Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους. Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων

Εισαγωγή

Κατά την επίλυση επιστημονικών και μηχανικών προβλημάτων, είναι συχνά απαραίτητο να περιγραφεί μαθηματικά οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα. Αυτό γίνεται καλύτερα με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων ( DU) ή συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Τις περισσότερες φορές, ένα τέτοιο πρόβλημα προκύπτει κατά την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τη μοντελοποίηση της κινητικής των χημικών αντιδράσεων και διαφόρων φαινομένων μεταφοράς (θερμότητα, μάζα, ορμή) - μεταφορά θερμότητας, ανάμειξη, ξήρανση, προσρόφηση, όταν περιγράφεται η κίνηση των μακρο- και μικροσωματιδίων.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η διαφορική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε μια μορφή στην οποία η υψηλότερη παράγωγος εκφράζεται ρητά. Αυτή η μορφή γραφής ονομάζεται εξίσωση που επιλύεται σε σχέση με την υψηλότερη παράγωγο (στην περίπτωση αυτή, η υψηλότερη παράγωγος απουσιάζει στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης):

Μια λύση σε μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση είναι μια συνάρτηση y(x) που, για οποιοδήποτε x, ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση σε ένα ορισμένο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα. Η διαδικασία επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ολοκλήρωση διαφορικής εξίσωσης.

Ιστορικά, ο πρώτος και απλούστερος τρόπος για να λυθεί αριθμητικά το πρόβλημα Cauchy για ODE πρώτης τάξης είναι η μέθοδος Euler. Βασίζεται στην προσέγγιση της παραγώγου με τον λόγο των πεπερασμένων προσαυξήσεων των εξαρτημένων (y) και ανεξάρτητων (x) μεταβλητών μεταξύ των κόμβων ενός ομοιόμορφου πλέγματος:

όπου y i+1 είναι η απαιτούμενη τιμή της συνάρτησης στο σημείο x i+1 .

Η ακρίβεια της μεθόδου Euler μπορεί να βελτιωθεί εάν χρησιμοποιήσουμε έναν πιο ακριβή τύπο ολοκλήρωσης για να προσεγγίσουμε το ολοκλήρωμα: τραπεζοειδής τύπος.

Αυτός ο τύπος αποδεικνύεται σιωπηρός σε σχέση με το y i+1 (αυτή η τιμή βρίσκεται τόσο στην αριστερή όσο και στη δεξιά πλευρά της έκφρασης), δηλαδή είναι μια εξίσωση για το y i+1 , η οποία μπορεί να λυθεί, για παράδειγμα , αριθμητικά, χρησιμοποιώντας κάποια επαναληπτική μέθοδο (σε τέτοια μορφή, μπορεί να θεωρηθεί ως επαναληπτικός τύπος της μεθόδου απλής επανάληψης).

Η σύνθεση της εργασίας του μαθήματος: Η εργασία του μαθήματος αποτελείται από τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος, μια σύντομη περιγραφή των μεθόδων. Στο δεύτερο μέρος, η διατύπωση και η λύση του προβλήματος. Στο τρίτο μέρος - υλοποίηση λογισμικού στη γλώσσα του υπολογιστή

Σκοπός του μαθήματος: να μελετηθούν δύο μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων - η μέθοδος Euler-Cauchy και η βελτιωμένη μέθοδος Euler.

1. Θεωρητικό μέρος

Αριθμητική διαφοροποίηση

Διαφορική εξίσωση είναι αυτή που περιέχει μία ή περισσότερες παραγώγους. Ανάλογα με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών, οι διαφορικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο κατηγορίες.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ODEs)

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ονομάζονται τέτοιες εξισώσεις που περιέχουν μία ή περισσότερες παραγώγους της επιθυμητής συνάρτησης. Μπορούν να γραφτούν στη φόρμα

ανεξάρτητη μεταβλητή

Η υψηλότερη τάξη που περιλαμβάνεται στην εξίσωση (1) ονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης.

Η απλούστερη (γραμμική) ΟΔΕ είναι η εξίσωση (1) τάξης που επιλύεται σε σχέση με την παράγωγο

Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης (1) είναι κάθε συνάρτηση που, αφού την αντικαταστήσει στην εξίσωση, τη μετατρέπει σε ταυτότητα.

Το κύριο πρόβλημα που σχετίζεται με το γραμμικό ODE είναι γνωστό ως πρόβλημα Kashi:

Βρείτε μια λύση στην εξίσωση (2) με τη μορφή συνάρτησης που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη (3)

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι απαιτείται να βρεθεί η ολοκληρωτική καμπύλη που διέρχεται από το σημείο ) όταν η ισότητα (2) ικανοποιείται.

Αριθμητικό από την άποψη του προβλήματος Kashi σημαίνει: απαιτείται η κατασκευή ενός πίνακα τιμών συνάρτησης που να ικανοποιεί την εξίσωση (2) και την αρχική συνθήκη (3) σε ένα τμήμα με ένα συγκεκριμένο βήμα. Συνήθως θεωρείται ότι, δηλαδή, η αρχική συνθήκη δίνεται στο αριστερό άκρο του τμήματος.

Η απλούστερη από τις αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η μέθοδος Euler. Βασίζεται στην ιδέα της γραφικής κατασκευής μιας λύσης σε μια διαφορική εξίσωση, αλλά αυτή η μέθοδος παρέχει επίσης έναν τρόπο εύρεσης της επιθυμητής συνάρτησης σε αριθμητική μορφή ή σε πίνακα.

Έστω η εξίσωση (2) με την αρχική συνθήκη, δηλαδή τίθεται το πρόβλημα Kashi. Ας λύσουμε πρώτα το παρακάτω πρόβλημα. Βρείτε με τον απλούστερο τρόπο την κατά προσέγγιση τιμή της λύσης σε κάποιο σημείο όπου είναι ένα αρκετά μικρό βήμα. Η εξίσωση (2) μαζί με την αρχική συνθήκη (3) ορίζουν την κατεύθυνση της εφαπτομένης της επιθυμητής ολοκληρωτικής καμπύλης στο σημείο με συντεταγμένες

Η εφαπτομενική εξίσωση έχει τη μορφή

Προχωρώντας κατά μήκος αυτής της εφαπτομένης, λαμβάνουμε την κατά προσέγγιση τιμή της λύσης στο σημείο:

Έχοντας μια κατά προσέγγιση λύση σε ένα σημείο, μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία που περιγράφηκε προηγουμένως: κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από αυτό το σημείο με κλίση και χρησιμοποιήστε την για να βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της λύσης στο σημείο

. Σημειώστε ότι αυτή η ευθεία γραμμή δεν εφάπτεται στην πραγματική ολοκληρωμένη καμπύλη, καθώς το σημείο δεν είναι διαθέσιμο σε εμάς, ωστόσο, εάν είναι αρκετά μικρό, τότε οι κατά προσέγγιση που θα προκύψουν θα είναι κοντά στις ακριβείς τιμές της λύσης.

Συνεχίζοντας αυτή την ιδέα, κατασκευάζουμε ένα σύστημα σημείων σε ίση απόσταση

Λήψη πίνακα τιμών της επιθυμητής συνάρτησης

σύμφωνα με τη μέθοδο Euler συνίσταται στην κυκλική εφαρμογή του τύπου

Εικόνα 1. Γραφική ερμηνεία της μεθόδου Euler

Οι μέθοδοι για την αριθμητική ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων, στις οποίες λαμβάνονται λύσεις από τον έναν κόμβο στον άλλο, ονομάζονται σταδιακά. Η μέθοδος Euler είναι ο απλούστερος εκπρόσωπος των μεθόδων βήμα προς βήμα. Ένα χαρακτηριστικό οποιασδήποτε μεθόδου βήμα προς βήμα είναι ότι, ξεκινώντας από το δεύτερο βήμα, η αρχική τιμή στον τύπο (5) είναι η ίδια κατά προσέγγιση, δηλαδή το σφάλμα σε κάθε επόμενο βήμα αυξάνεται συστηματικά. Η πιο χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την εκτίμηση της ακρίβειας των μεθόδων βήμα προς βήμα για την κατά προσέγγιση αριθμητική λύση των ODEs είναι η μέθοδος διπλής διέλευσης ενός δεδομένου τμήματος με ένα βήμα και με ένα βήμα.

1.1 Βελτιωμένη μέθοδος Euler

Η κύρια ιδέα αυτής της μεθόδου: η επόμενη τιμή που υπολογίζεται από τον τύπο (5) θα είναι πιο ακριβής εάν η τιμή της παραγώγου, δηλαδή η κλίση της ευθείας γραμμής που αντικαθιστά την ολοκληρωμένη καμπύλη στο τμήμα, δεν υπολογίζεται κατά μήκος της αριστερής άκρης (δηλαδή στο σημείο ), αλλά κατά μήκος του κέντρου του τμήματος . Επειδή όμως η τιμή της παραγώγου μεταξύ των σημείων δεν υπολογίζεται, τότε ας περάσουμε στα διπλά τμήματα του κέντρου, στα οποία βρίσκεται το σημείο, ενώ η εξίσωση της ευθείας παίρνει τη μορφή:

Και ο τύπος (5) παίρνει τη μορφή

Ο τύπος (7) εφαρμόζεται μόνο για, επομένως, η τιμή δεν μπορεί να ληφθεί από αυτόν, επομένως, βρίσκονται με τη μέθοδο Euler, ενώ για να λάβουν ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα, κάνουν το εξής: από την αρχή, χρησιμοποιώντας τον τύπο (5 ), βρείτε την τιμή

(8)

Στο σημείο και μετά βρίσκεται με τον τύπο (7) με ένα βήμα

(9)

Αφού βρεθούν περαιτέρω υπολογισμοί για παράγεται από τον τύπο (7)

Εργαστήριο 1

Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης

συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις (4 ώρες)

Κατά την επίλυση πολλών φυσικών και γεωμετρικών προβλημάτων, πρέπει κανείς να αναζητήσει μια άγνωστη συνάρτηση με μια δεδομένη σχέση μεταξύ της άγνωστης συνάρτησης, των παραγώγων της και των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αυτή η αναλογία ονομάζεται διαφορική εξίσωση , και καλείται η εύρεση μιας συνάρτησης που ικανοποιεί μια διαφορική εξίσωση λύση διαφορικής εξίσωσης.

Συνήθης διαφορική εξίσωση λέγεται ισότητα

, (1)

εν

είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή που αλλάζει σε κάποιο διάστημα και - άγνωστη λειτουργία y ( Χ ) και το πρώτο της nπαράγωγα. που ονομάζεται τη σειρά της εξίσωσης .

Το πρόβλημα είναι να βρεθεί μια συνάρτηση y που να ικανοποιεί την ισότητα (1). Επιπλέον, χωρίς να το διευκρινίσουμε αυτό ξεχωριστά, θα υποθέσουμε ότι η επιθυμητή λύση έχει έναν ορισμένο βαθμό ομαλότητας που είναι απαραίτητος για την κατασκευή και τη «νόμιμη» εφαρμογή μιας συγκεκριμένης μεθόδου.

Υπάρχουν δύο τύποι συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων

Εξισώσεις χωρίς αρχικές συνθήκες

Εξισώσεις με αρχικές συνθήκες.

Οι εξισώσεις χωρίς αρχικές συνθήκες είναι εξίσωση της μορφής (1).

Εξίσωση με αρχικές συνθήκεςείναι μια εξίσωση της μορφής (1) στην οποία απαιτείται να βρεθεί μια τέτοια συνάρτηση

, το οποίο για ορισμένους ικανοποιεί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

εκείνοι. στο σημείο

η συνάρτηση και οι πρώτες της παράγωγοι λαμβάνουν προκαθορισμένες τιμές.

Cauchy προβλήματα

Κατά τη μελέτη μεθόδων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με κατά προσέγγιση μεθόδους κύρια δραστηριότηταμετράει Πρόβλημα Cauchy.

Εξετάστε την πιο δημοφιλή μέθοδο για την επίλυση του προβλήματος Cauchy - τη μέθοδο Runge-Kutta. Αυτή η μέθοδος καθιστά δυνατή την κατασκευή τύπων για τον υπολογισμό μιας κατά προσέγγιση λύσης σχεδόν κάθε τάξης ακρίβειας.

Ας εξάγουμε τους τύπους της μεθόδου Runge-Kutta δεύτερης τάξης ακρίβειας. Για να γίνει αυτό, αντιπροσωπεύουμε τη λύση ως ένα κομμάτι της σειράς Taylor, απορρίπτοντας όρους με τάξη υψηλότερη από τη δεύτερη. Στη συνέχεια, η κατά προσέγγιση τιμή της επιθυμητής συνάρτησης στο σημείο Χ 1 μπορεί να γραφτεί ως:

(2)

δεύτερο παράγωγο y "( Χ 0 ) μπορεί να εκφραστεί με όρους παραγώγου της συνάρτησης φά ( Χ , y ) , ωστόσο, στη μέθοδο Runge-Kutta, αντί για την παράγωγο, χρησιμοποιείται η διαφορά

επιλέγοντας κατάλληλα τις τιμές των παραμέτρων

Τότε το (2) μπορεί να ξαναγραφτεί ως:

y 1 = y 0 + η [ β φά ( Χ 0 , y 0 ) + α φά ( Χ 0 + γh , y 0 + δh )], (3)

όπου α , β , γ και δ - κάποιες παραμέτρους.

Θεωρώντας τη δεξιά πλευρά του (3) ως συνάρτηση του επιχειρήματος η , ας το αναλύσουμε σε εξουσίες η :

y 1 = y 0 +( α + β ) η φά ( Χ 0 , y 0 ) + αχ 2 [ γ f x ( Χ 0 , y 0 ) + δ f y ( Χ 0 , y 0 )],

και επιλέξτε επιλογές α , β , γ και δ ώστε αυτή η επέκταση να είναι κοντά στο (2). Ως εκ τούτου προκύπτει ότι

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 φά ( Χ 0 , y 0 ).

Χρησιμοποιώντας αυτές τις εξισώσεις, εκφράζουμε β , γ και δ μέσω παραμέτρων α , παίρνουμε

y 1 = y 0 + η [(1 - α ) φά ( Χ 0 , y 0 ) + α φά ( Χ 0 +, y 0 + φά ( Χ 0 , y 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Τώρα αν αντί για ( Χ 0 , y 0 ) σε (4) αντικαθιστώ ( Χ 1 , y 1 ), παίρνουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό y 2 – κατά προσέγγιση τιμή της επιθυμητής συνάρτησης στο σημείο Χ 2 .

Στη γενική περίπτωση, η μέθοδος Runge-Kutta εφαρμόζεται σε μια αυθαίρετη κατάτμηση του τμήματος [ Χ 0 , Χ ] στο nμέρη, δηλ. με μεταβλητό βήμα

x 0 , x 1 , …, x n ; h i \u003d x i+1 - x i, x n \u003d X. (5)

Επιλογές α επιλέξτε ίσο με 1 ή 0,5. Ας γράψουμε τους τελικούς τύπους υπολογισμού της μεθόδου Runge-Kutta δεύτερης τάξης με ένα μεταβλητό βήμα για α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i, y i)), (6.1)

Εγώ = 0, 1,…, n -1.

και α =0,5:

yi+1 =yi + , (6.2)

Εγώ = 0, 1,…, n -1.

Οι πιο χρησιμοποιούμενοι τύποι της μεθόδου Runge-Kutta είναι τύποι τέταρτης τάξης ακρίβειας:

yi+1 =yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 \u003d f (x i, y i), k 2 \u003d f (x i + , y i + k1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i + h, y i + hk 3).

Για τη μέθοδο Runge-Kutta, ισχύει ο κανόνας Runge για την εκτίμηση σφαλμάτων. Αφήνω y ( Χ ; η ) είναι η κατά προσέγγιση τιμή της λύσης στο σημείο Χ , που λαμβάνεται με τους τύπους (6.1), (6.2) ή (7) με ένα βήμα η , ένα Π – σειρά ακρίβειας του αντίστοιχου τύπου. Μετά το λάθος R ( η ) αξίες y ( Χ ; η ) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την κατά προσέγγιση τιμή y ( Χ ; 2 η ) σημειακές λύσεις Χ , που λαμβάνεται με ένα βήμα 2 η :

(8)

όπου Π =2 για τους τύπους (6.1) και (6.2) και Π =4 για (7).

Για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της για ορισμένες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Εάν καθορίζονται πρόσθετες συνθήκες για μια τιμή του αγνώστου, π.χ. ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε ένα τέτοιο πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα Cauchy. Εάν οι αρχικές συνθήκες δίνονται σε δύο ή περισσότερες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα συνόρων. Κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων διαφόρων τύπων, η συνάρτηση της οποίας οι τιμές θέλετε να προσδιορίσετε υπολογίζεται με τη μορφή πίνακα.

Ταξινόμηση αριθμητικών μεθόδων επίλυσης διαφ. Lv. τύπους.

Το πρόβλημα Cauchy είναι ένα βήμα: μέθοδοι Euler, μέθοδοι Runge-Kutta. – πολλαπλών βημάτων: Κύρια μέθοδος, μέθοδος Adams. Ένα πρόβλημα οριακής τιμής είναι μια μέθοδος αναγωγής ενός προβλήματος οριακής τιμής στο πρόβλημα Cauchy. – μέθοδος πεπερασμένων διαφορών.

Κατά την επίλυση του προβλήματος Cauchy, difr. ur. σειρά n ή σύστημα difr. ur. πρώτης τάξης από n εξισώσεις και n πρόσθετες συνθήκες για τη λύση του. Πρέπει να καθοριστούν πρόσθετες συνθήκες για την ίδια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής. Κατά την επίλυση ενός οριακού προβλήματος, εξ. n-η τάξη ή ένα σύστημα n εξισώσεων και n πρόσθετων συνθηκών για δύο ή περισσότερες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Κατά την επίλυση του προβλήματος Cauchy, η επιθυμητή συνάρτηση προσδιορίζεται διακριτά με τη μορφή πίνακα με κάποιο δεδομένο βήμα . Κατά τον προσδιορισμό κάθε επόμενης τιμής, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε πληροφορίες για ένα προηγούμενο σημείο. Σε αυτήν την περίπτωση, οι μέθοδοι ονομάζονται μέθοδοι ενός βήματος ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε πληροφορίες για πολλά προηγούμενα σημεία - μέθοδοι πολλαπλών βημάτων.

Συνηθισμένο διαφορικό ur. Πρόβλημα Cauchy. Μέθοδοι ενός βήματος. Μέθοδος Euler.

Δίνονται: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Γνωστά: f(x,y), x 0 , y 0 . Να προσδιορίσετε τη διακριτή λύση: x i , y i , i=0,1,…,n. Η μέθοδος Euler βασίζεται στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor γύρω από το σημείο x 0 . Η γειτονιά περιγράφεται με το βήμα h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Η μέθοδος Euler λαμβάνει υπόψη μόνο δύο όρους της σειράς Taylor. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία. Ο τύπος του Euler θα έχει τη μορφή: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 = x i +h

Ο τύπος (2) είναι ο τύπος της απλής μεθόδου Euler.

Γεωμετρική ερμηνεία του τύπου του Euler

Για να ληφθεί μια αριθμητική λύση, το f-la της εφαπτομένης που διέρχεται από την Εξ. εφαπτομένη: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1 ,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0), επειδή

x-x 0 \u003d h, μετά y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £.

Τροποποιημένη μέθοδος Euler

Δίνονται: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Γνωστά: f(x,y), x 0 , y 0 . Να προσδιορίσετε: την εξάρτηση του y από το x με τη μορφή πινακοποιημένης διακριτής συνάρτησης: x i , y i , i=0,1,…,n.

Γεωμετρική ερμηνεία

1) Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης στο σημείο εκκίνησης

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Υπολογίστε την τιμή  y n+1 on

στο τέλος του βήματος σύμφωνα με τον τύπο Euler

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) Υπολογίστε την εφαπτομένη της κλίσης

εφαπτομένη σε n+1 σημεία: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο των γωνιών

κλίση: tg £=½. 5) Χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης, υπολογίζουμε εκ νέου την τιμή της συνάρτησης σε n+1 σημεία: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h είναι ο τύπος της τροποποιημένης μεθόδου Euler . Μπορεί να φανεί ότι η προκύπτουσα f-la αντιστοιχεί στην επέκταση της f-ii σε μια σειρά Taylor, συμπεριλαμβανομένων όρων (μέχρι h 2). Η τροποποιημένη μέθοδος Eilnr, σε αντίθεση με την απλή, είναι μέθοδος δεύτερης τάξης ακρίβειας, αφού το σφάλμα είναι ανάλογο του h 2 .

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ονομάζονται τέτοιες εξισώσεις που περιέχουν μία ή περισσότερες παραγώγους της επιθυμητής συνάρτησης y=y (x). Μπορούν να γραφτούν στη φόρμα

Όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Η υψηλότερη τάξη n της παραγώγου στην εξίσωση ονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης.

Οι μέθοδοι επίλυσης συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων μπορούν να χωριστούν στις ακόλουθες ομάδες: γραφικές, αναλυτικές, κατά προσέγγιση και αριθμητικές.

Οι γραφικές μέθοδοι χρησιμοποιούν γεωμετρικές κατασκευές.

Οι αναλυτικές μέθοδοι βρίσκονται στην πορεία των διαφορικών εξισώσεων. Για εξισώσεις πρώτης τάξης (με χωριστές μεταβλητές, ομοιογενείς, γραμμικές κ.λπ.), καθώς και για ορισμένους τύπους εξισώσεων υψηλότερης τάξης (για παράδειγμα, γραμμικές με σταθερούς συντελεστές), είναι δυνατό να ληφθούν λύσεις με τη μορφή τύπων με αναλυτικούς μετασχηματισμούς.

Οι κατά προσέγγιση μέθοδοι χρησιμοποιούν διάφορες απλοποιήσεις των ίδιων των εξισώσεων με την εύλογη απόρριψη ορισμένων από τους όρους που περιέχονται σε αυτές, καθώς και με μια ειδική επιλογή κλάσεων των επιθυμητών συναρτήσεων.

Οι αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων είναι επί του παρόντος το κύριο εργαλείο στη μελέτη επιστημονικών και τεχνικών προβλημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις. Παράλληλα, θα πρέπει να τονιστεί ότι οι μέθοδοι αυτές είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικές σε συνδυασμό με τη χρήση σύγχρονων υπολογιστών.

Η απλούστερη αριθμητική μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος Cauchy για ODE είναι η μέθοδος Euler. Θεωρήστε την εξίσωση κοντά στους κόμβους (i=1,2,3,…) και αντικαταστήστε την παράγωγο στην αριστερή πλευρά με τη δεξιά διαφορά. Σε αυτήν την περίπτωση, οι τιμές της συνάρτησης στους κόμβους θα αντικατασταθούν από τις τιμές της συνάρτησης πλέγματος:

Η ληφθείσα προσέγγιση του DE είναι πρώτης τάξης, καθώς επιτρέπεται σφάλμα κατά την αντικατάσταση με .

Σημειώστε ότι προκύπτει από την εξίσωση

Επομένως, είναι μια κατά προσέγγιση εύρεση της τιμής της συνάρτησης σε ένα σημείο χρησιμοποιώντας την επέκταση σε μια σειρά Taylor με την απόρριψη όρων της δεύτερης και ανώτερης τάξης. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας συνάρτησης θεωρείται ίση με το διαφορικό της.

Υποθέτοντας i=0, χρησιμοποιώντας τη σχέση βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης πλέγματος στο:

Η τιμή που απαιτείται εδώ δίνεται από την αρχική συνθήκη, δηλ.

Ομοίως, οι τιμές της συνάρτησης πλέγματος σε άλλους κόμβους μπορούν να βρεθούν:

Ο κατασκευασμένος αλγόριθμος ονομάζεται μέθοδος Euler

Εικόνα - 19 Μέθοδος Euler

Η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Euler δίνεται στο σχήμα. Εμφανίζονται τα δύο πρώτα βήματα, δηλ. απεικονίζεται ο υπολογισμός της συνάρτησης πλέγματος σε σημεία. Οι ολοκληρωτικές καμπύλες 0,1,2 περιγράφουν τις ακριβείς λύσεις της εξίσωσης. Στην περίπτωση αυτή, η καμπύλη 0 αντιστοιχεί στην ακριβή λύση του προβλήματος Cauchy, αφού διέρχεται από το σημείο εκκίνησης Α (x 0, y 0). Τα σημεία B,C λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της αριθμητικής επίλυσης του προβλήματος Cauchy με τη μέθοδο Euler. Οι αποκλίσεις τους από την καμπύλη 0 χαρακτηρίζουν το σφάλμα της μεθόδου. Όταν εκτελούμε κάθε βήμα, φτάνουμε στην πραγματικότητα σε μια άλλη ολοκληρωμένη καμπύλη. Το τμήμα ΑΒ είναι ένα τμήμα της εφαπτομένης στην καμπύλη 0 στο σημείο Α, η κλίση του χαρακτηρίζεται από την τιμή της παραγώγου. Το σφάλμα εμφανίζεται επειδή η αύξηση της τιμής της συνάρτησης κατά τη μετάβαση από x 0 σε x 1 αντικαθίσταται από μια αύξηση στην τεταγμένη της εφαπτομένης στην καμπύλη 0 στο σημείο Α. Η εφαπτομένη BC έχει ήδη σχεδιαστεί σε μια άλλη ολοκληρωτική καμπύλη 1 Έτσι, το σφάλμα της μεθόδου Euler οδηγεί στο γεγονός ότι σε κάθε βήμα, η κατά προσέγγιση λύση περνά σε μια άλλη ολοκληρωμένη καμπύλη.

Ορισμός της διαφορικής εξίσωσης Euler. Εξετάζονται οι μέθοδοι επίλυσής του.

Περιεχόμενο

Η διαφορική εξίσωση Euler είναι μια εξίσωση της μορφής
ένα 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ ένα n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Σε μια γενικότερη μορφή, η εξίσωση Euler έχει τη μορφή:
.
Αυτή η εξίσωση ανάγεται σε απλούστερη μορφή αντικαθιστώντας t = ax + b, που θα εξετάσουμε.

Αναγωγή της διαφορικής εξίσωσης Euler σε εξίσωση με σταθερούς συντελεστές.

Εξετάστε την εξίσωση Euler:
(1) .
Ανάγεται σε γραμμική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές με αντικατάσταση:
x = e t .
Πράγματι, λοιπόν
;
;
;

;
;
..........................

Έτσι, οι παράγοντες που περιέχουν x m ακυρώνονται. Υπάρχουν όροι με σταθερούς συντελεστές. Ωστόσο, στην πράξη, για την επίλυση των εξισώσεων Euler, είναι δυνατή η εφαρμογή μεθόδων επίλυσης γραμμικής ΔΕ με σταθερούς συντελεστές χωρίς τη χρήση της παραπάνω αντικατάστασης.

Λύση της ομοιογενούς εξίσωσης Euler

Εξετάστε την ομοιογενή εξίσωση Euler:
(2) .
Αναζητούμε λύση της εξίσωσης (2) στη μορφή
.
;
;
........................
.
Αντικαταστήστε στο (2) και μειώστε κατά x k . Παίρνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:
.
Το λύνουμε και παίρνουμε n ρίζες, που μπορεί να είναι σύνθετες.

Σκεφτείτε τις πραγματικές ρίζες. Έστω k i πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας m . Αυτές οι m ρίζες αντιστοιχούν σε m γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
.

Εξετάστε σύνθετες ρίζες. Εμφανίζονται σε ζευγάρια μαζί με σύνθετα συζυγή. Έστω k i πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας m . Εκφράζουμε τη μιγαδική ρίζα k i ως προς το πραγματικό και το φανταστικό μέρος:
.
Αυτές οι ρίζες m και m μιγαδικές συζυγείς ρίζες αντιστοιχούν σε 2 μγραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
;
;
..............................
.

Αφού ληφθούν n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, παίρνουμε τη γενική λύση της εξίσωσης (2):
(3) .

Παραδείγματα

Επίλυση εξισώσεων:


Λύση παραδειγμάτων > > >

Λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης Euler

Εξετάστε την ανομοιογενή εξίσωση Euler:
.
Η μέθοδος μεταβολής των σταθερών (μέθοδος Lagrange) εφαρμόζεται και στις εξισώσεις Euler.

Αρχικά, λύνουμε την ομογενή εξίσωση (2) και παίρνουμε τη γενική της λύση (3). Στη συνέχεια θεωρούμε τις σταθερές ως συναρτήσεις της μεταβλητής x . Διαφοροποίηση (3) n - 1 μια φορά. Λαμβάνουμε εκφράσεις για n - 1 παράγωγα του y ως προς το x. Με κάθε διαφοροποίηση, οι όροι που περιέχουν παράγωγα εξισώνονται με μηδέν. Έτσι παίρνουμε n - 1 εξισώσεις που σχετίζονται με παράγωγα. Στη συνέχεια, βρίσκουμε την nη παράγωγο του y . Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες παραγώγους σε (1) και παίρνουμε την nη εξίσωση που σχετίζεται με τις παραγώγους . Από αυτές τις εξισώσεις προσδιορίζουμε . Μετά από αυτό, ολοκληρώνοντας, παίρνουμε τη γενική λύση της εξίσωσης (1).

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση:

Λύση > > >

Ανομοιογενής εξίσωση Euler με ειδικό ανομοιογενές τμήμα

Εάν το ανομοιογενές τμήμα έχει μια ορισμένη μορφή, τότε είναι ευκολότερο να ληφθεί μια γενική λύση βρίσκοντας μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση. Αυτή η τάξη περιλαμβάνει εξισώσεις της μορφής:
(4)
,
όπου είναι τα πολυώνυμα σε μοίρες και , αντίστοιχα.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι ευκολότερο να γίνει αντικατάσταση
,
και αποφασίστε