Ιδιότητες συνάρτησης σύμφωνα με τη γραφική παράσταση της. Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους

Συναρτήσεις μηδενικά
Το μηδέν της συνάρτησης είναι η τιμή Χ, στην οποία η συνάρτηση γίνεται 0, δηλαδή f(x)=0.

Μηδενικά είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα Ω.

Ισοτιμία συναρτήσεων
Μια συνάρτηση καλείται έστω και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού, η ισότητα f(-x) = f(x)

Μια άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα OU

Περιττή συνάρτηση
Μια συνάρτηση λέγεται περιττή εάν υπάρχει Χαπό το πεδίο ορισμού, η ισότητα f(-x) = -f(x) ικανοποιείται.

Μια περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή.
Μια συνάρτηση που δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή ονομάζεται γενική συνάρτηση.

Αύξηση συνάρτησης
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται αύξουσα αν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης, δηλ.

Μειωτική λειτουργία
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα αν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης, δηλ.

Καλούνται τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είτε μειώνεται είτε μόνο αυξάνεται διαστήματα μονοτονίας. Η συνάρτηση f(x) έχει 3 διαστήματα μονοτονίας:

Βρείτε διαστήματα μονοτονίας χρησιμοποιώντας την υπηρεσία Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης

Τοπικό μέγιστο
Τελεία x 0ονομάζεται τοπικό μέγιστο σημείο εάν υπάρχει Χαπό μια γειτονιά ενός σημείου x 0ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) > f(x)

Τοπικό ελάχιστο
Τελεία x 0ονομάζεται τοπικό ελάχιστο σημείο εάν υπάρχει Χαπό μια γειτονιά ενός σημείου x 0ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0)< f(x).

Τα τοπικά μέγιστα σημεία και τα τοπικά ελάχιστα σημεία ονομάζονται τοπικά ακραία σημεία.

τοπικά ακραία σημεία.

Περιοδικότητα συνάρτησης
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται περιοδική, με περίοδο Τ, εάν υπάρχει Χ f(x+T) = f(x) .

Διαστήματα σταθερότητας
Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι είτε μόνο θετική είτε μόνο αρνητική ονομάζονται διαστήματα σταθερού πρόσημου.

Συνέχεια λειτουργίας
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται συνεχής στο σημείο x 0 αν το όριο της συνάρτησης ως x → x 0 είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, δηλ. .

ορια ΑΝΤΟΧΗΣ
Τα σημεία στα οποία παραβιάζεται η συνθήκη συνέχειας ονομάζονται σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης.

x0- οριακό σημείο.

Γενικό σχήμα σχεδίασης συναρτήσεων

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Δ(υ).

2. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων με τους άξονες συντεταγμένων.

3. Διερευνήστε τη συνάρτηση για άρτιο ή περιττό.

4. Διερευνήστε τη συνάρτηση για περιοδικότητα.

5. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας και ακραία σημεία της συνάρτησης.

6. Να βρείτε διαστήματα κυρτότητας και καμπής της συνάρτησης.

7. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης.

8. Με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης κατασκευάστε ένα γράφημα.

Παράδειγμα:Εξερευνήστε τη συνάρτηση και φτιάξτε τη γραφική παράσταση της: y = x 3 - 3x

1) Η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα, δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι D(y) = (-∞; +∞).

2) Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων:

με τον άξονα OX: λύστε την εξίσωση x 3 - 3x \u003d 0

με άξονα ΟY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Βρείτε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή:

y(-x) = (-x) 3 - 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 - 3x) = -y(x)

Από αυτό προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

4) Η συνάρτηση είναι μη περιοδική.

5) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακραία σημεία της συνάρτησης: y’ = 3x 2 - 3.

Κρίσιμα σημεία: 3x 2 - 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής της συνάρτησης: y'' = 6x

Κρίσιμα σημεία: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Η συνάρτηση είναι συνεχής, δεν έχει ασύμπτωτες.

8) Με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης, θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Για να κατανοήσετε αυτό το θέμα, εξετάστε τη συνάρτηση που εμφανίζεται στο γράφημα // Ας δείξουμε πώς το γράφημα συνάρτησης σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τις ιδιότητές του.

Αναλύουμε τις ιδιότητες μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα

Το εύρος της λειτουργίας είναι yavl. διάστημα [ 3,5; 5.5].

Το εύρος της λειτουργίας yavl. διάστημα [ 1; 3].

1. Στα x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν.

Η τιμή του ορίσματος, στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν, ονομάζεται μηδέν της συνάρτησης.

//εκείνοι. για αυτή τη συνάρτηση οι αριθμοί -3;-1;1,5; Το 4,5 είναι μηδενικά.

2. Στα διαστήματα [ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5; 5.5] η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα της τετμημένης και σε διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) κάτω από τον άξονα τετμημένη, αυτό είναι εξηγείται ως εξής - στα διαστήματα [ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5; 5.5] η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές και στα διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) είναι αρνητικές.

Κάθε ένα από τα υποδεικνυόμενα διαστήματα (όπου η συνάρτηση παίρνει τιμές του ίδιου πρόσημου) ονομάζεται διάστημα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης f.//δηλ. για παράδειγμα, αν πάρουμε το διάστημα (0; 3), τότε δεν είναι ένα διάστημα σταθερού προσήμου της δεδομένης συνάρτησης.

Στα μαθηματικά, κατά την αναζήτηση διαστημάτων σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης, συνηθίζεται να υποδεικνύονται διαστήματα μέγιστου μήκους. //Εκείνοι. το διάστημα (2; 3) είναι διάστημα σταθερότηταςσυνάρτηση f, αλλά η απάντηση πρέπει να περιλαμβάνει το διάστημα [ 4,5; 3) που περιέχει το διάστημα (2; 3).

3. Εάν μετακινηθείτε κατά μήκος του άξονα x από το 4,5 στο 2, θα παρατηρήσετε ότι το γράφημα της συνάρτησης κατεβαίνει, δηλαδή οι τιμές της συνάρτησης μειώνονται. //Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 4,5; 2] η συνάρτηση μειώνεται.

Καθώς το x αυξάνεται από 2 σε 0, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ανεβαίνει, δηλ. οι τιμές των συναρτήσεων αυξάνονται. //Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 2; 0] η συνάρτηση αυξάνεται.

Η συνάρτηση f καλείται εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστε x2 > x1, ικανοποιείται η ανισότητα f (x2) > f (x1). // ή Η συνάρτηση καλείται αυξάνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα, η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.//δηλ. όσο περισσότερο x, τόσο περισσότερο y.

Καλείται η συνάρτηση f μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα, έτσι ώστε x2 > x1, ικανοποιείται η ανισότητα f(x2) που μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα μια μεγαλύτερη Η τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης. //εκείνοι. όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y.

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται αυξανόμενη.

Εάν μια συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται φθίνουσα.

Παράδειγμα 1γραφική παράσταση αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα.

Παράδειγμα 2

Ορίστε το yavl. η γραμμική συνάρτηση f(x) = 3x + 5 είναι αύξουσα ή φθίνουσα;

Απόδειξη. Ας χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς. Έστω x1 και x2 αυθαίρετες τιμές του ορίσματος και x1< x2., например х1=1, х2=7

Η συνάρτηση y=x^2 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή. Η γενική όψη της παραβολής φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

τετραγωνική λειτουργία

Εικ. 1. Γενική άποψη της παραβολής

Όπως φαίνεται από το γράφημα, είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy. Ο άξονας Oy ονομάζεται άξονας συμμετρίας της παραβολής. Αυτό σημαίνει ότι αν σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox πάνω από αυτόν τον άξονα στο γράφημα. Τότε τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. Η απόσταση από αυτά τα σημεία στον άξονα y θα είναι η ίδια.

Ο άξονας συμμετρίας χωρίζει τη γραφική παράσταση της παραβολής, όπως ήταν, σε δύο μέρη. Αυτά τα μέρη ονομάζονται κλάδοι της παραβολής. Και το σημείο της παραβολής που βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Δηλαδή, ο άξονας συμμετρίας διέρχεται από την κορυφή της παραβολής. Οι συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι (0;0).

Βασικές ιδιότητες μιας τετραγωνικής συνάρτησης

1. Για x=0, y=0 και y>0 για x0

2. Η τετραγωνική συνάρτηση φτάνει στην ελάχιστη τιμή της στην κορυφή της. Ymin στο x=0; Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης δεν υπάρχει.

3. Η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα (-∞; 0] και αυξάνεται στο διάστημα )