Παράγωγος μαθήματος εκθετικής συνάρτησης αριθμός ε. «Αριθμός ε

Η γραφική παράσταση μιας εκθετικής συνάρτησης είναι μια καμπύλη ομαλή γραμμή χωρίς στροφές, στην οποία μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη σε κάθε σημείο από το οποίο διέρχεται. Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι εάν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη, τότε η συνάρτηση θα είναι διαφοροποιήσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Ας εμφανίσουμε στους ίδιους άξονες συντεταγμένων πολλά γραφήματα της συνάρτησης y \u003d x a, Για ένα \u003d 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

Στο σημείο με συντεταγμένες (0;1). Οι γωνίες κλίσης αυτών των εφαπτομένων θα είναι περίπου 35, 40, 48 και 51 μοίρες, αντίστοιχα. Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι στο διάστημα από το 2 έως το 3 υπάρχει ένας αριθμός στον οποίο η γωνία κλίσης της εφαπτομένης θα είναι 45 μοίρες.

Ας δώσουμε την ακριβή διατύπωση αυτής της πρότασης: υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός μεγαλύτερος από 2 και μικρότερος από 3, που συμβολίζεται με το γράμμα e, ώστε η εκθετική συνάρτηση y = e x στο σημείο 0 να έχει παράγωγο ίση με 1. Δηλαδή: (e ∆x -1) / ∆x τείνει στο 1 όπως το ∆x τείνει στο µηδέν.

Δοσμένος αριθμός μιείναι παράλογο και γράφεται ως άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα:

e = 2,7182818284…

Εφόσον ο αριθμός e είναι θετικός και μη μηδενικός, υπάρχει ένας λογάριθμος στη βάση e. Αυτός ο λογάριθμος ονομάζεται φυσικός λογάριθμος. Συμβολίζεται ln(x) = log e (x).

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Θεώρημα: Η συνάρτηση e x είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της και (e x)’ = e x .

Η εκθετική συνάρτηση a x είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, και επιπλέον (a x)’ = (a x)*ln(a).
Συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι το γεγονός ότι η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = 2 x .

Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης, παίρνουμε:

(2x)' = (2x)*ln(2).

Απάντηση: (2x)*ln(2).

Αντιπαράγωγος της εκθετικής συνάρτησης

Για μια εκθετική συνάρτηση x που δίνεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, η αντιπαράγωγος θα είναι η συνάρτηση (a x)/(ln(a)).
Το ln(a) είναι κάποια σταθερά, τότε (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x για οποιοδήποτε x. Έχουμε αποδείξει αυτό το θεώρημα.

Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης μιας αντιπαράγωγης εκθετικής συνάρτησης.

Παράδειγμα: βρείτε την αντιπαράγωγο της συνάρτησης f(x) = 5 x . Ας χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο και τους κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων. Παίρνουμε: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Κατά την εξαγωγή του πρώτου τύπου του πίνακα, θα προχωρήσουμε από τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Ας πάρουμε πού Χ- οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, δηλαδή, Χ– οποιοσδήποτε αριθμός από την περιοχή ορισμού συνάρτησης . Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς το όρισμα αύξησης στο:

Πρέπει να σημειωθεί ότι κάτω από το πρόσημο του ορίου προκύπτει μια έκφραση, η οποία δεν είναι η αβεβαιότητα του μηδενός διαιρούμενο με το μηδέν, αφού ο αριθμητής δεν περιέχει μια απειροελάχιστη τιμή, αλλά ακριβώς το μηδέν. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας σταθερής συνάρτησης είναι πάντα μηδέν.

Με αυτόν τον τρόπο, παράγωγο σταθερής συνάρτησηςισούται με μηδέν σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος.

Ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος έχει τη μορφή , όπου ο εκθέτης Πείναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ας αποδείξουμε πρώτα τον τύπο για τον φυσικό εκθέτη, δηλαδή για p = 1, 2, 3, ...

Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης ισχύος προς την αύξηση του ορίσματος:

Για να απλοποιήσουμε την έκφραση στον αριθμητή, στραφούμε στον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

Συνεπώς,

Αυτό αποδεικνύει τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος για έναν φυσικό εκθέτη.

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης.

Εξάγουμε τον τύπο της παραγώγου με βάση τον ορισμό:

Έφτασε στην αβεβαιότητα. Για να το επεκτείνουμε, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή και για . Επειτα . Στην τελευταία μετάβαση, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στο αρχικό όριο:

Αν θυμηθούμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο, τότε φτάνουμε στον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης.

Ας αποδείξουμε τον τύπο για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης για όλους Χαπό το εύρος και όλες τις έγκυρες βασικές τιμές έναλογάριθμος. Εξ ορισμού της παραγώγου έχουμε:

Όπως παρατηρήσατε, στην απόδειξη, οι μετασχηματισμοί πραγματοποιήθηκαν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογαρίθμου. Ισότητα ισχύει λόγω του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Για να εξάγουμε τύπους για παραγώγους τριγωνομετρικών συναρτήσεων, θα πρέπει να θυμηθούμε ορισμένους τύπους τριγωνομετρίας, καθώς και το πρώτο αξιοσημείωτο όριο.

Εξ ορισμού της παραγώγου για την ημιτονοειδή συνάρτηση, έχουμε .

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη διαφορά ημιτόνων:

Μένει να στραφούμε στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

Άρα η παράγωγος της συνάρτησης αμαρτία xυπάρχει cos x.

Ο τύπος για το συνημιτονικό παράγωγο αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Επομένως, η παράγωγος της συνάρτησης cos xυπάρχει – αμαρτία x.

Η παραγωγή τύπων για τον πίνακα παραγώγων για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη θα πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τους αποδεδειγμένους κανόνες διαφοροποίησης (παράγωγο κλάσματος).

Παράγωγοι υπερβολικών συναρτήσεων.

Οι κανόνες διαφοροποίησης και ο τύπος για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης από τον πίνακα των παραγώγων μας επιτρέπουν να εξαγάγουμε τύπους για τις παραγώγους του υπερβολικού ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης.

Για να μην υπάρχει σύγχυση στην παρουσίαση, ας υποδηλώσουμε στον κάτω δείκτη το όρισμα της συνάρτησης με την οποία εκτελείται η διαφοροποίηση, δηλαδή είναι η παράγωγος της συνάρτησης f(x)επί Χ.

Τώρα διατυπώνουμε κανόνας για την εύρεση της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης.

Αφήστε τις συναρτήσεις y = f(x)και x = g(y)αμοιβαία αντίστροφα, που ορίζονται στα διαστήματα και αντίστοιχα. Αν σε ένα σημείο υπάρχει πεπερασμένη μη μηδενική παράγωγος της συνάρτησης f(x), τότε στο σημείο υπάρχει μια πεπερασμένη παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης g(y), και . Σε άλλη καταχώρηση .

Αυτός ο κανόνας μπορεί να αναδιατυπωθεί για οποιονδήποτε Χαπό το διάστημα , τότε παίρνουμε .

Ας ελέγξουμε την εγκυρότητα αυτών των τύπων.

Ας βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση για τον φυσικό λογάριθμο (εδώ yείναι μια συνάρτηση, και Χ- διαφωνία). Επίλυση αυτής της εξίσωσης για Χ, παίρνουμε (εδώ Χείναι μια συνάρτηση, και yτο επιχείρημά της). Αυτό είναι, και αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις.

Από τον πίνακα των παραγώγων, βλέπουμε ότι και .

Ας βεβαιωθούμε ότι οι τύποι για την εύρεση παραγώγων της αντίστροφης συνάρτησης μας οδηγούν στα ίδια αποτελέσματα:

Στόχοι μαθήματος:σχηματίζουν μια ιδέα ενός αριθμού μι; να αποδείξει τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο Χ;εξετάστε την απόδειξη του θεωρήματος διαφορικότητας για τη συνάρτηση ; έλεγχος του σχηματισμού δεξιοτήτων και ικανοτήτων κατά την επίλυση παραδειγμάτων για την εφαρμογή τους.

Στόχοι μαθήματος.

Εκπαιδευτικό: επαναλάβετε τον ορισμό μιας παραγώγου, τους κανόνες διαφοροποίησης, την παράγωγο στοιχειωδών συναρτήσεων, θυμηθείτε τη γραφική παράσταση και τις ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης, σχηματίστε την ικανότητα να βρείτε την παράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης, ελέγξτε τη γνώση χρησιμοποιώντας μια δοκιμαστική εργασία και δοκιμή.

Ανάπτυξη: να προωθήσει την ανάπτυξη της προσοχής, την ανάπτυξη της λογικής σκέψης, τη μαθηματική διαίσθηση, την ικανότητα ανάλυσης, την εφαρμογή της γνώσης σε μη τυποποιημένες καταστάσεις.

Εκπαιδευτικό: να εκπαιδεύσει την κουλτούρα της πληροφόρησης, να αναπτύξει τις δεξιότητες της εργασίας σε ομάδα και ατομικά.

Μέθοδοι διδασκαλίας: λεκτική, οπτική, ενεργητική.

Μορφές εκπαίδευσης: συλλογική, ατομική, ομαδική.

Εξοπλισμός : το εγχειρίδιο "Άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης" (επιμέλεια Kolmogorov), όλες οι εργασίες της ομάδας Β "Κλειστό τμήμα" που επιμελήθηκε ο A.L. Semenov, I.V. Yashchenko, προβολέας πολυμέσων.

Βήματα μαθήματος:

1. Έκθεση του θέματος, των στόχων, των στόχων του μαθήματος (2 λεπτά).
2. Προετοιμασία για τη μελέτη νέου υλικού μέσω της επανάληψης του προηγουμένως μελετημένου (15 λεπτά).
3. Εισαγωγή στο νέο υλικό (10 λεπτά)
4. Πρωτογενής κατανόηση και εμπέδωση νέων γνώσεων (15 λεπτά).
5. Εργασία για το σπίτι (1 λεπτό).
6. Συνοψίζοντας (2 λεπτά).

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

Ανακοινώνεται το θέμα του μαθήματος: «Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης. Αριθμός ε.», στόχοι, εργασίες. διαφάνεια 1. Παρουσίαση

2. Ενεργοποίηση βασικών γνώσεων.

Για να γίνει αυτό, στο πρώτο στάδιο του μαθήματος, θα απαντήσουμε σε ερωτήσεις και θα λύσουμε εργασίες για επανάληψη. Διαφάνεια 2.

Στον μαυροπίνακα, δύο μαθητές εργάζονται σε κάρτες, ολοκληρώνοντας εργασίες όπως το B8 USE.

Εργασία για τον πρώτο μαθητή:

Εργασία για τον δεύτερο μαθητή:

Οι υπόλοιποι μαθητές ολοκληρώνουν ανεξάρτητη εργασία σύμφωνα με τις επιλογές:

Επιλογή 1		Επιλογή 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

Τα ζευγάρια ανταλλάσσουν λύσεις και ελέγχουν ο ένας τη δουλειά του άλλου, ανατρέχοντας στις απαντήσεις στη διαφάνεια 3.

Εξετάζονται οι λύσεις και οι απαντήσεις των μαθητών που εργάζονται στον πίνακα.

Έλεγχος εργασίας αρ. 1904. Εμφάνιση διαφάνειας 4.

3. Ενημέρωση του θέματος του μαθήματος, δημιουργία προβληματικής κατάστασης.

Ο δάσκαλος ζητά να δώσει έναν ορισμό της εκθετικής συνάρτησης και να απαριθμήσει τις ιδιότητες της συνάρτησης y \u003d 2 x. Οι γραφικές παραστάσεις των εκθετικών συναρτήσεων εμφανίζονται ως ομαλές γραμμές, στις οποίες μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη σε κάθε σημείο. Αλλά η ύπαρξη μιας συνάρτησης εφαπτομένης στη γραφική παράσταση σε ένα σημείο με τετμημένη x 0 ισοδυναμεί με τη διαφορικότητά της στο x 0.

Για τα γραφήματα της συνάρτησης y \u003d 2 x και y \u003d 3 x, σχεδιάζουμε εφαπτόμενες σε αυτές στο σημείο με τετμημένη 0. Οι γωνίες κλίσης αυτών των εφαπτομένων στον άξονα της τετμημένης είναι περίπου ίσες με 35 ° και 48 ° , αντίστοιχα. Διαφάνεια 5.

Συμπέρασμα: αν η βάση της εκθετικής συνάρτησης ένααυξάνεται από 2 σε, για παράδειγμα, 10, τότε η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο x=0 και του άξονα x αυξάνεται σταδιακά από 35° σε 66,5°. Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι υπάρχει λόγος ένα, για το οποίο η αντίστοιχη γωνία είναι 45

Αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός μεγαλύτερος από 2 και μικρότερος από 3. Συνηθίζεται να τον συμβολίζουμε με το γράμμα μι. Στα μαθηματικά διαπιστώνεται ότι ο αριθμός μι- παράλογο, δηλ. είναι ένα άπειρο δεκαδικό μη περιοδικό κλάσμα.

e = 2,7182818284590…

Σημείωση (όχι πολύ σοβαρό). διαφάνεια 6.

Στην επόμενη διαφάνεια 7 υπάρχουν πορτρέτα μεγάλων μαθηματικών - John Napier, Leonard Euler και μια σύντομη σημείωση για αυτούς.

• Θεωρήστε τις ιδιότητες της συνάρτησης y=e x
• Απόδειξη του Θεωρήματος 1. Διαφάνεια 8.
• Απόδειξη του Θεωρήματος 2. Διαφάνεια 9.

4. Δυναμική παύση ή εκκένωση για τα μάτια.

(Αρχική θέση - καθιστή, κάθε άσκηση επαναλαμβάνεται 3-4 φορές):

1. Γέρνοντας προς τα πίσω, πάρτε μια βαθιά ανάσα, μετά γέρνοντας προς τα εμπρός, εκπνεύστε.

2. Γέρνοντας πίσω σε μια καρέκλα, κλείστε τα βλέφαρά σας, κλείστε τα μάτια σας σφιχτά χωρίς να ανοίξετε τα βλέφαρά σας.

3. Χέρια κατά μήκος του σώματος, κυκλικές κινήσεις των ώμων μπρος-πίσω.

5. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης.

5.1 Λύση ασκήσεων Νο 538, Νο 540, Νο 544γ.

5.2 Ανεξάρτητη εφαρμογή γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων. Εργασία επαλήθευσης με τη μορφή δοκιμής. Χρόνος για την ολοκλήρωση της εργασίας - 5 λεπτά.

Κριτήρια αξιολόγησης:

"5" - 3 βαθμοί

"4" - 2 βαθμοί

"3" - 1 βαθμός

6. Σύνοψη των αποτελεσμάτων και των αποτελεσμάτων της εργασίας στο μάθημα.

1. Αντανάκλαση.
2. Βαθμολόγηση.
3. Υποβολή εργασιών δοκιμής.

7. Εργασία για το σπίτι: σελ. 41 (1, 2); Νο. 539 (a, b, d); 540 (γ, δ), 544 (α, β).

«Κλειστό τμήμα» Αρ. 1950, 2142.

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αριθμός e Βαθμός 11

Η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ είναι η μητέρα της μάθησης!

Ορισμός εκθετικής συνάρτησης Η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y \u003d a x (όπου a > 0, a ≠ 1) ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση a.

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης y \u003d a x a > 1 0

Προσδιορισμός της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο x 0. ως Δ → 0. Η παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο x 0 είναι ο αριθμός προς τον οποίο τείνει η σχέση διαφοράς ως Δx → 0.

Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου x ₀ α A y \u003d f (x) 0 x y k \u003d tg α \u003d f "(x ₀) Η κλίση στην εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) στο σημείο ( x 0, f (x 0) ισούται με τις παράγωγες συναρτήσεις f "(x ₀). f(x 0)

Παιχνίδι: "Βρείτε ζεύγη" (u + v) "cos x e (u v)" n xⁿ ⁻" p (u / v)" - 1 / (sin² x) a (x ⁿ)" - sin x n C "u" v +u v" έως (C u)" 1 / (cos ² x) t (sin x)" (u" v - u v") / v² c (cos x)" 0 o (tg x)" u "+v" u (ctg x) "C u" n

Ελεγξε τον εαυτό σου! (u + v)" u" + v" e (u v)" u" v + u v "to (u / v)" (u' v –u v") / v² c (x ⁿ)" n x ⁿ ⁻1 p C" 0 o (Cu)" C u "n (sin x)" Cos x e (cos x)" - sin x n (tg x)" 1 / (cos² x) t (ctg x)" - 1 / (sin² x ) ένα

Ο εκθέτης είναι συνάρτηση ισχύος. Ο εκθέτης είναι μια συνάρτηση όπου e είναι η βάση των φυσικών λογαρίθμων.

1 y \u003d e x 45 ° Η συνάρτηση y \u003d e x ονομάζεται "εκθέτης" x ₀ \u003d 0. tg 45° = 1 Στο σημείο (0;1) η κλίση στην εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης k = tg 45° = 1 - η γεωμετρική σημασία της παραγώγου του εκθέτη Εκθέτης y = e x

Θεώρημα 1. Η συνάρτηση y \u003d e είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού και (e)" \u003d e x x x Ο φυσικός λογάριθμος (ln) είναι ο λογάριθμος στη βάση e: ln x \u003d log x e ​​και ( α)" = a ∙ ln a x x Θεώρημα 2 .

Τύποι για τη διαφοροποίηση της εκθετικής συνάρτησης (e)" = e ; (e)" = k e ; (a)" = a ∙ ln a ; (a)" = k a ∙ ln a . x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.

«Η άσκηση δημιουργεί κυριαρχία». Tacitus Publius Cornelius - αρχαίος Ρωμαίος ιστορικός

Παραδείγματα: Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων: 1. = 3 ε. 2. (ε)" = (5χ)" e = 5 ε. 3. (4) "= 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 x) "2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2. 5 x 5 x x (3 e)" 5 x - 7 x x x -7 x -7 x x

Ενδιαφέρον κοντά

Leonhard Euler 1707 -1783 Ρώσος επιστήμονας - μαθηματικός, φυσικός, μηχανικός, αστρονόμος ... Εισήγαγε τον προσδιορισμό του αριθμού ε. Απέδειξε ότι ο αριθμός e ≈ 2, 718281 ... είναι παράλογος. John Napier 1550 - 1617 Σκωτσέζος μαθηματικός, εφευρέτης των λογαρίθμων. Προς τιμήν του, ο αριθμός e ονομάζεται «μη ομότιμος αριθμός».

Η αύξηση και η αποσύνθεση μιας συνάρτησης με ρυθμό εκθέτη ονομάζεται εκθετική