Πιθανοί συνδυασμοί. Συνδυασμοί

Εξετάστε το πρόβλημα της μέτρησης του αριθμού των δειγμάτων από ένα δεδομένο σύνολο σε γενικούς όρους. Ας γίνει κάποιο σετ Ν, που αποτελείται από n στοιχεία. Οποιοδήποτε υποσύνολο του Μ στοιχεία μπορούν να ληφθούν υπόψη χωρίς να ληφθεί υπόψη η σειρά τους, και μαζί με αυτό, δηλ. όταν αλλάζετε την παραγγελία, πηγαίνετε σε άλλη Μ- δειγματοληψία.

Διατυπώνουμε τους παρακάτω ορισμούς:

Τοποθετήσεις χωρίς επανάληψη

Τοποθετώντας χωρίς επανάληψηn στοιχεία απόΜ Νπου περιέχειΜδιάφορα στοιχεία.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι δύο διατάξεις διαφέρουν μεταξύ τους, τόσο ως προς τα στοιχεία όσο και ως προς τη σειρά τους, ακόμη και αν τα στοιχεία είναι ίδια.

Θεώρημα 3. Ο αριθμός των τοποθετήσεων χωρίς επανάληψη είναι ίσος με το γινόμενο Μ παράγοντες, ο μεγαλύτερος από τους οποίους είναι ο αριθμός n . Σημειωσε:

Μεταθέσεις χωρίς επανάληψη

Μεταθέσεις απόn στοιχεία ονομάζονται διαφορετικές τάξεις του συνόλουΝ.

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι δύο μεταθέσεις διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των στοιχείων και μπορούν να θεωρηθούν ως ειδική περίπτωση διατάξεων.

Θεώρημα 4. Ο αριθμός των διαφορετικών μεταθέσεων χωρίς επανάληψη υπολογίζεται από τον τύπο

Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη

Ένας συνδυασμός χωρίς επανάληψηn στοιχεία απόΜ καλείται κάθε μη διατεταγμένο υποσύνολο ενός συνόλουΝπου περιέχειΜ διάφορα στοιχεία.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι δύο συνδυασμοί διαφέρουν μόνο σε στοιχεία, η σειρά δεν είναι σημαντική.

Θεώρημα 5. Ο αριθμός των συνδυασμών χωρίς επαναλήψεις υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν από τους παρακάτω τύπους:

Παράδειγμα 1. Υπάρχουν 5 καρέκλες στο δωμάτιο. Με πόσους τρόπους μπορείτε να τοποθετήσετε

α) 7 άτομα. β) 5 άτομα? γ) 3 άτομα;

Λύση:α) Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να επιλέξετε 5 άτομα από τα 7 για να καθίσετε στις καρέκλες. Μπορεί να γίνει
τρόπος. Με κάθε επιλογή ενός συγκεκριμένου πέντε, μπορεί κανείς να παράγει
μεταθέσεις κατά τόπους. Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού, ο επιθυμητός αριθμός μεθόδων προσγείωσης είναι ίσος.

Σχόλιο:Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μόνο το θεώρημα γινομένου, υποστηρίζοντας ως εξής: υπάρχουν 7 επιλογές για προσγείωση στην 1η καρέκλα, 6 επιλογές στη 2η καρέκλα, 5 στην 3η, 4 στην 4η και 5η -3. Τότε ο αριθμός των τρόπων για να καθίσετε 7 άτομα σε 5 καρέκλες είναι ίσος με . Οι λύσεις είναι συνεπείς και στις δύο απόψεις, αφού

β) Η λύση είναι προφανής -

σε) - τον αριθμό των επιλογών των κατειλημμένων καρεκλών.

- τον αριθμό των τοποθετήσεων τριών ατόμων σε τρεις επιλεγμένες καρέκλες.

Ο συνολικός αριθμός των επιλογών είναι .

Δεν είναι δύσκολο να ελέγξετε τους τύπους
;

;

Ο αριθμός όλων των υποσυνόλων του συνόλου που αποτελείται από nστοιχεία.

Τοποθετήσεις με επανάληψη

Τοποθέτηση με επανάληψη απόn στοιχεία απόΜ είναι οποιοδήποτε διατεταγμένο υποσύνολο ενός συνόλουΝ, που αποτελείται απόΜ στοιχεία έτσι ώστε οποιοδήποτε στοιχείο μπορεί να συμπεριληφθεί σε αυτό το υποσύνολο από 1 έωςΜφορές, ή καθόλου.

Ο αριθμός των τοποθετήσεων με επανάληψη συμβολίζεται και υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο, ο οποίος είναι συνέπεια του θεωρήματος του πολλαπλασιασμού:

Παράδειγμα 2. Έστω ένα σύνολο τριών γραμμάτων N = (a, b, c). Ας ονομάσουμε μια λέξη οποιοδήποτε σύνολο γραμμάτων περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο. Ας βρούμε τον αριθμό των λέξεων μήκους 2 που μπορούν να σχηματιστούν από αυτά τα γράμματα:
.

Σχόλιο:Προφανώς, μπορούν επίσης να ληφθούν υπόψη ρυθμίσεις με επανάληψη
.

Παράδειγμα 3. Απαιτείται από τα γράμματα (α, β) να συνθέσετε όλες τις πιθανές λέξεις μήκους 3. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Απάντηση:

Η συνδυαστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά ερωτήματα σχετικά με το πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί, υπό ορισμένες συνθήκες, μπορούν να γίνουν από δεδομένα αντικείμενα. Τα βασικά στοιχεία της συνδυαστικής είναι πολύ σημαντικά για την εκτίμηση των πιθανοτήτων τυχαίων γεγονότων, επειδή Είναι αυτοί που καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό του βασικά δυνατού αριθμού διαφορετικών σεναρίων για την εξέλιξη των γεγονότων.

Βασικός τύπος συνδυαστικής

Έστω k ομάδες στοιχείων, και η i-η ομάδα αποτελείται από n i στοιχεία. Ας επιλέξουμε ένα στοιχείο από κάθε ομάδα. Τότε ο συνολικός αριθμός N των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει μια τέτοια επιλογή προσδιορίζεται από τη σχέση N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Παράδειγμα 1Ας εξηγήσουμε αυτόν τον κανόνα με ένα απλό παράδειγμα. Έστω δύο ομάδες στοιχείων, η πρώτη ομάδα αποτελείται από n 1 στοιχεία και η δεύτερη - από n 2 στοιχεία. Πόσα διαφορετικά ζεύγη στοιχείων μπορούν να γίνουν από αυτές τις δύο ομάδες, ώστε το ζεύγος να περιέχει ένα στοιχείο από κάθε ομάδα; Ας υποθέσουμε ότι πήραμε το πρώτο στοιχείο από την πρώτη ομάδα και, χωρίς να το αλλάξουμε, περάσαμε από όλα τα πιθανά ζεύγη, αλλάζοντας μόνο τα στοιχεία από τη δεύτερη ομάδα. Υπάρχουν n 2 τέτοια ζεύγη για αυτό το στοιχείο. Στη συνέχεια παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από την πρώτη ομάδα και φτιάχνουμε επίσης όλα τα πιθανά ζεύγη για αυτό. Θα υπάρχουν επίσης n 2 τέτοια ζευγάρια. Εφόσον υπάρχουν μόνο n 1 στοιχεία στην πρώτη ομάδα, θα υπάρχουν n 1 *n 2 πιθανές επιλογές.

Παράδειγμα 2Πόσοι τριψήφιοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να γίνουν από τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 αν τα ψηφία μπορούν να επαναληφθούν;
Λύση: n 1 \u003d 6 (αφού μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε ψηφίο από το 1, 2, 3, 4, 5, 6 ως πρώτο ψηφίο), n 2 \u003d 7 (αφού μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε ψηφίο από το 0 ως δεύτερο ψηφίο , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (καθώς μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε ψηφίο από το 0, 2, 4, 6 ως τρίτο ψηφίο).
Άρα, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Στην περίπτωση που όλες οι ομάδες αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό στοιχείων, δηλ. n 1 =n 2 =...n k =n μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε επιλογή γίνεται από την ίδια ομάδα και το στοιχείο επιστρέφει στην ομάδα μετά την επιλογή. Τότε ο αριθμός όλων των τρόπων επιλογής είναι ίσος με n k . Αυτός ο τρόπος επιλογής στη συνδυαστική ονομάζεται επιστροφή δειγμάτων.

Παράδειγμα 3Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1, 5, 6, 7, 8;
Λύση.Υπάρχουν πέντε δυνατότητες για κάθε ψηφίο ενός τετραψήφιου αριθμού, άρα N=5*5*5*5=5 4 =625.

Θεωρήστε ένα σύνολο που αποτελείται από n στοιχεία. Αυτό το σύνολο στη συνδυαστική ονομάζεται γενικός πληθυσμός.

Αριθμός τοποθετήσεων από n στοιχεία κατά m

Ορισμός 1.Διαμονή από nστοιχεία από Μστη συνδυαστική ονομάζεται οποιαδήποτε παραγγελθέν σεταπό Μδιάφορα στοιχεία επιλεγμένα από τον γενικό πληθυσμό σε nστοιχεία.

Παράδειγμα 4Διαφορετικές διατάξεις τριών στοιχείων (1, 2, 3) δύο προς δύο θα είναι σύνολα (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2). Οι τοποθετήσεις μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς τα στοιχεία όσο και ως προς τη σειρά τους.

Ο αριθμός των τοποθετήσεων στα συνδυαστικά συμβολίζεται με A n m και υπολογίζεται από τον τύπο:

Σχόλιο: n!=1*2*3*...*n (διαβάστε: "en factorial"), επιπλέον, υποτίθεται ότι 0!=1.

Παράδειγμα 5. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί υπάρχουν στους οποίους το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των μονάδων είναι διαφορετικά και περιττά;
Λύση:επειδή υπάρχουν πέντε περιττά ψηφία, δηλαδή 1, 3, 5, 7, 9, τότε αυτό το πρόβλημα περιορίζεται στην επιλογή και την τοποθέτηση δύο από τα πέντε διαφορετικά ψηφία σε δύο διαφορετικές θέσεις, δηλ. οι αριθμοί που δίνονται θα είναι:

Ορισμός 2. Συνδυασμόςαπό nστοιχεία από Μστη συνδυαστική ονομάζεται οποιαδήποτε σετ χωρίς παραγγελίααπό Μδιάφορα στοιχεία επιλεγμένα από τον γενικό πληθυσμό σε nστοιχεία.

Παράδειγμα 6. Για το σετ (1, 2, 3), οι συνδυασμοί είναι (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Αριθμός συνδυασμών n στοιχείων κατά m

Ο αριθμός των συνδυασμών συμβολίζεται με C n m και υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 7Με πόσους τρόπους μπορεί ο αναγνώστης να επιλέξει δύο βιβλία από τα έξι διαθέσιμα;

Λύση:Ο αριθμός των τρόπων είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών έξι βιβλίων επί δύο, δηλ. ισούται με:

Μεταθέσεις n στοιχείων

Ορισμός 3. Μετάθεσηαπό nστοιχεία ονομάζεται οποιοδήποτε παραγγελθέν σεταυτά τα στοιχεία.

Παράδειγμα 7α.Όλες οι πιθανές μεταθέσεις ενός συνόλου που αποτελείται από τρία στοιχεία (1, 2, 3) είναι: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Ο αριθμός των διαφορετικών μεταθέσεων n στοιχείων συμβολίζεται με P n και υπολογίζεται με τον τύπο P n =n!.

Παράδειγμα 8Με πόσους τρόπους μπορούν να τακτοποιηθούν στη σειρά σε ένα ράφι επτά βιβλία διαφορετικών συγγραφέων;

Λύση:αυτό το πρόβλημα αφορά τον αριθμό των μεταθέσεων επτά διαφορετικών βιβλίων. Υπάρχουν P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 τρόποι για να τακτοποιήσετε τα βιβλία.

Συζήτηση.Βλέπουμε ότι ο αριθμός των πιθανών συνδυασμών μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με διαφορετικούς κανόνες (μεταθέσεις, συνδυασμοί, τοποθετήσεις) και το αποτέλεσμα θα είναι διαφορετικό, επειδή η αρχή της μέτρησης και οι ίδιοι οι τύποι είναι διαφορετικοί. Εξετάζοντας προσεκτικά τους ορισμούς, μπορείτε να δείτε ότι το αποτέλεσμα εξαρτάται από πολλούς παράγοντες ταυτόχρονα.

Πρώτον, από πόσα στοιχεία μπορούμε να συνδυάσουμε τα σύνολα τους (πόσο μεγάλος είναι ο γενικός πληθυσμός των στοιχείων).

Δεύτερον, το αποτέλεσμα εξαρτάται από το μέγεθος των συνόλων στοιχείων που χρειαζόμαστε.

Τέλος, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε αν η σειρά των στοιχείων στο σετ είναι σημαντική για εμάς. Ας εξηγήσουμε τον τελευταίο παράγοντα με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 9Υπάρχουν 20 άτομα στη συνάντηση γονέων. Πόσες διαφορετικές επιλογές για τη σύνθεση της γονικής επιτροπής υπάρχουν εάν πρέπει να περιλαμβάνει 5 άτομα;
Λύση:Σε αυτό το παράδειγμα, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των ονομάτων στη λίστα επιτροπών. Εάν, ως αποτέλεσμα, εμφανίζονται τα ίδια άτομα στη σύνθεσή του, τότε όσον αφορά το νόημα για εμάς αυτή είναι η ίδια επιλογή. Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε τον αριθμό συνδυασμοίαπό 20 στοιχεία, 5.

Τα πράγματα θα είναι διαφορετικά εάν κάθε μέλος της επιτροπής είναι αρχικά υπεύθυνο για έναν συγκεκριμένο τομέα εργασίας. Τότε με το ίδιο μισθολόγιο της επιτροπής είναι δυνατά 5 μέσα σε αυτό! επιλογές μεταθέσειςαυτό το θέμα. Ο αριθμός των διαφορετικών επιλογών (τόσο ως προς τη σύνθεση όσο και ως προς την περιοχή ευθύνης) καθορίζεται σε αυτήν την περίπτωση από τον αριθμό τοποθετήσειςαπό 20 στοιχεία, 5.

Εργασίες για αυτοέλεγχο
1. Πόσοι τριψήφιοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 αν οι αριθμοί μπορούν να επαναληφθούν;

2. Πόσοι πενταψήφιοι αριθμοί υπάρχουν που διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τα αριστερά;

3. Υπάρχουν δέκα μαθήματα στην τάξη και πέντε μαθήματα την ημέρα. Με πόσους τρόπους μπορείτε να κάνετε ένα πρόγραμμα για μια μέρα;

4. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν 4 εκπρόσωποι για το συνέδριο εάν υπάρχουν 20 άτομα στην ομάδα;

5. Με πόσους τρόπους μπορούν να μπουν οκτώ διαφορετικά γράμματα σε οκτώ διαφορετικούς φακέλους, αν τοποθετηθεί μόνο ένα γράμμα σε κάθε φάκελο;

6. Από τρεις μαθηματικούς και δέκα οικονομολόγους είναι απαραίτητο να γίνει μια επιτροπή αποτελούμενη από δύο μαθηματικούς και έξι οικονομολόγους. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η συνδυαστική είναι ένα ανεξάρτητο τμήμα των ανώτερων μαθηματικών (και όχι μέρος του terver) και έχουν γραφτεί βαριά εγχειρίδια σε αυτόν τον κλάδο, το περιεχόμενο των οποίων, κατά καιρούς, δεν είναι ευκολότερο από την αφηρημένη άλγεβρα. Ωστόσο, ένα μικρό μερίδιο θεωρητικής γνώσης θα είναι αρκετό για εμάς και σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσω να αναλύσω τα βασικά του θέματος με τυπικά συνδυαστικά προβλήματα σε μια προσιτή μορφή. Και πολλοί από εσάς θα με βοηθήσετε ;-)

Τι θα κάνουμε? Με μια στενή έννοια, συνδυαστική είναι ο υπολογισμός διαφόρων συνδυασμών που μπορούν να γίνουν από ένα συγκεκριμένο σύνολο διακεκριμένοςαντικείμενα. Ως αντικείμενα νοούνται οποιαδήποτε μεμονωμένα αντικείμενα ή ζωντανά όντα - άνθρωποι, ζώα, μανιτάρια, φυτά, έντομα κ.λπ. Ταυτόχρονα, η συνδυαστική δεν νοιάζεται καθόλου που το σετ αποτελείται από ένα πιάτο σιμιγδάλι, ένα κολλητήρι και έναν βάλτο βάτραχο. Είναι θεμελιωδώς σημαντικό ότι αυτά τα αντικείμενα είναι αναρίθμητα - υπάρχουν τρία από αυτά. (διακριτικότητα)και είναι σημαντικό κανένα από αυτά να μην είναι όμοιο.

Με τα πολλά τακτοποιημένα, τώρα για τους συνδυασμούς. Οι πιο συνηθισμένοι τύποι συνδυασμών είναι οι μεταθέσεις αντικειμένων, η επιλογή τους από ένα σύνολο (συνδυασμός) και η κατανομή (τοποθέτηση). Ας δούμε πώς συμβαίνει αυτό τώρα:

Μεταθέσεις, συνδυασμοί και τοποθετήσεις χωρίς επανάληψη

Μην φοβάστε τους σκοτεινούς όρους, ειδικά επειδή ορισμένοι από αυτούς δεν είναι πραγματικά πολύ επιτυχημένοι. Ας ξεκινήσουμε με την ουρά του τίτλου - τι σημαίνει " χωρίς επανάληψη"; Αυτό σημαίνει ότι σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουμε σύνολα που αποτελούνται από διάφοροςαντικείμενα. Για παράδειγμα, ... όχι, δεν θα προσφέρω χυλό με κολλητήρι και βάτραχο, κάτι πιο νόστιμο είναι καλύτερο =) Φανταστείτε ότι ένα μήλο, ένα αχλάδι και μια μπανάνα υλοποιήθηκαν στο τραπέζι μπροστά σας (αν υπάρχουν οποιαδήποτε, η κατάσταση μπορεί να προσομοιωθεί σε πραγματικό). Απλώνουμε τα φρούτα από αριστερά προς τα δεξιά με την ακόλουθη σειρά:

μήλο / αχλάδι / μπανάνα

Ερώτηση ένα: Με πόσους τρόπους μπορούν να αναδιαταχθούν;

Ένας συνδυασμός έχει ήδη γραφτεί παραπάνω και δεν υπάρχουν προβλήματα με τους υπόλοιπους:

μήλο / μπανάνα / αχλάδι
αχλάδι / μήλο / μπανάνα
αχλάδι / μπανάνα / μήλο
μπανάνα / μήλο / αχλάδι
μπανάνα / αχλάδι / μήλο

Σύνολο: 6 συνδυασμοί ή 6 μεταθέσεις.

Λοιπόν, δεν ήταν δύσκολο να απαριθμήσω όλες τις πιθανές περιπτώσεις εδώ, αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν περισσότερα στοιχεία; Ήδη με τέσσερα διαφορετικά φρούτα, ο αριθμός των συνδυασμών θα αυξηθεί σημαντικά!

Ανοίξτε το υλικό αναφοράς (Το εγχειρίδιο εκτυπώνεται εύκολα)και στην παράγραφο 2, βρείτε τον τύπο για τον αριθμό των μεταθέσεων.

Κανένα μαρτύριο - 3 αντικείμενα μπορούν να αναδιαταχθούν με τρόπους.

Ερώτηση δεύτερη: Με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε α) ένα φρούτο, β) δύο φρούτα, γ) τρία φρούτα, δ) τουλάχιστον ένα φρούτο;

Γιατί να επιλέξετε; Άνοιξαν λοιπόν όρεξη στην προηγούμενη παράγραφο - για να φάνε! =)

α) Ένα φρούτο μπορεί να επιλεγεί, προφανώς, με τρεις τρόπους - πάρτε είτε ένα μήλο, είτε ένα αχλάδι ή μια μπανάνα. Η επίσημη καταμέτρηση βασίζεται σε τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών:

Η καταχώριση σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: "με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε 1 φρούτο από τα τρία;"

β) Παραθέτουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς δύο φρούτων:

μήλο και αχλάδι?
μήλο και μπανάνα?
αχλάδι και μπανάνα.

Ο αριθμός των συνδυασμών είναι εύκολο να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο:

Το λήμμα κατανοείται με τον ίδιο τρόπο: «με πόσους τρόπους μπορείς να επιλέξεις 2 φρούτα από τα τρία;».

γ) Και τέλος, τρία φρούτα μπορούν να επιλεγούν με μοναδικό τρόπο:

Παρεμπιπτόντως, ο τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών έχει νόημα και για ένα κενό δείγμα:
Με αυτόν τον τρόπο, δεν μπορείτε να επιλέξετε ούτε ένα φρούτο - στην πραγματικότητα, να μην πάρετε τίποτα και αυτό είναι.

δ) Με πόσους τρόπους μπορείτε να πάρετε τουλάχιστον ένακαρπός? Η συνθήκη «τουλάχιστον μία» σημαίνει ότι είμαστε ικανοποιημένοι με 1 φρούτο (οποιοδήποτε) ή οποιοδήποτε 2 φρούτο ή και τα 3 φρούτα:
τρόπους με τους οποίους μπορείτε να επιλέξετε τουλάχιστον ένα φρούτο.

Αναγνώστες που έχουν μελετήσει προσεκτικά το εισαγωγικό μάθημα για θεωρία πιθανοτήτωνέχει ήδη καταλάβει κάτι. Αλλά για την έννοια του πρόσημου αργότερα.

Για να απαντήσω στην επόμενη ερώτηση, χρειάζομαι δύο εθελοντές ... ... Λοιπόν, αφού κανείς δεν θέλει, τότε θα καλέσω στον πίνακα =)

Ερώτηση τρίτη: Με πόσους τρόπους μπορεί να διανεμηθεί ένα φρούτο στη Ντάσα και τη Νατάσα;

Για να διανείμετε δύο φρούτα, πρέπει πρώτα να τα επιλέξετε. Σύμφωνα με την παράγραφο "be" της προηγούμενης ερώτησης, αυτό μπορεί να γίνει με τρόπους, θα τους ξαναγράψω:

μήλο και αχλάδι?
μήλο και μπανάνα?
αχλάδι και μπανάνα.

Τώρα όμως θα υπάρχουν διπλάσιοι συνδυασμοί. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το πρώτο ζευγάρι φρούτων:
μπορείτε να περιποιηθείτε τη Dasha με ένα μήλο και τη Νατάσα με ένα αχλάδι.
ή το αντίστροφο - η Ντάσα θα πάρει το αχλάδι και η Νατάσα το μήλο.

Και μια τέτοια μετάθεση είναι δυνατή για κάθε ζευγάρι φρούτων.

Σκεφτείτε την ίδια φοιτητική ομάδα που πήγε στο χορό. Με πόσους τρόπους μπορεί να συνδυαστεί ένα αγόρι και ένα κορίτσι;

Τρόποι με τους οποίους μπορείτε να επιλέξετε 1 νεαρό άνδρα.
τρόποι που μπορείτε να επιλέξετε 1 κορίτσι.

Ένας νεαρός λοιπόν καιμπορεί να επιλεγεί ένα κορίτσι: τρόπους.

Όταν επιλέγεται 1 αντικείμενο από κάθε σύνολο, τότε ισχύει η ακόλουθη αρχή μέτρησης συνδυασμών: καθεένα αντικείμενο από ένα σύνολο μπορεί να σχηματίσει ένα ζευγάρι με κάθεαντικείμενο άλλου συνόλου.

Δηλαδή, ο Όλεγκ μπορεί να καλέσει οποιοδήποτε από τα 13 κορίτσια να χορέψουν, ο Ευγένιος - επίσης οποιοδήποτε από τα δεκατρία, και άλλοι νέοι έχουν παρόμοια επιλογή. Σύνολο: πιθανά ζευγάρια.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτό το παράδειγμα, η "ιστορία" του σχηματισμού ζευγαριών δεν έχει σημασία. Ωστόσο, αν ληφθεί υπόψη η πρωτοβουλία, τότε ο αριθμός των συνδυασμών πρέπει να διπλασιαστεί, αφού κάθε ένα από τα 13 κορίτσια μπορεί να καλέσει και οποιοδήποτε αγόρι να χορέψει. Όλα εξαρτώνται από τις συνθήκες μιας συγκεκριμένης εργασίας!

Μια παρόμοια αρχή ισχύει για πιο σύνθετους συνδυασμούς, για παράδειγμα: με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν δύο νέοι άνδρες καιδύο κορίτσια να συμμετάσχουν σε ένα σκετς KVN;

Ενωση Καιυποδηλώνει ξεκάθαρα ότι οι συνδυασμοί πρέπει να πολλαπλασιαστούν:

Πιθανές ομάδες καλλιτεχνών.

Με άλλα λόγια, καθεζευγάρι αγοριών (45 μοναδικά ζευγάρια) μπορούν να διαγωνιστούν όποιοςένα ζευγάρι κοριτσιών (78 μοναδικά ζευγάρια). Και αν σκεφτούμε την κατανομή των ρόλων μεταξύ των συμμετεχόντων, τότε θα υπάρξουν ακόμη περισσότεροι συνδυασμοί. ... Το θέλω πολύ, αλλά παρόλα αυτά θα αποφύγω να συνεχίσω, για να μην σας εμφυσήσω μια απέχθεια για τη φοιτητική ζωή =).

Ο κανόνας πολλαπλασιασμού ισχύει για περισσότερους πολλαπλασιαστές:

Εργασία 8

Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί διαιρούνται με το 5;

Λύση: για λόγους σαφήνειας, συμβολίζουμε αυτόν τον αριθμό με τρεις αστερίσκους: ***

ΣΤΟ εκατοντάδες μέροςμπορείτε να γράψετε οποιονδήποτε από τους αριθμούς (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ή 9). Το μηδέν δεν είναι καλό, γιατί σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός παύει να είναι τριψήφιος.

Αλλά σε θέση δεκάδων("στη μέση") μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία: .

Κατά συνθήκη, ο αριθμός πρέπει να διαιρείται με το 5. Ο αριθμός διαιρείται με το 5 αν τελειώνει σε 5 ή 0. Έτσι, στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο, ικανοποιούμαστε με 2 ψηφία.

Σύνολο, υπάρχει: τριψήφιοι αριθμοί που διαιρούνται με το 5.

Παράλληλα, το έργο αποκρυπτογραφείται ως εξής: «9 τρόποι με τους οποίους μπορείς να επιλέξεις έναν αριθμό εκατοντάδες μέρος και 10 τρόποι για να επιλέξετε έναν αριθμό θέση δεκάδων και 2 τρόποι εισόδου ψηφίο μονάδας»

Ή ακόμα πιο απλό: καθεαπό 9 ψηφία έως εκατοντάδες μέροςσε συνδυασμό με κάθετων 10 ψηφίων θέση δεκάδων και με το καθέναδύο ψηφίων ψηφίο μονάδων».

Απάντηση: 180

Και τώρα…

Ναι, σχεδόν ξέχασα τον υποσχεμένο σχολιασμό του προβλήματος Νο. 5, στο οποίο οι Borya, Dima και Volodya μπορούν να μοιράζονται από ένα φύλλο στον καθένα με διαφορετικούς τρόπους. Ο πολλαπλασιασμός εδώ έχει το ίδιο νόημα: με τρόπους που μπορείτε να εξαγάγετε 3 φύλλα από την τράπουλα Και σε κάθεδείγμα για να τα αναδιατάξετε τρόπους.

Και τώρα το πρόβλημα για μια ανεξάρτητη λύση ... τώρα θα καταλήξω σε κάτι πιο ενδιαφέρον, ... ας είναι για την ίδια ρωσική έκδοση του blackjack:

Εργασία 9

Πόσοι νικηφόροι συνδυασμοί 2 φύλλων υπάρχουν σε ένα παιχνίδι «πόντους»;

Για όσους δεν γνωρίζουν: κερδίζει συνδυασμός 10 + ΑΣΟΣ (11 πόντοι) = 21 πόντοι και, ας εξετάσουμε τον νικηφόρο συνδυασμό δύο άσων.

(η σειρά των φύλλων σε οποιοδήποτε ζευγάρι δεν έχει σημασία)

Σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Παρεμπιπτόντως, δεν είναι απαραίτητο να θεωρήσουμε ένα παράδειγμα πρωτόγονο. Το Blackjack είναι σχεδόν το μόνο παιχνίδι για το οποίο υπάρχει ένας μαθηματικά δικαιολογημένος αλγόριθμος που σας επιτρέπει να κερδίσετε το καζίνο. Όσοι επιθυμούν μπορούν εύκολα να βρουν πολλές πληροφορίες για τη βέλτιστη στρατηγική και τακτική. Είναι αλήθεια ότι τέτοιοι πλοίαρχοι πέφτουν γρήγορα στη μαύρη λίστα όλων των εγκαταστάσεων =)

Ήρθε η ώρα να ενοποιήσετε το υλικό που καλύπτεται με μερικές σταθερές εργασίες:

Εργασία 10

Η Βάσια έχει 4 γάτες στο σπίτι.

α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν οι γάτες στις γωνίες του δωματίου;
β) Με πόσους τρόπους επιτρέπεται στις γάτες να περιφέρονται;
γ) με πόσους τρόπους μπορεί η Βάσια να σηκώσει δύο γάτες (η μία στα αριστερά, η άλλη στα δεξιά);

Εμείς αποφασίζουμε: πρώτον, πρέπει και πάλι να σημειωθεί ότι το πρόβλημα αφορά διαφορετικόςαντικείμενα (ακόμα και αν οι γάτες είναι πανομοιότυπα δίδυμα). Αυτή είναι μια πολύ σημαντική προϋπόθεση!

α) Σιωπή των γατών. Αυτή η εκτέλεση υπόκειται σε όλες οι γάτες ταυτόχρονα
+ η τοποθεσία τους είναι σημαντική, επομένως υπάρχουν μεταθέσεις εδώ:
τρόποι με τους οποίους μπορείτε να καθίσετε γάτες στις γωνίες του δωματίου.

Επαναλαμβάνω ότι κατά τη μετάθεση έχει σημασία μόνο ο αριθμός των διαφορετικών αντικειμένων και η σχετική τους θέση. Ανάλογα με τη διάθεσή του, ο Βάσια μπορεί να καθίσει τα ζώα σε ημικύκλιο στον καναπέ, σε μια σειρά στο περβάζι κ.λπ. - θα υπάρχουν 24 μεταθέσεις σε όλες τις περιπτώσεις. Για ευκολία, όσοι επιθυμούν μπορούν να φανταστούν ότι οι γάτες είναι πολύχρωμες (για παράδειγμα, λευκές, μαύρες, κόκκινες και ριγέ) και να αναφέρουν όλους τους πιθανούς συνδυασμούς.

β) Με πόσους τρόπους επιτρέπεται στις γάτες να περιφέρονται;

Υποτίθεται ότι οι γάτες πηγαίνουν για μια βόλτα μόνο από την πόρτα, ενώ η ερώτηση υποδηλώνει αδιαφορία για τον αριθμό των ζώων - 1, 2, 3 ή και οι 4 γάτες μπορούν να πάνε βόλτα.

Εξετάζουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς:

Τρόποι με τους οποίους μπορείτε να αφήσετε μια γάτα να πάει μια βόλτα (οποιαδήποτε από τις τέσσερις).
τρόποι με τους οποίους μπορείτε να αφήσετε δύο γάτες να πάνε μια βόλτα (αναφέρετε μόνοι σας τις επιλογές).
τρόποι με τους οποίους μπορείτε να αφήσετε τρεις γάτες να πάνε μια βόλτα (μία από τις τέσσερις κάθεται στο σπίτι).
τρόπο που μπορείτε να απελευθερώσετε όλες τις γάτες.

Πιθανότατα μαντέψατε ότι οι λαμβανόμενες τιμές θα πρέπει να συνοψιστούν:
Τρόποι για να αφήσετε τις γάτες να πάνε βόλτα.

Για τους λάτρεις, προσφέρω μια περίπλοκη εκδοχή του προβλήματος - όταν οποιαδήποτε γάτα σε οποιοδήποτε δείγμα μπορεί να βγει τυχαία έξω, τόσο από την πόρτα όσο και από το παράθυρο του 10ου ορόφου. Θα υπάρξουν περισσότεροι συνδυασμοί!

γ) Με πόσους τρόπους μπορεί η Βάσια να πάρει δύο γάτες;

Η κατάσταση περιλαμβάνει όχι μόνο την επιλογή 2 ζώων, αλλά και την τοποθέτησή τους στα χέρια:
τρόποι με τους οποίους μπορείτε να σηκώσετε 2 γάτες.

Η δεύτερη λύση: με τρόπους μπορείτε να επιλέξετε δύο γάτες καιτρόποι φύτευσης κάθεένα ζευγάρι στο χέρι:

Απάντηση: α) 24, β) 15, γ) 12

Λοιπόν, για να καθαρίσω τη συνείδησή μου, κάτι πιο συγκεκριμένο στον πολλαπλασιασμό των συνδυασμών .... Αφήστε τη Vasya να έχει 5 επιπλέον γάτες =) Με πόσους τρόπους μπορείτε να αφήσετε 2 γάτες να πάνε μια βόλτα και 1 γάτα;

Δηλαδή με καθεμια-δυο γάτες μπορούν να απελευθερωθούν κάθεΓάτα.

Ένα άλλο ακορντεόν με κουμπί για μια ανεξάρτητη λύση:

Εργασία 11

3 επιβάτες μπήκαν στο ασανσέρ 12όροφου κτιρίου. Όλοι, ανεξάρτητα από τους άλλους, μπορούν να βγουν από οποιονδήποτε (ξεκινώντας από τον 2ο) όροφο με την ίδια πιθανότητα. Με πόσους τρόπους:

1) Οι επιβάτες μπορούν να κατέβουν στον ίδιο όροφο (η σειρά εξόδου δεν έχει σημασία);
2) δύο άτομα μπορούν να κατέβουν σε έναν όροφο και ένα τρίτο σε έναν άλλο.
3) οι άνθρωποι μπορούν να κατέβουν σε διαφορετικούς ορόφους.
4) Μπορούν οι επιβάτες να βγουν από το ασανσέρ;

Και εδώ ξαναρωτάνε συχνά, διευκρινίζω: αν βγουν 2 ή 3 άτομα στον ίδιο όροφο, τότε δεν έχει σημασία η σειρά εξόδου. ΣΚΕΦΤΕΙΤΕ, χρησιμοποιήστε τύπους και κανόνες για συνδυασμούς πρόσθεσης/πολλαπλασιασμού. Σε περίπτωση δυσκολίας, είναι χρήσιμο για τους επιβάτες να αναφέρουν ονόματα και να αιτιολογήσουν με ποιους συνδυασμούς μπορούν να βγουν από το ασανσέρ. Δεν χρειάζεται να στεναχωριέστε εάν κάτι δεν λειτουργεί, για παράδειγμα, το σημείο 2 είναι αρκετά ύπουλο.

Ολοκληρωμένη λύση με αναλυτικά σχόλια στο τέλος του σεμιναρίου.

Η τελευταία παράγραφος είναι αφιερωμένη σε συνδυασμούς που εμφανίζονται επίσης αρκετά συχνά - σύμφωνα με την υποκειμενική μου εκτίμηση, σε περίπου 20-30% των συνδυαστικών προβλημάτων:

Μεταθέσεις, συνδυασμοί και τοποθετήσεις με επαναλήψεις

Οι αναφερόμενοι τύποι συνδυασμών περιγράφονται στην παράγραφο Νο. 5 του υλικού αναφοράς Βασικοί τύποι συνδυαστικής, ωστόσο, ορισμένες από αυτές μπορεί να μην είναι πολύ σαφείς κατά την πρώτη ανάγνωση. Σε αυτή την περίπτωση, συνιστάται πρώτα να εξοικειωθείτε με πρακτικά παραδείγματα και μόνο στη συνέχεια να κατανοήσετε τη γενική διατύπωση. Πηγαίνω:

Μεταθέσεις με επαναλήψεις

Σε μεταθέσεις με επαναλήψεις, όπως στις «συνηθισμένες» μεταθέσεις, ολόκληρο το σύνολο των αντικειμένων ταυτόχρονα, αλλά υπάρχει ένα πράγμα: σε αυτό το σύνολο, ένα ή περισσότερα στοιχεία (αντικείμενα) επαναλαμβάνονται. Πληρείτε το επόμενο πρότυπο:

Εργασία 12

Πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί γραμμάτων μπορούν να ληφθούν με την αναδιάταξη των καρτών με τα ακόλουθα γράμματα: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K;

Λύση: σε περίπτωση που όλα τα γράμματα ήταν διαφορετικά, τότε θα πρέπει να εφαρμοστεί ένας τετριμμένος τύπος, ωστόσο, είναι ξεκάθαρο ότι για το προτεινόμενο σύνολο καρτών, ορισμένοι χειρισμοί θα λειτουργήσουν "αδρανείς", έτσι, για παράδειγμα, εάν ανταλλάξετε δύο κάρτες με τα γράμματα "Κ σε οποιαδήποτε λέξη, θα είναι η ίδια λέξη. Επιπλέον, φυσικά οι κάρτες μπορεί να είναι πολύ διαφορετικές: η μία μπορεί να είναι στρογγυλή με ένα τυπωμένο γράμμα "K", η άλλη είναι τετράγωνη με ένα γραμμένο γράμμα "K". Αλλά σύμφωνα με την έννοια του προβλήματος, ακόμη και τέτοιες κάρτες θεωρείται το ίδιο, αφού η συνθήκη ρωτά για συνδυασμούς γραμμάτων.

Όλα είναι εξαιρετικά απλά - συνολικά: 11 κάρτες, συμπεριλαμβανομένου του γράμματος:

K - επαναλαμβάνεται 3 φορές.
O - επαναλαμβάνεται 3 φορές.
L - επαναλαμβάνεται 2 φορές.
β - επαναλαμβάνεται 1 φορά.
H - επαναλαμβάνεται 1 φορά.
Και - επαναλαμβάνει 1 φορά.

Έλεγχος: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, αυτό που θέλαμε να ελέγξουμε.

Σύμφωνα με τον τύπο αριθμός μεταθέσεων με επαναλήψεις:
μπορούν να ληφθούν διάφοροι συνδυασμοί γραμμάτων. Πάνω από μισό εκατομμύριο!

Για έναν γρήγορο υπολογισμό μιας μεγάλης παραγοντικής τιμής, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την τυπική συνάρτηση Excel: βαθμολογούμε σε οποιοδήποτε κελί =ΓΕΓΟΝΟΣ(11)και κάντε κλικ Εισαγω.

Στην πράξη, είναι απολύτως αποδεκτό να μην σημειώνεται ο γενικός τύπος και, επιπλέον, να παραλείπονται οι παραγοντικοί μονάδων:

Απαιτούνται όμως προκαταρκτικά σχόλια για τις επαναλαμβανόμενες επιστολές!

Απάντηση: 554400

Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα μεταθέσεων με επαναλήψεις εντοπίζεται στο πρόβλημα της τακτοποίησης πιτσιών σκακιού, που μπορεί να βρεθεί στην αποθήκη έτοιμες λύσειςστο αντίστοιχο pdf. Και για μια ανεξάρτητη λύση, κατέληξα σε μια εργασία λιγότερο προτύπου:

Εργασία 13

Ο Alexey πηγαίνει για αθλήματα και 4 ημέρες την εβδομάδα - στίβος, 2 ημέρες - ασκήσεις δύναμης και 1 ημέρα ανάπαυσης. Με πόσους τρόπους μπορεί να προγραμματίσει τα εβδομαδιαία μαθήματά του;

Ο τύπος δεν λειτουργεί εδώ επειδή λαμβάνει υπόψη τις αλληλοεπικαλυπτόμενες μεταθέσεις (για παράδειγμα, όταν οι ασκήσεις δύναμης την Τετάρτη αντικαθίστανται με ασκήσεις ενδυνάμωσης την Πέμπτη). Και πάλι - στην πραγματικότητα, οι ίδιες 2 προπονήσεις ενδυνάμωσης μπορεί να είναι πολύ διαφορετικές μεταξύ τους, αλλά στο πλαίσιο της εργασίας (όσον αφορά το πρόγραμμα), θεωρούνται τα ίδια στοιχεία.

Λύση δύο γραμμών και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Συνδυασμοί με επαναλήψεις

Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα αυτού του τύπου συνδυασμού είναι ότι το δείγμα προέρχεται από πολλές ομάδες, καθεμία από τις οποίες αποτελείται από τα ίδια αντικείμενα.

Όλοι δούλεψαν σκληρά σήμερα, οπότε ήρθε η ώρα να ανανεωθείτε:

Εργασία 14

Η φοιτητική καφετέρια πουλά λουκάνικα σε ζύμη, τυρόπιτες και λουκουμάδες. Με πόσους τρόπους μπορούν να αγοραστούν πέντε κέικ;

Λύση: δώστε αμέσως προσοχή στο τυπικό κριτήριο για συνδυασμούς με επαναλήψεις - ανάλογα με την κατάσταση, όχι ένα σύνολο αντικειμένων καθαυτού, αλλά διαφορετικά είδηαντικείμενα? Υποτίθεται ότι υπάρχουν τουλάχιστον πέντε χοτ ντογκ, 5 cheesecakes και 5 ντόνατς προς πώληση. Οι πίτες σε κάθε ομάδα, φυσικά, είναι διαφορετικές - γιατί απολύτως πανομοιότυπα ντόνατς μπορούν να προσομοιωθούν μόνο σε υπολογιστή =) Ωστόσο, τα φυσικά χαρακτηριστικά των πίτας δεν είναι απαραίτητα με την έννοια του προβλήματος, και τα χοτ ντογκ / cheesecakes / donuts στις ομάδες τους θεωρούνται το ίδιο.

Τι μπορεί να υπάρχει στο δείγμα; Αρχικά να σημειωθεί ότι στο δείγμα θα υπάρχουν σίγουρα πανομοιότυπες πίτες (γιατί επιλέγουμε 5 κομμάτια, και προσφέρονται 3 είδη για να διαλέξετε). Επιλογές εδώ για κάθε γούστο: 5 χοτ ντογκ, 5 τυροπιτάκια, 5 ντόνατς, 3 χοτ ντογκ + 2 τυροπιτάκια, 1 χοτ ντογκ + 2 + τυρόπιτες + 2 λουκουμάδες κ.λπ.

Όπως και στους «κανονικούς» συνδυασμούς, η σειρά επιλογής και τοποθέτησης των πίτας στο δείγμα δεν έχει σημασία – απλώς επέλεξαν 5 κομμάτια και τέλος.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο αριθμός συνδυασμών με επαναλήψεις:
πώς μπορείτε να αγοράσετε 5 πίτες.

Καλή όρεξη!

Απάντηση: 21

Ποιο συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί από πολλά συνδυαστικά προβλήματα;

Μερικές φορές, το πιο δύσκολο πράγμα είναι να κατανοήσουμε την κατάσταση.

Ένα παρόμοιο παράδειγμα για μια λύση «φτιάξ' το μόνος σου»:

Εργασία 15

Το πορτοφόλι περιέχει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό νομισμάτων 1, 2, 5 και 10 ρουβλίων. Με πόσους τρόπους μπορούν να αφαιρεθούν τρία νομίσματα από το πορτοφόλι;

Για λόγους αυτοελέγχου, απαντήστε σε μερικές απλές ερωτήσεις:

1) Μπορούν όλα τα νομίσματα στο δείγμα να είναι διαφορετικά;
2) Ονομάστε τον «φθηνότερο» και τον πιο «ακριβό» συνδυασμό νομισμάτων.

Λύση και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Από την προσωπική μου εμπειρία, μπορώ να πω ότι οι συνδυασμοί με τις επαναλήψεις είναι ο πιο σπάνιος καλεσμένος στην πράξη, κάτι που δεν μπορεί να ειπωθεί για τους ακόλουθους τύπους συνδυασμών:

Τοποθετήσεις με επαναλήψεις

Από ένα σύνολο που αποτελείται από στοιχεία, επιλέγονται στοιχεία και η σειρά των στοιχείων σε κάθε δείγμα είναι σημαντική. Και όλα θα ήταν καλά, αλλά ένα μάλλον απροσδόκητο αστείο είναι ότι μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε αντικείμενο του αρχικού σετ όσες φορές θέλουμε. Μεταφορικά μιλώντας, από «το πλήθος δεν θα μειωθεί».

Πότε συμβαίνει; Ένα τυπικό παράδειγμα είναι μια κλειδαριά συνδυασμού με πολλούς δίσκους, αλλά λόγω της ανάπτυξης της τεχνολογίας, είναι πιο σημαντικό να εξετάσουμε τον ψηφιακό απόγονό του:

Εργασία 16

Πόσοι 4ψήφιοι κωδικοί pin υπάρχουν;

Λύση: στην πραγματικότητα, για να λύσετε το πρόβλημα, αρκεί να γνωρίζετε τους κανόνες της συνδυαστικής: μπορείτε να επιλέξετε το πρώτο ψηφίο του κωδικού pin με τρόπους καιτρόπους - το δεύτερο ψηφίο του κωδικού pin καιμε πολλούς τρόπους - ένα τρίτο καιόσοι - το τέταρτο. Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των συνδυασμών, μπορεί να συντεθεί ένας τετραψήφιος κωδικός pin: με τρόπους.

Και τώρα με τη φόρμουλα. Κατά συνθήκη, μας προσφέρεται ένα σύνολο αριθμών, από τους οποίους επιλέγονται και τοποθετούνται αριθμοί με μια ορισμένη σειρά, ενώ οι αριθμοί στο δείγμα μπορούν να επαναληφθούν (δηλαδή, οποιοδήποτε ψηφίο του αρχικού συνόλου μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυθαίρετες φορές). Σύμφωνα με τον τύπο για τον αριθμό των τοποθετήσεων με επαναλήψεις:

Απάντηση: 10000

Τι σας έρχεται στο μυαλό εδώ ... ... αν το ΑΤΜ «τρώει» την κάρτα μετά την τρίτη ανεπιτυχή προσπάθεια εισαγωγής του κωδικού pin, τότε οι πιθανότητες να το παραλάβετε τυχαία είναι πολύ απατηλές.

Και ποιος είπε ότι δεν υπάρχει πρακτική έννοια στη συνδυαστική; Μια γνωστική εργασία για όλους τους αναγνώστες του ιστότοπου:

Πρόβλημα 17

Σύμφωνα με το κρατικό πρότυπο, μια πινακίδα κυκλοφορίας αυτοκινήτου αποτελείται από 3 αριθμούς και 3 γράμματα. Στην περίπτωση αυτή δεν επιτρέπεται αριθμός με τρία μηδενικά και τα γράμματα επιλέγονται από το σύνολο A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (χρησιμοποιούνται μόνο εκείνα τα κυριλλικά γράμματα, η ορθογραφία των οποίων ταιριάζει με τα λατινικά γράμματα).

Πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορούν να συντεθούν για μια περιοχή;

Όχι έτσι, παρεμπιπτόντως, και πολλά. Σε μεγάλες περιοχές, αυτός ο αριθμός δεν είναι αρκετός και επομένως για αυτούς υπάρχουν αρκετοί κωδικοί για την επιγραφή RUS.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Μην ξεχάσετε να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες της συνδυαστικής ;-) …Ήθελα να καυχηθώ ότι ήμουν αποκλειστικός, αλλά αποδείχτηκε ότι δεν ήταν αποκλειστικός =) Κοίταξα τη Wikipedia - υπάρχουν υπολογισμοί, ωστόσο, χωρίς σχόλια. Αν και για εκπαιδευτικούς λόγους, μάλλον, λίγοι το έλυσαν.

Το συναρπαστικό μάθημά μας έφτασε στο τέλος του, και στο τέλος θέλω να πω ότι δεν χάσατε τον χρόνο σας - για το λόγο ότι οι συνδυαστικοί τύποι βρίσκουν μια άλλη ζωτικής σημασίας πρακτική εφαρμογή: βρίσκονται σε διάφορες εργασίες στο θεωρία πιθανοτήτων,
και στο εργασίες σχετικά με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας- ιδιαίτερα συχνά

Σας ευχαριστούμε όλους για την ενεργό συμμετοχή σας και τα λέμε σύντομα!

Λύσεις και απαντήσεις:

Εργασία 2: Λύση: βρείτε τον αριθμό όλων των πιθανών μεταθέσεων 4 φύλλων:

Όταν ένα φύλλο με μηδέν βρίσκεται στην 1η θέση, ο αριθμός γίνεται τριψήφιος, επομένως αυτοί οι συνδυασμοί θα πρέπει να εξαιρεθούν. Έστω το μηδέν στην 1η θέση, τότε τα υπόλοιπα 3 ψηφία στα λιγότερο σημαντικά ψηφία μπορούν να αναδιαταχθούν με τρόπους.

Σημείωση : επειδή υπάρχουν λίγες κάρτες, είναι εύκολο να απαριθμήσετε όλες αυτές τις επιλογές εδώ:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Έτσι, από το προτεινόμενο σύνολο, μπορείτε να κάνετε:
24 - 6 = 18 τετραψήφιοι αριθμοί
Απάντηση : 18

Εργασία 4: Λύση: Μπορείτε να επιλέξετε 3 κάρτες από 36 τρόπους.
Απάντηση : 7140

Εργασία 6: Λύση: τρόπους.
Άλλη λύση : τρόποι με τους οποίους μπορείτε να επιλέξετε δύο άτομα από την ομάδα και και
2) Το "φθηνότερο" σετ περιέχει κέρματα 3 ρουβλίων και το πιο "ακριβό" σετ περιέχει 3 κέρματα των δέκα ρουβλίων.

Εργασία 17: Λύση: τρόποι με τους οποίους μπορείτε να κάνετε ψηφιακό συνδυασμό πινακίδας, ενώ ένας από αυτούς (000) θα πρέπει να εξαιρεθεί:.
τρόποι με τους οποίους μπορείτε να κάνετε έναν συνδυασμό γραμμάτων ενός αριθμού αυτοκινήτου.
Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των συνδυασμών, όλα μπορούν να συντεθούν:
αριθμούς αυτοκινήτων
(καθεψηφιακός συνδυασμός με κάθεσυνδυασμός γραμμάτων).
Απάντηση : 1726272

Για να διευκολυνθεί η πλοήγηση στο υλικό, θα προσθέσω το περιεχόμενο αυτού του θέματος:

Εισαγωγή. Σετ και επιλογές.

Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τις βασικές έννοιες της συνδυαστικής: μεταθέσεις, συνδυασμοί και τοποθετήσεις. Ας μάθουμε την ουσία τους και τους τύπους με τους οποίους μπορείτε να βρείτε τον αριθμό τους.

Για να ξεκινήσουμε, χρειαζόμαστε κάποιες βασικές πληροφορίες. Ας ξεκινήσουμε με μια τόσο θεμελιώδη μαθηματική έννοια όπως ένα σύνολο. Η έννοια του συνόλου περιγράφηκε αναλυτικά στο θέμα "Η έννοια ενός συνόλου. Μέθοδοι προσδιορισμού συνόλων" .

Μια πολύ μικρή ιστορία για το πλήθος: εμφάνιση απόκρυψη

Εν ολίγοις, ένα σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. Τα σετ γράφονται σε σγουρές αγκύλες. Η σειρά με την οποία είναι γραμμένα τα στοιχεία δεν έχει σημασία. δεν επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων. Για παράδειγμα, το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 11115555999 θα είναι: $\(1,5,9 \)$. Το σύνολο των συμφώνων γραμμάτων στη λέξη "tiger cub" είναι το εξής: $\(t, r, r, n, k\)$. Ο συμβολισμός $5\σε A$ σημαίνει ότι το στοιχείο 5 ανήκει στο σύνολο $A=\(1,5,9 \)$. Ο αριθμός των στοιχείων σε ένα πεπερασμένο σύνολο ονομάζεται εξουσίααυτού του συνόλου και συμβολίζονται με $|A|$. Για παράδειγμα, για ένα σύνολο $A=\(1,5,9 \)$ που περιέχει 3 στοιχεία, έχουμε: $|A|=3$.

Ας εξετάσουμε ένα μη κενό πεπερασμένο σύνολο $U$, του οποίου η ιδιότητα είναι ίση με $n$, $|U|=n$ (δηλαδή, το σύνολο $U$ έχει $n$ στοιχεία). Ας εισαγάγουμε μια τέτοια έννοια όπως δείγμα(ορισμένοι συγγραφείς το αποκαλούν πλειάδα). Με ένα δείγμα μεγέθους $k$ στοιχείων $n$ (συντομογραφία ως $(n,k)$-επιλογή) εννοούμε ένα σύνολο στοιχείων $(a_1, a_2,\ldots, a_k)$, όπου $a_i\in U$. Μια επιλογή λέγεται ότι διατάσσεται εάν η σειρά των στοιχείων καθορίζεται σε αυτήν. Δύο διατεταγμένα δείγματα που διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των στοιχείων είναι διακριτά. Εάν η σειρά των στοιχείων του δείγματος δεν είναι σημαντική, τότε το δείγμα ονομάζεται μη διατεταγμένο.

Σημειώστε ότι ο ορισμός της επιλογής δεν λέει τίποτα για τις επαναλήψεις στοιχείων. Σε αντίθεση με τα στοιχεία συνόλου, τα στοιχεία επιλογής μπορούν να επαναληφθούν.

Για παράδειγμα, θεωρήστε το σύνολο $U=\(a,b,c,d,e\)$. Το σύνολο $U$ περιέχει 5 στοιχεία, π.χ. $|U|=5$. Ένα δείγμα χωρίς επαναλήψεις θα μπορούσε να είναι: $(a,b,c)$. Αυτό το δείγμα περιέχει 3 στοιχεία, δηλ. το μέγεθος αυτού του δείγματος είναι 3. Με άλλα λόγια, αυτό είναι ένα δείγμα $(5,3)$.

Ένα δείγμα με επαναλήψεις θα μπορούσε να είναι: $(a,a,a,a,a,c,c,d)$. Περιέχει 8 στοιχεία, δηλ. Ο όγκος του είναι 8. Με άλλα λόγια, αυτό είναι ένα δείγμα $(5,8)$.

Εξετάστε δύο ακόμη δείγματα $(5,3)$: $(a,b,b)$ και $(b,a,b)$. Αν υποθέσουμε ότι τα δείγματά μας δεν είναι ταξινομημένα, τότε το δείγμα $(a,b,b)$ είναι ίσο με το δείγμα $(b,a,b)$, δηλ. $(a,b,b)=(b,a,b)$. Εάν υποθέσουμε ότι τα δείγματά μας έχουν παραγγελθεί, τότε $(a,b,b)\neq(b,a,b)$.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα, λίγο λιγότερο αφηρημένο :) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν έξι καραμέλες σε ένα καλάθι, και όλα είναι διαφορετικά. Εάν η πρώτη καραμέλα έχει τον αριθμό 1, η δεύτερη καραμέλα είναι ο αριθμός 2 και ούτω καθεξής, τότε το ακόλουθο σετ μπορεί να συσχετιστεί με τις καραμέλες στο καλάθι: $U=\(1,2,3,4,5 ,6\)$. Φανταστείτε ότι βάζουμε τυχαία το χέρι μας στο καλάθι για να βγάλουμε τρία γλυκά. Τα τραβηγμένα γλυκά - αυτό είναι το δείγμα. Αφού βγάζουμε 3 καραμέλες από 6, παίρνουμε ένα (6,3)-δείγμα. Η σειρά με την οποία τοποθετούνται τα ζαχαρωτά στην παλάμη είναι εντελώς άσχετη, άρα αυτό το δείγμα είναι χωρίς παραγγελία. Λοιπόν, και αφού όλες οι καραμέλες είναι διαφορετικές, το δείγμα είναι χωρίς επανάληψη. Άρα, σε αυτή την κατάσταση μιλάμε για μια αδιάτακτη (6,3)-επιλογή χωρίς επαναλήψεις.

Τώρα πάμε από την άλλη πλευρά. Ας φανταστούμε ότι βρισκόμαστε σε ένα εργοστάσιο καραμελών και αυτό το εργοστάσιο παράγει τέσσερα είδη ζαχαρωτών. Το σύνολο $U$ σε αυτήν την περίπτωση είναι το εξής: $U=\(1,2,3,4 \)$ (κάθε ψηφίο είναι υπεύθυνο για το δικό του είδος καραμέλας). Τώρα φανταστείτε ότι όλα τα γλυκά χύνονται σε ένα μόνο αυλάκι, κοντά στο οποίο στεκόμαστε. Και, αντικαθιστώντας τους φοίνικες, επιλέγουμε 20 γλυκά από αυτό το ρεύμα. Καραμέλα σε μια χούφτα - αυτό είναι το δείγμα. Παίζει ρόλο η σειρά των ζαχαρωτών στη χούφτα; Φυσικά, όχι, άρα το δείγμα δεν έχει παραγγελθεί. Υπάρχουν μόνο 4 ποικιλίες γλυκών, και επιλέγουμε είκοσι κομμάτια από τη γενική ροή - οι επαναλήψεις των ποικιλιών είναι αναπόφευκτες. Ταυτόχρονα, τα δείγματα μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά: μπορεί ακόμη και να έχουμε όλες τις καραμέλες της ίδιας ποικιλίας. Κατά συνέπεια, σε αυτή την κατάσταση έχουμε να κάνουμε με μια μη διατεταγμένη (4.20)-επιλογή με επαναλήψεις.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα. Έστω διαφορετικά 7 γράμματα γραμμένα στους κύβους: k, o, n, f, e, t, a. Αυτά τα γράμματα σχηματίζουν το σύνολο $U=\(k,o,n,f,e,t,a\)$. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να φτιάξουμε «λέξεις» 5 γραμμάτων από αυτούς τους κύβους. Τα γράμματα αυτών των λέξεων (για παράδειγμα, "confé", "tenko" και ούτω καθεξής) σχηματίζουν (7,5)-επιλογές: $(k,o,n,f,e)$, $(t,e,n ,k ,o)$ κ.λπ. Προφανώς, η σειρά των γραμμάτων σε ένα τέτοιο δείγμα είναι σημαντική. Για παράδειγμα, οι λέξεις «nokft» και «kfton» είναι διαφορετικές (αν και αποτελούνται από τα ίδια γράμματα), επειδή δεν έχουν την ίδια σειρά γραμμάτων. Δεν υπάρχουν επαναλήψεις γραμμάτων σε τέτοιες «λέξεις», επειδή υπάρχουν μόνο επτά κύβοι. Άρα, το σύνολο των γραμμάτων κάθε λέξης είναι ένα διατεταγμένο (7,5)-δείγμα χωρίς επαναλήψεις.

Ένα άλλο παράδειγμα: φτιάχνουμε όλα τα είδη οκταψήφιων αριθμών από τέσσερα ψηφία 1, 5, 7, 8. Για παράδειγμα, 11111111, 15518877, 88881111 και ούτω καθεξής. Το σύνολο $U$ έχει ως εξής: $U=\(1,5,7,8\)$. Τα ψηφία κάθε μεταγλωττισμένου αριθμού σχηματίζουν ένα (4,8)-δείγμα. Η σειρά των ψηφίων σε έναν αριθμό είναι σημαντική, δηλ. παραγγέλνεται το δείγμα. Οι επαναλήψεις επιτρέπονται, άρα εδώ έχουμε να κάνουμε με διατεταγμένη (4,8)-επιλογή με επαναλήψεις.

Κατανομές χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ κατά $k$

Κατανομή χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ κατά $k$ - διατεταγμένη επιλογή $(n,k)$ χωρίς επαναλήψεις.

Δεδομένου ότι τα στοιχεία στο υπό εξέταση δείγμα δεν μπορούν να επαναληφθούν, δεν μπορούμε να επιλέξουμε περισσότερα στοιχεία στο δείγμα από όσα υπάρχουν στο αρχικό σύνολο. Επομένως, για τέτοια δείγματα, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: $n≥ k$. Ο αριθμός των τοποθετήσεων χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ κατά $k$ καθορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

\begin(equation)A_(n)^(k)=\frac(n{(n-k)!} \end{equation} !}

Τι σημαίνει το σύμβολο "!": εμφάνιση απόκρυψη

Ηχογράφηση "n!" (διαβάστε "en παραγοντικό") δηλώνει το γινόμενο όλων των αριθμών από το 1 έως το n, δηλ.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Εξ ορισμού, υποτίθεται ότι $0!=1!=1$. Για παράδειγμα, ας βρούμε 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Παράδειγμα #1

Το αλφάβητο αποτελείται από ένα σύνολο χαρακτήρων $E=\(+,*,0,1,f\)$. Ας προσδιορίσουμε τον αριθμό τέτοιων λέξεων τριών χαρακτήρων σε αυτό το αλφάβητο που δεν περιέχουν επαναλαμβανόμενα γράμματα.

Με λέξεις τριών χαρακτήρων εννοούμε εκφράσεις όπως "+*0" ή "0f1". Το σύνολο $E$ έχει πέντε στοιχεία, επομένως τα γράμματα των λέξεων τριών χαρακτήρων σχηματίζουν (5,3)-επιλογές. Το πρώτο ερώτημα είναι: αυτά τα δείγματα έχουν παραγγελθεί ή όχι; Λέξεις που διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των γραμμάτων θεωρείται ότι είναι διαφορετικές, επομένως η σειρά των στοιχείων στο δείγμα είναι σημαντική. Άρα παραγγέλνεται το δείγμα. Δεύτερη ερώτηση: επιτρέπονται ή όχι οι επαναλήψεις; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από την προϋπόθεση: οι λέξεις δεν πρέπει να περιέχουν επαναλαμβανόμενα γράμματα. Σύνοψη: τα γράμματα κάθε λέξης που ικανοποιούν την προϋπόθεση του προβλήματος σχηματίζουν ένα διατεταγμένο (5,3)-δείγμα χωρίς επαναλήψεις. Με άλλα λόγια, τα γράμματα κάθε λέξης σχηματίζουν μια διάταξη χωρίς επαναλήψεις 5 στοιχείων του 3. Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων διατάξεων:

$$ (+,*,f), \; (*,+,f), \; (1,+,0) $$

Μας ενδιαφέρει επίσης ο συνολικός αριθμός αυτών των τοποθετήσεων. Σύμφωνα με τον τύπο (1), ο αριθμός των τοποθετήσεων χωρίς επαναλήψεις 5 στοιχείων επί 3 θα είναι ο εξής:

$$ A_(5)^(3)=\frac(5{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60. $$ !}

Εκείνοι. μπορείτε να φτιάξετε 60 λέξεις τριών χαρακτήρων, τα γράμματα των οποίων δεν θα επαναληφθούν.

Απάντηση: 60.

Κατανομές με επαναλήψεις $n$ στοιχείων κατά $k$

Η τοποθέτηση με επαναλήψεις στοιχείων $n$ πάνω από $k$ είναι μια διατεταγμένη επιλογή $(n,k)$ με επαναλήψεις.

Ο αριθμός των τοποθετήσεων με επαναλήψεις $n$ στοιχείων κατά $k$ καθορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή(εξίσωση)\bar(A)_(n)^(k)=n^k \end(εξίσωση)

Παράδειγμα #2

Πόσοι πενταψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν από το σύνολο των ψηφίων $\(5,7,2\)$;

Από αυτό το σύνολο αριθμών, μπορείτε να δημιουργήσετε πενταψήφιους αριθμούς 55555, 75222 και ούτω καθεξής. Τα ψηφία κάθε τέτοιου αριθμού σχηματίζουν ένα (3,5)-δείγμα: $(5,5,5,5,5)$, $(7,5,2,2,2)$. Ας αναρωτηθούμε: ποια είναι αυτά τα δείγματα; Πρώτον, τα ψηφία στους αριθμούς μπορούν να επαναληφθούν, άρα έχουμε να κάνουμε με δείγματα με επαναλήψεις. Δεύτερον, η σειρά των αριθμών στον αριθμό είναι σημαντική. Για παράδειγμα, το 27755 και το 77255 είναι διαφορετικοί αριθμοί. Επομένως, έχουμε να κάνουμε με διατεταγμένες (3,5)-επιλογές με επαναλήψεις. Ο συνολικός αριθμός τέτοιων δειγμάτων (δηλαδή ο συνολικός αριθμός των απαιτούμενων πενταψήφιων αριθμών) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (2):

$$ \bar(A)_(3)^(5)=3^5=243. $$

Επομένως, από τα δοσμένα ψηφία μπορούν να γίνουν 243 πενταψήφιοι αριθμοί.

Απάντηση: 243.

Μεταθέσεις χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$

Μια μετάθεση χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ είναι μια διατεταγμένη επιλογή $(n,n)$ χωρίς επαναλήψεις.

Στην πραγματικότητα, η μετάθεση χωρίς επανάληψη είναι μια ειδική περίπτωση τοποθέτησης χωρίς επανάληψη, όταν το μέγεθος του δείγματος είναι ίσο με την ισχύ του αρχικού συνόλου. Ο αριθμός των μεταθέσεων χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ καθορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή(εξίσωση)P_(n)=n! \end (εξίσωση)

Παρεμπιπτόντως, αυτός ο τύπος είναι εύκολο να ληφθεί εάν λάβουμε υπόψη ότι $P_n=A_(n)^(n)$. Τότε παίρνουμε:

$$ P_n=A_(n)^(n)=\frac(n{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n! $$ !}

Παράδειγμα #3

Η κατάψυξη περιέχει πέντε μερίδες παγωτού από διάφορες εταιρείες. Με πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε τη σειρά με την οποία τρώγονται;

Αφήστε το νούμερο 1 να αντιστοιχεί στο πρώτο παγωτό, το νούμερο 2 στο δεύτερο κ.ο.κ. Θα λάβουμε ένα σύνολο $U=\(1,2,3,4,5\)$ που θα αντιπροσωπεύει τα περιεχόμενα του καταψύκτη. Η παραγγελία φαγητού μπορεί να είναι $(2,1,3,5,4)$ ή $(5,4,3,1,2)$. Κάθε τέτοια συλλογή είναι ένα (5,5)-δείγμα. Θα είναι τακτοποιημένο και χωρίς επανάληψη. Με άλλα λόγια, κάθε τέτοιο δείγμα είναι μια μετάθεση 5 στοιχείων του αρχικού συνόλου. Σύμφωνα με τον τύπο (3), ο συνολικός αριθμός αυτών των μεταθέσεων είναι:

$$ P_5=5!=120. $$

Επομένως, υπάρχουν 120 παραγγελίες φαγητού.

Απάντηση: 120.

Μεταθέσεις με επαναλήψεις

Μια μετάθεση με επαναλήψεις είναι μια διατεταγμένη $(n,k)$-επιλογή με επαναλήψεις στις οποίες το στοιχείο $a_1$ επαναλαμβάνεται $k_1$ φορές, το $a_2$ επαναλαμβάνεται $k_2$ φορές και ούτω καθεξής, μέχρι το τελευταίο στοιχείο $a_r$, το οποίο επαναλαμβάνεται $ k_r$ φορές. Επιπλέον, $k_1+k_2+\ldots+k_r=k$.

Ο συνολικός αριθμός των μεταθέσεων με επαναλήψεις δίνεται από:

\αρχή(εξίσωση)P_(k)(k_1,k_2,\ldots,k_r)=\frac(k{k_1!\cdot k_2!\cdot \ldots \cdot k_r!} \end{equation} !}

Παράδειγμα #4

Οι λέξεις σχηματίζονται με βάση το αλφάβητο $U=\(a,b,d\)$. Πόσες διαφορετικές λέξεις επτά χαρακτήρων μπορούν να συντεθούν εάν το γράμμα "a" πρέπει να επαναληφθεί 2 φορές σε αυτές τις λέξεις; το γράμμα "b" - 1 φορά και το γράμμα "d" - 4 φορές;

Ακολουθούν παραδείγματα λέξεων αναζήτησης: "aabdddd", "daddabd" και ούτω καθεξής. Τα γράμματα κάθε λέξης σχηματίζουν ένα (3,7)-δείγμα με επαναλήψεις: $(a,a,b,d,d,d,d)$, $(d,a,d,d,a,b,d )$ και κτλ. Κάθε τέτοια επιλογή αποτελείται από δύο στοιχεία "a", ένα στοιχείο "b" και τέσσερα στοιχεία "d". Με άλλα λόγια, $k_1=2$, $k_2=1$, $k_3=4$. Ο συνολικός αριθμός των επαναλήψεων όλων των χαρακτήρων, φυσικά, είναι ίσος με το μέγεθος του δείγματος, δηλ. $k=k_1+k_2+k_3=7$. Αντικαθιστώντας αυτά τα δεδομένα στον τύπο (4), θα έχουμε:

$$ P_7(2,1,4)=\frac(7{2!\cdot 1!\cdot 4!}=105. $$ !}

Επομένως, ο συνολικός αριθμός των λέξεων που αναζητήθηκαν είναι 105.

Απάντηση: 105.

Συνδυασμοί χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ κατά $k$

Ένας συνδυασμός χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ από $k$ είναι μια μη ταξινομημένη επιλογή $(n,k)$-χωρίς επαναλήψεις.

Ο συνολικός αριθμός συνδυασμών χωρίς επαναλήψεις στοιχείων $n$ κατά $k$ καθορίζεται από τον τύπο:

\begin(equation)C_(n)^(k)=\frac(n{(n-k)!\cdot k!} \end{equation} !}

Παράδειγμα #5

Το καλάθι περιέχει κάρτες στις οποίες είναι γραμμένοι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως το 10. 4 κάρτες βγαίνουν από το καλάθι και αθροίζονται οι αριθμοί που είναι γραμμένοι σε αυτές. Πόσα διαφορετικά σετ καρτών μπορούν να τραβηχτούν από το καλάθι;

Έτσι, σε αυτό το πρόβλημα, το αρχικό σύνολο είναι ως εξής: $U=\(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)$. Από αυτό το σετ, επιλέγουμε τέσσερα στοιχεία (δηλαδή τέσσερα φύλλα από το καλάθι). Οι αριθμοί των τραβηγμένων στοιχείων σχηματίζουν ένα (10,4)-δείγμα. Δεν επιτρέπονται επαναλήψεις σε αυτό το δείγμα, καθώς οι αριθμοί όλων των καρτών είναι διαφορετικοί. Το ερώτημα είναι: έχει σημασία η σειρά με την οποία επιλέγονται τα φύλλα ή όχι; Δηλαδή, για παράδειγμα, τα δείγματα $(1,2,7,10)$ και $(10,2,1,7)$ είναι ίσα ή όχι ίσα; Εδώ πρέπει να στραφείτε στην κατάσταση του προβλήματος. Οι κάρτες αφαιρούνται για να βρεθεί το άθροισμα των στοιχείων. Και αυτό σημαίνει ότι η σειρά των καρτών δεν είναι σημαντική, αφού το ποσό δεν θα αλλάξει από την αλλαγή των θέσεων των όρων. Για παράδειγμα, το δείγμα $(1,2,7,10)$ και το δείγμα $(10,2,1,7)$ θα ταιριάζουν με τον ίδιο αριθμό $1+2+7+10=10+2+1+7 = 20$. Συμπέρασμα: από την συνθήκη του προβλήματος προκύπτει ότι έχουμε να κάνουμε με μη ταξινομημένα δείγματα. Εκείνοι. πρέπει να βρούμε τον συνολικό αριθμό των μη ταξινομημένων (10,4) δειγμάτων χωρίς επαναλήψεις. Με άλλα λόγια, πρέπει να βρούμε τον αριθμό των συνδυασμών 10 στοιχείων επί 4. Χρησιμοποιούμε τον τύπο (5) για αυτό:

$$ C_(10)^(4)=\frac(10{(10-4)!\cdot 4!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=210. $$ !}

Επομένως, ο συνολικός αριθμός των απαιτούμενων συνόλων είναι 210.

Απάντηση: 210.

Συνδυασμοί με επαναλήψεις $n$ στοιχείων κατά $k$

Ένας συνδυασμός με επαναλήψεις στοιχείων $n$ πάνω από $k$ είναι μια μη ταξινομημένη επιλογή $(n,k)$-με επαναλήψεις.

Ο συνολικός αριθμός συνδυασμών με επαναλήψεις στοιχείων $n$ πάνω από $k$ καθορίζεται από τον τύπο:

\αρχή(εξίσωση)\bar(C)_(n)^(k)=\frac((n+k-1){(n-1)!\cdot k!} \end{equation} !}

Παράδειγμα #6

Φανταστείτε ότι βρισκόμαστε σε ένα εργοστάσιο καραμελών - ακριβώς δίπλα στον μεταφορέα κατά μήκος του οποίου κινούνται τέσσερις τύποι καραμέλες. Βάζουμε τα χέρια μας σε αυτό το ρέμα και βγάζουμε είκοσι από αυτά. Πόσοι διαφορετικοί «συνδυασμοί καραμέλας» μπορεί να υπάρχουν σε μια χούφτα;

Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός 1 αντιστοιχεί στην πρώτη ταξινόμηση, ο αριθμός 2 αντιστοιχεί στη δεύτερη ταξινόμηση και ούτω καθεξής, τότε το αρχικό σύνολο στο πρόβλημά μας είναι το εξής: $U=\(1,2,3,4\ )$. Από αυτό το σετ, επιλέγουμε 20 στοιχεία (δηλαδή, αυτές τις ίδιες 20 καραμέλες από τον μεταφορέα). Μια χούφτα γλυκά σχηματίζει ένα (4,20)-δείγμα. Όπως είναι φυσικό, θα υπάρξουν επαναλήψεις ποικιλιών. Το ερώτημα είναι, παίζει ρόλο η σειρά των στοιχείων στην επιλογή ή όχι; Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι η σειρά των στοιχείων δεν έχει σημασία. Δεν έχει σημασία για εμάς αν η χούφτα περιέχει πρώτα 15 γλειφιτζούρια και μετά 4 σοκολάτες ή πρώτα 4 σοκολάτες και μόνο μετά 15 γλειφιτζούρια. Άρα, έχουμε να κάνουμε με ένα μη διατεταγμένο (4,20) δείγμα με επαναλήψεις. Για να βρούμε τον συνολικό αριθμό αυτών των δειγμάτων, χρησιμοποιούμε τον τύπο (6):

$$ \bar(C)_(4)^(20)=\frac((4+20-1){(4-1)!\cdot 20!}=\frac{23!}{3!\cdot 20!}=1771. $$ !}

Επομένως, ο συνολικός αριθμός των επιθυμητών συνδυασμών είναι 1771.

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ

Η συνδυαστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τα προβλήματα επιλογής και τακτοποίησης στοιχείων από κάποιο βασικό σύνολο σύμφωνα με δεδομένους κανόνες. Οι τύποι και οι αρχές της συνδυαστικής χρησιμοποιούνται στη θεωρία πιθανοτήτων για τον υπολογισμό της πιθανότητας τυχαίων γεγονότων και, κατά συνέπεια, για τη λήψη των νόμων κατανομής των τυχαίων μεταβλητών. Αυτό, με τη σειρά του, καθιστά δυνατή τη μελέτη των νόμων των μαζικών τυχαίων φαινομένων, κάτι που είναι πολύ σημαντικό για τη σωστή κατανόηση των στατιστικών νόμων που εκδηλώνονται στη φύση και την τεχνολογία.

Κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού στη συνδυαστική

Κανόνας αθροίσματος. Εάν δύο ενέργειες Α και Β είναι αμοιβαία αποκλειόμενες και η ενέργεια Α μπορεί να εκτελεστεί με m τρόπους και η Β με n τρόπους, τότε οποιαδήποτε από αυτές τις ενέργειες (είτε Α είτε Β) μπορεί να εκτελεστεί με n + m τρόπους.

Παράδειγμα 1

Υπάρχουν 16 αγόρια και 10 κορίτσια στην τάξη. Με πόσους τρόπους μπορεί να διοριστεί ένας συνοδός;

Λύση

Μπορείτε να ορίσετε είτε αγόρι είτε κορίτσι σε υπηρεσία, δηλ. οποιοδήποτε από τα 16 αγόρια ή οποιοδήποτε από τα 10 κορίτσια μπορεί να είναι σε υπηρεσία.

Σύμφωνα με τον κανόνα του αθροίσματος, παίρνουμε ότι ένας αξιωματικός υπηρεσίας μπορεί να ανατεθεί με 16+10=26 τρόπους.

Κανόνας προϊόντος. Έστω ότι απαιτείται η διαδοχική εκτέλεση k ενεργειών. Εάν η πρώτη ενέργεια μπορεί να εκτελεστεί με n 1 τρόπους, η δεύτερη ενέργεια με n 2 τρόπους, η τρίτη με n 3 τρόπους και ούτω καθεξής μέχρι την kth ενέργεια που μπορεί να εκτελεστεί με n k τρόπους, τότε όλες οι k ενέργειες μαζί μπορούν να γίνουν πραγματοποιήθηκαν:

τρόπους.

Παράδειγμα 2

Υπάρχουν 16 αγόρια και 10 κορίτσια στην τάξη. Με πόσους τρόπους μπορούν να διοριστούν δύο συνοδοί;

Λύση

Ο πρώτος που θα εφημερεύει μπορεί να είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι. Επειδή υπάρχουν 16 αγόρια και 10 κορίτσια στην τάξη, τότε μπορείτε να διορίσετε τον πρώτο αξιωματικό υπηρεσίας με 16 + 10 = 26 τρόπους.

Αφού επιλέξουμε τον πρώτο αξιωματικό υπηρεσίας, μπορούμε να επιλέξουμε τον δεύτερο από τα υπόλοιπα 25 άτομα, δηλ. 25 τρόποι.

Με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού μπορούν να επιλεγούν δύο συνακόλουθοι με 26*25=650 τρόπους.

Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη. Συνδυασμοί με επαναλήψεις

Το κλασικό πρόβλημα της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των συνδυασμών χωρίς επαναλήψεις, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους μπορώ επιλέγω μ. από n διαφορετικά είδη?

Παράδειγμα 3

Πρέπει να επιλέξετε 4 από τα 10 διαφορετικά βιβλία που διατίθενται ως δώρο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση

Πρέπει να διαλέξουμε 4 στα 10 βιβλία και η σειρά επιλογής δεν έχει σημασία. Έτσι, πρέπει να βρείτε τον αριθμό των συνδυασμών 10 στοιχείων κατά 4:

.

Εξετάστε το πρόβλημα του αριθμού των συνδυασμών με επαναλήψεις: υπάρχουν r πανομοιότυπα αντικείμενα καθενός από n διαφορετικούς τύπους. πόσα τρόπους μπορώ επιλέγω m() από αυτά τα (n*r) είδη;

.

Παράδειγμα 4

Το ζαχαροπλαστείο πουλούσε 4 είδη κέικ: ναπολεόν, εκλέρ, κουλουράκια και σφολιάτα. Με πόσους τρόπους μπορούν να αγοραστούν 7 κέικ;

Λύση

Επειδή μεταξύ 7 κέικ μπορεί να υπάρχουν κέικ της ίδιας ποικιλίας, τότε ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να αγοραστούν 7 κέικ καθορίζεται από τον αριθμό των συνδυασμών με επαναλήψεις από 7 έως 4.

.

Τοποθετήσεις χωρίς επανάληψη. Τοποθετήσεις με επαναλήψεις

Το κλασικό πρόβλημα της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των τοποθετήσεων χωρίς επαναλήψεις, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους μπορώ επιλέγω και θέση επί μ διαφορετικά μέρη μ. από n διαφορετικά αντικείμενα;

Παράδειγμα 5

Κάποια εφημερίδα έχει 12 σελίδες. Είναι απαραίτητο να τοποθετηθούν τέσσερις φωτογραφίες στις σελίδες αυτής της εφημερίδας. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό εάν καμία σελίδα της εφημερίδας δεν πρέπει να περιέχει περισσότερες από μία φωτογραφίες;

Λύση.

Σε αυτό το πρόβλημα, δεν επιλέγουμε απλώς φωτογραφίες, αλλά τις τοποθετούμε σε ορισμένες σελίδες της εφημερίδας και κάθε σελίδα της εφημερίδας δεν πρέπει να περιέχει περισσότερες από μία φωτογραφίες. Έτσι, το πρόβλημα μειώνεται στο κλασικό πρόβλημα του προσδιορισμού του αριθμού των τοποθετήσεων χωρίς επαναλήψεις από 12 στοιχεία κατά 4 στοιχεία:

Έτσι, 4 φωτογραφίες σε 12 σελίδες μπορούν να ταξινομηθούν με 11880 τρόπους.

Επίσης, το κλασικό καθήκον της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των τοποθετήσεων με επαναλήψεις, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους μπορώ εσείςσιστρατός και θέση επί μ διαφορετικά μέρη μ. από n στοιχείαΜεredi οι οποίες υπάρχει το ίδιο?

Παράδειγμα 6

Το αγόρι είχε γραμματόσημα με τους αριθμούς 1, 3 και 7 από το σετ για το επιτραπέζιο παιχνίδι. Αποφάσισε να χρησιμοποιήσει αυτά τα γραμματόσημα για να βάλει πενταψήφιους αριθμούς σε όλα τα βιβλία - για να συντάξει έναν κατάλογο. Πόσους διαφορετικούς πενταψήφιους αριθμούς μπορεί να κάνει το αγόρι;

Μεταθέσεις χωρίς επανάληψη. Μεταθέσεις με επαναλήψεις

Το κλασικό πρόβλημα της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των μεταθέσεων χωρίς επανάληψη, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους μπορώ θέση n διάφορος είδη στο n διαφορετικά μέρη;

Παράδειγμα 7

Πόσες τετραγράμματες «λέξεις» μπορούν να γίνουν από τα γράμματα της λέξης «γάμος»;

Λύση

Το γενικό σύνολο είναι 4 γράμματα της λέξης "γάμος" ​​(b, p, a, k). Ο αριθμός των «λέξεων» καθορίζεται από τις μεταθέσεις αυτών των 4 γραμμάτων, δηλ.

Για την περίπτωση που μεταξύ των επιλεγμένων n στοιχείων υπάρχουν τα ίδια (επιλογή με επιστροφή), το πρόβλημα του αριθμού των μεταθέσεων με επαναλήψεις μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: Με πόσους τρόπους μπορούν n αντικείμενα να αναδιαταχθούν σε n διαφορετικές θέσεις εάν μεταξύ n αντικειμένων υπάρχουν k διαφορετικοί τύποι (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Παράδειγμα 8

Πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί γραμμάτων μπορούν να γίνουν από τα γράμματα της λέξης «Μισισιπής»;

Λύση

Υπάρχει 1 γράμμα "m", 4 γράμματα "i", 3 γράμματα "γ" και 1 γράμμα "p", 9 γράμματα συνολικά. Επομένως, ο αριθμός των μεταθέσεων με επαναλήψεις είναι

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΣΤΟΡΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ "ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ"