Κατά τη μελέτη συστημάτων αυτόματου ελέγχου, είναι βολικό να χρησιμοποιείται ένα ακόμη χαρακτηριστικό μιας στατικής τυχαίας διαδικασίας, που ονομάζεται φασματική πυκνότητα. Σε πολλές περιπτώσεις, ειδικά κατά τη μελέτη του μετασχηματισμού στατικών τυχαίων διεργασιών από γραμμικά συστήματα ελέγχου, η φασματική πυκνότητα αποδεικνύεται ότι είναι πιο βολικό χαρακτηριστικό από τη συνάρτηση συσχέτισης. Η φασματική πυκνότητα μιας τυχαίας διεργασίας ορίζεται ως ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης, δηλ.

Εάν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Euler, τότε το (9.52) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Εφόσον η συνάρτηση είναι περιττή, τότε στην τελευταία παράσταση το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν. Λαμβάνοντας υπόψη ότι μια άρτια συνάρτηση, παίρνουμε

Εφόσον από την (9.53) προκύπτει ότι

Έτσι η φασματική πυκνότητα είναι μια πραγματική και άρτια συνάρτηση της συχνότητας o). Επομένως, στο γράφημα, η φασματική πυκνότητα είναι πάντα συμμετρική ως προς τον άξονα y.

Εάν η φασματική πυκνότητα είναι γνωστή, τότε με τον τύπο του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, μπορεί κανείς να βρει τη συνάρτηση συσχέτισης που αντιστοιχεί σε αυτόν:

Χρησιμοποιώντας τα (9.55) και (9.38), μπορεί κανείς να δημιουργήσει μια σημαντική σχέση μεταξύ της διακύμανσης και της φασματικής πυκνότητας μιας τυχαίας διαδικασίας:

Ο όρος «φασματική πυκνότητα» οφείλει την προέλευσή του στη θεωρία των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Η φυσική σημασία της φασματικής πυκνότητας μπορεί να εξηγηθεί ως εξής.

Έστω - η τάση που εφαρμόζεται στην ωμική αντίσταση 1 Ohm, τότε η μέση ισχύς που καταναλώνεται σε αυτήν την αντίσταση με την πάροδο του χρόνου είναι ίση με

Αν αυξήσουμε το διάστημα παρατήρησης σε άπειρα όρια και χρησιμοποιήσουμε (9,30), (9,38) και (9,55), τότε μπορούμε να γράψουμε τον τύπο για τη μέση ισχύ ως εξής:

Η εξίσωση (9.57) δείχνει ότι η μέση ισχύς σήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα άπειρο άθροισμα απειροελάχιστων όρων , το οποίο ισχύει για όλες τις συχνότητες από 0 έως

Κάθε στοιχειώδης όρος αυτού του αθροίσματος παίζει το ρόλο μιας ισχύος που αντιστοιχεί σε ένα απείρως μικρό τμήμα του φάσματος, που περικλείεται στην περιοχή από έως. Κάθε στοιχειώδης ισχύς είναι ανάλογη με την τιμή της συνάρτησης για μια δεδομένη συχνότητα. Επομένως, η φυσική σημασία της φασματικής πυκνότητας είναι ότι χαρακτηρίζει την κατανομή ισχύος του σήματος στο φάσμα συχνοτήτων.

Η φασματική πυκνότητα μπορεί να βρεθεί πειραματικά μέσω της μέσης τιμής του τετραγωνικού πλάτους των αρμονικών της πραγματοποίησης μιας τυχαίας διαδικασίας. Τα όργανα που χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό και αποτελούνται από έναν αναλυτή φάσματος και έναν υπολογιστή της μέσης τιμής του τετραγώνου του πλάτους των αρμονικών ονομάζονται φασματόμετρα. Είναι πιο δύσκολο να βρεθεί πειραματικά η φασματική πυκνότητα από τη συνάρτηση συσχέτισης, επομένως, στην πράξη, πιο συχνά η φασματική πυκνότητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη γνωστή συνάρτηση συσχέτισης χρησιμοποιώντας τον τύπο (9.52) ή (9.53).

Η αμοιβαία φασματική πυκνότητα δύο στατικών τυχαίων διεργασιών ορίζεται ως ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης, δηλ.

Χρησιμοποιώντας τη διασταυρούμενη φασματική πυκνότητα, εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier στο (9.58), μπορούμε να βρούμε μια έκφραση για τη συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης:

Η αμοιβαία φασματική πυκνότητα είναι ένα μέτρο της στατιστικής σχέσης μεταξύ δύο στατικών τυχαίων διεργασιών: Εάν οι διεργασίες είναι ασυσχετισμένες και έχουν μηδενικές μέσες τιμές, τότε η αμοιβαία φασματική πυκνότητα είναι μηδέν, δηλ.

Σε αντίθεση με τη φασματική πυκνότητα, η αμοιβαία φασματική πυκνότητα δεν είναι άρτια συνάρτηση του o και δεν είναι πραγματική, αλλά σύνθετη συνάρτηση.

εξετάστε μερικές ιδιότητες των φασματικών πυκνοτήτων

1 Η φασματική πυκνότητα μιας καθαρής τυχαίας διεργασίας ή λευκού θορύβου είναι σταθερή σε όλο το εύρος συχνοτήτων (βλ. Εικ. 9.5, δ):

Πράγματι, αντικαθιστώντας την έκφραση (9.47) για τη συνάρτηση συσχέτισης του λευκού θορύβου σε (9.52), λαμβάνουμε

Η σταθερότητα της φασματικής πυκνότητας του λευκού θορύβου σε ολόκληρο το άπειρο εύρος συχνοτήτων, που προκύπτει στην τελευταία έκφραση, σημαίνει ότι η ενέργεια του λευκού θορύβου κατανέμεται ομοιόμορφα σε ολόκληρο το φάσμα και η συνολική ενέργεια της διαδικασίας είναι ίση με το άπειρο. Αυτό δείχνει τη φυσική μη πραγματοποίηση μιας τυχαίας διαδικασίας όπως ο λευκός θόρυβος. Ο λευκός θόρυβος είναι μια μαθηματική εξιδανίκευση μιας πραγματικής διαδικασίας. Στην πραγματικότητα, το φάσμα συχνοτήτων πέφτει σε πολύ υψηλές συχνότητες (όπως φαίνεται από τη διακεκομμένη γραμμή στο Σχήμα 9.5δ). Εάν, ωστόσο, αυτές οι συχνότητες είναι τόσο μεγάλες που δεν παίζουν ρόλο κατά την εξέταση μιας συγκεκριμένης συσκευής (επειδή βρίσκονται εκτός της ζώνης συχνοτήτων που διέρχεται από αυτήν τη συσκευή), τότε η εξιδανίκευση του σήματος με τη μορφή λευκού θορύβου απλοποιεί την εξέταση και επομένως είναι αρκετά κατάλληλο.

Η προέλευση του όρου "λευκός θόρυβος" εξηγείται από την αναλογία μιας τέτοιας διαδικασίας με το λευκό φως, το οποίο έχει τις ίδιες εντάσεις όλων των συστατικών, και από το γεγονός ότι τυχαίες διεργασίες όπως ο λευκός θόρυβος εντοπίστηκαν για πρώτη φορά στη μελέτη του θερμικού θόρυβος διακύμανσης σε συσκευές ραδιομηχανικής.

2. Η φασματική πυκνότητα ενός σταθερού σήματος είναι μια -συνάρτηση που βρίσκεται στην αρχή (βλ. Εικ. 9.5, α), δηλ.

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή (9.62) και το αντέμ σύμφωνα με το (9.55) τη συνάρτηση συσχέτισης που αντιστοιχεί σε αυτήν. Επειδή

τότε όταν φτάσουμε

Αυτό (σύμφωνα με την ιδιότητα 5 των συναρτήσεων συσχέτισης) σημαίνει ότι το σήμα που αντιστοιχεί στη φασματική πυκνότητα που ορίζεται από το (9.62) είναι ένα σταθερό σήμα ίσο με

Το γεγονός ότι η φασματική πυκνότητα είναι συνάρτηση του at σημαίνει ότι όλη η ισχύς του σταθερού σήματος συγκεντρώνεται σε μηδενική συχνότητα, κάτι που είναι αναμενόμενο.

3. Η φασματική πυκνότητα ενός περιοδικού σήματος είναι δύο συναρτήσεων που βρίσκονται συμμετρικά ως προς την αρχή των συντεταγμένων στο (βλ. Εικ. 9.5, e), δηλ.

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή (9.63) και να βρούμε από το (9.55) τη συνάρτηση συσχέτισης που αντιστοιχεί σε αυτήν:

Αυτό (σύμφωνα με την ιδιότητα 6 των συναρτήσεων συσχέτισης) σημαίνει ότι το σήμα που αντιστοιχεί στη φασματική πυκνότητα που προσδιορίζεται από το (9.63) είναι ένα περιοδικό σήμα ίσο με

Το γεγονός ότι η φασματική πυκνότητα είναι δύο -συναρτήσεις που βρίσκονται στο σημαίνει ότι ολόκληρη η ισχύς του περιοδικού σήματος συγκεντρώνεται σε δύο συχνότητες: Αν θεωρήσουμε τη φασματική πυκνότητα μόνο στην περιοχή των θετικών συχνοτήτων, παίρνουμε:

ότι όλη η ισχύς του περιοδικού σήματος θα συγκεντρωθεί σε μία συχνότητα.

4. Με βάση τα παραπάνω, η φασματική πυκνότητα της συνάρτησης χρόνου που επεκτάθηκε σε σειρά Fourier έχει τη μορφή

Αυτή η φασματική πυκνότητα αντιστοιχεί σε ένα φάσμα γραμμής (Εικ. 9.9) με -συναρτήσεις που βρίσκονται σε θετικές και αρνητικές αρμονικές συχνότητες. Στο σχ. 9.9 - οι συναρτήσεις απεικονίζονται υπό όρους έτσι ώστε τα ύψη τους να εμφανίζονται ως αναλογικοί συντελεστές σε μια συνάρτηση μονάδας, δηλαδή στις τιμές και

που συμπίπτει πλήρως με τη συνάρτηση συσχέτισης που προσδιορίζεται από το (9.45).

Από το σχ. 9.5, b, c φαίνεται ότι όσο ευρύτερο είναι το γράφημα της φασματικής πυκνότητας, τόσο στενότερο είναι το γράφημα της αντίστοιχης συνάρτησης συσχέτισης και αντίστροφα. Αυτό αντιστοιχεί στη φυσική φύση της διαδικασίας: όσο ευρύτερο είναι το γράφημα φασματικής πυκνότητας, δηλαδή όσο υψηλότερες είναι οι συχνότητες που αντιπροσωπεύονται στη φασματική πυκνότητα, τόσο υψηλότερος είναι ο βαθμός μεταβλητότητας της τυχαίας διαδικασίας και τα ίδια γραφήματα της συνάρτησης συσχέτισης. Με άλλα λόγια, η σχέση μεταξύ της μορφής της φασματικής πυκνότητας και της μορφής της συνάρτησης χρόνου είναι αντίστροφη σε σύγκριση με τη σχέση μεταξύ της συνάρτησης συσχέτισης και της μορφής της συνάρτησης χρόνου. Αυτό είναι ιδιαίτερα έντονο όταν εξετάζετε ένα σταθερό σήμα και έναν λευκό θόρυβο. Στην πρώτη περίπτωση, η συνάρτηση συσχέτισης έχει τη μορφή οριζόντιας ευθείας γραμμής και η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή συνάρτησης (βλ. Εικ. 9.5, α). Στη δεύτερη περίπτωση (βλ. Εικ. 9.5, δ) γίνεται η αντίστροφη εικόνα.

6. Η φασματική πυκνότητα μιας τυχαίας διαδικασίας, στην οποία υπερτίθενται περιοδικές συνιστώσες, περιέχει ένα συνεχές μέρος και επιμέρους συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις συχνότητες των περιοδικών συνιστωσών.

Οι επιμέρους κορυφές στο διάγραμμα φασματικής πυκνότητας υποδεικνύουν ότι η τυχαία διαδικασία αναμειγνύεται με κρυμμένα περιοδικά στοιχεία που μπορεί να μην αποκαλυφθούν με την πρώτη ματιά στα μεμονωμένα αρχεία της διαδικασίας. Εάν, για παράδειγμα, ένα περιοδικό σήμα με συχνότητα υπερτίθεται σε μια τυχαία διεργασία, τότε το γράφημα. Η φασματική πυκνότητα έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 9.10,

Μερικές φορές ένα κανονικοποιημένο

η φασματική πυκνότητα που είναι η εικόνα Fourier της κανονικοποιημένης συνάρτησης συσχέτισης (9.48):

Η κανονικοποιημένη φασματική πυκνότητα έχει τη διάσταση του χρόνου.

Στη στατιστική ραδιομηχανική και τη φυσική, κατά τη μελέτη ντετερμινιστικών σημάτων και τυχαίων διεργασιών, η φασματική τους αναπαράσταση με τη μορφή φασματικής πυκνότητας, η οποία βασίζεται στον μετασχηματισμό Fourier, χρησιμοποιείται ευρέως.

Εάν η διαδικασία $x(t)$έχει πεπερασμένη ενέργεια και είναι τετραγωνικά ολοκληρωμένη (και αυτή είναι μια μη στάσιμη διαδικασία), τότε για μια υλοποίηση της διαδικασίας, ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να οριστεί ως μια τυχαία σύνθετη συνάρτηση συχνότητας:

Λειτουργία $S\_x(f)=|X(f)|^2$χαρακτηρίζει έτσι την κατανομή της ενέργειας πραγματοποίησης κατά μήκος του άξονα συχνότητας και ονομάζεται φασματική πυκνότητα πραγματοποίησης. Με τον μέσο όρο αυτής της συνάρτησης σε όλες τις πραγματοποιήσεις, μπορεί κανείς να λάβει τη φασματική πυκνότητα της διαδικασίας.

Ας στραφούμε τώρα σε μια ευρέως ακίνητη στοχαστική διαδικασία $x(t)$, των οποίων οι πραγματοποιήσεις έχουν άπειρη ενέργεια με πιθανότητα 1 και, επομένως, δεν έχουν μετασχηματισμό Fourier. Η φασματική πυκνότητα ισχύος μιας τέτοιας διαδικασίας μπορεί να βρεθεί με βάση το θεώρημα Wiener-Khinchin ως ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης:

Αν υποθέσουμε στους τύπους (3) και (4), αντίστοιχα, $f=0$και $\backslash tau=0$, έχουμε

5

6

Ο τύπος (6), λαμβάνοντας υπόψη το (2), δείχνει ότι η διακύμανση καθορίζει τη συνολική ενέργεια μιας στατικής τυχαίας διεργασίας, η οποία είναι ίση με την περιοχή κάτω από την καμπύλη φασματικής πυκνότητας. Τιμή διαστάσεων $S\_x(f)df$μπορεί να ερμηνευθεί ως το κλάσμα της ενέργειας που συγκεντρώνεται σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτων από $f-df/2$πριν $f+df/2$. Αν κατανοηθεί από $x(t)$τυχαίο ρεύμα (διακύμανση) ρεύμα ή τάση, μετά την τιμή $S\_x(f)$θα έχει διάσταση ενέργειας [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Να γιατί $S\_x(f)$μερικές φορές ονομάζεται ενεργειακό φάσμα. Συχνά μπορείτε να βρείτε μια άλλη ερμηνεία στη βιβλιογραφία: $\backslash sigma\_x^2$- θεωρείται ως η μέση ισχύς που απελευθερώνεται από το ρεύμα ή την τάση σε αντίσταση 1 ohm. Ταυτόχρονα, η αξία $S\_x(f)$που ονομάζεται φάσμα ισχύοςτυχαία διαδικασία.

Ιδιότητες Φασματικής Πυκνότητας

• Το ενεργειακό φάσμα μιας στατικής διεργασίας (πραγματικό ή σύνθετο) είναι μια μη αρνητική τιμή:

• συνάρτηση συσχέτισης $k\_x(\backslash tau)$και ενεργειακό φάσμα $S\_x(f)$στάσιμα με την ευρεία έννοια μιας τυχαίας διεργασίας έχουν όλες τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν ένα ζεύγος αμοιβαίων μετασχηματισμών Fourier. Συγκεκριμένα, όσο πιο «ευρύ» είναι το φάσμα $S\_x(f)$η «στενότερη» συνάρτηση συσχέτισης $k\_x(\backslash tau)$, και αντίστροφα. Αυτό το αποτέλεσμα ποσοτικοποιείται ως αρχή ή σχέση αβεβαιότητας.

δείτε επίσης

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Spectral Density"

Βιβλιογραφία

1. Zyuko, A. G.Θεωρία μετάδοσης σήματος / A. G. Zyuko [et al.]. - Μ .: Επικοινωνία, 1980. - 288 σελ.
2. Tikhonov, V. I.Στατιστική ανάλυση και σύνθεση συσκευών και συστημάτων ραδιομηχανικής / V. I. Tikhonov, V. N. Kharisov. - Μ .: Ραδιόφωνο και επικοινωνία, 2004. - 608 σελ. - ISBN 5-256-01701-2.
3. Tikhonov, V. I.Στατιστική θεωρία συσκευών ραδιομηχανικής / V. I. Tikhonov, Yu. N. Bakaev. - Μ .: Ακαδημία. καθ. N. E. Zhukovsky, 1978. - 420 p.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τη Φασματική Πυκνότητα

«Λοιπόν, ακόμα κι αν αυτός και ο άλλος λήστεψαν το κράτος και τον βασιλιά, και το κράτος και ο βασιλιάς του αποδίδουν τιμές. και χθες μου χαμογέλασε και μου ζήτησε να έρθω, και την αγαπώ, και κανείς δεν θα το μάθει ποτέ αυτό», σκέφτηκε.
Ο Πιερ πήγε ακόμα στην κοινωνία, έπινε το ίδιο και έκανε την ίδια αδράνεια και αποσπασμένη ζωή, επειδή, εκτός από εκείνες τις ώρες που περνούσε με τους Ροστόφ, έπρεπε να περάσει τον υπόλοιπο χρόνο και τις συνήθειες και τις γνωριμίες που έκανε στη Μόσχα, τον προσέλκυσε ακαταμάχητα στη ζωή που τον συνέλαβε. Αλλά πρόσφατα, όταν όλο και πιο ανησυχητικές φήμες ήρθαν από το θέατρο του πολέμου, και όταν η υγεία της Νατάσα άρχισε να βελτιώνεται και έπαψε να προκαλεί μέσα του το προηγούμενο αίσθημα του λιτού οίκτου, άρχισε να τον καταλαμβάνει όλο και πιο ακατανόητη ανησυχία. Ένιωθε ότι η θέση στην οποία βρισκόταν δεν μπορούσε να διαρκέσει πολύ, ότι ερχόταν μια καταστροφή που έμελλε να αλλάξει όλη του τη ζωή και έψαχνε ανυπόμονα να βρει σημάδια αυτής της καταστροφής που πλησίαζε σε όλα. Ένας από τους Τεκτονικούς αδελφούς αποκάλυψε στον Πιέρ την ακόλουθη προφητεία, που προέρχεται από την Αποκάλυψη του Ευαγγελιστή Ιωάννη, σχετικά με τον Ναπολέοντα.
Στην Αποκάλυψη, κεφάλαιο δέκατο τρίτο, στίχος δέκατο όγδοο, λέγεται: «Εδώ είναι η σοφία. Όποιος έχει μυαλό, ας τιμήσει τον αριθμό του θηρίου· γιατί ο αριθμός του ανθρώπου είναι και ο αριθμός του είναι εξακόσια εξήντα έξι.
Και το ίδιο κεφάλαιο στον στίχο πέμπτο: «Και του δόθηκε το στόμα λέγοντας μεγάλος και βλάσφημος. και του δόθηκε μια περιφέρεια για να δημιουργήσει τετράμηνο - δέκα δίμηνο.
Τα γαλλικά γράμματα, όπως ο εβραϊκός αριθμός στην εικόνα, σύμφωνα με τον οποίο τα πρώτα δέκα γράμματα είναι μονάδες και τα άλλα δεκάδες, έχουν την εξής σημασία:
a b c d e f g h i k.. l..m..n..o..p..q..r..s..t.. u…v w.. x.. y.. z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Έχοντας γράψει τις λέξεις L "empereur Napoleon [Emperor Napoleon] σε αυτό το αλφάβητο, αποδεικνύεται ότι το άθροισμα αυτών των αριθμών είναι 666 και ότι επομένως ο Ναπολέων είναι το θηρίο που προβλέφθηκε στην Αποκάλυψη. Επιπλέον, γράφοντας τις λέξεις quarante deux στο ίδιο αλφάβητο [ σαράντα δύο], δηλαδή το όριο που είχε τεθεί για το θηρίο να μιλάει μεγάλο και βλάσφημο, το άθροισμα αυτών των αριθμών, που απεικονίζουν quarante deux, είναι και πάλι ίσο με 666 ti, από το οποίο προκύπτει ότι το όριο του Ναπολέοντα Η εξουσία ήρθε το 1812, κατά την οποία ο Γάλλος αυτοκράτορας πέρασε 42 Αυτή η πρόβλεψη χτύπησε πολύ τον Πιέρ, και συχνά ρωτούσε τον εαυτό του για το τι ακριβώς θα έθετε το όριο στη δύναμη του θηρίου, δηλαδή του Ναπολέοντα, και, με βάση οι ίδιες εικόνες λέξεων σε αριθμούς και υπολογισμούς, προσπάθησε να βρει την απάντηση στο ερώτημα που τον απασχολούσε.Ο Pierre έγραψε απαντώντας σε αυτό το ερώτημα: L "empereur Alexandre? La Nation Russe; [Αυτοκράτορας Αλέξανδρος; Ρωσικός λαός;] Μέτρησε τα γράμματα, αλλά το άθροισμα των αριθμών βγήκε πολύ περισσότερο ή λιγότερο από 666 ti. Κάποτε, κάνοντας αυτούς τους υπολογισμούς, έγραψε το όνομά του - Comte Pierre Besouhoff. Ούτε το άθροισμα των αριθμών πήγε μακριά. Αυτός, έχοντας αλλάξει την ορθογραφία, βάζοντας z αντί για s, πρόσθεσε de, πρόσθεσε άρθρο le, και πάλι δεν πήρε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Τότε σκέφτηκε ότι αν η απάντηση στην ερώτηση που έψαχνε συνίστατο στο όνομά του, τότε η εθνικότητά του θα αναγραφόταν σίγουρα στην απάντηση. Έγραψε το Le Russe Besuhoff και, μετρώντας τους αριθμούς, πήρε 671. Μόνο το 5 ήταν επιπλέον. 5 σημαίνει "e", το ίδιο "e" που έπεσε στο άρθρο πριν από τη λέξη L "empereur. Έχοντας απορρίψει το "e" με τον ίδιο τρόπο, αν και εσφαλμένα, ο Pierre έλαβε την επιθυμητή απάντηση. L "Russe Besuhof, ίσο έως 666 ti. Η ανακάλυψη τον ενθουσίασε. Πώς, με ποια σχέση συνδέθηκε με εκείνο το μεγάλο γεγονός που είχε προβλεφθεί στην Αποκάλυψη, δεν ήξερε; αλλά δεν αμφέβαλλε ούτε για μια στιγμή αυτή τη σύνδεση. Η αγάπη του για τη Ροστόβα, τον Αντίχριστο, την εισβολή του Ναπολέοντα, τον κομήτη, 666, l "αυτοκράτορας Ναπολέων και l" Russe Besuhof - όλα αυτά μαζί θα έπρεπε να είχαν ωριμάσει, να εκραγεί και να τον βγάλουν από αυτόν τον μαγεμένο, ασήμαντο κόσμο των συνηθειών της Μόσχας στο που ένιωσε ο ίδιος αιχμάλωτος, και τον οδήγησε σε ένα μεγάλο κατόρθωμα και μεγάλη ευτυχία.
Την παραμονή της Κυριακής κατά την οποία διαβάστηκε η προσευχή, ο Πιέρ υποσχέθηκε στους Ροστόφ να τους φέρει από τον Κόμη Ροστόπτσιν, με τον οποίο γνώριζε καλά, τόσο μια έκκληση στη Ρωσία όσο και τα τελευταία νέα από τον στρατό. Το πρωί, αφού κάλεσε τον Κόμη Ροστόπτσιν, ο Πιέρ βρήκε έναν αγγελιαφόρο από τον στρατό που μόλις είχε φτάσει στη θέση του. 1. Σήματα και φάσματα. Θεωρητικά θεμέλια της ψηφιακής επικοινωνίας

1. Σήματα και φάσματα

1.1. Επεξεργασία σήματος στις ψηφιακές επικοινωνίες

1.1.1. Γιατί "ψηφιακό"

Γιατί χρησιμοποιούνται «αριθμοί» σε στρατιωτικά και εμπορικά συστήματα επικοινωνιών; Υπάρχουν πολλοί λόγοι. Το κύριο πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι η ευκολία ανακατασκευής των ψηφιακών σημάτων σε σύγκριση με τα αναλογικά. Σκεφτείτε το Σχ. 1.1, το οποίο δείχνει έναν ιδανικό δυαδικό ψηφιακό παλμό που διαδίδεται μέσω ενός καναλιού δεδομένων. Η κυματομορφή επηρεάζεται από δύο κύριους μηχανισμούς: (1) αφού όλα τα κανάλια και οι γραμμές μετάδοσης έχουν μη ιδανική απόκριση συχνότητας, ο ιδανικός παλμός παραμορφώνεται. και (2) ο ανεπιθύμητος ηλεκτρικός θόρυβος ή άλλες εξωτερικές παρεμβολές παραμορφώνουν περαιτέρω την κυματομορφή. Όσο μεγαλύτερο είναι το κανάλι, τόσο πιο σημαντικά αυτοί οι μηχανισμοί παραμορφώνουν την ώθηση (Εικ. 1.1). Ενώ ο εκπεμπόμενος παλμός μπορεί ακόμα να ανιχνευθεί αξιόπιστα (πριν υποβαθμιστεί σε διφορούμενη κατάσταση), ο παλμός ενισχύεται από έναν ψηφιακό ενισχυτή, αποκαθιστώντας το αρχικό ιδανικό του σχήμα. Η ορμή «αναγεννιέται» ή αποκαθίσταται. Οι αναγεννητικοί επαναλήπτες που βρίσκονται στο κανάλι επικοινωνίας σε μια ορισμένη απόσταση μεταξύ τους είναι υπεύθυνοι για την αποκατάσταση του σήματος.

Τα ψηφιακά κανάλια είναι λιγότερο επιρρεπή σε παραμόρφωση και παρεμβολές από τα αναλογικά κανάλια. Επειδή τα δυαδικά ψηφιακά κανάλια παράγουν ένα σημαντικό σήμα μόνο όταν λειτουργούν σε μία από τις δύο καταστάσεις —ενεργοποιημένη ή απενεργοποιημένη— η διαταραχή πρέπει να είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μετακινεί το σημείο λειτουργίας του καναλιού από τη μία κατάσταση στην άλλη. Η ύπαρξη μόνο δύο καταστάσεων διευκολύνει την ανάκτηση σήματος και επομένως αποτρέπει τη συσσώρευση θορύβου ή άλλες διαταραχές κατά τη μετάδοση. Τα αναλογικά σήματα, από την άλλη πλευρά, δεν είναι σήματα δύο καταστάσεων. μπορούν να πάρουν έναν άπειρο αριθμό φόρμες. Στα αναλογικά κανάλια, ακόμη και μια μικρή διαταραχή μπορεί να παραμορφώσει αγνώριστα το σήμα. Μόλις παραμορφωθεί ένα αναλογικό σήμα, η διαταραχή δεν μπορεί να αφαιρεθεί με ενίσχυση. Δεδομένου ότι η συσσώρευση θορύβου είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τα αναλογικά σήματα, ως αποτέλεσμα, δεν μπορούν να αναπαραχθούν τέλεια. Με την ψηφιακή τεχνολογία, το πολύ χαμηλό ποσοστό σφάλματος και η εφαρμογή διαδικασιών ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλμάτων καθιστούν δυνατή την υψηλή πιστότητα σήματος. Μένει μόνο να σημειωθεί ότι τέτοιες διαδικασίες δεν είναι διαθέσιμες με τις αναλογικές τεχνολογίες.

Εικ.1.1. Παραμόρφωση και ανάκτηση ορμής

Υπάρχουν και άλλα σημαντικά πλεονεκτήματα της ψηφιακής επικοινωνίας. Τα ψηφιακά κανάλια είναι πιο αξιόπιστα και μπορούν να παραχθούν σε χαμηλότερες τιμές από τα αναλογικά κανάλια. Επιπλέον, το ψηφιακό λογισμικό επιτρέπει περισσότερα ευέλικτη υλοποίηση από την αναλογική (π.χ. μικροεπεξεργαστές, ψηφιακή μεταγωγή και ολοκληρωμένα κυκλώματα μεγάλης κλίμακας (LSI)). Η χρήση ψηφιακών σημάτων και πολυπλεξίας διαίρεσης χρόνου (TDM) είναι απλούστερη από τα αναλογικά σήματα και την πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας (FDM). Στη μετάδοση και τη μεταγωγή, διαφορετικοί τύποι ψηφιακών σημάτων (δεδομένα, τηλέγραφος, τηλέφωνο, τηλεόραση) μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυποι: τελικά, το bit είναι λίγο. Επιπλέον, για ευκολία εναλλαγής και επεξεργασίας, τα ψηφιακά μηνύματα μπορούν να ομαδοποιηθούν σε αυτόνομες μονάδες που ονομάζονται πακέτα. Οι ψηφιακές τεχνολογίες ενσωματώνουν φυσικά χαρακτηριστικά που προστατεύουν από παρεμβολές και καταστολή σήματος ή παρέχουν κρυπτογράφηση ή απόρρητο. (Τέτοιες τεχνολογίες συζητούνται στα Κεφάλαια 12 και 14.) Επιπλέον, η επικοινωνία γίνεται κυρίως μεταξύ δύο υπολογιστών ή μεταξύ ενός υπολογιστή και ψηφιακών συσκευών ή ενός τερματικού. Τέτοια ψηφιακά τερματικά εξυπηρετούνται καλύτερα (και πιο φυσικά!) από ψηφιακά κανάλια επικοινωνίας.

Τι πληρώνουμε για τα οφέλη των ψηφιακών συστημάτων επικοινωνίας; Τα ψηφιακά συστήματα απαιτούν περισσότερη επεξεργασία από τα αναλογικά συστήματα. Επιπλέον, τα ψηφιακά συστήματα απαιτούν να διατεθεί σημαντικός αριθμός πόρων για συγχρονισμό σε διάφορα επίπεδα (βλ. Κεφάλαιο 10). Τα αναλογικά συστήματα, από την άλλη πλευρά, είναι πιο εύκολο να συγχρονιστούν. Ένα άλλο μειονέκτημα των ψηφιακών συστημάτων επικοινωνίας είναι ότι η υποβάθμιση της ποιότητας είναι κατώφλι. Εάν η αναλογία σήματος προς θόρυβο πέσει κάτω από ένα συγκεκριμένο όριο, η ποιότητα της υπηρεσίας μπορεί ξαφνικά να αλλάξει από πολύ καλή σε πολύ κακή. Στα αναλογικά συστήματα, ωστόσο, η υποβάθμιση συμβαίνει πιο ομαλά.

1.1.2. Τυπικό διάγραμμα κουτιών και βασικοί μετασχηματισμοί

Το λειτουργικό μπλοκ διάγραμμα που φαίνεται στην εικ. Το 1.2 απεικονίζει τα βήματα διάδοσης και επεξεργασίας σήματος σε ένα τυπικό σύστημα ψηφιακών επικοινωνιών (DCS). Τα ανώτερα μπλοκ - μορφοποίηση, κωδικοποίηση πηγής, κρυπτογράφηση, κωδικοποίηση καναλιών, πολυπλεξία, διαμόρφωση παλμών, διαμόρφωση ζώνης διέλευσης, διάσπαρτο φάσμα και πολλαπλή πρόσβαση - αντανακλούν μετασχηματισμούς σήματος κατά τη διαδρομή από την πηγή στον πομπό. Τα κάτω μπλοκ του διαγράμματος είναι μετασχηματισμοί σήματος στο δρόμο από τον δέκτη προς τον παραλήπτη της πληροφορίας και, στην πραγματικότητα, είναι απέναντι από τα ανώτερα μπλοκ. Οι μονάδες διαμόρφωσης και αποδιαμόρφωσης/ανίχνευσης αναφέρονται συλλογικά ως μόντεμ. Ο όρος "μόντεμ" συχνά συνδυάζει διάφορα στάδια επεξεργασίας σήματος, που φαίνονται στο Σχ. 1.2; Σε αυτή την περίπτωση, το μόντεμ μπορεί να θεωρηθεί ως ο «εγκέφαλος» του συστήματος. Ο πομπός και ο δέκτης μπορούν να θεωρηθούν ως οι «μύες» του συστήματος. Για ασύρματες εφαρμογές, ένας πομπός αποτελείται από ένα κύκλωμα αναβάθμισης ραδιοσυχνοτήτων (RF), έναν ενισχυτή ισχύος και μια κεραία και ένας δέκτης αποτελείται από μια κεραία και έναν ενισχυτή χαμηλού θορύβου (LNA). Η μείωση της αντίστροφης συχνότητας εκτελείται στην έξοδο του δέκτη ή/και του αποδιαμορφωτή.

Στο σχ. Το 1.2 απεικονίζει την αντιστοιχία μεταξύ των μπλοκ των άνω (εκπομπών) και κάτω (λήπτες) τμημάτων του συστήματος. Τα βήματα επεξεργασίας σήματος που λαμβάνουν χώρα στον πομπό είναι κυρίως τα αντίστροφα από τα βήματα του δέκτη. Στο σχ. 1.2 οι πληροφορίες πηγής μετατρέπονται σε δυαδικά ψηφία (bit). τα bit στη συνέχεια ομαδοποιούνται σε ψηφιακά μηνύματα ή χαρακτήρες μηνυμάτων. Κάθε τέτοιος χαρακτήρας ( όπου ) μπορεί να θεωρηθεί ως στοιχείο ενός πεπερασμένου αλφαβήτου που περιέχει Μστοιχεία. Ως εκ τούτου, για Μ=2 το σύμβολο του μηνύματος είναι δυαδικό (δηλαδή αποτελείται από ένα bit). Αν και οι δυαδικοί χαρακτήρες μπορούν να ταξινομηθούν ως Μ-ary (με Μ=2), συνήθως το όνομα " Μ-ary» χρησιμοποιείται για περιπτώσεις Μ>2; Ως εκ τούτου, τέτοια σύμβολα αποτελούνται από μια ακολουθία δύο ή περισσότερων bit. (Συγκρίνετε το παρόμοιο πεπερασμένο αλφάβητο των συστημάτων DCS με αυτό που έχουμε στα αναλογικά συστήματα, όπου το σήμα μηνύματος είναι στοιχείο ενός άπειρου συνόλου πιθανών σημάτων.) Για συστήματα που χρησιμοποιούν κωδικοποίηση καναλιών (κωδικοί διόρθωσης σφαλμάτων), η ακολουθία συμβόλων μηνυμάτων είναι μετατρέπεται σε μια ακολουθία χαρακτήρων συμβόλων καναλιού) και κάθε χαρακτήρας καναλιού συμβολίζεται με . Δεδομένου ότι τα σύμβολα μηνυμάτων ή τα σύμβολα καναλιού μπορεί να αποτελούνται από ένα μόνο bit ή μια ομάδα bit, μια ακολουθία τέτοιων συμβόλων ονομάζεται ροή bit (Εικόνα 1.2).

Εξετάστε τα βασικά μπλοκ επεξεργασίας σήματος που φαίνονται στο Σχ. 1.2; Μόνο τα βήματα μορφοποίησης, διαμόρφωσης, αποδιαμόρφωσης/ανίχνευσης και συγχρονισμού είναι απαραίτητα για συστήματα DCS.

Η μορφοποίηση μετατρέπει τις αρχικές πληροφορίες σε bit, διασφαλίζοντας έτσι ότι οι λειτουργίες επεξεργασίας πληροφοριών και σήματος είναι συμβατές με το σύστημα DCS. Από αυτό το σημείο στο σχήμα και μέχρι το μπλοκ διαμόρφωσης παλμού, οι πληροφορίες παραμένουν με τη μορφή ροής bit.

Ρύζι. 1.2. Μπλοκ διάγραμμα τυπικού ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας

Διαμόρφωση είναι η διαδικασία με την οποία τα σύμβολα μηνυμάτων ή τα σύμβολα καναλιού (εάν χρησιμοποιείται κωδικοποίηση καναλιού) μετατρέπονται σε σήματα συμβατά με τις απαιτήσεις που επιβάλλει το κανάλι δεδομένων. Η διαμόρφωση παλμού είναι ένα άλλο απαραίτητο βήμα επειδή κάθε σύμβολο που πρέπει να μεταδοθεί πρέπει πρώτα να μετατραπεί από μια δυαδική αναπαράσταση (τα επίπεδα τάσης αντιπροσωπεύουν δυαδικά 0 και 1) σε μορφή σήματος στενής ζώνης. Ο όρος "στενή ζώνη" (ζώνη βάσης) ορίζει ένα σήμα του οποίου το φάσμα ξεκινά από (ή κοντά) στη σταθερή συνιστώσα και τελειώνει με κάποια τελική τιμή (συνήθως, όχι περισσότερο από μερικά megahertz). Το μπλοκ PCM συνήθως περιλαμβάνει φιλτράρισμα για την ελαχιστοποίηση του εύρους ζώνης μετάδοσης. Όταν η διαμόρφωση παλμού εφαρμόζεται σε δυαδικά σύμβολα, το δυαδικό σήμα που προκύπτει ονομάζεται κωδικοποιημένο σήμα PCM (διαμόρφωση κωδικού παλμού). Υπάρχουν διάφοροι τύποι σημάτων PCM (που περιγράφονται στο Κεφάλαιο 2). Σε εφαρμογές τηλεφωνίας, αυτά τα σήματα αναφέρονται συχνά ως κωδικοί καναλιών. Όταν η διαμόρφωση παλμού εφαρμόζεται σε μη δυαδικά σύμβολα, το σήμα που προκύπτει αναφέρεται ως Μ-ρύθμιση παλμών. Υπάρχουν διάφοροι τύποι τέτοιων σημάτων, οι οποίοι περιγράφονται επίσης στο Κεφάλαιο 2, το οποίο επικεντρώνεται στη διαμόρφωση πλάτους παλμού (PAM). Μετά τη διαμόρφωση παλμού, κάθε σύμβολο μηνύματος ή σύμβολο καναλιού παίρνει τη μορφή σήματος διέλευσης ζώνης, όπου . Σε οποιαδήποτε ηλεκτρονική εφαρμογή, το ρεύμα bit που προηγείται της διαμόρφωσης παλμού αντιπροσωπεύεται από επίπεδα τάσης. Μπορεί να προκύψει το ερώτημα γιατί υπάρχει ένα ξεχωριστό μπλοκ για τη διαμόρφωση παλμού, ενώ στην πραγματικότητα τα επίπεδα τάσης για δυαδικά μηδενικά και μονό μπορούν ήδη να θεωρηθούν ως ιδανικοί ορθογώνιοι παλμοί, η διάρκεια καθενός από τα οποία είναι ίση με το χρόνο μετάδοσης ενός bit; Υπάρχουν δύο σημαντικές διαφορές μεταξύ αυτών των επιπέδων τάσης και των σημάτων διέλευσης ζώνης που χρησιμοποιούνται για τη διαμόρφωση. Πρώτον, το μπλοκ διαμόρφωσης παλμού επιτρέπει τη χρήση δυαδικών και Μ-αρικά σήματα. Η ενότητα 2.8.2 περιγράφει τις διάφορες χρήσιμες παραμέτρους αυτών των τύπων σήματος. Δεύτερον, το φιλτράρισμα που εκτελείται στο μπλοκ διαμόρφωσης παλμών δημιουργεί παλμούς των οποίων η διάρκεια είναι μεγαλύτερη από τον χρόνο μετάδοσης ενός bit. Το φιλτράρισμα σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε μεγαλύτερους παλμούς. Έτσι, οι παλμοί απλώνονται σε παρακείμενες χρονικές θυρίδες bit. Αυτή η διαδικασία μερικές φορές ονομάζεται διαμόρφωση παλμού. χρησιμοποιείται για να διατηρήσει το εύρος ζώνης μετάδοσης σε κάποια επιθυμητή περιοχή του φάσματος.

Για εφαρμογές που περιλαμβάνουν μετάδοση ραδιοσυχνοτήτων, το επόμενο σημαντικό βήμα είναι η διαμόρφωση ζώνης. είναι απαραίτητο κάθε φορά που το μέσο μετάδοσης δεν υποστηρίζει τη διάδοση παλμικών σημάτων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το περιβάλλον απαιτεί σήμα διέλευσης ζώνης, όπου . Ο όρος "bandpass" χρησιμοποιείται για να αντικατοπτρίζει ότι ένα σήμα στενής ζώνης μετατοπίζεται από ένα φέρον κύμα σε συχνότητα πολύ μεγαλύτερη από τις φασματικές συνιστώσες. Καθώς το σήμα διαδίδεται μέσω του καναλιού, επηρεάζεται από τα χαρακτηριστικά του καναλιού, τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως απόκριση παλμού (βλ. ενότητα 1.6.1). Επίσης, σε διάφορα σημεία κατά μήκος της διαδρομής του σήματος, ο πρόσθετος τυχαίος θόρυβος παραμορφώνει το λαμβανόμενο σήμα, επομένως η λήψη πρέπει να εκφράζεται ως κατεστραμμένη έκδοση του σήματος από τον πομπό. Το λαμβανόμενο σήμα μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

όπου το σύμβολο "*" αντιπροσωπεύει τη λειτουργία συνέλιξης (βλ. Παράρτημα Α) και είναι η διαδικασία θορύβου (βλ. ενότητα 1.5.5).

Στην αντίστροφη κατεύθυνση, το μπροστινό άκρο του δέκτη και/ή ο αποδιαμορφωτής παρέχουν μείωση συχνότητας για κάθε σήμα διέλευσης ζώνης. Κατά την προετοιμασία για ανίχνευση, ο αποδιαμορφωτής ανακατασκευάζει το σήμα στενής ζώνης ως βέλτιστο φάκελο. Συνήθως, πολλά φίλτρα συνδέονται με τον δέκτη και τον αποδιαμορφωτή - το φιλτράρισμα γίνεται για την αφαίρεση ανεπιθύμητων στοιχείων υψηλής συχνότητας (κατά τη μετατροπή ενός σήματος διέλευσης ζώνης σε στενή ζώνη) και τη διαμόρφωση παλμού. Η εξισορρόπηση μπορεί να περιγραφεί ως ένας τύπος φιλτραρίσματος που χρησιμοποιείται στον αποδιαμορφωτή (ή μετά τον αποδιαμορφωτή) για την αφαίρεση τυχόν επιπτώσεων υποβάθμισης του σήματος που μπορεί να προκληθούν από το κανάλι. Η εξίσωση είναι απαραίτητη εάν η παλμική απόκριση του καναλιού είναι τόσο κακή που το λαμβανόμενο σήμα παραμορφώνεται σοβαρά. Ένας ισοσταθμιστής (ισοσταθμιστής) εφαρμόζεται για να αντισταθμίσει (δηλαδή να αφαιρέσει ή να μειώσει) οποιαδήποτε παραμόρφωση σήματος που προκαλείται από τη μη ιδανική απόκριση. Τέλος, το βήμα δειγματοληψίας μετατρέπει τον διαμορφωμένο παλμό σε δείγμα για να ανακτήσει το (περίπου) σύμβολο καναλιού ή σύμβολο μηνύματος (αν δεν χρησιμοποιείται κωδικοποίηση καναλιού). Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τους όρους «αποδιαμόρφωση» και «ανίχνευση» εναλλακτικά. Σε αυτό το βιβλίο, η αποδιαμόρφωση αναφέρεται στην αποκατάσταση ενός σήματος (παλμός εύρους ζώνης) και η ανίχνευση αναφέρεται στη λήψη απόφασης σχετικά με την ψηφιακή τιμή αυτού του σήματος.

Τα υπόλοιπα στάδια επεξεργασίας σήματος στο μόντεμ είναι προαιρετικά και στοχεύουν στην κάλυψη συγκεκριμένων αναγκών του συστήματος. Η κωδικοποίηση πηγής είναι η μετατροπή ενός αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (για αναλογικές πηγές) και η αφαίρεση περιττών (περιττών) πληροφοριών. Σημειώστε ότι ένα τυπικό σύστημα DCS μπορεί να χρησιμοποιεί είτε κωδικοποίηση πηγής (για την ψηφιοποίηση και συμπίεση των αρχικών πληροφοριών) είτε έναν απλούστερο μετασχηματισμό μορφοποίησης (μόνο για ψηφιοποίηση). Το σύστημα δεν μπορεί να εφαρμόσει ταυτόχρονα κωδικοποίηση πηγής και μορφοποίηση, καθώς η πρώτη περιλαμβάνει ήδη το απαραίτητο βήμα της ψηφιοποίησης των πληροφοριών. Η κρυπτογράφηση, η οποία χρησιμοποιείται για τη διασφάλιση του απορρήτου των επικοινωνιών, εμποδίζει έναν μη εξουσιοδοτημένο χρήστη να κατανοήσει το μήνυμα και να εισάγει ψευδή μηνύματα στο σύστημα. Η κωδικοποίηση καναλιού με δεδομένο ρυθμό δεδομένων μπορεί να μειώσει την πιθανότητα σφάλματος PE ή να μειώσει την αναλογία σήματος προς θόρυβο που απαιτείται για να επιτευχθεί η επιθυμητή πιθανότητα PE αυξάνοντας το εύρος ζώνης μετάδοσης ή περιπλέκοντας τον αποκωδικοποιητή. Οι διαδικασίες πολυπλεξίας και πολλαπλής πρόσβασης συνδυάζουν σήματα που μπορεί να έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά ή μπορεί να προέρχονται από διαφορετικές πηγές, έτσι ώστε να μπορούν να μοιράζονται ορισμένους από τους πόρους επικοινωνίας (π.χ. φάσμα, χρόνος). Η διασπορά συχνότητας μπορεί να παρέχει ένα σήμα που είναι σχετικά απρόσβλητο σε παρεμβολές (τόσο φυσικές όσο και σκόπιμες) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αυξήσει το απόρρητο των μερών που επικοινωνούν. Είναι επίσης μια πολύτιμη τεχνολογία που χρησιμοποιείται για πολλαπλή πρόσβαση.

Μπλοκ επεξεργασίας σήματος που φαίνονται στο σχ. 1.2 αντιπροσωπεύουν ένα τυπικό διάγραμμα ενός ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας. Ωστόσο, αυτά τα μπλοκ μερικές φορές υλοποιούνται με ελαφρώς διαφορετική σειρά. Για παράδειγμα, η πολυπλεξία μπορεί να συμβεί πριν από την κωδικοποίηση ή τη διαμόρφωση καναλιού ή, σε μια διαδικασία διαμόρφωσης δύο σταδίων (υποφορέας και φορέας), μπορεί να συμβεί μεταξύ δύο σταδίων διαμόρφωσης. Ομοίως, το μπλοκ επέκτασης συχνότητας μπορεί να βρίσκεται σε διάφορα σημεία στην επάνω σειρά του Σχ. 1.2; Η ακριβής θέση του εξαρτάται από τη συγκεκριμένη τεχνολογία που χρησιμοποιείται. Ο συγχρονισμός και το βασικό του στοιχείο, το σήμα συγχρονισμού, εμπλέκονται σε όλα τα στάδια της επεξεργασίας του σήματος στο σύστημα DCS. Για απλότητα, το μπλοκ συγχρονισμού στο Σχ. Το 1.2 φαίνεται χωρίς να λαμβάνεται υπόψη τίποτα, αν και στην πραγματικότητα συμμετέχει στη ρύθμιση των λειτουργιών σχεδόν σε κάθε μπλοκ που φαίνεται στο σχήμα.

Στο σχ. Το σχήμα 1.3 δείχνει τις κύριες λειτουργίες επεξεργασίας σήματος (που μπορούν να θεωρηθούν ως μετασχηματισμοί σήματος) χωρισμένες στις ακόλουθες εννέα ομάδες.

Εικ.1.3. Σημαντικοί μετασχηματισμοί ψηφιακών επικοινωνιών

1. Μορφοποίηση και κωδικοποίηση της πηγής

2. Σηματοδότηση στενής ζώνης

3. Σηματοδότηση εύρους ζώνης

4. Ισοπέδωση

5. Κωδικοποίηση καναλιού

6. Σφράγιση και πολλαπλή πρόσβαση

7. Διάδοση φάσματος

8. Κρυπτογράφηση

9. Συγχρονισμός

Στο σχ. 1.3 Το μπλοκ σηματοδότησης στενής ζώνης περιέχει μια λίστα δυαδικών εναλλακτικών λύσεων όταν χρησιμοποιείτε διαμόρφωση PCM ή κωδικούς γραμμής. Αυτό το μπλοκ καθορίζει επίσης μια μη δυαδική κατηγορία σημάτων που ονομάζεται Μ-ρύθμιση παλμού. Ένας άλλος μετασχηματισμός στο Σχ. 1.3, με την ένδειξη Bandwidth signaling, χωρίζεται σε δύο κύρια μπλοκ, συνεκτικά και μη συνεκτικά. Η αποδιαμόρφωση πραγματοποιείται συνήθως χρησιμοποιώντας σήματα αναφοράς. Χρησιμοποιώντας γνωστά σήματα ως μέτρο όλων των παραμέτρων του σήματος (ιδιαίτερα της φάσης), η διαδικασία αποδιαμόρφωσης λέγεται ότι είναι συνεκτική. όταν οι πληροφορίες φάσης δεν χρησιμοποιούνται, η διαδικασία λέγεται ότι είναι ασυνάρτητη.

Η κωδικοποίηση καναλιών αφορά τεχνικές που χρησιμοποιούνται για τη βελτίωση των ψηφιακών σημάτων, τα οποία ως αποτέλεσμα γίνονται λιγότερο ευάλωτα σε παράγοντες υποβάθμισης όπως ο θόρυβος, η εξασθένηση και η καταστολή σήματος. Στο σχ. 1.3, η κωδικοποίηση καναλιού χωρίζεται σε δύο μπλοκ, ένα μπλοκ κωδικοποίησης κυματομορφής και ένα μπλοκ δομημένης ακολουθίας. Η κωδικοποίηση κυματομορφής περιλαμβάνει τη χρήση νέων σημάτων που φέρνουν βελτιωμένη ποιότητα ανίχνευσης σε σχέση με το αρχικό σήμα. Οι δομημένες ακολουθίες περιλαμβάνουν τη χρήση πρόσθετων δυαδικών ψηφίων για να προσδιοριστεί εάν υπάρχει σφάλμα που προκαλείται από θόρυβο στο κανάλι. Μια τέτοια τεχνολογία, η αυτόματη αίτηση επανάληψης (ARQ), απλώς αναγνωρίζει την εμφάνιση ενός σφάλματος και ζητά από τον αποστολέα να αναμεταδώσει το μήνυμα. μια άλλη τεχνική, γνωστή ως διόρθωση σφαλμάτων προς τα εμπρός (FEC), επιτρέπει την αυτόματη διόρθωση σφαλμάτων (με ορισμένους περιορισμούς). Όταν εξετάζουμε δομημένες ακολουθίες, θα συζητήσουμε τρεις κοινές μεθόδους - μπλοκ, συνελικτική και turbo κωδικοποίηση.

Στις ψηφιακές επικοινωνίες, ο χρονισμός περιλαμβάνει τον υπολογισμό τόσο του χρόνου όσο και της συχνότητας. Όπως φαίνεται στο σχ. 1.3, ο συγχρονισμός εκτελείται σε πέντε επίπεδα. Οι συχνότητες αναφοράς των συνεκτικών συστημάτων πρέπει να συγχρονίζονται με τον φορέα (και πιθανώς τον υποφορέα) σε συχνότητα και φάση. Για μη συνεκτικά συστήματα, ο συγχρονισμός φάσεων δεν είναι απαραίτητος. Η βασική διαδικασία συγχρονισμού χρόνου είναι ο συγχρονισμός συμβόλων (ή ο συγχρονισμός bit για δυαδικά σύμβολα). Ο αποδιαμορφωτής και ο ανιχνευτής πρέπει να γνωρίζουν πότε να ξεκινήσουν και πότε να τερματίσουν τη διαδικασία ανίχνευσης συμβόλων και bit. Το σφάλμα συγχρονισμού οδηγεί σε μείωση της αποτελεσματικότητας ανίχνευσης. Το επόμενο επίπεδο συγχρονισμού χρόνου, ο συγχρονισμός καρέ, επιτρέπει την αναδιάταξη των μηνυμάτων. Και το τελευταίο επίπεδο, ο συγχρονισμός δικτύου, σας επιτρέπει να συντονιστείτε με άλλους χρήστες προκειμένου να χρησιμοποιήσετε αποτελεσματικά τους πόρους.

1.1.3. Βασική ορολογία ψηφιακής επικοινωνίας

Ακολουθούν ορισμένοι από τους κύριους όρους που χρησιμοποιούνται συνήθως στον τομέα των ψηφιακών επικοινωνιών.

Η πηγή πληροφοριών(πηγή πληροφορίας). Μια συσκευή που μεταδίδει πληροφορίες μέσω του συστήματος DCS. Η πηγή πληροφοριών μπορεί να είναι αναλογική ή διακριτή. Η έξοδος μιας αναλογικής πηγής μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή από ένα συνεχές εύρος πλατών, ενώ η έξοδος μιας διακριτής πηγής πληροφοριών μπορεί να λάβει τιμές από ένα πεπερασμένο σύνολο πλατών. Οι αναλογικές πηγές πληροφοριών μετατρέπονται σε ψηφιακές μέσω δειγματοληψίας ή κβαντοποίησης. Μέθοδοι δειγματοληψίας και κβαντοποίησης που ονομάζονται μορφοποίηση και κωδικοποίηση πηγής (Εικόνα 1.3).

Γραπτό μήνυμα(γραπτό μήνυμα). Η ακολουθία των χαρακτήρων (Εικ. 1.4, ένα). Στην ψηφιακή μετάδοση δεδομένων, ένα μήνυμα είναι μια ακολουθία αριθμών ή χαρακτήρων που ανήκουν σε ένα πεπερασμένο σύνολο χαρακτήρων ή αλφάβητο.

Σημάδι(Χαρακτήρας). Ένα στοιχείο του αλφαβήτου ή του συνόλου χαρακτήρων (Εικ. 1.4, σι). Οι χαρακτήρες μπορούν να αντιστοιχιστούν σε μια ακολουθία δυαδικών ψηφίων. Υπάρχουν αρκετοί τυποποιημένοι κωδικοί που χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση χαρακτήρων, συμπεριλαμβανομένων των ASCII (Αμερικανικός Τυπικός Κώδικας Ανταλλαγής Πληροφοριών), EBCDIC (Εκτεταμένος Δυαδικός Κωδικοποιημένος Κώδικας Ανταλλαγής Δεκαδικών), Hollerith (κωδικός Hollerith), κώδικας Baudot, κώδικας Murray και κώδικας Μορς.

Εικ.1.4. Εικονογράφηση όρων: α) μηνύματα κειμένου. β) σύμβολα.

γ) ροή bit (κωδικός ASCII 7-bit). δ) σύμβολα, ;

ε) ψηφιακό σήμα διέλευσης ζώνης

Δυαδικό ψηφίο(δυαδικό ψηφίο) (bit) (bit). Η θεμελιώδης μονάδα πληροφοριών για όλα τα ψηφιακά συστήματα. Ο όρος "bit" χρησιμοποιείται επίσης ως μονάδα πληροφοριών, η οποία περιγράφεται στο Κεφάλαιο 9.

bit stream(bitstream). Ακολουθία δυαδικών ψηφίων (μηδενικά και μονά). Ένα bitstream αναφέρεται συχνά ως σήμα ζώνης βάσης. Αυτό σημαίνει ότι οι φασματικές συνιστώσες του κυμαίνονται από (ή γύρω από) DC έως κάποια πεπερασμένη τιμή, συνήθως όχι περισσότερο από μερικά megahertz. Στο σχ. 1.4, το μήνυμα "HOW" αναπαρίσταται χρησιμοποιώντας έναν κωδικό ASCII επτά bit και η ροή bit εμφανίζεται με τη μορφή παλμών δύο επιπέδων. Η αλληλουχία των παλμών απεικονίζεται με έντονα στυλιζαρισμένες (τέλεια ορθογώνιες) κυματομορφές με κενά μεταξύ παρακείμενων παλμών. Σε ένα πραγματικό σύστημα, οι παλμοί δεν θα φαίνονται ποτέ έτσι, αφού τέτοια κενά είναι απολύτως άχρηστα. Σε ένα δεδομένο ρυθμό δεδομένων, τα κενά θα αυξήσουν το εύρος ζώνης που απαιτείται για τη μετάδοση. ή, δεδομένου του εύρους ζώνης, θα αυξήσουν τη χρονική καθυστέρηση που απαιτείται για τη λήψη του μηνύματος.

Σύμβολο(σύμβολο) (ψηφιακό μήνυμα) (ψηφιακό μήνυμα). Ένα σύμβολο είναι μια ομάδα από κκομμάτια θεωρούνται ως σύνολο. Επιπλέον, θα ονομάσουμε αυτό το μπλοκ σύμβολο μηνύματος () από ένα πεπερασμένο σύνολο συμβόλων ή αλφαβήτου (Εικ. 1.4, δ.) Μέγεθος του αλφαβήτου Μίσον , όπου κείναι ο αριθμός των bit σε έναν χαρακτήρα. Στη μετάδοση στενής ζώνης, καθένα από τα σύμβολα θα αντιπροσωπεύεται από ένα από ένα σύνολο σημάτων παλμών στενής ζώνης . Μερικές φορές, κατά τη μετάδοση μιας ακολουθίας τέτοιων παλμών, η μονάδα baud (baud) χρησιμοποιείται για να εκφράσει τον ρυθμό παλμού (ρυθμός συμβόλων). Για μια τυπική μετάδοση ζώνης, κάθε παλμός θα αντιπροσωπεύεται από ένα από ένα σύνολο σημάτων παλμών ζώνης . Έτσι, για τα ασύρματα συστήματα, ένα σύμβολο αποστέλλεται με τη μετάδοση ενός ψηφιακού σήματος για Τδευτερόλεπτα. Ο επόμενος χαρακτήρας αποστέλλεται κατά την επόμενη χρονική περίοδο, Τ. Το γεγονός ότι το σύνολο χαρακτήρων που μεταδίδεται από το σύστημα DCS είναι πεπερασμένο είναι η κύρια διαφορά μεταξύ αυτών των συστημάτων και των αναλογικών συστημάτων επικοινωνίας. Ο δέκτης DCS χρειάζεται μόνο να καθορίσει ποιο Μέχουν μεταδοθεί πιθανά σήματα. ενώ ένας αναλογικός δέκτης πρέπει να προσδιορίζει με ακρίβεια την τιμή που ανήκει σε ένα συνεχές εύρος σημάτων.

ψηφιακό σήμα(ψηφιακή κυματομορφή). Περιγράφεται από ένα επίπεδο τάσης ή ρεύματος, ένα σήμα (ένας παλμός για μετάδοση στενής ζώνης ή ένα ημιτονοειδές κύμα για μετάδοση ζώνης) που αντιπροσωπεύει έναν ψηφιακό χαρακτήρα. Τα χαρακτηριστικά του σήματος (για παλμούς - πλάτος, διάρκεια και θέση, ή για ημιτονοειδές - πλάτος, συχνότητα και φάση) επιτρέπουν την αναγνώριση του ως ένα από τα σύμβολα του πεπερασμένου αλφαβήτου. Στο σχ. 1.4 ρεεμφανίζεται ένα παράδειγμα ψηφιακού σήματος διέλευσης ζώνης. Αν και το σήμα είναι ημιτονοειδές και επομένως έχει αναλογική μορφή, εξακολουθεί να ονομάζεται ψηφιακό επειδή κωδικοποιεί ψηφιακές πληροφορίες. Σε αυτό το σχήμα, η ψηφιακή τιμή υποδεικνύεται με μετάδοση σε κάθε χρονικό διάστημα Τσήμα ορισμένης συχνότητας.

Ποσοστό μεταφοράς(ρυθμός δεδομένων). Αυτή η τιμή σε bit ανά δευτερόλεπτο (bps) δίνεται από το (bps) όπου κτα bit ορίζουν έναν χαρακτήρα από το αλφάβητο χαρακτήρων και Τείναι η διάρκεια προς την- χαρακτήρας bit.

1.1.4. Ψηφιακά και αναλογικά σημεία αναφοράς απόδοσης

Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ αναλογικών και ψηφιακών συστημάτων επικοινωνίας σχετίζεται με τη μέθοδο αξιολόγησης της απόδοσής τους. Τα σήματα του αναλογικού συστήματος βρίσκονται σε ένα συνεχές, επομένως ο δέκτης πρέπει να λειτουργεί με άπειρο αριθμό πιθανών σημάτων. Το μέτρο απόδοσης των αναλογικών συστημάτων επικοινωνιών είναι η ακρίβεια, όπως η αναλογία σήματος προς θόρυβο, η ποσοστιαία παραμόρφωση ή το αναμενόμενο σφάλμα RMS μεταξύ των μεταδιδόμενων και των λαμβανόμενων σημάτων.

Σε αντίθεση με τα αναλογικά, τα ψηφιακά συστήματα επικοινωνίας μεταδίδουν σήματα που αντιπροσωπεύουν αριθμούς. Αυτά τα ψηφία σχηματίζουν ένα πεπερασμένο σύνολο ή αλφάβητο και αυτό το σύνολο είναι γνωστό a priori στον δέκτη. Το κριτήριο για την ποιότητα των ψηφιακών συστημάτων επικοινωνίας είναι η πιθανότητα λανθασμένου εντοπισμού ενός ψηφίου ή η πιθανότητα σφάλματος ().

1.2. Ταξινόμηση σημάτων

1.2.1. Ντετερμινιστικά και τυχαία σήματα

Ένα σήμα μπορεί να ταξινομηθεί ως ντετερμινιστικό (όταν δεν υπάρχει αβεβαιότητα για την τιμή του σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή) ή τυχαίο διαφορετικά. Τα ντετερμινιστικά σήματα μοντελοποιούνται με μια μαθηματική έκφραση. Είναι αδύνατο να γραφτεί μια τέτοια έκφραση για ένα τυχαίο σήμα. Ωστόσο, κατά την παρατήρηση ενός τυχαίου σήματος (που ονομάζεται επίσης τυχαία διαδικασία) για μια αρκετά μεγάλη χρονική περίοδο, μπορούν να σημειωθούν ορισμένα μοτίβα που μπορούν να περιγραφούν ως προς τις πιθανότητες και τον στατιστικό μέσο όρο. Ένα τέτοιο μοντέλο, με τη μορφή μιας πιθανολογικής περιγραφής μιας τυχαίας διαδικασίας, είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για την περιγραφή των χαρακτηριστικών των σημάτων και του θορύβου στα συστήματα επικοινωνίας.

1.2.2. Περιοδικά και μη σήματα

Ένα σήμα λέγεται ότι είναι περιοδικό στο χρόνο εάν υπάρχει μια σταθερά, τέτοια ώστε

για (1.2)

όπου μέσω tσημειώνεται η ώρα. Η μικρότερη τιμή που ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη ονομάζεται περίοδος του σήματος. Η περίοδος καθορίζει τη διάρκεια ενός πλήρους κύκλου της συνάρτησης. Ένα σήμα για το οποίο δεν υπάρχει εξίσωση που να ικανοποιεί την τιμή (1.2) ονομάζεται μη περιοδικό.

1.2.3. Αναλογικά και διακριτά σήματα

Το αναλογικό σήμα είναι μια συνεχής συνάρτηση του χρόνου, δηλ. μοναδικά καθορισμένο για όλους t. Ένα ηλεκτρικό αναλογικό σήμα εμφανίζεται όταν ένα φυσικό σήμα (όπως η ομιλία) μετατρέπεται σε ηλεκτρικό σήμα από κάποια συσκευή. Συγκριτικά, ένα διακριτό σήμα είναι ένα σήμα που υπάρχει σε διακριτά χρονικά διαστήματα. χαρακτηρίζεται από μια ακολουθία αριθμών που ορίζεται για κάθε χρονικό σημείο, kT, όπου κείναι ακέραιος αριθμός και Τ- καθορισμένο χρονικό διάστημα.

1.2.4. Σήματα που εκφράζονται με όρους ενέργειας ή ισχύος

Ένα ηλεκτρικό σήμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια αλλαγή στην τάση ή το ρεύμα με στιγμιαία ισχύ που εφαρμόζεται σε μια αντίσταση R:

Στα συστήματα επικοινωνίας, η ισχύς συχνά κανονικοποιείται (υποτίθεται ότι η αντίσταση Rείναι ίσο με 1 Ohm, αν και σε πραγματικό κανάλι μπορεί να είναι οτιδήποτε). Εάν απαιτείται για τον προσδιορισμό της πραγματικής τιμής ισχύος, αυτή λαμβάνεται με "αποκανονικοποίηση" της κανονικοποιημένης τιμής. Στην κανονικοποιημένη περίπτωση, οι εξισώσεις (1.3.a) και (1.3.6) έχουν την ίδια μορφή. Επομένως, ανεξάρτητα από το αν το σήμα αντιπροσωπεύεται από τάση ή ρεύμα, η κανονικοποιημένη μορφή μας επιτρέπει να εκφράσουμε τη στιγμιαία ισχύ ως

όπου είναι είτε τάση είτε ρεύμα. Η διασπορά ενέργειας κατά το χρονικό διάστημα () ενός πραγματικού σήματος με στιγμιαία ισχύ που λαμβάνεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1.4) μπορεί να γραφτεί ως εξής.

(1.5)

Η μέση ισχύς που καταναλώνεται από το σήμα κατά τη διάρκεια αυτού του διαστήματος είναι η εξής.

(1.6)

Η απόδοση ενός συστήματος επικοινωνίας εξαρτάται από την ενέργεια του λαμβανόμενου σήματος. σήματα με υψηλότερη ενέργεια ανιχνεύονται πιο αξιόπιστα (με λιγότερα σφάλματα) - το έργο της ανίχνευσης εκτελείται από τη λαμβανόμενη ενέργεια. Από την άλλη πλευρά, η ισχύς είναι ο ρυθμός εισροής ενέργειας. Αυτό το σημείο είναι σημαντικό για πολλούς λόγους. Η ισχύς καθορίζει την τάση που θα εφαρμοστεί στον πομπό και την ισχύ των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων που πρέπει να λαμβάνονται υπόψη στα ραδιοσυστήματα (δηλαδή τα πεδία στους κυματοδηγούς που συνδέουν τον πομπό με την κεραία και τα πεδία γύρω από τα στοιχεία ακτινοβολίας της κεραίας).

Κατά την ανάλυση των σημάτων επικοινωνίας, είναι συχνά επιθυμητό να εργάζεστε με ενέργεια σήματος. Θα το ονομάσουμε ενεργειακό σήμα εάν και μόνο αν έχει μη μηδενική πεπερασμένη ενέργεια σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή (), όπου

(1.7)

Σε μια πραγματική κατάσταση, μεταδίδουμε πάντα σήματα με πεπερασμένη ενέργεια (). Ωστόσο, για να περιγράψουμε περιοδικά σήματα, τα οποία εξ ορισμού (Εξίσωση (1.2)) υπάρχουν πάντα και, επομένως, έχουν άπειρη ενέργεια, και για να εργαστούμε με τυχαία σήματα που έχουν επίσης απεριόριστη ενέργεια, είναι βολικό να ορίσουμε μια κατηγορία σημάτων που εκφράζονται με όρους της εξουσίας. Έτσι, είναι βολικό να αναπαραστήσουμε ένα σήμα χρησιμοποιώντας ισχύ εάν είναι περιοδικό και ανά πάσα στιγμή έχει μη μηδενική τελική ισχύ (), όπου

(1.8)

Ένα συγκεκριμένο σήμα μπορεί να αποδοθεί είτε σε ενέργεια είτε σε περιοδικό. Ένα ενεργειακό σήμα έχει πεπερασμένη ενέργεια αλλά μηδενική μέση ισχύ, ενώ ένα περιοδικό σήμα έχει μηδενική μέση ισχύ αλλά άπειρη ενέργεια. Το σήμα στο σύστημα μπορεί να εκφραστεί είτε με όρους ενέργειας είτε με περιοδικές τιμές. Κατά γενικό κανόνα, τα περιοδικά και τυχαία σήματα εκφράζονται με όρους ισχύος και τα σήματα που είναι ντετερμινιστικά και μη περιοδικά εκφράζονται με όρους ενέργειας.

Η ενέργεια και η ισχύς του σήματος είναι δύο σημαντικές παράμετροι στην περιγραφή ενός συστήματος επικοινωνίας. Η ταξινόμηση ενός σήματος είτε ως ενεργειακό είτε ως περιοδικό είναι ένα βολικό μοντέλο που διευκολύνει τη μαθηματική επεξεργασία διαφόρων σημάτων και θορύβων. Η ενότητα 3.1.5 αναπτύσσει αυτές τις ιδέες στο πλαίσιο των ψηφιακών συστημάτων επικοινωνίας.

1.2.5. Μοναδική παλμική λειτουργία

Μια χρήσιμη συνάρτηση στη θεωρία επικοινωνίας είναι η μοναδιαία ώθηση ή συνάρτηση δέλτα Ντιράκ. Η συνάρτηση παλμού είναι μια αφαίρεση, μια ώθηση με άπειρο πλάτος, μηδενικό πλάτος και μονάδα βάρους (εμβαδόν κάτω από την ώθηση), συγκεντρωμένη στο σημείο όπου η τιμή του ορίσματός της είναι μηδέν. Η μοναδιαία ώθηση δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις.

Απεριόριστο σε σημείο (1.11)

(1.12)

Η μοναδιαία ώθηση δεν είναι συνάρτηση με τη συνήθη έννοια της λέξης. Εάν εισέλθει σε οποιαδήποτε λειτουργία, είναι βολικό να το θεωρήσετε ως παλμό πεπερασμένου πλάτους, μονάδας επιφάνειας και μη μηδενικής διάρκειας, μετά από το οποίο είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το όριο καθώς η διάρκεια παλμού τείνει στο μηδέν. Γραφικά, μπορεί να απεικονιστεί ως μια κορυφή που βρίσκεται σε ένα σημείο του οποίου το ύψος είναι ίσο με το ολοκλήρωμα ή το εμβαδόν του. Έτσι, με μια σταθερά ΑΛΛΑαντιπροσωπεύει μια συνάρτηση παλμού της οποίας το εμβαδόν (ή το βάρος) είναι ΑΛΛΑκαι η τιμή είναι μηδέν παντού εκτός από το σημείο.

Η εξίσωση (1.12) είναι γνωστή ως η ιδιότητα κοσκίνισης (ή κβαντοποίησης) της συνάρτησης παλμικής μονάδας. το ολοκλήρωμα μιας μοναδιαίας ώθησης και μιας αυθαίρετης συνάρτησης δίνει ένα δείγμα της συνάρτησης στο σημείο .

1.3. Φασματική πυκνότητα

Η φασματική πυκνότητα των χαρακτηριστικών ενός σήματος είναι η κατανομή της ενέργειας ή της ισχύος ενός σήματος σε ένα εύρος συχνοτήτων. Αυτή η έννοια έχει ιδιαίτερη σημασία όταν εξετάζεται το φιλτράρισμα σε συστήματα επικοινωνίας. Πρέπει να είμαστε σε θέση να αξιολογήσουμε το σήμα και τον θόρυβο στην έξοδο του φίλτρου. Κατά τη διεξαγωγή μιας τέτοιας αξιολόγησης, χρησιμοποιείται η φασματική πυκνότητα ενέργειας (ESD) ή η φασματική πυκνότητα ισχύος (φασματική πυκνότητα ισχύος - PSD).

1.3.1. Φασματική πυκνότητα ενέργειας

Η συνολική ενέργεια ενός σήματος πραγματικής ενέργειας που ορίζεται στο διάστημα περιγράφεται από την εξίσωση (1.7). Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Parseval, μπορούμε να συσχετίσουμε την ενέργεια ενός τέτοιου σήματος που εκφράζεται στο πεδίο του χρόνου με την ενέργεια που εκφράζεται στον τομέα συχνότητας:

, (1.13)

όπου είναι ο μετασχηματισμός Fourier του μη περιοδικού σήματος . (Μια περίληψη της ανάλυσης Fourier μπορεί να βρεθεί στο Παράρτημα Α.) Υποδηλώστε με το φάσμα του ορθογώνιου πλάτους που ορίζεται ως

(1.14)

Η ποσότητα είναι η φασματική ενεργειακή πυκνότητα (ESD) του σήματος. Επομένως, από την εξίσωση (1.13) μπορεί κανείς να εκφράσει τη συνολική ενέργεια ολοκληρώνοντας τη φασματική πυκνότητα ως προς τη συχνότητα.

(1.15)

Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η ενέργεια του σήματος είναι ίση με την περιοχή κάτω από το γράφημα στον τομέα συχνότητας. Η φασματική πυκνότητα ενέργειας περιγράφει την ενέργεια του σήματος ανά μονάδα εύρους ζώνης και μετράται σε J/Hz. Οι θετικές και αρνητικές συνιστώσες συχνότητας δίνουν ίσες συνεισφορές ενέργειας, επομένως, για ένα πραγματικό σήμα, η τιμή είναι μια άρτια συνάρτηση της συχνότητας. Επομένως, η φασματική ενεργειακή πυκνότητα είναι συχνότητα συμμετρική ως προς την αρχή και η συνολική ενέργεια του σήματος μπορεί να εκφραστεί ως εξής.

(1.16)

1.3.2. Φασματική πυκνότητα ισχύος

Η μέση ισχύς ενός πραγματικού σήματος στην περιοδική αναπαράσταση προσδιορίζεται από την εξίσωση (1.8). Εάν είναι ένα περιοδικό σήμα με τελεία , ταξινομείται ως σήμα στην περιοδική αναπαράσταση. Η έκφραση για τη μέση ισχύ ενός περιοδικού σήματος δίνεται από τον τύπο (1.6), όπου ο μέσος όρος χρόνου λαμβάνεται σε μία περίοδο.

(1.17a)

Το θεώρημα του Parseval για ένα πραγματικό περιοδικό σήμα έχει τη μορφή

, (1.17,β)

όπου οι όροι είναι οι μιγαδικοί συντελεστές της σειράς Fourier για ένα περιοδικό σήμα (βλ. Παράρτημα Α).

Για να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση (1.17.6), είναι απαραίτητο μόνο να γνωρίζετε την τιμή των συντελεστών . Η φασματική πυκνότητα ισχύος (PSD) ενός περιοδικού σήματος, η οποία είναι μια πραγματική, άρτια και μη αρνητική συνάρτηση της συχνότητας και δίνει την κατανομή ισχύος του σήματος σε μια περιοχή συχνοτήτων, ορίζεται ως εξής.

(1.18)

Η εξίσωση (1.18) ορίζει τη φασματική πυκνότητα ισχύος ενός περιοδικού σήματος ως μια ακολουθία σταθμισμένων συναρτήσεων δέλτα. Επομένως, το PSD ενός περιοδικού σήματος είναι μια διακριτή συνάρτηση της συχνότητας. Χρησιμοποιώντας το PSD που ορίζεται στην εξίσωση (1.18), μπορεί κανείς να γράψει τη μέση κανονικοποιημένη ισχύ του πραγματικού σήματος.

(1.19)

Η εξίσωση (1.18) περιγράφει το PSD μόνο των περιοδικών σημάτων. Εάν είναι ένα μη περιοδικό σήμα, δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους σειράς Fourier. εάν είναι ένα μη περιοδικό σήμα στην περιοδική αναπαράσταση (που έχει άπειρη ενέργεια), μπορεί να μην έχει μετασχηματισμό Fourier. Ωστόσο, μπορούμε ακόμα να εκφράσουμε τη φασματική πυκνότητα ισχύος τέτοιων σημάτων στο όριο. Εάν σχηματίσουμε μια περικομμένη έκδοση ενός μη περιοδικού σήματος στην περιοδική αναπαράσταση, λαμβάνοντας για αυτό μόνο τις τιμές του από το διάστημα (), τότε θα έχει μια πεπερασμένη ενέργεια και τον αντίστοιχο μετασχηματισμό Fourier. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η φασματική πυκνότητα ισχύος ενός μη περιοδικού σήματος ορίζεται ως όριο.

(1.20)

Παράδειγμα 1.1. Μέση ονομαστική ισχύς

α) Βρείτε τη μέση κανονικοποιημένη ισχύ σήματος χρησιμοποιώντας τον μέσο όρο του χρόνου.

β) Εκτελέστε το στοιχείο α αθροίζοντας τους φασματικούς συντελεστές.

Λύση

α) Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1.17, α), έχουμε τα εξής.

β) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (1.18) και (1.19), παίρνουμε τα ακόλουθα.

(βλ. παράρτημα Α)

1.4. αυτοσυσχέτιση

1.4.1. Αυτοσυσχέτιση ενεργειακού σήματος

Η συσχέτιση είναι η διαδικασία αντιστοίχισης. αυτοσυσχέτιση είναι η αντιστοίχιση ενός σήματος με τη δική του καθυστερημένη έκδοση. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος πραγματικής ενέργειας ορίζεται ως εξής.

για (1.21)

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δίνει ένα μέτρο της ομοιότητας ενός σήματος με το δικό του αντίγραφο, μετατοπισμένο κατά μονάδες χρόνου. Η μεταβλητή παίζει το ρόλο μιας παραμέτρου σάρωσης ή αναζήτησης. δεν είναι συνάρτηση του χρόνου. είναι απλώς μια συνάρτηση της διαφοράς ώρας μεταξύ του σήματος και του μετατοπισμένου αντιγράφου του.

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος πραγματικής ενέργειας έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.

1.

3. η αυτοσυσχέτιση και η ESD είναι μετασχηματισμοί Fourier ο ένας του άλλου, ο οποίος υποδεικνύεται με ένα βέλος διπλής κεφαλής

4. η τιμή στο μηδέν είναι ίση με την ενέργεια του σήματος

Κατόπιν ικανοποίησης των παραγράφων. Το 1-3 είναι μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Η συνθήκη 4 είναι συνέπεια της συνθήκης 3, επομένως δεν είναι απαραίτητο να συμπεριληφθεί στο κύριο σύνολο για να ελέγξετε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

1.4.2. Αυτοσυσχέτιση Περιοδικού Σήματος

Η αυτοσυσχέτιση ενός πραγματικού περιοδικού σήματος ορίζεται ως εξής.

για (1.22)

Εάν το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο , ο μέσος όρος χρόνου στην εξίσωση (1.22) μπορεί να ληφθεί σε μία περίοδο και η αυτοσυσχέτιση μπορεί να εκφραστεί ως εξής.

για (1.23)

Η αυτοσυσχέτιση ενός περιοδικού σήματος που λαμβάνει πραγματικές τιμές έχει ιδιότητες παρόμοιες με αυτές ενός ενεργειακού σήματος.

1. συμμετρία ως προς το μηδέν

2. για όλους, η μέγιστη τιμή είναι μηδέν

3. η αυτοσυσχέτιση και η ESD είναι μετασχηματισμοί Fourier μεταξύ τους

4.

1.5. τυχαία σήματα

Το κύριο καθήκον ενός συστήματος επικοινωνίας είναι η μετάδοση πληροφοριών μέσω ενός καναλιού επικοινωνίας. Όλα τα χρήσιμα σήματα μηνυμάτων εμφανίζονται τυχαία, π.χ. ο παραλήπτης δεν γνωρίζει εκ των προτέρων ποιος από τους πιθανούς χαρακτήρες του μηνύματος θα μεταδοθεί. Επιπλέον, λόγω διαφόρων ηλεκτρικών διεργασιών, εμφανίζεται θόρυβος που συνοδεύει τα σήματα πληροφοριών. Επομένως, χρειαζόμαστε έναν αποτελεσματικό τρόπο για να περιγράψουμε τυχαία σήματα.

1.5.1. τυχαίες μεταβλητές

Αφήστε την τυχαία μεταβλητή HA)αντιπροσωπεύει μια λειτουργική σχέση μεταξύ ενός τυχαίου γεγονότος ΑΛΛΑκαι πραγματικός αριθμός. Για διευκόλυνση της σημειογραφίας, συμβολίζουμε την τυχαία μεταβλητή με Χκαι η λειτουργική του εξάρτηση από ΑΛΛΑθα θεωρηθεί ρητή. Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής. Κατανομή τυχαίας μεταβλητής Χβρίσκεται με την έκφραση:

, (1.24)

πού είναι η πιθανότητα να γίνει αποδεκτή η τιμή; τυχαία μεταβλητή Χμικρότερο από πραγματικό αριθμό Χή ίσο με αυτό. Η συνάρτηση διανομής έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.

2. αν

Μια άλλη χρήσιμη συνάρτηση που σχετίζεται με την τυχαία μεταβλητή Χ, είναι η πυκνότητα πιθανότητας, η οποία γράφεται ως εξής.

(1.25,a)

Όπως και με τη συνάρτηση κατανομής, η πυκνότητα πιθανότητας είναι συνάρτηση ενός πραγματικού αριθμού Χ. Η ονομασία «συνάρτηση πυκνότητας» προήλθε από το γεγονός ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ίση με το ακόλουθο.

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1.25.6), μπορούμε να γράψουμε περίπου την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή Χέχει μια τιμή που ανήκει σε ένα πολύ μικρό διάστημα μεταξύ και .

Έτσι, στο όριο ως τείνει προς το μηδέν, μπορούμε να γράψουμε το εξής.

Η πυκνότητα πιθανότητας έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.

2. .

Έτσι, η πυκνότητα πιθανότητας είναι πάντα μη αρνητική και έχει μοναδιαίο εμβαδόν. Στο κείμενο του βιβλίου, θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό για να υποδηλώσουμε την πυκνότητα πιθανότητας για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή. Για διευκόλυνση της σημειογραφίας, συχνά παραλείπουμε το ευρετήριο Χκαι γράψε απλά. Αν μια τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να λάβει μόνο διακριτές τιμές, θα χρησιμοποιήσουμε τη σημείωση .

1.5.1.1. Σύνολο σημαίνει

Μέση τιμή, ή αναμενόμενη τιμή, μιας τυχαίας μεταβλητής Χορίζεται από την έκφραση

, (1.26)

όπου ονομάζεται τελεστής αναμενόμενης τιμής. στιγμή n- Κατανομή πιθανοτήτων ης τάξης μιας τυχαίας μεταβλητής Χονομάζεται η επόμενη τιμή.

(1.27)

Για την ανάλυση των συστημάτων επικοινωνίας, οι δύο πρώτες στιγμές της μεταβλητής είναι σημαντικές Χ. Ναι, στο n=1 η εξίσωση (1.27) δίνει τη στιγμή που εξετάστηκε παραπάνω και πότε n= 1 - μέση τετραγωνική τιμή ρίζας Χ.

(1.28)

Κάποιος μπορεί επίσης να ορίσει κεντρικές στιγμές, που είναι οι στιγμές της διαφοράς Χκαι . Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης (ονομάζεται επίσης διασπορά) είναι η εξής.

Διασπορά Χγράφεται επίσης ως , και η τετραγωνική ρίζα αυτής της τιμής, , ονομάζεται τυπική απόκλιση Χ. Η διασπορά είναι ένα μέτρο της «σκέδασης» μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Ο καθορισμός της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής περιορίζει το πλάτος της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Η διασπορά και το RMS σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση.

Έτσι, η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου τετραγώνου της ρίζας και του τετραγώνου του μέσου όρου.

1.5.2. τυχαίες διαδικασίες

Μια τυχαία διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση δύο μεταβλητών: συμβάντων ΑΛΛΑκαι του χρόνου. Στο σχ. Το 1.5 δείχνει ένα παράδειγμα τυχαίας διαδικασίας. Επίδειξη Νδείγμα συναρτήσεων του χρόνου. Κάθε μία από τις λειτουργίες του δείγματος μπορεί να θεωρηθεί ως η έξοδος μιας ξεχωριστής γεννήτριας θορύβου. Για κάθε συμβάν, έχουμε μια ενιαία λειτουργία χρόνου (δηλαδή συνάρτηση δείγματος). Το σύνολο όλων των συναρτήσεων του δείγματος ονομάζεται σύνολο. Σε κάθε δεδομένη στιγμή, , είναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας η τιμή εξαρτάται από το συμβάν. Και το τελευταίο, για ένα συγκεκριμένο γεγονός και για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, είναι ένας κανονικός αριθμός. Για διευκόλυνση της σημειογραφίας, θα υποδηλώσουμε την τυχαία διαδικασία ως X(t), και η λειτουργική εξάρτηση από ΑΛΛΑθα θεωρηθεί ρητή.

Εικ.1.5. Διαδικασία Τυχαίου Θορύβου

1.5.2.1. Στατιστικός μέσος όρος μιας τυχαίας διαδικασίας

Δεδομένου ότι η τιμή μιας τυχαίας διεργασίας σε κάθε επόμενο χρονικό σημείο είναι άγνωστη, μια τυχαία διαδικασία της οποίας οι συναρτήσεις κατανομής είναι συνεχείς μπορεί να περιγραφεί στατιστικά με όρους πυκνότητας πιθανότητας. Γενικά, σε διαφορετικές χρονικές στιγμές αυτή η συνάρτηση για μια τυχαία διαδικασία θα έχει διαφορετική μορφή. Στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν είναι ρεαλιστικό να προσδιοριστεί εμπειρικά η κατανομή πιθανοτήτων μιας τυχαίας διαδικασίας. Ταυτόχρονα, για τις ανάγκες των συστημάτων επικοινωνίας, συχνά αρκεί μια μερική περιγραφή, συμπεριλαμβανομένου του μέσου όρου και της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Λοιπόν, ας ορίσουμε τον μέσο όρο της τυχαίας διαδικασίας X(t)πως

, (1.30)

όπου μια τυχαία μεταβλητή λαμβάνεται με την εξέταση μιας τυχαίας διεργασίας τη χρονική στιγμή , a είναι η πυκνότητα πιθανότητας (πυκνότητα πάνω από το σύνολο των γεγονότων τη στιγμή ).

Ας ορίσουμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας X(t)ως συνάρτηση δύο μεταβλητών και

όπου και είναι τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνονται λαμβάνοντας υπόψη X(t)κατά καιρούς και αντίστοιχα. Μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι ένα μέτρο της σχέσης μεταξύ δύο δειγμάτων χρόνου μιας μεμονωμένης τυχαίας διαδικασίας.

1.5.2.2. σταθερότητα

τυχαία διαδικασία X(t)ονομάζεται στάσιμο με τη στενή έννοια εάν καμία από τις στατιστικές του δεν επηρεάζεται από τη μεταφορά της προέλευσης του χρόνου. Μια τυχαία διαδικασία ονομάζεται στάσιμη με την ευρεία έννοια, εάν δύο από τα στατιστικά της, ο μέσος όρος και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, δεν αλλάζουν όταν μετακινείται η αρχή του χρόνου. Έτσι, μια διεργασία είναι γενικά ακίνητη εάν

Η σταθερότητα με την αυστηρή έννοια συνεπάγεται στασιμότητα με την ευρεία έννοια, αλλά όχι το αντίστροφο. Τα περισσότερα από τα χρήσιμα αποτελέσματα της θεωρίας της επικοινωνίας βασίζονται στην υπόθεση ότι τα τυχαία σήματα πληροφοριών και ο θόρυβος είναι ακίνητα με ευρεία έννοια. Από πρακτική άποψη, μια τυχαία διεργασία δεν χρειάζεται να είναι πάντα ακίνητη, αρκεί να είναι ακίνητη σε κάποιο παρατηρήσιμο χρονικό διάστημα πρακτικού ενδιαφέροντος.

Για στατικές διεργασίες, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης στην εξίσωση (1.33) δεν εξαρτάται από το χρόνο, αλλά μόνο από τη διαφορά. Με άλλα λόγια, όλα τα ζεύγη τιμών X(t)σε στιγμές που χωρίζονται με το διάστημα , έχουν την ίδια τιμή συσχέτισης. Επομένως, για σταθερά συστήματα, η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί απλά ως .

1.5.2.3. Αυτοσυσχέτιση τυχαίων διεργασιών, στάσιμων με την ευρεία έννοια

Ακριβώς όπως η διακύμανση προσφέρει ένα μέτρο τυχαιότητας για τυχαίες μεταβλητές, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης προσφέρει ένα παρόμοιο μέτρο για τυχαίες διεργασίες. Για διαδικασίες που είναι σταθερές με την ευρεία έννοια, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εξαρτάται μόνο από τη διαφορά χρόνου.

Για μια γενικά ακίνητη διεργασία με μηδενικό μέσο όρο, η συνάρτηση δείχνει πόσο στατιστικά συσχετίζονται οι τυχαίες μεταβλητές της διεργασίας διαχωρισμένες με δευτερόλεπτα. Με άλλα λόγια, δίνει πληροφορίες σχετικά με την απόκριση συχνότητας που σχετίζεται με την τυχαία διαδικασία. Εάν αλλάζει αργά καθώς αυξάνεται από το μηδέν σε κάποια τιμή, αυτό δείχνει ότι, κατά μέσο όρο, οι τιμές του δείγματος X(t), που λαμβάνονται κατά περιόδους και , είναι σχεδόν ίσα. Επομένως, έχουμε το δικαίωμα να το περιμένουμε στην αναπαράσταση συχνότητας X(t)θα κυριαρχήσουν οι χαμηλές συχνότητες. Από την άλλη πλευρά, εάν μειώνεται γρήγορα με την αύξηση, θα το περίμενε κανείς X(t)θα αλλάξει γρήγορα με το χρόνο και ως εκ τούτου θα περιλαμβάνει κυρίως υψηλές συχνότητες.

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας διαδικασίας που είναι ακίνητη με την ευρεία έννοια και λαμβάνει πραγματικές τιμές έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.

1. συμμετρία ως προς το μηδέν

2. για όλα η μέγιστη τιμή είναι μηδέν

3. η αυτοσυσχέτιση και η φασματική πυκνότητα ισχύος είναι μετασχηματισμοί Fourier μεταξύ τους

4. η τιμή στο μηδέν είναι ίση με τη μέση ισχύ του σήματος

1.5.3. Μέσος όρος Χρόνου και Εργοδικία

Για να υπολογίσουμε και με τον μέσο όρο του συνόλου, πρέπει να τους υπολογίσουμε κατά μέσο όρο σε όλες τις δειγματοληπτικές συναρτήσεις της διεργασίας και, επομένως, χρειαζόμαστε πλήρεις πληροφορίες σχετικά με την αμοιβαία κατανομή των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας στην πρώτη και τη δεύτερη προσέγγιση. Στη γενική περίπτωση, κατά κανόνα, τέτοιες πληροφορίες δεν είναι διαθέσιμες.

Εάν μια τυχαία διεργασία ανήκει σε μια ειδική κατηγορία που ονομάζεται κλάση εργοδικών διεργασιών, ο μέσος όρος χρόνου της είναι ίσος με τον μέσο όρο του συνόλου και οι στατιστικές ιδιότητες της διεργασίας μπορούν να προσδιοριστούν με τον μέσο όρο μιας συνάρτησης δείγματος της διαδικασίας με την πάροδο του χρόνου. Για να είναι μια τυχαία διαδικασία εργοδοτική, πρέπει να είναι ακίνητη με την αυστηρή έννοια (το αντίστροφο δεν είναι απαραίτητο). Ωστόσο, για τα συστήματα επικοινωνίας, όπου η σταθερότητα με την ευρεία έννοια είναι επαρκής για εμάς, μας ενδιαφέρει μόνο ο μέσος όρος και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

Μια τυχαία διαδικασία λέγεται ότι είναι εργοδοτική σε σχέση με το μέσο αν

(1.35)

και εργοδοτικό σε σχέση με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης αν

(1.36)

Ο έλεγχος μιας τυχαίας διαδικασίας για εργοδοτικότητα είναι συνήθως αρκετά δύσκολος. Στην πράξη, κατά κανόνα, χρησιμοποιείται μια διαισθητική υπόθεση σχετικά με τη σκοπιμότητα αντικατάστασης των μέσων όρων συνόλου με μέσους χρόνους. Κατά την ανάλυση των περισσότερων σημάτων στα κανάλια επικοινωνίας (ελλείψει παλμών), είναι λογικό να υποθέσουμε ότι τα τυχαία σήματα είναι εργοδικά σε σχέση με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Δεδομένου ότι για τις εργοδοτικές διεργασίες οι μέσοι όροι χρόνου είναι ίσοι με τους μέσους όρους του συνόλου, θεμελιώδεις ηλεκτρικές παράμετροι, όπως το πλάτος της συνιστώσας DC, η μέση τετραγωνική τιμή της ρίζας και η μέση ισχύς, μπορούν να συσχετιστούν με τις ροπές της εργοδοτικής τυχαίας διαδικασίας.

1. Η τιμή είναι ίση με τη συνιστώσα DC του σήματος.

2. Η τιμή είναι ίση με την κανονικοποιημένη ισχύ του στοιχείου DC.

3. Στιγμή της δεύτερης τάξης X(t), , ισούται με τη συνολική μέση κανονικοποιημένη ισχύ.

4. Η τιμή είναι ίση με την τιμή rms του σήματος που εκφράζεται σε ρεύμα ή τάση.

5. Η διασπορά είναι ίση με τη μέση κανονικοποιημένη ισχύ του εναλλασσόμενου σήματος.

6. Εάν ο μέσος όρος της διεργασίας είναι μηδέν (δηλ. ), τότε και η διακύμανση είναι ίση με την τιμή rms ή (άλλη διατύπωση) η διακύμανση αντιπροσωπεύει τη συνολική ισχύ στο κανονικοποιημένο φορτίο.

7. Η τυπική απόκλιση είναι η τυπική τιμή του μεταβλητού σήματος.

8. Εάν , τότε είναι η τιμή RMS του σήματος.

1.5.4. Φασματική πυκνότητα ισχύος και αυτοσυσχέτιση μιας Στοχαστικής Διαδικασίας

τυχαία διαδικασία X(t)μπορεί να αποδοθεί σε ένα περιοδικό σήμα που έχει τέτοια φασματική πυκνότητα ισχύος όπως υποδεικνύεται στην εξίσωση (1.20). Η λειτουργία είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε συστήματα επικοινωνίας επειδή περιγράφει την κατανομή της ισχύος του σήματος σε ένα εύρος συχνοτήτων. Η φασματική πυκνότητα ισχύος σάς επιτρέπει να εκτιμήσετε την ισχύ του σήματος που θα μεταδοθεί μέσω ενός δικτύου με γνωστά χαρακτηριστικά συχνότητας. Οι κύριες ιδιότητες των συναρτήσεων φασματικής πυκνότητας ισχύος μπορούν να διατυπωθούν ως εξής.

1. παίρνει πάντα πραγματικές αξίες

2. Για X(t)παίρνοντας πραγματικές αξίες

3. η αυτοσυσχέτιση και η φασματική πυκνότητα ισχύος είναι μετασχηματισμοί Fourier μεταξύ τους

4. σχέση μεταξύ της μέσης κανονικοποιημένης ισχύος και της φασματικής πυκνότητας ισχύος

Στο σχ. Το 1.6 δείχνει μια οπτική αναπαράσταση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και της συνάρτησης φασματικής πυκνότητας ισχύος. Τι σημαίνει ο όρος «συσχέτιση»; Όταν μας ενδιαφέρει η συσχέτιση δύο φαινομένων, ρωτάμε πόσο στενά σχετίζονται στη συμπεριφορά ή την εμφάνιση και πόσο συμπίπτουν. Στα μαθηματικά, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος (στο πεδίο του χρόνου) περιγράφει την αντιστοιχία ενός σήματος στον εαυτό του, μετατοπισμένο κατά κάποιο χρονικό διάστημα. Ένα ακριβές αντίγραφο θεωρείται ότι δημιουργείται και εντοπίζεται στο μείον άπειρο. Στη συνέχεια μετακινούμε διαδοχικά το αντίγραφο στη θετική κατεύθυνση του άξονα του χρόνου και ρωτάμε πώς αντιστοιχούν (η αρχική έκδοση και το αντίγραφο) μεταξύ τους. Στη συνέχεια, μετακινούμε το αντίγραφο ένα ακόμη βήμα προς τη θετική κατεύθυνση και ρωτάμε πόσο ταιριάζουν τώρα και ούτω καθεξής. Η συσχέτιση μεταξύ δύο σημάτων απεικονίζεται ως συνάρτηση του χρόνου, που συμβολίζεται με ; Σε αυτήν την περίπτωση, ο χρόνος μπορεί να θεωρηθεί ως παράμετρος σάρωσης.

Στο σχ. 1.6 Ενα δη κατάσταση που περιγράφεται παραπάνω απεικονίζεται σε ορισμένες χρονικές στιγμές. Ρύζι. 1.6 ένααπεικονίζει ένα μόνο σήμα μιας ευρέως στατικής τυχαίας διαδικασίας X(t). Το σήμα είναι μια τυχαία δυαδική ακολουθία με θετικούς και αρνητικούς (διπολικούς) παλμούς μοναδιαίου πλάτους. Θετικές και αρνητικές παρορμήσεις εμφανίζονται με ίση πιθανότητα. Η διάρκεια κάθε παλμού (δυαδικό ψηφίο) είναι Τδευτερόλεπτα και ο μέσος όρος ή η τιμή της σταθερής συνιστώσας της τυχαίας ακολουθίας είναι μηδέν. Στο σχ. 1.6 σιεμφανίζεται η ίδια σειρά, μετατοπισμένη στο χρόνο κατά δευτερόλεπτα. Σύμφωνα με τον αποδεκτό συμβολισμό, αυτή η ακολουθία συμβολίζεται με . Ας υποθέσουμε τη διαδικασία X(t)είναι εργοδοτικό σε σχέση με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μέσο όρο του χρόνου αντί για τον μέσο όρο συνόλου για να βρούμε. Η τιμή προκύπτει πολλαπλασιάζοντας δύο ακολουθίες X(t)και με την επακόλουθη εύρεση του μέσου όρου χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1.36), η οποία ισχύει για εργοδοτικές διεργασίες μόνο στο όριο. Ωστόσο, η ολοκλήρωση σε έναν ακέραιο αριθμό περιόδων μπορεί να μας δώσει κάποια εκτίμηση του . Σημειώστε τι μπορεί να ληφθεί με τη μετατόπιση X(t)τόσο σε θετική όσο και σε αρνητική κατεύθυνση. Μια παρόμοια περίπτωση απεικονίζεται στο Σχ. 1.6 σε, στην οποία χρησιμοποιείται η αρχική ακολουθία δειγμάτων (Εικ. 1.6, ένα) και το μετατοπισμένο αντίγραφό του (Εικ. 1.6, σι). Οι σκιασμένες περιοχές κάτω από την καμπύλη προϊόντος συμβάλλουν θετικά στο προϊόν, ενώ οι γκρίζες περιοχές συμβάλλουν αρνητικά. Η ενσωμάτωση στο χρόνο μετάδοσης δίνει ένα σημείο στην καμπύλη. Η ακολουθία μπορεί να μετατοπιστεί περαιτέρω κατά και κάθε τέτοια μετατόπιση θα δώσει ένα σημείο στη συνολική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, που φαίνεται στο Σχ. 1.6 σολ. Με άλλα λόγια, κάθε τυχαία ακολουθία διπολικών παλμών αντιστοιχεί σε ένα σημείο αυτοσυσχέτισης στη γενική καμπύλη που φαίνεται στο Σχήμα. 1.6 σολ. Το μέγιστο της συνάρτησης βρίσκεται σε ένα σημείο (η καλύτερη προσαρμογή είναι όταν , ίση με μηδέν, αφού για όλα ), και η συνάρτηση πέφτει ως . Στο σχ. 1.6 σολφαίνονται τα σημεία που αντιστοιχούν και.

Η αναλυτική έκφραση για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης , που φαίνεται στο σχ. 1.6 σολ, έχει την παρακάτω μορφή.

(1.37)

Σημειώστε ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μας δίνει πληροφορίες για τη συχνότητα. μας λέει κάτι για το εύρος ζώνης του σήματος. Ταυτόχρονα, η αυτοσυσχέτιση είναι μια χρονική συνάρτηση. στον τύπο (1.37) δεν υπάρχουν όροι ανάλογα με τη συχνότητα. Πώς λοιπόν μας δίνει πληροφορίες για το εύρος ζώνης;

Εικ.1.6. Αυτοσυσχέτιση και φασματική πυκνότητα ισχύος

Εικ.1.6. Αυτοσυσχέτιση και φασματική πυκνότητα ισχύος (τέλος)

Ας υποθέσουμε ότι το σήμα κινείται πολύ αργά (το σήμα έχει χαμηλό εύρος ζώνης). Εάν μετατοπίσουμε το αντίγραφο του σήματος κατά μήκος του άξονα, ρωτώντας σε κάθε στάδιο της μετατόπισης το ερώτημα πόσο το αντίγραφο και το πρωτότυπο αντιστοιχούν μεταξύ τους, η αντιστοιχία θα είναι αρκετά ισχυρή για μεγάλο χρονικό διάστημα. Με άλλα λόγια, η τριγωνική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (Εικ. 1.6, σολκαι τύπος 1.37) θα μειωθεί αργά με την αύξηση . Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σήμα αλλάζει αρκετά γρήγορα (δηλαδή, έχουμε μια μεγάλη μπάντα). Σε αυτήν την περίπτωση, ακόμη και μια μικρή αλλαγή θα έχει ως αποτέλεσμα η συσχέτιση να είναι μηδέν και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης να έχει πολύ στενό σχήμα. Επομένως, η σύγκριση των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης ανά σχήμα μας δίνει κάποιες πληροφορίες για το εύρος ζώνης του σήματος. Η συνάρτηση μειώνεται σταδιακά; Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε ένα σήμα με στενή ζώνη. Μοιάζει το σχήμα της συνάρτησης με στενή κορυφή; Τότε το σήμα έχει μια ευρεία ζώνη.

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σάς επιτρέπει να εκφράσετε ρητά τη φασματική πυκνότητα ισχύος ενός τυχαίου σήματος. Εφόσον η φασματική πυκνότητα ισχύος και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι μετασχηματισμοί Fourier μεταξύ τους, η φασματική πυκνότητα ισχύος, , μιας τυχαίας ακολουθίας διπολικών παλμών μπορεί να βρεθεί ως ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης , της οποίας η αναλυτική έκφραση δίνεται στην εξίσωση (1.37). . Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα. Α'1. σημειώσε ότι

(1.38)

Η γενική άποψη της συνάρτησης φαίνεται στην εικ. 1.6 ρε.

Σημειώστε ότι η περιοχή κάτω από την καμπύλη φασματικής πυκνότητας ισχύος αντιπροσωπεύει τη μέση ισχύ του σήματος. Ένα βολικό μέτρο του εύρους ζώνης είναι το πλάτος του κύριου φασματικού λοβού (βλ. Ενότητα 1.7.2). Στο σχ. 1.6 ρεφαίνεται ότι το εύρος ζώνης του σήματος σχετίζεται με το αντίστροφο της διάρκειας του συμβόλου ή του πλάτους παλμού. Ρύζι. 1.6 στ-κεπαναλάβετε επίσημα το Σχ. 1.6 κόλαση, εκτός από το ότι στα παρακάτω σχήματα η διάρκεια του παλμού είναι μικρότερη. Σημειώστε ότι για μικρότερους παλμούς, η συνάρτηση είναι στενότερη (Εικ. 1.6, και) σε σχέση με τα μεγαλύτερα (Εικ. 1.6, σολ). Στο σχ. 1.6 και; Με άλλα λόγια, στην περίπτωση μικρότερης διάρκειας παλμού, μια μετατόπιση , είναι αρκετή για να δημιουργήσει μια μηδενική αντιστοίχιση ή για πλήρη απώλεια συσχέτισης μεταξύ των μετατοπισμένων ακολουθιών. Αφού στο σχ. 1.6 μιδιάρκεια παλμού Τλιγότερο (υψηλότερος ρυθμός μεταφοράς παλμού) από ό,τι στο Σχ. 1.6 ένα, η κατάληψη μπάντας στο Σχ. 1.6 προς τηνπερισσότερη κατοχή ζώνης για τη χαμηλότερη συχνότητα παλμού που φαίνεται στο σχ. 1.6 ρε.

1.5.5. Θόρυβος σε συστήματα επικοινωνίας

Ο όρος «θόρυβος» αναφέρεται σε ανεπιθύμητα ηλεκτρικά σήματα που υπάρχουν πάντα στα ηλεκτρικά συστήματα. Η παρουσία θορύβου που υπερτίθεται στο σήμα "συσκοτίζει" ή καλύπτει το σήμα. Αυτό περιορίζει την ικανότητα του δέκτη να λαμβάνει ακριβείς αποφάσεις σχετικά με τη σημασία των συμβόλων και επομένως περιορίζει τον ρυθμό πληροφόρησης. Η φύση του θορύβου ποικίλλει και περιλαμβάνει τόσο φυσικές όσο και τεχνητές πηγές. Οι ανθρωπογενείς θόρυβοι είναι ο θόρυβος ανάφλεξης με σπινθήρα, ο θόρυβος παλμού μεταγωγής και ο θόρυβος από άλλες σχετικές πηγές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Οι φυσικοί θόρυβοι προέρχονται από την ατμόσφαιρα, τον ήλιο και άλλες γαλαξιακές πηγές.

Ο καλός μηχανικός σχεδιασμός μπορεί να εξαλείψει τον περισσότερο θόρυβο ή τις ανεπιθύμητες επιπτώσεις του μέσω φιλτραρίσματος, διαλογής, επιλογής διαμόρφωσης και βέλτιστης θέσης δέκτη. Για παράδειγμα, οι ευαίσθητες μετρήσεις ραδιοαστρονομίας πραγματοποιούνται συνήθως σε απομακρυσμένες περιοχές της ερήμου, μακριά από φυσικές πηγές θορύβου. Ωστόσο, υπάρχει ένας φυσικός θόρυβος, ο θερμικός θόρυβος, ο οποίος δεν μπορεί να εξαλειφθεί. Ο θερμικός θόρυβος προκαλείται από τη θερμική κίνηση των ηλεκτρονίων σε όλα τα εξαρτήματα διάχυσης - αντιστάσεις, αγωγούς κ.λπ. Τα ίδια ηλεκτρόνια που είναι υπεύθυνα για την ηλεκτρική αγωγιμότητα είναι επίσης υπεύθυνα για τον θερμικό θόρυβο.

Ο θερμικός θόρυβος μπορεί να περιγραφεί ως μια Gaussian τυχαία διαδικασία με μηδενικό μέσο όρο. Gaussian διαδικασία n(t)είναι μια τυχαία συνάρτηση, η τιμή της οποίας και σε ένα αυθαίρετο χρονικό σημείο tχαρακτηρίζεται στατιστικά από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Gauss:

, (1.40)

πού είναι η διακύμανση n. Η κανονικοποιημένη συνάρτηση πυκνότητας διεργασίας Gauss με μηδενικό μέσο όρο λαμβάνεται με την υπόθεση ότι . Η σχηματικά κανονικοποιημένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας φαίνεται στο σχήμα. 1.7.

Εδώ είναι ένα τυχαίο σήμα, ένα- ένα σήμα στο κανάλι επικοινωνίας και n είναι μια τυχαία μεταβλητή που εκφράζει Gaussian θόρυβο. Τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας εκφράζεται ως

, (1.41)

όπου, όπως παραπάνω, είναι η διακύμανση n.

Εικ.1.7. Κανονικοποιημένη () Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Gauss

Η κατανομή Gauss χρησιμοποιείται συχνά ως μοντέλο για το θόρυβο σε ένα σύστημα, καθώς υπάρχει ένα θεώρημα κεντρικού ορίου, που δηλώνει ότι, υπό πολύ γενικές συνθήκες, η κατανομή πιθανότητας του αθροίσματος ιΟι στατιστικά ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές υπακούουν στην κατανομή Gauss και η μορφή των μεμονωμένων συναρτήσεων κατανομής δεν έχει σημασία. Έτσι, ακόμα κι αν μεμονωμένοι μηχανισμοί θορύβου θα έχουν μη-Γκαουσιανή κατανομή, το σύνολο πολλών τέτοιων μηχανισμών θα τείνει προς μια κατανομή Gauss.

1.5.5.1. λευκός θόρυβος

Το κύριο φασματικό χαρακτηριστικό του θερμικού θορύβου είναι ότι η φασματική πυκνότητα ισχύος του είναι η ίδια για όλες τις συχνότητες που ενδιαφέρουν στα περισσότερα συστήματα επικοινωνίας. Με άλλα λόγια, μια πηγή θερμικού θορύβου ακτινοβολεί σε όλες τις συχνότητες με ίση ισχύ ανά μονάδα εύρους ζώνης - από DC σε συχνότητα της τάξης των Hz. Επομένως, ένα απλό μοντέλο θερμικού θορύβου υποθέτει ότι η φασματική πυκνότητα ισχύος του είναι ομοιόμορφη για όλες τις συχνότητες, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.8 ένα, και γράφεται με την παρακάτω μορφή.

(1.42)

Εδώ περιλαμβάνεται ένας παράγοντας 2 για να δείξει ότι είναι η αμφίπλευρη φασματική πυκνότητα ισχύος. Όταν η ισχύς του θορύβου έχει μια τέτοια ομοιόμορφη φασματική πυκνότητα, ονομάζουμε αυτόν τον θόρυβο λευκό. Το επίθετο "λευκό" χρησιμοποιείται με την ίδια έννοια όπως για το λευκό φως, που περιέχει ίσα μέρη όλων των συχνοτήτων στο ορατό ηλεκτρομαγνητικό φάσμα.

Εικ.1.8. Λευκός θόρυβος: α) φασματική πυκνότητα ισχύος.

β) συνάρτηση αυτοσυσχέτισης

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης λευκού θορύβου δίνεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της φασματικής πυκνότητας ισχύος θορύβου (βλ. Πίνακα Α.1) και γράφεται ως εξής.

(1.43)

Έτσι, η αυτοσυσχέτιση του λευκού θορύβου είναι μια συνάρτηση δέλτα, σταθμισμένη με έναν παράγοντα και βρίσκεται στο σημείο , όπως φαίνεται στο Σχήμα. 1.8 σι. Σημειώστε ότι είναι ίσο με μηδέν για , δηλ. δύο διαφορετικά δείγματα λευκού θορύβου δεν συσχετίζονται, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά είναι.

Η μέση ισχύς λευκού θορύβου είναι άπειρη επειδή το εύρος ζώνης λευκού θορύβου είναι άπειρο. Αυτό μπορεί να φανεί λαμβάνοντας την ακόλουθη έκφραση από τις εξισώσεις (1.19) και (1.42).

(1.44)

Αν και ο λευκός θόρυβος είναι μια πολύ χρήσιμη αφαίρεση, καμία διαδικασία θορύβου δεν μπορεί στην πραγματικότητα να είναι λευκή. Ωστόσο, ο θόρυβος που εμφανίζεται σε πολλά πραγματικά συστήματα μπορεί πιθανώς να θεωρηθεί λευκός. Μπορούμε να παρατηρήσουμε τέτοιο θόρυβο μόνο αφού περάσει από ένα πραγματικό σύστημα με πεπερασμένο εύρος ζώνης. Επομένως, εφόσον το εύρος ζώνης του θορύβου είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης που χρησιμοποιείται από το σύστημα, ο θόρυβος μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει άπειρο εύρος ζώνης.

Η συνάρτηση δέλτα στην εξίσωση (1.43) σημαίνει ότι το σήμα θορύβου n(t)είναι απολύτως ασύνδετο με τη δική του μεροληπτική εκδοχή για οποιοδήποτε . Η εξίσωση (1.43) δείχνει ότι οποιαδήποτε δύο δείγματα της διαδικασίας λευκού θορύβου δεν συσχετίζονται. Δεδομένου ότι ο θερμικός θόρυβος είναι μια διαδικασία Gauss και τα δείγματά του δεν συσχετίζονται, τα δείγματα θορύβου είναι επίσης ανεξάρτητα. Έτσι, η επίδραση ενός πρόσθετου καναλιού λευκού Gaussian θορύβου στη διαδικασία ανίχνευσης είναι ότι ο θόρυβος επηρεάζει ανεξάρτητα κάθε μεταδιδόμενο σύμβολο. Ένα τέτοιο κανάλι ονομάζεται κανάλι χωρίς μνήμη. Ο όρος "πρόσθετο" σημαίνει ότι ο θόρυβος απλώς υπερτίθεται ή προστίθεται στο σήμα - δεν υπάρχουν πολλαπλασιαστικοί μηχανισμοί.

Επειδή ο θερμικός θόρυβος υπάρχει σε όλα τα συστήματα επικοινωνιών και είναι σημαντική πηγή θορύβου για τα περισσότερα συστήματα, τα χαρακτηριστικά θερμικού θορύβου (προσθετικό, λευκό και Gaussian) χρησιμοποιούνται συχνά για τη μοντελοποίηση του θορύβου στα συστήματα επικοινωνιών. Επειδή ο μηδενικός μέσος Gaussian θόρυβος χαρακτηρίζεται πλήρως από τη διακύμανσή του, αυτό το μοντέλο είναι ιδιαίτερα εύκολο στη χρήση στην ανίχνευση σήματος και στον βέλτιστο σχεδιασμό του δέκτη. Σε αυτό το βιβλίο, θα υποθέσουμε (εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά) ότι το σύστημα έχει καταστραφεί από μηδενικό μέσο πρόσθετο λευκό θόρυβο Gaussian, αν και μερικές φορές αυτή η απλοποίηση θα είναι υπερβολικά ισχυρή.

1.6. Μετάδοση σήματος μέσω συστημάτων γραμμής

Τώρα που έχουμε αναπτύξει ένα σύνολο μοντέλων σήματος και θορύβου, ας δούμε τα χαρακτηριστικά των συστημάτων και την επίδρασή τους στα σήματα και τον θόρυβο. Δεδομένου ότι ένα σύστημα μπορεί να χαρακτηριστεί εξίσου καλά τόσο στον τομέα συχνότητας όσο και στον τομέα του χρόνου, έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι και στις δύο περιπτώσεις για την ανάλυση της απόκρισης ενός γραμμικού συστήματος σε ένα αυθαίρετο σήμα εισόδου. Το σήμα που εφαρμόζεται στην είσοδο του συστήματος (Εικ. 1.9) μπορεί να περιγραφεί είτε ως σήμα χρόνου, είτε μέσω του μετασχηματισμού Fourier, . Η χρήση της ανάλυσης χρόνου αποδίδει ένα χρόνο εξόδου και στη διαδικασία θα προσδιοριστεί η συνάρτηση, η απόκριση παλμού ή η απόκριση παλμού του δικτύου. Όταν εξετάζουμε την είσοδο στον τομέα συχνότητας, πρέπει να προσδιορίσουμε την απόκριση συχνότητας του συστήματος ή τη συνάρτηση μεταφοράς, η οποία θα καθορίσει την έξοδο συχνότητας. Υποτίθεται ότι το σύστημα είναι γραμμικό και αμετάβλητο ως προς το χρόνο. Θεωρείται επίσης ότι το σύστημα δεν έχει λανθάνουσα ενέργεια τη στιγμή που δίνεται το σήμα εισόδου.

Εικ.1.9. Γραμμικό σύστημα και βασικές του παράμετροι

1.6.1. παρορμητική απόκριση

Το γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα ή δίκτυο που φαίνεται στο Σχ. Το 1.9 περιγράφεται (στο πεδίο του χρόνου) από την απόκριση παλμού , η οποία είναι η απόκριση του συστήματος όταν εφαρμόζεται ένας μόνο παλμός στην είσοδό του.

Σκεφτείτε τον όρο «απάντηση παρόρμησης», που είναι εξαιρετικά κατάλληλος για αυτό το γεγονός. Η περιγραφή των χαρακτηριστικών ενός συστήματος μέσω της κρουστικής του απόκρισης έχει άμεση φυσική ερμηνεία. Στην είσοδο του συστήματος, εφαρμόζουμε έναν μόνο παλμό (ένα μη πραγματικό σήμα με άπειρο πλάτος, μηδενικό πλάτος και μονάδα επιφάνειας), όπως φαίνεται στο Σχ. 1.10, ένα. Η παροχή μιας τέτοιας ώθησης στο σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως «στιγμιαίο αντίκτυπο». Πώς θα αντιδράσει το σύστημα («ανταποκρίνεται») σε μια τέτοια εφαρμογή δύναμης (παρόρμηση); Το σήμα εξόδου είναι η παλμική απόκριση του συστήματος. (Μια πιθανή μορφή αυτής της απόκρισης φαίνεται στην Εικ. 1.10, σι.)

Η απόκριση του δικτύου σε ένα αυθαίρετο σήμα είναι μια συνέλιξη με το , το οποίο γράφεται ως εξής.

(1.46)

Εικ.1.10. Απεικόνιση της έννοιας της "παλμικής απόκρισης": α) το σήμα εισόδου είναι μια μονάδα παλμικής συνάρτησης. β) το σήμα εξόδου είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος

Εδώ, το σύμβολο "*" υποδηλώνει μια πράξη συνέλιξης (βλ. ενότητα A.5). Το σύστημα θεωρείται ότι είναι αιτιώδες, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει σήμα στην έξοδο μέχρι τη στιγμή που το σήμα εφαρμόζεται στην είσοδο. Επομένως, το κάτω όριο της ολοκλήρωσης μπορεί να ληφθεί ίσο με μηδέν και η έξοδος μπορεί να εκφραστεί με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο.

(1.47,a)

ή στη μορφή

(1,47β)

Οι εκφράσεις στις εξισώσεις (1.46) και (1.47) ονομάζονται ολοκληρώματα συνέλιξης. Η συνέλιξη είναι ένα θεμελιώδες μαθηματικό εργαλείο που παίζει σημαντικό ρόλο στην κατανόηση όλων των συστημάτων επικοινωνίας. Εάν ο αναγνώστης δεν είναι εξοικειωμένος με αυτή τη λειτουργία, θα πρέπει να ανατρέξει στην Ενότητα Α.5 για την παραγωγή των εξισώσεων (1.46) και (1.47).

1.6.2. Λειτουργία μεταφοράς συχνότητας

Η έξοδος συχνότητας προκύπτει με την εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier και στις δύο πλευρές της εξίσωσης (1.46). Εφόσον η συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου γίνεται πολλαπλασιασμός στο πεδίο συχνοτήτων (και αντίστροφα), από την εξίσωση (1.46) παίρνουμε το εξής.

(Υποτίθεται, φυσικά, ότι για όλους .) Εδώ , ο μετασχηματισμός Fourier της παλμικής απόκρισης, που ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς συχνότητας, απόκριση συχνότητας ή απόκριση συχνότητας του δικτύου. Γενικά, η συνάρτηση είναι σύνθετη και μπορεί να γραφτεί ως

, (1.50)

πού είναι ο συντελεστής απόκρισης. Η φάση απόκρισης ορίζεται ως εξής.

(1.51)

(και δηλώνουν τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη του επιχειρήματος.)

Η συνάρτηση μεταφοράς συχνότητας ενός γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου δικτύου μπορεί εύκολα να μετρηθεί στο εργαστήριο - σε ένα δίκτυο με μια αρμονική γεννήτρια στην είσοδο και έναν παλμογράφο στην έξοδο. Εάν το σήμα εισόδου εκφράζεται ως

,

τότε η έξοδος μπορεί να γραφτεί ως εξής.

Η συχνότητα εισόδου μετατοπίζεται κατά την τιμή που μας ενδιαφέρει. Έτσι, οι μετρήσεις στην είσοδο και στην έξοδο επιτρέπουν τον προσδιορισμό του είδους.

1.6.2.1. Στοχαστικές διαδικασίες και γραμμικά συστήματα

Εάν μια τυχαία διαδικασία σχηματίζει την είσοδο ενός γραμμικού, αμετάβλητου στο χρόνο συστήματος, τότε στην έξοδο αυτού του συστήματος λαμβάνουμε επίσης μια τυχαία διαδικασία. Με άλλα λόγια, κάθε συνάρτηση δείγματος της διαδικασίας εισόδου δίνει μια συνάρτηση δείγματος της διαδικασίας εξόδου. Η φασματική πυκνότητα ισχύος εισόδου και η φασματική πυκνότητα ισχύος εξόδου σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση.

(1.53)

Η εξίσωση (1.53) παρέχει έναν απλό τρόπο εύρεσης της φασματικής πυκνότητας ισχύος στην έξοδο ενός γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου συστήματος όταν μια τυχαία διεργασία εφαρμόζεται ως είσοδος.

Στα Κεφάλαια 3 και 4, θα εξετάσουμε την ανίχνευση σήματος στον Gaussian θόρυβο. Η κύρια ιδιότητα των διεργασιών Gauss θα εφαρμοστεί σε ένα γραμμικό σύστημα. Θα φανεί ότι εάν μια διεργασία Gauss τροφοδοτηθεί σε ένα αμετάβλητο ως προς το χρόνο γραμμικό φίλτρο, τότε η τυχαία διεργασία , η οποία εξάγεται, είναι επίσης Gaussian.

1.6.3. Μετάδοση χωρίς παραμόρφωση

Τι χρειάζεται για να συμπεριφέρεται ένα δίκτυο ως ιδανικό κανάλι μετάδοσης; Το σήμα στην έξοδο ενός ιδανικού καναλιού επικοινωνίας μπορεί να καθυστερήσει σε σχέση με το σήμα στην είσοδο. Επιπλέον, αυτά τα σήματα μπορεί να έχουν διαφορετικά πλάτη (απλή επανακλιμάκωση), αλλά όπως για οτιδήποτε άλλο - το σήμα δεν πρέπει να παραμορφώνεται, π.χ. πρέπει να έχει το ίδιο σχήμα με το σήμα εισόδου. Επομένως, για μια ιδανική μετάδοση χωρίς παραμόρφωση, μπορούμε να περιγράψουμε το σήμα εξόδου ως

, (1.54)

όπου και είναι σταθερές. Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέρη (βλ. ενότητα A.3.1), έχουμε τα εξής.

(1.55)

Αντικαθιστώντας την έκφραση (1.55) στην εξίσωση (1.49), βλέπουμε ότι η απαραίτητη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος για μετάδοση χωρίς παραμόρφωση έχει την ακόλουθη μορφή.

(1.56)

Επομένως, για να επιτευχθεί μια ιδανική μετάδοση χωρίς παραμόρφωση, η συνολική απόκριση του συστήματος πρέπει να έχει σταθερό συντελεστή και η μετατόπιση φάσης πρέπει να είναι γραμμική σε συχνότητα. Δεν αρκεί το σύστημα να ενισχύει ή να κόβει εξίσου όλα τα στοιχεία συχνότητας. Όλες οι αρμονικές του σήματος πρέπει να φτάσουν στην έξοδο με την ίδια καθυστέρηση ώστε να μπορούν να αθροιστούν. Δεδομένου ότι η καθυστέρηση σχετίζεται με τη μετατόπιση φάσης και την κυκλική συχνότητα από τη σχέση

, (1.57,a)

Είναι προφανές ότι, για να είναι ίδια η καθυστέρηση όλων των στοιχείων, η μετατόπιση φάσης πρέπει να είναι ανάλογη της συχνότητας. Για τη μέτρηση της παραμόρφωσης του σήματος που προκαλείται από την καθυστέρηση, χρησιμοποιείται συχνά ένα χαρακτηριστικό που ονομάζεται καθυστέρηση ομάδας. ορίζεται ως εξής.

(1,57β)

Έτσι, για μετάδοση χωρίς παραμόρφωση, έχουμε δύο ισοδύναμες απαιτήσεις: η φάση πρέπει να είναι γραμμική σε συχνότητα ή η καθυστέρηση ομάδας πρέπει να είναι ίση με μια σταθερά. Στην πράξη, το σήμα θα παραμορφωθεί καθώς περνά μέσα από ορισμένα μέρη του συστήματος. Για την εξάλειψη αυτής της παραμόρφωσης, μπορούν να εισαχθούν στο σύστημα κυκλώματα διόρθωσης φάσης ή πλάτους (εξισορρόπηση). Γενικά, η παραμόρφωση είναι ένα γενικό χαρακτηριστικό I/O ενός συστήματος που καθορίζει την απόδοσή του.

1.6.3.1. Ιδανικό φίλτρο

Δεν είναι ρεαλιστικό να κατασκευάσουμε ένα ιδανικό δίκτυο που περιγράφεται από την εξίσωση (1.56). Το πρόβλημα είναι ότι η εξίσωση (1.56) υποθέτει άπειρο εύρος ζώνης, με το εύρος ζώνης του συστήματος να καθορίζεται από το εύρος των θετικών συχνοτήτων όπου το μέτρο έχει μια δεδομένη τιμή. (Γενικά, υπάρχουν πολλές μετρήσεις του εύρους ζώνης· οι πιο συνηθισμένες παρατίθενται στην Ενότητα 1.7.) Ως προσέγγιση σε ένα ιδανικό δίκτυο με άπειρο εύρος ζώνης, επιλέγουμε ένα περικομμένο δίκτυο που διέρχεται χωρίς παραμόρφωση όλες τις αρμονικές με συχνότητες μεταξύ και όπου είναι η χαμηλότερη συχνότητα αποκοπής, και είναι η ανώτερη, όπως φαίνεται στο σχ. 1.11. Όλα αυτά τα δίκτυα ονομάζονται ιδανικά φίλτρα. Υποτίθεται ότι εκτός του εύρους, που ονομάζεται ζώνη διέλευσης (passband), το πλάτος απόκρισης ενός ιδανικού φίλτρου είναι μηδέν. Το ενεργό εύρος ζώνης καθορίζεται από το εύρος ζώνης του φίλτρου και είναι Hz.

Εάν και , το φίλτρο ονομάζεται μεταδοτικό (Εικ. 1.11, ένα). Εάν και έχει πεπερασμένη τιμή, ονομάζεται φίλτρο χαμηλής διέλευσης (Εικ. 1.11, σι). Εάν έχει μη μηδενική τιμή και , ονομάζεται υψηλοπερατό φίλτρο (Εικ. 1.11, σε).

Εικ.1.11. Λειτουργία μεταφοράς ιδανικών φίλτρων: α) ιδανικό φίλτρο μετάδοσης. β) ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο. γ) ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1.59) και υποθέτοντας για ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο με το εύρος ζώνης Hz που φαίνεται στην εικ. 1.11 σι, η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να γραφτεί ως εξής.

(1.58)

Η κρουστική απόκριση ενός ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης, που φαίνεται στο Σχ. Το 1.12 εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο.

Εικ.1.12. Κρουστική απόκριση ενός ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης

όπου η συνάρτηση ορίζεται στην εξίσωση (1.39). Η παλμική απόκριση που φαίνεται στο σχ. 1.12 είναι μη αιτιατική. Αυτό σημαίνει ότι τη στιγμή που εφαρμόζεται το σήμα στην είσοδο (), υπάρχει μια μη μηδενική απόκριση στην έξοδο του φίλτρου. Έτσι, θα πρέπει να είναι προφανές ότι το ιδανικό φίλτρο που περιγράφεται από την εξίσωση (1.58) δεν υπάρχει στην πραγματικότητα.

Παράδειγμα 1.2. Διέλευση λευκού θορύβου μέσα από ένα ιδανικό φίλτρο

Λευκός θόρυβος με φασματική πυκνότητα ισχύος φαίνεται στο σχήμα 1.8, ένα, εφαρμόζεται στην είσοδο του ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης που φαίνεται στο Σχ. 1.11 σι. Προσδιορίστε τη φασματική πυκνότητα ισχύος και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος εξόδου.

Λύση

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier στη φασματική πυκνότητα ισχύος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης καθορίζεται από την ακόλουθη έκφραση (βλ. Πίνακα Α.1).

Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα που λήφθηκε με τον τύπο (1.62), βλέπουμε ότι έχει την ίδια μορφή με την κρουστική απόκριση ενός ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης που φαίνεται στο Σχ. 1.12. Σε αυτό το παράδειγμα, ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο μετατρέπει τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του λευκού θορύβου (που ορίζεται ως προς τη συνάρτηση δέλτα) σε συνάρτηση . Μετά το φιλτράρισμα, το σύστημα δεν θα έχει πλέον λευκό θόρυβο. Το σήμα θορύβου εξόδου θα έχει μόνο μηδενική συσχέτιση με τα μετατοπισμένα αντίγραφά του όταν μετατοπίζεται κατά , όπου είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός ακέραιος.

1.6.3.2. Εφαρμοσμένα φίλτρα

Το απλούστερο χαμηλοπερατό φίλτρο που μπορεί να εφαρμοστεί αποτελείται από μια αντίσταση (R) και μια χωρητικότητα (C), όπως φαίνεται στο Σχ. 1.13 ένα; αυτό το φίλτρο ονομάζεται φίλτρο RC και η συνάρτηση μεταφοράς του μπορεί να εκφραστεί ως εξής.

, (1.63)

όπου . Το χαρακτηριστικό πλάτους και το χαρακτηριστικό φάσης φαίνονται στο σχ. 1.13 σι, σε. Το εύρος ζώνης του χαμηλοπερατού φίλτρου προσδιορίζεται στο μισό σημείο ισχύος. Αυτό το σημείο αντιπροσωπεύει τη συχνότητα στην οποία η ισχύς του σήματος εξόδου είναι το ήμισυ της μέγιστης τιμής ή η συχνότητα στην οποία το πλάτος της τάσης εξόδου είναι ίσο με τη μέγιστη τιμή.

Γενικά, το μισό σημείο ισχύος εκφράζεται σε ντεσιμπέλ (dB) ως το σημείο -3 dB ή το σημείο 3 dB κάτω από τη μέγιστη τιμή. Εξ ορισμού, η τιμή σε ντεσιμπέλ καθορίζεται από την αναλογία των δυνάμεων και .

(1.64, α)

Εδώ και είναι οι τάσεις, α και είναι αντιστάσεις. Στα συστήματα επικοινωνίας, η κανονικοποιημένη ισχύς χρησιμοποιείται συνήθως για ανάλυση. σε αυτή την περίπτωση, οι αντιστάσεις και θεωρούνται ίσες με 1 ohm, τότε

Εικ.1.13. Φίλτρο RC και η λειτουργία μεταφοράς του: α) Φίλτρο RC. β) χαρακτηριστικό πλάτους του φίλτρου RC. γ) απόκριση φάσης του φίλτρου RC

(1.64, β)

Η απόκριση πλάτους μπορεί να εκφραστεί σε ντεσιμπέλ ως

, (1,64, in)

όπου και είναι οι τάσεις εισόδου και εξόδου, και οι αντιστάσεις εισόδου και εξόδου θεωρούνται ίσες.

Από την εξίσωση (1.63) είναι εύκολο να ελέγξετε ότι το μισό σημείο ισχύος του φίλτρου χαμηλής διέλευσης RC αντιστοιχεί σε rad/s ή Hz. Έτσι, το εύρος ζώνης σε hertz είναι . Ο παράγοντας μορφής φίλτρου είναι ένα μέτρο του πόσο καλά ένα πραγματικό φίλτρο προσεγγίζει το ιδανικό. Συνήθως ορίζεται ως η αναλογία των -60 dB και -6 dB εύρους ζώνης φίλτρου. Ένας αρκετά μικρός συντελεστής μορφής (περίπου 2) μπορεί να ληφθεί σε ένα φίλτρο μετάδοσης με πολύ έντονη αποκοπή. Συγκριτικά, ο συντελεστής μορφής ενός απλού φίλτρου χαμηλής διέλευσης RC είναι περίπου 600.

Υπάρχουν πολλές χρήσιμες προσεγγίσεις των χαρακτηριστικών ενός ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης. Ένα από αυτά παρέχεται από το φίλτρο Butterworth, το οποίο προσεγγίζει το ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο με τη λειτουργία

, (1.65)

όπου είναι η ανώτερη συχνότητα αποκοπής (-3 dB) και είναι η σειρά του φίλτρου. Όσο υψηλότερη είναι η παραγγελία, τόσο μεγαλύτερη είναι η πολυπλοκότητα και το κόστος εφαρμογής του φίλτρου. Στο σχ. Το 1.14 δείχνει γραφήματα πλάτους για πολλές τιμές. Σημειώστε ότι καθώς μεγαλώνουν, τα χαρακτηριστικά πλάτους προσεγγίζουν τα χαρακτηριστικά ενός ιδανικού φίλτρου. Τα φίλτρα Butterworth είναι δημοφιλή επειδή αποτελούν την καλύτερη προσέγγιση της ιδανικής περίπτωσης όσον αφορά τη μέγιστη επιπεδότητα εύρους ζώνης φίλτρου.

Τα μαθηματικά μοντέλα πολλών σημάτων που χρησιμοποιούνται ευρέως στη ραδιομηχανική δεν ικανοποιούν την προϋπόθεση απόλυτης ενσωμάτωσης, επομένως η μέθοδος μετασχηματισμού Fourier στη συνηθισμένη της μορφή δεν είναι εφαρμόσιμη σε αυτά. Ωστόσο, όπως επισημάνθηκε, μπορεί κανείς να μιλήσει για τις φασματικές πυκνότητες τέτοιων σημάτων, αν υποθέσουμε ότι αυτές οι πυκνότητες περιγράφονται από γενικευμένες συναρτήσεις.

Γενικευμένος τύπος Rayleigh. Ας αποδείξουμε μια σημαντική βοηθητική δήλωση σχετικά με τις φασματικές ιδιότητες των σημάτων.

Έστω δύο σήματα στη γενική περίπτωση με μιγαδικές τιμές, που ορίζονται από τους αντίστροφους μετασχηματισμούς Fourier τους:

Ας βρούμε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των σημάτων, εκφράζοντας ένα από αυτά, για παράδειγμα, μέσω της φασματικής του πυκνότητας:

Εδώ, το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι προφανώς η φασματική πυκνότητα του σήματος. Να γιατί

Η σχέση που προκύπτει είναι ένας γενικευμένος τύπος Rayleigh. Μια εύκολα απομνημονευμένη ερμηνεία αυτού του τύπου είναι η εξής: το βαθμωτό γινόμενο δύο σημάτων, μέχρι έναν συντελεστή, είναι ανάλογο με το κλιμακωτό γινόμενο των φασματικών πυκνοτήτων τους.

Γενίκευση της έννοιας της φασματικής πυκνότητας.

Υποθέτουμε ότι το σήμα είναι μια απολύτως ενσωματωμένη συνάρτηση. Τότε ο μετασχηματισμός Fourier είναι η συνήθης κλασική συνάρτηση συχνότητας. Ας, μαζί με αυτό, το σήμα δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση απόλυτης ενσωμάτωσης και ο μετασχηματισμός Fourier δεν υπάρχει με τη συνήθη κλασική έννοια. Ωστόσο, μπορεί κανείς να επεκτείνει την έννοια της φασματικής πυκνότητας υποθέτοντας ότι είναι μια γενικευμένη συνάρτηση με την έννοια που ορίζεται στην § 1.2. Για να γίνει αυτό, σύμφωνα με τον γενικευμένο τύπο Rayleigh, αρκεί να υποθέσουμε ότι είναι μια συνάρτηση που, ενεργώντας σε μια γνωστή συνάρτηση, δίνει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

Συνιστάται να εξετάζονται μέθοδοι για τον υπολογισμό των φασμάτων των μη ενσωματώσιμων σημάτων χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Φασματική πυκνότητα χρονικά σταθερού σήματος. Το απλούστερο μη ενσωματωμένο σήμα είναι μια σταθερή τιμή και . Ας υποθέσουμε ότι είναι ένα αυθαίρετο πραγματικό απολύτως ενσωματωμένο σήμα με γνωστή φασματική πυκνότητα

Επεκτείνοντας τον τύπο (2.43), έχουμε

Όμως, όπως φαίνεται εύκολα,

Επομένως, με βάση την ιδιότητα φιλτραρίσματος της συνάρτησης δέλτα, συμπεραίνουμε ότι η ισότητα (2.43) είναι δυνατή μόνο υπό την προϋπόθεση ότι

Το φυσικό νόημα του ληφθέντος αποτελέσματος είναι σαφές - ένα αμετάβλητο ως προς το χρόνο σήμα έχει μια φασματική συνιστώσα μόνο σε μηδενική συχνότητα.

Φασματική πυκνότητα σύνθετου εκθετικού σήματος.

Έστω ένα μιγαδικό εκθετικό σήμα με μια δεδομένη πραγματική συχνότητα Αυτό το σήμα δεν είναι απολύτως ενσωματώσιμο, αφού η συνάρτηση s(t) δεν τείνει σε κανένα όριο στο . Ο μετασχηματισμός Fourier αυτού του σήματος, θεωρούμενος με μια γενικευμένη έννοια, πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση

Επομένως, η επιθυμητή φασματική πυκνότητα S (co), εκφράζεται ως εξής:

Σημειώστε τα εξής:

1. Η φασματική πυκνότητα ενός μιγαδικού εκθετικού σήματος είναι ίση με μηδέν παντού, εκτός από το σημείο όπου έχει ιδιομορφία δέλτα.

2. Το φάσμα αυτού του σήματος είναι ασύμμετρο ως προς το σημείο και συγκεντρώνεται στην περιοχή είτε θετικών είτε αρνητικών συχνοτήτων.

Φασματική πυκνότητα αρμονικών ταλαντώσεων. Έστω Σύμφωνα με τον τύπο Euler

Το φάσμα του μιγαδικού εκθετικού σήματος που βρέθηκε παραπάνω, καθώς και η ιδιότητα γραμμικότητας του μετασχηματισμού Fourier, μας επιτρέπουν να γράψουμε αμέσως την έκφραση για τη φασματική πυκνότητα του συνημιτονικού σήματος:

Ο αναγνώστης μπορεί εύκολα να ελέγξει μόνος του ότι για ένα ημιτονοειδές σήμα, η σχέση

Πρέπει να σημειωθεί ότι η έκφραση (2.46) είναι άρτια και η έκφραση (2.47) είναι περιττή συνάρτηση της συχνότητας.

Φασματική πυκνότητα αυθαίρετου περιοδικού σήματος.

Προηγουμένως, τα περιοδικά σήματα μελετήθηκαν με μεθόδους της θεωρίας των σειρών Fourier. Τώρα μπορείτε να επεκτείνετε την κατανόησή σας για τις φασματικές τους ιδιότητες περιγράφοντας περιοδικά σήματα χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier.

Ένα περιοδικό σήμα που δίνεται από τη σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή. Με βάση τον τύπο (2.45), λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα γραμμικότητας του μετασχηματισμού Fourier, λαμβάνουμε αμέσως την έκφραση για τη φασματική πυκνότητα ενός τέτοιου σήματος:

Το αντίστοιχο γράφημα φασματικής πυκνότητας στη διαμόρφωσή του επαναλαμβάνει το συνηθισμένο φασματικό διάγραμμα ενός περιοδικού σήματος. Το γράφημα σχηματίζεται από παλμούς δέλτα στον τομέα συχνότητας, οι οποίοι βρίσκονται σε σημεία με συντεταγμένες

Φασματική πυκνότητα της λειτουργίας μεταγωγής.

Ας υπολογίσουμε τη φασματική πυκνότητα της συνάρτησης εγκλεισμού , την οποία, για λόγους απλότητας, ορίζουμε σε όλα τα σημεία, εκτός από το σημείο t = 0 [βλ. με (1.2)]:

Πρώτα απ 'όλα, σημειώνουμε ότι η λειτουργία ενεργοποίησης επιτυγχάνεται περνώντας στο όριο από τον εκθετικό παλμό βίντεο:

Επομένως, μπορεί κανείς να προσπαθήσει να αποκτήσει τη φασματική πυκνότητα της συνάρτησης συμπερίληψης περνώντας στο όριο ως a - 0 στον τύπο για τη φασματική πυκνότητα μιας εκθετικής ταλάντωσης:

Μια άμεση μετάβαση στο όριο, σύμφωνα με το οποίο ισχύει σε όλες τις συχνότητες, εκτός από την τιμή του , όταν χρειάζεται πιο προσεκτική εξέταση.

Πρώτα απ 'όλα, διαχωρίζουμε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος στη φασματική πυκνότητα του εκθετικού σήματος:

Μπορεί να επαληθευτεί ότι

Πράγματι, η οριακή τιμή αυτού του κλάσματος εξαφανίζεται για οποιοδήποτε, και ταυτόχρονα

ανεξάρτητα από την τιμή του α, από την οποία προκύπτει ο ισχυρισμός.

Έτσι, έχουμε μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ της συνάρτησης συμπερίληψης και της φασματικής πυκνότητάς της:

Η ιδιομορφία δέλτα στο υποδεικνύει ότι η λειτουργία ενεργοποίησης έχει μια σταθερή συνιστώσα ίση με 1/2.

Φασματική πυκνότητα ραδιοπαλμού.

Όπως είναι γνωστό, ένας ραδιοπαλμός δίνεται ως γινόμενο κάποιου παλμού βίντεο, που παίζει το ρόλο ενός φακέλου, και μιας μη ενσωματωμένης αρμονικής ταλάντωσης: .

Για να βρούμε τη φασματική πυκνότητα ενός ραδιοπαλμού, υποθέτουμε ότι μια γνωστή συνάρτηση είναι το φάσμα του περιβλήματός του. Το φάσμα ενός συνημιτονοειδούς σήματος με αυθαίρετη αρχική φάση προκύπτει από μια στοιχειώδη γενίκευση του τύπου (2.46):

Το φάσμα ενός ραδιοπαλμού είναι μια συνέλιξη

Λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα φιλτραρίσματος της συνάρτησης δέλτα, έχουμε ένα σημαντικό αποτέλεσμα:

Ρύζι. Το 2.8 απεικονίζει τον μετασχηματισμό του φάσματος ενός παλμού βίντεο όταν πολλαπλασιάζεται με ένα αρμονικό σήμα υψηλής συχνότητας.

Ρύζι. 2.8. Εξαρτήσεις συχνότητας του συντελεστή φασματικής πυκνότητας: α - παλμός βίντεο. β - ραδιοπαλμός

Μπορεί να φανεί ότι η μετάβαση από έναν παλμό βίντεο σε έναν ραδιοπαλμό στη φασματική προσέγγιση σημαίνει τη μεταφορά του φάσματος του παλμού βίντεο στην περιοχή υψηλής συχνότητας - αντί για μια μοναδική μέγιστη φασματική πυκνότητα στο , παρατηρούνται δύο μέγιστα στο , οι απόλυτες τιμές των μεγίστων μειώνονται στο μισό.

Σημειώστε ότι τα γραφήματα στο Σχ. 2,8 αντιστοιχούν σε καταστάσεις όπου η συχνότητα υπερβαίνει σημαντικά το ενεργό πλάτος του φάσματος παλμών βίντεο (αυτή είναι η περίπτωση που εφαρμόζεται συνήθως στην πράξη). Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχει αξιοσημείωτη «επικάλυψη» των φασμάτων που αντιστοιχούν σε θετικές και αρνητικές συχνότητες. Ωστόσο, μπορεί να αποδειχθεί ότι το εύρος ζώνης του φάσματος παλμών βίντεο είναι τόσο μεγάλο (για έναν σύντομο παλμό) που η επιλεγμένη τιμή συχνότητας δεν εξαλείφει το φαινόμενο "επικάλυψης". Κατά συνέπεια, τα προφίλ των φασμάτων του παλμού βίντεο και του ραδιοπαλμού παύουν να είναι παρόμοια.

Παράδειγμα 2.3. Φασματική πυκνότητα ορθογώνιου ραδιοπαλμού.

Για απλότητα, ορίσαμε την αρχική φάση να είναι μηδέν και γράφουμε το μαθηματικό μοντέλο του ραδιοπαλμού στη μορφή

Γνωρίζοντας το φάσμα του αντίστοιχου παλμού βίντεο [βλ τύπος (2.20)], με βάση το (2.50) βρίσκουμε το απαιτούμενο φάσμα:

Στο σχ. Το 2.9 δείχνει τα αποτελέσματα του υπολογισμού της φασματικής πυκνότητας χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.51) για δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις,

Στην πρώτη περίπτωση (Εικ. 2.9, α), η ώθηση του φακέλου περιέχει 10 περιόδους πλήρωσης υψηλής συχνότητας, η συχνότητα εδώ είναι αρκετά υψηλή ώστε να αποφεύγεται η «επικάλυψη». Στη δεύτερη περίπτωση (Εικ. 2.9, β), ο ραδιοπαλμός αποτελείται από μία μόνο περίοδο πλήρωσης Η υπέρθεση των συστατικών που αντιστοιχούν στις περιοχές θετικών και αρνητικών συχνοτήτων οδηγεί σε χαρακτηριστική ασυμμετρία της δομής των πετάλων του γραφήματος του τη φασματική πυκνότητα του ραδιοπαλμού.

Ρύζι. 2.9. Γραφήματα των φασματικών πυκνοτήτων ενός ραδιοπαλμού με ορθογώνιο περίβλημα: a - at ; νυχτερίδα

Περιοδική συνέχιση μιας παρόρμησης. Η έννοια της φασματικής πυκνότητας του σήματος Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier. Η προϋπόθεση για την ύπαρξη της φασματικής πυκνότητας του σήματος Σχέση μεταξύ της διάρκειας παλμού και του πλάτους του φάσματος του Ο γενικευμένος τύπος Rayleigh Αμοιβαία φασματική πυκνότητα σημάτων. Ενεργειακό φάσμα Ανάλυση συσχέτισης σημάτων Σύγκριση σημάτων μετατοπισμένων στο χρόνο.

Σκοπός της διάλεξης:

Λάβετε φασματικά χαρακτηριστικά μη περιοδικών (παλμικών) σημάτων γενικεύοντας τις σειρές Fourier. Προσδιορίστε τις απαιτήσεις για το εύρος ζώνης της συσκευής ραδιοφώνου. Αναπαριστά τα σήματα ως προς τις φασματικές τους πυκνότητες. Χρησιμοποιήστε το ενεργειακό φάσμα για να λάβετε διάφορες μηχανικές εκτιμήσεις. Κατανοήστε πώς προκύπτει η ανάγκη για σήματα με ειδικά επιλεγμένες ιδιότητες.

Έστω s (t) ένα μοναδικό παλμικό σήμα πεπερασμένης διάρκειας. Συμπληρώνοντάς το διανοητικά με τα ίδια σήματα περιοδικά μετά από ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα T, λαμβάνουμε την προηγουμένως μελετημένη περιοδική ακολουθία S ανά (t),που μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετη σειρά Fourier

(12.1) με συντελεστές . (12.2)

Για να επιστρέψουμε σε ένα μόνο παλμικό σήμα, ας ορίσουμε την περίοδο επανάληψης στο άπειρο Τ.Σε αυτή την περίπτωση είναι προφανές:

α) οι συχνότητες των γειτονικών αρμονικών nω 1 και (n+ l)ω 1 θα είναι αυθαίρετα κοντινές, έτσι ώστε στους τύπους (12.1) και (12.2) η διακριτή μεταβλητή nω 1 να μπορεί να αντικατασταθεί από μια συνεχή μεταβλητή ω - η τρέχουσα συχνότητα.

β) οι συντελεστές πλάτους C n θα γίνουν απείρως μικροί λόγω της παρουσίας του Τ στον παρονομαστή του τύπου (12.2).

Το καθήκον μας τώρα είναι να βρούμε την οριακή μορφή του τύπου (12.1) ως T→∞.

Ας εξετάσουμε ένα μικρό διάστημα συχνότητας Δω, το οποίο σχηματίζει μια γειτονιά κάποιας επιλεγμένης τιμής συχνότητας ω 0 . Μέσα σε αυτό το διάστημα θα περιέχει N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) μεμονωμένα ζεύγη φασματικών συνιστωσών, οι συχνότητες των οποίων διαφέρουν όσο το δυνατόν λιγότερα. Επομένως, τα συστατικά μπορούν να προστεθούν ως σαν να έχουν όλα την ίδια συχνότητα και να χαρακτηρίζονται από τα ίδια πολύπλοκα πλάτη

Ως αποτέλεσμα, βρίσκουμε το σύνθετο πλάτος του ισοδύναμου αρμονικού σήματος, το οποίο αντανακλά τη συμβολή όλων των φασματικών συστατικών που περιέχονται στο διάστημα Δω

. (12.3)

Λειτουργία (12.4)

λέγεται φασματική πυκνότητασήμα s (t). Ο τύπος (12.4) εφαρμόζει Μετασχηματισμός Fourierαυτό το σήμα.

Ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα της φασματικής θεωρίας των σημάτων: βρείτε το σήμα από τη φασματική του πυκνότητα, την οποία θα θεωρήσουμε δεδομένη.

Εφόσον, στο όριο, τα διαστήματα συχνότητας μεταξύ γειτονικών αρμονικών μειώνονται επ' αόριστον, το τελευταίο άθροισμα θα πρέπει να αντικατασταθεί από το ολοκλήρωμα

. (12.5)

Αυτός ο σημαντικός τύπος ονομάζεται αντίστροφος μετασχηματισμός Fourierγια το σήμα s(t).

Ας διατυπώσουμε τελικά το θεμελιώδες αποτέλεσμα: το σήμα s(t)και η φασματική του πυκνότητα S(ω) σχετίζονται ένα προς ένα με άμεσους και αντίστροφους μετασχηματισμούς Fourier

, (12.6)

.

Η φασματική αναπαράσταση των σημάτων ανοίγει μια άμεση διαδρομή για την ανάλυση της διέλευσης των σημάτων μέσω μιας ευρείας κατηγορίας ραδιοκυκλωμάτων, συσκευών και συστημάτων.

Το σήμα s(t) μπορεί να συσχετιστεί με τη φασματική του πυκνότητα s(ω) εάν αυτό το σήμα απολύτως ενσωματωμένο,δηλ. υπάρχει ολοκλήρωμα

Μια τέτοια συνθήκη περιορίζει σημαντικά την κατηγορία των αποδεκτών σημάτων. Έτσι, με την υποδεικνυόμενη κλασική έννοια, είναι αδύνατο να μιλήσουμε για τη φασματική πυκνότητα ενός αρμονικού σήματος και(t) = U m cosω 0 t , υπάρχει σε όλο τον άπειρο άξονα του χρόνου.

Σημαντικό takeaway: όσο μικρότερη είναι η διάρκεια του παλμού, τόσο μεγαλύτερο είναι το φάσμα του.

Το πλάτος του φάσματος νοείται ως το διάστημα συχνοτήτων εντός του οποίου το μέτρο της φασματικής πυκνότητας δεν είναι μικρότερο από κάποιο προκαθορισμένο επίπεδο, για παράδειγμα, ποικίλλει από |S| max , έως 0,1|S| Μέγιστη.

Το γινόμενο του πλάτους του φάσματος παλμών και της διάρκειάς του είναι ένας σταθερός αριθμός που εξαρτάται μόνο από το σχήμα του παλμού και, κατά κανόνα, έχει την τάξη της ενότητας: Όσο μικρότερη είναι η διάρκεια του παλμού, τόσο μεγαλύτερο είναι το εύρος ζώνης του αντίστοιχου ο ενισχυτής πρέπει να είναι. Ο θόρυβος σύντομης ώθησης έχει ευρύ φάσμα και επομένως μπορεί να υποβαθμίσει τις συνθήκες ραδιοφωνικής λήψης σε μια μεγάλη ζώνη συχνοτήτων.

Τα μαθηματικά μοντέλα πολλών σημάτων που χρησιμοποιούνται ευρέως στη ραδιομηχανική δεν ικανοποιούν την προϋπόθεση απόλυτης ενσωμάτωσης, επομένως η μέθοδος μετασχηματισμού Fourier στη συνηθισμένη της μορφή δεν είναι εφαρμόσιμη σε αυτά. Ωστόσο, μπορούμε να μιλήσουμε για τις φασματικές πυκνότητες τέτοιων σημάτων, αν υποθέσουμε ότι αυτές οι πυκνότητες περιγράφονται από γενικευμένες συναρτήσεις.

Αφήστε δύο σήματα u(t)και v(t),γενικά μιγαδικών τιμών, που ορίζονται από τους αντίστροφους μετασχηματισμούς Fourier τους.

Ας βρούμε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των σημάτων εκφράζοντας ένα από αυτά, για παράδειγμα v(t),μέσω της φασματικής του πυκνότητας

Η σχέση που προκύπτει είναι ένας γενικευμένος τύπος Rayleigh. Μια εύκολα απομνημονευμένη ερμηνεία αυτού του τύπου είναι η εξής: το βαθμωτό γινόμενο δύο σημάτων, μέχρι έναν συντελεστή, είναι ανάλογο με το κλιμακωτό γινόμενο των φασματικών πυκνοτήτων τους. Εάν τα σήματα συμπίπτουν πανομοιότυπα, τότε το βαθμωτό γινόμενο γίνεται ίσο με την ενέργεια

. (12.7)

Ας καλέσουμε αμοιβαίο ενεργειακό φάσμαπραγματικά σήματα u(t) και v(t) λειτουργία

, (12.8)

τέτοια που

. (4.9)

Είναι εύκολο να δούμε ότι ο Re W UV(ω)- even, and Im W UV(ω)-συνάρτηση περιττής συχνότητας. Το ολοκλήρωμα (12.9) συνεισφέρει μόνο στο πραγματικό μέρος, άρα

. (12.10)

Ο τελευταίος τύπος καθιστά δυνατή την ανάλυση της "λεπτής δομής" της διασύνδεσης των σημάτων.

Επιπλέον, ο γενικευμένος τύπος Rayleigh, που παρουσιάζεται στη μορφή (12.10), υποδεικνύει έναν θεμελιώδη τρόπο μείωσης του βαθμού σύνδεσης μεταξύ δύο σημάτων, επιτυγχάνοντας την ορθογωνία τους στο όριο. Για να γίνει αυτό, ένα από τα σήματα πρέπει να υποβληθεί σε επεξεργασία σε ένα ειδικό φυσικό σύστημα που ονομάζεται φίλτρο συχνότητας.Αυτό το φίλτρο απαιτείται να μην περνά στην έξοδο τα φασματικά στοιχεία που βρίσκονται εντός του διαστήματος συχνοτήτων, όπου το πραγματικό μέρος του φάσματος αμοιβαίας ενέργειας είναι μεγάλο. Η εξάρτηση από τη συχνότητα του συντελεστή μετάδοσης τέτοιου ορθογώνιο φίλτροθα έχει ένα έντονο ελάχιστο εντός του υποδεικνυόμενου εύρους συχνοτήτων.

Η φασματική αναπαράσταση της ενέργειας του σήματος μπορεί εύκολα να ληφθεί από τον γενικευμένο τύπο Rayleigh εάν τα σήματα σε αυτόν u(t)και v(t)σκεφτείτε το ίδιο. Ο τύπος (12.8), που εκφράζει τη φασματική ενεργειακή πυκνότητα, παίρνει τη μορφή

Καλείται η τιμή W u (ω). φασματική ενεργειακή πυκνότητασήμα u(t),ή εν ολίγοις δικά του ενεργειακό φάσμα.Στη συνέχεια, ο τύπος (3.2) θα γραφτεί ως

. (12.12)

Η σχέση (4.12) είναι γνωστή ως Ο τύπος Rayleigh(με τη στενή έννοια), που δηλώνει τα εξής: η ενέργεια οποιουδήποτε σήματος είναι το αποτέλεσμα του αθροίσματος των συνεισφορών από διαφορετικά διαστήματα του άξονα συχνότητας.

Όταν μελετάμε ένα σήμα χρησιμοποιώντας το ενεργειακό του φάσμα, χάνουμε αναπόφευκτα πληροφορίες που περιέχονται στο φάσμα φάσης του σήματος, καθώς, σύμφωνα με τον τύπο (4.11), το ενεργειακό φάσμα είναι το τετράγωνο του συντελεστή της φασματικής πυκνότητας και δεν εξαρτάται από τη φάση του.

Ας στραφούμε σε μια απλοποιημένη ιδέα της λειτουργίας ενός παλμικού ραντάρ που έχει σχεδιαστεί για τη μέτρηση της εμβέλειας σε έναν στόχο. Εδώ, πληροφορίες σχετικά με το αντικείμενο μέτρησης είναι ενσωματωμένες στην τιμή τ - η χρονική καθυστέρηση μεταξύ των σημάτων ανίχνευσης και λήψης. Έντυπα ανίχνευσης και(t) και έγινε αποδεκτό καιΤα σήματα (t-τ) είναι τα ίδια για οποιαδήποτε καθυστέρηση. Το μπλοκ διάγραμμα μιας συσκευής επεξεργασίας σήματος ραντάρ που έχει σχεδιαστεί για εμβέλεια μπορεί να μοιάζει με αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 12.1.

Εικόνα 12.1 - Συσκευή μέτρησης χρόνου καθυστέρησης σήματος