Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με τη μέθοδο των ορθογωνίων. Αριθμητική Ολοκλήρωση

Αικατερινούπολη

Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος

Εισαγωγή

Το καθήκον της αριθμητικής ολοκλήρωσης των συναρτήσεων είναι ο υπολογισμός της κατά προσέγγιση τιμής ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος:

με βάση μια σειρά τιμών του ολοκληρώματος.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Οι τύποι για τον αριθμητικό υπολογισμό ενός απλού ολοκληρώματος ονομάζονται τύποι τετραγωνισμού, διπλοί και πιο πολλαπλοί - κυβικοί.

Η συνήθης τεχνική για την κατασκευή τύπων τετραγωνισμού είναι η αντικατάσταση του ολοκληρώματος f(x) σε ένα τμήμα με μια παρεμβολή ή προσεγγιστική συνάρτηση g(x) μιας σχετικά απλής μορφής, για παράδειγμα, ενός πολυωνύμου, ακολουθούμενη από αναλυτική ολοκλήρωση. Αυτό οδηγεί στην παρουσίαση

Παραβλέποντας τον υπόλοιπο όρο R[f], λαμβάνουμε τον κατά προσέγγιση τύπο

Να συμβολίσετε με y i = f(x i) την τιμή του ολοκληρώματος σε διάφορα σημεία του . Οι τύποι τετραγωνισμού είναι τύποι κλειστού τύπου εάν x 0 =a, x n =b.

Ως κατά προσέγγιση συνάρτηση g(x), θεωρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής on με τη μορφή του πολυωνύμου Lagrange:

, όπου , όπου είναι ο υπόλοιπος όρος του τύπου παρεμβολής Lagrange.

Ο τύπος (1) δίνει

, (2)

. (3)

Στον τύπο (2), οι ποσότητες () ονομάζονται κόμβοι, () - βάρη, - το σφάλμα του τύπου τετραγωνισμού. Εάν τα βάρη () του τύπου τετραγωνισμού υπολογίζονται με τον τύπο (3), τότε ο αντίστοιχος τύπος τετραγωνισμού ονομάζεται τύπος τετραγωνισμού του τύπου παρεμβολής.

Συνοψίζω.

1. Τα βάρη () του τύπου τετραγωνισμού (2) για μια δεδομένη διάταξη κόμβων δεν εξαρτώνται από τον τύπο του ολοκληρωτή.

2. Σε τύπους τετραγωνισμού τύπου παρεμβολής, ο υπόλοιπος όρος R n [f] μπορεί να αναπαρασταθεί ως η τιμή ενός συγκεκριμένου διαφορικού τελεστή στη συνάρτηση f(x). Για

3. Για πολυώνυμα μέχρι τάξης n συμπεριλαμβανομένου, ο τύπος τετραγωνισμού (2) είναι ακριβής, δηλ. . Ο υψηλότερος βαθμός ενός πολυωνύμου για το οποίο ο τύπος του τετραγωνισμού είναι ακριβής ονομάζεται βαθμός του τύπου τετραγωνισμού.

Εξετάστε ειδικές περιπτώσεις των τύπων (2) και (3): τη μέθοδο των ορθογωνίων, τραπεζοειδών, παραβολών (μέθοδος Simpson). Τα ονόματα αυτών των μεθόδων οφείλονται στη γεωμετρική ερμηνεία των αντίστοιχων τύπων.

Μέθοδος ορθογωνίου

Το οριστικό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x): είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζίου που οριοθετείται από τις καμπύλες y=0, x=a, x=b, y=f(x) (Εικόνα 1).

Ρύζι. 1 Εμβαδόν κάτω από την καμπύλη y=f(x) Για τον υπολογισμό αυτής της περιοχής, ολόκληρο το διάστημα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε n ίσα υποδιαστήματα μήκους h=(b-a)/n. Η περιοχή κάτω από το ολοκλήρωμα αντικαθίσταται περίπου από το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων, όπως φαίνεται στο σχήμα (2).

Ρύζι. 2 Το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη y=f(x) προσεγγίζεται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων
Το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων υπολογίζεται με τον τύπο

Η μέθοδος που αντιπροσωπεύεται από τον τύπο (4) ονομάζεται μέθοδος του αριστερού πλαισίου και η μέθοδος που αντιπροσωπεύεται από τον τύπο (5) ονομάζεται μέθοδος δεξιού πλαισίου:

Το σφάλμα στον υπολογισμό του ολοκληρώματος καθορίζεται από την τιμή του βήματος ολοκλήρωσης h. Όσο μικρότερο είναι το βήμα ολοκλήρωσης, τόσο ακριβέστερα το ολοκληρωτικό άθροισμα S προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος I. Με βάση αυτό, κατασκευάζεται ένας αλγόριθμος για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος με δεδομένη ακρίβεια. Θεωρείται ότι το ολοκληρωτικό άθροισμα S αντιπροσωπεύει την τιμή του ολοκληρώματος I με ακρίβεια eps, εάν η διαφορά στην απόλυτη τιμή μεταξύ των ολοκληρωτικών αθροισμάτων και υπολογιζόμενης με το βήμα h και h/2, αντίστοιχα, δεν υπερβαίνει τα eps.

Για να βρείτε ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των μεσαίων ορθογωνίων, η περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες a και b χωρίζεται σε n ορθογώνια με τις ίδιες βάσεις h, τα ύψη των ορθογωνίων θα είναι τα σημεία τομής της συνάρτησης f(x) με τα μέσα των ορθογωνίων (h/2). Το ολοκλήρωμα θα είναι αριθμητικά ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των n ορθογωνίων (Εικόνα 3).

Ρύζι. 3 Το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη y=f(x) προσεγγίζεται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων

n είναι ο αριθμός των κατατμήσεων του τμήματος.

Τραπεζοειδής μέθοδος

Για να βρεθεί ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τραπεζοειδούς, η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς χωρίζεται επίσης σε n ορθογώνια τραπεζοειδή με ύψη h και βάσεις y 1, y 2, y 3,..y n, όπου n είναι ο αριθμός των ορθογώνιο τραπεζοειδές. Το ολοκλήρωμα θα είναι αριθμητικά ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων τραπεζοειδών (Εικόνα 4).

Ρύζι. 4 Το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη y=f(x) προσεγγίζεται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογώνιων τραπεζοειδών.

n είναι ο αριθμός των κατατμήσεων

(6)

Το σφάλμα του τραπεζοειδούς τύπου υπολογίζεται από τον αριθμό

Το σφάλμα του τραπεζοειδούς τύπου μειώνεται γρηγορότερα με την ανάπτυξη από το σφάλμα του τύπου ορθογωνίου. Επομένως, ο τύπος τραπεζοειδούς σάς επιτρέπει να έχετε μεγαλύτερη ακρίβεια από τη μέθοδο του ορθογωνίου.

Φόρμουλα Simpson

Αν για κάθε ζεύγος τμημάτων κατασκευάσουμε ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, το ενσωματώσουμε στο τμήμα και χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα προσθετικότητας του ολοκληρώματος, τότε παίρνουμε τον τύπο Simpson.

Στη μέθοδο του Simpson για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, ολόκληρο το διάστημα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε υποδιαστήματα ίσου μήκους h=(b-a)/n. Ο αριθμός των τμημάτων διαμερισμάτων είναι ένας ζυγός αριθμός. Στη συνέχεια, σε κάθε ζεύγος γειτονικών υποδιαστημάτων, η υποολοκληρωτική συνάρτηση f(x) αντικαθίσταται από ένα πολυώνυμο Lagrange δεύτερου βαθμού (Εικόνα 5).

Ρύζι. 5 Η συνάρτηση y=f(x) στο τμήμα αντικαθίσταται από ένα πολυώνυμο 2ης τάξης

Θεωρήστε το ολοκλήρωμα στο διάστημα . Ας αντικαταστήσουμε αυτό το ολοκλήρωμα με ένα πολυώνυμο παρεμβολής δεύτερου βαθμού Lagrange που συμπίπτει με το y= στα σημεία :

Ενσωματώνουμε στο τμήμα .:

Εισάγουμε μια αλλαγή μεταβλητών:

Δεδομένων των τύπων αντικατάστασης,

Μετά την ενσωμάτωση, παίρνουμε τον τύπο Simpson:

Η τιμή που λαμβάνεται για το ολοκλήρωμα συμπίπτει με την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άξονα, τις ευθείες γραμμές και μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία. Στο τμήμα, ο τύπος του Simpson θα μοιάζει με:

Στον τύπο της παραβολής, η τιμή της συνάρτησης f (x) σε περιττά σημεία διαίρεσης x 1, x 3, ..., x 2 n -1 έχει συντελεστή 4, σε ζυγά σημεία x 2, x 4, .. ., x 2 n -2 - συντελεστής 2 και σε δύο οριακά σημεία x 0 \u003d a, x n \u003d b - συντελεστής 1.

Η γεωμετρική έννοια του τύπου του Simpson: η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) σε ένα τμήμα αντικαθίσταται κατά προσέγγιση από το άθροισμα των εμβαδών των σχημάτων που βρίσκονται κάτω από τις παραβολές.

Εάν η συνάρτηση f(x) έχει συνεχή παράγωγο τέταρτης τάξης, τότε η απόλυτη τιμή του σφάλματος του τύπου Simpson δεν είναι μεγαλύτερη από

όπου M είναι η μεγαλύτερη τιμή στο τμήμα. Δεδομένου ότι το n 4 αυξάνεται ταχύτερα από το n 2, το σφάλμα του τύπου του Simpson μειώνεται με την αύξηση του n πολύ πιο γρήγορα από το σφάλμα του τραπεζοειδούς τύπου.

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα

Αυτό το ολοκλήρωμα είναι εύκολο να υπολογιστεί:

Ας πάρουμε n ίσο με 10, h=0,1, υπολογίσουμε τις τιμές του ολοκληρώματος στα σημεία κατάτμησης, καθώς και μισά ακέραια σημεία .

Σύμφωνα με τον τύπο των μεσαίων ορθογωνίων, παίρνουμε I straight = 0,785606 (το σφάλμα είναι 0,027%), σύμφωνα με τον τραπεζοειδή τύπο I trap = 0,784981 (το σφάλμα είναι περίπου 0,054. Όταν χρησιμοποιείτε τη μέθοδο των δεξιών και αριστερών ορθογωνίων, το σφάλμα είναι περισσότερο από 3%.

Για να συγκρίνουμε την ακρίβεια των κατά προσέγγιση τύπων, υπολογίζουμε για άλλη μια φορά το ολοκλήρωμα

αλλά τώρα με τον τύπο Simpson για n=4. Χωρίζουμε το τμήμα σε τέσσερα ίσα μέρη με σημεία x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 και υπολογίζουμε περίπου τις τιμές της συνάρτησης f (x) \u003d 1 / ( 1+x) σε αυτά τα σημεία: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Με τον τύπο του Simpson, παίρνουμε

Ας εκτιμήσουμε το σφάλμα του αποτελέσματος που προέκυψε. Για το ολοκλήρωμα f(x)=1/(1+x) έχουμε: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , από όπου προκύπτει ότι στο τμήμα . Επομένως, μπορούμε να πάρουμε M=24 και το σφάλμα αποτελέσματος δεν υπερβαίνει το 24/(2880× 4 4)=0,0004. Συγκρίνοντας την κατά προσέγγιση τιμή με την ακριβή, συμπεραίνουμε ότι το απόλυτο σφάλμα του αποτελέσματος που προκύπτει από τον τύπο Simpson είναι μικρότερο από 0,00011. Αυτό είναι σύμφωνο με την εκτίμηση σφάλματος που δίνεται παραπάνω και, επιπλέον, δείχνει ότι ο τύπος Simpson είναι πολύ πιο ακριβής από τον τραπεζοειδή τύπο. Επομένως, ο τύπος Simpson για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιείται συχνότερα από τον τραπεζοειδή τύπο.

Σύγκριση μεθόδων για ακρίβεια

Ας συγκρίνουμε τις μεθόδους ως προς την ακρίβεια, για αυτό θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα των συναρτήσεων y=x, y=x+2, y=x 2 , σε n=10 και n=60, a=0, b=10 . Η ακριβής τιμή των ολοκληρωμάτων είναι αντίστοιχα: 50, 70, 333.(3)

Τραπέζι 1

Ο Πίνακας 1 δείχνει ότι το πιο ακριβές είναι το ολοκλήρωμα που βρέθηκε από τον τύπο Simpson, κατά τον υπολογισμό των γραμμικών συναρτήσεων y=x, y=x+2, η ακρίβεια επιτυγχάνεται επίσης με τις μεθόδους των μεσαίων ορθογωνίων και την τραπεζοειδή μέθοδο, τη μέθοδο του ορθού τα ορθογώνια είναι λιγότερο ακριβή. Ο Πίνακας 1 δείχνει ότι με την αύξηση του αριθμού των κατατμήσεων n (αύξηση του αριθμού των ενσωματώσεων), η ακρίβεια του κατά προσέγγιση υπολογισμού των ολοκληρωμάτων αυξάνεται

Ανάθεση εργαστηριακών εργασιών

1) Γράψτε προγράμματα για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας μεθόδους: μεσαία, ορθογώνια ορθογώνια, τραπεζοειδές και μέθοδος Simpson. Εκτελέστε την ενοποίηση των παρακάτω λειτουργιών:

σε ένα τμήμα με ένα βήμα,

3. Εκτελέστε μια παραλλαγή μιας μεμονωμένης εργασίας (πίνακας 2)

Πίνακας 2 Επιλογές μεμονωμένων εργασιών

	Συνάρτηση f(x)	Τμήμα ολοκλήρωσης

2) Διεξαγωγή συγκριτικής ανάλυσης των μεθόδων.

Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος: Οδηγίες εργαστηριακής εργασίας στον κλάδο «Υπολογιστικά μαθηματικά» / συγγρ. I.A. Selivanova. Yekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2006. 14 p.

Οι οδηγίες απευθύνονται σε φοιτητές όλων των μορφών εκπαίδευσης της ειδικότητας 230101 - «Υπολογιστές, συγκροτήματα, συστήματα και δίκτυα» και πτυχιούχους της κατεύθυνσης 230100 - «Πληροφορική και τεχνολογία υπολογιστών». Συντάχθηκε από τη Selivanova Irina Anatolyevna

Γραφική εικόνα:

Ας υπολογίσουμε την κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος. Για να εκτιμήσουμε την ακρίβεια, χρησιμοποιούμε τον υπολογισμό με τη μέθοδο των αριστερών και δεξιών ορθογωνίων.

Υπολογίστε το βήμα κατά τον χωρισμό σε 10 μέρη:

Τα σημεία διαχωρισμού του τμήματος ορίζονται ως.

Υπολογίζουμε την κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τους τύπους των αριστερών ορθογωνίων:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Υπολογίζουμε την κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τους τύπους των ορθών ορθογωνίων:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Επίλυση ενός προβλήματος οριακής τιμής για μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση με τη μέθοδο σάρωσης.

Για μια κατά προσέγγιση λύση μιας συνηθισμένης διαφορικής εξίσωσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος σάρωσης.

Θεωρήστε μια γραμμική δ.π.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

με γραμμικές οριακές συνθήκες δύο σημείων

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:

Η μέθοδος σάρωσης αποτελείται από μια "κίνηση προς τα εμπρός", στην οποία καθορίζονται οι συντελεστές:

Αφού εκτελέσουν την "κίνηση προς τα εμπρός", προχωρούν στην εκτέλεση της "αντίστροφης κίνησης", η οποία συνίσταται στον προσδιορισμό των τιμών της επιθυμητής συνάρτησης σύμφωνα με τους τύπους:

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σάρωσης, συνθέστε μια λύση στο πρόβλημα της οριακής τιμής για μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση με ακρίβεια. Βήμα h=0,05

2; A=1; =0; Β=1,2;

Το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace με τη μέθοδο του πλέγματος

Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση u(x, y) που να ικανοποιεί την εξίσωση Laplace μέσα σε μια ορθογώνια περιοχή

και παίρνοντας το όριο της περιοχής δεδομένων τιμών, δηλ.

όπου f l , f 2 , f 3 , f 4 δίνονται συναρτήσεις.

Εισάγοντας τη σημείωση, προσεγγίζουμε τις μερικές παραγώγους και σε κάθε κόμβο εσωτερικού πλέγματος με τις παραγώγους κεντρικών διαφορών δεύτερης τάξης

και αντικαταστήστε την εξίσωση Laplace με μια εξίσωση πεπερασμένης διαφοράς

Το σφάλμα αντικατάστασης μιας διαφορικής εξίσωσης με διαφορά ένα είναι .

Οι εξισώσεις (1) μαζί με τις τιμές στους οριακούς κόμβους σχηματίζουν ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων για τις κατά προσέγγιση τιμές της συνάρτησης u(x, y) στους κόμβους του πλέγματος. Αυτό το σύστημα έχει την απλούστερη μορφή όταν:

Κατά τη λήψη των εξισώσεων πλέγματος (2), χρησιμοποιήθηκε το σχήμα των κόμβων που φαίνεται στο Σχ. 1. 1. Το σύνολο των κόμβων που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση της εξίσωσης σε ένα σημείο ονομάζεται πρότυπο.

Εικόνα 1

Η αριθμητική λύση του προβλήματος Dirichlet για την εξίσωση Laplace σε ένα ορθογώνιο συνίσταται στην εύρεση των κατά προσέγγιση τιμών της επιθυμητής συνάρτησης u(x, y) στους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος. Για τον προσδιορισμό των μεγεθών απαιτείται η επίλυση του συστήματος των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (2).

Σε αυτό το άρθρο, επιλύεται με τη μέθοδο Gauss--Seidel, η οποία συνίσταται στην κατασκευή μιας ακολουθίας επαναλήψεων της μορφής

(ο εκθέτης s υποδηλώνει τον αριθμό επανάληψης). Για , η ακολουθία συγκλίνει στην ακριβή λύση του συστήματος (2). Ως προϋπόθεση για τον τερματισμό της επαναληπτικής διαδικασίας μπορεί κανείς να λάβει

Έτσι, το σφάλμα της κατά προσέγγιση λύσης που λαμβάνεται με τη μέθοδο του πλέγματος αποτελείται από δύο σφάλματα: το σφάλμα προσέγγισης της διαφορικής εξίσωσης με διαφορά. σφάλμα που προκύπτει από την κατά προσέγγιση λύση του συστήματος των εξισώσεων διαφοράς (2).

Είναι γνωστό ότι το σχήμα διαφοράς που περιγράφεται εδώ έχει την ιδιότητα της σταθερότητας και της σύγκλισης. Η σταθερότητα του σχήματος σημαίνει ότι μικρές αλλαγές στα αρχικά δεδομένα οδηγούν σε μικρές αλλαγές στη λύση του προβλήματος διαφοράς. Μόνο τέτοια σχήματα έχουν νόημα να εφαρμόζονται σε πραγματικούς υπολογισμούς. Η σύγκλιση του σχήματος σημαίνει ότι όταν το βήμα του πλέγματος τείνει στο μηδέν (), η λύση του προβλήματος διαφοράς τείνει με μια ορισμένη έννοια στη λύση του αρχικού προβλήματος. Έτσι, επιλέγοντας ένα αρκετά μικρό βήμα h, μπορεί κανείς να λύσει το αρχικό πρόβλημα αυθαίρετα ακριβώς.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πλέγματος, συνθέστε μια κατά προσέγγιση λύση του προβλήματος Dirichlet για την εξίσωση Laplace στο τετράγωνο ABCD με κορυφές A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); βήμα h=0,02. Κατά την επίλυση του προβλήματος, χρησιμοποιήστε την επαναληπτική διαδικασία υπολογισμού του μέσου όρου του Libman μέχρι να ληφθεί μια απάντηση με ακρίβεια 0,01.

1) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στις πλευρές:

1. Στην πλευρά ΑΒ: σύμφωνα με τον τύπο. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
2. πλευρά π.Χ.=0
3. Στο πλάι CD=0

4. Από την πλευρά AD: από τον τύπο u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)=29.44 u(1;0)=0
2) Για να προσδιορίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα εσωτερικά σημεία της περιοχής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πλέγματος, αντικαθιστούμε τη δεδομένη εξίσωση Laplace σε κάθε σημείο με μια εξίσωση πεπερασμένων διαφορών σύμφωνα με τον τύπο

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα φτιάξουμε μια εξίσωση για κάθε εσωτερικό σημείο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων.

Η λύση αυτού του συστήματος γίνεται με την επαναληπτική μέθοδο τύπου Liebman. Για κάθε τιμή, συνθέτουμε μια ακολουθία που δημιουργούμε ώστε να σύγκλιση σε εκατοστά. Ας γράψουμε τις σχέσεις με τη βοήθεια των οποίων θα βρούμε τα στοιχεία όλων των ακολουθιών:

Για τους υπολογισμούς που χρησιμοποιούν αυτούς τους τύπους, είναι απαραίτητο να καθοριστούν οι αρχικές τιμές που μπορούν να βρεθούν με οποιονδήποτε τρόπο.

3) Για να λάβουμε την αρχική κατά προσέγγιση λύση του προβλήματος, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση u(x,y) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη κατά μήκος των οριζόντιων της περιοχής.

Αρχικά, θεωρήστε μια οριζόντια γραμμή με οριακά σημεία (0;0,2) και (1;0,2).

Ας υποδηλώσουμε τις επιθυμητές τιμές της συνάρτησης σε εσωτερικά σημεία.

Δεδομένου ότι το τμήμα χωρίζεται σε 5 μέρη, το βήμα μέτρησης της συνάρτησης

Τότε παίρνουμε:

Ομοίως, βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα εσωτερικά σημεία άλλων οριζόντιων. Για οριζόντια, με οριακά σημεία (0;0,4) και (1;0,4) έχουμε

Για οριζόντια με οριακά σημεία (0;0,6) και (1;0,6) έχουμε

Τέλος, βρίσκουμε τις τιμές για την οριζόντια με τα οριακά σημεία (0;0,8) και (1;0,8).

Θα παρουσιάσουμε όλες τις λαμβανόμενες τιμές στον παρακάτω πίνακα, ο οποίος ονομάζεται μηδενικό μοτίβο:

Εκτίμηση του υπόλοιπου όρου του τύπου:

Ανάθεση υπηρεσίας. Η υπηρεσία προορίζεται για διαδικτυακό υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο των ορθογωνίων.

Εντολή. Εισαγάγετε το ολοκλήρωμα f(x) , κάντε κλικ στην επιλογή Επίλυση. Η λύση που προκύπτει αποθηκεύεται σε ένα αρχείο Word. Ένα πρότυπο λύσης δημιουργείται επίσης στο Excel. Παρακάτω είναι μια οδηγία βίντεο.

Κανόνες εισαγωγής συναρτήσεων

Παραδείγματα
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Αυτός είναι ο απλούστερος τύπος τετραγωνισμού για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, ο οποίος χρησιμοποιεί μία τιμή της συνάρτησης

(8.5.1)
όπου ; h=x 1 -x 0 .
Ο τύπος (8.5.1) είναι ο κεντρικός τύπος για τα ορθογώνια. Ας υπολογίσουμε το υπόλοιπο. Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση y=f(x) στο σημείο ε 0 σε μια σειρά Taylor:
(8.5.2)
όπου ; . Ενσωματώνουμε (8.5.2):

(8.5.3)

Στον δεύτερο όρο, το ολοκλήρωμα είναι περιττό και τα όρια ολοκλήρωσης είναι συμμετρικά ως προς το σημείο ε 0 . Επομένως, το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν. Έτσι, από την (8.5.3) προκύπτει .
Εφόσον ο δεύτερος παράγοντας του ολοκληρώματος δεν αλλάζει πρόσημο, λαμβάνουμε με το θεώρημα της μέσης τιμής , όπου . Μετά την ενσωμάτωση, παίρνουμε . (8.5.4)
Συγκρίνοντας με το υπόλοιπο του τραπεζοειδούς τύπου, βλέπουμε ότι το σφάλμα του τύπου ορθογωνίου είναι δύο φορές μικρότερο από το σφάλμα του τραπεζοειδούς τύπου. Αυτό το αποτέλεσμα ισχύει αν στον τύπο των ορθογωνίων πάρουμε την τιμή της συνάρτησης στο μέσο.
Λαμβάνουμε τον τύπο των ορθογωνίων και τον υπόλοιπο όρο για το διάστημα . Έστω το πλέγμα x i =a+ih, i=0,1,...,n, . Θεωρούμε το πλέγμα ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Επειτα . (8.5.5)
Υπολειπόμενος όρος .
Γεωμετρικά, ο τύπος των ορθογωνίων μπορεί να αναπαρασταθεί από το ακόλουθο σχήμα:

Εάν η συνάρτηση f (x) δίνεται σε έναν πίνακα, τότε χρησιμοποιείται είτε ο αριστερός τύπος των ορθογωνίων (για ένα ομοιόμορφο πλέγμα)

ή ο δεξιός τύπος των ορθογωνίων

.
Το σφάλμα αυτών των τύπων εκτιμάται μέσω της πρώτης παραγώγου. Για το διάστημα, το σφάλμα είναι

; .
Μετά την ενσωμάτωση, παίρνουμε .

Παράδειγμα. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα για n=5:
α) σύμφωνα με τον τραπεζοειδή τύπο.
β) σύμφωνα με τον τύπο των ορθογωνίων.
γ) σύμφωνα με τον τύπο Simpson.
δ) σύμφωνα με τον τύπο Gauss.
ε) σύμφωνα με τον τύπο Chebyshev.
Υπολογίστε το σφάλμα.
Λύση. Για 5 κόμβους ολοκλήρωσης, το βήμα πλέγματος θα είναι 0,125.
Κατά την επίλυση, θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα τιμών συναρτήσεων. Εδώ f(x)=1/x.

	Χ		f(x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

α) τραπεζοειδής τύπος:
I=h/2×;
I=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Η μέγιστη τιμή της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης στο διάστημα είναι 16: max (f¢¢(x)), xн=2/(0,5 3)=16, επομένως
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
β) τύπος ορθογωνίων:
για τον αριστερό τύπο I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2×y¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2×16= 0.02;
γ) Ο τύπος του Simpson:
I=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4×y (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4×768 = - 5.2 μι-4;
δ) Τύπος Gauss:
I=(b-a)/2×;
x i =(b+a)/2+t i (b-a)/2
(A i , t i - τιμές πίνακα).

				t (n=5)		A (n=5)
x1	0.9765	y1	1.02	t1	0.90617985	Α'1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t2	0.53846931	Α2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	Α 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	Α4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	Α5	0.23692688

I=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
ε) τύπος Chebyshev:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - απαραίτητη μείωση του διαστήματος ολοκλήρωσης στο διάστημα [-1;1].
Για n=5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Ας βρούμε τιμές x και τιμές συναρτήσεων σε αυτά τα σημεία:

x1	0,958	f(x1)	1,043
x2	0,844	f(x2)	1,185
x3	0,75	f(x3)	1,333
x4	0,656	f(x4)	1,524
x5	0,542	f(x5)	1,845

Το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης είναι 6,927.
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.

Γενικά τύπος αριστερού ορθογωνίουστο τμήμα ως εξής (21) :

Σε αυτή τη φόρμουλα Χ 0 =a, x n =β, αφού οποιοδήποτε ολοκλήρωμα γενικά μοιάζει με: (δείτε τον τύπο 18 ).

Το h μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο 19 .

y 0 , y 1 ,...,υ n-1 Χ 0 , Χ 1 ,...,Χ n-1 (Χ Εγώ =x i-1 +η).

Τύπος ορθογωνίων ορθογωνίων.

Γενικά ορθογώνιο τύποςστο τμήμα ως εξής (22) :

Σε αυτή τη φόρμουλα Χ 0 =a, x n =β(δείτε τύπο για αριστερά ορθογώνια).

Το h μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως στον τύπο για τα αριστερά ορθογώνια.

y 1 , y 2 ,...,υ nείναι οι τιμές της αντίστοιχης συνάρτησης f(x) στα σημεία Χ 1 , Χ 2 ,...,Χ n (Χ Εγώ =x i-1 +η).

Τύπος μεσαίου ορθογωνίου.

Γενικά τύπος μεσαίου ορθογωνίουστο τμήμα ως εξής (23) :

Οπου Χ Εγώ =x i-1 +η.

Σε αυτόν τον τύπο, όπως και στους προηγούμενους, το h απαιτείται για να πολλαπλασιάσει το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης f (x), αλλά όχι απλώς αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές Χ 0 ,Χ 1 ,...,Χ n-1στη συνάρτηση f(x), και προσθέτοντας σε καθεμία από αυτές τις τιμές h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) και μετά μόνο αντικατάστασή τους στη δεδομένη συνάρτηση.

Το h μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως στον τύπο για τα αριστερά ορθογώνια." [ 6 ]

Στην πράξη, αυτές οι μέθοδοι εφαρμόζονται ως εξής:

Mathcad ;

προέχω .

Mathcad ;

προέχω .

Για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο των μέσων ορθογωνίων στο Excel, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

Συνεχίστε να εργάζεστε στο ίδιο έγγραφο όπως κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τους τύπους του αριστερού και του δεξιού ορθογωνίου.

Εισαγάγετε το κείμενο xi+h/2 στο κελί E6 και f(xi+h/2) στο κελί F6.

Εισαγάγετε τον τύπο =B7+$B$4/2 στο κελί E7, αντιγράψτε αυτόν τον τύπο σύροντας στην περιοχή των κελιών E8:E16

Εισαγάγετε τον τύπο =ROOT(E7^4-E7^3+8) στο κελί F7, αντιγράψτε αυτόν τον τύπο τραβώντας στην περιοχή των κελιών F8:F16

Εισαγάγετε τον τύπο =SUM(F7:F16) στο κελί F18.

Εισαγάγετε τον τύπο =B4*F18 στο κελί F19.

Εισαγάγετε το κείμενο των μέσων όρων στο κελί F20.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τα εξής:

Απάντηση: η τιμή του δεδομένου ολοκληρώματος είναι 13,40797.

Με βάση τα ληφθέντα αποτελέσματα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο τύπος για τα μεσαία ορθογώνια είναι ο πιο ακριβής από τους τύπους για τα δεξιά και τα αριστερά ορθογώνια.

1. Μέθοδος Monte Carlo

"Η κύρια ιδέα της μεθόδου Monte Carlo είναι η επανάληψη τυχαίων δοκιμών πολλές φορές. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της μεθόδου Monte Carlo είναι η χρήση τυχαίων αριθμών (αριθμητικές τιμές κάποιας τυχαίας μεταβλητής). Τέτοιοι αριθμοί μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας Γεννήτριες τυχαίων αριθμών Για παράδειγμα, η γλώσσα προγραμματισμού Turbo Pascal έχει τυπική λειτουργία τυχαίος, οι τιμές των οποίων είναι τυχαίοι αριθμοί ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο τμήμα . Αυτό σημαίνει ότι εάν διαιρέσετε το καθορισμένο τμήμα σε έναν ορισμένο αριθμό ίσων διαστημάτων και υπολογίσετε την τιμή της τυχαίας συνάρτησης πολλές φορές, τότε περίπου ο ίδιος αριθμός τυχαίων αριθμών θα πέσει σε κάθε διάστημα. Στη γλώσσα προγραμματισμού λεκάνης, ένας παρόμοιος αισθητήρας είναι η συνάρτηση rnd. Στο υπολογιστικό φύλλο MS Excel, η συνάρτηση ΑΚΡΑεπιστρέφει έναν ομοιόμορφα κατανεμημένο τυχαίο αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο με 0 και μικρότερο από 1 (αλλάζει όταν υπολογίζεται εκ νέου)" [ 7 ].

Για να το υπολογίσετε, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο () :

Όπου (i=1, 2, …, n) βρίσκονται τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα .

Για να λάβουμε τέτοιους αριθμούς με βάση μια ακολουθία τυχαίων αριθμών x i ομοιόμορφα κατανεμημένων στο διάστημα , αρκεί να εκτελέσουμε τον μετασχηματισμό x i =a+(b-a)x i .

Στην πράξη, η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται ως εξής:

Για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα με τη μέθοδο Monte Carlo στο Excel, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

Στο κελί B1, εισαγάγετε το κείμενο n=.

Στο κελί B2, εισαγάγετε το κείμενο a=.

Στο κελί B3, πληκτρολογήστε το κείμενο b=.

Εισαγάγετε τον αριθμό 10 στο κελί C1.

Εισαγάγετε τον αριθμό 0 στο κελί C2.

Στο κελί C3, εισαγάγετε τον αριθμό 3.2.

Στο κελί A5, πληκτρολογήστε I, στο B5 - xi, στο C5 - f (xi).

Τα κελιά A6:A15 συμπληρώνονται με αριθμούς 1,2,3, ..., 10 - αφού n=10.

Εισαγάγετε τον τύπο =RAND()*3.2 στο κελί B6 (οι αριθμοί δημιουργούνται στην περιοχή από 0 έως 3.2), αντιγράψτε αυτόν τον τύπο τραβώντας το εύρος των κελιών B7:B15.

Εισαγάγετε τον τύπο =ROOT(B6^4-B6^3+8) στο κελί C6, αντιγράψτε αυτόν τον τύπο σύροντάς τον στην περιοχή των κελιών C7:C15.

Εισαγάγετε το κείμενο "sum" στο κελί B16, "(b-a)/n" στο B17 και "I=" στο B18.

Εισαγάγετε τον τύπο =SUM(C6:C15) στο κελί C16.

Εισαγάγετε τον τύπο =(C3-C2)/C1 στο κελί C17.

Εισαγάγετε τον τύπο =C16*C17 στο κελί C18.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

Απάντηση: η τιμή του δεδομένου ολοκληρώματος είναι 13,12416.