Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει μια συνάρτηση και μία ή περισσότερες από τις παραγώγους της. Στα περισσότερα πρακτικά προβλήματα, οι συναρτήσεις είναι φυσικά μεγέθη, οι παράγωγοι αντιστοιχούν στους ρυθμούς μεταβολής αυτών των μεγεθών και η εξίσωση καθορίζει τη σχέση μεταξύ τους.

Αυτό το άρθρο εξετάζει μεθόδους για την επίλυση ορισμένων τύπων συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων, οι λύσεις των οποίων μπορούν να γραφτούν με τη μορφή στοιχειώδεις λειτουργίες, δηλαδή πολυωνυμικές, εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις, καθώς και τις αντίστροφες συναρτήσεις τους. Πολλές από αυτές τις εξισώσεις εμφανίζονται στην πραγματική ζωή, αν και οι περισσότερες άλλες διαφορικές εξισώσεις δεν μπορούν να λυθούν με αυτές τις μεθόδους, και γι' αυτές η απάντηση γράφεται ως ειδικές συναρτήσεις ή σειρές ισχύος ή βρίσκεται με αριθμητικές μεθόδους.

Για να κατανοήσετε αυτό το άρθρο, πρέπει να γνωρίζετε διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, καθώς και να έχετε κάποια κατανόηση των μερικών παραγώγων. Συνιστάται επίσης να γνωρίζετε τα βασικά της γραμμικής άλγεβρας όπως εφαρμόζονται σε διαφορικές εξισώσεις, ειδικά σε διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, αν και η γνώση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού είναι επαρκής για την επίλυσή τους.

Προκαταρκτικές πληροφορίες

• Οι διαφορικές εξισώσεις έχουν εκτενή ταξινόμηση. Αυτό το άρθρο μιλάει για συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή για εξισώσεις που περιλαμβάνουν συνάρτηση μιας μεταβλητής και των παραγώγων της. Οι συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις είναι πολύ πιο εύκολο να κατανοηθούν και να επιλυθούν από ό,τι μερικές διαφορικές εξισώσεις, που περιλαμβάνουν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Αυτό το άρθρο δεν εξετάζει μερικές διαφορικές εξισώσεις, καθώς οι μέθοδοι για την επίλυση αυτών των εξισώσεων καθορίζονται συνήθως από τη συγκεκριμένη μορφή τους.
  • Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα μερικών διαφορικών εξισώσεων.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\μερικό y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• ΣειράΗ διαφορική εξίσωση καθορίζεται από τη σειρά της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται σε αυτή την εξίσωση. Η πρώτη από τις παραπάνω συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είναι πρώτης τάξης, ενώ η δεύτερη δεύτερης τάξης. Βαθμόςμιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η υψηλότερη ισχύς στην οποία ανυψώνεται ένας από τους όρους αυτής της εξίσωσης.
  • Για παράδειγμα, η παρακάτω εξίσωση είναι τρίτης τάξης και δεύτερης ισχύος.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d))x^(3))\ δεξιά)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Η διαφορική εξίσωση είναι γραμμική διαφορική εξίσωσηαν η συνάρτηση και όλες οι παράγωγοί της βρίσκονται στην πρώτη δύναμη. Διαφορετικά, η εξίσωση είναι μη γραμμική διαφορική εξίσωση. Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις είναι αξιοσημείωτες στο ότι μπορούν να γίνουν γραμμικοί συνδυασμοί από τις λύσεις τους, οι οποίες θα είναι επίσης λύσεις σε αυτήν την εξίσωση.
  • Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.
  • Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Η πρώτη εξίσωση είναι μη γραμμική λόγω του ημιτονικού όρου.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Κοινή απόφασηη συνηθισμένη διαφορική εξίσωση δεν είναι μοναδική, περιλαμβάνει αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης. Στις περισσότερες περιπτώσεις, ο αριθμός των αυθαίρετων σταθερών είναι ίσος με τη σειρά της εξίσωσης. Στην πράξη, οι τιμές αυτών των σταθερών καθορίζονται από τα δεδομένα αρχικές συνθήκες, δηλαδή από τις τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων της στο x = 0. (\displaystyle x=0.)Ο αριθμός των αρχικών συνθηκών που απαιτούνται για την εύρεση ιδιωτική απόφασηδιαφορική εξίσωση, στις περισσότερες περιπτώσεις είναι επίσης ίση με τη σειρά αυτής της εξίσωσης.
  • Για παράδειγμα, αυτό το άρθρο θα εξετάσει την επίλυση της εξίσωσης παρακάτω. Αυτή είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης. Η γενική του λύση περιέχει δύο αυθαίρετες σταθερές. Για να βρεθούν αυτές οι σταθερές, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις αρχικές συνθήκες στο x (0) (\displaystyle x(0))και x′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Συνήθως οι αρχικές συνθήκες δίνονται στο σημείο x = 0, (\displaystyle x=0,), αν και αυτό δεν απαιτείται. Αυτό το άρθρο θα εξετάσει επίσης πώς να βρείτε συγκεκριμένες λύσεις για δεδομένες αρχικές συνθήκες.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Βήματα

Μέρος 1

Εξισώσεις πρώτης τάξης

Όταν χρησιμοποιείτε αυτήν την υπηρεσία, ορισμένες πληροφορίες ενδέχεται να μεταφερθούν στο YouTube.

1. Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης.Αυτή η ενότητα εξετάζει μεθόδους επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης σε γενικές και ειδικές περιπτώσεις, όταν ορισμένοι όροι είναι ίσοι με μηδέν. Ας το προσποιηθούμε y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))και q (x) (\displaystyle q(x))είναι λειτουργίες Χ . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Σύμφωνα με ένα από τα κύρια θεωρήματα της μαθηματικής ανάλυσης, συνάρτηση είναι και το ολοκλήρωμα της παραγώγου μιας συνάρτησης. Έτσι, αρκεί απλώς να ενσωματώσετε την εξίσωση για να βρείτε τη λύση της. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι κατά τον υπολογισμό του αόριστου ολοκληρώματος εμφανίζεται μια αυθαίρετη σταθερά.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο διαχωρισμός μεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση, διαφορετικές μεταβλητές μεταφέρονται σε διαφορετικές πλευρές της εξίσωσης. Για παράδειγμα, μπορείτε να μεταφέρετε όλα τα μέλη από y (\displaystyle y)σε ένα, και όλα τα μέλη με x (\displaystyle x)στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Τα μέλη μπορούν επίσης να μετακινηθούν d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)και d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), οι οποίες περιλαμβάνονται σε παραγώγους εκφράσεις, ωστόσο, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτό είναι απλώς μια σύμβαση, η οποία είναι βολική όταν διαφοροποιείται μια σύνθετη συνάρτηση. Μια συζήτηση αυτών των όρων, που ονομάζονται διαφορικά, είναι εκτός του πεδίου εφαρμογής αυτού του άρθρου.

   • Αρχικά, πρέπει να μετακινήσετε τις μεταβλητές στις αντίθετες πλευρές του συμβόλου ίσου.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ενσωματώνουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Μετά την ολοκλήρωση, εμφανίζονται αυθαίρετες σταθερές και στις δύο πλευρές, οι οποίες μπορούν να μεταφερθούν στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Παράδειγμα 1.1.Στο τελευταίο βήμα, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))και αντικαταστάθηκε e C (\displaystyle e^(C))στο C (\displaystyle C), γιατί είναι και αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(ευθυγραμμισμένο)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)Για να βρούμε τη γενική λύση, εισαγάγαμε συντελεστής ολοκλήρωσηςως συνάρτηση του x (\displaystyle x)να ανάγει την αριστερή πλευρά σε κοινή παράγωγο και να λύσει έτσι την εξίσωση.

   • Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές κατά μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+\mu py=\mu q)
   • Για να ανάγεται η αριστερή πλευρά σε μια κοινή παράγωγο, πρέπει να γίνουν οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Η τελευταία ισότητα σημαίνει αυτό d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Αυτός είναι ένας συντελεστής ολοκλήρωσης που επαρκεί για την επίλυση οποιασδήποτε γραμμικής εξίσωσης πρώτης τάξης. Τώρα μπορούμε να εξαγάγουμε έναν τύπο για την επίλυση αυτής της εξίσωσης σε σχέση με μ , (\displaystyle \mu ,)αν και για προπόνηση είναι χρήσιμο να γίνονται όλοι οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Παράδειγμα 1.2.Σε αυτό το παράδειγμα, εξετάζουμε πώς να βρούμε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση με δεδομένες αρχικές συνθήκες.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\n t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\αρχή(ευθυγραμμισμένο)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(ευθυγραμμισμένο)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Επίλυση γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης (που καταγράφηκε από το Intuit - National Open University).

2. Μη γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε αυτή την ενότητα, εξετάζονται μέθοδοι επίλυσης ορισμένων μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Αν και δεν υπάρχει γενική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, ορισμένες από αυτές μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τις παρακάτω μεθόδους.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Εάν η συνάρτηση f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))μπορεί να χωριστεί σε συναρτήσεις μιας μεταβλητής, μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται διαχωρίσιμη διαφορική εξίσωση. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω μέθοδο:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )Χ)
   • Παράδειγμα 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(ευθυγραμμισμένο)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(στοιχισμένη)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)Ας το προσποιηθούμε g (x , y) (\displaystyle g(x, y))και h (x , y) (\displaystyle h(x, y))είναι λειτουργίες x (\displaystyle x)και y . (\displaystyle y.)Επειτα ομοιογενής διαφορική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία g (\displaystyle g)και h (\displaystyle h)είναι ομοιογενείς συναρτήσειςτον ίδιο βαθμό. Δηλαδή, οι συναρτήσεις πρέπει να ικανοποιούν την προϋπόθεση g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)όπου k (\displaystyle k)ονομάζεται βαθμός ομοιογένειας. Οποιαδήποτε ομοιογενής διαφορική εξίσωση μπορεί να δοθεί από ένα κατάλληλο αλλαγή μεταβλητών (v = y / x (\displaystyle v=y/x)ή v = x / y (\displaystyle v=x/y)) για μετατροπή σε εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.

   • Παράδειγμα 1.4.Η παραπάνω περιγραφή της ομοιογένειας μπορεί να φαίνεται ασαφής. Ας δούμε αυτήν την έννοια με ένα παράδειγμα.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Αρχικά, πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η εξίσωση είναι μη γραμμική σε σχέση με y . (\displaystyle y.)Βλέπουμε επίσης ότι σε αυτή την περίπτωση είναι αδύνατο να διαχωριστούν οι μεταβλητές. Ωστόσο, αυτή η διαφορική εξίσωση είναι ομοιογενής, αφού και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ομοιογενείς με ισχύ 3. Επομένως, μπορούμε να κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητών v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (δ) )v)((\μαθηματικά (δ) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)Ως αποτέλεσμα, έχουμε μια εξίσωση για v (\displaystyle v)με κοινές μεταβλητές.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)το Διαφορική εξίσωση Bernoulli- ένα ειδικό είδος μη γραμμικής εξίσωσης πρώτου βαθμού, η λύση της οποίας μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις.

   • Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με (1 − n) y − n (\style display (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Χρησιμοποιούμε τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης στην αριστερή πλευρά και μετατρέπουμε την εξίσωση σε γραμμική εξίσωση ως προς y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)που μπορεί να λυθεί με τις παραπάνω μεθόδους.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (δ) )x))=0.)το συνολική διαφορική εξίσωση. Είναι απαραίτητο να βρεθεί το λεγόμενο πιθανή συνάρτηση φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), που ικανοποιεί την προϋπόθεση d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Για να εκπληρωθεί αυτή η προϋπόθεση, είναι απαραίτητο να υπάρχει ολικό παράγωγο. Η συνολική παράγωγος λαμβάνει υπόψη την εξάρτηση από άλλες μεταβλητές. Να υπολογίσετε τη συνολική παράγωγο φ (\displaystyle \varphi )επί x , (\displaystyle x,)υποθέτουμε ότι y (\displaystyle y)μπορεί επίσης να εξαρτάται από Χ . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\μερική x))+(\frac (\μερική \varphi )(\μερική y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Η σύγκριση όρων μας δίνει M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))και N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)Αυτό είναι ένα τυπικό αποτέλεσμα για εξισώσεις με πολλές μεταβλητές, όπου οι μικτές παράγωγοι ομαλών συναρτήσεων είναι ίσες μεταξύ τους. Μερικές φορές αυτή η περίπτωση ονομάζεται Θεώρημα Clairaut. Σε αυτήν την περίπτωση, η διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση σε συνολικές διαφορικές εάν πληρούται η ακόλουθη συνθήκη:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Η μέθοδος επίλυσης εξισώσεων σε ολικά διαφορικά είναι παρόμοια με την εύρεση δυνητικών συναρτήσεων παρουσία πολλών παραγώγων, τις οποίες θα συζητήσουμε εν συντομία. Πρώτα ενσωματώνουμε M (\displaystyle M)επί Χ . (\displaystyle x.)Επειδή η M (\displaystyle M)είναι συνάρτηση και x (\displaystyle x), και y , (\displaystyle y,)κατά την ενσωμάτωση, παίρνουμε μια ημιτελή συνάρτηση φ , (\displaystyle \varphi ,)χαρακτηρίζεται ως φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Το αποτέλεσμα περιλαμβάνει επίσης το εξαρτώμενο από y (\displaystyle y)σταθερά ολοκλήρωσης.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (δ) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Μετά από αυτό, για να πάρει c (y) (\displaystyle c(y))μπορείτε να πάρετε τη μερική παράγωγο της συνάρτησης που προκύπτει σε σχέση με y , (\displaystyle y,)εξισώνουν το αποτέλεσμα N (x , y) (\displaystyle N(x, y))και να ενσωματωθούν. Κάποιος μπορεί επίσης να ενσωματωθεί πρώτα N (\displaystyle N), και μετά πάρτε τη μερική παράγωγο σε σχέση με x (\displaystyle x), που θα μας επιτρέψει να βρούμε μια αυθαίρετη συνάρτηση d(x). (\displaystyle d(x).)Και οι δύο μέθοδοι είναι κατάλληλες και συνήθως επιλέγεται η απλούστερη συνάρτηση για ενσωμάτωση.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ μερική (\tilde (\varphi )))(\μερική y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Παράδειγμα 1.5.Μπορείτε να πάρετε μερικές παραγώγους και να επαληθεύσετε ότι η παρακάτω εξίσωση είναι μια ολική διαφορική εξίσωση.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\μερική \varphi )(\μερικό y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(ευθυγραμμισμένο)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Εάν η διαφορική εξίσωση δεν είναι ολική διαφορική εξίσωση, σε ορισμένες περιπτώσεις μπορείτε να βρείτε έναν συντελεστή ολοκλήρωσης που θα σας επιτρέψει να τον μετατρέψετε σε ολική διαφορική εξίσωση. Ωστόσο, τέτοιες εξισώσεις χρησιμοποιούνται σπάνια στην πράξη, και αν και ο παράγοντας ολοκλήρωσης υπάρχει, βρείτε ότι συμβαίνει δεν είναι εύκολο, επομένως αυτές οι εξισώσεις δεν λαμβάνονται υπόψη σε αυτό το άρθρο.

Μέρος 2ο

Εξισώσεις δεύτερης τάξης

1. Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.Αυτές οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη, επομένως η επίλυσή τους είναι υψίστης σημασίας. Σε αυτή την περίπτωση δεν μιλάμε για ομοιογενείς συναρτήσεις, αλλά για το γεγονός ότι υπάρχει 0 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.Στην επόμενη ενότητα θα δείξουμε πώς η αντίστοιχη ετερογενήςδιαφορικές εξισώσεις. Παρακάτω a (\displaystyle a)και b (\displaystyle b)είναι σταθερές.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)(\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Χαρακτηριστική εξίσωση. Αυτή η διαφορική εξίσωση είναι αξιοσημείωτη στο ότι μπορεί να λυθεί πολύ εύκολα αν προσέξετε ποιες ιδιότητες πρέπει να έχουν οι λύσεις της. Από την εξίσωση φαίνεται ότι y (\displaystyle y)και τα παράγωγά του είναι ανάλογα μεταξύ τους. Από τα προηγούμενα παραδείγματα, που εξετάστηκαν στην ενότητα για τις εξισώσεις πρώτης τάξης, γνωρίζουμε ότι μόνο η εκθετική συνάρτηση έχει αυτήν την ιδιότητα. Ως εκ τούτου, είναι δυνατό να προβληθεί ansatz(μια μορφωμένη εικασία) για το ποια θα είναι η λύση στη δεδομένη εξίσωση.

   • Η λύση θα έχει τη μορφή εκθετικής συνάρτησης e r x , (\displaystyle e^(rx),)όπου r (\displaystyle r)είναι μια σταθερά της οποίας η τιμή πρέπει να βρεθεί. Αντικαταστήστε αυτή τη συνάρτηση στην εξίσωση και λάβετε την παρακάτω παράσταση
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι το γινόμενο μιας εκθετικής συνάρτησης και ενός πολυωνύμου πρέπει να είναι μηδέν. Είναι γνωστό ότι ο εκθέτης δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν για καμία τιμή του βαθμού. Επομένως συμπεραίνουμε ότι το πολυώνυμο είναι ίσο με μηδέν. Έτσι, έχουμε αναγάγει το πρόβλημα της επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης σε ένα πολύ απλούστερο πρόβλημα επίλυσης μιας αλγεβρικής εξίσωσης, το οποίο ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση για μια δεδομένη διαφορική εξίσωση.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Έχουμε δύο ρίζες. Εφόσον αυτή η διαφορική εξίσωση είναι γραμμική, η γενική της λύση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός μερικών λύσεων. Εφόσον πρόκειται για εξίσωση δεύτερης τάξης, γνωρίζουμε ότι είναι Πραγματικάγενική λύση, και δεν υπάρχουν άλλες. Μια πιο αυστηρή αιτιολόγηση για αυτό βρίσκεται στα θεωρήματα σχετικά με την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης, τα οποία βρίσκονται στα σχολικά βιβλία.
   • Ένας χρήσιμος τρόπος για να ελέγξετε εάν δύο λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες είναι ο υπολογισμός Βρόνσκιαν. Βρόνσκιαν W (\displaystyle W)- αυτή είναι η ορίζουσα του πίνακα, στις στήλες του οποίου υπάρχουν συναρτήσεις και οι διαδοχικές παράγωγοί τους. Το θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας δηλώνει ότι οι συναρτήσεις στο Wronskian εξαρτώνται γραμμικά εάν το Wronskian είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την ενότητα, μπορούμε να ελέγξουμε εάν δύο λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, βεβαιώνοντας ότι το Wronskian είναι μη μηδενικό. Το Wronskian είναι σημαντικό για την επίλυση μη ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές με τη μέθοδο διακύμανσης παραμέτρων.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Όσον αφορά τη γραμμική άλγεβρα, το σύνολο όλων των λύσεων μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης σχηματίζει ένα διανυσματικό χώρο του οποίου η διάσταση είναι ίση με τη σειρά της διαφορικής εξίσωσης. Σε αυτόν τον χώρο, μπορεί κανείς να επιλέξει μια βάση από γραμμικά ανεξάρτητηαποφάσεις μεταξύ τους. Αυτό είναι δυνατό λόγω του γεγονότος ότι η λειτουργία y (x) (\displaystyle y(x))έγκυρος γραμμικός τελεστής. Παράγωγο είναιγραμμικός τελεστής, αφού μετατρέπει το χώρο των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων στο χώρο όλων των συναρτήσεων. Οι εξισώσεις ονομάζονται ομοιογενείς σε περιπτώσεις όπου για κάποιο γραμμικό τελεστή L (\displaystyle L)απαιτείται να βρεθεί λύση στην εξίσωση L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Ας στραφούμε τώρα σε μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα. Η περίπτωση πολλαπλών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης θα εξεταστεί λίγο αργότερα, στην ενότητα για τη μείωση της παραγγελίας.

   Αν οι ρίζες r ± (\displaystyle r_(\pm ))είναι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, η διαφορική εξίσωση έχει την εξής λύση

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Δύο πολύπλοκες ρίζες.Από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας προκύπτει ότι οι λύσεις σε πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές έχουν ρίζες που είναι πραγματικές ή σχηματίζουν συζυγή ζεύγη. Επομένως, εάν ο μιγαδικός αριθμός r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, λοιπόν r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )είναι επίσης η ρίζα αυτής της εξίσωσης. Έτσι, η λύση μπορεί να γραφτεί με τη μορφή c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x)Ωστόσο, αυτός είναι ένας σύνθετος αριθμός και είναι ανεπιθύμητος για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

   • Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε Φόρμουλα Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), το οποίο σας επιτρέπει να γράψετε τη λύση με τη μορφή τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Τώρα μπορείτε αντί για σταθερό c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))σημειωσε c 1 (\displaystyle c_(1)), και η έκφραση i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))αντικαταστάθηκε από γ 2 . (\displaystyle c_(2).)Μετά από αυτό έχουμε την εξής λύση:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να γράψετε τη λύση ως προς το πλάτος και τη φάση, που ταιριάζει καλύτερα σε φυσικά προβλήματα.
   • Παράδειγμα 2.1.Ας βρούμε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που δίνεται παρακάτω με δεδομένες αρχικές συνθήκες. Για αυτό, είναι απαραίτητο να ληφθεί η ληφθείσα λύση, καθώς και το παράγωγό του, και να τις αντικαταστήσουμε στις αρχικές συνθήκες, οι οποίες θα μας επιτρέψουν να προσδιορίσουμε αυθαίρετες σταθερές.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )Εγώ)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\δεξιά))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\δεξιά)\end(ευθυγραμμισμένο)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\δεξιά))
   
   Επίλυση διαφορικών εξισώσεων νης τάξης με σταθερούς συντελεστές (που καταγράφηκε από το Intuit - National Open University).

2. Σειρά υποβάθμισης.Η αναγωγή τάξης είναι μια μέθοδος για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων όταν είναι γνωστή μια γραμμικά ανεξάρτητη λύση. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη μείωση της σειράς της εξίσωσης κατά μία, η οποία επιτρέπει την επίλυση της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που περιγράφονται στην προηγούμενη ενότητα. Ας γίνει γνωστή η λύση. Η κύρια ιδέα της μείωσης της παραγγελίας είναι να βρεθεί μια λύση στην παρακάτω μορφή, όπου είναι απαραίτητο να οριστεί η συνάρτηση v (x) (\displaystyle v(x)), αντικαθιστώντας το στη διαφορική εξίσωση και βρίσκοντας v(x). (\displaystyle v(x).)Ας εξετάσουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μείωση της τάξης για την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές και πολλαπλές ρίζες.

   
   

   Πολλαπλές ρίζεςομοιογενής διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Θυμηθείτε ότι μια εξίσωση δεύτερης τάξης πρέπει να έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει πολλαπλές ρίζες, το σύνολο των λύσεων δενσχηματίζει ένα χώρο αφού αυτές οι λύσεις εξαρτώνται γραμμικά. Σε αυτήν την περίπτωση, η μείωση της παραγγελίας πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση.

   • Έστω η χαρακτηριστική εξίσωση πολλαπλών ριζών r (\displaystyle r). Υποθέτουμε ότι η δεύτερη λύση μπορεί να γραφτεί ως y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), και αντικαταστήστε το στη διαφορική εξίσωση. Στην περίπτωση αυτή, οι περισσότεροι όροι, με εξαίρεση τον όρο με τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης v , (\displaystyle v,)θα μειωθεί.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Παράδειγμα 2.2.Δίνεται η ακόλουθη εξίσωση, η οποία έχει πολλαπλές ρίζες r = − 4. (\displaystyle r=-4.)Κατά την αντικατάσταση, οι περισσότεροι όροι ακυρώνονται.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(ευθυγραμμισμένο)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\style display (\αρχή(στοίχιση )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\ακύρωσης (32ve^(-4x)))+(\ακύρωσης (16ve^(-4x)))=0\end(στοίχιση)))
   • Όπως το ansatz μας για μια διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, στην περίπτωση αυτή μόνο η δεύτερη παράγωγος μπορεί να είναι ίση με μηδέν. Ενσωματώνουμε δύο φορές και παίρνουμε την επιθυμητή έκφραση για v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Τότε η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές, αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει πολλαπλές ρίζες, μπορεί να γραφτεί με την παρακάτω μορφή. Για ευκολία, μπορείτε να θυμάστε ότι για να αποκτήσετε γραμμική ανεξαρτησία, αρκεί απλώς να πολλαπλασιάσετε τον δεύτερο όρο με x (\displaystyle x). Αυτό το σύνολο λύσεων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, και έτσι βρήκαμε όλες τις λύσεις σε αυτήν την εξίσωση.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Η μείωση της παραγγελίας ισχύει εάν η λύση είναι γνωστή y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), το οποίο μπορεί να βρεθεί ή να δοθεί στη δήλωση προβλήματος.

   • Αναζητούμε λύση στη μορφή y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))και συνδέστε το σε αυτή την εξίσωση:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Επειδή η y 1 (\displaystyle y_(1))είναι μια λύση στη διαφορική εξίσωση, όλοι οι όροι με v (\displaystyle v)συρρικνώνονται. Ως αποτέλεσμα, παραμένει γραμμική εξίσωση πρώτης τάξης. Για να το δούμε πιο καθαρά, ας αλλάξουμε τις μεταβλητές w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Εάν τα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν, παίρνουμε τη γενική λύση ως συνδυασμό στοιχειωδών συναρτήσεων. Διαφορετικά, η λύση μπορεί να παραμείνει σε ενιαία μορφή.

3. Εξίσωση Cauchy-Euler.Η εξίσωση Cauchy-Euler είναι ένα παράδειγμα διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με μεταβλητέςσυντελεστές, που έχει ακριβείς λύσεις. Αυτή η εξίσωση χρησιμοποιείται στην πράξη, για παράδειγμα, για την επίλυση της εξίσωσης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Χαρακτηριστική εξίσωση.Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτή τη διαφορική εξίσωση, κάθε όρος περιέχει έναν συντελεστή ισχύος, ο βαθμός του οποίου είναι ίσος με την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου.

   • Έτσι, μπορεί κανείς να προσπαθήσει να αναζητήσει μια λύση στη μορφή y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)πού να ορίσετε n (\displaystyle n), όπως ακριβώς αναζητούσαμε μια λύση με τη μορφή εκθετικής συνάρτησης για μια γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Μετά από διαφοροποίηση και αντικατάσταση, παίρνουμε
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Για να χρησιμοποιήσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση, πρέπει να υποθέσουμε ότι x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Τελεία x = 0 (\displaystyle x=0)που ονομάζεται κανονικό ενικό σημείοδιαφορική εξίσωση. Τέτοια σημεία είναι σημαντικά κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας σειρές ισχύος. Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες, οι οποίες μπορεί να είναι διαφορετικές και πραγματικές, πολλαπλές ή σύνθετες συζυγείς.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.Αν οι ρίζες n ± (\displaystyle n_(\pm ))είναι πραγματικές και διαφορετικές, τότε η λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει την εξής μορφή:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Δύο πολύπλοκες ρίζες.Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει ρίζες n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), η λύση είναι μια σύνθετη συνάρτηση.

   • Για να μετατρέψουμε τη λύση σε πραγματική συνάρτηση, κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητών x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)αυτό είναι t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)και χρησιμοποιήστε τον τύπο Euler. Παρόμοιες ενέργειες πραγματοποιήθηκαν νωρίτερα κατά τον ορισμό αυθαίρετων σταθερών.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Τότε η γενική λύση μπορεί να γραφτεί ως
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Πολλαπλές ρίζες.Για να αποκτήσετε μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση, είναι απαραίτητο να μειώσετε ξανά την παραγγελία.

   • Χρειάζεται λίγος υπολογισμός, αλλά η αρχή είναι η ίδια: αντικαθιστούμε y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))σε μια εξίσωση της οποίας η πρώτη λύση είναι y 1 (\displaystyle y_(1)). Μετά τις αναγωγές προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Αυτή είναι μια πρώτης τάξης γραμμική εξίσωση σε σχέση με v′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Η λύση του είναι v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\n x.)Έτσι, η λύση μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή. Είναι πολύ εύκολο να το θυμάστε - για να λάβετε τη δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση, χρειάζεστε απλώς έναν επιπλέον όρο ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Ανομοιογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.Οι μη ομοιογενείς εξισώσεις έχουν τη μορφή L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)όπου f (x) (\displaystyle f(x))- τα λεγόμενα ελεύθερο μέλος. Σύμφωνα με τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι μια υπέρθεση ιδιωτική απόφαση y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))και πρόσθετη λύση y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση, μια συγκεκριμένη λύση δεν σημαίνει μια λύση που δίνεται από τις αρχικές συνθήκες, αλλά μια λύση που οφείλεται στην παρουσία ανομοιογένειας (ελεύθερος όρος). Η συμπληρωματική λύση είναι η λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης στην οποία f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Η γενική λύση είναι μια υπέρθεση αυτών των δύο λύσεων, αφού L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), και από τότε L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)μια τέτοια υπέρθεση είναι πράγματι μια γενική λύση.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^(2))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Μέθοδος αόριστων συντελεστών.Η μέθοδος των αόριστων συντελεστών χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου ο ελεύθερος όρος είναι συνδυασμός συναρτήσεων εκθετικής, τριγωνομετρικής, υπερβολικής ή ισχύος. Μόνο αυτές οι συναρτήσεις είναι εγγυημένο ότι έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων παραγώγων. Σε αυτή την ενότητα, θα βρούμε μια συγκεκριμένη λύση στην εξίσωση.

   • Συγκρίνετε τους όρους στο f (x) (\displaystyle f(x))με όρους αγνοώντας σταθερούς παράγοντες. Τρεις περιπτώσεις είναι πιθανές.
     • Δεν υπάρχουν πανομοιότυπα μέλη.Σε αυτή την περίπτωση, μια συγκεκριμένη λύση y p (\displaystyle y_(p))θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός όρων από y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) περιέχει μέλος x n (\displaystyle x^(n)) και ένα μέλος από y c , (\displaystyle y_(c),) όπου n (\displaystyle n) είναι μηδέν ή θετικός ακέραιος και αυτός ο όρος αντιστοιχεί σε μία μόνο ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης.Σε αυτήν την περίπτωση y p (\displaystyle y_(p))θα αποτελείται από έναν συνδυασμό της συνάρτησης x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)τα γραμμικά ανεξάρτητα παράγωγά του, καθώς και άλλοι όροι f (x) (\displaystyle f(x))και τις γραμμικά ανεξάρτητες παράγωγές τους.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) περιέχει μέλος h (x) , (\displaystyle h(x),) που είναι έργο x n (\displaystyle x^(n)) και ένα μέλος από y c , (\displaystyle y_(c),) όπου n (\displaystyle n) ισούται με 0 ή θετικό ακέραιο, και αυτός ο όρος αντιστοιχεί σε πολλαπλούςρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης.Σε αυτήν την περίπτωση y p (\displaystyle y_(p))είναι ένας γραμμικός συνδυασμός της συνάρτησης x n + s h (x) (\style display x^(n+s)h(x))(όπου s (\displaystyle s)- πολλαπλότητα της ρίζας) και των γραμμικά ανεξάρτητων παραγώγων της, καθώς και άλλων μελών της συνάρτησης f (x) (\displaystyle f(x))και των γραμμικά ανεξάρτητων παραγώγων του.
   • Ας γράψουμε y p (\displaystyle y_(p))ως γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω όρων. Λόγω αυτών των συντελεστών σε γραμμικό συνδυασμό, η μέθοδος αυτή ονομάζεται «μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών». Με την εμφάνιση αυτών που περιέχονται σε y c (\displaystyle y_(c))Τα μέλη τους μπορούν να απορριφθούν λόγω της παρουσίας αυθαίρετων σταθερών μέσα γ . (\displaystyle y_(c).)Μετά από αυτό αντικαθιστούμε y p (\displaystyle y_(p))σε μια εξίσωση και εξισώνουν όμοιους όρους.
   • Καθορίζουμε τους συντελεστές. Σε αυτό το στάδιο προκύπτει ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, το οποίο συνήθως μπορεί να λυθεί χωρίς ιδιαίτερα προβλήματα. Η λύση αυτού του συστήματος καθιστά δυνατή την απόκτηση y p (\displaystyle y_(p))και έτσι λύνουμε την εξίσωση.
   • Παράδειγμα 2.3.Θεωρήστε μια ανομοιογενή διαφορική εξίσωση της οποίας ο ελεύθερος όρος περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων παραγώγων. Μια συγκεκριμένη λύση μιας τέτοιας εξίσωσης μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(ευθυγραμμισμένο)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ τέλος (περιπτώσεις)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Μέθοδος Lagrange.Η μέθοδος Lagrange, ή η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών, είναι μια πιο γενική μέθοδος για την επίλυση ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων, ειδικά σε περιπτώσεις όπου ο ελεύθερος όρος δεν περιέχει πεπερασμένο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων παραγώγων. Για παράδειγμα, με δωρεάν μέλη tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)ή x − n (\displaystyle x^(-n))Για να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Lagrange. Η μέθοδος Lagrange μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμη και για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές, αν και σε αυτήν την περίπτωση, με εξαίρεση την εξίσωση Cauchy-Euler, χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά, καθώς η πρόσθετη λύση συνήθως δεν εκφράζεται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων.

   • Ας υποθέσουμε ότι η λύση έχει την ακόλουθη μορφή. Η παράγωγός του δίνεται στη δεύτερη γραμμή.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Εφόσον η προτεινόμενη λύση περιέχει δύοάγνωστες ποσότητες, είναι απαραίτητο να επιβληθεί πρόσθετοςκατάσταση. Επιλέγουμε αυτήν την πρόσθετη συνθήκη στην ακόλουθη μορφή:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Τώρα μπορούμε να πάρουμε τη δεύτερη εξίσωση. Αφού αντικαταστήσετε και αναδιανείμετε μέλη, μπορείτε να ομαδοποιήσετε μέλη με v 1 (\displaystyle v_(1))και μέλη από v 2 (\displaystyle v_(2)). Αυτοί οι όροι ακυρώνονται επειδή y 1 (\displaystyle y_(1))και y 2 (\displaystyle y_(2))είναι λύσεις της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(ευθυγραμμισμένο)))
   • Αυτό το σύστημα μπορεί να μετατραπεί σε εξίσωση μήτρας της μορφής A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)του οποίου η λύση είναι x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)Για μήτρα 2 × 2 (\splaystyle 2\φορές 2)ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται διαιρώντας με την ορίζουσα, μεταθέτοντας τα διαγώνια στοιχεία και αντιστρέφοντας το πρόσημο των εκτός διαγώνιων στοιχείων. Στην πραγματικότητα, ο προσδιοριστής αυτού του πίνακα είναι ένα Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Εκφράσεις για v 1 (\displaystyle v_(1))και v 2 (\displaystyle v_(2))παρατίθενται παρακάτω. Όπως και στη μέθοδο μείωσης της τάξης, στην περίπτωση αυτή εμφανίζεται μια αυθαίρετη σταθερά κατά την ολοκλήρωση, η οποία περιλαμβάνει μια πρόσθετη λύση στη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Διάλεξη του National Open University Intuit με τίτλο «Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ν-ης τάξης με σταθερούς συντελεστές».

Πρακτική χρήση

Οι διαφορικές εξισώσεις καθορίζουν μια σχέση μεταξύ μιας συνάρτησης και μιας ή περισσότερων παραγώγων της. Δεδομένου ότι τέτοιες σχέσεις είναι τόσο κοινές, οι διαφορικές εξισώσεις έχουν βρει ευρεία εφαρμογή σε μια μεγάλη ποικιλία περιοχών, και δεδομένου ότι ζούμε σε τέσσερις διαστάσεις, αυτές οι εξισώσεις είναι συχνά διαφορικές εξισώσεις σε ιδιωτικόςπαράγωγα. Αυτή η ενότητα συζητά μερικές από τις πιο σημαντικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

• Εκθετική ανάπτυξη και αποσύνθεση.ραδιενεργή διάσπαση. Ανατοκισμός. Ο ρυθμός των χημικών αντιδράσεων. Η συγκέντρωση των φαρμάκων στο αίμα. Απεριόριστη αύξηση πληθυσμού. Νόμος Newton-Richmann. Στον πραγματικό κόσμο, υπάρχουν πολλά συστήματα στα οποία ο ρυθμός ανάπτυξης ή αποσύνθεσης σε κάθε δεδομένη στιγμή είναι ανάλογος με το ποσό εκείνη τη στιγμή ή μπορεί να προσεγγιστεί καλά από ένα μοντέλο. Αυτό συμβαίνει γιατί η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης, η εκθετική συνάρτηση, είναι μια από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις στα μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες. Γενικότερα, υπό την ελεγχόμενη αύξηση του πληθυσμού, το σύστημα μπορεί να περιλαμβάνει πρόσθετους όρους που περιορίζουν την ανάπτυξη. Στην παρακάτω εξίσωση, η σταθερά k (\displaystyle k)μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο από μηδέν.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Αρμονικές δονήσεις.Τόσο στην κλασική όσο και στην κβαντική μηχανική, ο αρμονικός ταλαντωτής είναι ένα από τα πιο σημαντικά φυσικά συστήματα λόγω της απλότητας και της ευρείας εφαρμογής του για την προσέγγιση πιο περίπλοκων συστημάτων όπως ένα απλό εκκρεμές. Στην κλασική μηχανική, οι αρμονικές ταλαντώσεις περιγράφονται με μια εξίσωση που συσχετίζει τη θέση ενός υλικού σημείου με την επιτάχυνσή του μέσω του νόμου του Χουκ. Σε αυτή την περίπτωση, οι δυνάμεις απόσβεσης και κινητήριας δύναμης μπορούν επίσης να ληφθούν υπόψη. Στην παρακάτω έκφραση x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- χρονική παράγωγος του x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )είναι μια παράμετρος που περιγράφει τη δύναμη απόσβεσης, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- γωνιακή συχνότητα του συστήματος, F (t) (\displaystyle F(t))είναι μια χρονικά εξαρτώμενη κινητήρια δύναμη. Ο αρμονικός ταλαντωτής υπάρχει και σε ηλεκτρομαγνητικά ταλαντωτικά κυκλώματα, όπου μπορεί να εφαρμοστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια από ότι σε μηχανικά συστήματα.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Εξίσωση Bessel.Η διαφορική εξίσωση Bessel χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς της φυσικής, συμπεριλαμβανομένης της λύσης της εξίσωσης κυμάτων, της εξίσωσης Laplace και της εξίσωσης Schrödinger, ειδικά παρουσία κυλινδρικής ή σφαιρικής συμμετρίας. Αυτή η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές δεν είναι εξίσωση Cauchy-Euler, επομένως οι λύσεις της δεν μπορούν να γραφτούν ως στοιχειώδεις συναρτήσεις. Οι λύσεις της εξίσωσης Bessel είναι οι συναρτήσεις Bessel, οι οποίες είναι καλά μελετημένες λόγω του ότι χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς. Στην παρακάτω έκφραση α (\displaystyle \alpha)είναι μια σταθερά που ταιριάζει ΣειράΛειτουργίες Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Οι εξισώσεις του Maxwell.Μαζί με τη δύναμη Lorentz, οι εξισώσεις του Maxwell αποτελούν τη βάση της κλασικής ηλεκτροδυναμικής. Αυτές είναι τέσσερις μερικές διαφορικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))και μαγνητική B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))χωράφια. Στις παρακάτω εκφράσεις ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- πυκνότητα φορτίου, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))είναι η πυκνότητα ρεύματος, και ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))και μ 0 (\displaystyle \mu _(0))είναι οι ηλεκτρικές και μαγνητικές σταθερές, αντίστοιχα.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\αρχή(στοίχιση)\nabla (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\μερική (\mathbf (E) ))(\μερική t))\end(ευθυγραμμισμένη)))
• εξίσωση Schrödinger.Στην κβαντομηχανική, η εξίσωση Schrödinger είναι η βασική εξίσωση κίνησης που περιγράφει την κίνηση των σωματιδίων σύμφωνα με την αλλαγή στην κυματική συνάρτηση Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))με τον καιρό. Η εξίσωση της κίνησης περιγράφεται από τη συμπεριφορά Χαμιλτονιάν H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - χειριστής, που περιγράφει την ενέργεια του συστήματος. Ένα από τα γνωστά παραδείγματα της εξίσωσης Schrödinger στη φυσική είναι η εξίσωση για ένα μη σχετικιστικό σωματίδιο, το οποίο υπόκειται στο δυναμικό V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Πολλά συστήματα περιγράφονται από την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger, με την εξίσωση στην αριστερή πλευρά E Ψ , (\displaystyle E\Psi,)όπου E (\displaystyle E)είναι η ενέργεια του σωματιδίου. Στις παρακάτω εκφράσεις ℏ (\displaystyle \hbar)είναι η ανηγμένη σταθερά Planck.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• κυματική εξίσωση.Είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς τη φυσική και την τεχνολογία χωρίς κύματα, υπάρχουν σε όλους τους τύπους συστημάτων. Γενικά, τα κύματα περιγράφονται από την παρακάτω εξίσωση, στην οποία u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))είναι η επιθυμητή συνάρτηση και c (\displaystyle c)- πειραματικά προσδιορισμένη σταθερά. Ο d'Alembert ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε ότι για τη μονοδιάστατη περίπτωση η λύση της κυματικής εξίσωσης είναι όποιοςσυνάρτηση με όρισμα x − c t (\displaystyle x-ct), το οποίο περιγράφει ένα αυθαίρετο κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά. Η γενική λύση για τη μονοδιάστατη περίπτωση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός αυτής της συνάρτησης με μια δεύτερη συνάρτηση με όρισμα x + c t (\displaystyle x+ct), το οποίο περιγράφει ένα κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά. Αυτή η λύση παρουσιάζεται στη δεύτερη γραμμή.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Εξισώσεις Navier-Stokes.Οι εξισώσεις Navier-Stokes περιγράφουν την κίνηση των ρευστών. Δεδομένου ότι τα υγρά υπάρχουν σχεδόν σε κάθε τομέα της επιστήμης και της τεχνολογίας, αυτές οι εξισώσεις είναι εξαιρετικά σημαντικές για την πρόβλεψη του καιρού, το σχεδιασμό αεροσκαφών, τα ωκεάνια ρεύματα και πολλές άλλες εφαρμογές. Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις και στις περισσότερες περιπτώσεις είναι πολύ δύσκολο να λυθούν, καθώς η μη γραμμικότητα οδηγεί σε αναταράξεις και προκειμένου να επιτευχθεί μια σταθερή λύση με αριθμητικές μεθόδους, χωρίζεται σε πολύ μικρές κελιά είναι απαραίτητα, κάτι που απαιτεί σημαντική υπολογιστική ισχύ. Για πρακτικούς σκοπούς στην υδροδυναμική, μέθοδοι όπως ο μέσος όρος χρόνου χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση τυρβωδών ροών. Ακόμη πιο βασικά ερωτήματα, όπως η ύπαρξη και η μοναδικότητα λύσεων για μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, είναι πολύπλοκα προβλήματα και η απόδειξη της ύπαρξης και μοναδικότητας λύσεων για τις εξισώσεις Navier-Stokes σε τρεις διαστάσεις συγκαταλέγεται στα μαθηματικά προβλήματα της χιλιετίας. . Παρακάτω είναι η εξίσωση ασυμπίεστης ροής ρευστού και η εξίσωση συνέχειας.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\τρόπος εμφάνισης (\frac (\μερική (\mathbf (u) ) )(\μερικό t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Πολλές διαφορικές εξισώσεις απλά δεν μπορούν να λυθούν με τις παραπάνω μεθόδους, ειδικά αυτές που αναφέρονται στην τελευταία ενότητα. Αυτό ισχύει όταν η εξίσωση περιέχει μεταβλητούς συντελεστές και δεν είναι εξίσωση Cauchy-Euler ή όταν η εξίσωση είναι μη γραμμική, εκτός από μερικές πολύ σπάνιες περιπτώσεις. Ωστόσο, οι παραπάνω μέθοδοι σας επιτρέπουν να λύσετε πολλές σημαντικές διαφορικές εξισώσεις που συναντώνται συχνά σε διάφορους τομείς της επιστήμης.
• Σε αντίθεση με τη διαφοροποίηση, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, το ολοκλήρωμα πολλών εκφράσεων δεν μπορεί να εκφραστεί σε στοιχειώδεις συναρτήσεις. Επομένως, μην χάνετε χρόνο προσπαθώντας να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα όπου είναι αδύνατο. Κοιτάξτε τον πίνακα των ολοκληρωμάτων. Εάν η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων, μερικές φορές μπορεί να αναπαρασταθεί σε ακέραια μορφή και σε αυτή την περίπτωση δεν έχει σημασία αν αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά.

Προειδοποιήσεις

• Εμφάνισηη διαφορική εξίσωση μπορεί να είναι παραπλανητική. Για παράδειγμα, παρακάτω είναι δύο διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Η πρώτη εξίσωση λύνεται εύκολα χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο. Με την πρώτη ματιά, μια μικρή αλλαγή y (\displaystyle y)στο y 2 (\displaystyle y^(2))στη δεύτερη εξίσωση το κάνει μη γραμμικό και γίνεται πολύ δύσκολο να λυθεί.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Διαφορική εξίσωση (DE) είναι η εξίσωση,
όπου υπάρχουν ανεξάρτητες μεταβλητές, το y είναι συνάρτηση και είναι μερικές παράγωγοι.

Συνήθης διαφορική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση που έχει μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή, .

Μερική Διαφορική Εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση που έχει δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι λέξεις "συνήθη" και "μερικά παράγωγα" μπορούν να παραλειφθούν εάν είναι σαφές ποια εξίσωση εξετάζεται. Στη συνέχεια, εξετάζονται οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις.

Σειρά διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα εξίσωσης πρώτης τάξης:

Ακολουθεί ένα παράδειγμα εξίσωσης τέταρτης τάξης:

Μερικές φορές μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης γράφεται με όρους διαφορών:

Σε αυτή την περίπτωση, οι μεταβλητές x και y είναι ίσες. Δηλαδή, η ανεξάρτητη μεταβλητή μπορεί να είναι είτε x είτε y . Στην πρώτη περίπτωση, το y είναι συνάρτηση του x. Στη δεύτερη περίπτωση, το x είναι συνάρτηση του y . Εάν είναι απαραίτητο, μπορούμε να φέρουμε αυτή την εξίσωση σε μια μορφή στην οποία η παράγωγος y′ εισέρχεται ρητά.
Διαιρώντας αυτήν την εξίσωση με dx, παίρνουμε:
.
Δεδομένου ότι και , προκύπτει ότι
.

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Οι παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων εκφράζονται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων. Τα ολοκληρώματα των στοιχειωδών συναρτήσεων συχνά δεν εκφράζονται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων. Με τις διαφορικές εξισώσεις, η κατάσταση είναι ακόμη χειρότερη. Ως αποτέλεσμα της λύσης, μπορείτε να πάρετε:

• ρητή εξάρτηση μιας συνάρτησης από μια μεταβλητή.

  Επίλυση Διαφορικής Εξίσωσης είναι η συνάρτηση y = u (Χ), το οποίο ορίζεται, είναι n φορές διαφοροποιήσιμο, και .

• άρρητη εξάρτηση με τη μορφή εξίσωσης τύπου Φ (x, y) = 0ή συστήματα εξισώσεων?

  Ολοκλήρωμα διαφορικής εξίσωσης είναι μια λύση σε μια διαφορική εξίσωση που έχει μια άρρητη μορφή.

• εξάρτηση που εκφράζεται μέσω στοιχειωδών συναρτήσεων και ολοκληρωμάτων από αυτές.

  Λύση διαφορικής εξίσωσης σε τετράγωνα - αυτό είναι η εύρεση λύσης με τη μορφή συνδυασμού στοιχειωδών συναρτήσεων και ολοκληρωμάτων τους.

• η λύση μπορεί να μην εκφράζεται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων.

Εφόσον η λύση των διαφορικών εξισώσεων ανάγεται στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων, η λύση περιλαμβάνει ένα σύνολο σταθερών C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Ο αριθμός των σταθερών είναι ίσος με τη σειρά της εξίσωσης. Μερικό ολοκλήρωμα διαφορικής εξίσωσης είναι το γενικό ολοκλήρωμα για τις δεδομένες τιμές των σταθερών C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Βιβλιογραφικές αναφορές:
V.V. Stepanov, Course of Differential Equations, LKI, 2015.
Ν.Μ. Gunther, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, Lan, 2003.

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων.
Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές

Διαφορικές Εξισώσεις (ΔΕ). Αυτές οι δύο λέξεις συνήθως τρομοκρατούν τον μέσο λαϊκό. Οι διαφορικές εξισώσεις φαίνεται να είναι κάτι εξωφρενικό και δύσκολο να κατακτηθούν για πολλούς μαθητές. Uuuuuu… διαφορικές εξισώσεις, πώς θα το επιβίωνα όλο αυτό;!

Μια τέτοια άποψη και μια τέτοια στάση είναι θεμελιωδώς εσφαλμένη, γιατί στην πραγματικότητα ΟΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΕΣ ΚΑΙ ΑΚΟΜΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΕΣ. Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να μάθετε για να λύσετε διαφορικές εξισώσεις; Για να μελετήσετε επιτυχώς τις διαφορές, πρέπει να είστε καλοί στην ενσωμάτωση και τη διαφοροποίηση. Όσο καλύτερα μελετώνται τα θέματα Παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητήςκαι Αόριστο ολοκλήρωμα, τόσο πιο εύκολο θα είναι να κατανοήσουμε τις διαφορικές εξισώσεις. Θα πω περισσότερα, εάν έχετε περισσότερο ή λιγότερο αξιοπρεπείς δεξιότητες ένταξης, τότε το θέμα είναι πρακτικά κατακτημένο! Όσο περισσότερα ολοκληρώματα διαφόρων τύπων μπορείτε να λύσετε, τόσο το καλύτερο. Γιατί; Πρέπει να ενσωματώσεις πολλά. Και διαφοροποιήστε. Επίσης συνιστώ ανεπιφύλακταμάθε να βρίσκεις.

Στο 95% των περιπτώσεων, υπάρχουν 3 τύποι διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης σε δοκιμαστικά έγγραφα: διαχωρίσιμες εξισώσεις, το οποίο θα καλύψουμε σε αυτό το μάθημα. ομοιογενείς εξισώσειςκαι γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις. Για αρχάριους να μελετούν διαχυτές, σας συμβουλεύω να διαβάσετε τα μαθήματα σε αυτήν τη σειρά και αφού μελετήσετε τα δύο πρώτα άρθρα, δεν θα βλάψετε να εδραιώσετε τις δεξιότητές σας σε ένα επιπλέον εργαστήριο - εξισώσεις που ανάγονται σε ομοιογενείς.

Υπάρχουν ακόμη πιο σπάνιοι τύποι διαφορικών εξισώσεων: εξισώσεις σε ολικά διαφορικά, εξισώσεις Bernoulli και μερικές άλλες. Από τους δύο τελευταίους τύπους, οι πιο σημαντικές είναι οι εξισώσεις σε ολικά διαφορικά, επειδή εκτός από αυτό το DE, εξετάζω νέο υλικό - μερική ένταξη.

Αν σας απομένουν μόνο μία ή δύο μέρες, έπειτα για εξαιρετικά γρήγορη προετοιμασίαυπάρχει μάθημα blitzσε μορφή pdf.

Λοιπόν, τα ορόσημα έχουν οριστεί - πάμε:

Ας θυμηθούμε πρώτα τις συνηθισμένες αλγεβρικές εξισώσεις. Περιέχουν μεταβλητές και αριθμούς. Το απλούστερο παράδειγμα: . Τι σημαίνει να λύνεις μια συνηθισμένη εξίσωση; Αυτό σημαίνει να βρεις σύνολο αριθμώνπου ικανοποιούν αυτή την εξίσωση. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η εξίσωση των παιδιών έχει μία μόνο ρίζα: . Για διασκέδαση, ας κάνουμε έναν έλεγχο, αντικαθιστούμε τη ρίζα που βρέθηκε στην εξίσωσή μας:

- προκύπτει η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η λύση βρέθηκε σωστά.

Οι διαχύσεις είναι διατεταγμένες περίπου με τον ίδιο τρόπο!

Διαφορική εξίσωση πρώτη σειράγενικά περιέχει:
1) ανεξάρτητη μεταβλητή ;
2) εξαρτημένη μεταβλητή (συνάρτηση).
3) η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης: .

Σε ορισμένες εξισώσεις 1ης τάξης, μπορεί να μην υπάρχει "x" ή (και) "y", αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο - σπουδαίοςώστε στο DU ήτανπρώτη παράγωγο, και δεν είχαπαράγωγα υψηλότερων τάξεων - , κ.λπ.

Τι σημαίνει;Για να λύσετε μια διαφορική εξίσωση σημαίνει να βρείτε σύνολο όλων των λειτουργιώνπου ικανοποιούν αυτή την εξίσωση. Ένα τέτοιο σύνολο συναρτήσεων έχει συχνά τη μορφή ( είναι μια αυθαίρετη σταθερά), η οποία ονομάζεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 1

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Πλήρη πυρομαχικά. Από πού να ξεκινήσετε λύση?

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να ξαναγράψετε το παράγωγο σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή. Θυμόμαστε τη δυσκίνητη σημείωση, την οποία πολλοί από εσάς πιθανότατα θεωρήσατε γελοίο και περιττό. Είναι αυτό που κυβερνά στους διαχυτές!

Στο δεύτερο βήμα, ας δούμε αν είναι δυνατό διαίρεση μεταβλητών;Τι σημαίνει ο διαχωρισμός μεταβλητών; Στο περίπου, στην αριστερή πλευράπρέπει να φύγουμε μόνο "παιχνίδια", ένα στη δεξιά πλευράοργανώνω μόνο x. Ο διαχωρισμός των μεταβλητών πραγματοποιείται με τη βοήθεια «σχολικών» χειρισμών: παρενθέσεις, μεταφορά όρων από μέρος σε μέρος με αλλαγή πρόσημου, μεταφορά παραγόντων από μέρος σε μέρος σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας κ.λπ.

Διαφορικά και είναι πλήρεις πολλαπλασιαστές και ενεργοί συμμετέχοντες στις εχθροπραξίες. Σε αυτό το παράδειγμα, οι μεταβλητές διαχωρίζονται εύκολα με παράγοντες αναστροφής σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας:

Οι μεταβλητές διαχωρίζονται. Στην αριστερή πλευρά - μόνο "Παιχνίδι", στη δεξιά πλευρά - μόνο "Χ".

Επόμενο στάδιο - ολοκλήρωση διαφορικής εξίσωσης. Είναι απλό, κρεμάμε ολοκληρώματα και στα δύο μέρη:

Φυσικά, πρέπει να ληφθούν ολοκληρώματα. Σε αυτή την περίπτωση, είναι πίνακες:

Όπως θυμόμαστε, μια σταθερά αποδίδεται σε οποιοδήποτε αντιπαράγωγο. Υπάρχουν δύο ολοκληρώματα εδώ, αλλά αρκεί να γράψουμε τη σταθερά μία φορά (επειδή μια σταθερά + μια σταθερά εξακολουθεί να είναι ίση με μια άλλη σταθερά). Στις περισσότερες περιπτώσεις, τοποθετείται στη δεξιά πλευρά.

Αυστηρά μιλώντας, αφού ληφθούν τα ολοκληρώματα, η διαφορική εξίσωση θεωρείται ότι έχει λυθεί. Το μόνο είναι ότι το «y» μας δεν εκφράζεται μέσω του «x», δηλαδή παρουσιάζεται η λύση στο άρρητομορφή. Η άρρητη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται γενικό ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης. Δηλαδή είναι το γενικό ολοκλήρωμα.

Μια απάντηση σε αυτή τη μορφή είναι αρκετά αποδεκτή, αλλά υπάρχει καλύτερη επιλογή; Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε κοινή απόφαση.

Σας παρακαλούμε, θυμηθείτε την πρώτη τεχνική, είναι πολύ κοινό και χρησιμοποιείται συχνά σε πρακτικές εργασίες: εάν ένας λογάριθμος εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά μετά την ολοκλήρωση, τότε σε πολλές περιπτώσεις (αλλά σε καμία περίπτωση πάντα!) είναι επίσης σκόπιμο να γράψετε τη σταθερά κάτω από τον λογάριθμο.

Αυτό είναι, ΑΝΤΙεγγραφές συνήθως γράφονται .

Γιατί χρειάζεται αυτό; Και για να είναι πιο εύκολη η έκφραση του «υ». Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων . Σε αυτήν την περίπτωση:

Τώρα μπορούν να αφαιρεθούν λογάριθμοι και μονάδες:

Η συνάρτηση παρουσιάζεται ρητά. Αυτή είναι η γενική λύση.

Απάντηση: κοινή απόφαση: .

Οι απαντήσεις σε πολλές διαφορικές εξισώσεις είναι αρκετά εύκολο να ελεγχθούν. Στην περίπτωσή μας, αυτό γίνεται πολύ απλά, παίρνουμε τη λύση που βρέθηκε και τη διαφοροποιούμε:

Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την παράγωγο στην αρχική εξίσωση:

- προκύπτει η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η γενική λύση ικανοποιεί την εξίσωση , η οποία έπρεπε να ελεγχθεί.

Δίνοντας μια σταθερά διαφορετικές τιμές, μπορείτε να πάρετε έναν άπειρο αριθμό ιδιωτικές αποφάσειςδιαφορική εξίσωση. Είναι σαφές ότι οποιαδήποτε από τις συναρτήσεις , κ.λπ. ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση .

Μερικές φορές η γενική λύση ονομάζεται οικογένεια λειτουργιών. Σε αυτό το παράδειγμα, η γενική λύση είναι μια οικογένεια γραμμικών συναρτήσεων, ή μάλλον, μια οικογένεια ευθειών αναλογιών.

Μετά από μια λεπτομερή συζήτηση του πρώτου παραδείγματος, είναι σκόπιμο να απαντήσουμε σε μερικές αφελείς ερωτήσεις σχετικά με τις διαφορικές εξισώσεις:

1)Σε αυτό το παράδειγμα, καταφέραμε να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές. Είναι πάντα δυνατό να γίνει αυτό;Όχι πάντα. Και ακόμη πιο συχνά οι μεταβλητές δεν μπορούν να διαχωριστούν. Για παράδειγμα, σε ομοιογενείς εξισώσεις πρώτης τάξηςπρέπει πρώτα να αντικατασταθεί. Σε άλλους τύπους εξισώσεων, για παράδειγμα, σε μια γραμμική μη ομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης, πρέπει να χρησιμοποιήσετε διάφορα κόλπα και μεθόδους για να βρείτε μια γενική λύση. Οι διαχωρισμένες μεταβλητές εξισώσεις που εξετάζουμε στο πρώτο μάθημα είναι ο απλούστερος τύπος διαφορικών εξισώσεων.

2) Είναι πάντα δυνατό να ενσωματώσουμε μια διαφορική εξίσωση;Όχι πάντα. Είναι πολύ εύκολο να καταλήξουμε σε μια «φανταχτερή» εξίσωση που δεν μπορεί να ενσωματωθεί, επιπλέον, υπάρχουν ολοκληρώματα που δεν μπορούν να ληφθούν. Αλλά τέτοια DE μπορούν να λυθούν κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας ειδικές μεθόδους. Ο D'Alembert και ο Cauchy εγγυώνται... ...ουφ, παραμονεύουν. Σε διάβασα πολύ μόλις τώρα, σχεδόν πρόσθεσα "από τον άλλο κόσμο".

3) Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε λάβει μια λύση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος . Είναι πάντα δυνατό να βρεθεί μια γενική λύση από το γενικό ολοκλήρωμα, δηλαδή να εκφράσουμε το «υ» σε ρητή μορφή;Όχι πάντα. Για παράδειγμα: . Λοιπόν, πώς μπορώ να εκφράσω το "y" εδώ;! Σε τέτοιες περιπτώσεις, η απάντηση θα πρέπει να γράφεται ως γενικό ολοκλήρωμα. Επιπλέον, μερικές φορές μπορεί να βρεθεί μια γενική λύση, αλλά είναι γραμμένη τόσο δυσκίνητα και αδέξια που είναι προτιμότερο να αφήσουμε την απάντηση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος

4) ...ίσως αρκετά προς το παρόν. Στο πρώτο παράδειγμα, συναντηθήκαμε άλλο ένα σημαντικό σημείο, αλλά για να μην καλύψω τα «ανδρείκελα» με μια χιονοστιβάδα νέων πληροφοριών, θα το αφήσω μέχρι το επόμενο μάθημα.

Ας μη βιαζόμαστε. Άλλο ένα απλό τηλεχειριστήριο και μια άλλη τυπική λύση:

Παράδειγμα 2

Να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη

Λύση: σύμφωνα με την προϋπόθεση που απαιτείται να βρεθεί ιδιωτική λύση DE που ικανοποιεί μια δεδομένη αρχική συνθήκη. Αυτό το είδος αμφισβήτησης ονομάζεται επίσης Πρόβλημα Cauchy.

Αρχικά, βρίσκουμε μια γενική λύση. Δεν υπάρχει μεταβλητή "x" στην εξίσωση, αλλά αυτό δεν πρέπει να είναι ενοχλητικό, το κύριο πράγμα είναι ότι έχει την πρώτη παράγωγο.

Ξαναγράφουμε την παράγωγο στην απαιτούμενη μορφή:

Προφανώς, οι μεταβλητές μπορούν να χωριστούν, αγόρια προς τα αριστερά, κορίτσια προς τα δεξιά:

Ενσωματώνουμε την εξίσωση:

Λαμβάνεται το γενικό ολοκλήρωμα. Εδώ σχεδίασα μια σταθερά με ένα αστέρι προφοράς, γεγονός είναι ότι πολύ σύντομα θα μετατραπεί σε μια άλλη σταθερά.

Τώρα προσπαθούμε να μετατρέψουμε το γενικό ολοκλήρωμα σε γενική λύση (εκφράστε ρητά το "y"). Θυμόμαστε το παλιό, καλό, σχολείο: . Σε αυτήν την περίπτωση:

Η σταθερά στον δείκτη φαίνεται κατά κάποιο τρόπο όχι κόσερ, επομένως συνήθως χαμηλώνεται από τον ουρανό στη γη. Αναλυτικά, συμβαίνει έτσι. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των βαθμών, ξαναγράφουμε τη συνάρτηση ως εξής:

Αν είναι σταθερά, τότε είναι και κάποια σταθερά, επαναπροσδιορίστε την με το γράμμα:

Θυμηθείτε η «κατεδάφιση» μιας σταθεράς είναι δεύτερη τεχνική, το οποίο χρησιμοποιείται συχνά κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Η γενική λύση λοιπόν είναι: Μια τόσο ωραία οικογένεια εκθετικών συναρτήσεων.

Στο τελικό στάδιο, πρέπει να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τη δεδομένη αρχική συνθήκη. Είναι και απλό.

Ποιο είναι το καθήκον; Ανάγκη παραλαβής τέτοιοςη τιμή της σταθεράς για να ικανοποιηθεί η συνθήκη .

Μπορείτε να το κανονίσετε με διαφορετικούς τρόπους, αλλά το πιο κατανοητό, ίσως, θα είναι έτσι. Στη γενική λύση, αντί για «x», αντικαθιστούμε το μηδέν και αντί για «y», δύο:



Αυτό είναι,

Τυπική έκδοση σχεδίασης:

Τώρα αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της σταθεράς στη γενική λύση:
– αυτή είναι η συγκεκριμένη λύση που χρειαζόμαστε.

Απάντηση: ιδιωτική λύση:

Ας κάνουμε έναν έλεγχο. Η επαλήθευση μιας συγκεκριμένης λύσης περιλαμβάνει δύο στάδια:

Αρχικά, είναι απαραίτητο να ελεγχθεί εάν η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί πραγματικά την αρχική συνθήκη; Αντί για "x" αντικαθιστούμε το μηδέν και βλέπουμε τι συμβαίνει:
- ναι, όντως, προέκυψε ένα δυάρι, που σημαίνει ότι η αρχική συνθήκη ικανοποιείται.

Το δεύτερο στάδιο είναι ήδη γνωστό. Παίρνουμε τη συγκεκριμένη λύση που προκύπτει και βρίσκουμε την παράγωγο:

Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση:

- προκύπτει η σωστή ισότητα.

Συμπέρασμα: η συγκεκριμένη λύση βρέθηκε σωστά.

Ας προχωρήσουμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 3

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Λύση:Ξαναγράφουμε την παράγωγο με τη μορφή που χρειαζόμαστε:

Αξιολογώντας εάν οι μεταβλητές μπορούν να διαχωριστούν; Μπορώ. Μεταφέρουμε τον δεύτερο όρο στη δεξιά πλευρά με αλλαγή πρόσημου:

Και αντιστρέφουμε τους παράγοντες σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας:

Οι μεταβλητές είναι διαχωρισμένες, ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη:

Πρέπει να σας προειδοποιήσω, η ημέρα της κρίσης πλησιάζει. Αν δεν έχεις μάθει καλά αόριστα ολοκληρώματα, έλυσαν λίγα παραδείγματα, τότε δεν υπάρχει πού να πάτε - πρέπει να τα κυριαρχήσετε τώρα.

Το ολοκλήρωμα της αριστερής πλευράς είναι εύκολο να βρεθεί, με το ολοκλήρωμα της συνεφαπτομένης ασχολούμαστε με την τυπική τεχνική που εξετάσαμε στο μάθημα Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεωνΤον περασμένο χρόνο:

Στη δεξιά πλευρά, έχουμε έναν λογάριθμο και, σύμφωνα με την πρώτη τεχνική σύστασή μου, η σταθερά πρέπει επίσης να γραφεί κάτω από τον λογάριθμο.

Τώρα προσπαθούμε να απλοποιήσουμε το γενικό ολοκλήρωμα. Εφόσον έχουμε μόνο λογάριθμους, είναι πολύ πιθανό (και απαραίτητο) να απαλλαγούμε από αυτούς. Με τη χρήση γνωστές ιδιότητες«πακετάρουν» στο μέγιστο τους λογάριθμους. Θα γράψω αναλυτικά:

Η συσκευασία είναι πλήρης για να είναι βάρβαρα κουρελιασμένη:

Είναι δυνατόν να εκφραστεί το «υ»; Μπορώ. Και τα δύο μέρη πρέπει να είναι τετραγωνισμένα.

Αλλά δεν χρειάζεται.

Τρίτη συμβουλή τεχνολογίας:εάν για να αποκτήσετε μια γενική λύση πρέπει να ανεβάσετε σε μια δύναμη ή να ριζώσετε, τότε Στις περισσότερες περιπτώσειςθα πρέπει να απέχετε από αυτές τις ενέργειες και να αφήσετε την απάντηση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος. Το γεγονός είναι ότι η γενική λύση θα φαίνεται απλά απαίσια - με μεγάλες ρίζες, σημάδια και άλλα σκουπίδια.

Επομένως, γράφουμε την απάντηση ως γενικό ολοκλήρωμα. Θεωρείται καλή μορφή να το παρουσιάζουμε στη μορφή, δηλαδή στη δεξιά πλευρά, αν είναι δυνατόν, να αφήνουμε μόνο μια σταθερά. Δεν είναι απαραίτητο να το κάνετε αυτό, αλλά είναι πάντα ωφέλιμο να ευχαριστήσετε τον καθηγητή ;-)

Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:

! Σημείωση: το γενικό ολοκλήρωμα οποιασδήποτε εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με περισσότερους από έναν τρόπους. Έτσι, εάν το αποτέλεσμά σας δεν συμπίπτει με μια προηγούμενη γνωστή απάντηση, τότε αυτό δεν σημαίνει ότι λύσατε λάθος την εξίσωση.

Το γενικό ολοκλήρωμα ελέγχεται επίσης αρκετά εύκολα, το κύριο πράγμα είναι να μπορείτε να βρείτε παράγωγο μιας συνάρτησης που ορίζεται σιωπηρά. Ας διαφοροποιήσουμε την απάντηση:

Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με:

Και διαιρούμε με:

Η αρχική διαφορική εξίσωση λήφθηκε ακριβώς, πράγμα που σημαίνει ότι το γενικό ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη. Κάντε έναν έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Σας υπενθυμίζω ότι ο αλγόριθμος αποτελείται από δύο στάδια:
1) εξεύρεση γενικής λύσης.
2) εύρεση της απαιτούμενης συγκεκριμένης λύσης.

Ο έλεγχος πραγματοποιείται επίσης σε δύο βήματα (δείτε το δείγμα στο Παράδειγμα Νο. 2), χρειάζεστε:
1) βεβαιωθείτε ότι η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
2) ελέγξτε ότι μια συγκεκριμένη λύση ικανοποιεί γενικά τη διαφορική εξίσωση.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 5

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης , ικανοποιώντας την αρχική συνθήκη . Κάντε έναν έλεγχο.

Λύση:Αρχικά, ας βρούμε μια γενική λύση Αυτή η εξίσωση περιέχει ήδη έτοιμα διαφορικά και , που σημαίνει ότι η λύση είναι απλοποιημένη. Διαχωρισμός μεταβλητών:

Ενσωματώνουμε την εξίσωση:

Το ολοκλήρωμα στα αριστερά είναι πίνακα, το ολοκλήρωμα στα δεξιά λαμβάνεται η μέθοδος άθροισης της συνάρτησης κάτω από το πρόσημο του διαφορικού:

Το γενικό ολοκλήρωμα έχει ληφθεί, είναι δυνατή η επιτυχής έκφραση της γενικής λύσης; Μπορώ. Κρεμάμε λογάριθμους και από τις δύο πλευρές. Δεδομένου ότι είναι θετικά, τα πρόσημα modulo είναι περιττά:

(Ελπίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν τη μεταμόρφωση, τέτοια πράγματα πρέπει να είναι ήδη γνωστά)

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη.
Στη γενική λύση, αντί για «x», αντικαθιστούμε το μηδέν και αντί για «y», τον λογάριθμο δύο:

Πιο γνωστό σχέδιο:

Αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της σταθεράς με τη γενική λύση.

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Έλεγχος: Πρώτα, ελέγξτε εάν πληρούται η αρχική προϋπόθεση:
- όλα είναι καλά.

Τώρα ας ελέγξουμε αν η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί καθόλου τη διαφορική εξίσωση. Βρίσκουμε την παράγωγο:

Ας δούμε την αρχική εξίσωση: – παρουσιάζεται σε διαφορικά. Υπάρχουν δύο τρόποι ελέγχου. Είναι δυνατό να εκφραστεί η διαφορά από την ευρεθείσα παράγωγο:

Αντικαθιστούμε τη συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε και τη διαφορά που προκύπτει στην αρχική εξίσωση :

Χρησιμοποιούμε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η συγκεκριμένη λύση βρέθηκε σωστά.

Ο δεύτερος τρόπος ελέγχου είναι αντικατοπτρισμένος και πιο οικείος: από την εξίσωση εκφράστε την παράγωγο, για αυτό διαιρούμε όλα τα κομμάτια με:

Και στη μετασχηματισμένη ΔΕ αντικαθιστούμε τη συγκεκριμένη λύση που προκύπτει και την ευρεθείσα παράγωγο. Ως αποτέλεσμα των απλοποιήσεων, θα πρέπει επίσης να επιτευχθεί η σωστή ισότητα.

Παράδειγμα 6

Λύστε τη διαφορική εξίσωση. Εκφράστε την απάντηση ως γενικό ολοκλήρωμα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως, πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ποιες δυσκολίες περιμένουν στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων με διαχωρίσιμες μεταβλητές;

1) Δεν είναι πάντα προφανές (ειδικά σε μια τσαγιέρα) ότι οι μεταβλητές μπορούν να διαχωριστούν. Εξετάστε ένα υπό όρους παράδειγμα: . Εδώ πρέπει να αφαιρέσετε τους παράγοντες από αγκύλες: και να διαχωρίσετε τις ρίζες:. Το πώς να προχωρήσετε περαιτέρω είναι σαφές.

2) Δυσκολίες στην ίδια την ένταξη. Τα ολοκληρώματα προκύπτουν συχνά όχι τα πιο απλά, και αν υπάρχουν ελαττώματα στις δεξιότητες εύρεσης αόριστο ολοκλήρωμα, τότε θα είναι δύσκολο με πολλούς διαχυτές. Επιπλέον, οι μεταγλωττιστές συλλογών και εγχειριδίων είναι δημοφιλείς με τη λογική «καθώς η διαφορική εξίσωση είναι απλή, τότε τουλάχιστον τα ολοκληρώματα θα είναι πιο περίπλοκα».

3) Μετασχηματισμοί με σταθερά. Όπως όλοι έχουν παρατηρήσει, μια σταθερά στις διαφορικές εξισώσεις μπορεί να αντιμετωπιστεί αρκετά ελεύθερα και ορισμένοι μετασχηματισμοί δεν είναι πάντα ξεκάθαροι σε έναν αρχάριο. Ας δούμε ένα άλλο υποθετικό παράδειγμα: . Σε αυτό, συνιστάται να πολλαπλασιάσετε όλους τους όρους κατά 2: . Η σταθερά που προκύπτει είναι επίσης κάποιο είδος σταθεράς, η οποία μπορεί να συμβολιστεί με: . Ναι, και επειδή υπάρχει ένας λογάριθμος στη δεξιά πλευρά, συνιστάται να ξαναγράψετε τη σταθερά ως άλλη σταθερά: .

Το πρόβλημα είναι ότι συχνά δεν ασχολούνται με τους δείκτες και χρησιμοποιούν το ίδιο γράμμα. Ως αποτέλεσμα, το αρχείο απόφασης παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Ποια αίρεση; Εδώ είναι τα λάθη! Αυστηρά μιλώντας, ναι. Ωστόσο, από ουσιαστική άποψη, δεν υπάρχουν σφάλματα, διότι ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού μιας μεταβλητής σταθεράς εξακολουθεί να προκύπτει μια μεταβλητή σταθερά.

Ή ένα άλλο παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι κατά την επίλυση της εξίσωσης προκύπτει ένα γενικό ολοκλήρωμα. Αυτή η απάντηση φαίνεται άσχημη, επομένως είναι σκόπιμο να αλλάξετε το πρόσημο κάθε όρου: . Επίσημα, υπάρχει και πάλι ένα σφάλμα - στα δεξιά, θα πρέπει να γραφτεί . Αλλά ανεπίσημα υπονοείται ότι το "μείον ce" εξακολουθεί να είναι μια σταθερά ( που παίρνει εξίσου καλά οποιεσδήποτε αξίες!), οπότε το να βάλεις «μείον» δεν έχει νόημα και μπορείς να χρησιμοποιήσεις το ίδιο γράμμα.

Θα προσπαθήσω να αποφύγω μια απρόσεκτη προσέγγιση και θα εξακολουθήσω να βάζω διαφορετικούς δείκτες για σταθερές κατά τη μετατροπή τους.

Παράδειγμα 7

Λύστε τη διαφορική εξίσωση. Κάντε έναν έλεγχο.

Λύση:Αυτή η εξίσωση δέχεται τον διαχωρισμό των μεταβλητών. Διαχωρισμός μεταβλητών:

Ενσωματώνουμε:

Η σταθερά εδώ δεν χρειάζεται να οριστεί στον λογάριθμο, αφού τίποτα καλό δεν θα προκύψει από αυτήν.

Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:

Έλεγχος: Διαφοροποιήστε την απάντηση (σιωπηρή συνάρτηση):

Απαλλαγούμε από τα κλάσματα, γι' αυτό πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με:

Έχει ληφθεί η αρχική διαφορική εξίσωση, που σημαίνει ότι το γενικό ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Παράδειγμα 8

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση της ΔΕ.
,

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Η μόνη υπόδειξη είναι ότι εδώ λαμβάνετε ένα γενικό ολοκλήρωμα και, πιο σωστά, πρέπει να επιδιώξετε να βρείτε όχι μια συγκεκριμένη λύση, αλλά ιδιωτικό ακέραιο. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Εκπαιδευτικό Ίδρυμα "Κράτος της Λευκορωσίας

Γεωργική Ακαδημία"

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

Περίληψη διάλεξης για φοιτητές λογιστικής

έντυπο εκπαίδευσης αλληλογραφίας (NISPO)

Gorki, 2013

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Η έννοια της διαφορικής εξίσωσης. Γενικές και ειδικές λύσεις

Κατά τη μελέτη διαφόρων φαινομένων, συχνά δεν είναι δυνατό να βρεθεί ένας νόμος που να συνδέει άμεσα την ανεξάρτητη μεταβλητή και την επιθυμητή συνάρτηση, αλλά είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια σύνδεση μεταξύ της επιθυμητής συνάρτησης και των παραγώγων της.

Καλείται η σχέση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή, την επιθυμητή συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφορική εξίσωση :

Εδώ Χείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, yείναι η επιθυμητή λειτουργία,
είναι οι παράγωγοι της επιθυμητής συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή, η σχέση (1) απαιτεί την παρουσία τουλάχιστον μιας παραγώγου.

Η σειρά της διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου στην εξίσωση.

Θεωρήστε τη διαφορική εξίσωση

. (2)

Εφόσον αυτή η εξίσωση περιλαμβάνει παράγωγο μόνο πρώτης τάξης, τότε καλείται είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.

Αν η εξίσωση (2) μπορεί να λυθεί ως προς την παράγωγο και να γραφεί ως

, (3)

τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης σε κανονική μορφή.

Σε πολλές περιπτώσεις είναι σκόπιμο να εξεταστεί μια εξίσωση της μορφής

το οποιο ονομαζεται μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης γραμμένη σε διαφορική μορφή.

Επειδή
, τότε η εξίσωση (3) μπορεί να γραφτεί ως
ή
, όπου μπορεί κανείς να μετρήσει
και
. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση (3) έχει μετατραπεί στην εξίσωση (4).

Γράφουμε την εξίσωση (4) στη μορφή
. Επειτα
,
,
, όπου μπορεί κανείς να μετρήσει
, δηλ. προκύπτει μια εξίσωση της μορφής (3). Έτσι, οι εξισώσεις (3) και (4) είναι ισοδύναμες.

Με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (2) ή (3) καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση
, το οποίο, όταν το αντικαθιστά στην εξίσωση (2) ή (3), το μετατρέπει σε ταυτότητα:

ή
.

Η διαδικασία εύρεσης όλων των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται της ενσωμάτωση και το γράφημα της λύσης
ονομάζεται διαφορική εξίσωση ολοκληρωμένη καμπύλη αυτή η εξίσωση.

Αν η λύση της διαφορικής εξίσωσης ληφθεί σε άρρητη μορφή
, τότε λέγεται αναπόσπαστο δεδομένη διαφορική εξίσωση.

Γενική λύση διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια οικογένεια συναρτήσεων της μορφής
, ανάλογα με μια αυθαίρετη σταθερά ΑΠΟ, καθένα από τα οποία είναι μια λύση της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης για οποιαδήποτε αποδεκτή τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς ΑΠΟ. Έτσι, η διαφορική εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Ιδιωτική απόφαση διαφορική εξίσωση ονομάζεται η λύση που προκύπτει από τον γενικό τύπο λύσης για μια συγκεκριμένη τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς ΑΠΟ, συμπεριλαμβανομένου
.

Το πρόβλημα Cauchy και η γεωμετρική του ερμηνεία

Η εξίσωση (2) έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Για να ξεχωρίσουμε μια λύση από αυτό το σύνολο, η οποία ονομάζεται συγκεκριμένη λύση, πρέπει να καθοριστούν ορισμένες πρόσθετες προϋποθέσεις.

Το πρόβλημα της εύρεσης μιας συγκεκριμένης λύσης στην εξίσωση (2) υπό δεδομένες συνθήκες ονομάζεται Πρόβλημα Cauchy . Αυτό το πρόβλημα είναι ένα από τα πιο σημαντικά στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων.

Το πρόβλημα Cauchy διατυπώνεται ως εξής: ανάμεσα σε όλες τις λύσεις της εξίσωσης (2) βρείτε μια τέτοια λύση
, στην οποία η συνάρτηση
παίρνει μια δεδομένη αριθμητική τιμή αν η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ παίρνει μια δεδομένη αριθμητική τιμή , δηλ.

,
, (5)

όπου ρεείναι το πεδίο της συνάρτησης
.

Εννοια που ονομάζεται την αρχική τιμή της συνάρτησης , ένα – αρχική τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής . Η συνθήκη (5) ονομάζεται αρχική κατάσταση ή Κατάσταση Cauchy .

Από γεωμετρική άποψη, το πρόβλημα Cauchy για τη διαφορική εξίσωση (2) μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: από το σύνολο των ολοκληρωτικών καμπυλών της εξίσωσης (2) επιλέξτε αυτή που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο
.

Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές

Ένας από τους απλούστερους τύπους διαφορικών εξισώσεων είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης που δεν περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση:

. (6)

Δεδομένου ότι
, γράφουμε την εξίσωση στη μορφή
ή
. Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της τελευταίας εξίσωσης, παίρνουμε:
ή

. (7)

Έτσι, το (7) είναι μια γενική λύση της εξίσωσης (6).

Παράδειγμα 1 . Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης
.

Λύση . Γράφουμε την εξίσωση στη φόρμα
ή
. Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης που προκύπτει:
,
. Ας γράψουμε επιτέλους
.

Παράδειγμα 2 . Βρείτε μια λύση στην εξίσωση
υπό όρους
.

Λύση . Ας βρούμε τη γενική λύση της εξίσωσης:
,
,
,
. Κατά συνθήκη
,
. Υποκατάστατο στη γενική λύση:
ή
. Αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς στον τύπο για τη γενική λύση:
. Αυτή είναι η συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί τη δεδομένη συνθήκη.

Η εξίσωση

(8)

που ονομάζεται μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης που δεν περιέχει ανεξάρτητη μεταβλητή . Το γράφουμε στη φόρμα
ή
. Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη της τελευταίας εξίσωσης:
ή
- γενική λύση της εξίσωσης (8).

Παράδειγμα . Βρείτε μια γενική λύση της εξίσωσης
.

Λύση . Γράφουμε αυτή την εξίσωση με τη μορφή:
ή
. Επειτα
,
,
,
. Με αυτόν τον τρόπο,
είναι η γενική λύση αυτής της εξίσωσης.

Εξίσωση τύπου

(9)

ολοκληρωμένη με χρήση διαχωρισμού μεταβλητών. Για να γίνει αυτό, γράφουμε την εξίσωση στη φόρμα
, και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, το φέρνουμε σε τέτοια μορφή ώστε ένα μέρος να περιλαμβάνει μόνο τη συνάρτηση του Χκαι διαφορικό dx, και στο δεύτερο μέρος - μια συνάρτηση του στοκαι διαφορικό dy. Για να γίνει αυτό, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί dxκαι διαιρέστε με
. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την εξίσωση

, (10)

στην οποία οι μεταβλητές Χκαι στοσε διασταση. Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης (10):
. Η σχέση που προκύπτει είναι το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (9).

Παράδειγμα 3 . Ολοκληρώστε την εξίσωση
.

Λύση . Μετασχηματίστε την εξίσωση και διαχωρίστε τις μεταβλητές:
,
. Ας ενσωματώσουμε:
,
ή είναι το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης.
.

Ας δοθεί η εξίσωση με τη μορφή

Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με διαχωρίσιμες μεταβλητές σε συμμετρική μορφή.

Για να διαχωριστούν οι μεταβλητές, πρέπει να διαιρεθούν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης με
:

. (12)

Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται χωριστή διαφορική εξίσωση . Ενσωματώνουμε την εξίσωση (12):

.(13)

Η σχέση (13) είναι ένα γενικό ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης (11).

Παράδειγμα 4 . Ενσωματώστε τη διαφορική εξίσωση.

Λύση . Γράφουμε την εξίσωση στη φόρμα

και χωρίστε και τα δύο μέρη σε
,
. Η εξίσωση που προκύπτει:
είναι μια διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση. Ας το ενσωματώσουμε:

,
,

,
. Η τελευταία ισότητα είναι το γενικό ολοκλήρωμα της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 5 . Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης
, ικανοποιώντας την προϋπόθεση
.

Λύση . Δεδομένου ότι
, γράφουμε την εξίσωση στη μορφή
ή
. Ας διαχωρίσουμε τις μεταβλητές:
. Ας ενσωματώσουμε αυτήν την εξίσωση:
,
,
. Η σχέση που προκύπτει είναι το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης. Κατά συνθήκη
. Αντικαταστήστε στο γενικό ολοκλήρωμα και βρείτε ΑΠΟ:
,ΑΠΟ=1. Μετά η έκφραση
είναι μια συγκεκριμένη λύση της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης, γραμμένη ως συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Η εξίσωση

(14)

που ονομάζεται γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης . άγνωστη λειτουργία
και η παράγωγός της εισάγετε αυτή την εξίσωση γραμμικά, και οι συναρτήσεις
και
συνεχής.

Αν ένα
, μετά η εξίσωση

(15)

που ονομάζεται γραμμικό ομοιογενές . Αν ένα
, τότε καλείται η εξίσωση (14). γραμμική ανομοιογενής .

Για να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση (14), συνήθως χρησιμοποιεί μέθοδος αντικατάστασης (Bernoulli) , η ουσία του οποίου είναι η εξής.

Η λύση της εξίσωσης (14) θα αναζητηθεί με τη μορφή γινομένου δύο συναρτήσεων

, (16)

όπου
και
- μερικές συνεχείς λειτουργίες. Υποκατάστατο
και παράγωγο
στην εξίσωση (14):

Λειτουργία vθα επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε η συνθήκη
. Επειτα
. Έτσι, για να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση (14), είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι μια γραμμική ομοιογενής εξίσωση και μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του διαχωρισμού των μεταβλητών:
,
,
,
,
. Ως συνάρτηση
μπορεί κανείς να πάρει μία από τις συγκεκριμένες λύσεις της ομογενούς εξίσωσης, δηλ. στο ΑΠΟ=1:
. Αντικαταστήστε στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:
ή
.Επειτα
. Έτσι, η γενική λύση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης έχει τη μορφή
.

Παράδειγμα 6 . λύσει την εξίσωση
.

Λύση . Θα αναζητήσουμε τη λύση της εξίσωσης στη μορφή
. Επειτα
. Αντικαταστήστε στην εξίσωση:

ή
. Λειτουργία vεπιλέξτε με τέτοιο τρόπο ώστε η ισότητα
. Επειτα
. Λύνουμε την πρώτη από αυτές τις εξισώσεις με τη μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών:
,
,
,
,. Λειτουργία vΑντικαταστήστε στη δεύτερη εξίσωση:
,
,
,
. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι
.

Ερωτήσεις για τον αυτοέλεγχο της γνώσης

Τι είναι μια διαφορική εξίσωση;

Ποια είναι η σειρά μιας διαφορικής εξίσωσης;

Ποια διαφορική εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;

Πώς γράφεται μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης σε διαφορική μορφή;

Ποια είναι η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης;

Τι είναι μια ολοκληρωμένη καμπύλη;

Ποια είναι η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης;

Τι είναι μια συγκεκριμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης;

Πώς διατυπώνεται το πρόβλημα Cauchy για μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;

Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος Cauchy;

Πώς γράφεται μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές σε συμμετρική μορφή;

Ποια εξίσωση ονομάζεται γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;

Ποια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης και ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου;

Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία

Λύστε διαφορικές εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές:

ένα)
; σι)
;

σε)
; ΣΟΛ)
.

2. Λύστε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης:

ένα)
; σι)
; σε)
;

ΣΟΛ)
; μι)
.

I. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

1.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί

Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συσχετίζει μια ανεξάρτητη μεταβλητή Χ, την επιθυμητή λειτουργία yκαι τα παράγωγα ή τα διαφορικά του.

Συμβολικά, η διαφορική εξίσωση γράφεται ως εξής:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Μια διαφορική εξίσωση ονομάζεται συνηθισμένη εάν η επιθυμητή συνάρτηση εξαρτάται από μια ανεξάρτητη μεταβλητή.

Με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσηςονομάζεται μια τέτοια συνάρτηση που μετατρέπει αυτή την εξίσωση σε ταυτότητα.

Η σειρά της διαφορικής εξίσωσηςείναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου αυτής της εξίσωσης

Παραδείγματα.

1. Θεωρήστε τη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι η συνάρτηση y = 5 ln x. Πράγματι, με αντικατάσταση y"στην εξίσωση, παίρνουμε - μια ταυτότητα.

Και αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση y = 5 ln x– είναι η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης.

2. Θεωρήστε τη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης y" - 5y" + 6y = 0. Η συνάρτηση είναι η λύση αυτής της εξίσωσης.

Πραγματικά, .

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση, παίρνουμε: , - ταυτότητα.

Και αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης.

Ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεωνείναι η διαδικασία εύρεσης λύσεων σε διαφορικές εξισώσεις.

Γενική λύση της διαφορικής εξίσωσηςονομάζεται συνάρτηση της μορφής , που περιλαμβάνει τόσες ανεξάρτητες αυθαίρετες σταθερές όσες και η σειρά της εξίσωσης.

Μερική λύση της διαφορικής εξίσωσηςονομάζεται η λύση που προκύπτει από τη γενική λύση για διαφορετικές αριθμητικές τιμές αυθαίρετων σταθερών. Οι τιμές των αυθαίρετων σταθερών βρίσκονται σε ορισμένες αρχικές τιμές του ορίσματος και της συνάρτησης.

Η γραφική παράσταση μιας συγκεκριμένης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ολοκληρωμένη καμπύλη.

Παραδείγματα

1. Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης

xdx + ydy = 0, αν y= 4 σε Χ = 3.

Λύση. Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε

Σχόλιο. Μια αυθαίρετη σταθερά C που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μπορεί να αναπαρασταθεί με οποιαδήποτε μορφή κατάλληλη για περαιτέρω μετασχηματισμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, λαμβάνοντας υπόψη την κανονική εξίσωση του κύκλου, είναι βολικό να αναπαραστήσουμε μια αυθαίρετη σταθερά C στη μορφή .

είναι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Μια συγκεκριμένη λύση μιας εξίσωσης που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y = 4 σε Χ = 3 βρίσκεται από τη γενική αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες στη γενική λύση: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Αντικαθιστώντας το C=5 στη γενική λύση, παίρνουμε x2+y2 = 5 2 .

Αυτή είναι μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που προκύπτει από τη γενική λύση υπό δεδομένες αρχικές συνθήκες.

2. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής , όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Πράγματι, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις, λαμβάνουμε: , .

Επομένως, αυτή η διαφορική εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων, αφού για διαφορετικές τιμές της σταθεράς C, η ισότητα καθορίζει διαφορετικές λύσεις της εξίσωσης.

Για παράδειγμα, με άμεση αντικατάσταση, μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι οι συναρτήσεις είναι λύσεις της εξίσωσης .

Ένα πρόβλημα στο οποίο απαιτείται να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση στην εξίσωση y" = f(x, y)ικανοποιώντας την αρχική συνθήκη y(x0) = y0, ονομάζεται πρόβλημα Cauchy.

Λύση εξίσωσης y" = f(x, y), ικανοποιώντας την αρχική συνθήκη, y(x0) = y0, ονομάζεται λύση στο πρόβλημα Cauchy.

Η λύση του προβλήματος Cauchy έχει απλή γεωμετρική σημασία. Πράγματι, σύμφωνα με αυτούς τους ορισμούς, για να λυθεί το πρόβλημα Cauchy y" = f(x, y)υπό όρους y(x0) = y0, σημαίνει να βρούμε την ολοκληρωτική καμπύλη της εξίσωσης y" = f(x, y)που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M0 (x0,y 0).

II. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

2.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής F(x,y,y") = 0.

Η διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης περιλαμβάνει την πρώτη παράγωγο και δεν περιλαμβάνει παράγωγους υψηλότερης τάξης.

Η εξίσωση y" = f(x, y)ονομάζεται εξίσωση πρώτης τάξης που λύνεται ως προς την παράγωγο.

Μια γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης είναι μια συνάρτηση της μορφής , η οποία περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά.

Παράδειγμα.Θεωρήστε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι η συνάρτηση .

Πράγματι, αντικαθιστώντας σε αυτή την εξίσωση με την τιμή του, λαμβάνουμε

αυτό είναι 3x=3x

Επομένως, η συνάρτηση είναι μια γενική λύση της εξίσωσης για οποιαδήποτε σταθερά C.

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη y(1)=1Αντικατάσταση αρχικών συνθηκών x=1, y=1στη γενική λύση της εξίσωσης , παίρνουμε από πού C=0.

Έτσι, λαμβάνουμε μια συγκεκριμένη λύση από τη γενική αντικαθιστώντας σε αυτή την εξίσωση, την τιμή που προκύπτει C=0είναι ιδιωτική απόφαση.

2.2. Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές

Μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές είναι μια εξίσωση της μορφής: y"=f(x)g(y)ή μέσω διαφορικών, όπου f(x)και g(y)δίνονται λειτουργίες.

Για αυτούς y, για το οποίο , η εξίσωση y"=f(x)g(y)ισοδυναμεί με την εξίσωση στην οποία η μεταβλητή yυπάρχει μόνο στην αριστερή πλευρά και η μεταβλητή x υπάρχει μόνο στη δεξιά πλευρά. Λένε, «στην εξίσωση y"=f(x)g(yδιαχωρίζοντας τις μεταβλητές.

Εξίσωση τύπου ονομάζεται διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση.

Μετά την ολοκλήρωση και των δύο μερών της εξίσωσης επί Χ, παίρνουμε G(y) = F(x) + Cείναι η γενική λύση της εξίσωσης, όπου G(y)και F(x)είναι κάποια αντιπαράγωγα, αντίστοιχα, των συναρτήσεων και f(x), ντοαυθαίρετη σταθερά.

Αλγόριθμος επίλυσης διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με χωριστές μεταβλητές

Παράδειγμα 1

λύσει την εξίσωση y" = xy

Λύση. Παράγωγος συνάρτησης y"αντικατέστησε με

διαχωρίζουμε τις μεταβλητές

Ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας:

Παράδειγμα 2

2εε" = 1- 3x 2, αν y 0 = 3στο x0 = 1

Αυτή είναι μια διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση. Ας το παραστήσουμε σε διαφορικά. Για να γίνει αυτό, ξαναγράφουμε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα Από εδώ

Ενσωματώνοντας και τα δύο μέρη της τελευταίας ισότητας, βρίσκουμε

Αντικατάσταση αρχικών τιμών x 0 = 1, y 0 = 3εύρημα ΑΠΟ 9=1-1+ντο, δηλ. C = 9.

Επομένως, το επιθυμητό μερικό ολοκλήρωμα θα είναι ή

Παράδειγμα 3

Να γράψετε μια εξίσωση για μια καμπύλη που διέρχεται από ένα σημείο M(2;-3)και έχοντας μια εφαπτομένη με μια κλίση

Λύση. Σύμφωνα με την προϋπόθεση

Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη μεταβλητή εξίσωση. Διαιρώντας τις μεταβλητές, παίρνουμε:

Ενσωματώνοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης, παίρνουμε:

Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, x=2και y=-3εύρημα ντο:

Επομένως, η επιθυμητή εξίσωση έχει τη μορφή

2.3. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Μια γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής y" = f(x)y + g(x)

όπου f(x)και g(x)- ορισμένες δεδομένες λειτουργίες.

Αν ένα g(x)=0τότε η γραμμική διαφορική εξίσωση ονομάζεται ομοιογενής και έχει τη μορφή: y" = f(x)y

Αν τότε η εξίσωση y" = f(x)y + g(x)ονομάζεται ετερογενής.

Γενική λύση γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης y" = f(x)yδίνεται από τον τύπο: όπου ΑΠΟείναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Ειδικότερα, εάν C \u003d 0,τότε η λύση είναι y=0Αν η γραμμική ομογενής εξίσωση έχει τη μορφή υ" = κυόπου κείναι κάποια σταθερά, τότε η γενική του λύση έχει τη μορφή: .

Γενική λύση γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης y" = f(x)y + g(x)δίνεται από τον τύπο ,

εκείνοι. ισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς εξίσωσης και της συγκεκριμένης λύσης αυτής της εξίσωσης.

Για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση της μορφής y" = kx + b,

όπου κκαι σι- ορισμένοι αριθμοί και μια συγκεκριμένη λύση θα είναι μια σταθερή συνάρτηση. Επομένως, η γενική λύση έχει τη μορφή .

Παράδειγμα. λύσει την εξίσωση y" + 2y +3 = 0

Λύση. Αντιπροσωπεύουμε την εξίσωση στη μορφή y" = -2y - 3όπου k=-2, b=-3Η γενική λύση δίνεται από τον τύπο .

Επομένως, όπου C είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

2.4. Επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με τη μέθοδο Bernoulli

Εύρεση γενικής λύσης σε γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης y" = f(x)y + g(x)ανάγεται στην επίλυση δύο διαφορικών εξισώσεων με διαχωρισμένες μεταβλητές χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση y=uv, όπου uκαι v- άγνωστες λειτουργίες από Χ. Αυτή η μέθοδος λύσης ονομάζεται μέθοδος Bernoulli.

Αλγόριθμος επίλυσης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης

y" = f(x)y + g(x)

1. Εισαγάγετε μια αντικατάσταση y=uv.

2. Διαφοροποιήστε αυτή την ισότητα y"=u"v + uv"

3. Υποκατάστατο yκαι y"σε αυτή την εξίσωση: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)ή u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Ομαδοποιήστε τους όρους της εξίσωσης έτσι ώστε uβγάλτε το από αγκύλες:

5. Από την αγκύλη, εξισώνοντάς την με το μηδέν, βρείτε τη συνάρτηση

Αυτή είναι μια χωριστή εξίσωση:

Διαχωρίστε τις μεταβλητές και λάβετε:

Οπου . .

6. Αντικαταστήστε τη ληφθείσα τιμή vστην εξίσωση (από το στοιχείο 4):

και βρείτε τη συνάρτηση Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη εξίσωση:

7. Γράψτε τη γενική λύση με τη μορφή: , δηλ. .

Παράδειγμα 1

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στην εξίσωση y" = -2y +3 = 0αν y=1στο x=0

Λύση. Ας το λύσουμε με αντικατάσταση y=uv,.y"=u"v + uv"

Αντικατάσταση yκαι y"σε αυτή την εξίσωση, παίρνουμε

Ομαδοποιώντας τον δεύτερο και τον τρίτο όρο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, βγάζουμε τον κοινό παράγοντα u εκτός παρενθέσεων

Εξισώνουμε την έκφραση σε αγκύλες με μηδέν και, έχοντας λύσει την εξίσωση που προκύπτει, βρίσκουμε τη συνάρτηση v = v(x)

Πήραμε μια εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές. Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη αυτής της εξίσωσης: Βρείτε τη συνάρτηση v:

Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει vστην εξίσωση παίρνουμε:

Αυτή είναι μια διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση. Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης: Ας βρούμε τη συνάρτηση u = u(x,c) Ας βρούμε μια γενική λύση: Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης που να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y=1στο x=0:

III. Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης

3.1. Βασικές έννοιες και ορισμοί

Μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης είναι μια εξίσωση που περιέχει παράγωγα όχι υψηλότερα από τη δεύτερη τάξη. Στη γενική περίπτωση, η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης γράφεται ως: F(x,y,y,y") = 0

Η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι συνάρτηση της μορφής , η οποία περιλαμβάνει δύο αυθαίρετες σταθερές Γ1και Γ2.

Μια συγκεκριμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι μια λύση που λαμβάνεται από τη γενική για ορισμένες τιμές αυθαίρετων σταθερών Γ1και Γ2.

3.2. Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερές αναλογίες.

Γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστέςονομάζεται εξίσωση της μορφής y" + py" + qy = 0, όπου Πκαι qείναι σταθερές τιμές.

Αλγόριθμος επίλυσης ομογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

1. Γράψτε τη διαφορική εξίσωση με τη μορφή: y" + py" + qy = 0.

2. Να συνθέσετε τη χαρακτηριστική του εξίσωση, δηλώνοντας y"διά μέσου r2, y"διά μέσου r, yσε 1: r2 + pr +q = 0