

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με t

Μεταβλητές στα δεξιά tμείωση κατά tκαι ξαναγράψτε ό,τι μας έμεινε:

Στην εξίσωση που προκύπτει v × t = sχωρίστε και τα δύο μέρη σε v

Μεταβλητές στα αριστερά vμείωση κατά vκαι ξαναγράψτε ό,τι μας έμεινε:

Έχουμε αποκτήσει τον τύπο για τον προσδιορισμό του χρόνου, τον οποίο μελετήσαμε νωρίτερα.

Ας υποθέσουμε ότι η ταχύτητα του τρένου είναι 50 km/h

v= 50 km/h

Και η απόσταση είναι 100 χλμ

μικρό= 100 χλμ

Στη συνέχεια, η επιστολή θα λάβει την ακόλουθη μορφή

Από αυτή την εξίσωση μπορείτε να βρείτε τον χρόνο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να είστε σε θέση να εκφράσετε τη μεταβλητή t. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για την εύρεση ενός άγνωστου διαιρέτη διαιρώντας το μέρισμα με το πηλίκο και έτσι να προσδιορίσετε την τιμή της μεταβλητής t

ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς. Πολλαπλασιάστε πρώτα και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με t

Στη συνέχεια διαιρέστε και τα δύο μέρη κατά 50

Παράδειγμα 2 Χ

Αφαιρέστε και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης ένα

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με σι

a + bx = c, τότε θα έχουμε έτοιμη λύση. Θα είναι αρκετό να αντικαταστήσετε τις απαραίτητες τιμές σε αυτό. Αυτές οι τιμές που θα αντικαταστήσουν τα γράμματα α, β, γπου ονομάζεται Παράμετροι. Και εξισώσεις της μορφής a + bx = cπου ονομάζεται εξίσωση με παραμέτρους. Ανάλογα με τις παραμέτρους, η ρίζα θα αλλάξει.

Λύστε την εξίσωση 2 + 4 Χ= 10 . Μοιάζει με κυριολεκτική εξίσωση a + bx = c. Αντί να κάνουμε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια έτοιμη λύση. Ας συγκρίνουμε και τις δύο λύσεις:

Βλέπουμε ότι η δεύτερη λύση είναι πολύ πιο απλή και σύντομη.

Για την τελική λύση, πρέπει να κάνετε μια μικρή παρατήρηση. Παράμετρος σιδεν πρέπει να είναι μηδέν (b ≠ 0), αφού δεν επιτρέπεται η διαίρεση με το μηδέν.

Παράδειγμα 3. Δίνεται μια κυριολεκτική εξίσωση. Εκφράστε από αυτή την εξίσωση Χ

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και στα δύο μέρη της εξίσωσης

Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά όρων. Παράμετροι που περιέχουν μια μεταβλητή Χ, ομαδοποιούμε στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και τις παραμέτρους απαλλαγμένες από αυτήν τη μεταβλητή - στα δεξιά.

Στην αριστερή πλευρά, βγάζουμε τον παράγοντα Χ

Διαχωρίστε και τα δύο μέρη σε μια έκφραση α-β

Στην αριστερή πλευρά, ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να μειωθούν κατά α-β. Άρα η μεταβλητή εκφράζεται τελικά Χ

Τώρα, αν συναντήσουμε μια εξίσωση της μορφής a(x − c) = b(x + d), τότε θα έχουμε έτοιμη λύση. Θα είναι αρκετό να αντικαταστήσετε τις απαραίτητες τιμές σε αυτό.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια εξίσωση 4(Χ - 3) = 2(Χ+ 4) . Μοιάζει με εξίσωση a(x − c) = b(x + d). Το λύνουμε με δύο τρόπους: χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και χρησιμοποιώντας μια έτοιμη λύση:

Για ευκολία, εξάγουμε από την εξίσωση 4(Χ - 3) = 2(Χ+ 4) τιμές παραμέτρων ένα, σι, ντο, ρε . Αυτό θα μας επιτρέψει να μην κάνουμε λάθη κατά την αντικατάσταση:

Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, ο παρονομαστής εδώ δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν ( α - β ≠ 0) . Αν συναντήσουμε μια εξίσωση της μορφής a(x − c) = b(x + d)στην οποία οι παράμετροι ένακαι σιείναι το ίδιο, μπορούμε να πούμε χωρίς να το λύσουμε ότι αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού η διαφορά των πανομοιότυπων αριθμών είναι μηδέν.

Για παράδειγμα, η εξίσωση 2(x − 3) = 2(x + 4)είναι μια εξίσωση της μορφής a(x − c) = b(x + d). Στην εξίσωση 2(x − 3) = 2(x + 4)επιλογές ένακαι σιτο ίδιο. Αν αρχίσουμε να το λύνουμε, τότε θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η αριστερή πλευρά δεν θα είναι ίση με τη δεξιά πλευρά:

Παράδειγμα 4. Δίνεται μια κυριολεκτική εξίσωση. Εκφράστε από αυτή την εξίσωση Χ

Φέρνουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης σε έναν κοινό παρονομαστή:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές κατά ένα

Στην αριστερή πλευρά Χβγάλτε το από αγκύλες

Διαιρούμε και τα δύο μέρη με την παράσταση (1 − ένα)

Γραμμικές εξισώσεις με έναν άγνωστο

Οι εξισώσεις που εξετάζονται σε αυτό το μάθημα καλούνται γραμμικές εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο.

Εάν η εξίσωση δίνεται στον πρώτο βαθμό, δεν περιέχει διαίρεση με το άγνωστο και επίσης δεν περιέχει ρίζες από το άγνωστο, τότε μπορεί να ονομαστεί γραμμική. Δεν έχουμε μελετήσει ακόμη πτυχία και ρίζες, οπότε για να μην περιπλέκουμε τη ζωή μας, θα κατανοήσουμε τη λέξη «γραμμικό» ως «απλή».

Οι περισσότερες από τις εξισώσεις που επιλύθηκαν σε αυτό το μάθημα κατέληξαν να αναχθούν στην απλούστερη εξίσωση στην οποία το γινόμενο έπρεπε να διαιρεθεί με έναν γνωστό παράγοντα. Για παράδειγμα, η εξίσωση 2( Χ+ 3) = 16 . Ας το λύσουμε.

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε 2 Χ+ 6 = 16. Ας μετακινήσουμε τον όρο 6 στη δεξιά πλευρά αλλάζοντας το πρόσημο. Μετά παίρνουμε 2 Χ= 16 − 6. Υπολογίστε τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε 2 Χ= 10. Να βρω Χ, διαιρούμε το γινόμενο 10 με τον γνωστό παράγοντα 2. Επομένως Χ = 5.

Εξίσωση 2( Χ+ 3) = 16 είναι γραμμικό. Ανήχθη στην εξίσωση 2 Χ= 10 , για την εύρεση της ρίζας της οποίας ήταν απαραίτητο να διαιρεθεί το προϊόν με έναν γνωστό παράγοντα. Αυτή η απλή εξίσωση ονομάζεται γραμμική εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο στην κανονική μορφή. Η λέξη «κανονική» είναι συνώνυμη με τις λέξεις «απλή» ή «κανονική».

Μια γραμμική εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο στην κανονική μορφή ονομάζεται εξίσωση της μορφής τσεκούρι = β.

Η εξίσωσή μας 2 Χ= 10 είναι μια γραμμική εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο στην κανονική μορφή. Αυτή η εξίσωση έχει τον πρώτο βαθμό, ένα άγνωστο, δεν περιέχει διαίρεση με το άγνωστο και δεν περιέχει ρίζες από το άγνωστο, και παρουσιάζεται σε κανονική μορφή, δηλαδή στην απλούστερη μορφή στην οποία είναι εύκολο να προσδιοριστεί η αξία Χ. Αντί για παραμέτρους ένακαι σιη εξίσωσή μας περιέχει τους αριθμούς 2 και 10. Αλλά μια παρόμοια εξίσωση μπορεί να περιέχει άλλους αριθμούς: θετικούς, αρνητικούς ή ίσους με μηδέν.

Αν σε γραμμική εξίσωση ένα= 0 και σι= 0 , τότε η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες. Πράγματι, αν έναείναι μηδέν και σιισούται με μηδέν, τότε η γραμμική εξίσωση τσεκούρι= σιπαίρνει τη μορφή 0 Χ= 0 . Για οποιαδήποτε αξία Χη αριστερή πλευρά θα είναι ίση με τη δεξιά πλευρά.

Αν σε γραμμική εξίσωση ένα= 0 και σι≠ 0, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Πράγματι, αν έναείναι μηδέν και σιισούται με κάποιον μη μηδενικό αριθμό, ας πούμε τον αριθμό 5 και μετά την εξίσωση τσεκούρι=βπαίρνει τη μορφή 0 Χ= 5. Η αριστερή πλευρά θα είναι μηδέν και η δεξιά πλευρά πέντε. Και το μηδέν δεν είναι ίσο με πέντε.

Αν σε γραμμική εξίσωση ένα≠ 0, και σιισούται με οποιονδήποτε αριθμό, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα. Καθορίζεται με διαίρεση της παραμέτρου σιανά παράμετρο ένα

Πράγματι, αν έναισούται με κάποιον μη μηδενικό αριθμό, ας πούμε τον αριθμό 3, και σιισούται με κάποιον αριθμό, ας πούμε τον αριθμό 6, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή .
Από εδώ.

Υπάρχει μια άλλη μορφή γραφής μιας γραμμικής εξίσωσης πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Μοιάζει με αυτό: τσεκούρι − β= 0 . Αυτή είναι η ίδια εξίσωση με τσεκούρι=β

Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος της νέας μας ομάδας Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα