ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ

Τροχιακή μαγνητική ροπή ηλεκτρονίου

Κάθε ρεύμα, όπως γνωρίζετε, δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο. Επομένως, ένα ηλεκτρόνιο του οποίου η τροχιακή μηχανική ροπή διαφέρει από το μηδέν πρέπει επίσης να έχει μαγνητική ροπή.

Από τις κλασικές παραστάσεις η γωνιακή ορμή έχει τη μορφή

όπου είναι η ταχύτητα και είναι η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς.

Η μαγνητική ροπή ενός κλειστού ρεύματος με μια περιοχή δημιουργεί μια μαγνητική ροπή

είναι η μονάδα κάθετη στο επίπεδο, και είναι το φορτίο και η μάζα του ηλεκτρονίου.

Συγκρίνοντας τις (3.1) και (3.2), παίρνουμε

Η μαγνητική ροπή σχετίζεται με τη μηχανική ροπή από τον παράγοντα

που ονομάζεται μαγνητομηχανική (γυρομαγνητική) αναλογία για ένα ηλεκτρόνιο.

Για προβολές στιγμών έχουμε την ίδια σχέση

Η μετάβαση στην κβαντική μηχανική πραγματοποιείται με την αντικατάσταση των αριθμητικών εξισώσεων με εξισώσεις χειριστή

Οι τύποι (3.5) και (3.6) ισχύουν όχι μόνο για ένα ηλεκτρόνιο σε ένα άτομο, αλλά και για τυχόν φορτισμένα σωματίδια που έχουν μηχανική ροπή.

Η ιδιοτιμή του τελεστή είναι

πού είναι ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός (βλ. Ενότητα 2.1)

Η σταθερά ονομάζεται μαγνητόνιο Bohr

Στις μονάδες SI, είναι J/T.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί κανείς να λάβει τις ιδιοτιμές της μαγνητικής ροπής

πού είναι ο τροχιακός κβαντικός αριθμός.

Συχνά χρησιμοποιούμενη σημειογραφία

όπου . Το σύμβολο μείον μερικές φορές παραλείπεται.

Εγγενείς μηχανικές και μαγνητικές ροπές ενός ηλεκτρονίου (σπιν)

Το ηλεκτρόνιο έχει έναν τέταρτο βαθμό ελευθερίας, ο οποίος συνδέεται με τη δική του μηχανική (και, κατά συνέπεια, μαγνητική) ροπή του ηλεκτρονίου, το σπιν. Η παρουσία του σπιν προκύπτει από τη σχετικιστική εξίσωση Dirac

όπου είναι ένας διανυσματικός πίνακας και είναι πίνακες τεσσάρων σειρών.

Δεδομένου ότι οι ποσότητες είναι πίνακες τεσσάρων σειρών, η συνάρτηση κύματος πρέπει να έχει τέσσερα στοιχεία, τα οποία βολικά γράφονται ως στήλη. Δεν θα πραγματοποιήσουμε λύσεις (3.12), αλλά θα υποθέσουμε την παρουσία σπιν (εγγενούς ροπής) ενός ηλεκτρονίου, ως κάποια εμπειρική απαίτηση, χωρίς να προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την προέλευσή του.

Ας σταθούμε εν συντομία σε εκείνα τα πειραματικά δεδομένα από τα οποία προκύπτει η ύπαρξη του σπιν ηλεκτρονίων. Ένα από αυτά τα άμεσα στοιχεία είναι τα αποτελέσματα του πειράματος των Γερμανών φυσικών Stern και Gerlach (1922) σχετικά με τη χωρική κβαντοποίηση. Σε αυτά τα πειράματα, δέσμες ουδέτερων ατόμων πέρασαν μέσα από μια περιοχή στην οποία δημιουργήθηκε ένα ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο (Εικ. 3.1). Σε ένα τέτοιο πεδίο, ένα σωματίδιο με μαγνητική ροπή αποκτά ενέργεια και μια δύναμη θα ασκήσει πάνω του

που μπορεί να χωρίσει τη δοκό σε μεμονωμένα εξαρτήματα.

Στα πρώτα πειράματα μελετήθηκαν δέσμες ατόμων αργύρου. Η δοκός πέρασε κατά μήκος του άξονα και παρατηρήθηκε σχίσιμο κατά μήκος του άξονα. Το κύριο συστατικό της δύναμης είναι

Εάν τα άτομα αργύρου δεν είναι διεγερμένα και βρίσκονται στο χαμηλότερο επίπεδο, δηλαδή στην κατάσταση (), τότε η δέσμη δεν πρέπει να χωριστεί καθόλου, καθώς η τροχιακή μαγνητική ροπή τέτοιων ατόμων είναι ίση με μηδέν. Για διεγερμένα άτομα () η δέσμη θα έπρεπε να χωριστεί σε περιττό αριθμό συστατικών σύμφωνα με τον αριθμό των πιθανών τιμών του μαγνητικού κβαντικού αριθμού ().

Μάλιστα, παρατηρήθηκε η διάσπαση της δοκού σε δύο εξαρτήματα. Αυτό σημαίνει ότι η μαγνητική ροπή που προκαλεί διάσπαση έχει δύο προβολές στην κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου και ο αντίστοιχος κβαντικός αριθμός παίρνει δύο τιμές. Τα αποτελέσματα του πειράματος ώθησαν τους Ολλανδούς φυσικούς Uhlenbeck και Goudsmit (1925) να διατυπώσουν μια υπόθεση σχετικά με το ηλεκτρόνιο έχει τις δικές του μηχανικές και σχετικές μαγνητικές ροπές.

Κατ' αναλογία με τον τροχιακό αριθμό, εισάγουμε τον κβαντικό αριθμό , ο οποίος χαρακτηρίζει την εγγενή μηχανική ροπή του ηλεκτρονίου. Ορίζουμε με τον αριθμό των διαχωρισμών . Συνεπώς,

Ο κβαντικός αριθμός ονομάζεται κβαντικός αριθμός σπιν και χαρακτηρίζει την εγγενή ή σπιν ροπή της ορμής (ή απλά "σπιν"). Ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός, ο οποίος καθορίζει τις προβολές της μηχανικής ροπής σπιν και της μαγνητικής ροπής σπιν του σπιν, έχει δύο έννοιες. Δεδομένου ότι , και , τότε δεν υπάρχουν άλλες αξίες, και, ως εκ τούτου,

Ορος γνέθωπροέρχεται από την αγγλική λέξη γνέθω, που σημαίνει γυρίζω.

Η γωνιακή ορμή σπιν ενός ηλεκτρονίου και η προβολή του κβαντίζονται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες:

Όπως πάντα, κατά τη μέτρηση των ποσοτήτων, λαμβάνεται μία από τις δύο πιθανές τιμές. Οποιαδήποτε υπέρθεση τους είναι δυνατή πριν από τη μέτρηση.

Η ύπαρξη σπιν δεν μπορεί να εξηγηθεί από την περιστροφή ενός ηλεκτρονίου γύρω από τον άξονά του. Η μέγιστη τιμή της μηχανικής ροπής μπορεί να ληφθεί εάν η μάζα του ηλεκτρονίου κατανέμεται κατά μήκος του ισημερινού. Τότε, για να ληφθεί το μέγεθος της ροπής της τάξης, η γραμμική ταχύτητα των σημείων του ισημερινού πρέπει να είναι m/s (m είναι η κλασική ακτίνα του ηλεκτρονίου), δηλαδή πολύ μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός. Έτσι, μια μη σχετικιστική θεώρηση της περιστροφής είναι αδύνατη.

Ας επιστρέψουμε στα πειράματα των Stern και Gerlach. Γνωρίζοντας την τιμή της διάσπασης (σε όρους ), μπορεί κανείς να υπολογίσει την τιμή της προβολής της μαγνητικής ροπής σπιν στην κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Αποτελεί ένα μαγνητόνιο Bohr.

Ας πάρουμε τη σχέση μεταξύ και:

αξία

ονομάζεται μαγνητομηχανική αναλογία σπιν και είναι διπλάσια από την τροχιακή μαγνητομηχανική αναλογία.

Η ίδια σχέση υπάρχει ανάμεσα στις μαγνητικές και τις μηχανικές ροπές σπιν:

Ας βρούμε τώρα την τιμή:

Ωστόσο, συνηθίζεται να λέμε ότι η μαγνητική ροπή σπιν ενός ηλεκτρονίου είναι ίση με ένα μαγνητόνιο Bohr. Αυτή η ορολογία έχει αναπτυχθεί ιστορικά και συνδέεται με το γεγονός ότι κατά τη μέτρηση της μαγνητικής ροπής συνήθως μετράμε την προβολή της και είναι ακριβώς ίση με 1.

Το ηλεκτρόνιο έχει τη δική του μηχανική γωνιακή ορμή L s, που ονομάζεται σπιν. Το σπιν είναι μια εγγενής ιδιότητα ενός ηλεκτρονίου, όπως το φορτίο και η μάζα του. Το σπιν του ηλεκτρονίου αντιστοιχεί στη δική του μαγνητική ροπή P s , ανάλογη του L s και κατευθυνόμενη προς την αντίθετη κατεύθυνση: P s =g s L s , g s είναι ο γυρομαγνητικός λόγος των ροπών σπιν. Προβολή εγγενούς μαγνητικής ροπής στην κατεύθυνση του διανύσματος Β: P sB =eh/2m= B , όπουh=h/2,  B = μαγνητόνιο Bohr. Η συνολική μαγνητική ροπή του ατόμου p a = το διανυσματικό άθροισμα των μαγνητικών ροπών του ηλεκτρονίου που εισέρχεται στο άτομο: P a =p m +p ms . Η εμπειρία των Stern και Gerlach. Μετρώντας τις μαγνητικές ροπές, διαπίστωσαν ότι μια στενή δέσμη ατόμων υδρογόνου σε ένα ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο χωρίζεται σε 2 δέσμες. Αν και σε αυτή την κατάσταση (τα άτομα ήταν στην κατάσταση S) η γωνιακή ορμή του ηλεκτρονίου είναι 0 και η μαγνητική ροπή του ατόμου είναι επίσης 0, επομένως το μαγνητικό πεδίο δεν επηρεάζει την κίνηση του ατόμου του υδρογόνου, δηλαδή, δεν πρέπει να υπάρχει διάσπαση. Ωστόσο, περαιτέρω μελέτες έχουν δείξει ότι οι φασματικές γραμμές των ατόμων υδρογόνου δείχνουν μια τέτοια δομή ακόμη και απουσία μαγνητικού πεδίου. Στη συνέχεια, διαπιστώθηκε ότι μια τέτοια δομή φασματικών γραμμών εξηγείται από το γεγονός ότι το ηλεκτρόνιο έχει τη δική του άφθαρτη μηχανική ροπή, που ονομάζεται σπιν.

21. Τροχιακή, σπιν και ολική γωνιακή και μαγνητική ροπή ηλεκτρονίου.

Το ηλεκτρόνιο έχει τη δική του γωνιακή ορμή M S , η οποία ονομάζεται σπιν. Η τιμή του προσδιορίζεται σύμφωνα με τους γενικούς νόμους της κβαντικής μηχανικής: M S =  h=  h[(1/2)*(3/2)]=(1/2)  h3, M l =  h – τροχιακή ροπή. Η προβολή μπορεί να λάβει κβαντικές τιμές που διαφέρουν μεταξύ τους κατά h. M Sz =m S  h, (m s =S), M lz =m l  h. Για να βρούμε την τιμή της εγγενούς μαγνητικής ροπής, πολλαπλασιάζουμε το M s με τον λόγο  s προς M s ,  s είναι η εγγενής μαγνητική ροπή:

 s =-eM s /m e c=-(е  h/m e γ)=- B 3,  B – Bohr magnton.

Σημάδι (-) γιατί τα M s και  s δείχνουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις. Η ροπή του Ηλεκτρονίου αποτελείται από 2: τροχιακό M l και σπιν M s . Αυτή η προσθήκη πραγματοποιείται σύμφωνα με τους ίδιους κβαντικούς νόμους, σύμφωνα με τους οποίους προστίθενται οι τροχιακές ροπές διαφορετικών ηλεκτρονίων: Мj=  h, j είναι ο κβαντικός αριθμός της συνολικής γωνιακής ορμής.

22. Άτομο σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Εφέ Zeeman .

Το φαινόμενο Zeeman είναι η διάσπαση των επιπέδων ενέργειας υπό τη δράση ενός μαγνητικού πεδίου στα άτομα. Η διάσπαση των επιπέδων οδηγεί στη διάσπαση των φασματικών γραμμών σε διάφορα στοιχεία. Η διάσπαση των φασματικών γραμμών υπό τη δράση ενός μαγνητικού πεδίου σε άτομα που ακτινοβολούν ονομάζεται επίσης φαινόμενο Zeeman. Η διάσπαση των επιπέδων Zeeman εξηγείται από το γεγονός ότι ένα άτομο με μαγνητική ροπή  j αποκτά πρόσθετη ενέργεια σε ένα μαγνητικό πεδίο E=- jB B,  jB είναι η προβολή της μαγνητικής ροπής στην κατεύθυνση του πεδίου.  jB =- B gm j , E= B gm j , ( j =0, 1,…, J). Το ενεργειακό επίπεδο χωρίζεται σε υποεπίπεδα και η ποσότητα του διαχωρισμού εξαρτάται από τους κβαντικούς αριθμούς L,S,J του δεδομένου επιπέδου.

Εγγενείς μηχανικές και μαγνητικές ροπές (σπιν)

ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΣΠΙΝ. Η εξίσωση Schrödinger καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του ενεργειακού φάσματος του υδρογόνου και των πιο πολύπλοκων ατόμων. Ωστόσο, ο πειραματικός προσδιορισμός των ενεργειακών επιπέδων των ατόμων έδειξε ότι δεν υπάρχει πλήρης συμφωνία μεταξύ θεωρίας και πειράματος. Οι ακριβείς μετρήσεις αποκάλυψαν τη λεπτή δομή των επιπέδων. Όλα τα επίπεδα, εκτός από το κύριο, χωρίζονται σε πολλά πολύ κοντινά υποεπίπεδα. Συγκεκριμένα, το πρώτο διεγερμένο επίπεδο του ατόμου υδρογόνου ( n= 2) χωρίζεται σε δύο υποεπίπεδα με διαφορά ενέργειας μόνο 4,5 10 -5 eV. Για βαριά άτομα, η τιμή της λεπτής διάσπασης είναι πολύ μεγαλύτερη από ότι για τα ελαφριά.

Ήταν δυνατό να εξηγηθεί αυτή η ασυμφωνία μεταξύ θεωρίας και πειράματος χρησιμοποιώντας την υπόθεση (Uhlenbeck, Goudsmit, 1925) ότι το ηλεκτρόνιο έχει έναν ακόμη εσωτερικό βαθμό ελευθερίας - το σπιν. Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση, το ηλεκτρόνιο και τα περισσότερα άλλα στοιχειώδη σωματίδια, μαζί με την τροχιακή γωνιακή ορμή, έχουν επίσης τη δική τους μηχανική γωνιακή ορμή. Αυτή η κατάλληλη στιγμή ονομάζεται περιστροφή.

Η παρουσία σπιν σε ένα μικροσωματίδιο σημαίνει ότι από ορισμένες απόψεις είναι σαν μια μικρή περιστρεφόμενη κορυφή. Ωστόσο, αυτή η αναλογία είναι καθαρά τυπική, αφού οι κβαντικοί νόμοι αλλάζουν σημαντικά τις ιδιότητες της γωνιακής ορμής. Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία, ένα σημειακό μικροσωματίδιο μπορεί να έχει τη δική του ροπή. Μια σημαντική και μη τετριμμένη κβαντική ιδιότητα του σπιν είναι ότι μόνο αυτή μπορεί να καθορίσει έναν προτιμώμενο προσανατολισμό σε ένα σωματίδιο.

Η παρουσία μιας εγγενούς μηχανικής ροπής σε ηλεκτρικά φορτισμένα σωματίδια οδηγεί στην εμφάνιση της εγγενούς (spin) μαγνητικής ροπής τους, η οποία, ανάλογα με το πρόσημο του φορτίου, κατευθύνεται παράλληλα (θετικό φορτίο) ή αντιπαράλληλο (αρνητικό φορτίο) στο σπιν. διάνυσμα. Ένα ουδέτερο σωματίδιο, για παράδειγμα, ένα νετρόνιο, μπορεί επίσης να έχει τη δική του μαγνητική ροπή.

Η ύπαρξη σπιν σε ένα ηλεκτρόνιο υποδείχθηκε από τα πειράματα των Stern και Gerlach (1922) σχετικά με την παρατήρηση της διάσπασης μιας στενής δέσμης ατόμων αργύρου υπό τη δράση ενός ανομοιογενούς μαγνητικού πεδίου (σε ένα ομοιόμορφο πεδίο, η στιγμή αλλάζει μόνο προσανατολισμό Μόνο σε ένα ανομοιογενές πεδίο κινείται προς τα εμπρός είτε κατά μήκος του πεδίου είτε εναντίον του κατά την κατεύθυνση σε σχέση με το πεδίο). Τα μη διεγερμένα άτομα αργύρου βρίσκονται σε σφαιρικά συμμετρική κατάσταση s, δηλαδή με τροχιακή ορμή ίση με μηδέν. Η μαγνητική ροπή του συστήματος που σχετίζεται με την τροχιακή κίνηση ενός ηλεκτρονίου (όπως στην κλασική θεωρία) είναι ευθέως ανάλογη με τη μηχανική ροπή. Εάν το τελευταίο είναι μηδέν, τότε η μαγνητική ροπή πρέπει επίσης να είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο δεν πρέπει να επηρεάζει την κίνηση των ατόμων αργύρου στη θεμελιώδη κατάσταση. Η εμπειρία δείχνει ότι υπάρχει μια τέτοια επιρροή.

Στο πείραμα, μια δέσμη ατόμων αργύρου, αλκαλιμετάλλου και υδρογόνου χωρίστηκε, αλλά πάνταπαρατηρείται μόνο δύο δοκάρια, εξίσου εκτρέπεται σε αντίθετες κατευθύνσεις και βρίσκεται συμμετρικά ως προς τη δέσμη απουσία μαγνητικού πεδίου. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί μόνο από το γεγονός ότι η μαγνητική ροπή ενός ηλεκτρονίου σθένους παρουσία ενός πεδίου μπορεί να λάβει δύο τιμές, ίδιες σε απόλυτη τιμή και αντίθετες σε πρόσημο.

Τα πειραματικά αποτελέσματα οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η διάσπαση σε ένα μαγνητικό πεδίο μιας δέσμης ατόμων της πρώτης ομάδας του Περιοδικού Πίνακα, τα οποία είναι γνωστό ότι βρίσκονται στην κατάσταση s, σε δύο συνιστώσες εξηγείται από δύο πιθανές καταστάσεις της μαγνητικής ροπής σπιν του ηλεκτρονίου σθένους .Η τιμή της προβολής της μαγνητικής ροπής στην κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου (αυτό είναι που καθορίζει το φαινόμενο εκτροπής), που βρέθηκε από τα πειράματα των Stern και Gerlach, αποδείχθηκε ότι είναι ίση με το λεγόμενο Bohr magneton

Η λεπτή δομή των ενεργειακών επιπέδων των ατόμων με ένα ηλεκτρόνιο σθένους εξηγείται από την παρουσία ενός σπιν στο ηλεκτρόνιο ως εξής. σε άτομα (εκτός μικρό-καταστάσεις) λόγω τροχιακής κίνησης, υπάρχουν ηλεκτρικά ρεύματα, το μαγνητικό πεδίο των οποίων επηρεάζει τη μαγνητική ροπή σπιν (η λεγόμενη αλληλεπίδραση σπιν-τροχίας). Η μαγνητική ροπή ενός ηλεκτρονίου μπορεί να προσανατολιστεί είτε κατά μήκος του πεδίου είτε ενάντια στο πεδίο. Οι καταστάσεις με διαφορετικούς προσανατολισμούς περιστροφής διαφέρουν κάπως στην ενέργεια, γεγονός που οδηγεί στη διαίρεση κάθε επιπέδου στα δύο. Τα άτομα με πολλαπλά ηλεκτρόνια στο εξωτερικό περίβλημα θα έχουν πιο πολύπλοκη λεπτή δομή. Έτσι, για το ήλιο, που έχει δύο ηλεκτρόνια, υπάρχουν μονές γραμμές (μονές) στην περίπτωση αντιπαράλληλων σπιν ηλεκτρονίων (το συνολικό σπιν είναι μηδέν - παραήλιο) και τριπλές (τριπλές) στην περίπτωση παράλληλων σπιν (το συνολικό σπιν είναι ίσο προς την η- ορθοήλιο), που αντιστοιχούν σε τρεις πιθανές προβολές στην κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου των τροχιακών ρευμάτων του συνολικού σπιν δύο ηλεκτρονίων (+h, 0, -h).

Έτσι, μια σειρά από γεγονότα οδήγησαν στην ανάγκη να αποδοθεί ένας νέος εσωτερικός βαθμός ελευθερίας στα ηλεκτρόνια. Για μια πλήρη περιγραφή της κατάστασης, μαζί με τρεις συντεταγμένες ή οποιαδήποτε άλλη τριάδα μεγεθών που συνθέτουν το κβαντομηχανικό σύνολο, είναι επίσης απαραίτητο να οριστεί η τιμή της προβολής σπιν στην επιλεγμένη κατεύθυνση (ο συντελεστής περιστροφής δεν χρειάζεται να να υποδεικνύεται, διότι, όπως δείχνει η εμπειρία, δεν αλλάζει για κανένα σωματίδιο, ακόμη και όταν υπό ποιες συνθήκες).

Η προβολή σπιν, καθώς και η προβολή της τροχιακής ορμής, μπορούν να αλλάξουν κατά πολλαπλάσιο του η. Δεδομένου ότι παρατηρήθηκαν μόνο δύο προσανατολισμοί του σπιν ηλεκτρονίων, οι Uhlenbeck και Goudsmit πρότειναν ότι η προβολή του σπιν ηλεκτρονίων μικρό zσε οποιαδήποτε κατεύθυνση μπορεί να πάρει δύο τιμές: μικρό z = ±h/2.

Το 1928, ο Dirac απέκτησε μια σχετικιστική κβαντική εξίσωση για το ηλεκτρόνιο, από την οποία προκύπτει η ύπαρξη και το σπιν του ηλεκτρονίου h/2χωρίς ιδιαίτερες υποθέσεις.

Το πρωτόνιο και το νετρόνιο έχουν το ίδιο σπιν 1/2 με το ηλεκτρόνιο. Το σπιν ενός φωτονίου είναι ίσο με 1. Επειδή όμως η μάζα ενός φωτονίου είναι ίση με μηδέν, τότε είναι δυνατές δύο, και όχι τρεις από τις προβολές του +1 και -1. Αυτές οι δύο προβολές στην ηλεκτροδυναμική του Maxwell αντιστοιχούν σε δύο πιθανές κυκλικές πολώσεις ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος δεξιόστροφα και αριστερόστροφα σε σχέση με την κατεύθυνση διάδοσης.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΠΑΛΜΙΚΗΣ ΡΟΠΗΣ.Τόσο η τροχιακή ροπή M όσο και η ροπή σπιν S είναι μεγέθη που λαμβάνουν μόνο κβαντικές διακριτές τιμές. Θεωρήστε τώρα τη συνολική γωνιακή ορμή, η οποία είναι το διανυσματικό άθροισμα των αναφερόμενων ροπών.

Ο τελεστής της συνολικής γωνιακής ορμής ορίζεται ως το άθροισμα των τελεστών και

Οι τελεστές και μετακινούνται, αφού ο χειριστής ενεργεί στις συντεταγμένες, ενώ ο χειριστής δεν ενεργεί σε αυτές. Μπορεί να αποδειχθεί ότι

Δηλαδή, οι προβολές της ολικής γωνιακής ορμής δεν μετακινούνται μεταξύ τους με τον ίδιο τρόπο όπως οι προβολές της τροχιακής γωνιακής ορμής. Ο χειριστής, από την άλλη πλευρά, μετακινείται με οποιαδήποτε προβολή, από όπου προκύπτει ότι ο χειριστής και ο χειριστής οποιασδήποτε (εκτός από μία) προβολής αντιστοιχούν σε φυσικά μεγέθη και, τα οποία είναι ταυτόχρονα μετρήσιμα. Ο χειριστής μετακινείται επίσης με τους χειριστές και.

Προσδιορίσαμε την κατάσταση ενός ηλεκτρονίου στο πεδίο της κεντρικής δύναμης με τρεις κβαντικούς αριθμούς: n,l,m.κβαντικά επίπεδα μι nκαθορίζονταν γενικά από δύο κβαντικούς αριθμούς n,l.Σε αυτή την περίπτωση, το σπιν του ηλεκτρονίου δεν ελήφθη υπόψη. Εάν λάβουμε επίσης υπόψη το σπιν, τότε κάθε κατάσταση αποδεικνύεται ότι είναι ουσιαστικά διπλή, αφού είναι δυνατοί δύο προσανατολισμοί περιστροφής μικρό z = χμ μικρό ; Μ μικρό = ±1/2. Έτσι, ένας τέταρτος προστίθεται στους τρεις κβαντικούς αριθμούς. Μ μικρό, δηλαδή η συνάρτηση κύματος, λαμβάνοντας υπόψη το σπιν, πρέπει να συμβολίζεται.

Για κάθε όρο μι n, lέχουμε (2 μεγάλο+ 1) καταστάσεις που διαφέρουν ως προς τον προσανατολισμό της τροχιακής ορμής (ο αριθμός Μ), καθένα από τα οποία με τη σειρά του χωρίζεται σε δύο καταστάσεις που διαφέρουν ως προς το spin. Έτσι, υπάρχουν 2 (2 μεγάλο+ 1) -διπλώνω εκφυλισμός.

Αν τώρα λάβουμε υπόψη την ασθενή αλληλεπίδραση του σπιν με το μαγνητικό πεδίο των τροχιακών ρευμάτων, τότε η ενέργεια της κατάστασης θα εξαρτηθεί και από τον προσανατολισμό του σπιν ως προς την τροχιακή ορμή. Η μεταβολή της ενέργειας κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας αλληλεπίδρασης είναι μικρή σε σύγκριση με την ενεργειακή διαφορά μεταξύ επιπέδων με διαφορετικά n, lκαι επομένως οι αναδυόμενες νέες γραμμές είναι κοντά η μία στην άλλη.

Έτσι, η διαφορά στους προσανατολισμούς της ροπής σπιν σε σχέση με το εσωτερικό μαγνητικό πεδίο του ατόμου μπορεί να εξηγήσει την προέλευση της πολλαπλότητας των φασματικών γραμμών. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι για άτομα με ένα οπτικό ηλεκτρόνιο, μόνο διπλές (διπλές γραμμές) είναι δυνατές λόγω δύο προσανατολισμών του σπιν ηλεκτρονίων. Αυτό το συμπέρασμα επιβεβαιώνεται από πειραματικά δεδομένα. Ας στραφούμε τώρα στην αρίθμηση των επιπέδων του ατόμου, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλή δομή. Όταν λαμβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς, ούτε η τροχιακή ορμή ούτε η ορμή σπιν έχουν καθορισμένη τιμή σε μια κατάσταση με συγκεκριμένη ενέργεια (οι τελεστές και δεν μετακινούνται με τον χειριστή). Σύμφωνα με την κλασική μηχανική, θα είχαμε μια μετάπτωση διανυσμάτων και γύρω από το διάνυσμα της συνολικής ροπής, όπως φαίνεται στο Σχ. 20. Η συνολική ροπή παραμένει σταθερή. Μια παρόμοια κατάσταση συμβαίνει στην κβαντική μηχανική. Όταν λαμβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση σπιν, μόνο η συνολική ροπή έχει μια ορισμένη τιμή σε μια κατάσταση με δεδομένη ενέργεια (ο χειριστής μετακινείται με τον χειριστή). Επομένως, όταν λαμβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς, η κατάσταση θα πρέπει να ταξινομηθεί σύμφωνα με την τιμή της συνολικής ορμής. Η συνολική ορμή κβαντίζεται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες με την τροχιακή ορμή. Δηλαδή, αν εισάγουμε τον κβαντικό αριθμό ι, που προσδιορίζει τη στιγμή J, έπειτα

Μια προβολή σε κάποια κατεύθυνση 0 zέχει το νόημα J z = χμ ι, όπου ι= l + μεγάλο μικρό (μεγάλο μικρό= S) εάν το σπιν είναι παράλληλο με την τροχιακή ροπή, και ι= | μεγάλο- μεγάλο μικρό| αν είναι αντιπαράλληλα. Με παρόμοιο τρόπο Μ ι = m+m μικρό (Μ μικρό= ±1/2). Επειδή τα l,m είναι ακέραιοι, και μεγάλο μικρό ,μεγάλο Μ- μισά, λοιπόν

ι = 1/2, 3/2, 5/2, … ; Μ ι= ±1/2, ±3/2, … , ± ι.

Ανάλογα με τον προσανατολισμό της περιστροφής, η ενέργεια του όρου θα είναι διαφορετική, δηλαδή, θα είναι για ι = μεγάλο+ S και ι = |μεγάλο- S|. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση, τα επίπεδα ενέργειας θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από τους αριθμούς n, l και τον αριθμό j, που καθορίζει τη συνολική ροπή, δηλαδή E = E nlj .

Οι συναρτήσεις κύματος θα εξαρτώνται από τη μεταβλητή spin S z και θα είναι διαφορετικές για διαφορετικά j: .

Κβαντικά επίπεδα για ένα δεδομένο μεγάλο, διαφέρουν σε αξία ι, είναι κοντά το ένα στο άλλο (διαφέρουν ως προς την ενέργεια της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς). Τέσσερις αριθμοί n, l, j, m ιμπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές:

n= 1, 2, 3,…; μεγάλο= 0, 1, 2,…, n- 1; ι = l+l μικρόή | λ - λ μικρό |; μεγάλο μικρό= ±1/2;

-j; Μ ι ? ι.

Η τιμή της τροχιακής ροπής l συμβολίζεται στη φασματοσκοπία με τα γράμματα s, p, d, f, κ.λπ. Ο κύριος κβαντικός αριθμός τοποθετείται μπροστά από τα γράμματα. αριθμός κάτω δεξιά ι.Επομένως, για παράδειγμα, το επίπεδο (όρος) με n= 3, l = 1, ι= 3/2 συμβολίζονται ως 3 R 3/2. Το σχήμα 21 δείχνει το διάγραμμα στάθμης ενός ατόμου που μοιάζει με υδρογόνο, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλή δομή. Γραμμές 5890 ? και 5896; μορφή

γνωστή διπλή νάτριο: κίτρινες γραμμές D2 και D1. 2 μικρό-Η θερμότητα απομακρύνθηκε πολύ από το 2 R- όρους, όπως θα έπρεπε να είναι σε άτομα που μοιάζουν με υδρογόνο ( μεγάλο- αφαιρέθηκε ο εκφυλισμός).

Κάθε ένα από τα εξεταζόμενα επίπεδα μι nlανήκει (2 ι+ 1) καταστάσεις που διαφέρουν ως προς τον αριθμό Μ ι, δηλαδή τον προσανατολισμό της συνολικής ροπής J στο χώρο. Μόνο όταν εφαρμόζεται ένα εξωτερικό πεδίο μπορούν να διαχωριστούν αυτά τα επίπεδα συγχώνευσης. Ελλείψει τέτοιου πεδίου, έχουμε (2 ι+ 1)-διπλώνω degeneracy. Ο όρος 2 λοιπόν μικρόΤο 1/2 έχει εκφυλισμό 2: δύο καταστάσεις που διαφέρουν ως προς τον προσανατολισμό περιστροφής. Θερμ 2 RΤα 3/2 έχουν τετραπλό εκφυλισμό σύμφωνα με τους προσανατολισμούς της στιγμής J, Μ ι= ±1/2, ±3/2.

ZEEMAN EFFECT.Ο P. Zeeman, μελετώντας το φάσμα εκπομπής των ατμών νατρίου που τοποθετούνται σε ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, ανακάλυψε τη διάσπαση των φασματικών γραμμών σε διάφορα συστατικά. Στη συνέχεια, με βάση τις κβαντομηχανικές έννοιες, αυτό το φαινόμενο εξηγήθηκε από τη διάσπαση των ενεργειακών επιπέδων ενός ατόμου σε ένα μαγνητικό πεδίο.

Τα ηλεκτρόνια σε ένα άτομο μπορούν να βρίσκονται μόνο σε ορισμένες διακριτές καταστάσεις, όταν αλλάζουν, ένα κβάντο φωτός εκπέμπεται ή απορροφάται. Η ενέργεια ενός ατομικού επιπέδου εξαρτάται από τη συνολική τροχιακή ορμή, που χαρακτηρίζεται από τον τροχιακό κβαντικό αριθμό μεγάλοκαι το συνολικό σπιν των ηλεκτρονίων του, που χαρακτηρίζεται από τον κβαντικό αριθμό σπιν μικρό. Αριθμός μεγάλομπορεί να πάρει μόνο ακέραιους αριθμούς, μικρό- ολόκληρος και μισός ακέραιος αριθμός (σε μονάδες η). Προς την κατεύθυνση που μπορούν να πάρουν αντίστοιχα (2 μεγάλο+ 1) και (2 μικρό+ 1) θέσεις στο διάστημα. Άρα το επίπεδο δεδομένων μεγάλοκαι μικρόεκφυλισμένος: αποτελείται από (2 μεγάλο+ 1)(2S +1) υποεπίπεδα, οι ενέργειες των οποίων (αν αγνοηθεί η αλληλεπίδραση σπιν-τροχίας) συμπίπτουν.

Η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς οδηγεί, ωστόσο, στο γεγονός ότι η ενέργεια του επιπέδου εξαρτάται όχι μόνο από τις ποσότητες μεγάλοκαι ΜΙΚΡΟ,αλλά και στην αμοιβαία διάταξη των διανυσμάτων τροχιακής ορμής και σπιν. Επομένως, η ενέργεια εξαρτάται επίσης από τη συνολική στιγμή Μ = Μ μεγάλο + Μ μικρό, που καθορίζεται από τον κβαντικό αριθμό J, και το επίπεδο με δεδομένο μεγάλοκαι μικρόχωρίζεται σε πολλά υποεπίπεδα (σχηματίζοντας ένα πολλαπλό) με διαφορετικά J. Αυτή η διάσπαση ονομάζεται δομή λεπτού επιπέδου. Λόγω της λεπτής δομής, οι φασματικές γραμμές διαχωρίζονται επίσης. Για παράδειγμα, ρε- η γραμμή νατρίου αντιστοιχεί στη μετάβαση από το επίπεδο μεγάλο = 1 , μικρό= ½ ανά επίπεδο γ μεγάλο = 0, μικρό= Σ. Το πρώτο από αυτά (επίπεδα) είναι ένα διπλό που αντιστοιχεί στις πιθανές τιμές J= 3/2 και J= Ѕ ( J =μεγάλο + μικρό; μικρό= ±1/2), ενώ το δεύτερο δεν έχει λεπτή δομή. Να γιατί ρε-Η γραμμή αποτελείται από δύο πολύ κοντινές γραμμές με μήκη κύματος 5896; και 5890;.

Κάθε επίπεδο του πολλαπλού εξακολουθεί να παραμένει εκφυλισμένο λόγω της δυνατότητας προσανατολισμού της συνολικής μηχανικής ροπής στο χώρο σύμφωνα με (2 ι+ 1) οδηγίες. Σε ένα μαγνητικό πεδίο, αυτός ο εκφυλισμός αφαιρείται. Η μαγνητική ροπή ενός ατόμου αλληλεπιδρά με το πεδίο και η ενέργεια μιας τέτοιας αλληλεπίδρασης εξαρτάται από την κατεύθυνση. Επομένως, ανάλογα με την κατεύθυνση, το άτομο αποκτά διαφορετικές πρόσθετες ενέργειες στο μαγνητικό πεδίο και το επίπεδο Zeeman χωρίζεται σε (2 ι+ 1) υποεπίπεδα.

Διακρίνω κανονικό (απλό) φαινόμενο Zeeman όταν κάθε γραμμή χωρίζεται σε τρία στοιχεία και ανώμαλο (σύνθετο) όταν κάθε γραμμή χωρίζεται σε περισσότερα από τρία στοιχεία.

Για να κατανοήσετε τους γενικούς νόμους του φαινομένου Zeeman, εξετάστε το απλούστερο άτομο - το άτομο υδρογόνου. Αν ένα άτομο υδρογόνου τοποθετηθεί σε εξωτερικό ομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο με επαγωγή ΣΤΟ,τότε λόγω της αλληλεπίδρασης της μαγνητικής ροπής R Μμε ένα εξωτερικό πεδίο, το άτομο θα αποκτήσει μια πρόσθετη εξάρτηση ανάλογα με τις μονάδες και τον αμοιβαίο προσανατολισμό ΣΤΟκαι rmενέργεια

UB= -pmB = -pmBB,

όπου pmB- προβολή της μαγνητικής ροπής του ηλεκτρονίου στην κατεύθυνση του πεδίου.

Δεδομένου ότι R mB =-εχμ μεγάλο /(2m)(μαγνητικός κβαντικός αριθμός Μ μεγάλο= 0, ±1, ±2, …, ±l), λαμβάνουμε

Bohr magneton.

Ολική ενέργεια ατόμου υδρογόνου σε μαγνητικό πεδίο

όπου ο πρώτος όρος είναι η ενέργεια της αλληλεπίδρασης Coulomb μεταξύ ενός ηλεκτρονίου και ενός πρωτονίου.

Από τον τελευταίο τύπο προκύπτει ότι ελλείψει μαγνητικού πεδίου (B = 0) το επίπεδο ενέργειας προσδιορίζεται μόνο από τον πρώτο όρο. Πότε είναι το V; 0, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι διάφορες επιτρεπόμενες τιμές του m l . Αφού για δεδομένο nκαι μεγάλοο αριθμός m l μπορεί να πάρει 2 μεγάλο+ 1 πιθανές τιμές, τότε το αρχικό επίπεδο θα χωριστεί σε 2 μεγάλο+ 1 υποεπίπεδα.

Στο σχ. Το 22a δείχνει πιθανές μεταβάσεις στο άτομο υδρογόνου μεταξύ των καταστάσεων R(μεγάλο= 1) και μικρό (μεγάλο= 0). Σε ένα μαγνητικό πεδίο, η κατάσταση p χωρίζεται σε τρία υποεπίπεδα (για l = 1 m = 0, ±1), από καθένα από τα οποία μπορούν να συμβούν μεταβάσεις στο επίπεδο s και κάθε μετάβαση χαρακτηρίζεται από τη δική της συχνότητα: εμφανίζεται μια τριάδα στο φάσμα (το φυσιολογικό φαινόμενο Zeeman). Σημειώστε ότι οι μεταβάσεις υπακούουν στους κανόνες για την επιλογή κβαντικών αριθμών:

Στο σχ. Το 22b δείχνει τη διάσπαση των ενεργειακών επιπέδων και των φασματικών γραμμών για τη μετάβαση μεταξύ των καταστάσεων ρε(μεγάλο= 2) και Π(μεγάλο= 1). κατάσταση ρεσε μαγνητικό πεδίο

χωρίζεται σε πέντε υποεπίπεδα, η κατάσταση p - σε τρία. Όταν λαμβάνονται υπόψη οι κανόνες μετάβασης, είναι δυνατές μόνο οι μεταβάσεις που υποδεικνύονται στο σχήμα. Όπως φαίνεται, μια τριπλέτα εμφανίζεται στο φάσμα (το φυσιολογικό φαινόμενο Zeeman).

Το κανονικό φαινόμενο Zeeman παρατηρείται εάν οι αρχικές γραμμές δεν έχουν λεπτή δομή (είναι μονές). Εάν τα αρχικά επίπεδα έχουν λεπτή δομή, τότε εμφανίζεται μεγαλύτερος αριθμός συστατικών στο φάσμα και παρατηρείται ανώμαλο φαινόμενο Zeeman.