Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

Το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο δίνεται από δύο αμοιβαία κάθετες ευθείες. Οι ευθείες γραμμές ονομάζονται άξονες συντεταγμένων (ή άξονες συντεταγμένων). Το σημείο τομής αυτών των ευθειών ονομάζεται αρχή και συμβολίζεται με το γράμμα Ο.

Συνήθως η μία από τις γραμμές είναι οριζόντια, η άλλη είναι κάθετη. Η οριζόντια γραμμή ορίζεται ως άξονας x (ή Ox) και ονομάζεται άξονας της τετμημένης, η κάθετη είναι ο άξονας y (Oy), ονομάζεται άξονας τεταγμένων. Ολόκληρο το σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται με xOy.

Το σημείο Ο χωρίζει κάθε έναν από τους άξονες σε δύο ημιάξονες, ο ένας από τους οποίους θεωρείται θετικός (σημειώνεται με βέλος), ο άλλος θεωρείται αρνητικός.

Σε κάθε σημείο F του επιπέδου εκχωρείται ένα ζεύγος αριθμών (x;y) — οι συντεταγμένες του.

Η συντεταγμένη x ονομάζεται τετμημένη. Είναι ίσο με το Ox που λαμβάνεται με το κατάλληλο πρόσημο.

Η συντεταγμένη y ονομάζεται τεταγμένη και ισούται με την απόσταση από το σημείο F έως τον άξονα Oy (με το αντίστοιχο πρόσημο).

Οι αποστάσεις των αξόνων συνήθως (αλλά όχι πάντα) μετρώνται στην ίδια μονάδα μήκους.

Τα σημεία στα δεξιά του άξονα y έχουν θετικά τετμημένα. Για σημεία που βρίσκονται στα αριστερά του άξονα y, τα τετμημένα είναι αρνητικά. Για κάθε σημείο που βρίσκεται στον άξονα Oy, η συντεταγμένη x του είναι ίση με μηδέν.

Τα σημεία με θετική τεταγμένη βρίσκονται πάνω από τον άξονα x, αυτά με αρνητική τεταγμένη βρίσκονται κάτω. Εάν ένα σημείο βρίσκεται στον άξονα x, η συντεταγμένη y του είναι μηδέν.

Οι άξονες συντεταγμένων χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα μέρη, τα οποία ονομάζονται τέταρτα συντεταγμένων (ή γωνίες συντεταγμένων ή τεταρτημόρια).

1 συντεταγμένη τέταρτοπου βρίσκεται στην επάνω δεξιά γωνία του επιπέδου συντεταγμένων xOy. Και οι δύο συντεταγμένες των σημείων που βρίσκονται στο τέταρτο Ι είναι θετικές.

Η μετάβαση από το ένα τέταρτο στο άλλο πραγματοποιείται αριστερόστροφα.

2ο τρίμηνοβρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία. Οι πόντοι που βρίσκονται στο δεύτερο τρίμηνο έχουν αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη.

3ο τέταρτοβρίσκεται στο κάτω αριστερό τεταρτημόριο του επιπέδου xOy. Και οι δύο συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στη γωνία συντεταγμένων III είναι αρνητικές.

4ο τρίμηνο συντεταγμένωνείναι η κάτω δεξιά γωνία του επιπέδου συντεταγμένων. Οποιοδήποτε σημείο από το τέταρτο τρίμηνο έχει θετική πρώτη συντεταγμένη και αρνητική δεύτερη.

Ένα παράδειγμα της θέσης των σημείων σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

1. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο σχηματίζεται από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων Χ"Χκαι Υ"Υ Ο, που ονομάζεται αρχή, κάθε άξονας έχει θετική κατεύθυνση. ΣΤΟ δεξί χέρισύστημα συντεταγμένων, η θετική φορά των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε με την κατεύθυνση του άξονα Υ"Υεπάνω, άξονας Χ"Χκοίταξε προς τα δεξιά.

Τέσσερις γωνίες (I, II, III, IV) που σχηματίζονται από τους άξονες συντεταγμένων Χ"Χκαι Υ"Υ, ονομάζονται γωνίες συντεταγμένων ή τεταρτημόρια (βλ. Εικ. 1).

Θέση σημείου ΕΝΑστο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες Χκαι y. Συντεταγμένη Χίσο με το μήκος του τμήματος OB, συντονίζω y- μήκος τμήματος OCστις επιλεγμένες μονάδες μέτρησης . Τμήματα OBκαι OCορίζεται από γραμμές που τραβήχτηκαν από ένα σημείο ΕΝΑπαράλληλα με τους άξονες Υ"Υκαι Χ"Χαντίστοιχα. Συντεταγμένη Χπου ονομάζεται τετμημένησημεία ΕΝΑ, συντονίζω y - τεταγμένησημεία ΕΝΑ. Γράφτηκε ως εξής: Α Χ, y)

Αν σημείο ΕΝΑβρίσκεται στη γωνία συντεταγμένων I και μετά το σημείο ΕΝΑέχει θετική τετμημένη και τεταγμένη. Αν σημείο ΕΝΑβρίσκεται στη γωνία συντεταγμένων II και μετά το σημείο ΕΝΑέχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη. Αν σημείο ΕΝΑβρίσκεται στη γωνία συντεταγμένων III και μετά το σημείο ΕΝΑέχει αρνητική τετμημένη και τεταγμένη. Αν σημείο ΕΝΑβρίσκεται στη γωνία συντεταγμένων IV και μετά το σημείο ΕΝΑέχει θετική τετμημένη και αρνητική τεταγμένη.

2. Πολικές συντεταγμένες.

Ένα πολικό πλέγμα με πολλές γωνίες σημειωμένες σε μοίρες.

Πολικό σύστημα συντεταγμένων- ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο κάθε σημείο του επιπέδου καθορίζεται από δύο αριθμούς - μια γωνία και μια απόσταση. Το σύστημα πολικών συντεταγμένων είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν οι σχέσεις μεταξύ σημείων είναι ευκολότερο να αναπαρασταθούν ως αποστάσεις και γωνίες. Στο πιο κοινό καρτεσιανό ή καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τέτοιες σχέσεις μπορούν να καθοριστούν μόνο με την εφαρμογή τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Το σύστημα πολικών συντεταγμένων δίνεται από μια ακτίνα, η οποία ονομάζεται μηδενικός ή πολικός άξονας. Το σημείο από το οποίο αναδύεται αυτή η ακτίνα ονομάζεται αρχή ή πόλος. Οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο ορίζεται από δύο πολικές συντεταγμένες: ακτινική και γωνιακή. Ακτινική συντεταγμένη (συνήθως συμβολίζεται r) αντιστοιχεί στην απόσταση από το σημείο στην αρχή. Η γωνιακή συντεταγμένη, που ονομάζεται επίσης πολική γωνία ή αζιμούθιο και συμβολίζεται με φ, είναι ίση με τη γωνία κατά την οποία ο πολικός άξονας πρέπει να περιστραφεί αριστερόστροφα για να φτάσει σε αυτό το σημείο.

Η ακτινική συντεταγμένη που προσδιορίζεται με αυτόν τον τρόπο μπορεί να πάρει τιμές από το μηδέν έως το άπειρο και η γωνιακή συντεταγμένη κυμαίνεται από 0° έως 360°. Ωστόσο, για λόγους ευκολίας, το εύρος τιμών της πολικής συντεταγμένης μπορεί να επεκταθεί πέρα ​​από την πλήρη γωνία και επίσης να επιτραπεί να λάβει αρνητικές τιμές, που αντιστοιχεί στην περιστροφή του πολικού άξονα δεξιόστροφα.

3. Διαίρεση τμημάτων από αυτή την άποψη.

Απαιτείται η διαίρεση του τμήματος ΑΒ που συνδέει τα σημεία A(x1;y1) και B(x2;y2) σε δεδομένη αναλογία λ > 0, δηλαδή.jpg" align="left" width="84 height=84" ύψος =" 84">

Λύση: Ας εισάγουμε διανύσματα https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src="> δηλ. και δηλ.

Η εξίσωση (9.1) παίρνει τη μορφή

Δεδομένου ότι ίσα διανύσματαέχουν ίσες συντεταγμένες, παίρνουμε:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) και

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Οι τύποι (9.2) και (9.3) καλούνται τύπους διαίρεσης τμήματος από αυτή την άποψη. Συγκεκριμένα, για λ = 1, δηλ.gif" width="54" height="29 src=">. Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο M(x;y) είναι το μέσο του τμήματοςΑΒ.

Σχόλιο:

Αν λ = 0, τότε αυτό σημαίνει ότι τα σημεία Α και Μ συμπίπτουν αν λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. Απόσταση μεταξύ σημείων.

Απαιτείται να βρεθεί η απόσταση d μεταξύ των σημείων A(x1;y1) και B(x2;y2) του επιπέδου.

Λύση: Η επιθυμητή απόσταση d ισούται με το μήκος του διανύσματος, δηλ.

5. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Εάν δύο αυθαίρετα σημεία M1(x1, y1, z1) και M2(x2, y2, z2) σημειώνονται σε ευθεία γραμμή στο χώρο, τότε οι συντεταγμένες αυτών των σημείων πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας που λήφθηκε παραπάνω:

.

Επιπλέον, για το σημείο Μ1 μπορούμε να γράψουμε:

.

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί, παίρνουμε:

.

Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία του χώρου.

6. Ορίζουσες 2ης τάξης.

Η τιμή της ορίζουσας 2ης τάξης υπολογίζεται εύκολα εξ ορισμού χρησιμοποιώντας έναν τύπο.

7. Ορίζουσες 3ης τάξης.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> σχήμα για τον υπολογισμό της ορίζουσας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγώνου, π.χ.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Επίλυση SLEE με τη μέθοδο του Cramer.

Θεώρημα Cramer: Ένα σύστημα N εξισώσεων με N αγνώστους, του οποίου η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, έχει πάντα λύση, επιπλέον, είναι μοναδική. Βρίσκεται ως εξής: η τιμή καθενός από τους αγνώστους είναι ίση με ένα κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου είναι η ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής προκύπτει από την ορίζουσα του συστήματος με την αντικατάσταση της στήλης των συντελεστών στο οι άγνωστοι με τη στήλη των απαιτούμενων όρων.

Αυτό το σύστημα εξισώσεων θα έχει μοναδική λύση μόνο όταν η ορίζουσα που αποτελείται από τους συντελεστές στο X1 - n δεν είναι ίση με μηδέν. Ας υποδηλώσουμε αυτή την ορίζουσα με το πρόσημο - Δ. Αν αυτή η ορίζουσα δεν είναι ίση με μηδέν, τότε αποφασίζουμε περαιτέρω. Στη συνέχεια, κάθε Xi = Δi / Δ, όπου Δi είναι η ορίζουσα που αποτελείται από τους συντελεστές στο X1 - n, μόνο οι τιμές των συντελεστών στην i -η στήλη αντικαθίστανται από τιμές πίσω από το πρόσημο ίσου στο σύστημα εξισώσεις, και το Δ είναι η κύρια ορίζουσα

Σύστημα Νης τάξης https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Επίλυση ΣΕΛ με μέθοδο μήτρας.

Οι πίνακες καθιστούν δυνατή τη σύντομη εγγραφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Έστω ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> και στήλες μήτρας αγνώστων και ελεύθερων μελών

Ας βρούμε το προϊόν

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> ή μικρότερη ΕΝΑ∙X=B.

Εδώ μήτρες ΕΝΑκαι σιείναι γνωστά, και η μήτρα Χάγνωστος. Πρέπει να βρεθεί, αφού τα στοιχεία του είναι η λύση αυτού του συστήματος. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση μήτρας.

Έστω η ορίζουσα μήτρας διαφορετική από το μηδέν | ΕΝΑ| ≠ 0. Τότε η εξίσωση του πίνακα λύνεται ως εξής. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στα αριστερά με τον πίνακα Α'1, το αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Να λύσετε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων με μήτρα:

Προσοχή: Τα μηδενικά εμφανίζονται εάν δεν υπάρχει καμία μεταβλητή, δηλαδή, για παράδειγμα, εάν δεν δίνεται X3 στη συνθήκη, τότε αυτόματα ισούται με μηδέν. Το ίδιο με το Χ1 και το Χ2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Απάντηση:

# α) Δεδομένα:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Απάντηση:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Ας βρούμε τον αντίστροφο πίνακα.

Αφαιρέστε την 1η σειρά από όλες τις σειρές κάτω από αυτήν. Αυτή η ενέργεια δεν έρχεται σε αντίθεση με μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Αφαιρέστε την 3η σειρά από όλες τις σειρές πάνω από αυτήν. Αυτή η ενέργεια δεν έρχεται σε αντίθεση με μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Φέρνουμε όλους τους συντελεστές στην κύρια διαγώνιο του πίνακα στο 1. Διαιρούμε κάθε σειρά του πίνακα με τον συντελεστή αυτής της σειράς που βρίσκεται στην κύρια διαγώνιο, εάν δεν είναι ίσος με 1. Ο τετράγωνος πίνακας, ο οποίος αποδείχθηκε δεξιά του πίνακα μονάδων, είναι το αντίστροφο του κύριου.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Διανύσματα. Προσθήκη διανυσμάτων.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Διάνυσμα ονομάζουν μια ποσότητα που χαρακτηρίζεται από μια αριθμητική τιμή, μια κατεύθυνση στο χώρο και αναπτύσσεται με μια άλλη, παρόμοια γεωμετρικά τιμή.

Γραφικά, τα διανύσματα απεικονίζονται ως κατευθυνόμενα ευθύγραμμα τμήματα συγκεκριμένου μήκους, όπως https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> ή DIV_ADBLOCK254">

Προσθήκη διανύσματος:Το άθροισμα των διανυσμάτων a(a1; a2) και b(b1; b2) είναι το διάνυσμα c(a1+b1; a2+b2). Για οποιαδήποτε διανύσματα a(a1; a2), b(b1; b2), c(c1; c2) οι ισότητες είναι αληθείς:

Θεώρημα: Όποια και αν είναι τα τρία σημεία Α, Β και Γ, ισχύει η διανυσματική ισότητα

Όταν προστεθεί δύοοι φορείς χρησιμοποιούν συχνά το λεγόμενο " κανόνας παραλληλογράμμου". Στην περίπτωση αυτή, ένα παραλληλόγραμμο κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας τους όρους των διανυσμάτων ως γειτονικές πλευρές του. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου, σχεδιασμένη από το σημείο όπου συνδέονται οι αρχές των διανυσμάτων, είναι το επιθυμητό άθροισμα (Εικ. 4, αριστερά).

Είναι εύκολο να δούμε (Εικ. 4, δεξιά) ότι αυτός ο κανόνας οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με την παραπάνω μέθοδο. Όταν προσθέτετε περισσότερα από δύο διανύσματα " κανόνας παραλληλογράμμου» πρακτικά δεν χρησιμοποιείται λόγω των δυσκίνητων κατασκευών. Η προσθήκη διανυσμάτων είναι μεταθετική, δηλαδή,
ένα + σι = σι + ένα.

Και όμως, το άθροισμα ενός συγκεκριμένου αριθμού διανυσμάτων δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία προστίθενται, δηλαδή, ένα + σι) + ρε = ένα + (σι + ρε). Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η προσθήκη διανυσμάτων είναι συνειρμική, δηλαδή ισχύει ο συνειρμικός νόμος γι' αυτήν.

12. Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων είναι μια πράξη σε δύο διανύσματα που καταλήγει σε έναν αριθμό (όχι ένα διάνυσμα).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Με άλλα λόγια, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας. Πρέπει να σημειωθεί ότι η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι η γωνία που σχηματίζουν εάν αναβληθούν από ένα σημείο, δηλαδή οι αρχές των διανυσμάτων πρέπει να συμπίπτουν.

Οι ακόλουθες απλές ιδιότητες προκύπτουν απευθείας από τον ορισμό:

1. Το κλιμακωτό γινόμενο ενός αυθαίρετου διανύσματος α και του εαυτού του (βαθμωτό τετράγωνο του διανύσματος α) είναι πάντα μη αρνητικό και ισούται με το τετράγωνο του μήκους αυτού του διανύσματος. Επιπλέον, το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν το δεδομένο διάνυσμα είναι μηδέν.

2. Το κλιμακωτό γινόμενο οποιωνδήποτε κάθετων διανυσμάτων a και b είναι ίσο με μηδέν.

3. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν είναι κάθετα ή τουλάχιστον ένα από αυτά είναι μηδέν.

4. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b είναι θετικό αν και μόνο αν υπάρχει οξεία γωνία μεταξύ τους.

5. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b είναι αρνητικό αν και μόνο αν υπάρχει αμβλεία γωνία μεταξύ τους.

Ένας εναλλακτικός ορισμός του κλιμακωτού γινομένου ή ο υπολογισμός του κλιμακωτού γινομένου δύο διανυσμάτων που δίνονται από τις συντεταγμένες τους.

(Είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος λαμβάνοντας υπόψη τις συντεταγμένες έναρξης και τέλους του.:

Έστω ένα διάνυσμα ΑΒ, Α - η αρχή του διανύσματος, Β - το τέλος και οι συντεταγμένες αυτών των σημείων

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος ΑΒ:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Ομοίως στον δισδιάστατο χώρο - απλά δεν υπάρχουν τρίτες συντεταγμένες)

Έστω λοιπόν δύο διανύσματα που δίνονται από ένα σύνολο συντεταγμένων τους:

α) Σε δισδιάστατο χώρο (σε επίπεδο)..gif" width="49" height="19 src=">

Στη συνέχεια, το κλιμακωτό γινόμενο τους μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

β) Σε τρισδιάστατο χώρο: ;

Παρόμοια με τη δισδιάστατη περίπτωση, το κλιμακωτό γινόμενο τους υπολογίζεται με τον τύπο:

DIV_ADBLOCK257">

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε δύο διανύσματα: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

Και πρέπει να βρούμε τη γωνία μεταξύ τους. Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες τους, βρίσκουμε τα μήκη τους και, στη συνέχεια, απλώς εξισώνουμε τους δύο τύπους για το γινόμενο κουκίδων. Έτσι, παίρνουμε το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας.

Διάνυσμα μήκος έναυπολογίζεται ως η ρίζα του βαθμωτού τετραγώνου του διανύσματος ένα, το οποίο θα υπολογίσουμε με τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων που δίνεται από συντεταγμένες:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Που σημαίνει, ,

Βρίσκεται η επιθυμητή γωνία.

13. Διανυσματικό προϊόν.

http://www. dpva. πληροφορίες/Οδηγός/Οδηγός Μαθηματικά/γραμμική Άλγεβρα/ΔιανυσματικάΔιανύσματαΠολλαπλασιασμός/

Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α και βείναι μια πράξη πάνω τους, που ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατο χώρο, το αποτέλεσμα της οποίας είναι διάνυσμαμε τις ακόλουθες ιδιότητες:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, όπου ένακαι σι.

3) Το διάνυσμα κατευθύνεται με τέτοιο τρόπο ώστε αν φέρετε το διάνυσμα https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> πριν το διάνυσμα θα είναι αριστερόστροφα.

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, δίνουμε ένα παράδειγμα - στο σχήμα στα δεξιά, το διάνυσμα είναι το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b. Όπως αναφέρθηκε στον ορισμό, φέραμε και τα τρία διανύσματα σε μια κοινή αρχή και, στη συνέχεια, αν κοιτάξετε τα διανύσματα a και b από το τέλος του διανύσματος , η συντομότερη στροφή από το διάνυσμα a στο διάνυσμα b θα είναι αριστερόστροφα.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Επίσης, απευθείας από τον ορισμό προκύπτει ότι για οποιονδήποτε βαθμωτό παράγοντα k (αριθμός) ισχύει το εξής:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Εύρεση ορίζουσας πίνακα 3ης τάξης με τον κανόνα ενός τριγώνου

DIV_ADBLOCK261">

Σε κάθε στοιχείο του τετραγώνου Πίνακα (του οποίου η σειρά είναι μεγαλύτερη ή ίση με τρία) μπορεί να εκχωρηθεί δύο αριθμοί, που ονομάζονται ΜΙΝΟΡ ή ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ. Η ελάσσονα του στοιχείου Aij του τετραγώνου Πίνακα Α (οποιασδήποτε σειράς) είναι ο ΟΡΙΣΤΙΚΟΣ Πίνακας, που λαμβάνεται από τον Πίνακα Α διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη στη τομή των οποίων βρίσκεται το στοιχείο Aij. Σημάδι M - Μικρή ονομασία.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ανήλικος

Αλγεβρικό Συμπλήρωμα

Έστω A \u003d κάποιος Πίνακας της τάξης III, τότε η ορίζουσα του πίνακα A είναι ίση με:

Σημείωση: Η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί πάνω από τα στοιχεία όποιοςχορδές ή όποιοςστήλες αυτού του Matrix.

# Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα με τα στοιχεία της πρώτης σειράς και της πρώτης στήλης:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 ορίζουσα μήτρας nth τάξης

Έστω A ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n. Στη συνέχεια, ο προσδιοριστής του πίνακα της νης τάξης θα μοιάζει με αυτό:

Επέκταση των στοιχείων 1 γραμμής για να βρείτε τα στοιχεία του πίνακα Α

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- ένας

6. ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ

1. Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει εάν οι σειρές της εναλλάσσονται με τις αντίστοιχες στήλες (μεταφορά)

2. Κατά τη μετάθεση δύο σειρών ή στηλών, ο Ορισμός θα αλλάξει το πρόσημά του στο αντίθετο.

3. Ο κοινός παράγοντας όλων των στοιχείων μιας σειράς (στήλης) μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της ορίζουσας

4. Μια ορίζουσα με δύο ίδιες γραμμές ή στήλες είναι πάντα μηδέν.

5. Αν τα στοιχεία δύο σειρών (στήλων) της ορίζουσας είναι ανάλογα, τότε η ορίζουσα ισούται με μηδέν.

6. Αν σε κάποια γραμμή ή στήλη της ορίζουσας, αντίστοιχα, προστεθούν τα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης πολλαπλασιασμένα με τον ίδιο αριθμό, τότε η ορίζουσα δεν θα αλλάξει την τιμή της.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> κ.λπ.

τριγωνική ορίζουσα- αυτή είναι η ορίζουσα για την οποία όλα τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω (ή κάτω) από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά, ίσα με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγώνιου.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Εάν υπάρχει η αντίστροφη μήτρα Α, τότε η μήτρα ονομάζεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.Η εύρεση ενός τετραγωνικού πίνακα έχει μεγάλη σημασία για την επίλυση συστημικών γραμμικών εξισώσεων.

17. Αντίστροφος πίνακας.

http://www. mathelp. *****/βιβλίο1/μήτρα. htm

1. Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα Α

2. Βρείτε το αλγεβρικό συμπλήρωμα όλων των στοιχείων του πίνακα A (Aij) και γράψτε έναν νέο πίνακα

3. Μεταφέρετε το νέο Matrix

4. Πολλαπλασιάστε τον μεταφερόμενο πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας. (Για παράδειγμα: στον αριθμό 6, η αντίστροφη ορίζουσα θα είναι ο αριθμός)

Σημειώστε Δ =det A. Για να έχει αντίστροφο το τετράγωνο Πίνακας Α, είναι απαραίτητο και αρκετό ο Πίνακας να μην είναι εκφυλισμένος (εκτός από το μηδέν). Το αντίστροφο του πίνακα A συμβολίζεται με A-1, οπότε B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src= " > - κανονικοποιητικός παράγοντας του επιπέδου, το πρόσημο του οποίου επιλέγεται απέναντι από το πρόσημο ρε, εάν αυθαίρετο, εάν D=0.

21. Καμπύλες 2η (κυκλική εξίσωση).

Ορισμός 11.1.Καμπύλες δεύτερης τάξηςσε ένα επίπεδο ονομάζονται οι γραμμές τομής ενός κυκλικού κώνου με επίπεδα που δεν διέρχονται από την κορυφή του.

Εάν ένα τέτοιο επίπεδο τέμνει όλες τις γεννήτριες μιας κοιλότητας του κώνου, τότε στο τμήμα αποδεικνύεται έλλειψη, στη διασταύρωση των γεννητριών και των δύο κοιλοτήτων - υπερβολή, και αν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο με οποιαδήποτε γεννήτρια, τότε το τμήμα του κώνου είναι παραβολή.

Σχόλιο. Όλες οι καμπύλες δεύτερης τάξης δίνονται με εξισώσεις δεύτερου βαθμού σε δύο μεταβλητές.

Ταξινόμηση καμπυλών δεύτερης τάξης

Μη εκφυλισμένες καμπύλες

μη εκφυλισμένοςεάν ενδέχεται να προκύψουν οι ακόλουθες επιλογές:

Μη εκφυλισμένη καμπύληη δεύτερη τάξη ονομάζεται κεντρική αν

έλλειψη - παρέχεται ρε> 0 και ∆ Εγώ < 0;

παρέχεται ειδική περίπτωση έλλειψης - κύκλος Εγώ 2 = 4ρεή ένα 11 = ένα 22,ένα 12 = 0;

φανταστική έλλειψη (χωρίς πραγματικό σημείο) - υπόκειται στο Δ Εγώ > 0;

υπερβολή - υποκείμενο σε ρε < 0;

Μια μη εκφυλισμένη καμπύλη δεύτερης τάξης ονομάζεται μη κεντρική αν Δ Εγώ = 0

παραβολή - υποκείμενο σε ρε = 0.

Εκφυλισμένες καμπύλες:Η καμπύλη δεύτερης τάξης ονομάζεται εκφυλισμένοςαν Δ = 0. Μπορεί να προκύψουν οι ακόλουθες επιλογές:

πραγματικό σημείο στη διασταύρωση δύο νοητών γραμμών (εκφυλισμένη έλλειψη) - παρέχεται ρε > 0;

ένα ζεύγος πραγματικών τεμνόμενων γραμμών (εκφυλισμένη υπερβολή) - υπό την προϋπόθεση ρε < 0;

εκφυλισμένη παραβολή - παρέχεται ρε = 0:

ένα ζευγάρι πραγματικών παράλληλων γραμμών - παρέχεται σι < 0;

μία πραγματική γραμμή (δύο συγχωνευμένες παράλληλες γραμμές) - παρέχεται σι = 0;

ένα ζευγάρι νοητών παράλληλων γραμμών (όχι ένα πραγματικό σημείο) - παρέχεται σι > 0.

22. Έλειψη και η εξίσωσή της.

Ορισμός 11.2.Ελλειψηείναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία φά 1 και φά 2 αυτού του αεροπλάνου, που ονομάζεται κόλπα, είναι σταθερή τιμή.

Σχόλιο. Όταν οι πόντοι ταιριάζουν φά 1 και φά 2 η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο.

Διευθύντρια Diέλλειψη που αντιστοιχεί στην εστίαση fi, ονομάζεται ευθεία που βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με fiγύρω από τον άξονα OUκάθετα στον άξονα Ωσε απόσταση α/εαπό την καταγωγή.

Σχόλιο. Με διαφορετική επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, η έλλειψη μπορεί να δοθεί όχι από την κανονική εξίσωση (11.1), αλλά από μια εξίσωση δεύτερου βαθμού διαφορετικού είδους.

Ιδιότητες έλλειψης:

1) Η έλλειψη έχει δύο αμοιβαία κάθετους άξονες συμμετρίας (οι κύριοι άξονες της έλλειψης) και ένα κέντρο συμμετρίας (το κέντρο της έλλειψης). Εάν μια έλλειψη δίνεται από μια κανονική εξίσωση, τότε οι κύριοι άξονές της είναι οι άξονες συντεταγμένων και το κέντρο είναι η αρχή. Δεδομένου ότι τα μήκη των τμημάτων που σχηματίζονται από την τομή της έλλειψης με τους κύριους άξονες είναι ίσα με 2 ένακαι 2 σι (2ένα>2σι), τότε ο κύριος άξονας που διέρχεται από τις εστίες ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο δεύτερος κύριος άξονας ονομάζεται δευτερεύων άξονας.

Στη συνέχεια https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Εξάγουμε την κανονική εξίσωση της υπερβολής κατ' αναλογία με την εξαγωγή της εξίσωσης της έλλειψης, χρησιμοποιώντας τον ίδιο συμβολισμό.

|r1 - r2 | = 2ένα, όπου. Αν ορίσουμε σι² = ντο² - ένα², από εδώ μπορείτε να λάβετε https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

για τους οποίους ο πραγματικός και ο φανταστικός άξονες ανταλλάσσονται διατηρώντας τις ίδιες ασύμπτωτες.

4) Εκκεντρικότητα της υπερβολής μι> 1.

5) Λόγος απόστασης riαπό το σημείο της υπερβολής στην εστίαση fiσε απόσταση diαπό αυτό το σημείο μέχρι την ευθεία που αντιστοιχεί στην εστία είναι ίση με την εκκεντρότητα της υπερβολής.

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί με τον ίδιο τρόπο όπως και για την έλλειψη.

23. Παραβολή.

Ορισμός 11.8.παραβολήείναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο για τα οποία η απόσταση από κάποιο σταθερό σημείο φάαυτό το επίπεδο είναι ίσο με την απόσταση από κάποια σταθερή ευθεία γραμμή. Τελεία φάπου ονομάζεται Συγκεντρώνωπαραβολές, και μια ευθεία - του διευθύντρια.

Για να εξαγάγουμε την εξίσωση της παραβολής, επιλέγουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε η αρχή του να είναι το μέσο της κάθετης FD, χαμηλωμένο από την εστίαση προς την ευθεία, και οι άξονες συντεταγμένων ήταν παράλληλοι και κάθετοι προς την ευθεία. Αφήστε το μήκος του τμήματος FD

D O F x είναι R. Μετά από την ισότητα r = ρεέπεται ότι https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, αυτή η εξίσωση μπορεί να αναχθεί στη μορφή:

y² = 2 px, (11.4) κάλεσε η κανονική εξίσωση της παραβολής.

αξία Rπου ονομάζεται παράμετροςπαραβολές.

Ιδιότητες Parabola :

1) Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας (ο άξονας της παραβολής). Το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Αν η παραβολή δίνεται από την κανονική εξίσωση, τότε ο άξονάς της είναι ο άξονας Ω,και η κορυφή είναι η αρχή των συντεταγμένων.

2) Ολόκληρη η παραβολή βρίσκεται στο δεξιό μισό επίπεδο του επιπέδου Ωχ.

Σχόλιο. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των κατευθύνσεων μιας έλλειψης και μιας υπερβολής και τον ορισμό της παραβολής, μπορούμε να αποδείξουμε την ακόλουθη πρόταση:

Το σύνολο των επιπέδων σημείων για τα οποία ο λόγος μιη απόσταση από κάποιο σταθερό σημείο μέχρι την απόσταση από κάποια ευθεία είναι σταθερή τιμή, είναι έλλειψη (με μι<1), гиперболу (при μι>1) ή παραβολή (όταν μι=1).

Αναγωγή της εξίσωσης δεύτερης τάξης στην κανονική μορφή.

Ορισμός 11.9.Γραμμή που ορίζεται από μια γενική εξίσωση δεύτερης τάξης

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> μπορείτε να ορίσετε τη μήτρα

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (υποθέτοντας ότι λ .

Στην περίπτωση που μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα ΑΛΛΑείναι ίση με 0, η εξίσωση (11.5) ως αποτέλεσμα δύο μετασχηματισμών συντεταγμένων μπορεί να αναχθεί στη μορφή: , (11.8) που είναι η κανονική εξίσωση μιας παραβολής.

24. Ορθογώνιες συντεταγμένες στο χώρο.

Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο διάστημαπου σχηματίζονται από τρεις αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων ΒΟΔΙ, OYκαι ουγκιά. Οι άξονες συντεταγμένων τέμνονται σε ένα σημείο Ο, που ονομάζεται αρχή, σε κάθε άξονα επιλέγεται η θετική κατεύθυνση που υποδεικνύεται από τα βέλη και η μονάδα μέτρησης των τμημάτων στους άξονες. Οι μονάδες μέτρησης είναι συνήθως ίδιες για όλους τους άξονες (που είναι προαιρετικό). ΒΟΔΙ- άξονας τετμημένης, OY- άξονας y, ουγκιά- άξονας απλικέ.

Εάν ο αντίχειρας του δεξιού χεριού ληφθεί ως κατεύθυνση Χ, δείχνοντας για κατεύθυνση Υ, και ο μέσος όρος ανά κατεύθυνση Ζ, τότε σχηματίζεται σωστάσύστημα συντεταγμένων. Παρόμοια δάχτυλα του αριστερού χεριού σχηματίζουν το αριστερό σύστημα συντεταγμένων. Με άλλα λόγια, η θετική κατεύθυνση των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε όταν περιστρέφεται ο άξονας ΒΟΔΙαριστερόστροφα κατά 90° η θετική του φορά συνέπεσε με τη θετική κατεύθυνση του άξονα OY, αν αυτή η περιστροφή παρατηρηθεί από την πλευρά της θετικής κατεύθυνσης του άξονα ουγκιά. Το δεξιό και το αριστερό σύστημα συντεταγμένων δεν μπορούν να συνδυαστούν έτσι ώστε οι αντίστοιχοι άξονες να συμπίπτουν (βλ. Εικ. 2).

Θέση σημείου ΕΝΑστο χώρο καθορίζεται από τρεις συντεταγμένες Χ, yκαι z. Συντεταγμένη Χίσο με το μήκος του τμήματος OB, συντονίζω y- μήκος τμήματος OC, συντονίζω z- μήκος τμήματος ODστις επιλεγμένες μονάδες μέτρησης. Τμήματα OB, OCκαι ODορίζονται από επίπεδα που σχεδιάζονται από ένα σημείο ΕΝΑπαράλληλα με τα αεροπλάνα YOZ, XOZκαι XOYαντίστοιχα. Συντεταγμένη Χπου ονομάζεται τετμημένη του σημείου ΕΝΑ, συντονίζω y- σημείο τεταγμένης ΕΝΑ, συντονίζω z- σημείο εφαρμογής ΕΝΑ. Το γράφουν ως εξής:

Εάν μέσα από το σημείο Ο στο διάστημα σχεδιάσουμε τρεις γραμμές ανά στυλό-di-ku-lar, τις ονομάζουμε, we-take on-right-le-nie, που δηλώνουν μεμονωμένες περικοπές, τότε θα πάρουμε ορθογώνιο si-ste-mu ko-or-di-nat στο διάστημα. Οι άξονες του ko-or-di-nat είναι na-zy-va-yut-sya ως εξής: Oh - ο άξονας abs-ciss, Oy - ο άξονας του or-di-nat και Oz - άξονας επάνω-πλη-κατ. Ολόκληρο το si-ste-ma ko-or-di-nat σημαίνει-me-cha-et-sya - Oxyz. Με αυτόν τον τρόπο, υπάρχουν τρεις αεροπλάνα co-or-di-nat-nye: Oxy, Oxz, Oyz.

Δίνουμε ένα παράδειγμα κατασκευής ενός σημείου Β (4; 3; 5) σε ένα ορθογώνιο σύστημα co-or-di-nat (βλ. Εικ. 1 ).

Ρύζι. 1. Κατασκευή σημείου Β στο χώρο

Το πρώτο co-or-di-na-ta σημείο B - 4, άρα από-cla-dy-va-em στο Ox 4, μειώνουμε έναν άμεσο para-ral-lel-αλλά τον άξονα Oy για να ξαναδούμε -che-tion με μια ευθεία γραμμή, που διέρχεται από το y \u003d 3. Με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε το σημείο K. Αυτό το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο Oxy και έχει co-or-di-na-you K (4; 3; 0). Τώρα πρέπει να κατευθύνετε το pro-ve-sti par-ral-lel-αλλά τον άξονα Oz. Και κατευθείαν, κάποιος-παράδεισος περνά μέσα από ένα σημείο με app-pli-ka-that 5 και para-ral-lel-on dia-go-on-είτε pa-ral-le-lo-gram -ma στο επίπεδο Oxy. Στο re-se-che-nii τους, θα πάρουμε το επιθυμητό σημείο Β.

Εξετάστε την κατανομή των πόντων, για μερικούς, ένα ή δύο co-or-di-na-you είναι ίσα με 0 (βλ. Εικ. 2).

Για παράδειγμα, σημείο Α(3;-1;0). Είναι απαραίτητο να συνεχίσουμε τον άξονα Oy προς τα αριστερά προς την τιμή -1, να βρούμε το σημείο 3 στον άξονα Ox και στο re-se-ce-των γραμμών που διέρχονται από αυτές τις τιμές -tion, έχουμε το σημείο Α. Αυτό Το σημείο έχει app-pli-ka-tu 0, που σημαίνει ότι βρίσκεται στο επίπεδο Oxy.

Το σημείο C (0; 2; 0) έχει abs-cis-su και app-pli-ka-tu 0 - όχι from-me-cha-e. Το Or-di-na-ta ισούται με 2, πράγμα που σημαίνει ότι το σημείο C βρίσκεται μόνο στον άξονα Oy, κάτι-παράδεισος είναι-la-is-a-re-re-se-che-no-είναι επίπεδο stey Oxy και Oyz.

Για να μετακινήσουμε το σημείο D (-4; 0; 3) συνεχίζουμε τον άξονα Ox προς τα πίσω για na-cha-lo ko-or-di-nat στο σημείο -4. Τώρα, επαναφέρετε-εκατό-ναβ-λι-βα-εμ από αυτό το σημείο ανά πένα-ντι-κου-λυάρ - ευθεία, παράλληλα με τον άξονα του Οζ για να ξανα-σε-τσε-νίγια με μια ευθεία γραμμή, παράλληλα με τον άξονα Ox και περνώντας από την τιμή 3 στον άξονα Oz. Σύμφωνα με το τρέχον D (-4; 0; 3). Εφόσον το or-di-on-αυτό το σημείο είναι ίσο με 0, τότε το σημείο D βρίσκεται στο επίπεδο Oxz.

Το επόμενο σημείο είναι Ε(0;5;-3). Or-di-na-ta σημεία 5, app-pli-ka-ta -3, περνάμε ευθείες γραμμές που διέρχονται από αυτές τις τιμές​​στην απάντηση -th-άξονες, και στους re-se-che-nii τους , παίρνουμε το σημείο Ε (0; 5; -3). Αυτό το σημείο έχει το πρώτο co-or-di-to-tu 0, που σημαίνει ότι βρίσκεται στο επίπεδο Oyz.

2. Διανυσματικές συντεταγμένες

Καταραμένο ορθογώνιο si-ste-mu ko-or-di-nat στο διάστημα Oxyz. Za-da-dim στο χώρο ενός ορθογώνιου si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. Σε κάθε έναν από τους άξονες lo-zhi-tel-nyh in-lu-ax from-lo-weep από na-cha-la ko-or-di-nat ένα μόνο διάνυσμα, δηλ. vector-torus, το μήκος του κάτι-ro- πάει ισούται με ένα. Συμβολίζουμε ένα μόνο διάνυσμα του άξονα abs-ciss, ένα μοναδικό διάνυσμα του άξονα or-di-nat και ένα μοναδικό διάνυσμα του άξονα up-pli-kat (βλ. Εικ. 1). Αυτά τα βλέφαρα είναι co-on-right-le-na με άξονες on-right-le-ni-i-mi, έχουν ένα μόνο μήκος και or-to-go-nal-na - σε ζεύγη - αλλά ανά στυλό-di -ku-lyar-ny. Τέτοιο αιώνα-ρα-να-ζυ-βα-γιουτ ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-miή μπα-ζι-γατόψαρο.

Ρύζι. 1. Raz-lo-same-age-that-ra in three co-or-di-nat-ny century-that-frames

Πάρτε ένα mem-tor, in-me-stim το σε na-cha-lo ko-or-di-nat, και διαδώστε αυτό το vector-tor σε τρία συγκεκριμένα-plan-nar-nym - le-zha -shim σε διαφορετικά επίπεδα - από αιώνα σε καρέ. Για να γίνει αυτό, ας χαμηλώσουμε την προβολή του σημείου M στο επίπεδο Oxy, και ας βρούμε ένα διάνυσμα-τάφρο co-or-di-on-you, και. On-lu-cha-eat:. Ras-look-rim on from-del-no-sti καθένας από αυτούς τους αιώνες-εκείνο-χαντάκι. Το διανυσματικό torus βρίσκεται στον άξονα Ox, πράγμα που σημαίνει ότι, σύμφωνα με την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού του διανύσματος με έναν αριθμό, μπορεί να αναπαρασταθεί ως κάποιο είδος αριθμού x θηλυκού στο διάνυσμα co-or-di-nat-ny. , και το μήκος του βλεφάρου είναι ακριβώς x φορές μεγαλύτερο από το μήκος του . Με τον ίδιο τρόπο, ας συνεχίσουμε με έναν αιώνα-αυτό-ρα-μι και, και σε έναν λου-τσα-φάτε καιρούς-lo-ίδια-ηλικία αιώνα-αυτό-ρα σε τρία κο-ορ-ντι-νάτ-νυ αιώνες -σε-κριάρι:

Co-ef-fi-qi-en-you αυτής της εποχής x, y και z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra στο διάστημα.

Ras-look-rim right-vi-la, some-rye poses-in-la-yut σύμφωνα με το ko-or-di-on-εκεί που δίνονται αιώνες-να-χαντακώσεις για να βρεις ko-or-di-na- είσαι άθροισμα και διαφορά τους, καθώς και co-or-di-na-you pro-from-ve-de-niya ενός δεδομένου αιώνα-ότι-ρα σε έναν δεδομένο αριθμό.

1) Πολυπλοκότητα:

2) You-chi-ta-nie:

3) Πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό: ,

Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go κουκουβάγια-pa-yes-et με na-cha-scrap ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya ακτίνα κύκλου-αιώνα-ρούμι.(Εικ. 2). Vector-tor - ra-di-us-vector, όπου τα x, y και z είναι co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion αυτού του αιώνα-to-ra σύμφωνα με το co-or - di-nat-ny αιώνα-to-ram,,. Σε αυτήν την περίπτωση, το x είναι το πρώτο co-or-di-on-ta του σημείου A στον άξονα Ox, το y είναι το co-or-di-on-ta του σημείου B στον άξονα Oy, το z είναι co-or- di-na-ta σημείο Γ στον άξονα Oz. Σύμφωνα με τον ri-sun-ku, είναι σαφές ότι ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-men-but is-la-yut-sya ko- ορ-δι -ον-τα-μι σημεία Μ.

Πάρτε το σημείο A(x1;y1;z1) και το σημείο B(x2;y2;z2) (βλ. Εικ. 3). Φανταζόμαστε έναν αιώνα-tor ως μια διαφορά ενός αιώνα-και-ένα-χαντάκι και, από την ιδιότητά του, έναν αιώνα-ένα-αυλάκι. Επιπλέον, και - ra-di-us-vek-to-ry, and their co-or-di-na-you co-pa-da-yut with co-or-di-na-ta-mi con- tsov αυτά αιώνες-τάφρος. Τότε μπορούμε να φανταστούμε το ko-or-di-na-you αιώνα-αυτό-ra ως διαφορά με-από-το-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat αιώνα-ότι-τάφρο και : . Με αυτόν τον τρόπο, ko-or-di-na-you αιώνα-to-ra, μπορούμε να vy-ra-zit μέσω ko-or-di-na-you του τέλους και na-cha-la αιώνα-to-ra .

Ras-κοιτάξτε τα παραδείγματα, τις ιδιότητες il-lu-stri-ru-yu-sche ενός αιώνα-τάφρου και το you-ra-same-tion μέσω του co-or-di-on-you. Take-meme century-that-ry , , . Μας ζητήθηκε-shi-va-yut διάνυσμα. Σε αυτή την περίπτωση, το να το βρεις σημαίνει να βρεις co-or-di-na-you έναν αιώνα-αυτό-ρα, κάποιον που καθορίζεται πλήρως από αυτό. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie αντί για εκατό αιώνες-ένα χαντάκι με-from-rep-stven-αλλά τους συν-ή-δι-σε-σου. By-lu-cha-eat:

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 3 για κάθε co-or-di-na-tu σε αγκύλες και το ίδιο de-la-em με 2:

Έχουμε το άθροισμα τριών τάφρων αιώνων, τα αποθηκεύουμε σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα:

Απάντηση:

Παράδειγμα Νο. 2.

Δίνεται: Τριγωνικό pi-ra-mi-da AOBC (βλ. Εικ. 4). Αεροπλάνα AOB, AOC και OCB - σε ζεύγη, αλλά ανά στυλό-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.

Εύρημα: ,,,,,,,.

Λύση: Ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz με την αρχή της μέτρησης στο σημείο O. Με την συνθήκη του γνωρίζουμε τα σημεία A, B και C στους άξονες και se-re -di-ny των άκρων του pi-ra-mi-dy - M, P και N. Σύμφωνα με το ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you κορυφές του pi-ra-mi -dy: Α (3; 0; 0), Β (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

Με την εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο, προκύπτει μια μοναδική ευκαιρία να περιγραφούν γεωμετρικά σχήματα και οι ιδιότητές τους χρησιμοποιώντας εξισώσεις και ανισότητες. Αυτό έχει άλλο όνομα - μέθοδοι άλγεβρας.

Αυτό το άρθρο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε το έργο ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων. Μια πιο οπτική και λεπτομερής εικόνα είναι διαθέσιμη σε γραφικές απεικονίσεις.

Για να εισαγάγετε ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε δύο κάθετες γραμμές στο επίπεδο. Επιλέγω θετική κατεύθυνση, σημειώνεται με ένα βέλος. Πρέπει να επιλέξει κλίμακα.Το σημείο τομής των ευθειών θα ονομάζεται γράμμα Ο. Αυτή θεωρείται σημείο αναφοράς. Αυτό ονομάζεται ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένωνστην επιφάνεια.

Οι ευθείες με αρχή Ο που έχουν κατεύθυνση και κλίμακα ονομάζονται γραμμή συντεταγμένωνή άξονα συντεταγμένων.

Το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται O x y . Οι άξονες συντεταγμένων ονομάζονται O x και O y, καλούνται αντίστοιχα τετμημένηκαι άξονας y.

Εικόνα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων σε ένα επίπεδο.

Οι άξονες της τετμημένης και των τεταγμένων έχουν την ίδια μονάδα μεταβολής και κλίμακας, η οποία εμφανίζεται ως παύλα στην αρχή των αξόνων συντεταγμένων. Η τυπική κατεύθυνση είναι O x από αριστερά προς τα δεξιά και O y από κάτω προς τα πάνω. Μερικές φορές χρησιμοποιείται μια εναλλακτική περιστροφή στην απαιτούμενη γωνία.

Το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται Καρτεσιανό προς τιμήν του ανακάλυψε του René Descartes. Μπορείτε συχνά να βρείτε το όνομα ως ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Ο τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος έχει παρόμοιο σύστημα, μόνο που αποτελείται όχι από δύο, αλλά από τρεις άξονες O x, O y, O z. Αυτές είναι τρεις αμοιβαία κάθετες γραμμές, όπου το O z έχει το όνομα απλικέ άξονα.

Στην κατεύθυνση των αξόνων συντεταγμένων χωρίζονται σε δεξιά και αριστερά ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου.

Οι άξονες των συντεταγμένων τέμνονται στο σημείο Ο, που ονομάζεται αρχή. Κάθε άξονας έχει θετική κατεύθυνση, η οποία υποδεικνύεται από τα βέλη στους άξονες. Εάν, όταν το O x περιστρέφεται αριστερόστροφα κατά 90 °, η θετική του φορά συμπίπτει με το θετικό O y, τότε αυτό ισχύει για τη θετική φορά του O z. Ένα τέτοιο σύστημα θεωρείται σωστά.Με άλλα λόγια, αν συγκρίνουμε την κατεύθυνση του Χ με τον αντίχειρα, τότε ο δείκτης είναι υπεύθυνος για το Υ και ο μεσαίος για το Ζ.

Το αριστερό σύστημα συντεταγμένων σχηματίζεται με παρόμοιο τρόπο. Και τα δύο συστήματα δεν μπορούν να συνδυαστούν, αφού οι αντίστοιχοι άξονες δεν θα ταιριάζουν.

Αρχικά, παραμερίζουμε το σημείο M στον άξονα συντεταγμένων O x. Κάθε πραγματικός αριθμός x M είναι ίσος με το μόνο σημείο M που βρίσκεται στη δεδομένη ευθεία. Εάν το σημείο βρίσκεται στη γραμμή συντεταγμένων σε απόσταση 2 από την αρχή στη θετική κατεύθυνση, τότε είναι ίσο με 2, εάν - 3, τότε η αντίστοιχη απόσταση είναι 3. Μηδέν είναι η αρχή των γραμμών συντεταγμένων.

Με άλλα λόγια, κάθε σημείο M που βρίσκεται στο O x είναι ίσο με έναν πραγματικό αριθμό x M . Αυτός ο πραγματικός αριθμός είναι μηδέν αν το σημείο Μ βρίσκεται στην αρχή, δηλαδή στη τομή των O x και O y. Ο αριθμός του μήκους του τμήματος είναι πάντα θετικός εάν το σημείο αφαιρεθεί σε θετική κατεύθυνση και αντίστροφα.

Ο διαθέσιμος αριθμός x M ονομάζεται συντεταγμένησημείο Μ σε μια δεδομένη γραμμή συντεταγμένων.

Ας πάρουμε ένα σημείο ως προβολή του σημείου M x στο O x και ως προβολή του σημείου M y στο O y. Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες γραμμές κάθετες στους άξονες O x και O y μπορούν να συρθούν στο σημείο M, όπου λαμβάνουμε τα αντίστοιχα σημεία τομής M x και M y .

Τότε το σημείο M x στον άξονα O x έχει τον αντίστοιχο αριθμό x M , και M y στο O y - y M . Στους άξονες συντεταγμένων μοιάζει με αυτό:

Κάθε σημείο M σε ένα δεδομένο επίπεδο σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχει ένα αντίστοιχο ζεύγος αριθμών (x M , y M), που ονομάζεται συντεταγμένες. Αψίσσα Μείναι x M, τεταγμένος Μείναι y M .

Η αντίστροφη πρόταση θεωρείται επίσης αληθής: κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x M , y M) έχει ένα αντίστοιχο σημείο που δίνεται στο επίπεδο.

Ορισμός σημείου Μ στον τρισδιάστατο χώρο. Έστω M x , M y , M z , που είναι προβολές του σημείου M στους αντίστοιχους άξονες O x, O y, O z . Τότε οι τιμές αυτών των σημείων στους άξονες О x, О у, О z θα λάβουν τις τιμές x M , y M , z M . Ας το αναπαραστήσουμε σε γραμμές συντεταγμένων.

Για να λάβετε τις προβολές του σημείου M, πρέπει να προσθέσετε κάθετες ευθείες O x, O y, O z για να συνεχίσετε και να απεικονίσετε με τη μορφή επιπέδων που διέρχονται από το M. Έτσι, τα επίπεδα τέμνονται στα M x , M y , M z

Κάθε σημείο του τρισδιάστατου χώρου έχει τα δικά του δεδομένα (x M , y M , z M) , τα οποία έχουν το όνομα σημειακές συντεταγμένες M , x M , y M , z M -αυτοί είναι οι αριθμοί που λέγονται τετμημένη, τεταγμένηκαι απλικέδεδομένο σημείο Μ . Για αυτήν την κρίση, ισχύει και η αντίστροφη πρόταση: κάθε διατεταγμένο τριπλό πραγματικών αριθμών (x M , y M , z M) σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει ένα αντίστοιχο σημείο M τρισδιάστατου χώρου.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η μέθοδος συντεταγμένων είναι, φυσικά, πολύ καλή, αλλά σε πραγματικά προβλήματα C2 δεν υπάρχουν συντεταγμένες και διανύσματα. Επομένως, πρέπει να εισαχθούν. Ναι, ναι, απλώς πάρτε το και εισάγετέ το ως εξής: υποδείξτε την αρχή, το τμήμα μονάδας και την κατεύθυνση των αξόνων x, y και z.

Το σπουδαίο με αυτή τη μέθοδο είναι ότι δεν έχει σημασία πώς εισάγετε το σύστημα συντεταγμένων. Εάν όλοι οι υπολογισμοί είναι σωστοί, τότε η απάντηση θα είναι σωστή.

Συντεταγμένες κύβου

Εάν υπάρχει ένας κύβος στο πρόβλημα C2, θεωρήστε τον εαυτό σας τυχερό. Αυτό είναι το απλούστερο πολύεδρο, του οποίου όλες οι δίεδρες γωνίες είναι 90°.

Το σύστημα συντεταγμένων εισάγεται επίσης πολύ απλά:

1. Η αρχή των συντεταγμένων βρίσκεται στο σημείο Α.
2. Τις περισσότερες φορές, η άκρη του κύβου δεν υποδεικνύεται, επομένως το παίρνουμε ως ένα ενιαίο τμήμα.
3. Κατευθύνουμε τον άξονα x κατά μήκος της άκρης AB, y - κατά μήκος της ακμής AD και τον άξονα z - κατά μήκος της ακμής AA 1 .

Σημειώστε ότι ο άξονας z είναι στραμμένος προς τα πάνω! Μετά από ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων, αυτό είναι κάπως ασυνήθιστο, αλλά στην πραγματικότητα πολύ λογικό.

Έτσι, τώρα κάθε κορυφή του κύβου έχει συντεταγμένες. Ας τα συλλέξουμε σε έναν πίνακα - ξεχωριστά για το κάτω επίπεδο του κύβου:

Είναι εύκολο να δούμε ότι τα σημεία του ανώτερου επιπέδου διαφέρουν από τα αντίστοιχα σημεία του κάτω επιπέδου μόνο από τη συντεταγμένη z. Για παράδειγμα, Β = (1; 0; 0), Β1 = (1; 0; 1). Το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε!

Το Prism είναι ήδη πολύ πιο διασκεδαστικό. Με τη σωστή προσέγγιση, αρκεί να γνωρίζετε τις συντεταγμένες μόνο της κάτω βάσης - η ανώτερη θα υπολογιστεί αυτόματα.

Στα προβλήματα Γ2, υπάρχουν εξαιρετικά κανονικά τριεδρικά πρίσματα (ευθεία πρίσματα βασισμένα σε κανονικό τρίγωνο). Για αυτούς, το σύστημα συντεταγμένων εισάγεται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο όπως για τον κύβο. Παρεμπιπτόντως, αν κάποιος δεν γνωρίζει, ένας κύβος είναι επίσης ένα πρίσμα, μόνο ένα τετραεδρικό.

Λοιπόν πάμε! Εισαγάγετε το σύστημα συντεταγμένων:

1. Η αρχή των συντεταγμένων βρίσκεται στο σημείο Α.
2. Η πλευρά του πρίσματος λαμβάνεται ως ενιαίο τμήμα, εκτός εάν ορίζεται διαφορετικά στην κατάσταση του προβλήματος.
3. Κατευθύνουμε τον άξονα x κατά μήκος της ακμής AB, z - κατά μήκος της ακμής AA 1 και τοποθετούμε τον άξονα y έτσι ώστε το επίπεδο OXY να συμπίπτει με το επίπεδο της βάσης ABC.

Εδώ απαιτείται κάποια εξήγηση. Το γεγονός είναι ότι ο άξονας y ΔΕΝ συμπίπτει με την άκρη AC, όπως πολλοί πιστεύουν. Γιατί δεν ταιριάζει; Σκεφτείτε μόνοι σας: το τρίγωνο ABC είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο με όλες τις γωνίες 60°. Και οι γωνίες μεταξύ των αξόνων συντεταγμένων πρέπει να είναι 90 °, οπότε η επάνω εικόνα θα μοιάζει με αυτό:

Ελπίζω να είναι ξεκάθαρο τώρα γιατί ο άξονας y δεν θα πάει κατά μήκος AC. Σχεδιάστε ένα ύψος CH σε αυτό το τρίγωνο. Το τρίγωνο ACH είναι ορθογώνιο και AC = 1, άρα AH = 1 cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = αμαρτία 60°. Αυτά τα στοιχεία χρειάζονται για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του σημείου Γ.

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά σε ολόκληρο το πρίσμα μαζί με το κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων:

Παίρνουμε τις παρακάτω συντεταγμένες των σημείων:

Όπως μπορείτε να δείτε, τα σημεία της άνω βάσης του πρίσματος διαφέρουν και πάλι από τα αντίστοιχα σημεία της κάτω βάσης μόνο κατά τη συντεταγμένη z. Το κύριο πρόβλημα είναι τα σημεία C και C 1 . Έχουν παράλογες συντεταγμένες που απλά πρέπει να θυμάστε. Λοιπόν, ή για να καταλάβουμε από πού προέρχονται.

Εξαγωνικές συντεταγμένες πρίσματος

Ένα εξαγωνικό πρίσμα είναι ένα «κλωνοποιημένο» τριγωνικό. Μπορείτε να καταλάβετε πώς συμβαίνει αυτό αν κοιτάξετε την κάτω βάση - ας την υποδηλώσουμε ABCDEF. Ας πραγματοποιήσουμε πρόσθετες κατασκευές: τμήματα AD, BE και CF. Αποδείχθηκαν έξι τρίγωνα, καθένα από τα οποία (για παράδειγμα, το τρίγωνο ABO) είναι η βάση για ένα τρίεδρο πρίσμα.

Τώρα ας παρουσιάσουμε το πραγματικό σύστημα συντεταγμένων. Η αρχή των συντεταγμένων - το σημείο Ο - θα τοποθετηθεί στο κέντρο συμμετρίας του εξαγώνου ABCDEF. Ο άξονας x θα πάει κατά μήκος του FC και ο άξονας y - μέσω των μεσαίων σημείων των τμημάτων AB και DE. Παίρνουμε αυτή την εικόνα:

Προσοχή: η προέλευση των συντεταγμένων ΔΕΝ συμπίπτει με την κορυφή του πολυεδρικού! Στην πραγματικότητα, κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων, θα διαπιστώσετε ότι αυτό είναι πολύ βολικό, καθώς σας επιτρέπει να μειώσετε σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Απομένει να προσθέσουμε τον άξονα z. Κατά παράδοση, το σχεδιάζουμε κάθετα στο επίπεδο ΟΞΥ και το κατευθύνουμε κάθετα προς τα πάνω. Παίρνουμε την τελική εικόνα:

Ας γράψουμε τις συντεταγμένες των σημείων. Ας υποθέσουμε ότι όλες οι ακμές του κανονικού μας εξαγωνικού πρίσματος είναι ίσες με 1. Άρα, οι συντεταγμένες της κάτω βάσης:

Οι συντεταγμένες της άνω βάσης μετατοπίζονται κατά μία στον άξονα z:

Η πυραμίδα είναι γενικά πολύ σοβαρή. Θα αναλύσουμε μόνο την απλούστερη περίπτωση - μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, της οποίας όλες οι άκρες είναι ίσες με ένα. Ωστόσο, σε πραγματικά προβλήματα C2, τα μήκη των ακμών μπορεί να διαφέρουν, επομένως το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των συντεταγμένων δίνεται παρακάτω.

Άρα, η σωστή τετραγωνική πυραμίδα. Αυτό είναι το ίδιο με τον Χέοπα, μόνο λίγο μικρότερο. Ας το συμβολίσουμε SABCD, όπου S είναι η κορυφή. Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων: η αρχή είναι στο σημείο Α, το μοναδιαίο τμήμα AB = 1, ο άξονας x κατευθύνεται κατά μήκος AB, ο άξονας y είναι κατά μήκος AD και ο άξονας z είναι προς τα πάνω, κάθετος στο επίπεδο OXY . Για περαιτέρω υπολογισμούς, χρειαζόμαστε το ύψος SH - οπότε ας το κατασκευάσουμε. Παίρνουμε την παρακάτω εικόνα:

Ας βρούμε τώρα τις συντεταγμένες των σημείων. Ας ξεκινήσουμε με το αεροπλάνο OXY. Όλα είναι απλά εδώ: η βάση είναι ένα τετράγωνο, οι συντεταγμένες του είναι γνωστές. Προκύπτουν προβλήματα με το σημείο S. Δεδομένου ότι SH είναι το ύψος στο επίπεδο OXY, τα σημεία S και H διαφέρουν μόνο στη συντεταγμένη z. Στην πραγματικότητα, το μήκος του τμήματος SH είναι η συντεταγμένη z για το σημείο S, αφού H = (0,5; 0,5; 0).

Σημειώστε ότι τα τρίγωνα ABC και ASC έχουν τρεις πλευρές ίσες (AS = CS = AB = CB = 1, και η πλευρά AC είναι κοινή). Επομένως, SH = BH. Αλλά το BH είναι η μισή διαγώνιος του τετραγώνου ABCD, δηλ. BH = AB sin 45°. Παίρνουμε τις συντεταγμένες όλων των σημείων:

Αυτό είναι όλο με τις συντεταγμένες της πυραμίδας. Αλλά καθόλου με συντεταγμένες. Εξετάσαμε μόνο τα πιο κοινά πολύεδρα, αλλά αυτά τα παραδείγματα είναι αρκετά για να υπολογίσουμε ανεξάρτητα τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε άλλων σχημάτων. Επομένως, μπορούμε να προχωρήσουμε, στην πραγματικότητα, σε μεθόδους επίλυσης συγκεκριμένων προβλημάτων C2.