Τύποι τετραγωνικών ριζών. Αριθμητική τετραγωνική ρίζα και οι ιδιότητές της

αυτό το άρθροείναι μια συλλογή λεπτομερών πληροφοριών που σχετίζονται με το θέμα των ιδιοτήτων των ριζών. Λαμβάνοντας υπόψη το θέμα, θα ξεκινήσουμε με τις ιδιότητες, θα μελετήσουμε όλα τα σκευάσματα και θα παρέχουμε στοιχεία. Για να εμπεδώσουμε το θέμα, θα εξετάσουμε ιδιότητες του nου βαθμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ιδιότητες των ριζών

Θα μιλήσουμε για ακίνητα.

Ιδιοκτησία πολλαπλασιασμένοι αριθμοί έναΚαι σι, η οποία παριστάνεται ως η ισότητα a · b = a · b. Μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή παραγόντων, θετικών ή ίσων με μηδέν a 1 , a 2 , … , a kως 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
από το πηλίκο a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, μπορεί επίσης να γραφτεί με αυτή τη μορφή a b = a b;
Ιδιότητα από τη δύναμη ενός αριθμού έναμε άρτιο εκθέτη a 2 m = a m για οποιονδήποτε αριθμό ένα, για παράδειγμα, η ιδιότητα από το τετράγωνο ενός αριθμού a 2 = a.

Σε οποιαδήποτε από τις παρουσιαζόμενες εξισώσεις, μπορείτε να ανταλλάξετε τα μέρη πριν και μετά το σύμβολο της παύλας, για παράδειγμα, η ισότητα a · b = a · b μετατρέπεται σε a · b = a · b. Οι ιδιότητες ισότητας χρησιμοποιούνται συχνά για την απλοποίηση μιγαδικών εξισώσεων.

Η απόδειξη των πρώτων ιδιοτήτων βασίζεται στον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας και στις ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικός δείκτης. Για να δικαιολογήσουμε την τρίτη ιδιότητα, είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στον ορισμό του συντελεστή συντελεστή ενός αριθμού.

Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να αποδείξουμε τις ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας a · b = a · b. Σύμφωνα με τον ορισμό, είναι απαραίτητο να θεωρηθεί ότι το a b είναι ένας αριθμός, θετικός ή ίσος με μηδέν, ο οποίος θα είναι ίσος με α βκατά την κατασκευή σε ένα τετράγωνο. Η τιμή της παράστασης a · b είναι θετική ή ίση με μηδέν ως γινόμενο μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα των δυνάμεων των πολλαπλασιασμένων αριθμών μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε την ισότητα με τη μορφή (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Εξ ορισμού της τετραγωνικής ρίζας, a 2 = a και b 2 = b, μετά a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να το αποδείξει αυτό από το προϊόν κπολλαπλασιαστές a 1 , a 2 , … , a kθα είναι ίσο με το γινόμενο τετραγωνικές ρίζεςαπό αυτούς τους παράγοντες. Πράγματι, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να ενισχύσουμε το θέμα.

Παράδειγμα 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 και 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας του πηλίκου: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Η ιδιότητα μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα a: b 2 = a 2: b 2, και a 2: b 2 = a: b, ενώ το a: b είναι θετικός αριθμός ή ίσος με μηδέν. Αυτή η έκφραση θα γίνει η απόδειξη.

Για παράδειγμα, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 και 30,121 = 30,121.

Ας εξετάσουμε την ιδιότητα της τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου ενός αριθμού. Μπορεί να γραφτεί ως ισότητα ως 2 = α Για να αποδειχθεί αυτό το ακίνητο, είναι απαραίτητο να εξεταστούν λεπτομερώς αρκετές ισότητες για a ≥ 0και στο ένα< 0 .

Προφανώς, για a ≥ 0 ισχύει η ισότητα a 2 = a. Στο ένα< 0 η ισότητα a 2 = - a θα είναι αληθής. Στην προκειμένη μάλιστα περίπτωση − a > 0και (− a) 2 = a 2 . Μπορούμε να συμπεράνουμε, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 2

5 2 = 5 = 5 και - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Η αποδεδειγμένη ιδιότητα θα σας βοηθήσει να δικαιολογήσετε ένα 2 m = a m, όπου ένα– πραγματικό, και Μ –φυσικός αριθμός. Πράγματι, η ιδιότητα της αύξησης μιας δύναμης μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε την εξουσία ένα 2 μέκφραση (α μ) 2, τότε a 2 m = (a m) 2 = a m.

Παράδειγμα 3

3 8 = 3 4 = 3 4 και (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Ιδιότητες της νης ρίζας

Πρώτα πρέπει να εξετάσουμε βασικές ιδιότητεςη ρίζες:

Ιδιότητα από το γινόμενο των αριθμών έναΚαι σι, που είναι θετικά ή ίσα με μηδέν, μπορεί να εκφραστεί ως η ισότητα a · b n = a n · b n , αυτή η ιδιότητα ισχύει για το γινόμενο καριθμοί a 1 , a 2 , … , a kως 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
από κλασματικός αριθμόςέχει την ιδιότητα a b n = a n b n , όπου ένα- όποιος πραγματικός αριθμός, που είναι θετικό ή ίσο με μηδέν, και σι– θετικός πραγματικός αριθμός.
Για κάθε έναακόμη και δείκτες n = 2 m a 2 · m 2 · m = a είναι αληθές, και για περιττό n = 2 m − 1ισχύει η ισότητα a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
Ιδιότητα εξαγωγής από a m n = a n m , όπου ένα– οποιοσδήποτε αριθμός, θετικός ή ίσος με μηδέν, nΚαι Μείναι φυσικοί αριθμοί, αυτή η ιδιότητα μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί στη μορφή. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
Για κάθε μη αρνητικό α και αυθαίρετο nΚαι Μ, που είναι φυσικά, μπορούμε επίσης να ορίσουμε τη δίκαιη ισότητα a m n · m = a n ;
Ιδιότητα πτυχίου nαπό τη δύναμη ενός αριθμού ένα, που είναι θετικό ή ίσο με μηδέν, σε φυσικός βαθμός Μ, που ορίζεται από την ισότητα a m n = a n m ;
Σύγκριση ιδιοτήτων που έχουν τους ίδιους δείκτες: για οποιαδήποτε θετικούς αριθμούς έναΚαι σιτέτοια που ένα< b , η ανισότητα a n< b n ;
Σύγκριση ιδιοτήτων που έχουν τους ίδιους αριθμούςκάτω από τη ρίζα: αν ΜΚαι n -φυσικοί αριθμοί που m > n, μετά στο 0 < a < 1 η ανισότητα a m > a n είναι αληθής, και όταν α > 1εκτέλεσε ένα μ< a n .

Οι ισότητες που δίνονται παραπάνω ισχύουν εάν ανταλλάσσονται τα μέρη πριν και μετά το πρόσημο ίσου. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σε αυτή τη μορφή. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά κατά την απλοποίηση ή τη μετατροπή εκφράσεων.

Η απόδειξη των παραπάνω ιδιοτήτων μιας ρίζας βασίζεται στον ορισμό, τις ιδιότητες του βαθμού και τον ορισμό του συντελεστή μέτρησης ενός αριθμού. Αυτές οι ιδιότητες πρέπει να αποδειχθούν. Όλα όμως είναι εντάξει.

Αρχικά, ας αποδείξουμε τις ιδιότητες της νης ρίζας του γινομένου a · b n = a n · b n . Για έναΚαι β , το οποίοείναι θετικό ή ίσο με μηδέν , η τιμή a n · b n είναι επίσης θετική ή ίση με μηδέν, αφού είναι συνέπεια του πολλαπλασιασμού των μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα ενός προϊόντος στη φυσική δύναμη μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα a n · b n n = a n n · b n n . Εξ ορισμού ρίζας n-ος βαθμός a n n = a και b n n = b , επομένως, a n · b n n = a · b . Η ισότητα που προκύπτει είναι ακριβώς αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια για το προϊόν κπολλαπλασιαστές: για μη αρνητικούς αριθμούς a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Ακολουθούν παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας root n-η δύναμη από το γινόμενο: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 και 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

Ας αποδείξουμε την ιδιότητα της ρίζας του πηλίκου a b n = a n b n . Στο a ≥ 0Και β > 0η συνθήκη a n b n ≥ 0 ικανοποιείται και a n b n n = a n n b n n = a b .

Ας δείξουμε παραδείγματα:

Παράδειγμα 4

8 27 3 = 8 3 27 3 και 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

Για το επόμενο βήμα είναι απαραίτητο να αποδειχθούν οι ιδιότητες του nου βαθμού από τον αριθμό στον βαθμό n. Ας το φανταστούμε ως την ισότητα a 2 m 2 m = a και a 2 m - 1 2 m - 1 = a για οποιοδήποτε πραγματικό ένακαι φυσικό Μ. Στο a ≥ 0παίρνουμε a = a και a 2 m = a 2 m, που αποδεικνύει την ισότητα a 2 m 2 m = a, και η ισότητα a 2 m - 1 2 m - 1 = a είναι προφανής. Στο ένα< 0 παίρνουμε, αντίστοιχα, a = - a και a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Ο τελευταίος μετασχηματισμός ενός αριθμού ισχύει σύμφωνα με την ιδιότητα ισχύος. Αυτό ακριβώς αποδεικνύει ότι η ισότητα a 2 m 2 m = a, και a 2 m - 1 2 m - 1 = a θα ισχύει, αφού ο περιττός βαθμός θεωρείται - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 για οποιοδήποτε αριθμό γ ,θετικό ή ίσο με μηδέν.

Για να ενοποιήσουμε τις πληροφορίες που λάβαμε, ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα χρησιμοποιώντας την ιδιότητα:

Παράδειγμα 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 και (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

Ας αποδείξουμε την ακόλουθη ισότητα a m n = a n m . Για να γίνει αυτό, πρέπει να ανταλλάξετε τους αριθμούς πριν και μετά το σύμβολο ίσου a n · m = a m n . Αυτό σημαίνει ότι η καταχώριση είναι σωστή. Για ένα,που είναι θετικό ή ίσο με μηδέν , της μορφής a m n είναι αριθμός θετικός ή ίσος με μηδέν. Ας στραφούμε στην ιδιότητα της ανύψωσης μιας δύναμης σε μια δύναμη και στον ορισμό της. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να μετατρέψετε ισότητες με τη μορφή a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα της ρίζας της υπό εξέταση ρίζας.

Άλλες ιδιότητες αποδεικνύονται παρόμοια. Πραγματικά, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Για παράδειγμα, 7 3 5 = 7 5 3 και 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

Ας αποδείξουμε επόμενο ακίνητο a m n · m = a n . Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι το a n είναι ένας αριθμός, θετικός ή ίσος με μηδέν. Όταν αυξάνεται στην ισχύ το n m είναι ίσο με είμαι. Εάν ο αριθμός έναείναι θετικό ή ίσο με μηδέν, λοιπόν n-ο βαθμός από μεταξύ έναείναι θετικός αριθμός ή ίσος με μηδέν.Σε αυτή την περίπτωση, a n · m n = a n n m , που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Για να εμπεδώσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε, ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Ας αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα – την ιδιότητα μιας ρίζας μιας δύναμης της μορφής a m n = a n m . Είναι προφανές ότι όταν a ≥ 0ο βαθμός a n m είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Επιπλέον, αυτή nη ισχύς είναι ίση με είμαι, πράγματι, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα του υπό εξέταση πτυχίου.

Για παράδειγμα, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι για τυχόν θετικούς αριθμούς ένακαι β η προϋπόθεση ικανοποιείται ένα< b . Θεωρήστε την ανισότητα a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ένα< b . Επομένως, ένα ν< b n при ένα< b .

Για παράδειγμα, ας δώσουμε 12 4< 15 2 3 4 .

Εξετάστε την ιδιότητα της ρίζας n-ο βαθμός. Είναι απαραίτητο να εξετάσουμε πρώτα το πρώτο μέρος της ανισότητας. Στο m > nΚαι 0 < a < 1 αληθής a m > a n . Ας υποθέσουμε ότι a m ≤ a n. Οι ιδιότητες θα σας επιτρέψουν να απλοποιήσετε την έκφραση σε ένα n m · n ≤ a m m · n . Τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη, ισχύει η ανισότητα a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, δηλαδή, a n ≤ a m. Η λαμβανόμενη τιμή στο m > nΚαι 0 < a < 1 δεν αντιστοιχεί στις ιδιότητες που δίνονται παραπάνω.

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν m > nΚαι α > 1η συνθήκη a m είναι αληθής< a n .

Για να ενοποιήσετε τις παραπάνω ιδιότητες, εξετάστε αρκετές συγκεκριμένα παραδείγματα. Ας δούμε τις ανισώσεις χρησιμοποιώντας συγκεκριμένους αριθμούς.

Παράδειγμα 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Εάν είναι απαραίτητο, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Τύποι ρίζας. Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Στο προηγούμενο μάθημα καταλάβαμε τι είναι η τετραγωνική ρίζα. Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε ποιες υπάρχουν φόρμουλες για ρίζεςτι είναι ιδιότητες των ριζών, και τι μπορεί να γίνει με όλα αυτά.

Τύποι ριζών, ιδιότητες ριζών και κανόνες εργασίας με ρίζες- αυτό είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα. Υπάρχουν εκπληκτικά λίγοι τύποι για τις τετραγωνικές ρίζες. Κάτι που σίγουρα με κάνει χαρούμενο! Ή μάλλον, μπορείτε να γράψετε πολλούς διαφορετικούς τύπους, αλλά για πρακτική και σίγουρη εργασία με ρίζες, μόνο τρεις αρκούν. Όλα τα άλλα πηγάζουν από αυτά τα τρία. Αν και πολλοί άνθρωποι μπερδεύονται με τους τρεις τύπους ρίζας, ναι...

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό. Εδώ είναι αυτή:

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα:
"Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας. Τύποι. Παραδείγματα λύσεων, προβλήματα με απαντήσεις"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας. Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εκπαιδευτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την τάξη 8
Διαδραστικό σχολικό βιβλίο «Γεωμετρία σε 10 λεπτά» για την 8η δημοτικού
Εκπαιδευτικό συγκρότημα "1Γ: Σχολείο. Γεωμετρία, τάξη 8"

Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας

Συνεχίζουμε να μελετάμε τις τετραγωνικές ρίζες. Σήμερα θα δούμε τις βασικές ιδιότητες των ριζών. Όλες οι βασικές ιδιότητες είναι διαισθητικές και συνεπείς με όλες τις λειτουργίες που έχουμε κάνει στο παρελθόν.

Ιδιότητα 1. Τετραγωνική ρίζα του γινομένου δύο μη αρνητικών αριθμών ίσο με το γινόμενοτετραγωνικές ρίζες αυτών των αριθμών: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Συνηθίζεται να αποδεικνύονται οι όποιες ιδιότητες, ας το κάνουμε.
Έστω $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Τότε πρέπει να αποδείξουμε ότι $x=y*z$.
Ας τετραγωνίσουμε κάθε έκφραση.
Αν $\sqrt(a*b)=x$, τότε $a*b=x^2$.
Αν $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, τότε τετραγωνίζοντας και τις δύο παραστάσεις, παίρνουμε: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, δηλαδή $x^2=(y*z)^2$. Εάν τα τετράγωνα δύο μη αρνητικών αριθμών είναι ίσα, τότε οι ίδιοι οι αριθμοί είναι ίσοι, πράγμα που έπρεπε να αποδειχθεί.

Από την ιδιότητά μας προκύπτει ότι, για παράδειγμα, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Σημείωση 1. Η ιδιότητα ισχύει επίσης για την περίπτωση που υπάρχουν περισσότεροι από δύο μη αρνητικοί παράγοντες κάτω από τη ρίζα.
Ιδιοκτησία 2. Αν $a≥0$ και $b>0$, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Δηλαδή η ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.
Απόδειξη.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα και ας αποδείξουμε εν συντομία την περιουσία μας.

Παραδείγματα χρήσης των ιδιοτήτων των τετραγωνικών ριζών

Παράδειγμα 1.
Υπολογίστε: $\sqrt(81*25*121)$.

Λύση.
Φυσικά, μπορούμε να πάρουμε μια αριθμομηχανή, να πολλαπλασιάσουμε όλους τους αριθμούς κάτω από τη ρίζα και να κάνουμε την πράξη εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας. Και αν δεν έχετε αριθμομηχανή στο χέρι, τι πρέπει να κάνετε τότε;
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Απάντηση: 495.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Λύση.
Ας αναπαραστήσουμε τον ριζικό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 $.
Απάντηση: 3.4.

Παράδειγμα 3.
Υπολογίστε: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Λύση.
Μπορούμε να αξιολογήσουμε την έκφρασή μας άμεσα, αλλά μπορεί σχεδόν πάντα να απλοποιηθεί. Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Άρα, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Απάντηση: 32.

Παιδιά, σημειώστε ότι δεν υπάρχουν τύποι για τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης ριζικών εκφράσεων και οι εκφράσεις που παρουσιάζονται παρακάτω δεν είναι σωστές.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Παράδειγμα 4.
Υπολογίστε: α) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; β) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Λύση.
Οι ιδιότητες που παρουσιάζονται παραπάνω λειτουργούν τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από μέσα αντίστροφη σειρά, αυτό είναι:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Χρησιμοποιώντας αυτό, ας λύσουμε το παράδειγμά μας.
α) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

Β) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Απάντηση: α) 16; β) 2.

Ιδιοκτησία 3. Αν $α≥0$ και n είναι φυσικός αριθμός, τότε ισχύει η ισότητα: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Για παράδειγμα. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ και ούτω καθεξής.

Παράδειγμα 5.
Υπολογίστε: $\sqrt(129600)$.

Λύση.
Ο αριθμός που μας παρουσιάζεται είναι αρκετά μεγάλος, ας τον αναλύσουμε σε πρώτους παράγοντες.
Λάβαμε: $129600=5^2*2^6*3^4$ ή $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Απάντηση: 360.

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

1. Υπολογίστε: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Υπολογίστε: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Υπολογίστε: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Υπολογίστε:
α) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
β) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Τα μαθηματικά προέκυψαν όταν ο άνθρωπος συνειδητοποίησε τον εαυτό του και άρχισε να τοποθετεί τον εαυτό του ως μια αυτόνομη μονάδα του κόσμου. Η επιθυμία να μετρήσεις, να συγκρίνεις, να μετρήσεις ό,τι σε περιβάλλει - αυτό είναι που κρύβει ένα από αυτά βασικές επιστήμεςτις μέρες μας. Στην αρχή, αυτά ήταν σωματίδια στοιχειωδών μαθηματικών, τα οποία επέτρεψαν τη σύνδεση αριθμών με τις φυσικές τους εκφράσεις, αργότερα τα συμπεράσματα άρχισαν να παρουσιάζονται μόνο θεωρητικά (λόγω της αφαίρεσης τους), αλλά μετά από λίγο, όπως το έθεσε ένας επιστήμονας, " τα μαθηματικά έφτασαν στο ανώτατο όριο της πολυπλοκότητας όταν εξαφανίστηκαν από αυτό.» όλοι οι αριθμοί». Η έννοια της «τετραγωνικής ρίζας» εμφανίστηκε σε μια εποχή που μπορούσε εύκολα να υποστηριχθεί από εμπειρικά δεδομένα, υπερβαίνοντας το επίπεδο των υπολογισμών.

Εκεί που ξεκίνησαν όλα

Η πρώτη αναφορά της ρίζας, που είναι αυτή τη στιγμήπου συμβολίζεται ως √, καταγράφηκε στα έργα Βαβυλωνίων μαθηματικών, που έθεσαν τα θεμέλια για τη σύγχρονη αριθμητική. Φυσικά, ελάχιστα έμοιαζαν με τη σημερινή μορφή - οι επιστήμονες εκείνων των χρόνων χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά ογκώδη δισκία. Όμως στη δεύτερη χιλιετία π.Χ. μι. Κατέληξαν σε έναν κατά προσέγγιση τύπο υπολογισμού που έδειξε πώς να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα. Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει μια πέτρα στην οποία οι Βαβυλώνιοι επιστήμονες χάραξαν τη διαδικασία για την εξαγωγή του √2, και αποδείχθηκε τόσο σωστή που η απόκλιση στην απάντηση βρέθηκε μόνο στο δέκατο δεκαδικό ψηφίο.

Επιπλέον, η ρίζα χρησιμοποιήθηκε εάν ήταν απαραίτητο να βρεθεί μια πλευρά ενός τριγώνου, με την προϋπόθεση ότι οι άλλες δύο ήταν γνωστές. Λοιπόν, όταν λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις, δεν υπάρχει διαφυγή από την εξαγωγή της ρίζας.

Μαζί με τα βαβυλωνιακά έργα, το αντικείμενο του άρθρου μελετήθηκε επίσης στο κινεζικό έργο «Mathematics in Nine Books» και οι αρχαίοι Έλληνες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οποιοσδήποτε αριθμός από τον οποίο δεν μπορεί να εξαχθεί η ρίζα χωρίς υπόλοιπο δίνει ένα παράλογο αποτέλεσμα. .

Προέλευση αυτός ο όροςσχετίζεται με την αραβική αναπαράσταση του αριθμού: οι αρχαίοι επιστήμονες πίστευαν ότι το τετράγωνο ενός αυθαίρετου αριθμού μεγαλώνει από μια ρίζα, όπως ένα φυτό. Στα λατινικά, αυτή η λέξη ακούγεται σαν ρίζα (μπορείτε να εντοπίσετε ένα μοτίβο - ό,τι έχει έννοια "ρίζα" είναι σύμφωνο, είτε είναι ραπανάκι είτε ριζίτιδα).

Οι επιστήμονες των επόμενων γενεών άντλησαν αυτήν την ιδέα, χαρακτηρίζοντάς την ως Rx. Για παράδειγμα, τον 15ο αιώνα, για να υποδείξουν ότι πάρθηκε η τετραγωνική ρίζα ενός αυθαίρετου αριθμού α, έγραψαν R 2 a. Συνήθης μοντέρνα άποψηΤο «τσιμπούρι» √ εμφανίστηκε μόλις τον 17ο αιώνα χάρη στον Ρενέ Ντεκάρτ.

Οι μέρες μας

Με μαθηματικούς όρους, η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού y είναι ο αριθμός z του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με y. Με άλλα λόγια, το z 2 =y είναι ισοδύναμο με √y=z. Ωστόσο αυτόν τον ορισμόσχετικές μόνο για αριθμητική ρίζα, αφού υποδηλώνει μια μη αρνητική τιμή της έκφρασης. Με άλλα λόγια, √y=z, όπου το z είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0.

ΣΕ γενική περίπτωση, που δρα για τον προσδιορισμό της αλγεβρικής ρίζας, η τιμή της έκφρασης μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική. Έτσι, λόγω του γεγονότος ότι z 2 =y και (-z) 2 =y, έχουμε: √y=±z ή √y=|z|.

Λόγω του γεγονότος ότι η αγάπη για τα μαθηματικά έχει αυξηθεί μόνο με την ανάπτυξη της επιστήμης, υπάρχουν διάφορες εκδηλώσεις στοργής για αυτά που δεν εκφράζονται σε ξηρούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, μαζί με τέτοια ενδιαφέροντα φαινόμενα όπως η Ημέρα του Πι, γιορτάζονται επίσης οι διακοπές της τετραγωνικής ρίζας. Γιορτάζονται εννέα φορές κάθε εκατό χρόνια και καθορίζονται από στην ακόλουθη αρχή: οι αριθμοί που υποδεικνύουν κατά σειρά την ημέρα και τον μήνα, πρέπει να είναι η τετραγωνική ρίζα του έτους. Έτσι, η επόμενη φορά που θα γιορτάσουμε αυτή τη γιορτή είναι στις 4 Απριλίου 2016.

Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας στο πεδίο R

Σχεδόν τα πάντα μαθηματικές εκφράσειςέχουν γεωμετρική βάση, αυτή η μοίρα δεν ξέφυγε από το √y, το οποίο ορίζεται ως η πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδόν y.

Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού;

Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι υπολογισμού. Ο απλούστερος, αλλά ταυτόχρονα αρκετά δυσκίνητος, είναι ο συνηθισμένος αριθμητικός υπολογισμός, ο οποίος έχει ως εξής:

1) από τον αριθμό του οποίου τη ρίζα χρειαζόμαστε, οι περιττοί αριθμοί αφαιρούνται με τη σειρά τους - έως ότου το υπόλοιπο στην έξοδο είναι μικρότερο από το αφαιρούμενο ή ακόμη και ίσο με το μηδέν. Ο αριθμός των κινήσεων θα γίνει τελικά ο επιθυμητός αριθμός. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα του 25:

ΕΠΟΜΕΝΟ περιττός αριθμός- αυτό είναι 11, το υπόλοιπο είναι το εξής: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Για τέτοιες περιπτώσεις υπάρχει μια επέκταση της σειράς Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , όπου το n παίρνει τιμές από 0 έως

+∞ και |y|≤1.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης z=√y

Ας θεωρήσουμε τη στοιχειώδη συνάρτηση z=√y στο πεδίο των πραγματικών αριθμών R, όπου το y είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Το πρόγραμμά του μοιάζει με αυτό:

Η καμπύλη μεγαλώνει από την αρχή και αναγκαστικά τέμνει το σημείο (1; 1).

Ιδιότητες της συνάρτησης z=√y στο πεδίο των πραγματικών αριθμών R

1. Το πεδίο ορισμού της υπό εξέταση συνάρτησης είναι το διάστημα από το μηδέν έως το συν άπειρο (συμπεριλαμβάνεται το μηδέν).

2. Το εύρος τιμών της υπό εξέταση συνάρτησης είναι το διάστημα από το μηδέν έως το συν άπειρο (περιλαμβάνεται και πάλι το μηδέν).

3. Η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή της (0) μόνο στο σημείο (0; 0). Δεν υπάρχει μέγιστη τιμή.

4. Η συνάρτηση z=√y δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

5. Η συνάρτηση z=√y δεν είναι περιοδική.

6. Υπάρχει μόνο ένα σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης z=√y με τους άξονες συντεταγμένων: (0; 0).

7. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης z=√y είναι και το μηδέν αυτής της συνάρτησης.

8. Η συνάρτηση z=√y αυξάνεται συνεχώς.

9. Η συνάρτηση z=√y παίρνει μόνο θετικές τιμές, επομένως, η γραφική παράσταση της καταλαμβάνει την πρώτη γωνία συντεταγμένων.

Επιλογές για την εμφάνιση της συνάρτησης z=√y

Στα μαθηματικά, για να διευκολυνθεί ο υπολογισμός μιγαδικών παραστάσεων, χρησιμοποιείται μερικές φορές η μορφή ισχύος της γραφής της τετραγωνικής ρίζας: √y=y 1/2. Αυτή η επιλογή είναι βολική, για παράδειγμα, στην αύξηση μιας συνάρτησης σε ισχύ: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Αυτή η μέθοδος είναι επίσης μια καλή αναπαράσταση για διαφοροποίηση με ολοκλήρωση, αφού χάρη σε αυτήν η τετραγωνική ρίζα αναπαρίσταται ως μια συνηθισμένη συνάρτηση ισχύος.

Και στον προγραμματισμό, η αντικατάσταση του συμβόλου √ είναι ο συνδυασμός των γραμμάτων sqrt.

Αξίζει να σημειωθεί ότι σε αυτήν την περιοχή η τετραγωνική ρίζα έχει μεγάλη ζήτηση, καθώς αποτελεί μέρος των περισσότερων γεωμετρικών τύπων που είναι απαραίτητοι για υπολογισμούς. Ο ίδιος ο αλγόριθμος μέτρησης είναι αρκετά περίπλοκος και βασίζεται στην αναδρομή (μια συνάρτηση που καλεί τον εαυτό του).

Τετράγωνη ρίζα στο μιγαδικό πεδίο Γ

Σε γενικές γραμμές, ήταν το θέμα αυτού του άρθρου που ώθησε την ανακάλυψη του πεδίου των μιγαδικών αριθμών C, καθώς οι μαθηματικοί κυνηγούνταν από το ζήτημα της απόκτησης μιας άρτιας ρίζας ενός αρνητικού αριθμού. Έτσι εμφανίστηκε η φανταστική μονάδα i, η οποία χαρακτηρίζεται από μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα: το τετράγωνό της είναι -1. Χάρη σε αυτό, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις λύθηκαν ακόμη και με αρνητική διάκριση. Στο C, οι ίδιες ιδιότητες είναι σχετικές με την τετραγωνική ρίζα όπως στο R, το μόνο πράγμα είναι ότι αφαιρούνται οι περιορισμοί στην έκφραση ριζών.