Ο νόμος των μεγάλων αριθμών και τα οριακά θεωρήματα. Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Αν το φαινόμενο της βιωσιμότητας Μεσαίολαμβάνει χώρα στην πραγματικότητα, τότε στο μαθηματικό μοντέλο με το οποίο μελετάμε τα τυχαία φαινόμενα, πρέπει να υπάρχει ένα θεώρημα που να αντικατοπτρίζει αυτό το γεγονός.
Υπό τις συνθήκες αυτού του θεωρήματος, εισάγουμε περιορισμούς σε τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 , …, X n:

α) κάθε τυχαία μεταβλητή Χ iέχει μαθηματική προσδοκία

Μ(Χ i) = ένα;

β) η διακύμανση κάθε τυχαίας μεταβλητής είναι πεπερασμένη ή μπορούμε να πούμε ότι οι διακυμάνσεις οριοθετούνται από πάνω από τον ίδιο αριθμό, για παράδειγμα ΑΠΟ, δηλ.

ρε(Χ i) < C, i = 1, 2, …, n;

γ) οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες κατά ζεύγη, δηλαδή οποιεσδήποτε δύο X iκαι Xjστο Εγώ¹ ιανεξάρτητος.

Τότε προφανώς

ρε(Χ 1 + Χ 2 + … + X n)=ρε(Χ 1) + Δ(Χ 2) + ... + Δ(X n).

Ας διατυπώσουμε τον νόμο των μεγάλων αριθμών με τη μορφή Chebyshev.

Το θεώρημα του Chebyshev:με απεριόριστη αύξηση του αριθμού nανεξάρτητα τεστ" ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής συγκλίνει κατά πιθανότητα στη μαθηματική προσδοκία της », δηλαδή για κάθε θετικό ε

R(| –α| < ε ) = 1. (4.1.1)

Το νόημα της έκφρασης «αριθμητικός μέσος όρος = συγκλίνει κατά πιθανότητα σε ένα" είναι αυτή η πιθανότητα ότι θα διαφέρει αυθαίρετα ελάχιστα από ένα, πλησιάζει το 1 επ' αόριστον ως αριθμός n.

Απόδειξη.Για πεπερασμένο αριθμό nανεξάρτητα τεστ, εφαρμόζουμε την ανισότητα Chebyshev για μια τυχαία μεταβλητή = :

R(|–Μ()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς α - β υπολογίζουμε Μ( ) και ρε( ):

Μ( ) = = = = = = ένα;

ρε( ) = = = = = = .

Αντικατάσταση Μ( ) και ρε( ) στην ανισότητα (4.1.2), λαμβάνουμε

R(| –α| < ε )≥1 – .

Αν στην ανισότητα (4.1.2) πάρουμε ένα αυθαίρετα μικρό ε >0 και n® ¥, τότε παίρνουμε

= 1,

που αποδεικνύει το θεώρημα Chebyshev.

Ένα σημαντικό πρακτικό συμπέρασμα προκύπτει από το εξεταζόμενο θεώρημα: έχουμε το δικαίωμα να αντικαταστήσουμε την άγνωστη τιμή της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής με την αριθμητική μέση τιμή που προκύπτει από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό πειραμάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, όσο περισσότερα πειράματα πρέπει να υπολογιστούν, τόσο πιο πιθανό (αξιόπιστο) μπορεί να αναμένεται ότι το σφάλμα που σχετίζεται με αυτήν την αντικατάσταση ( - ένα) δεν θα υπερβαίνει τη δεδομένη τιμή ε .

Επιπλέον, άλλα πρακτικά προβλήματα μπορούν να λυθούν. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τις τιμές της πιθανότητας (αξιοπιστία) R=R(| – α|< ε ) και το μέγιστο επιτρεπόμενο σφάλμα ε προσδιορίστε τον απαιτούμενο αριθμό πειραμάτων n; επί Rκαι Πκαθορίζω ε; επί ε και Ππροσδιορίζει την πιθανότητα ενός γεγονότος | – α |< ε.

ειδική περίπτωση. Αφήστε στο nδοκιμές που παρατηρήθηκαν nτιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χ,έχοντας μαθηματική προσδοκία Μ(Χ) και διασπορά ρε(Χ). Οι λαμβανόμενες τιμές μπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίες μεταβλητές Χ 1 ,Χ 2 ,Χ 3 , ... ,X n,. Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: μια σειρά από Ποι δοκιμές πραγματοποιούνται επανειλημμένα, έτσι ως αποτέλεσμα Εγώη δοκιμή, Εγώ= l, 2, 3, ..., Π, σε κάθε σειρά δοκιμών θα εμφανίζεται η μία ή η άλλη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, άγνωστο εκ των προτέρων. Συνεπώς, Εγώ-e αξία x iτυχαία μεταβλητή που λαμβάνεται σε Εγώη δοκιμή, αλλάζει τυχαία εάν μετακινηθείτε από τη μια σειρά δοκιμών στην άλλη. Κάθε αξία λοιπόν x iμπορεί να θεωρηθεί τυχαίο X i .

Ας υποθέσουμε ότι οι δοκιμές πληρούν τις ακόλουθες απαιτήσεις:

1. Τα τεστ είναι ανεξάρτητα. Αυτό σημαίνει ότι τα αποτελέσματα Χ 1 , Χ 2 ,
Χ 3 , ..., X nΤα τεστ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

2. Οι δοκιμές πραγματοποιούνται υπό τις ίδιες συνθήκες - αυτό σημαίνει, από την άποψη της θεωρίας πιθανοτήτων, ότι κάθε μία από τις τυχαίες μεταβλητές Χ 1 ,Χ 2 ,Χ 3 , ... ,X nέχει τον ίδιο νόμο κατανομής με την αρχική τιμή Χ, να γιατί Μ(X i) =Μ(Χ)και ρε(X i) = ρε(Χ), Εγώ = 1, 2, .... Π.

Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω συνθήκες, παίρνουμε

R(| –α| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Παράδειγμα 4.1.1. Χισούται με 4. Πόσα ανεξάρτητα πειράματα απαιτούνται ώστε με πιθανότητα τουλάχιστον 0,9 να αναμένεται ότι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της τυχαίας μεταβλητής θα διαφέρει από τη μαθηματική προσδοκία λιγότερο από 0,5;

Λύση.Ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος ε = 0,5; R(| – α|< 0,5) ≥ 0,9. Εφαρμογή του τύπου (4.1.3) για την τυχαία μεταβλητή Χ, παίρνουμε

Π(|–Μ(Χ)| < ε ) ≥ 1 – .

Από τη σχέση

1 – = 0,9

καθορίζω

Π= = = 160.

Απάντηση: απαιτείται να γίνουν 160 ανεξάρτητα πειράματα.

Υποθέτοντας ότι ο αριθμητικός μέσος όρος κανονικά κατανεμημένο, παίρνουμε:

R(| – α|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Από όπου, χρησιμοποιώντας τον πίνακα της συνάρτησης Laplace, παίρνουμε ≥
≥ 1,645, ή ≥ 6,58 δηλ. n ≥49.

Παράδειγμα 4.1.2.Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής Χισούται με D( Χ) = 5. Πραγματοποιήθηκαν 100 ανεξάρτητα πειράματα, σύμφωνα με τα οποία . Αντί της άγνωστης τιμής της μαθηματικής προσδοκίας έναθετός . Προσδιορίστε το μέγιστο ποσό σφάλματος που επιτρέπεται σε αυτήν την περίπτωση με πιθανότητα τουλάχιστον 0,8.

Λύση.Σύμφωνα με το καθήκον n= 100, R(| –α|< ε ) ≥0,8. Εφαρμόζουμε τον τύπο (4.1.3)

R(| –α|< ε ) ≥1 – .

Από τη σχέση

1 – = 0,8

καθορίζω ε :

ε 2 = = = 0,25.

Συνεπώς, ε = 0,5.

Απάντηση: μέγιστη τιμή σφάλματος ε = 0,5.

4.2. Νόμος των μεγάλων αριθμών σε μορφή Bernoulli

Αν και η έννοια της πιθανότητας είναι η βάση οποιουδήποτε στατιστικού συμπεράσματος, μπορούμε μόνο σε λίγες περιπτώσεις να προσδιορίσουμε άμεσα την πιθανότητα ενός γεγονότος. Μερικές φορές αυτή η πιθανότητα μπορεί να καθοριστεί από εκτιμήσεις συμμετρίας, ίσων ευκαιριών, κ.λπ., αλλά δεν υπάρχει καθολική μέθοδος που θα επέτρεπε σε κάποιον να υποδείξει την πιθανότητα της για ένα αυθαίρετο συμβάν. Το θεώρημα Bernoulli καθιστά δυνατή την προσέγγιση της πιθανότητας εάν για το γεγονός που μας ενδιαφέρει ΑΛΛΑμπορούν να πραγματοποιηθούν επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές. Αφήστε να παραχθεί Πανεξάρτητα τεστ, σε καθένα από τα οποία η πιθανότητα να συμβεί κάποιο γεγονός ΑΛΛΑσταθερό και ίσο R.

Θεώρημα Bernoulli.Με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των ανεξάρτητων δοκιμών Πσχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος ΑΛΛΑσυγκλίνει σε πιθανότητα προς πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΑΛΛΑ, t. μι.

Π(½ - Π½≤ ε) = 1, (4.2.1)

όπου ε είναι ένας αυθαίρετα μικρός θετικός αριθμός.

Για τον τελικό nυπό την προϋπόθεση ότι , η ανισότητα Chebyshev για μια τυχαία μεταβλητή θα έχει τη μορφή:

Π(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Απόδειξη.Εφαρμόζουμε το θεώρημα Chebyshev. Αφήνω X i– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΑΛΛΑσε Εγώη δοκιμή, Εγώ= 1, 2, . . . , n. Κάθε μία από τις ποσότητες X iμπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές:

X i= 1 (συμβάν ΑΛΛΑσυνέβη) με πιθανότητα Π,

X i= 0 (συμβάν ΑΛΛΑδεν συνέβη) με πιθανότητα q= 1-Π.

Αφήνω Y n= . Αθροισμα Χ 1 + Χ 2 + … + X nισούται με τον αριθμό Μπεριστατικά συμβάντων ΑΛΛΑσε nδοκιμές (0 Μ n), που σημαίνει Y n= – σχετική συχνότητα εμφάνισης του συμβάντος ΑΛΛΑσε nδοκιμές. Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση X iείναι ίσα αντίστοιχα:

Μ( ) = 1∙Π + 0∙q = Π,

Η θεωρία πιθανοτήτων μελετά τις κανονικότητες που είναι εγγενείς σε μαζικά τυχαία φαινόμενα. Όπως κάθε άλλη επιστήμη, η θεωρία των πιθανοτήτων έχει σχεδιαστεί για να προβλέψει όσο το δυνατόν ακριβέστερα το αποτέλεσμα ενός συγκεκριμένου φαινομένου ή πειράματος. Εάν το φαινόμενο είναι ενιαίας φύσης, τότε η θεωρία των πιθανοτήτων είναι σε θέση να προβλέψει μόνο την πιθανότητα του αποτελέσματος σε ένα πολύ ευρύ φάσμα. Οι κανονικότητες εμφανίζονται μόνο με μεγάλο αριθμό τυχαίων φαινομένων που συμβαίνουν σε ομοιογενείς συνθήκες.

Η ομάδα θεωρημάτων που καθιερώνει την αντιστοιχία μεταξύ των θεωρητικών και πειραματικών χαρακτηριστικών τυχαίων μεταβλητών και τυχαίων γεγονότων με μεγάλο αριθμό δοκιμών σε αυτές, καθώς και σχετικά με τους νόμους κατανομής ορίων, συνδυάζονται με τη γενική ονομασία οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Υπάρχουν δύο είδη οριακών θεωρημάτων: ο νόμος των μεγάλων αριθμών και το κεντρικό οριακό θεώρημα.

Νόμος των Μεγάλων Αριθμών, που κατέχει σημαντική θέση στη θεωρία των πιθανοτήτων, είναι ο σύνδεσμος μεταξύ της θεωρίας των πιθανοτήτων ως μαθηματικής επιστήμης και των νόμων των τυχαίων φαινομένων κατά τις μαζικές παρατηρήσεις τους.

Ο νόμος παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στις πρακτικές εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων σε φυσικά φαινόμενα και τεχνικές διαδικασίες που σχετίζονται με τη μαζική παραγωγή.

Οι νόμοι της κατανομής ορίων αποτελούν το αντικείμενο μιας ομάδας θεωρημάτων - μια ποσοτική μορφή του νόμου των μεγάλων αριθμών. Εκείνοι. ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι μια σειρά θεωρημάτων, καθένα από τα οποία καθορίζει το γεγονός ότι τα μέσα χαρακτηριστικά ενός μεγάλου αριθμού δοκιμών προσεγγίζουν ορισμένες σταθερές, δηλ. να καθορίσετε το γεγονός της σύγκλισης στην πιθανότητα ορισμένων τυχαίων μεταβλητών σε σταθερές. Αυτά είναι τα θεωρήματα των Bernoulli, Poisson, Lyapunov, Markov, Chebyshev.

1. ένα) Θεώρημα Bernoulli - ο νόμος των μεγάλων αριθμών (διατυπώθηκε και αποδείχθηκε νωρίτερα στην ενότητα 3 της § 6 κατά την εξέταση του οριακού ολοκληρωτικού θεωρήματος του Moivre-Laplace.)

Με μια απεριόριστη αύξηση στον αριθμό των ομοιογενών ανεξάρτητων πειραμάτων, η συχνότητα ενός συμβάντος θα διαφέρει ελάχιστα αυθαίρετα από την πιθανότητα ενός συμβάντος σε ένα ξεχωριστό πείραμα. Διαφορετικά, η πιθανότητα ότι η απόκλιση στη σχετική συχνότητα του συμβάντος ΑΛΛΑαπό σταθερή πιθανότητα Rεξελίξεις ΑΛΛΑπολύ λίγο όσο τείνει στο 1 για οποιοδήποτε: .

β) Θεώρημα Chebyshev.

Με μια απεριόριστη αύξηση στον αριθμό των ανεξάρτητων δοκιμών, ο αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής με πεπερασμένη διακύμανση συγκλίνει κατά πιθανότητα στη μαθηματική προσδοκία της· διαφορετικά, εάν ανεξάρτητες πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με μαθηματική προσδοκία και περιορισμένη διακύμανση , τότε για οποιοδήποτε ισχύει: .

Θεώρημα Chebyshev (γενικευμένο).Εάν οι τυχαίες μεταβλητές στην ακολουθία είναι ανεξάρτητες κατά ζεύγη και οι διακυμάνσεις τους ικανοποιούν την συνθήκη , τότε για κάθε θετικό ε > 0 η πρόταση είναι αληθής:

ή τι είναι το ίδιο .

γ) Το θεώρημα του Markov. (ο νόμος των μεγάλων αριθμών σε μια γενική διατύπωση)

Εάν οι διακυμάνσεις των αυθαίρετων τυχαίων μεταβλητών στην ακολουθία ικανοποιούν την συνθήκη: , τότε για κάθε θετικό ε > 0 ισχύει η δήλωση του θεωρήματος Chebyshev: .

δ) Θεώρημα Poisson.

Με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των ανεξάρτητων πειραμάτων υπό μεταβλητές συνθήκες, η συχνότητα του συμβάντος ΑΛΛΑσυγκλίνει ως προς την πιθανότητα στον αριθμητικό μέσο όρο των πιθανοτήτων του υπό αυτές τις δοκιμές.

Σχόλιο.Σε καμία από τις μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών δεν ασχολούμαστε με τους νόμους της κατανομής των τυχαίων μεταβλητών. Το ερώτημα που σχετίζεται με την εύρεση του νόμου οριακής κατανομής για το άθροισμα όταν ο αριθμός των όρων αυξάνεται απεριόριστα εξετάζεται από το κεντρικό οριακό θεώρημα. κατανέμονται πανομοιότυπα, τότε φτάνουμε στο ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace (ενότητα 3 της § 6), που είναι η απλούστερη συγκεκριμένη περίπτωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

Στην αρχή του μαθήματος, έχουμε ήδη πει ότι οι μαθηματικοί νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων λαμβάνονται με την αφαίρεση των πραγματικών στατιστικών κανονικοτήτων που είναι εγγενείς σε μαζικά τυχαία φαινόμενα. Η παρουσία αυτών των μοτίβων συνδέεται ακριβώς με τη μαζική φύση των φαινομένων, δηλαδή με μεγάλο αριθμό ομοιογενών πειραμάτων που εκτελούνται ή με μεγάλο αριθμό τυχαίων επιδράσεων που δημιουργούν στο σύνολό τους μια τυχαία μεταβλητή που υπόκειται σε έναν καλά καθορισμένο νόμο. Η ιδιότητα σταθερότητας των μαζικών τυχαίων φαινομένων είναι γνωστή στην ανθρωπότητα από την αρχαιότητα. Σε όποια περιοχή κι αν εκδηλώνεται, η ουσία του συνοψίζεται στα εξής: τα ειδικά χαρακτηριστικά κάθε μεμονωμένου τυχαίου φαινομένου δεν έχουν σχεδόν καμία επίδραση στο μέσο αποτέλεσμα των μαζών και σε τέτοια φαινόμενα. Οι τυχαίες αποκλίσεις από τον μέσο όρο, αναπόφευκτες σε κάθε μεμονωμένο φαινόμενο, στη μάζα ακυρώνονται αμοιβαία, ισοπεδώνονται, ισοπεδώνονται. Αυτή η σταθερότητα των μέσων όρων είναι το φυσικό περιεχόμενο του «νόμου των μεγάλων αριθμών», που κατανοείται με την ευρεία έννοια της λέξης: με έναν πολύ μεγάλο αριθμό τυχαίων φαινομένων, το μέσο αποτέλεσμά τους πρακτικά παύει να είναι τυχαίο και μπορεί να προβλεφθεί. με υψηλό βαθμό βεβαιότητας.

Με τη στενή έννοια της λέξης, ο «νόμος των μεγάλων αριθμών» στη θεωρία πιθανοτήτων νοείται ως ένας αριθμός μαθηματικών θεωρημάτων, σε καθένα από τα οποία, για ορισμένες συνθήκες, το γεγονός της προσέγγισης των μέσων χαρακτηριστικών ενός μεγάλου αριθμού πειραμάτων σε ορισμένες συγκεκριμένες σταθερές καθιερώνεται.

Στο 2.3 έχουμε ήδη διατυπώσει το απλούστερο από αυτά τα θεωρήματα, το θεώρημα του J. Bernoulli. Ισχυρίζεται ότι με έναν μεγάλο αριθμό πειραμάτων, η συχνότητα ενός γεγονότος προσεγγίζει (ακριβέστερα, συγκλίνει σε πιθανότητα) στην πιθανότητα αυτού του γεγονότος. Άλλες, πιο γενικές μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών θα εισαχθούν σε αυτό το κεφάλαιο. Όλα αυτά καθορίζουν το γεγονός και τις προϋποθέσεις για τη σύγκλιση της πιθανότητας ορισμένων τυχαίων μεταβλητών σε σταθερές, μη τυχαίες μεταβλητές.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών παίζει σημαντικό ρόλο στις πρακτικές εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων. Η ιδιότητα των τυχαίων μεταβλητών υπό ορισμένες συνθήκες να συμπεριφέρονται πρακτικά ως μη τυχαίες μας επιτρέπει να λειτουργούμε με σιγουριά με αυτές τις ποσότητες, να προβλέψουμε τα αποτελέσματα μαζικών τυχαίων φαινομένων με σχεδόν πλήρη βεβαιότητα.

Οι δυνατότητες τέτοιων προβλέψεων στον τομέα των μαζικών τυχαίων φαινομένων διευρύνονται περαιτέρω με την παρουσία μιας άλλης ομάδας οριακών θεωρημάτων, τα οποία δεν αφορούν πλέον τις οριακές τιμές τυχαίων μεταβλητών, αλλά τους νόμους οριακής κατανομής. Αυτή είναι μια ομάδα θεωρημάτων γνωστή ως «θεώρημα κεντρικού ορίου». Έχουμε ήδη πει ότι όταν αθροίζεται ένας αρκετά μεγάλος αριθμός τυχαίων μεταβλητών, ο νόμος κατανομής του αθροίσματος προσεγγίζει τον κανονικό επ' αόριστον, εφόσον πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις. Αυτές οι συνθήκες, οι οποίες μπορούν να διατυπωθούν μαθηματικά με διάφορους τρόπους - με μια περισσότερο ή λιγότερο γενική μορφή - συνοψίζονται ουσιαστικά στην απαίτηση ότι η επιρροή στο άθροισμα των μεμονωμένων όρων είναι ομοιόμορφα μικρή, δηλαδή ότι το άθροισμα δεν πρέπει να περιλαμβάνει όρους που σαφώς υπερισχύουν του συνόλου των υπολοίπων με την επιρροή τους στη διασπορά του ποσού. Διάφορες μορφές του κεντρικού οριακού θεωρήματος διαφέρουν μεταξύ τους στις συνθήκες για τις οποίες καθιερώνεται αυτή η οριακή ιδιότητα του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών.

Διάφορες μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών, μαζί με διάφορες μορφές του κεντρικού οριακού θεωρήματος, σχηματίζουν ένα σύνολο από τα λεγόμενα οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων. Τα οριακά θεωρήματα καθιστούν δυνατή όχι μόνο την πραγματοποίηση επιστημονικών προβλέψεων στον τομέα των τυχαίων φαινομένων, αλλά και την αξιολόγηση της ακρίβειας αυτών των προβλέψεων.

Σε αυτό το κεφάλαιο, εξετάζουμε μόνο μερικές από τις απλούστερες μορφές οριακών θεωρημάτων. Αρχικά, θα εξεταστούν τα θεωρήματα που σχετίζονται με την ομάδα "νόμος των μεγάλων αριθμών", στη συνέχεια - θεωρήματα που σχετίζονται με την ομάδα "θεώρημα κεντρικού ορίου".

Είναι πολύ φυσικό να χρειάζεται να ποσοτικοποιηθεί η δήλωση ότι σε «μεγάλες» σειρές δοκιμών η συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος είναι «κοντά» στην πιθανότητα του. Η συγκεκριμένη λεπτότητα αυτού του έργου πρέπει να γίνει σαφώς κατανοητή. Στις πιο τυπικές περιπτώσεις για τη θεωρία των πιθανοτήτων, η κατάσταση είναι τέτοια που σε αυθαίρετα μεγάλες σειρές δοκιμών, και οι δύο ακραίες τιμές της συχνότητας παραμένουν θεωρητικά πιθανές

\frac(\mu)(n)=\frac(n)(n)=1και \frac(\mu)(n)=\frac(0)(n)=0

Επομένως, όποιος κι αν είναι ο αριθμός των δοκιμών n, είναι αδύνατο να ισχυριστεί κανείς με απόλυτη βεβαιότητα ότι, ας πούμε, η ανισότητα

<\frac{1}{10}

Για παράδειγμα, εάν το γεγονός Α συνίσταται στο να πετάξει ένα εξάρι όταν ρίχνει ένα ζάρι, τότε μετά το n ρίχνει με πιθανότητα (\αριστερά(\frac(1)(6)\δεξιά)\^n>0 !}πάντα θα παίρνουμε μόνο εξάρια, δηλαδή με πιθανότητα (\αριστερά(\frac(1)(6)\δεξιά)\^n !}παίρνουμε τη συχνότητα εμφάνισης των έξι ίση με ένα, και με πιθανότητα (\αριστερά(1-\frac(1)(6)\δεξιά)\^n>0 !}το έξι δεν πέφτει έξω ούτε μια φορά, δηλ. η συχνότητα εμφάνισης των έξι θα είναι ίση με μηδέν.

Σε όλα αυτά τα προβλήματα, οποιαδήποτε μη τετριμμένη εκτίμηση της εγγύτητας μεταξύ συχνότητας και πιθανότητας δεν λειτουργεί με πλήρη βεβαιότητα, αλλά μόνο με κάποια πιθανότητα μικρότερη από τη μονάδα. Μπορεί να αποδειχθεί, για παράδειγμα, ότι στην περίπτωση ανεξάρτητων δοκιμών με σταθερή πιθανότητα p να συμβεί ένα συμβάν, η ανισότητα

\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02

για συχνότητα το \frac(\mu)(n) θα εκτελεστεί στο n=10\,000 (και οποιοδήποτε p ) με πιθανότητα

P>0,\!9999.

Εδώ, πρώτα απ' όλα θέλουμε να τονίσουμε ότι στην παραπάνω διατύπωση, η ποσοτική εκτίμηση της εγγύτητας της συχνότητας \frac(\mu)(n) στην πιθανότητα p σχετίζεται με την εισαγωγή μιας νέας πιθανότητας P .

Η πραγματική έννοια της εκτίμησης (8) είναι η εξής: αν κάνουμε N σειρές n τεστ και μετρήσουμε τον αριθμό M των σειρών στις οποίες η ανισότητα (7) ικανοποιείται, τότε για ένα αρκετά μεγάλο N, περίπου

\frac(M)(N)\περίπου P>0,\!9999.

Αλλά αν θέλουμε να βελτιώσουμε τη σχέση (9) τόσο ως προς το βαθμό εγγύτητας \frac(M)(N) στην πιθανότητα P , όσο και ως προς την αξιοπιστία με την οποία μπορεί να υποστηριχθεί ότι θα υπάρξει τέτοια εγγύτητα, τότε θα πρέπει να στραφούμε σε σκέψεις παρόμοιες με αυτές που έχουμε ήδη κάνει με την εγγύτητα των \frac(\mu)(n) και p . Εάν είναι επιθυμητό, ​​ένας τέτοιος συλλογισμός μπορεί να επαναληφθεί απεριόριστες φορές, αλλά είναι σαφές ότι αυτό δεν θα μας επιτρέψει να απελευθερωθούμε εντελώς από την ανάγκη να στραφούμε στο τελευταίο στάδιο στις πιθανότητες με την πρωτόγονη χονδρική έννοια αυτού του όρου.

Δεν πρέπει να θεωρηθεί ότι τέτοιες δυσκολίες είναι κάποιο χαρακτηριστικό της θεωρίας των πιθανοτήτων. Στη μαθηματική μελέτη των πραγματικών φαινομένων, πάντα τα σχηματοποιούμε. Οι αποκλίσεις της πορείας των πραγματικών φαινομένων από το θεωρητικό σχήμα μπορούν, με τη σειρά τους, να υποβληθούν σε μαθηματική μελέτη. Αλλά για αυτό, αυτές οι ίδιες οι αποκλίσεις πρέπει να τοποθετηθούν σε ένα συγκεκριμένο σχήμα και αυτό το τελευταίο θα πρέπει να χρησιμοποιείται ήδη χωρίς επίσημη μαθηματική ανάλυση των αποκλίσεων από αυτό.

Σημειώστε, ωστόσο, ότι στην πραγματική εφαρμογή της εκτίμησης

P\!\αριστερά\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}>0,\!9999.

Για μια μεμονωμένη σειρά n δοκιμών, βασιζόμαστε επίσης σε ορισμένες εκτιμήσεις συμμετρίας: η ανισότητα (10) δείχνει ότι για έναν πολύ μεγάλο αριθμό N σειρών, η σχέση (7) θα ικανοποιηθεί σε τουλάχιστον 99,99% των περιπτώσεων. είναι φυσικό να περιμένουμε με μεγάλη βεβαιότητα ότι, ειδικότερα, η ανισότητα (7) θα πραγματοποιηθεί σε μια ορισμένη σειρά n δοκιμών που μας ενδιαφέρουν, εάν έχουμε λόγους να πιστεύουμε ότι αυτή η σειρά καταλαμβάνει μια συνηθισμένη, ασήμαντη θέση σε έναν αριθμό άλλων σειρών.

Οι πιθανότητες που συνήθως παραμελούνται σε διάφορες πρακτικές θέσεις είναι διαφορετικές. Έχει ήδη σημειωθεί παραπάνω ότι σε δοκιμαστικούς υπολογισμούς της κατανάλωσης κελυφών, που εγγυάται την εκπλήρωση της εργασίας, είναι ικανοποιημένοι με το ρυθμό κατανάλωσης των κελυφών, στον οποίο η εργασία επιλύεται με πιθανότητα 0,95, δηλ. αμελήστε τις πιθανότητες που δεν ξεπερνούν το 0,05. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι η μετάβαση στους υπολογισμούς που προέρχονται από παραμέληση, ας πούμε, μόνο πιθανότητες μικρότερες από 0,01, θα οδηγούσε σε μεγάλη αύξηση των ρυθμών κατανάλωσης βλημάτων, δηλαδή, σχεδόν σε πολλές περιπτώσεις, στο συμπέρασμα ότι είναι αδύνατο να ολοκληρωθεί το σύνολο εργασιών σε τόσο σύντομο χρονικό διάστημα που είναι διαθέσιμο για αυτό ή με την πραγματική προμήθεια κελυφών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν.

Μερικές φορές, ακόμη και στην επιστημονική έρευνα, περιορίζονται σε στατιστικές μεθόδους που υπολογίζονται με βάση πιθανότητες παραμέλησης 0,05. Αυτό όμως πρέπει να γίνεται μόνο σε περιπτώσεις όπου η συλλογή εκτενέστερου υλικού είναι πολύ δύσκολη. Εξετάστε το παρακάτω πρόβλημα ως παράδειγμα τέτοιων μεθόδων. Ας υποθέσουμε ότι υπό ορισμένες συνθήκες, ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο φάρμακο για τη θεραπεία μιας ασθένειας δίνει θετικό αποτέλεσμα στο 50%, δηλαδή με πιθανότητα 0,5. Προτείνεται ένα νέο φάρμακο και, για να δοκιμαστούν τα πλεονεκτήματά του σε σχέση με το παλιό, σχεδιάζεται η χρήση του σε δέκα περιπτώσεις, που επιλέγονται αμερόληπτα από ασθενείς στην ίδια θέση με εκείνους για τους οποίους το παλιό φάρμακο βρέθηκε 50% αποτελεσματικό. Παράλληλα, διαπιστώνεται ότι το πλεονέκτημα ενός νέου φαρμάκου θα θεωρείται αποδεδειγμένο εάν δώσει θετικό αποτέλεσμα σε τουλάχιστον οκτώ περιπτώσεις στις δέκα. Είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι μια τέτοια απόφαση σχετίζεται με την παραμέληση της πιθανότητας να βγει ένα εσφαλμένο συμπέρασμα (δηλαδή, το συμπέρασμα ότι το όφελος ενός νέου φαρμάκου είναι αποδεδειγμένο, ενώ είναι ισοδύναμο ή και χειρότερο από το παλιό) τάξη 0,05. Πράγματι, εάν σε καθεμία από τις δέκα δοκιμές η πιθανότητα θετικού αποτελέσματος είναι ίση με p, τότε οι πιθανότητες να ληφθούν 10,9 ή 8 θετικά αποτελέσματα σε δέκα δοκιμές είναι ίσες, αντίστοιχα

P_(10)=p^(10),\qquad P_9=10p^9(1-p),\qquad P_8=45p^8(1-p)^2.

Συνολικά, για την περίπτωση p=\frac(1)(2) παίρνουμε P=P_(10)+P_9+P_8=\frac(56)(1024)\περίπου 0,\!05.

Έτσι, αν υποθέσουμε ότι το νέο φάρμακο είναι στην πραγματικότητα ακριβώς ισοδύναμο με το παλιό, κινδυνεύουμε να συμπεράνουμε λανθασμένα ότι το νέο φάρμακο είναι ανώτερο από το παλιό με πιθανότητα περίπου 0,05. Για να μειωθεί αυτή η πιθανότητα σε περίπου 0,01, χωρίς να αυξηθεί ο αριθμός των δοκιμών n=10, θα πρέπει κανείς να αποδείξει ότι το όφελος ενός νέου φαρμάκου θα θεωρείται αποδεδειγμένο μόνο εάν η χρήση του δίνει θετικό αποτέλεσμα σε τουλάχιστον εννέα στις δέκα περιπτώσεις . Εάν αυτή η απαίτηση φαίνεται πολύ σκληρή για τους υποστηρικτές του νέου φαρμάκου, τότε ο αριθμός των δοκιμών n θα πρέπει να οριστεί να είναι σημαντικά μεγαλύτερος από 10. Εάν, για παράδειγμα, στο n=100 διαπιστωθεί ότι τα οφέλη του νέου Το φάρμακο θα θεωρείται αποδεδειγμένο όταν \mu>65 , τότε η πιθανότητα σφάλματος θα είναι μόνο P\περίπου0,\!0015 .

Εάν ο κανόνας του 0,05 είναι σαφώς ανεπαρκής για σοβαρή επιστημονική έρευνα, τότε η πιθανότητα σφάλματος 0,001 ή 0,003 παραμελείται ως επί το πλείστον ακόμη και σε τέτοιες ακαδημαϊκές και λεπτομερείς μελέτες όπως η επεξεργασία αστρονομικών παρατηρήσεων. Ωστόσο, μερικές φορές τα επιστημονικά συμπεράσματα που βασίζονται στην εφαρμογή πιθανολογικών νόμων έχουν επίσης πολύ μεγαλύτερη αξιοπιστία (δηλαδή στηρίζονται στην παραμέληση πολύ χαμηλότερων πιθανοτήτων). Περισσότερα για αυτό θα ειπωθούν αργότερα.

Στα εξεταζόμενα παραδείγματα, έχουμε χρησιμοποιήσει επανειλημμένα ειδικές περιπτώσεις του διωνυμικού τύπου (6)

P_m=C_n^mp^m(1-p)^(n-m)

για την πιθανότητα P_m να πάρει ακριβώς m θετικά αποτελέσματα σε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες ένα θετικό αποτέλεσμα έχει πιθανότητα p. Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να εξετάσουμε το ερώτημα που τέθηκε στην αρχή αυτής της ενότητας σχετικά με την πιθανότητα

<\varepsilon\right\},

όπου \mu είναι ο πραγματικός αριθμός των θετικών αποτελεσμάτων. Προφανώς, αυτή η πιθανότητα μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα εκείνων των P_m για τα οποία το m ικανοποιεί την ανισότητα

\vline\,\frac(m)(n)-p\,\vline\,<\varepsilon,

δηλαδή στη μορφή

P=\sum_(m=m_1)^(m_2)P_m,

όπου m_1 είναι η μικρότερη από τις τιμές m που ικανοποιούν την ανισότητα (12), και m_2 είναι η μεγαλύτερη από αυτές τις m .

Ο τύπος (13) για οποιοδήποτε μεγάλο n είναι ελάχιστα χρήσιμος για άμεσους υπολογισμούς. Επομένως, η ανακάλυψη από τον Moivre για την περίπτωση p=\frac(1)(2) και από τον Laplace, για οποιοδήποτε p, ενός ασυμπτωτικού τύπου, που καθιστά πολύ εύκολο την εύρεση και τη μελέτη της συμπεριφοράς των πιθανοτήτων P_m για μεγάλα n , είχε μεγάλη σημασία. Αυτή η φόρμουλα μοιάζει

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\exp\!\left[-\frac((m-np)^2)(2np(1-p)) \σωστά].

Αν το p δεν είναι πολύ κοντά στο μηδέν ή ένα, τότε είναι αρκετά ακριβές ήδη για n της τάξης του 100. Αν βάλουμε

T=\frac(m-np)(\sqrt(np(1-p))),

Τότε ο τύπος (14) θα πάρει τη μορφή

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\,e^(-t^2/2).

Από τις (13) και (16) μπορούμε να αντλήσουμε μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση της πιθανότητας (11)

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(-T)^(T)e^(-t^2/2)\,dt=F(T),

όπου

T=\varepsilon\sqrt(\frac(n)(p(1-p)))

Η διαφορά μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους στο (17) σε σταθερή και διαφορετική από το μηδέν και η μονάδα τείνει στο μηδέν στο n\to\infty ομοιόμορφα σε σχέση με το \varepsilon. Λεπτομερείς πίνακες έχουν συνταχθεί για τη συνάρτηση F(T). Ακολουθεί ένα μικρό απόσπασμα από αυτά

\αρχή(πίνακας)(c|c|c|c|c)T&1&2&3&4\\\hline F&0,\!68269&0,\!95450&0,\!99730&0,\!99993\end(πίνακας)

Στο T\to\infty η τιμή της συνάρτησης F(T) τείνει προς τη μονάδα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (17) για να υπολογίσουμε την πιθανότητα

P=\mathbf(P)\!\αριστερά\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}\approx F\!\left(\frac{2}{\sqrt{p(1-p)}}\right) στο n=10\,000,~\varepsilon=0,\!02, επειδή T=\frac(2)(\sqrt(p(1-p))).

Εφόσον η συνάρτηση F(T) αυξάνεται μονοτονικά με την αύξηση του T , για μια ανεξάρτητη από το p εκτίμηση του P από κάτω, πρέπει να ληφθεί η μικρότερη δυνατή (για διαφορετικό p ) τιμή του T . Αυτή η μικρότερη τιμή θα ληφθεί με το p=\frac(1)(2) και θα είναι ίση με 4. Επομένως, περίπου

P\geqslant F(4)=0,\!99993.

Η ανισότητα (19) δεν λαμβάνει υπόψη το σφάλμα που οφείλεται στην κατά προσέγγιση φύση του τύπου (17). Με την εκτίμηση του σφάλματος που σχετίζεται με αυτήν την περίσταση, μπορεί κανείς σε κάθε περίπτωση να διαπιστώσει ότι P>0,\!9999 .

Σε σχέση με το εξεταζόμενο παράδειγμα εφαρμογής του τύπου (17), πρέπει να σημειωθεί ότι οι εκτιμήσεις του υπολοίπου όρου του τύπου (17), που δίνονται σε θεωρητικές εργασίες για τη θεωρία πιθανοτήτων, παρέμειναν ελάχιστα ικανοποιητικές για μεγάλο χρονικό διάστημα. Επομένως, η εφαρμογή του τύπου (17) και παρόμοιων τύπων σε υπολογισμούς για όχι πολύ μεγάλα n ή για πιθανότητες p που είναι πολύ κοντά στο 0 ή 1 (και τέτοιες πιθανότητες σε πολλές περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα σημαντικές) βασίστηκαν συχνά μόνο στην εμπειρία του έλεγχος τέτοιων αποτελεσμάτων, για περιορισμένο αριθμό παραδειγμάτων, αντί για καλά τεκμηριωμένες εκτιμήσεις πιθανού σφάλματος. Μια πιο λεπτομερής μελέτη, επιπλέον, έδειξε ότι σε πολλές πρακτικά σημαντικές περιπτώσεις οι παραπάνω ασυμπτωτικοί τύποι χρειάζονται όχι μόνο μια εκτίμηση του υπολοίπου όρου, αλλά και μια βελτίωση (γιατί χωρίς μια τέτοια βελτίωση ο υπόλοιπος όρος είναι πολύ μεγάλος). Και στις δύο κατευθύνσεις, τα πληρέστερα αποτελέσματα οφείλονται στον S. N. Bernshtein.

Οι σχέσεις (11), (17) και (18) μπορούν να ξαναγραφτούν ως

\mathbf(P)\!\αριστερά\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,

Για αρκετά μεγάλο t, η δεξιά πλευρά του τύπου (20), που δεν περιέχει n, είναι αυθαίρετα κοντά στη μονάδα, δηλ. σε μια τιμή πιθανότητας που αντιστοιχεί σε πλήρη βεβαιότητα. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι κατά κανόνα, οι αποκλίσεις της συχνότητας \frac(\mu)(n) από την πιθανότητα p είναι της τάξης \frac(1)(\sqrt(n)). Αυτή η αναλογικότητα της ακρίβειας της δράσης των πιθανοτικών κανονικοτήτων προς την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των παρατηρήσεων είναι χαρακτηριστική και για πολλές άλλες ερωτήσεις. Μερικές φορές μάλιστα μιλούν, για μια κάπως απλοποιημένη εκλαΐκευση, για τον «νόμο της τετραγωνικής ρίζας του n» ως τον βασικό νόμο της θεωρίας πιθανοτήτων. Αυτή η ιδέα απέκτησε πλήρη σαφήνεια χάρη στην εισαγωγή του μεγάλου Ρώσου μαθηματικού P. L. Chebyshev στη συστηματική χρήση της μεθόδου αναγωγής διαφόρων πιθανολογικών προβλημάτων σε υπολογισμούς «μαθηματικών προσδοκιών» και «διακυμάνσεων» για αθροίσματα και αριθμητικά μέσα «τυχαίων μεταβλητών».

Τυχαία μεταβλητήείναι μια ποσότητα που υπό δεδομένες συνθήκες το S μπορεί να λάβει διαφορετικές τιμές με ορισμένες πιθανότητες. Αρκεί να εξετάσουμε τυχαίες μεταβλητές που μπορούν να λάβουν μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό διαφορετικών τιμών. Για να υποδείξουν πώς λένε κατανομή πιθανοτήτωνμια τέτοια τυχαία μεταβλητή \xi , αρκεί να υποδείξουμε τις πιθανές τιμές της x_1,x_2,\ldots,x_rκαι πιθανότητες

P_r=\mathbf(P)\(\xi=x_r\).

Συνολικά, αυτές οι πιθανότητες για όλες τις διαφορετικές πιθανές τιμές \xi είναι πάντα ίσες με μία:

\sum_(r=1)^(s)P_r=1.

Ένα παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής είναι ο αριθμός \mu των θετικών αποτελεσμάτων που μελετήθηκαν παραπάνω σε n δοκιμές.

μαθηματική προσδοκίαη τιμή \xi ονομάζεται έκφραση

M(\xi)=\sum_(r=1)^(s)P_rx_r,

ένα διασποράοι ποσότητες \xi αναφέρονται στον μέσο όρο της τετραγωνικής απόκλισης \xi-M(\xi) , δηλαδή στην έκφραση

D(\xi)=\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2.

Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης

\sigma_(\xi)=\sqrt(D(\xi))=\sqrt(\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2)

που ονομάζεται τυπική απόκλιση(τιμές από τη μαθηματική προσδοκία M(\xi) ).

Οι απλούστερες εφαρμογές διακυμάνσεων και τυπικών αποκλίσεων βασίζονται στο διάσημο Η ανισότητα του Chebyshev

\mathbf(P)\(|\xi-M(\xi)|\leqslant t_(\sigma_(\xi))\)\geqslant1-\frac(1)(t^2),

Δείχνει ότι οι αποκλίσεις της τυχαίας μεταβλητής \xi από τη μαθηματική της προσδοκία M(\xi) , οι οποίες υπερβαίνουν σημαντικά την τυπική απόκλιση \sigma_(\xi) , είναι σπάνιες.

Στο σχηματισμό αθροισμάτων τυχαίων μεταβλητών \xi=\xi^((1))+ \xi^((2))+\cdots+\xi^((n))για τις μαθηματικές προσδοκίες τους, η ισότητα ισχύει πάντα

Μ(\xi)=M(\xi^((1)))+M(\xi^((2)))+\cdots+M(\xi^((n))).

Παρόμοια ισότητα για διακυμάνσεις

D(\xi)=D(\xi^((1)))+D(\xi^((2)))+\cdots+D(\xi^((n))).

ισχύει μόνο υπό ορισμένους περιορισμούς. Για να ισχύει η ισότητα (23), αρκεί, για παράδειγμα, οι ποσότητες \xi^((i)) και \xi^(j)) με διαφορετικούς αριθμούς να μην είναι, όπως λένε, "συσχετισμένες" με μεταξύ τους, δηλ. ότι στο i\ne j

M\Bigl\((\xi^((i))-M(\xi^((i))))(\xi^((j))-M(\xi^((j))))\ Bigl\)=0

Ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών \xi^((i)) και \xi^((j)) είναι η έκφραση

R=\frac(M\Bigl\(\Bigl(\xi^((i))-M(\xi^((i)))\Bigl)\Bigl(\xi^((j))-M( \xi^((j)))\Bigl)\Bigl\))(\sigma_(\xi^((i)))\,\sigma_(\xi^((j)))).

Αν ένα \sigma_(\xi^((i)))>0σε \sigma_(\xi^((j)))>0, τότε η συνθήκη (24) είναι ισοδύναμη με R=0 .

Ο συντελεστής συσχέτισης R χαρακτηρίζει τον βαθμό εξάρτησης μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Πάντα |R|\leqslant1 και R=\pm1 μόνο εάν υπάρχει γραμμική σύνδεση

\eta=a\xi+b\quad(a\ne0).

Για ανεξάρτητες τιμές R=0 .

Συγκεκριμένα, η ισότητα (24) ικανοποιείται εάν οι ποσότητες \xi^((i)) και \xi^((j)) είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Έτσι, η ισότητα (23) ισχύει πάντα για αμοιβαία ανεξάρτητους όρους. Για τους αριθμητικούς μέσους όρους

\zeta=\frac(1)(n)\Bigl(\xi^((1))+\xi^((2))+\cdots+\xi^((n))\Bigl)από (23) ακολουθεί

D(\zeta_=\frac(1)(n^2)\Bigl(D(\xi^((1)))+ D(\xi^((2)))+\cdots+ D(\xi^( (n)))\Bigl).

Ας υποθέσουμε τώρα ότι για όλους τους όρους οι διακυμάνσεις δεν υπερβαίνουν κάποια σταθερά

D(\xi^((i)))\leqslant C^2.Στη συνέχεια από (25) D(\zeta)\leqslant\frac(C^2)(n),

και λόγω της ανισότητας Chebyshev για κάθε τ

\mathbf(P)\!\left\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant\frac(tC)(\sqrt(n))\right\)\geqslant1-\frac(1)(t^ 2)

Η ανισότητα (26) περιέχει τον λεγόμενο νόμο των μεγάλων αριθμών με τη μορφή που καθιέρωσε ο Chebyshev: εάν οι ποσότητες \xi^((i)) είναι αμοιβαία ανεξάρτητες και έχουν περιορισμένες διακυμάνσεις, τότε όσο αυξάνεται το n, οι αριθμητικοί μέσοι όροι τους \zeta , όλο και λιγότερο αισθητά αποκλίνουν από τις μαθηματικές προσδοκίες τους M(\zeta) .

Πιο συγκεκριμένα, το λένε ακολουθία τυχαίων μεταβλητών

\xi^((1)),\,\xi^((2)),\,\ldots\,\xi^(n)),\,\ldots

υπακούει στο νόμο των μεγάλων αριθμών αν για τους αντίστοιχους αριθμητικούς μέσους όρους \zeta και για οποιαδήποτε σταθερά \varepsilon>0

\mathbf(P)\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant \varepsilon\)\to1\quad (n\to\infty).

Για να ληφθεί η οριακή σχέση (27) από την ανισότητα (26), αρκεί να ορίσουμε

T=\varepsilon\cdot\frac(\sqrt(n))(C).

Ένας μεγάλος αριθμός μελετών του Α.Α. Μάρκοβα, Σ.Ν. Bernstein, A.Ya. Ο Khinchin και άλλοι είναι αφοσιωμένοι στο ζήτημα της πιθανής διεύρυνσης των προϋποθέσεων για την εφαρμογή της οριακής σχέσης (27), δηλαδή των προϋποθέσεων για την εφαρμογή του νόμου των μεγάλων αριθμών. Αυτές οι μελέτες έχουν θεμελιώδη σημασία. Ωστόσο, ακόμη πιο σημαντική είναι η ακριβής μελέτη της κατανομής πιθανότητας απόκλισης \zeta-M(\zeta) .

Η μεγάλη αξία της ρωσικής κλασικής σχολής στη θεωρία πιθανοτήτων είναι η διαπίστωση του γεγονότος ότι, κάτω από πολύ ευρείες συνθήκες, η ισότητα

\mathbf(P)\!\αριστερά\(t_1\sigma_(\zeta)<\zeta-M(\zeta)

Ο Chebyshev έδωσε μια σχεδόν πλήρη απόδειξη αυτού του τύπου για την περίπτωση των ανεξάρτητων και περιορισμένων όρων. Ο Markov συμπλήρωσε τον κρίκο που έλειπε στο σκεπτικό του Chebyshev και διεύρυνε τις προϋποθέσεις για την εφαρμογή του τύπου (28). Ακόμα πιο γενικοί όροι δόθηκαν από τον Λιαπούνοφ. Το ζήτημα της επέκτασης του τύπου (28) σε αθροίσματα εξαρτημένων όρων μελετήθηκε με ιδιαίτερη πληρότητα από τον S. N. Bernshtein.

Ο τύπος (28) κάλυψε τόσο μεγάλο αριθμό συγκεκριμένων προβλημάτων που για μεγάλο χρονικό διάστημα ονομαζόταν κεντρικό οριακό θεώρημα της θεωρίας πιθανοτήτων. Αν και, με την τελευταία εξέλιξη της θεωρίας των πιθανοτήτων, αποδείχθηκε ότι περιλαμβάνεται σε μια σειρά από γενικότερους νόμους, η σημασία της δεν μπορεί να υπερεκτιμηθεί ακόμη και σήμερα.

Χρόνος.

Αν οι όροι είναι ανεξάρτητοι και οι αποκλίσεις τους είναι ίδιες και ίσες: D(\xi^((i)))=\sigma^2,τότε είναι βολικό για τον τύπο (28), λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (25), να δώσει τη μορφή

\mathbf(P)\!\αριστερά\(\frac(t_1\sigma)(\sqrt(n))<\zeta-M(\zeta)<\frac{t_2\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{t_1}^{t_2}e^{-t^2/2}\,dt\,.

Ας δείξουμε ότι η σχέση (29) περιέχει μια λύση στο πρόβλημα των αποκλίσεων της συχνότητας \frac(\mu)(n) από την πιθανότητα p , με την οποία ασχοληθήκαμε νωρίτερα. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε τυχαίες μεταβλητές \xi^((i)) που τις ορίζουν με την ακόλουθη συνθήκη:

\xi^((i))=0 εάν η i -η δοκιμή είχε αρνητικό αποτέλεσμα,

\xi^((i))=1 εάν η i -η δοκιμή είχε θετική έκβαση.

Είναι εύκολο να το ελέγξετε τότε

και ο τύπος (29) δίνει

\mathbf(P)\!\αριστερά\(t_1\sqrt(\frac(p(1-p))(n))<\frac{\mu}{n}-p
που για t_1=-t,~t_2=t πάλι οδηγεί στον τύπο (20).
Δείτε επίσης Οριακά θεωρήματα στη θεωρία πιθανοτήτων Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Τα στοιχεία ελέγχου ActiveX πρέπει να είναι ενεργοποιημένα για να κάνετε υπολογισμούς!

Λέμμα Τσεμπίσεφ. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ, για το οποίο υπάρχει μαθηματική προσδοκία Μ[Χ], μπορεί να πάρει μόνο μη αρνητικές τιμές, τότε για κάθε θετικό αριθμό a έχουμε την ανισότητα

Η ανισότητα του Chebyshev.Αν ένα Χείναι μια τυχαία μεταβλητή με μαθηματική προσδοκία Μ[Χ] και διασπορά ρε[Χ], τότε για κάθε θετικό e έχουμε την ανισότητα

. (2)

Το θεώρημα του Chebyshev.(νόμος των μεγάλων αριθμών). Αφήνω Χ 1 , Χ 2 , …, x n,… - μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με την ίδια μαθηματική προσδοκία Μκαι διακυμάνσεις που περιορίζονται από την ίδια σταθερά Με

. (3)

Η απόδειξη του θεωρήματος βασίζεται στην ανισότητα

, (4)

μετά από την ανισότητα Chebyshev. Από το θεώρημα Chebyshev, ως συμπέρασμα, μπορεί κανείς να λάβει

Θεώρημα Bernoulli.Αφήστε το να παραχθεί nανεξάρτητα πειράματα, σε καθένα από τα οποία με μια πιθανότητα Rμπορεί να συμβεί κάποιο συμβάν ΑΛΛΑ, άστο να πάει v nείναι μια τυχαία μεταβλητή ίση με τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος ΑΛΛΑΣε αυτα nπειράματα. Τότε για οποιοδήποτε e > 0 έχουμε την οριακή ισότητα

. (5)

Σημειώστε ότι η ανισότητα (4) όπως εφαρμόζεται στις συνθήκες του θεωρήματος Bernoulli δίνει:

. (6)

Το θεώρημα του Chebyshev μπορεί να διατυπωθεί με μια κάπως γενικότερη μορφή:

Γενικευμένο θεώρημα Chebyshev.Αφήνω x 1, x 2, …, x n,… - ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με μαθηματικές προσδοκίες Μ[Χ 1 ] = m 1, M[x2] = m 2,…και οι διασπορές περιορίζονται από την ίδια σταθερά Με. Τότε για κάθε θετικό αριθμό e έχουμε την οριακή ισότητα

. (7)

Έστω x ο αριθμός των εμφανίσεων 6 πόντων σε 3600 ρίψεις της μήτρας. Τότε Μ[ Χ] = 3600 = 600. Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα την ανισότητα (1) για a = 900: .

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα (6) για n = 10000, p = , q = . Επειτα

Παράδειγμα.

Η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε καθένα από τα 1000 ανεξάρτητα πειράματα είναι 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός των εμφανίσεων του γεγονότος Α σε αυτά τα 1000 πειράματα να αποκλίνει από τη μαθηματική του προσδοκία σε απόλυτη τιμή κατά λιγότερο από 50.

Έστω x ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος Α στα καθορισμένα 1000 πειράματα. Τότε Μ[ Χ] = 1000 × 0,8 = 800 και D[ Χ] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Τώρα η ανίσωση (2) δίνει:

Παράδειγμα.

Η διακύμανση καθεμιάς από τις 1000 ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές x k (k = 1, 2,..., 1000) είναι 4. Υπολογίστε την πιθανότητα η απόκλιση του αριθμητικού μέσου όρου αυτών των μεταβλητών από τον αριθμητικό μέσο όρο των μαθηματικών προσδοκιών τους σε απόλυτη τιμή δεν θα υπερβαίνει το 0,1.

Σύμφωνα με την ανίσωση (4), για c = 4 και e = 0,1, έχουμε