Μάθημα «τομή και ένωση συνόλων». Εύρεση τομής και ένωσης αριθμητικών συνόλων, ποια είναι η τομή των συνόλων

Η λύση κάποιων μαθηματικών προβλημάτων μας αναγκάζει να βρούμε τομή και ένωση συνόλων αριθμών. Έχουμε ήδη εξοικειωθεί με τον αποδεκτό συμβολισμό των αριθμητικών συνόλων και σε αυτό το άρθρο θα ασχοληθούμε προσεκτικά και με παραδείγματα με την εύρεση της τομής και της ένωσης αριθμητικών συνόλων. Αυτές οι δεξιότητες θα είναι χρήσιμες, ιδιαίτερα, στη διαδικασία λύση ανισοτήτωνμε μία μεταβλητή και τα συστήματά τους.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Οι πιο απλές περιπτώσεις

Στις απλούστερες περιπτώσεις, εννοούμε την εύρεση της τομής και της ένωσης αριθμητικών συνόλων που είναι ένα σύνολο μεμονωμένων αριθμών. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αρκεί η χρήση ορισμοί τομής και ένωσης συνόλων.

Θυμηθείτε ότι

Ορισμός.

σχέσηδύο σύνολα είναι ένα σύνολο, κάθε στοιχείο του οποίου είναι ένα στοιχείο ενός από τα αρχικά σύνολα, και σημείο τομήςσύνολα είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα κοινά στοιχεία των αρχικών συνόλων.

Από αυτούς τους ορισμούς, είναι εύκολο να ληφθούν οι ακόλουθοι κανόνες για την εύρεση της τομής και της ένωσης συνόλων:

Για να δημιουργήσετε μια ένωση δύο αριθμητικών συνόλων που περιέχουν έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων, πρέπει να γράψετε όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και να προσθέσετε τα στοιχεία που λείπουν από το δεύτερο σε αυτά.
Για να συνθέσουμε την τομή δύο αριθμητικών συνόλων, είναι απαραίτητο να πάρουμε διαδοχικά τα στοιχεία του πρώτου συνόλου και να ελέγξουμε αν ανήκουν στο δεύτερο σύνολο, όσα από αυτά το κάνουν θα αποτελούν την τομή.

Πράγματι, το σύνολο που λαμβάνεται σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα θα αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα αρχικά σύνολα, επομένως θα είναι η ένωση αυτών των συνόλων εξ ορισμού. Και το σύνολο που συντίθεται σύμφωνα με τον δεύτερο κανόνα θα περιέχει όλα τα κοινά στοιχεία των αρχικών συνόλων, δηλαδή θα είναι η τομή των αρχικών συνόλων.

Ας εξετάσουμε σε συγκεκριμένα παραδείγματα την εφαρμογή των εκφωνημένων κανόνων για την εύρεση της τομής και της ένωσης συνόλων.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε την ένωση των συνόλων αριθμών A=(3, 5, 7, 12) και B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) . Γράφουμε όλα τα στοιχεία, για παράδειγμα, τα σύνολα A , έχουμε 3 , 5 , 7 , 12 , και προσθέτουμε σε αυτά τα στοιχεία που λείπουν από το σύνολο Β, δηλαδή 2 , 8 , 11 και 13 , με αποτέλεσμα να έχουμε ένα αριθμητικό σύνολο (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Δεν βλάπτει να παραγγείλετε τα στοιχεία του προκύπτοντος συνόλου, ως αποτέλεσμα παίρνουμε την επιθυμητή ένωση: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Τώρα ας βρούμε την τομή των δύο αριθμητικών συνόλων από το προηγούμενο παράδειγμα A=(3, 5, 7, 12) και B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) . Σύμφωνα με τον κανόνα, θα επαναλάβουμε διαδοχικά τα στοιχεία του πρώτου συνόλου Α και θα ελέγξουμε αν περιλαμβάνονται στο σύνολο Β. Παίρνουμε το πρώτο στοιχείο 3 , δεν ανήκει στο σύνολο Β , επομένως, δεν θα είναι ούτε στοιχείο της επιθυμητής τομής. Παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο του συνόλου A , αυτός είναι ο αριθμός 5 . Ανήκει στο σύνολο Β , άρα ανήκει και στην τομή των συνόλων Α και Β . Βρίσκεται λοιπόν το πρώτο στοιχείο της επιθυμητής τομής - ο αριθμός 5. Περνάμε στο τρίτο στοιχείο του συνόλου Α , αυτός είναι ο αριθμός 7 . Δεν ανήκει στο Β , άρα δεν ανήκει ούτε στη διασταύρωση. Τέλος, παραμένει το τελευταίο στοιχείο του συνόλου Α - ο αριθμός 12. Ανήκει στο σύνολο Β , επομένως είναι και στοιχείο της τομής. Άρα, η τομή των συνόλων A=(3, 5, 7, 12) και B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) είναι ένα σύνολο που αποτελείται από δύο στοιχεία 5 και 12, δηλαδή A∩B =(5, 12) .

Όπως προσέξατε, παραπάνω μιλήσαμε για την εύρεση της τομής και της ένωσης δύο αριθμητικών συνόλων. Όσον αφορά την τομή και την ένωση τριών ή περισσότερων συνόλων, η εύρεση της μπορεί να περιοριστεί στη διαδοχική εύρεση της τομής και της ένωσης δύο συνόλων. Για παράδειγμα, για να βρείτε την τομή τριών συνόλων A , B και D , μπορείτε πρώτα να βρείτε την τομή των A και B και μετά να βρείτε την τομή του αποτελέσματος με το σύνολο D . Και τώρα συγκεκριμένα: πάρτε τα αριθμητικά σύνολα A=(3, 9, 4, 3, 5, 21) , B=(2, 7, 9, 21) και D=(7, 9, 1, 3) και βρείτε τους διασταύρωση . Έχουμε A∩B=(9, 21) , και η τομή του συνόλου που προκύπτει με το σύνολο D είναι (9) . Έτσι, A∩B∩D=(9) .

Ωστόσο, στην πράξη, για να βρείτε τη διασταύρωση τριών, τεσσάρων κ.λπ. τα απλούστερα αριθμητικά σύνολα, που αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων αριθμών, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν κανόνες παρόμοιοι με τους παραπάνω κανόνες.

Έτσι, για να λάβετε την ένωση τριών ή περισσότερων συνόλων του καθορισμένου τύπου, είναι απαραίτητο να προσθέσετε τους αριθμούς που λείπουν του δεύτερου στους αριθμούς του πρώτου αριθμητικού συνόλου, να προσθέσετε τους αριθμούς που λείπουν από το τρίτο σύνολο στους καταγεγραμμένους αριθμούς , και ούτω καθεξής. Για να διευκρινίσουμε αυτό το σημείο, ας πάρουμε τα αριθμητικά σύνολα A=(1, 2) , B=(2, 3) και D=(1, 3, 4, 5) . Στα στοιχεία 1 και 2 του αριθμητικού συνόλου Α προσθέτουμε τον αριθμό 3 που λείπει από το σύνολο Β , παίρνουμε 1 , 2 , 3 , και σε αυτούς τους αριθμούς προσθέτουμε τους αριθμούς που λείπουν 4 και 5 του συνόλου D , ως αποτέλεσμα πάρτε την ένωση τριών συνόλων που χρειαζόμαστε: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5) .

Ως προς την εύρεση της τομής των τριών, τεσσάρων κ.λπ. αριθμητικά σύνολα που αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων αριθμών, πρέπει να περάσετε διαδοχικά τους αριθμούς του πρώτου συνόλου και να ελέγξετε εάν ο αριθμός που ελέγχεται ανήκει σε καθένα από τα άλλα σύνολα. Εάν ναι, τότε αυτός ο αριθμός είναι στοιχείο τομής, αν όχι, τότε δεν είναι. Εδώ σημειώνουμε μόνο ότι είναι σκόπιμο να ληφθεί ως πρώτο σύνολο το σύνολο με τον μικρότερο αριθμό στοιχείων. Για παράδειγμα, πάρτε τέσσερα αριθμητικά σύνολα A=(3, 1, 7, 12, 5, 2) , B=(1, 0, 2, 12) , D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) και βρείτε την τομή τους. Προφανώς, το σύνολο Β περιέχει τον μικρότερο αριθμό στοιχείων, οπότε για να βρούμε την τομή των αρχικών τεσσάρων συνόλων, θα πάρουμε τα στοιχεία του συνόλου Β και θα ελέγξουμε αν περιλαμβάνονται στα υπόλοιπα σύνολα. Έτσι, παίρνουμε το 1 , αυτός ο αριθμός είναι τα στοιχεία και των δύο συνόλων A , και D και E , άρα αυτό είναι το πρώτο στοιχείο της επιθυμητής τομής. Παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο του συνόλου Β, το οποίο είναι μηδέν. Αυτός ο αριθμός δεν είναι στοιχείο του συνόλου A , επομένως δεν θα είναι ούτε στοιχείο της τομής. Ελέγχουμε το τρίτο στοιχείο του συνόλου Β - τον αριθμό 2 . Αυτός ο αριθμός είναι στοιχείο όλων των άλλων συνόλων, επομένως, είναι το δεύτερο στοιχείο της τομής που βρέθηκε. Τέλος, παραμένει το τέταρτο στοιχείο του συνόλου Β. Αυτός ο αριθμός είναι 12, δεν είναι στοιχείο του συνόλου D, επομένως, δεν είναι ούτε στοιχείο της επιθυμητής τομής. Ως αποτέλεσμα, έχουμε A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Συντεταγμένα διαστήματα γραμμών και αριθμών ως ένωση των μερών τους

Στο παράδειγμά μας, έχουμε καταχωρήσεις

Και

για την τομή και την ένωση αριθμητικών συνόλων, αντίστοιχα.

Στη συνέχεια, απεικονίζεται μια άλλη γραμμή συντεταγμένων, είναι βολικό να την τοποθετήσετε κάτω από τις υπάρχουσες. Θα εμφανίσει την επιθυμητή διασταύρωση ή ένωση. Σε αυτή τη γραμμή συντεταγμένων, σημειώνονται όλα τα οριακά σημεία των αρχικών αριθμητικών συνόλων. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτά τα σημεία σημειώνονται πρώτα με παύλες, αργότερα, όταν διευκρινιστεί η φύση των σημείων με αυτές τις συντεταγμένες, οι παύλες θα αντικατασταθούν από σημεία διάτρησης ή μη. Στην περίπτωσή μας πρόκειται για σημεία με συντεταγμένες -3 και 7.
Εχουμε

και

Τα σημεία που απεικονίζονται στην κάτω γραμμή συντεταγμένων στο προηγούμενο βήμα του αλγορίθμου μας επιτρέπουν να θεωρήσουμε τη γραμμή συντεταγμένων ως ένα σύνολο αριθμητικών διαστημάτων και σημείων, τα οποία συζητήσαμε στο . Στην περίπτωσή μας, θεωρούμε τη γραμμή συντεταγμένων ως σύνολο από τα ακόλουθα πέντε αριθμητικά σύνολα: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

Και μένει μόνο να ελέγξουμε με τη σειρά μας την εμφάνιση καθενός από τα καταγεγραμμένα σύνολα στην επιθυμητή διασταύρωση ή ένωση. Όλα τα συμπεράσματα που εξάγονται σημειώνονται βήμα προς βήμα στην κάτω γραμμή συντεταγμένων: εάν το κενό περιλαμβάνεται στην τομή ή την ένωση, τότε η εκκόλαψη εμφανίζεται πάνω από αυτό, εάν το σημείο περιλαμβάνεται στη διασταύρωση ή την ένωση, τότε η διαδρομή που το υποδηλώνει είναι αντικαθίσταται από ένα συμπαγές σημείο, εάν δεν περιλαμβάνεται, τότε το κάνουμε διάτρητο. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τηρούνται οι ακόλουθοι κανόνες:

ένα κενό περιλαμβάνεται στη διασταύρωση εάν περιλαμβάνεται ταυτόχρονα και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β (με άλλα λόγια, εάν υπάρχει μια καταπακτή πάνω από αυτό το κενό και στις δύο ανώτερες γραμμές συντεταγμένων που αντιστοιχούν στα σύνολα Α και Β).
ένα σημείο περιλαμβάνεται στην τομή εάν εισέρχεται ταυτόχρονα και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β (με άλλα λόγια, εάν αυτό το σημείο δεν είναι τρυπημένο ή ένα εσωτερικό σημείο οποιουδήποτε διαστήματος και των δύο αριθμητικών συνόλων Α και Β).
ένα κενό περιλαμβάνεται στην ένωση εάν περιλαμβάνεται σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα A ή B (με άλλα λόγια, εάν υπάρχει μια καταπακτή πάνω από αυτό το κενό τουλάχιστον πάνω από μία από τις γραμμές συντεταγμένων που αντιστοιχούν στα σύνολα A και B ) ;
ένα σημείο περιλαμβάνεται στην ένωση εάν περιλαμβάνεται σε τουλάχιστον ένα από τα σετ Α ή Β (με άλλα λόγια, εάν αυτό το σημείο δεν είναι τρυπημένο ή ένα εσωτερικό σημείο οποιουδήποτε διαστήματος τουλάχιστον ενός από τα σετ Α και Β) .

Με απλά λόγια, η τομή των αριθμητικών συνόλων Α και Β είναι η ένωση όλων των αριθμητικών διαστημάτων των συνόλων Α και Β που έχουν εκκόλαψη ταυτόχρονα, και όλων των επιμέρους σημείων που ανήκουν και στο Α και στο Β ταυτόχρονα. Και η ένωση δύο αριθμητικών συνόλων είναι η ένωση όλων των αριθμητικών κενών στα οποία τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Α ή Β έχει καταπακτή, καθώς και όλα τα μεμονωμένα σημεία που δεν έχουν τρυπηθεί.

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας. Ας ολοκληρώσουμε την εύρεση της τομής των συνόλων. Για να γίνει αυτό, θα ελέγξουμε διαδοχικά τα σύνολα (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Ξεκινάμε με (−∞, −3) , για λόγους σαφήνειας, επιλέξτε το στο σχέδιο:

Δεν συμπεριλαμβάνουμε αυτό το κενό στην επιθυμητή διασταύρωση, αφού δεν περιλαμβάνεται ούτε στο Α ούτε στο Β (δεν υπάρχει σκίαση πάνω από αυτό το κενό). Έτσι, σε αυτό το βήμα, δεν σημειώνουμε τίποτα στο σχέδιό μας και διατηρεί την αρχική του εμφάνιση:

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο σετ (−3) . Ο αριθμός −3 ανήκει στο σύνολο Β (είναι ένα μη διάτρητο σημείο), αλλά προφανώς δεν ανήκει στο σύνολο Α και επομένως δεν ανήκει ούτε στην επιθυμητή τομή. Επομένως, στην κάτω γραμμή συντεταγμένων, κάνουμε ένα σημείο με τη συντεταγμένη −3 με διάτρηση:

Ελέγχουμε το ακόλουθο σύνολο (−3, 7) .

Περιλαμβάνεται στο σετ Β (υπάρχει εκκόλαψη σε αυτό το διάστημα), αλλά δεν περιλαμβάνεται στο σετ Α (δεν υπάρχει εκκόλαψη σε αυτό το διάστημα), επομένως, δεν θα συμπεριληφθεί ούτε στη διασταύρωση. Επομένως, δεν σημειώνουμε τίποτα στην κάτω γραμμή συντεταγμένων:

Ας περάσουμε στο σετ (7) . Περιλαμβάνεται στο σύνολο Β (το σημείο με συντεταγμένη 7 είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος [−3, +∞)), αλλά δεν περιλαμβάνεται στο σύνολο Α (αυτό το σημείο είναι τρυπημένο), επομένως δεν θα συμπεριληφθεί στο είτε την επιθυμητή διασταύρωση. Σημειώστε το σημείο με τη συντεταγμένη 7 ως διάτρητο:

Απομένει να ελέγξουμε το διάστημα (7, +∞) .

Μπαίνει και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β (υπάρχει μια καταπακτή πάνω από αυτό το κενό), επομένως μπαίνει και στη διασταύρωση. Βάζουμε την εκκόλαψη σε αυτό το κενό:

Ως αποτέλεσμα, στην κάτω γραμμή συντεταγμένων, πήραμε την εικόνα της επιθυμητής τομής των συνόλων A=(7, +∞) και B=[−3, +∞) . Προφανώς, είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών μεγαλύτερου του επτά, δηλαδή A∩B=(7, +∞) .

Ας βρούμε τώρα την ένωση των συνόλων Α και Β . Αρχίζουμε να ελέγχουμε διαδοχικά τα σύνολα (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) για τη συμπερίληψή τους στην επιθυμητή ένωση δύο αριθμητικών συνόλων Α και Β. .

Το πρώτο σύνολο (−∞, −3) δεν περιλαμβάνεται ούτε στο Α ούτε στο Β (δεν υπάρχει σκίαση σε αυτό το κενό), επομένως αυτό το σύνολο δεν θα συμπεριληφθεί ούτε στην επιθυμητή ένωση:

Το σύνολο (−3) περιλαμβάνεται στο σύνολο Β , άρα θα συμπεριληφθεί και στην ένωση των συνόλων Α και Β :

Το διάστημα (−3, 7) περιλαμβάνεται επίσης στο Β (υπάρχει μια καταπακτή σε αυτό το διάστημα), επομένως, θα είναι αναπόσπαστο μέρος της επιθυμητής ένωσης:

Το σύνολο (7) θα συμπεριληφθεί επίσης στην επιθυμητή ένωση, καθώς περιλαμβάνεται στο αριθμητικό σύνολο Β:

Τέλος, το (7, +∞) περιλαμβάνεται τόσο στο σύνολο Α όσο και στο σύνολο Β, επομένως θα συμπεριληφθεί και στην επιθυμητή ένωση:

Από την εικόνα που προκύπτει από την ένωση των συνόλων Α και Β, συμπεραίνουμε ότι A∩B=[−3, +∞) .

Έχοντας αποκτήσει κάποια πρακτική εμπειρία, θα είναι δυνατό να ελεγχθεί προφορικά η εμφάνιση μεμονωμένων κενών και αριθμών στη σύνθεση της τομής ή της ένωσης. Χάρη σε αυτό, θα μπορείτε να καταγράψετε το αποτέλεσμα πολύ γρήγορα. Θα δείξουμε πώς θα μοιάζει η λύση του παραδείγματος, αν δεν δοθεί εξήγηση.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την τομή και την ένωση των συνόλων A=(−∞,−15)∪(−5)∪∪(12)και B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Λύση.

Ας απεικονίσουμε αυτά τα αριθμητικά σύνολα σε γραμμές συντεταγμένων, αυτό θα μας επιτρέψει να λάβουμε εικόνες της τομής και της ένωσής τους:

Απάντηση:

A∩B=(−20,−15)∪(−5)∪(2, 3)και A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

Είναι σαφές ότι με τη σωστή κατανόηση, ο παραπάνω αλγόριθμος μπορεί να βελτιστοποιηθεί. Για παράδειγμα, κατά την εύρεση της τομής των συνόλων, δεν χρειάζεται να ελέγξετε όλα τα διαστήματα και τα σύνολα που αποτελούνται από τους μεμονωμένους αριθμούς τους, στα οποία διαιρούνται τα οριακά σημεία των αρχικών συνόλων με τη γραμμή συντεταγμένων. Μπορείτε να περιοριστείτε στον έλεγχο μόνο εκείνων των διαστημάτων και των αριθμών που συνθέτουν το σύνολο Α ή Β. Τα υπόλοιπα κενά δεν θα συμπεριληφθούν στη διασταύρωση, καθώς δεν ανήκουν σε κάποιο από τα αρχικά σύνολα. Ας επεξηγήσουμε αυτά που ειπώθηκαν αναλύοντας τη λύση του παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Ποια είναι η τομή των συνόλων αριθμών A=(−2)∪(1, 5) και B=[−4, 3] ;

Λύση.

Ας κατασκευάσουμε γεωμετρικές εικόνες των αριθμητικών συνόλων Α και Β:

Τα οριακά σημεία των δεδομένων συνόλων χωρίζουν την πραγματική γραμμή στα ακόλουθα σύνολα: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Είναι εύκολο να δούμε ότι το αριθμητικό σύνολο Α μπορεί να «συναρμολογηθεί» από τα σύνολα που μόλις γράφτηκαν συνδυάζοντας τα (−2), (1, 3), (3) και (3, 5) . Για να βρεθεί η τομή των συνόλων Α και Β, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία σύνολα περιλαμβάνονται στο σύνολο Β. Όσα από αυτά περιλαμβάνονται στο Β θα σχηματίσουν την επιθυμητή διασταύρωση. Ας κάνουμε τον κατάλληλο έλεγχο.

Προφανώς, το (−2) περιλαμβάνεται στο σύνολο Β (καθώς το σημείο με συντεταγμένη −2 είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος [−4, 3]) . Το διάστημα (1, 3) περιλαμβάνεται επίσης στο Β (υπάρχει μια καταπακτή από πάνω). Το σύνολο (3) περιλαμβάνεται επίσης στο Β (το σημείο με τη συντεταγμένη 3 είναι οριακό και μη τρυπημένο σύνολο Β). Και το διάστημα (3, 5) δεν περιλαμβάνεται στο αριθμητικό σύνολο Β (δεν υπάρχει σκίαση πάνω από αυτό). Έχοντας σημειώσει τα συμπεράσματα που εξάγονται στο σχέδιο, θα λάβει την ακόλουθη μορφή

Έτσι, η επιθυμητή τομή των δύο αρχικών αριθμητικών συνόλων Α και Β είναι η ένωση των ακόλουθων συνόλων (−2) , (1, 3) , (3) , τα οποία μπορούν να γραφούν ως (−2)∪(1, 3 ] .

Απάντηση:

{−2}∪(1, 3] .

Απομένει μόνο να συζητήσουμε πώς να βρούμε την τομή και την ένωση τριών ή περισσότερων αριθμητικών συνόλων. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να περιοριστεί στη διαδοχική εύρεση της τομής και της ένωσης δύο συνόλων: πρώτα το πρώτο με το δεύτερο, μετά το αποτέλεσμα που προκύπτει με το τρίτο, μετά το αποτέλεσμα που προκύπτει με το τέταρτο και ούτω καθεξής. Και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν αλγόριθμο παρόμοιο με αυτόν που έχει ήδη εκφραστεί. Η μόνη διαφορά του είναι ότι ο έλεγχος για την εμφάνιση κενών και συνόλων που αποτελούνται από μεμονωμένους αριθμούς πρέπει να πραγματοποιείται όχι για δύο, αλλά για όλα τα αρχικά σετ. Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης της τομής και της ένωσης τριών συνόλων.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την τομή και την ένωση τριών αριθμητικών συνόλων A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Λύση.

Πρώτα, ως συνήθως, απεικονίζουμε τα σύνολα αριθμών στις γραμμές συντεταγμένων και βάζουμε μια σγουρή αγκύλα στα αριστερά τους, που δηλώνει τη διασταύρωση, και μια αγκύλη για ένωση, και παρακάτω σχεδιάζουμε τις γραμμές συντεταγμένων με τα οριακά σημεία του σύνολα αριθμών που σημειώνονται με πινελιές:

Άρα η γραμμή συντεταγμένων παριστάνεται με αριθμητικά σύνολα (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) , ( 40) , (40,∞) .

Ξεκινάμε την αναζήτηση για τη διασταύρωση, για αυτό εξετάζουμε με τη σειρά μας εάν τα καταγεγραμμένα σύνολα περιλαμβάνονται σε καθένα από τα σύνολα A , B και D . Και τα τρία αρχικά αριθμητικά σύνολα περιλαμβάνουν το διάστημα (−3, 12) και το σύνολο (12) . Αποτελούν την επιθυμητή τομή των συνόλων Α , Β και Δ . Έχουμε A∩B∩D=(−3, 12] .

Με τη σειρά της, η απαιτούμενη ένωση θα αποτελείται από τα σύνολα (−∞, −3) (περιλαμβάνεται στο A ), (−3) (περιλαμβάνεται στο A ), (−3, 12) (περιλαμβάνεται στο A ), (12) (περιλαμβάνεται στο A ), (12, 25) (περιλαμβάνεται στο B ), (25) (περιλαμβάνεται στο B ), και (40) (περιλαμβάνεται στο D ). Έτσι, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Απάντηση:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι η τομή των αριθμητικών συνόλων είναι συχνά το κενό σύνολο. Αυτό αντιστοιχεί στις περιπτώσεις που τα αρχικά σύνολα δεν έχουν στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα σε όλα.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Κανένα από τα ηχογραφημένα σύνολα δεν περιλαμβάνεται ταυτόχρονα στα τέσσερα αρχικά σετ, πράγμα που σημαίνει ότι η τομή των συνόλων A , B , D και E είναι ένα κενό σύνολο.

Απάντηση:

A∩B∩D∩E=∅.

Βιβλιογραφία.

Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Μόρντκοβιτς Α. Γ.Αλγεβρα. Βαθμός 9 Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13η έκδ., Sr. - Μ.: Μνημοσύνη, 2011. - 222 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01752-3.

Η λύση ορισμένων μαθηματικών προβλημάτων περιλαμβάνει την εύρεση της τομής και της ένωσης αριθμητικών συνόλων. Στο παρακάτω άρθρο, θα εξετάσουμε λεπτομερώς αυτές τις ενέργειες, συμπεριλαμβανομένων συγκεκριμένων παραδειγμάτων. Η επίκτητη δεξιότητα θα είναι εφαρμόσιμη στην επίλυση ανισοτήτων μιας μεταβλητής και συστημάτων ανισοτήτων.

Οι πιο απλές περιπτώσεις

Όταν μιλάμε για τις απλούστερες περιπτώσεις στο θέμα που εξετάζουμε, εννοούμε την εύρεση της τομής και της ένωσης αριθμητικών συνόλων, που είναι ένα σύνολο μεμονωμένων αριθμών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, θα αρκεί η χρήση του ορισμού της τομής και της ένωσης συνόλων.

Ορισμός 1

Ένωση δύο σετείναι ένα σύνολο στο οποίο κάθε στοιχείο είναι ένα στοιχείο ενός από τα αρχικά σύνολα.

Διασταύρωση πολλώνείναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλα τα κοινά στοιχεία των αρχικών συνόλων.

Οι ακόλουθοι κανόνες προκύπτουν λογικά από αυτούς τους ορισμούς:

Για να δημιουργήσετε μια ένωση δύο αριθμητικών συνόλων με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων, είναι απαραίτητο να γράψετε όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και να προσθέσετε σε αυτά τα στοιχεία που λείπουν από το δεύτερο σύνολο.

Για να συνθέσετε την τομή δύο αριθμητικών συνόλων, είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα στοιχεία του πρώτου συνόλου ένα προς ένα αν ανήκουν στο δεύτερο σύνολο. Όσες από αυτές αποδειχθεί ότι ανήκουν και στα δύο σύνολα και θα αποτελέσουν τη διασταύρωση.

Το σύνολο που λαμβάνεται σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα θα περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα αρχικά σύνολα, δηλ. γίνεται εξ ορισμού η ένωση αυτών των συνόλων.

Το σύνολο που λαμβάνεται σύμφωνα με τον δεύτερο κανόνα θα περιλαμβάνει όλα τα κοινά στοιχεία των αρχικών συνόλων, δηλ. γίνεται η τομή των αρχικών συνόλων.

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή των ληφθέντων κανόνων σε πρακτικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Αρχικά δεδομένα: αριθμητικά σύνολα A = ( 3 , 5 , 7 , 12 ) και B = ( 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 ) . Είναι απαραίτητο να βρεθεί η ένωση και τομή των αρχικών συνόλων.

Λύση

Ας ορίσουμε την ένωση των αρχικών συνόλων. Ας γράψουμε όλα τα στοιχεία, για παράδειγμα, του συνόλου Α: 3 , 5 , 7 , 12 . Ας προσθέσουμε σε αυτά τα στοιχεία που λείπουν από το σύνολο Β: 2 , 8 , 11 και 13 . Τέλος έχουμε ένα αριθμητικό σύνολο: ( 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 ) . Ας διατάξουμε τα στοιχεία του συνόλου που προκύπτει και πάρουμε την επιθυμητή ένωση: А ∪ B = ( 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 ) .
Ας ορίσουμε την τομή των αρχικών συνόλων. Σύμφωνα με τον κανόνα, ας περάσουμε ένα προς ένα όλα τα στοιχεία του πρώτου συνόλου Α και ας ελέγξουμε αν περιλαμβάνονται στο σύνολο Β . Εξετάστε το πρώτο στοιχείο - τον αριθμό 3: δεν ανήκει στο σύνολο Β και επομένως δεν θα είναι στοιχείο της επιθυμητής τομής. Ας ελέγξουμε το δεύτερο στοιχείο του συνόλου A , δηλ. αριθμός 5: ανήκει στο σύνολο Β και επομένως θα γίνει το πρώτο στοιχείο της επιθυμητής τομής. Το τρίτο στοιχείο του συνόλου Α είναι ο αριθμός 7 . Δεν είναι στοιχείο του συνόλου Β και, επομένως, δεν είναι στοιχείο της τομής. Θεωρήστε το τελευταίο στοιχείο του συνόλου Α: τον αριθμό 1 . Ανήκει επίσης στο σύνολο B και, κατά συνέπεια, θα γίνει ένα από τα στοιχεία τομής. Έτσι, η τομή των αρχικών συνόλων είναι ένα σύνολο που αποτελείται από δύο στοιχεία: 5 και 12, δηλ. A ∩ B = ( 5 , 12 ) .

Απάντηση: η ένωση των αρχικών συνόλων - А ∪ B = ( 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 ); η τομή των αρχικών συνόλων - A ∩ B = ( 5 , 12 ) .

Όλα τα παραπάνω ισχύουν για την εργασία με δύο σετ. Όσον αφορά την εύρεση της τομής και της ένωσης τριών ή περισσότερων συνόλων, η λύση αυτού του προβλήματος μπορεί να περιοριστεί στη διαδοχική εύρεση της τομής και της ένωσης δύο συνόλων. Για παράδειγμα, για να προσδιοριστεί η τομή τριών συνόλων A , B και C , είναι δυνατό να προσδιοριστεί πρώτα η τομή των A και B , και στη συνέχεια να βρεθεί η τομή του ληφθέντος αποτελέσματος με το σύνολο C . Για παράδειγμα, μοιάζει με αυτό: ας δοθούν τα αριθμητικά σύνολα: A = ( 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 ), B = ( 2 , 7 , 9 , 21 ) και C = ( 7 , 9 , 1, 3). Η τομή των δύο πρώτων συνόλων θα είναι: A ∩ B = ( 9 , 21 ) , και η τομή του συνόλου που προκύπτει με το σύνολο A ∩ B = ( 9 , 21 ) . Ως αποτέλεσμα: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Ωστόσο, στην πράξη, για να βρεθεί η ένωση και η τομή τριών ή περισσότερων απλών αριθμητικών συνόλων, τα οποία αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων αριθμών, είναι πιο βολικό να εφαρμόζονται κανόνες παρόμοιοι με αυτούς που αναφέρονται παραπάνω.

Δηλαδή, για να βρείτε την ένωση τριών ή περισσότερων συνόλων του καθορισμένου τύπου, είναι απαραίτητο να προσθέσετε τα στοιχεία που λείπουν από το δεύτερο σύνολο στα στοιχεία του πρώτου συνόλου, στη συνέχεια τα στοιχεία που λείπουν του τρίτου και ούτω καθεξής. Για διευκρίνιση, ας πάρουμε αριθμητικά σύνολα: A = ( 1 , 2 ) , B = ( 2 , 3 ) , C = ( 1 , 3 , 4 , 5 ) . Τα στοιχεία του πρώτου συνόλου Α θα συμπληρωθούν με τον αριθμό 3 από το σύνολο Β και στη συνέχεια τους αριθμούς 4 και 5 που λείπουν από το σύνολο Γ. Έτσι, η ένωση των αρχικών συνόλων: A ∪ B ∪ C = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) .

Όσον αφορά την επίλυση του προβλήματος της εύρεσης της τομής τριών ή περισσότερων αριθμητικών συνόλων, τα οποία αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων αριθμών, είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν οι αριθμοί του πρώτου συνόλου έναν προς έναν και να ελέγξετε βήμα προς βήμα εάν ο εξεταζόμενος αριθμός ανήκει σε καθένα από τα υπόλοιπα σύνολα. Για διευκρίνιση, εξετάστε τα αριθμητικά σύνολα:

A = ( 3 , 1 , 7 , 12 , 5 , 2 ) B = ( 1 , 0 , 2 , 12 ) C = ( 7 , 11 , 2 , 1 , 6 ) D = ( 1 , 7 , 15 , 8 , 2, 6).

Βρείτε την τομή των αρχικών συνόλων. Προφανώς, το σύνολο Β έχει τον μικρότερο αριθμό στοιχείων, οπότε θα τα ελέγξουμε για να διαπιστώσουμε αν περιλαμβάνονται στα υπόλοιπα σύνολα. Ο αριθμός 1 του συνόλου Β είναι στοιχείο άλλων συνόλων και επομένως είναι το πρώτο στοιχείο της επιθυμητής τομής. Ο δεύτερος αριθμός του συνόλου Β - ο αριθμός 0 - δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α και, επομένως, δεν θα γίνει στοιχείο της τομής. Συνεχίζουμε να ελέγχουμε: ο αριθμός 2 του συνόλου Β είναι στοιχείο άλλων συνόλων και γίνεται άλλο μέρος της τομής. Τέλος, το τελευταίο στοιχείο του συνόλου Β, ο αριθμός 12, δεν είναι στοιχείο του συνόλου Δ και δεν είναι στοιχείο της τομής. Έτσι, παίρνουμε: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

Συντεταγμένα διαστήματα γραμμών και αριθμών ως ένωση των μερών τους

Ας σημειώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή συντεταγμένων, για παράδειγμα, με τη συντεταγμένη - 5 , 4 . Το καθορισμένο σημείο θα χωρίσει τη γραμμή συντεταγμένων σε δύο αριθμητικά διαστήματα - δύο ανοιχτές ακτίνες (-∞, -5.4) και (-5.4, +∞) και το ίδιο το σημείο. Είναι εύκολο να δούμε ότι, σύμφωνα με τον ορισμό της ένωσης συνόλων, οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός θα ανήκει στην ένωση (- ∞ , - 5 , 4) ∪ ( - 5 , 4 ) ∪ (- 5 , 4 , + ∞ ) . Εκείνοι. Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών R = (- ∞ ; + ∞) μπορεί να αναπαρασταθεί ως η ένωση που λήφθηκε παραπάνω. Αντίστροφα, η ένωση που προκύπτει θα είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Σημειώστε ότι είναι δυνατό να προσαρτήσετε ένα δεδομένο σημείο σε οποιαδήποτε από τις ανοιχτές ακτίνες, τότε θα γίνει μια απλή αριθμητική ακτίνα (- ∞ , - 5 , 4 ] ή [ - 5 , 4 , + ∞) . Σε αυτήν την περίπτωση, το σύνολο R θα περιγραφεί από τις ακόλουθες ενώσεις: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) ή (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞) . .

Αυτός ο συλλογισμός ισχύει όχι μόνο σε σχέση με ένα σημείο της γραμμής συντεταγμένων, αλλά και σε σχέση με ένα σημείο σε οποιοδήποτε αριθμητικό διάστημα. Δηλαδή, αν πάρουμε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο οποιουδήποτε αυθαίρετου διαστήματος, θα είναι δυνατό να το αναπαραστήσουμε ως την ένωση των μερών του που προκύπτει μετά τη διαίρεση με ένα δεδομένο σημείο, και το ίδιο το σημείο. Για παράδειγμα, δίνεται ένα μισό διάστημα (7 , 32 ] και ένα σημείο 13 που ανήκει σε αυτό το αριθμητικό διάστημα. Τότε το δεδομένο μισό διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση (7 , 13) ∪ ( 13 ) ∪ (13 , 32 ] Μπορούμε να συμπεριλάβουμε τον αριθμό 13 σε οποιοδήποτε από τα διαστήματα και στη συνέχεια το δεδομένο σύνολο (7 , 32 ] μπορεί να αναπαρασταθεί ως (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] ή (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] Μπορούμε επίσης να πάρουμε ως αρχικά δεδομένα όχι εσωτερικό σημείο του δεδομένου ημιδιαστήματος, και το τέλος του (σημείο με συντεταγμένη 32), τότε το δεδομένο μισό διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως η ένωση του διαστήματος (7, 32) και ένα σύνολο ενός στοιχείου ( 32 ) Έτσι: (7, 32 ] = (7 , 32) ∪ ( 32 ) .

Μια άλλη επιλογή: όταν λαμβάνονται όχι ένα, αλλά πολλά σημεία σε μια γραμμή συντεταγμένων ή σε ένα αριθμητικό διάστημα. Αυτά τα σημεία θα διαιρούν τη γραμμή συντεταγμένων ή το αριθμητικό διάστημα σε πολλά αριθμητικά διαστήματα και η ένωση αυτών των διαστημάτων θα σχηματίσει τα αρχικά σύνολα. Για παράδειγμα, τα σημεία με συντεταγμένες - 6 , 0 , 8 δίνονται στη γραμμή συντεταγμένων, η οποία θα τη χωρίσει σε διαστήματα: (- ∞ , - 6) , (- 6 , 0) , (0 , 8) , (8 , + ∞) . Στην περίπτωση αυτή, το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, η προσωποποίηση του οποίου είναι η γραμμή συντεταγμένων, μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση των λαμβανόμενων διαστημάτων και των υποδεικνυόμενων αριθμών:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Είναι δυνατόν να κατανοήσουμε ξεκάθαρα το θέμα της εύρεσης της τομής και της ένωσης συνόλων εάν χρησιμοποιήσουμε εικόνες δεδομένων συνόλων στη γραμμή συντεταγμένων (εκτός αν μιλάμε για τις απλούστερες περιπτώσεις που εξετάστηκαν στην αρχή του άρθρου).

Θα εξετάσουμε μια γενική προσέγγιση που μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε το αποτέλεσμα της τομής και της ένωσης δύο αριθμητικών συνόλων. Περιγράφουμε την προσέγγιση με τη μορφή αλγορίθμου. Θα εξετάσουμε τα βήματά του σταδιακά, δίνοντας κάθε φορά το επόμενο στάδιο επίλυσης ενός συγκεκριμένου παραδείγματος.

Παράδειγμα 2

Αρχικά δεδομένα: δεδομένα αριθμητικά σύνολα A = (7 , + ∞) και B = [ - 3 , + ∞) . Είναι απαραίτητο να βρεθεί η τομή και η ένωση αυτών των συνόλων.

Λύση

Ας απεικονίσουμε τα δεδομένα αριθμητικά σύνολα στις γραμμές συντεταγμένων. Πρέπει να τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο. Για ευκολία, είναι συνηθισμένο να υποθέσουμε ότι τα σημεία αναφοράς των δεδομένων συνόλων συμπίπτουν και η θέση των σημείων σε σχέση μεταξύ τους παραμένει αμετάβλητη: κάθε σημείο με μεγαλύτερη συντεταγμένη βρίσκεται στα δεξιά ενός σημείου με μικρότερη συντεταγμένη. Επιπλέον, αν μας ενδιαφέρει η ένωση συνόλων, τότε οι γραμμές συντεταγμένων συνδυάζονται στα αριστερά με μια αγκύλη του συνόλου. εάν η τομή παρουσιάζει ενδιαφέρον, τότε από το σγουρό στήριγμα του συστήματος.

Στο παράδειγμά μας, για να καταγράψουμε την τομή και την ένωση αριθμητικών συνόλων, έχουμε: και

Ας σχεδιάσουμε μια ακόμη γραμμή συντεταγμένων, τοποθετώντας την κάτω από τις υπάρχουσες. Θα χρειαστεί για να εμφανιστεί η επιθυμητή διασταύρωση ή ένωση. Σε αυτήν τη γραμμή συντεταγμένων, σημειώνονται όλα τα οριακά σημεία των αρχικών αριθμητικών συνόλων: πρώτα, με παύλες και αργότερα, αφού διευκρινιστεί η φύση των σημείων με αυτές τις συντεταγμένες, οι παύλες θα αντικατασταθούν από τρυπημένα ή μη σημεία. Στο παράδειγμά μας, αυτά είναι σημεία με συντεταγμένες - 3 και 7.

και

Τα σημεία που εμφανίζονται στην κάτω γραμμή συντεταγμένων στο προηγούμενο βήμα του αλγορίθμου καθιστούν δυνατή την εξέταση της γραμμής συντεταγμένων ως ένα σύνολο αριθμητικών διαστημάτων και σημείων (μιλήσαμε για αυτό παραπάνω). Στο παράδειγμά μας, αντιπροσωπεύουμε τη γραμμή συντεταγμένων ως ένα σύνολο πέντε αριθμητικών συνόλων: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) .

Τώρα είναι απαραίτητο να ελέγξετε με τη σειρά εάν κάθε ένα από τα καταγεγραμμένα σύνολα ανήκει στην επιθυμητή διασταύρωση ή ένωση. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν σημειώνονται σταδιακά στην κάτω γραμμή συντεταγμένων: όταν το κενό είναι μέρος μιας διασταύρωσης ή ένωσης, μια καταπακτή σχεδιάζεται πάνω από αυτό. Όταν μια κουκκίδα εισέρχεται σε μια τομή ή ένωση, η διαδρομή αντικαθίσταται από μια συμπαγή κουκκίδα. εάν το σημείο δεν είναι μέρος τομής ή ένωσης, γίνεται διάτρητο. Σε αυτές τις ενέργειες, πρέπει να τηρείτε τους ακόλουθους κανόνες:

Το κενό γίνεται μέρος της τομής εάν είναι ταυτόχρονα μέρος του συνόλου Α και του συνόλου Β (ή με άλλα λόγια, εάν υπάρχει μια καταπακτή πάνω από αυτό το κενό και στις δύο γραμμές συντεταγμένων που αντιπροσωπεύουν τα σύνολα Α και Β).

Ένα σημείο γίνεται μέρος της τομής εάν είναι ταυτόχρονα μέρος καθενός από τα σύνολα Α και Β (με άλλα λόγια, εάν το σημείο δεν είναι τρυπημένο ή εσωτερικό σημείο οποιουδήποτε διαστήματος και των δύο αριθμητικών συνόλων Α και Β).

Το κενό γίνεται μέρος της ένωσης εάν είναι μέρος τουλάχιστον ενός από τα σύνολα Α ή Β (με άλλα λόγια, εάν υπάρχει μια καταπακτή πάνω από αυτό το κενό σε τουλάχιστον μία από τις γραμμές συντεταγμένων που αντιπροσωπεύουν τα σύνολα Α και Β .

Ένα σημείο γίνεται μέρος της ένωσης αν είναι μέρος τουλάχιστον ενός από τα σύνολα Α και Β (με άλλα λόγια, το σημείο είναι ένα μη τρυπημένο ή εσωτερικό σημείο οποιουδήποτε διαστήματος τουλάχιστον ενός από τα σύνολα Α και ΣΙ).

Συνοπτικά: η τομή των συνόλων αριθμών Α και Β είναι η τομή όλων των αριθμητικών κενών των συνόλων Α και Β, πάνω από τα οποία υπάρχει ταυτόχρονα η εκκόλαψη, και όλων των επιμέρους σημείων που ανήκουν τόσο στο σύνολο Α όσο και στο σύνολο Β. Η ένωση των συνόλων αριθμών Α και Β είναι η ένωση όλων των αριθμητικών κενών, πάνω από τα οποία υπάρχει εκκόλαψη για τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Α ή Β, καθώς και για όλα τα μεμονωμένα σημεία χωρίς διάτρηση.

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα και ας ορίσουμε την τομή των δεδομένων συνόλων. Για να το κάνετε αυτό, ελέγξτε τα σύνολα ένα προς ένα: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . Ας ξεκινήσουμε με το σύνολο (- ∞ , - 3) , τονίζοντας το ξεκάθαρα στο σχέδιο:

Αυτό το κενό δεν θα συμπεριληφθεί στη διασταύρωση επειδή δεν αποτελεί μέρος ούτε του συνόλου Α ούτε του συνόλου Β (χωρίς σκίαση). Και έτσι το σχέδιό μας διατηρεί την αρχική του εμφάνιση:

Θεωρήστε το ακόλουθο σύνολο (-3). Ο αριθμός - 3 είναι μέρος του συνόλου Β (σημείο χωρίς διάτρηση), αλλά δεν είναι μέρος του συνόλου Α και επομένως δεν θα γίνει μέρος της επιθυμητής τομής. Αντίστοιχα, στην κάτω γραμμή συντεταγμένων, σημειώνουμε το σημείο με συντεταγμένες - 3 με διάτρηση:

Αξιολογούμε το ακόλουθο σύνολο (- 3 , 7) .

Είναι μέρος του σετ Β (υπάρχει εκκόλαψη πάνω από το διάστημα), αλλά δεν περιλαμβάνεται στο σετ Α (δεν υπάρχει εκκόλαψη πάνω από το διάστημα): δεν θα συμπεριληφθεί στην επιθυμητή διασταύρωση, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει νέα Τα σημάδια εμφανίζονται στην κάτω γραμμή συντεταγμένων:

Το επόμενο σετ για έλεγχο είναι το (7). Είναι μέρος του συνόλου Β (το σημείο με συντεταγμένη 7 είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος [ - 3 , + ∞)), αλλά δεν είναι μέρος του συνόλου Α (το διάτρητο σημείο), επομένως το υπό εξέταση διάστημα θα να μην γίνει μέρος της επιθυμητής διασταύρωσης. Σημειώστε το σημείο με τη συντεταγμένη 7 όπως διατρήθηκε:

Και τέλος, ελέγχουμε το υπόλοιπο διάστημα (7 , + ∞) .

Το κενό περιλαμβάνεται και στα δύο σετ Α και Β (υπάρχει μια καταπακτή πάνω από το κενό), επομένως, γίνεται μέρος της τομής. Εκκολάπτουμε μια θέση πάνω από το εξεταζόμενο διάστημα:

Τελικά, μια εικόνα της επιθυμητής τομής των δεδομένων συνόλων σχηματίστηκε στην κάτω γραμμή συντεταγμένων. Είναι προφανές ότι είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών μεγαλύτερο από τον αριθμό 7 , δηλαδή: A ∩ B = (7 , + ∞) .

Το επόμενο βήμα είναι να ορίσουμε την ένωση των δεδομένων συνόλων Α και Β. Ελέγχουμε διαδοχικά τα σύνολα (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) , διαπιστώνοντας το γεγονός της συμπερίληψής τους ή μη στην επιθυμητή ένωση .

Το πρώτο σετ (- ∞ , - 3) δεν αποτελεί μέρος κανενός από τα αρχικά σετ Α και Β (δεν υπάρχουν καταπακτές πάνω από τα κενά), επομένως, το σετ (- ∞ , - 3) δεν θα συμπεριληφθεί στο επιθυμητό ένωση:

Το σύνολο ( - 3 ) περιλαμβάνεται στο σετ Β, που σημαίνει ότι θα συμπεριληφθεί στην επιθυμητή ένωση των συνόλων Α και Β:

Το σύνολο (- 3 , 7) είναι συστατικό του συνόλου Β (υπάρχει μια καταπακτή πάνω από το διάστημα) και γίνεται στοιχείο της ένωσης των συνόλων Α και Β:

Το σύνολο 7 περιλαμβάνεται στο αριθμητικό σύνολο Β, επομένως θα συμπεριληφθεί και στην επιθυμητή ένωση:

Το σύνολο (7 , + ∞), όντας ταυτόχρονα στοιχείο και των δύο συνόλων Α και Β, γίνεται ένα άλλο μέρος της επιθυμητής ένωσης:

Σύμφωνα με την τελική εικόνα της ένωσης των αρχικών συνόλων Α και Β, παίρνουμε: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Έχοντας κάποια πρακτική εμπειρία στην εφαρμογή των κανόνων για την εύρεση τομών και ενώσεων συνόλων, οι περιγραφόμενοι έλεγχοι πραγματοποιούνται εύκολα προφορικά, γεγονός που σας επιτρέπει να καταγράψετε γρήγορα το τελικό αποτέλεσμα. Θα δείξουμε σε ένα πρακτικό παράδειγμα πώς φαίνεται η λύση του χωρίς λεπτομερείς εξηγήσεις.

Παράδειγμα 3

Αρχικά δεδομένα: σύνολα A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) και B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ∪ ( 17 ) . Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τομή και η ένωση των δεδομένων συνόλων.

Λύση

Σημειώνουμε τα δεδομένα αριθμητικά σύνολα στις γραμμές συντεταγμένων για να μπορέσουμε να πάρουμε μια απεικόνιση της επιθυμητής τομής και ένωσης:

Απάντηση: A ∩ B = (- 20 , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3); A ∪ B = (- ∞ , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ) .

Είναι επίσης σαφές ότι με επαρκή κατανόηση της διαδικασίας, είναι δυνατό να υποβληθεί ο καθορισμένος αλγόριθμος σε βελτιστοποίηση. Για παράδειγμα, στη διαδικασία εύρεσης μιας τομής, δεν μπορείτε να αφιερώσετε χρόνο ελέγχοντας όλα τα διαστήματα και τα σύνολα που είναι χωριστοί αριθμοί, περιοριζόμενοι να λάβετε υπόψη μόνο εκείνα τα διαστήματα και τους αριθμούς που αποτελούν το σύνολο Α ή Β. Άλλα διαστήματα δεν θα είναι περιλαμβάνεται στη διασταύρωση σε κάθε περίπτωση, δηλ. προς. δεν αποτελούν μέρος των αρχικών συνόλων. Ας επεξηγήσουμε τα παραπάνω με ένα πρακτικό παράδειγμα.

Παράδειγμα 4

Αρχικά δεδομένα: σύνολα А = ( - 2 ) ∪ [ 1 , 5 ] και B = [ - 4 , 3 ] .

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τομή των αρχικών συνόλων.

Λύση

Αναπαριστάτε γεωμετρικά τα αριθμητικά σύνολα Α και Β:

Τα οριακά σημεία των αρχικών συνόλων θα χωρίσουν την αριθμητική γραμμή σε πολλά σύνολα:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι το αριθμητικό σύνολο Α μπορεί να γραφτεί συνδυάζοντας μερικά από τα αναφερόμενα σύνολα, και συγκεκριμένα: ( - 2 ), (1 , 3), ( 3 ) και (3 , 5) . Αρκεί να ελέγξετε αυτά τα σύνολα για τη συμπερίληψή τους και στο σύνολο Β για να βρείτε την επιθυμητή τομή. Αυτά που θα ενταχθούν στο σύνολο Β και θα γίνουν στοιχεία της τομής. Ας ελέγξουμε.

Είναι σαφές ότι το ( - 2 ) είναι μέρος του συνόλου B, επειδή το σημείο με συντεταγμένη - 2 είναι ένα εσωτερικό σημείο του τμήματος [-4, 3). Το διάστημα (1 , 3) και το σύνολο ( 3 ) περιλαμβάνονται επίσης στο σετ Β (υπάρχει εκκόλαψη πάνω από το διάστημα και το σημείο με τη συντεταγμένη 3 είναι όριο και δεν έχει τρυπηθεί για το σύνολο Β). Το σύνολο (3 , 5) δεν θα είναι στοιχείο τομής, γιατί δεν περιλαμβάνεται στο σετ Β (δεν υπάρχει σκίαση πάνω από αυτό). Σημειώνουμε όλα τα παραπάνω στο σχέδιο:

Ως αποτέλεσμα, η επιθυμητή τομή δύο δεδομένων συνόλων θα είναι η ένωση των συνόλων, την οποία γράφουμε ως εξής: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Απάντηση: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Στο τέλος του άρθρου, θα συζητήσουμε επίσης πώς να λύσουμε το πρόβλημα της εύρεσης της τομής και της ένωσης πολλών συνόλων (περισσότερων από 2). Το μειώνουμε, όπως προτείνεται νωρίτερα, στην ανάγκη προσδιορισμού της τομής και της ένωσης των δύο πρώτων σετ, στη συνέχεια του αποτελέσματος που προκύπτει με το τρίτο σετ κ.ο.κ. Και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο που περιγράφεται παραπάνω με τη μόνη διαφορά ότι ο έλεγχος για την εμφάνιση κενών και συνόλων που είναι χωριστοί αριθμοί πρέπει να πραγματοποιείται όχι σε δύο, αλλά σε όλα τα δεδομένα σύνολα. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 5

Αρχικά δεδομένα: σύνολα A = (- ∞ , 12 ] , B = (- 3 , 25 ] , D = (- ∞ , 25) ꓴ ( 40 ) Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τομή και η ένωση των δεδομένων συνόλων.

Λύση

Εμφανίζουμε τα δοσμένα αριθμητικά σύνολα στις γραμμές συντεταγμένων και βάζουμε μια σγουρή αγκύλη στην αριστερή τους πλευρά, που δηλώνει την τομή, καθώς και μια αγκύλη, που δηλώνει την ένωση. Παρακάτω εμφανίζουμε γραμμές συντεταγμένων με διακεκομμένα οριακά σημεία αριθμητικών συνόλων:

Έτσι, η γραμμή συντεταγμένων αντιπροσωπεύεται από τα ακόλουθα σύνολα: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 12) , ( 12 ) , (12 , 25) , ( 25 ) , (25 , 40 ) , ( 40 ) , (40 , +∞) .

Αρχίζουμε να ψάχνουμε για διασταυρώσεις, ελέγχοντας με τη σειρά τους τα ηχογραφημένα σύνολα αν ανήκουν σε καθένα από τα αρχικά. Και τα τρία δεδομένα σύνολα περιλαμβάνουν το διάστημα (- 3 , 12) και το σύνολο ( - 12 ) : θα γίνουν τα στοιχεία της επιθυμητής τομής. Έτσι, παίρνουμε: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Η ένωση των δεδομένων συνόλων θα αποτελέσει τα σύνολα: (- ∞ , - 3) - ένα στοιχείο του συνόλου A; ( - 3 ) – στοιχείο του συνόλου Α. (- 3, 12) - ένα στοιχείο του συνόλου Α. ( 12 ) είναι ένα στοιχείο του συνόλου Α. (12, 25) - ένα στοιχείο του συνόλου Β. Το ( 25 ) είναι στοιχείο του συνόλου Β και το ( 40 ) είναι στοιχείο του συνόλου D . Έτσι, παίρνουμε: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Απάντηση: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Σημειώστε επίσης ότι η απαιτούμενη τομή των αριθμητικών συνόλων είναι συχνά το κενό σύνολο. Αυτό συμβαίνει σε εκείνες τις περιπτώσεις που τα δεδομένα σύνολα δεν περιλαμβάνουν στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα σε όλα.

Παράδειγμα 6

Αρχικά δεδομένα: A \u003d [ - 7, 7]; B = ( - 15 ) ∪ [ - 12 , 0) ∪ ( 5 ) ; D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞) ; E \u003d (0, 27) . Να προσδιορίσετε την τομή των δεδομένων συνόλων.

Λύση

Ας εμφανίσουμε τα αρχικά σύνολα στις γραμμές συντεταγμένων και παύλες τα οριακά σημεία αυτών των συνόλων στην πρόσθετη γραμμή.

Τα σημειωμένα σημεία θα χωρίσουν την αριθμητική γραμμή σε σύνολα: (- ∞ , - 15) , ( - 15 ) , (- 15 , - 12) , ( - 12 ) , (- 12 , - 10) , ( - 10 ) , (- 10 , - 7) , ( - 7 ) , (- 7 , 0) , ( 0 ) , (0 , 5) , ( 5 ) , (5 , 7) , ( 7 ) , (7 , 10) , ( 10 ) , (10 , 27) , ( 27 ) , (27 , + ∞) .

Κανένα από αυτά δεν είναι ταυτόχρονα στοιχείο όλων των αρχικών συνόλων, επομένως, η τομή των δεδομένων συνόλων είναι ένα κενό σύνολο.

Απάντηση: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Είναι βολικό να παριστάνουμε σύνολα ως κύκλους, που ονομάζονται κύκλοι Euler.

Στο σχήμα, το σύνολο τομής των συνόλων X και Y είναι σκιασμένο με πορτοκαλί χρώμα.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

διάβαση δύο σκηνικά ονομάζεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα κοινά στοιχεία αυτών των συνόλων.

Παράδειγμα :
Ας πάρουμε τους αριθμούς 12 και 18. Βρείτε τους διαιρέτες τους, δηλώνοντας ολόκληρο το σύνολο αυτών των διαιρετών, αντίστοιχα, με τα γράμματα Α και Β:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Βλέπουμε ότι οι αριθμοί 12 και 18 έχουν κοινούς διαιρέτες: 1, 2, 3, 6. Ας τους συμβολίσουμε με το γράμμα Γ:
C = (1, 2, 3, 6).

Το σύνολο Γ είναι η τομή των συνόλων Α και Β. Το γράφουν ως εξής:
Α ∩Β=ΝΤΟ.

Αν δύο σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία, τότε η τομή αυτών των συνόλων είναι αδειάζω πολλά.
Το κενό σύνολο συμβολίζεται με το σύμβολο Ø και χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός:

X ∩Y = Ø.

Ένας σύλλογος δύο σετ είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία αυτών των συνόλων.

Για παράδειγμα, ας επιστρέψουμε στους αριθμούς 12 και 18 και στο σύνολο των στοιχείων τους Α και Β. Αρχικά γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου Α και μετά προσθέτουμε σε αυτά τα στοιχεία του συνόλου Β που δεν βρίσκονται στο σύνολο Α. Θα πάρουμε το σύνολο των στοιχείων που έχουν το Α και το Β μαζί. Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα Δ:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Το σύνολο Δ είναι η ένωση των συνόλων Α και Β. Γράφεται ως εξής:

D=ΕΝΑ U σι.

Οι κύριες λειτουργίες που εκτελούνται στα σύνολα είναι πρόσθεση (ένας σύλλογος), πολλαπλασιασμός (διασταύρωση) και αφαίρεση . Αυτές οι πράξεις, όπως θα δούμε στη συνέχεια, δεν είναι πανομοιότυπες με τις πράξεις με το ίδιο όνομα που εκτελούνται σε αριθμούς.

Ορισμός : Σχέση(ή άθροισμα) δύο συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα αυτά και μόνο τέτοια στοιχεία που είναι στοιχεία τουλάχιστον ενός από αυτά τα σύνολα. Η ένωση των συνόλων Α και Β συμβολίζεται ως Α  Β.

Αυτός ο ορισμός σημαίνει ότι η προσθήκη των συνόλων Α και Β είναι η ένωση όλων των στοιχείων τους σε ένα σύνολο Α  Β. Αν τα ίδια στοιχεία περιέχονται και στα δύο σύνολα, τότε αυτά τα στοιχεία μπαίνουν στην ένωση μόνο μία φορά.

Η ένωση τριών ή περισσότερων συνόλων ορίζεται παρόμοια.

Ορισμός : διάβαση(ή πολλαπλασιασμός) δύο συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που αποτελείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α και στο σύνολο Β ταυτόχρονα. Η τομή των συνόλων Α και Β συμβολίζεται ως A  B.

Η τομή τριών ή περισσότερων συνόλων ορίζεται ομοίως.

Ορισμός : Η διαφορά των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο που αποτελείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο σύνολο Β. Η διαφορά των συνόλων Α και Β συμβολίζεται ως Α \ Β. Η πράξη με την οποία η διαφορά των συνόλων βρίσκεται λέγεται αφαίρεση.

Αν B  A, τότε η διαφορά A \ B ονομάζεται συμπλήρωμα του συνόλου B στο σύνολο A. Εάν το σύνολο B είναι υποσύνολο του καθολικού συνόλου U, τότε το συμπλήρωμα του B στο U συμβολίζεται, δηλαδή = U\B.

Γυμνάσια :

Σκεφτείτε τρία σετ Ν={0,2,4,5,6,7}, Μ=(1,3,5,7,9) και Π=(1,3,9,11). Εύρημα

ΕΝΑ= Ν  Μ
B=N Μ
C=Ν Π

Απαντήστε ποιες από τις πράξεις στα δεδομένα σύνολα πρέπει να χρησιμοποιηθούν για να ληφθούν τα σύνολα που περιγράφονται παρακάτω.

Δεδομένος: ΑΛΛΑείναι το σύνολο όλων των φοιτητών της σχολής, ΣΤΟ– πολλοί φοιτητές με ακαδημαϊκά χρέη. Καθορίζω ΑΠΟ- πολλοί επιτυχημένοι φοιτητές της σχολής.
Δεδομένος: ΑΛΛΑ- ένα σύνολο όλων των αριστούχων φοιτητών της σχολής, ΣΤΟ- πολλοί φοιτητές που δεν έχουν ακαδημαϊκά χρέη, ΑΠΟείναι το σύνολο των επιτυχόντων μαθητών με τουλάχιστον ένα τριπλό. Καθορίζω ρε- πολλοί φοιτητές της σχολής που έχουν χρόνο χωρίς τρίποντα.
Δεδομένος: Uείναι το σύνολο όλων των μαθητών της ομάδας μελέτης, ΑΛΛΑ- πολλοί μαθητές αυτής της ομάδας που έλαβαν πίστωση στη φυσική αγωγή, ΣΤΟ- πολλοί μαθητές της ίδιας ομάδας που πέρασαν με επιτυχία το τεστ στην ιστορία της Πατρίδας. Καθορίζω ΑΠΟείναι το σύνολο των μαθητών από την ίδια ομάδα μελέτης που διαπρέπουν και στους δύο κλάδους, ρε– ένα σύνολο μαθητών της ίδιας ομάδας που «απέτυχαν» τουλάχιστον σε ένα από τα τεστ.

Ιδιότητες ένωσης και τομής συνόλων

Από τους ορισμούς της ένωσης και της τομής συνόλων ακολουθούν οι ιδιότητες αυτών των πράξεων, οι οποίες παρουσιάζονται με τη μορφή ισοτήτων που ισχύουν για οποιαδήποτε σύνολα ΕΝΑ , σι και ΑΠΟ .

ΕΝΑ  σι = σι  ΕΝΑ - ανταλλαξιμότητα της ένωσης·

ΕΝΑ  σι = σι  ΕΝΑ - ανταλλαξιμότητα της διασταύρωσης.

ΕΝΑ  (σι  ΑΠΟ ) = (ΕΝΑ  σι )  ΑΠΟ - ένωση ένωσης

ΕΝΑ  (σι  ΑΠΟ ) = (ΕΝΑ  σι )  ΑΠΟ - συσχετισμός της διασταύρωσης.

ΕΝΑ  (σι  ΑΠΟ ) = (ΕΝΑ  σι )  (ΕΝΑ  ΑΠΟ) - κατανομή της διασταύρωσης σε σχέση με την ένωση.

ΕΝΑ  (σι  ΑΠΟ ) = (ΕΝΑ  σι )  (ΕΝΑ  ΑΠΟ) - Κατανομή της ένωσης ως προς τη διασταύρωση.

Νόμοι απορρόφησης:

ΕΝΑ  ΕΝΑ = ΕΝΑ

ΕΝΑ  ΕΝΑ = ΕΝΑ

ΕΝΑ  Ø = ΕΝΑ

ΕΝΑ  Ø = Ø

ΕΝΑ  U = U

ΕΝΑ  U = ΕΝΑ

Πρέπει να σημειωθεί ότι η διαφορά δεν έχει τις ιδιότητες της ανταλλαξιμότητας και της συσχέτισης, δηλαδή ΕΝΑ \ σι ≠ σι \ ΕΝΑ και ΕΝΑ \ (σι \ ΑΠΟ ) ≠ (ΕΝΑ \ σι ) \ ΑΠΟ . Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί κατασκευάζοντας τα διαγράμματα Euler-Venn.

Πολλά- μια συλλογή οποιωνδήποτε αντικειμένων. Τα σύνολα σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου - από ΕΝΑπριν Ζ.

Βασικά σύνολα αριθμών: το σύνολο των φυσικών αριθμών και το σύνολο των ακεραίων, συμβολίζονται πάντα με τα ίδια γράμματα:

Ν- σύνολο φυσικών αριθμών

Ζ- σύνολο ακεραίων

Σετ στοιχείουείναι κάθε αντικείμενο που αποτελεί μέρος ενός συνόλου. Το ότι ανήκει ένα αντικείμενο σε ένα σύνολο συμβολίζεται με το πρόσημο ∈ . Εγγραφή

έχει ως εξής: Το 5 ανήκει στο σύνολο Ζή 5 - ένα στοιχείο του συνόλου Ζ .

Τα σύνολα χωρίζονται σε πεπερασμένα και άπειρα. πεπερασμένο σύνολο- ένα σύνολο που περιέχει ορισμένο (πεπερασμένο) αριθμό στοιχείων. Άπειρο σύνολοείναι ένα σύνολο που περιέχει άπειρα πολλά στοιχεία. Τα άπειρα σύνολα περιλαμβάνουν σύνολα φυσικών και ακεραίων αριθμών.

Για τον ορισμό ενός συνόλου, χρησιμοποιούνται σγουρά στηρίγματα, στα οποία τα στοιχεία παρατίθενται διαχωρισμένα με κόμμα. Για παράδειγμα, η καταχώρηση

μεγάλο = {2, 4, 6, 8}

σημαίνει ότι πολλοί μεγάλοαποτελείται από τέσσερις ζυγούς αριθμούς.

Ο όρος σύνολο χρησιμοποιείται ανεξάρτητα από το πόσα στοιχεία περιέχει. Τα σύνολα που δεν περιέχουν κανένα στοιχείο καλούνται αδειάζω.

Υποσύνολο

Υποσύνολοείναι ένα σύνολο του οποίου όλα τα στοιχεία αποτελούν μέρος ενός άλλου συνόλου.

Μπορείτε να δείξετε οπτικά τη σχέση μεταξύ ενός συνόλου και του υποσυνόλου του χρησιμοποιώντας Κύκλοι Euler. Οι κύκλοι Euler είναι γεωμετρικά διαγράμματα που βοηθούν στην οπτικοποίηση των σχέσεων διαφόρων αντικειμένων, στην περίπτωσή μας, συνόλων.

Εξετάστε δύο σετ:

μεγάλο= (2, 4, 6, 8) και Μ = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Κάθε στοιχείο του σετ μεγάλοανήκει στο σύνολο Μ, σημαίνει ένα σύνολο μεγάλο Μ. Μια τέτοια σχέση συνόλων συμβολίζεται με το πρόσημο ⊂ :

μεγάλο⊂Μ

Εγγραφή μεγάλο⊂Μδιαβάζεται ως εξής: πολλά μεγάλοείναι ένα υποσύνολο του συνόλου Μ .

Τα σύνολα που αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία, ανεξάρτητα από τη σειρά τους, καλούνται ίσοςκαι συμβολίζονται με = .

Εξετάστε δύο σετ:

μεγάλο= (2, 4, 6) και Μ = {4, 6, 2}

αφού και τα δύο σύνολα αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία, τότε μεγάλο = Μ.

Διασταύρωση και Ένωση Συνόλων

Τομή δύο συνόλωνείναι ένα σύνολο στοιχείων που ανήκουν σε καθένα από αυτά τα σύνολα, δηλαδή το κοινό τους μέρος. Η τομή συμβολίζεται με το πρόσημο ∩ .

Για παράδειγμα, εάν

μεγάλο= (1, 3, 7, 11) και Μ= (3, 11, 17, 19), λοιπόν μεγάλο∩Μ = {3, 11}.

Εγγραφή μεγάλο∩Μδιαβάζεται ως εξής: τομή συνόλων μεγάλοκαι Μ .

Από αυτό το παράδειγμα προκύπτει ότι Τομή συνόλων είναι ένα σύνολο που περιέχει μόνο εκείνα τα στοιχεία που εμφανίζονται σε όλα τα τεμνόμενα σύνολα..

Ένωση δύο σετκαλείται ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία των αρχικών συνόλων σε ένα μόνο αντίγραφο, δηλαδή εάν το ίδιο στοιχείο εμφανίζεται και στα δύο σύνολα, τότε αυτό το στοιχείο θα συμπεριληφθεί στο νέο σύνολο μόνο μία φορά. Η ένωση συμβολίζεται με ∪ .

Για παράδειγμα, εάν

μεγάλο= (1, 3, 7, 11) και Μ = {3, 11, 17, 19},

έπειτα μεγάλο∪Μ = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.