ένα 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ένα 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ένα 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Λύση.Αναζητούμε μια γενική λύση στο σύστημα των εξισώσεων

ένα 1 Χ 1 + ένα 2 Χ 2 + ένα 3 Χ 3 = Θ

Γκαουσιανή μέθοδος. Για να γίνει αυτό, γράφουμε αυτό το ομοιογενές σύστημα σε συντεταγμένες:

Σύστημα Matrix

Το επιτρεπόμενο σύστημα μοιάζει με: (r Α = 2, n= 3). Το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο. Η γενική του λύση ( Χ 2 - δωρεάν μεταβλητή): Χ 3 = 13Χ 2 ; 3Χ 1 – 2Χ 2 – 13Χ 2 = 0 => Χ 1 = 5Χ 2 => Χ o = . Η παρουσία μιας μη μηδενικής ιδιωτικής λύσης, για παράδειγμα, δείχνει ότι τα διανύσματα ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 γραμμικά εξαρτώμενη.

Παράδειγμα 2

Βρείτε αν το δεδομένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο ή γραμμικά ανεξάρτητο:

1. ένα 1 = { -20, -15, - 4 }, ένα 2 = { –7, -2, -4 }, ένα 3 = { 3, –1, –2 }.

Λύση.Θεωρήστε το ομοιογενές σύστημα εξισώσεων ένα 1 Χ 1 + ένα 2 Χ 2 + ένα 3 Χ 3 = Θ

ή επεκτείνεται (κατά συντεταγμένες)

Το σύστημα είναι ομοιογενές. Αν είναι μη εκφυλισμένο, τότε έχει μοναδική λύση. Στην περίπτωση ενός ομοιογενούς συστήματος, η μηδενική (τετριμμένη) λύση. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση το σύστημα των διανυσμάτων είναι ανεξάρτητο. Εάν το σύστημα είναι εκφυλισμένο, τότε έχει μη μηδενικές λύσεις και, επομένως, είναι εξαρτημένο.

Έλεγχος του συστήματος για εκφυλισμό:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Το σύστημα είναι μη εκφυλισμένο και, επομένως, τα διανύσματα ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Καθήκοντα.Βρείτε αν το δεδομένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο ή γραμμικά ανεξάρτητο:

1. ένα 1 = { -4, 2, 8 }, ένα 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ένα 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ένα 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ένα 1 = { -7, 5, 19 }, ένα 2 = { -5, 7 , -7 }, ένα 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ένα 1 = { 1, 2, -2 }, ένα 2 = { 0, -1, 4 }, ένα 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ένα 1 = { 1, 8 , -1 }, ένα 2 = { -2, 3, 3 }, ένα 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ένα 1 = { 1, 2 , 3 }, ένα 2 = { 2, -1 , 1 }, ένα 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ένα 1 = {0, 1, 1 , 0}, ένα 2 = {1, 1 , 3, 1}, ένα 3 = {1, 3, 5, 1}, ένα 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ένα 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ένα 2 = {2, 3 , 2, 1}, ένα 3 = {4, 4, 4, -3}, ένα 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Να αποδείξετε ότι ένα σύστημα διανυσμάτων θα εξαρτάται γραμμικά αν περιέχει:

α) δύο ίσα διανύσματα.

β) δύο αναλογικά διανύσματα.

Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων.
Βάση διανυσμάτων. Affine σύστημα συντεταγμένων

Στο κοινό υπάρχει ένα καρότσι με σοκολάτες και σήμερα κάθε επισκέπτης θα πάρει ένα γλυκό ζευγάρι - αναλυτική γεωμετρία με γραμμική άλγεβρα. Αυτό το άρθρο θα θίξει δύο ενότητες ανώτερων μαθηματικών ταυτόχρονα και θα δούμε πώς συνδυάζονται σε ένα περιτύλιγμα. Κάντε ένα διάλειμμα, φάτε Twix! ... βλασφημία, καλά, ανοησίες διαφωνούν. Αν και εντάξει, δεν θα σκοράρω, στο τέλος, θα πρέπει να υπάρχει μια θετική στάση στη μελέτη.

Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων, γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων, διανυσματική βάσηκαι άλλοι όροι δεν έχουν μόνο γεωμετρική ερμηνεία, αλλά, κυρίως, αλγεβρική σημασία. Η ίδια η έννοια του "διανύσματος" από την άποψη της γραμμικής άλγεβρας απέχει πολύ από το να είναι πάντα το "συνηθισμένο" διάνυσμα που μπορούμε να απεικονίσουμε σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε πολύ για απόδειξη, δοκιμάστε να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα πενταδιάστατου χώρου . Ή το διάνυσμα καιρού, για το οποίο μόλις πήγα στο Gismeteo: - θερμοκρασία και ατμοσφαιρική πίεση, αντίστοιχα. Το παράδειγμα, φυσικά, είναι λανθασμένο από την άποψη των ιδιοτήτων του διανυσματικού χώρου, αλλά, ωστόσο, κανείς δεν απαγορεύει την επισημοποίηση αυτών των παραμέτρων ως διάνυσμα. Φθινοπωρινή ανάσα...

Όχι, δεν πρόκειται να σας κουράσω με τη θεωρία, γραμμικούς διανυσματικούς χώρους, το καθήκον είναι να καταλαβαίνουνορισμούς και θεωρήματα. Οι νέοι όροι (γραμμική εξάρτηση, ανεξαρτησία, γραμμικός συνδυασμός, βάση κ.λπ.) ισχύουν για όλα τα διανύσματα από αλγεβρική άποψη, αλλά παραδείγματα θα δοθούν γεωμετρικά. Έτσι, όλα είναι απλά, προσβάσιμα και οπτικά. Εκτός από τα προβλήματα της αναλυτικής γεωμετρίας, θα εξετάσουμε επίσης ορισμένες τυπικές εργασίες της άλγεβρας. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, συνιστάται να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα Διανύσματα για ανδρείκελακαι Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία επίπεδων διανυσμάτων.
Επίπεδη βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Σκεφτείτε το επίπεδο του γραφείου του υπολογιστή σας (μόνο ένα τραπέζι, κομοδίνο, πάτωμα, οροφή, ό,τι θέλετε). Η εργασία θα αποτελείται από τις ακόλουθες ενέργειες:

1) Επιλέξτε βάση αεροπλάνου. Σε γενικές γραμμές, η επιφάνεια του τραπεζιού έχει μήκος και πλάτος, επομένως είναι διαισθητικά σαφές ότι απαιτούνται δύο διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα διάνυσμα σαφώς δεν είναι αρκετό, τρία διανύσματα είναι πάρα πολλά.

2) Με βάση την επιλεγμένη βάση ρυθμίστε το σύστημα συντεταγμένων(πλέγμα συντεταγμένων) για να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε όλα τα στοιχεία του πίνακα.

Μην εκπλαγείτε, στην αρχή οι εξηγήσεις θα είναι στα δάχτυλα. Επιπλέον, στο δικό σου. Παρακαλώ τοποθετήστε δείκτη του αριστερού χεριούστην άκρη του τραπεζιού, ώστε να κοιτάζει την οθόνη. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Τώρα τοποθετήστε μικρό δάχτυλο του δεξιού χεριούστην άκρη του τραπεζιού με τον ίδιο τρόπο - έτσι ώστε να κατευθύνεται στην οθόνη της οθόνης. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Χαμογέλα, φαίνεσαι υπέροχη! Τι μπορεί να ειπωθεί για τα διανύσματα; Διανύσματα δεδομένων συγγραμμική, που σημαίνει γραμμικάεκφράζονται μεταξύ τους:
, καλά, ή αντίστροφα: , όπου είναι ένας μη μηδενικός αριθμός.

Μπορείτε να δείτε μια εικόνα αυτής της ενέργειας στο μάθημα. Διανύσματα για ανδρείκελα, όπου εξήγησα τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Τα δάχτυλά σας θα βάλουν τη βάση στο επίπεδο του τραπεζιού του υπολογιστή; Προφανώς όχι. Τα συγγραμμικά διανύσματα ταξιδεύουν εμπρός και πίσω μόνοςκατεύθυνση, ενώ ένα επίπεδο έχει μήκος και πλάτος.

Τέτοια διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη.

Αναφορά: Οι λέξεις «γραμμικό», «γραμμικό» δηλώνουν το γεγονός ότι δεν υπάρχουν τετράγωνα, κύβοι, άλλες δυνάμεις, λογάριθμοι, ημίτονο κ.λπ. σε μαθηματικές εξισώσεις, εκφράσεις. Υπάρχουν μόνο γραμμικές (1ου βαθμού) εκφράσεις και εξαρτήσεις.

Δύο επίπεδα διανύσματα γραμμικά εξαρτώμενηεάν και μόνο εάν είναι συγγραμμικές.

Σταυρώστε τα δάχτυλά σας στο τραπέζι έτσι ώστε να υπάρχει οποιαδήποτε γωνία μεταξύ τους εκτός από 0 ή 180 μοίρες. Δύο επίπεδα διανύσματαγραμμικά δενεξαρτώνται εάν και μόνο εάν δεν είναι συγγραμμικές. Έτσι, η βάση έχει ληφθεί. Δεν χρειάζεται να ντρέπεστε που η βάση αποδείχθηκε «λοξή» με μη κάθετα διανύσματα διαφόρων μηκών. Πολύ σύντομα θα δούμε ότι όχι μόνο μια γωνία 90 μοιρών είναι κατάλληλη για την κατασκευή του, και όχι μόνο μοναδιαία διανύσματα ίσου μήκους

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεπεκτάθηκε ως προς τη βάση:
, όπου είναι πραγματικοί αριθμοί . Οι αριθμοί καλούνται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση.

Το λένε και αυτό διάνυσμαπαρουσιάζεται στη φόρμα γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης. Δηλαδή η έκφραση λέγεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάσηή γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να πει ότι ένα διάνυσμα διαστέλλεται σε μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου ή μπορεί να πει κανείς ότι αναπαρίσταται ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.

Ας διατυπώσουμε ορισμός βάσηςεπίσημα: βάση αεροπλάνουείναι ένα ζεύγος γραμμικά ανεξάρτητων (μη γραμμικών) διανυσμάτων, , όπου όποιοςτο επίπεδο διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης.

Το ουσιαστικό σημείο του ορισμού είναι το γεγονός ότι λαμβάνονται τα διανύσματα με μια ορισμένη σειρά. βάσεις Πρόκειται για δύο εντελώς διαφορετικές βάσεις! Όπως λένε, το μικρό δάχτυλο του αριστερού χεριού δεν μπορεί να μετακινηθεί στη θέση του μικρού δακτύλου του δεξιού χεριού.

Καταλάβαμε τη βάση, αλλά δεν αρκεί να ορίσετε το πλέγμα συντεταγμένων και να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε κάθε στοιχείο στο γραφείο του υπολογιστή σας. Γιατί όχι αρκετά; Τα διανύσματα είναι ελεύθερα και περιφέρονται σε ολόκληρο το επίπεδο. Πώς, λοιπόν, αντιστοιχίζετε συντεταγμένες σε αυτές τις μικρές βρώμικες κουκκίδες που έχουν απομείνει από ένα άγριο Σαββατοκύριακο; Χρειάζεται ένα σημείο εκκίνησης. Και ένα τέτοιο σημείο αναφοράς είναι ένα σημείο γνωστό σε όλους - η προέλευση των συντεταγμένων. Κατανόηση του συστήματος συντεταγμένων:

Θα ξεκινήσω με το «σχολικό» σύστημα. Ήδη στο εισαγωγικό μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΤόνισα μερικές από τις διαφορές μεταξύ ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων και μιας ορθοκανονικής βάσης. Εδώ είναι η τυπική εικόνα:

Όταν μιλάμε για ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε πιο συχνά σημαίνουν την αρχή, τους άξονες συντεταγμένων και την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Δοκιμάστε να πληκτρολογήσετε "ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων" στη μηχανή αναζήτησης και θα δείτε ότι πολλές πηγές θα σας πουν για τους άξονες συντεταγμένων που είναι γνωστοί από την 5η-6η τάξη και πώς να σχεδιάσετε σημεία σε ένα επίπεδο.

Από την άλλη πλευρά, έχει κανείς την εντύπωση ότι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να οριστεί καλά με όρους ορθοκανονικής βάσης. Και σχεδόν είναι. Η διατύπωση έχει ως εξής:

προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου . Δηλαδή ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σίγουραορίζεται από ένα μόνο σημείο και δύο μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα. Γι' αυτό, βλέπετε το σχέδιο που έδωσα παραπάνω - στα γεωμετρικά προβλήματα, τόσο τα διανύσματα όσο και οι άξονες συντεταγμένων σχεδιάζονται συχνά (αλλά μακριά από πάντα).

Νομίζω ότι όλοι το καταλαβαίνουν με τη βοήθεια ενός σημείου (προέλευσης) και μιας ορθοκανονικής βάσης ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ του αεροπλάνου και ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ του αεροπλάνουμπορούν να εκχωρηθούν συντεταγμένες. Μεταφορικά μιλώντας, «τα πάντα στο αεροπλάνο μπορούν να αριθμηθούν».

Τα διανύσματα συντεταγμένων πρέπει να είναι μονάδες; Όχι, μπορεί να έχουν αυθαίρετο μη μηδενικό μήκος. Θεωρήστε ένα σημείο και δύο ορθογώνια διανύσματα αυθαίρετου μη μηδενικού μήκους:

Μια τέτοια βάση ονομάζεται ορθογώνιο. Η αρχή των συντεταγμένων με διανύσματα ορίζει το πλέγμα συντεταγμένων και οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, οποιοδήποτε διάνυσμα έχει τις δικές του συντεταγμένες στη δεδομένη βάση. Για παράδειγμα, ή. Η προφανής ταλαιπωρία είναι ότι τα διανύσματα συντεταγμένων γενικάέχουν διαφορετικά μήκη εκτός της ενότητας. Εάν τα μήκη είναι ίσα με ένα, τότε προκύπτει η συνήθης ορθοκανονική βάση.

! Σημείωση : στην ορθογώνια βάση, καθώς και παρακάτω στις συγγενικές βάσεις του επιπέδου και του χώρου, θεωρούνται μονάδες κατά μήκος των αξόνων ΥΠΟΘΕΤΙΚΟΣ. Για παράδειγμα, μια μονάδα στην τετμημένη περιέχει 4 εκ., μια μονάδα στην τεταγμένη περιέχει 2 εκ. Αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετές για να μετατρέψουν τις «μη τυπικές» συντεταγμένες σε «συνήθη εκατοστά» εάν είναι απαραίτητο.

Και η δεύτερη ερώτηση, η οποία στην πραγματικότητα έχει ήδη απαντηθεί - είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων βάσης κατ' ανάγκη ίση με 90 μοίρες; Δεν! Όπως λέει ο ορισμός, τα διανύσματα βάσης πρέπει να είναι μόνο μη γραμμικό. Κατά συνέπεια, η γωνία μπορεί να είναι οτιδήποτε εκτός από 0 και 180 μοίρες.

Κάλεσε ένα σημείο στο αεροπλάνο προέλευση, και μη γραμμικόφορείς, , σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου :

Μερικές φορές αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται λοξόςΣύστημα. Τα σημεία και τα διανύσματα φαίνονται ως παραδείγματα στο σχέδιο:

Όπως καταλαβαίνετε, το συγγενικό σύστημα συντεταγμένων είναι ακόμα λιγότερο βολικό, οι τύποι για τα μήκη των διανυσμάτων και των τμημάτων, που εξετάσαμε στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, δεν λειτουργούν σε αυτό. Διανύσματα για ανδρείκελα, πολλές νόστιμες φόρμουλες που σχετίζονται με κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. Αλλά οι κανόνες για την προσθήκη διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό ισχύουν, οι τύποι για τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη, καθώς και ορισμένοι άλλοι τύποι προβλημάτων που θα εξετάσουμε σύντομα.

Και το συμπέρασμα είναι ότι η πιο βολική συγκεκριμένη περίπτωση ενός συγγενικού συστήματος συντεταγμένων είναι το καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα. Επομένως, αυτή, η δική της, τις περισσότερες φορές πρέπει να τη δει κανείς. ... Ωστόσο, όλα σε αυτή τη ζωή είναι σχετικά - υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες είναι σκόπιμο να υπάρχει μια λοξή (ή κάποια άλλη, για παράδειγμα, πολικός) σύστημα συντεταγμένων. Ναι, και ανθρωποειδή τέτοια συστήματα μπορεί να έρθουν σε γεύση =)

Ας περάσουμε στο πρακτικό κομμάτι. Όλα τα προβλήματα σε αυτό το μάθημα ισχύουν τόσο για ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όσο και για τη γενική συγγενική περίπτωση. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ, όλο το υλικό είναι διαθέσιμο ακόμα και σε έναν μαθητή.

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των επίπεδων διανυσμάτων;

Τυπικό πράγμα. Για δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές, είναι απαραίτητο και επαρκές οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες.Ουσιαστικά πρόκειται για μια τελειοποίηση συντεταγμένη προς συντεταγμένη της προφανούς σχέσης .

Παράδειγμα 1

α) Ελέγξτε αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά .
β) Τα διανύσματα αποτελούν βάση; ?

Λύση:
α) Μάθετε αν υπάρχει για διανύσματα συντελεστής αναλογικότητας, έτσι ώστε να πληρούνται οι ισότητες:

Θα σας πω σίγουρα για την "foppish" έκδοση της εφαρμογής αυτού του κανόνα, η οποία λειτουργεί αρκετά καλά στην πράξη. Η ιδέα είναι να συντάξουμε αμέσως μια αναλογία και να δούμε αν είναι σωστή:

Ας κάνουμε μια αναλογία από τους λόγους των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων:

Συντομεύουμε:
, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογες, επομένως,

Η σχέση θα μπορούσε να γίνει και αντίστροφα, αυτή είναι μια ισοδύναμη επιλογή:

Για τον αυτοέλεγχο, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι τα συγγραμμικά διανύσματα εκφράζονται γραμμικά το ένα μέσω του άλλου. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν ισότητες . Η εγκυρότητά τους μπορεί εύκολα να ελεγχθεί μέσω στοιχειωδών πράξεων με διανύσματα:

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Εξετάζουμε διανύσματα για συγγραμμικότητα . Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων δεν είναι ανάλογες.

συμπέρασμα: τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Μια απλοποιημένη έκδοση της λύσης μοιάζει με αυτό:

Να συνθέσετε την αναλογία από τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως, αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Συνήθως οι αναθεωρητές δεν απορρίπτουν αυτήν την επιλογή, αλλά δημιουργείται πρόβλημα σε περιπτώσεις όπου ορισμένες συντεταγμένες είναι ίσες με μηδέν. Σαν αυτό: . Ή όπως αυτό: . Ή όπως αυτό: . Πώς να επεξεργαστείτε την αναλογία εδώ; (Πραγματικά, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν). Γι' αυτόν τον λόγο ονόμασα την απλοποιημένη λύση "foppish".

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Ένα μικρό δημιουργικό παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 2

Σε ποια τιμή των διανυσμάτων παραμέτρων θα είναι συγγραμμική;

Στο διάλυμα του δείγματος, η παράμετρος βρίσκεται μέσω της αναλογίας.

Υπάρχει ένας κομψός αλγεβρικός τρόπος ελέγχου των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα. Ας συστηματοποιήσουμε τις γνώσεις μας και ας τις προσθέσουμε απλώς ως το πέμπτο σημείο:

Για δύο επίπεδα διανύσματα, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

2) τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι μη μηδενική.

Αντίστοιχα, οι παρακάτω αντίθετες προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.
2) τα διανύσματα δεν αποτελούν βάση.
3) τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
4) τα διανύσματα μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, ισούται με μηδέν.

Ελπίζω πολύ, πολύ ότι αυτή τη στιγμή έχετε ήδη κατανοήσει όλους τους όρους και τις δηλώσεις που έχετε συναντήσει.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο νέο, πέμπτο σημείο: δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:. Για να χρησιμοποιήσετε αυτή τη δυνατότητα, φυσικά, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε καθοριστικούς παράγοντες.

Θα αποφασίσουμεΠαράδειγμα 1 με τον δεύτερο τρόπο:

α) Να υπολογίσετε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Φαίνεται πολύ πιο συμπαγές και πιο όμορφο από τη λύση με τις αναλογίες.

Με τη βοήθεια του εξεταζόμενου υλικού, είναι δυνατό να καθοριστεί όχι μόνο η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων, αλλά και να αποδειχθεί ο παραλληλισμός τμημάτων, ευθειών. Εξετάστε μερικά προβλήματα με συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα.

Παράδειγμα 3

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Δεν χρειάζεται να δημιουργηθεί σχέδιο στο πρόβλημα, αφού η λύση θα είναι καθαρά αναλυτική. Θυμηθείτε τον ορισμό του παραλληλογράμμου:
Παραλληλόγραμμο Λέγεται ένα τετράπλευρο, στο οποίο οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Επομένως, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί:
1) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και?
2) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και .

Αποδεικνύουμε:

1) Βρείτε τα διανύσματα:

2) Βρείτε τα διανύσματα:

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο διάνυσμα ("σύμφωνα με το σχολείο" - ίσα διανύσματα). Η συγγραμμικότητα είναι αρκετά εμφανής, αλλά είναι καλύτερο να ληφθεί η απόφαση σωστά, με τη διάταξη. Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και .

συμπέρασμα: Οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι κατά ζεύγη παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο εξ ορισμού. Q.E.D.

Περισσότερες καλές και διαφορετικές φιγούρες:

Παράδειγμα 4

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

Για μια πιο αυστηρή διατύπωση της απόδειξης, είναι καλύτερο, φυσικά, να λάβουμε τον ορισμό του τραπεζοειδούς, αλλά αρκεί απλώς να θυμηθούμε πώς μοιάζει.

Αυτό είναι ένα καθήκον για ανεξάρτητη απόφαση. Ολοκληρωμένη λύση στο τέλος του μαθήματος.

Και τώρα ήρθε η ώρα να μετακινηθείτε σιγά σιγά από το αεροπλάνο στο διάστημα:

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων του χώρου;

Ο κανόνας είναι πολύ παρόμοιος. Για να είναι συγγραμμικά δύο διανύσματα χώρου, είναι απαραίτητο και αρκετό οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες με.

Παράδειγμα 5

Μάθετε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:

ένα) ;
σι)
σε)

Λύση:
α) Ελέγξτε αν υπάρχει συντελεστής αναλογικότητας για τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων:

Το σύστημα δεν έχει λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Το "Απλοποιημένο" γίνεται με τον έλεγχο της αναλογίας. Σε αυτήν την περίπτωση:
– οι αντίστοιχες συντεταγμένες δεν είναι αναλογικές, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Απάντηση:τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β-γ) Αυτά είναι σημεία για αυτοτελή απόφαση. Δοκιμάστε το με δύο τρόπους.

Υπάρχει μια μέθοδος για τον έλεγχο χωρικών διανυσμάτων για συγγραμμικότητα και μέσω μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, αυτή η μέθοδος καλύπτεται στο άρθρο Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων.

Ομοίως με την περίπτωση του επιπέδου, τα εξεταζόμενα εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη του παραλληλισμού χωρικών τμημάτων και γραμμών.

Καλώς ήρθατε στη δεύτερη ενότητα:

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία τρισδιάστατων διανυσμάτων χώρου.
Χωρική βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Πολλές από τις κανονικότητες που έχουμε εξετάσει στο αεροπλάνο θα ισχύουν και για το διάστημα. Προσπάθησα να ελαχιστοποιήσω την περίληψη της θεωρίας, αφού η μερίδα του λέοντος των πληροφοριών έχει ήδη μασηθεί. Ωστόσο, σας συνιστώ να διαβάσετε προσεκτικά το εισαγωγικό μέρος, καθώς θα εμφανιστούν νέοι όροι και έννοιες.

Τώρα, αντί για το επίπεδο του πίνακα του υπολογιστή, ας εξετάσουμε τον τρισδιάστατο χώρο. Αρχικά, ας δημιουργήσουμε τη βάση του. Κάποιος είναι τώρα σε εσωτερικό χώρο, κάποιος είναι σε εξωτερικό χώρο, αλλά σε κάθε περίπτωση, δεν μπορούμε να ξεφύγουμε από τις τρεις διαστάσεις: πλάτος, μήκος και ύψος. Επομένως, απαιτούνται τρία χωρικά διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα ή δύο διανύσματα δεν είναι αρκετά, το τέταρτο είναι περιττό.

Και πάλι ζεσταίνουμε στα δάχτυλα. Παρακαλώ σηκώστε το χέρι σας και απλώστε προς διαφορετικές κατευθύνσεις αντίχειρα, δείκτη και μεσαίο δάχτυλο. Αυτά θα είναι διανύσματα, κοιτάζουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις, έχουν διαφορετικά μήκη και έχουν διαφορετικές γωνίες μεταξύ τους. Συγχαρητήρια, η βάση του τρισδιάστατου χώρου είναι έτοιμη! Παρεμπιπτόντως, δεν χρειάζεται να το αποδείξετε αυτό στους δασκάλους, ανεξάρτητα από το πώς στρίβετε τα δάχτυλά σας, αλλά δεν μπορείτε να ξεφύγετε από τους ορισμούς =)

Στη συνέχεια, θέτουμε μια σημαντική ερώτηση, εάν οποιαδήποτε τρία διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου? Πατήστε σταθερά τρία δάχτυλα στο επάνω μέρος του τραπεζιού του υπολογιστή. Τι συνέβη? Τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και, χοντρικά, έχουμε χάσει μία από τις μετρήσεις - το ύψος. Τέτοιοι φορείς είναι ομοεπίπεδηκαι, προφανώς, ότι δεν δημιουργείται η βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα συνεπίπεδα διανύσματα δεν χρειάζεται να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, μπορεί να είναι σε παράλληλα επίπεδα (απλώς μην το κάνετε με τα δάχτυλά σας, μόνο ο Σαλβαδόρ Νταλί βγήκε έτσι =)).

Ορισμός: ονομάζονται διανύσματα ομοεπίπεδηεάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα. Εδώ είναι λογικό να προσθέσουμε ότι αν δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο, τότε τα διανύσματα δεν θα είναι συνεπίπεδα.

Τρία συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται πάντα γραμμικά, δηλαδή εκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους. Για απλότητα, φανταστείτε πάλι ότι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Πρώτον, τα διανύσματα δεν είναι μόνο συνεπίπεδα, αλλά μπορούν επίσης να είναι συγγραμμικά, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω οποιουδήποτε διανύσματος. Στη δεύτερη περίπτωση, εάν, για παράδειγμα, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, τότε το τρίτο διάνυσμα εκφράζεται μέσω αυτών με μοναδικό τρόπο: (και γιατί είναι εύκολο να μαντέψει κανείς από τα υλικά της προηγούμενης ενότητας).

Ισχύει και το αντίστροφο: τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή σε καμία περίπτωση δεν εκφράζονται μεταξύ τους. Και, προφανώς, μόνο τέτοια διανύσματα μπορούν να αποτελέσουν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Ορισμός: Η βάση του τρισδιάστατου χώρουονομάζεται τριπλό γραμμικά ανεξάρτητων (μη ομοεπίπεδων) διανυσμάτων, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, ενώ οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται στη δεδομένη βάση , όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος στη δεδομένη βάση

Ως υπενθύμιση, μπορείτε επίσης να πείτε ότι ένα διάνυσμα αναπαρίσταται ως γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Η έννοια του συστήματος συντεταγμένων εισάγεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως για την επίπεδη περίπτωση, ένα σημείο και οποιαδήποτε τρία γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αρκούν:

προέλευση, και μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του τρισδιάστατου χώρου :

Φυσικά, το πλέγμα συντεταγμένων είναι "λοξό" και άβολο, αλλά, παρόλα αυτά, το κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων μας επιτρέπει να σίγουραπροσδιορίστε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος και τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στο χώρο. Παρόμοια με το επίπεδο, στο συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του χώρου, ορισμένοι τύποι που έχω ήδη αναφέρει δεν θα λειτουργήσουν.

Η πιο οικεία και βολική ειδική περίπτωση ενός συστήματος συντεταγμένων συγγενών, όπως όλοι μπορούν να μαντέψουν, είναι ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του χώρου:

σημείο στο διάστημα που ονομάζεται προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του χώρου . γνώριμη εικόνα:

Πριν προχωρήσουμε σε πρακτικές εργασίες, συστηματοποιούμε ξανά τις πληροφορίες:

Για τρία διανύσματα χώρου, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
2) τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.
4) τα διανύσματα δεν μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι διαφορετική από το μηδέν.

Οι αντίθετες δηλώσεις, νομίζω, είναι κατανοητές.

Η γραμμική εξάρτηση / ανεξαρτησία των διανυσμάτων χώρου ελέγχεται παραδοσιακά χρησιμοποιώντας την ορίζουσα (στοιχείο 5). Οι υπόλοιπες πρακτικές εργασίες θα έχουν έντονο αλγεβρικό χαρακτήρα. Ήρθε η ώρα να κρεμάσετε ένα γεωμετρικό ραβδί σε ένα καρφί και να κρατήσετε ένα γραμμικό ρόπαλο μπέιζμπολ άλγεβρας:

Τρία διανύσματα χώρουείναι ομοεπίπεδες αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν: .

Εφιστώ την προσοχή σας σε μια μικρή τεχνική απόχρωση: οι συντεταγμένες των διανυσμάτων μπορούν να γραφτούν όχι μόνο σε στήλες, αλλά και σε σειρές (η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει από αυτό - δείτε τις ιδιότητες των οριζόντων). Αλλά είναι πολύ καλύτερο στις στήλες, αφού είναι πιο ωφέλιμο για την επίλυση κάποιων πρακτικών προβλημάτων.

Για εκείνους τους αναγνώστες που έχουν ξεχάσει λίγο τις μεθόδους υπολογισμού οριζόντων ή ίσως δεν έχουν καθόλου προσανατολισμό, προτείνω ένα από τα παλαιότερα μαθήματά μου: Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Παράδειγμα 6

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου:

Λύση: Στην πραγματικότητα, η όλη λύση καταλήγει στον υπολογισμό της ορίζουσας.

α) Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή):

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (όχι ομοεπίπεδα) και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Απάντηση: αυτά τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

β) Αυτό είναι ένα σημείο για ανεξάρτητη απόφαση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Υπάρχουν επίσης δημιουργικές εργασίες:

Παράδειγμα 7

Σε ποια τιμή της παραμέτρου τα διανύσματα θα είναι συνεπίπεδα;

Λύση: Τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:

Ουσιαστικά απαιτείται η επίλυση μιας εξίσωσης με ορίζουσα. Πετάμε στα μηδενικά όπως οι χαρταετοί σε jerboas - είναι πιο κερδοφόρο να ανοίξουμε τον καθοριστικό παράγοντα στη δεύτερη γραμμή και να απαλλαγούμε αμέσως από τα μειονεκτήματα:

Πραγματοποιούμε περαιτέρω απλοποιήσεις και ανάγουμε την ύλη στην απλούστερη γραμμική εξίσωση:

Απάντηση: στο

Είναι εύκολο να το ελέγξετε εδώ, για αυτό πρέπει να αντικαταστήσετε την προκύπτουσα τιμή στην αρχική ορίζουσα και να βεβαιωθείτε ότι ανοίγοντάς το ξανά.

Εν κατακλείδι, ας εξετάσουμε ένα άλλο τυπικό πρόβλημα, το οποίο είναι περισσότερο αλγεβρικού χαρακτήρα και παραδοσιακά περιλαμβάνεται στο μάθημα της γραμμικής άλγεβρας. Είναι τόσο κοινό που αξίζει ένα ξεχωριστό θέμα:

Να αποδείξετε ότι 3 διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου
και βρείτε τις συντεταγμένες του 4ου διανύσματος στη δεδομένη βάση

Παράδειγμα 8

Δίνονται διανύσματα. Δείξτε ότι τα διανύσματα αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

Λύση: Ας ασχοληθούμε πρώτα με την κατάσταση. Κατά συνθήκη, δίνονται τέσσερα διανύσματα και, όπως μπορείτε να δείτε, έχουν ήδη συντεταγμένες σε κάποια βάση. Ποια είναι η βάση - δεν μας ενδιαφέρει. Και το εξής είναι ενδιαφέρον: τρία διανύσματα μπορεί κάλλιστα να αποτελέσουν μια νέα βάση. Και το πρώτο βήμα είναι εντελώς το ίδιο με τη λύση του Παραδείγματος 6, είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι πραγματικά γραμμικά ανεξάρτητα:

Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

! Σπουδαίος : διανυσματικές συντεταγμένες αναγκαίωςσημειωσε σε στήλεςκαθοριστική, όχι χορδές. Διαφορετικά, θα υπάρξει σύγχυση στον περαιτέρω αλγόριθμο επίλυσης.

Για να ελέγξετε εάν ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, είναι απαραίτητο να συνθέσετε έναν γραμμικό συνδυασμό αυτών των διανυσμάτων και να ελέγξετε εάν μπορεί να είναι μηδέν εάν τουλάχιστον ένας συντελεστής είναι μηδέν.

Περίπτωση 1. Το σύστημα των διανυσμάτων δίνεται από διανύσματα

Κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό

Αποκτήσαμε ένα ομοιογενές σύστημα εξισώσεων. Αν έχει μη μηδενική λύση, τότε η ορίζουσα πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Ας κάνουμε έναν προσδιορισμό και ας βρούμε την αξία του.

Η ορίζουσα είναι μηδέν, επομένως, τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Περίπτωση 2. Το σύστημα των διανυσμάτων δίνεται από αναλυτικές συναρτήσεις:

ένα)
, εάν η ταυτότητα είναι αληθής, τότε το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Ας κάνουμε έναν γραμμικό συνδυασμό.

Είναι απαραίτητο να ελέγξουμε αν υπάρχουν τέτοια a, b, c (τουλάχιστον ένα από τα οποία δεν είναι ίσο με μηδέν) για τα οποία η δοθείσα έκφραση είναι ίση με μηδέν.

Γράφουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις

,
, έπειτα

τότε ο γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων θα πάρει τη μορφή:

Οπου
, πάρτε, για παράδειγμα, τότε ο γραμμικός συνδυασμός είναι ίσος με μηδέν, επομένως, το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

Απάντηση: Το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.

σι)
, συνθέτουμε έναν γραμμικό συνδυασμό

Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων, πρέπει να είναι μηδέν για οποιεσδήποτε τιμές του x.

Ας ελέγξουμε για ειδικές περιπτώσεις.

Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων είναι μηδέν μόνο εάν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν.

Επομένως, το σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Απάντηση: Το σύστημα είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

5.3. Βρείτε κάποια βάση και προσδιορίστε τη διάσταση του γραμμικού χώρου των λύσεων.

Ας σχηματίσουμε έναν εκτεταμένο πίνακα και ας τον φέρουμε σε μορφή τραπεζοειδούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Για να έχουμε κάποια βάση, αντικαθιστούμε αυθαίρετες τιμές:

Πάρτε τις υπόλοιπες συντεταγμένες

Απάντηση:

5.4. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος Χ στη βάση, αν αυτό δίνεται στη βάση.

Η εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος στη νέα βάση περιορίζεται στην επίλυση του συστήματος των εξισώσεων

Μέθοδος 1. Εύρεση χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετάβασης

Συνθέστε τον πίνακα μετάβασης

Ας βρούμε το διάνυσμα στη νέα βάση με τον τύπο

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και κάντε τον πολλαπλασιασμό

,

Μέθοδος 2. Εύρεση με σύνταξη συστήματος εξισώσεων.

Να συνθέσετε τα διανύσματα βάσης από τους συντελεστές της βάσης

,
,

Η εύρεση ενός διανύσματος σε νέα βάση έχει τη μορφή

, όπου ρεείναι το δεδομένο διάνυσμα Χ.

Η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να λυθεί με οποιονδήποτε τρόπο, η απάντηση θα είναι η ίδια.

Απάντηση: διάνυσμα σε νέα βάση
.

5.5. Έστω x = (Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 ) . Είναι γραμμικοί οι παρακάτω μετασχηματισμοί.

Ας συνθέσουμε πίνακες γραμμικών τελεστών από τους συντελεστές δεδομένων διανυσμάτων.

Ας ελέγξουμε την ιδιότητα των γραμμικών πράξεων για κάθε πίνακα ενός γραμμικού τελεστή.

Η αριστερή πλευρά βρίσκεται με πολλαπλασιασμό πίνακα ΑΛΛΑανά διάνυσμα

Βρίσκουμε τη δεξιά πλευρά πολλαπλασιάζοντας το δεδομένο διάνυσμα με ένα βαθμωτό
.

Το βλέπουμε αυτό
οπότε ο μετασχηματισμός δεν είναι γραμμικός.

Ας ελέγξουμε άλλα διανύσματα.

, ο μετασχηματισμός δεν είναι γραμμικός.

, ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός.

Απάντηση: Ωδεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός, Vx- όχι γραμμικό Cx- γραμμικός.

Σημείωση.Μπορείτε να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία πολύ πιο εύκολα κοιτάζοντας προσεκτικά τα δεδομένα διανύσματα. ΣΤΟ Ωβλέπουμε ότι υπάρχουν όροι που δεν περιέχουν στοιχεία Χ, το οποίο δεν ήταν δυνατό να ληφθεί ως αποτέλεσμα μιας γραμμικής πράξης. ΣΤΟ Vxυπάρχει ένα στοιχείο Χστην τρίτη δύναμη, η οποία επίσης δεν μπορούσε να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας με ένα διάνυσμα Χ.

5.6. Δεδομένος Χ = { Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 } , Τσεκούρι = { Χ 2 – Χ 3 , Χ 1 , Χ 1 + Χ 3 } , bx = { Χ 2 , 2 Χ 3 , Χ 1 } . Εκτελέστε τη δεδομένη λειτουργία: ( ΕΝΑ ( σι – ΕΝΑ )) Χ .

Ας γράψουμε τους πίνακες των γραμμικών τελεστών.

Ας εκτελέσουμε μια πράξη σε πίνακες

Πολλαπλασιάζοντας τον προκύπτοντα πίνακα με Χ, παίρνουμε

Απάντηση:

Ορισμός. Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων a 1 , ..., a n με συντελεστές x 1 , ..., x n ονομάζεται διάνυσμα

x 1 a 1 + ... + x n a n .

ασήμαντος, αν όλοι οι συντελεστές x 1 , ..., x n είναι ίσοι με μηδέν.

Ορισμός. Ο γραμμικός συνδυασμός x 1 a 1 + ... + x n a n ονομάζεται μη τετριμμένο, αν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές x 1 , ..., x n δεν είναι ίσος με μηδέν.

γραμμικά ανεξάρτητη, εάν δεν υπάρχει κανένας μη τετριμμένος συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα.

Δηλαδή, τα διανύσματα a 1 , ..., a n είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 αν και μόνο αν x 1 = 0, ..., x n = 0.

Ορισμός. Τα διανύσματα a 1 , ..., a n λέγονται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα.

Ιδιότητες γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων:

Για 2 και τρισδιάστατα διανύσματα.

Δύο γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συγγραμμικά. (Τα συγγραμμικά διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.) .

Για τρισδιάστατα διανύσματα.

Τρία γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συνεπίπεδα. (Τα τρία συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.)

• Για διανύσματα n διαστάσεων.

  Τα n + 1 διανύσματα εξαρτώνται πάντα γραμμικά.

Παραδείγματα εργασιών για γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων:

Παράδειγμα 1. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) είναι γραμμικά ανεξάρτητα .

Λύση:

Τα διανύσματα θα εξαρτώνται γραμμικά, αφού η διάσταση των διανυσμάτων είναι μικρότερη από τον αριθμό των διανυσμάτων.

Παράδειγμα 2. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Λύση:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

αφαιρέστε το δεύτερο από την πρώτη γραμμή. προσθέστε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Αυτή η λύση δείχνει ότι το σύστημα έχει πολλές λύσεις, δηλαδή υπάρχει ένας μη μηδενικός συνδυασμός τιμών των αριθμών x 1 , x 2 , x 3 έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων a , b , c να είναι ίσος στο μηδενικό διάνυσμα, για παράδειγμα:

Α + β + γ = 0

που σημαίνει ότι τα διανύσματα a , b , c εξαρτώνται γραμμικά.

Απάντηση:Τα διανύσματα a , b , c εξαρτώνται γραμμικά.

Παράδειγμα 3. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Λύση:Ας βρούμε τις τιμές των συντελεστών στους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων θα είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Αυτή η διανυσματική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως σύστημα γραμμικών εξισώσεων

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Επιλύουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

αφαιρέστε την πρώτη από τη δεύτερη γραμμή. αφαιρέστε την πρώτη από την τρίτη σειρά:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

αφαιρέστε το δεύτερο από την πρώτη γραμμή. προσθέστε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή.

Τα διανύσματα, οι ιδιότητές τους και οι ενέργειες μαζί τους

Διανύσματα, ενέργειες με διανύσματα, γραμμικός διανυσματικός χώρος.

Τα διανύσματα είναι μια διατεταγμένη συλλογή ενός πεπερασμένου αριθμού πραγματικών αριθμών.

Ενέργειες: 1. Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό: λάμδα * διάνυσμα x \u003d (λάμδα * x 1, λάμδα * x 2 ... λάμδα * x n). (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Προσθήκη διανυσμάτων (ανήκουν στον ίδιο διανυσματικό χώρο) διάνυσμα x + διάνυσμα y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Διάνυσμα 0=(0,0…0)---n E n – n-διάστατο (γραμμικός χώρος) διάνυσμα x + διάνυσμα 0 = διάνυσμα x

Θεώρημα. Για να είναι γραμμικά εξαρτημένο ένα σύστημα n διανυσμάτων σε γραμμικό χώρο n διαστάσεων, είναι απαραίτητο και αρκετό ένα από τα διανύσματα να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Θεώρημα. Οποιοδήποτε σύνολο n+ 1ου διανύσματος n-διάστατου γραμμικού χώρου yavl. γραμμικά εξαρτώμενη.

Πρόσθεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός διανυσμάτων με αριθμούς. Αφαίρεση διανυσμάτων.

Το άθροισμα δύο διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή του διανύσματος έως το τέλος του διανύσματος, με την προϋπόθεση ότι η αρχή συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος. Εάν τα διανύσματα δίνονται από τις επεκτάσεις τους ως διανύσματα βάσης, τότε προσθέτοντας τα διανύσματα αθροίζονται οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους.

Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Αφήνω

Ας το δείξουμε

Το σχήμα 3 δείχνει ότι

Το άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολυγώνου (Εικ. 4): για να κατασκευαστεί το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού διανυσμάτων, αρκεί να αντιστοιχίσετε την αρχή κάθε επόμενου διανύσματος με το τέλος του προηγούμενου και κατασκευάστε ένα διάνυσμα που συνδέει την αρχή του πρώτου διανύσματος με το τέλος του τελευταίου.

Ιδιότητες της πράξης πρόσθεσης διανύσματος:

Σε αυτές τις παραστάσεις τα m, n είναι αριθμοί.

Η διαφορά των διανυσμάτων ονομάζεται διάνυσμα Ο δεύτερος όρος είναι ένα διάνυσμα αντίθετο προς το διάνυσμα ως προς τη διεύθυνση, αλλά ίσο με αυτό σε μήκος.

Έτσι, η πράξη αφαίρεσης του διανύσματος αντικαθίσταται από την πράξη πρόσθεσης

Το διάνυσμα του οποίου η αρχή βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων και το τέλος του στο σημείο Α (x1, y1, z1), ονομάζεται διάνυσμα ακτίνας του σημείου Α και συμβολίζεται ή απλά. Δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του σημείου Α, η επέκτασή του ως προς τα διανύσματα έχει τη μορφή

Ένα διάνυσμα που ξεκινά από το σημείο A(x1, y1, z1) και τελειώνει στο σημείο B(x2, y2, z2) μπορεί να γραφτεί ως

όπου r 2 είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Β. r 1 - διάνυσμα ακτίνας του σημείου Α.

Επομένως, η επέκταση του διανύσματος ως προς τα orts έχει τη μορφή

Το μήκος του είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Έτσι, στην περίπτωση ενός επίπεδου προβλήματος, το γινόμενο ενός διανύσματος κατά a = (ax; ay) και ενός αριθμού b βρίσκεται από τον τύπο

a b = (ax b; ay b)

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο του διανύσματος a = (1; 2) επί 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Έτσι, στην περίπτωση ενός χωρικού προβλήματος, το γινόμενο του διανύσματος a = (ax; ay; az) και του αριθμού b βρίσκεται από τον τύπο

a b = (ax b; ay b; az b)

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο του διανύσματος a = (1; 2; -5) επί 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Τελική γινόμενο διανυσμάτων και πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και ? αν ένα, τότε

Από τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου, προκύπτει ότι

όπου, για παράδειγμα, είναι η τιμή της προβολής του διανύσματος στην κατεύθυνση του διανύσματος .

Κλιμακωτό τετράγωνο ενός διανύσματος:

Ιδιότητες προϊόντος Dot:

Το προϊόν με τελείες σε συντεταγμένες

Αν ένα έπειτα

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων - η γωνία μεταξύ των κατευθύνσεων αυτών των διανυσμάτων (μικρότερη γωνία).

Διανυσματικό γινόμενο (Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.)-είναι ένα ψευδοδιάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που κατασκευάζεται από δύο παράγοντες, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της δυαδικής πράξης «πολλαπλασιασμός διανυσμάτων» σε διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το γινόμενο δεν είναι ούτε αντιμεταθετικό ούτε συνειρμικό (είναι αντιμεταθετικό) και διαφέρει από το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων. Σε πολλά προβλήματα μηχανικής και φυσικής, είναι απαραίτητο να μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο ήδη υπάρχοντα - το διανυσματικό γινόμενο παρέχει αυτή την ευκαιρία. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι χρήσιμο για τη "μέτρηση" της καθετότητας των διανυσμάτων - το μήκος του εγκάρσιου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών τους εάν είναι κάθετα και μειώνεται στο μηδέν εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

Το διανυσματικό προϊόν ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατους και επταδιάστατους χώρους. Το αποτέλεσμα του διανυσματικού γινόμενου, όπως και του βαθμωτό γινόμενο, εξαρτάται από τη μετρική του Ευκλείδειου χώρου.

Σε αντίθεση με τον τύπο για τον υπολογισμό του βαθμωτού γινόμενου από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε ένα τρισδιάστατο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο τύπος για το διανυσματικό γινόμενο εξαρτάται από τον προσανατολισμό του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων ή, με άλλα λόγια, τη «χειρομορφία» του.

Συγγραμμικότητα διανυσμάτων.

Δύο μη μηδενικά (όχι ίσα με 0) διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά αν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες ή στην ίδια ευθεία. Επιτρέπουμε, αλλά δεν συνιστούμε, ένα συνώνυμο - «παράλληλα» διανύσματα. Τα συγγραμμικά διανύσματα μπορούν να κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση ("συν-κατευθυνόμενα") ή αντίθετα (στην τελευταία περίπτωση ονομάζονται μερικές φορές "αντισγραμμικά" ή "αντιπαράλληλα").

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων( αλφάβητο)- κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος a και διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων b και c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

μερικές φορές ονομάζεται τριπλό βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, προφανώς λόγω του γεγονότος ότι το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό (ακριβέστερα, ψευδοκλιμακωτή).

Γεωμετρική έννοια: Το μέτρο του μικτού γινόμενου είναι αριθμητικά ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα (αλφάβητο) .

Ιδιότητες

Ένα μικτό γινόμενο είναι λοξό-συμμετρικό ως προς όλα τα επιχειρήματά του: δηλαδή, ε. μια μετάθεση οποιωνδήποτε δύο παραγόντων αλλάζει το πρόσημο του προϊόντος. Από αυτό προκύπτει ότι το μικτό γινόμενο στο σωστό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (σε ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα που αποτελείται από τα διανύσματα και:

Το μικτό γινόμενο στο αριστερό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (σε ορθοκανονική βάση) είναι ίσο με την ορίζουσα ενός πίνακα που αποτελείται από διανύσματα και λαμβάνεται με πρόσημο μείον:

Συγκεκριμένα,

Εάν οποιαδήποτε δύο διανύσματα είναι παράλληλα, τότε με οποιοδήποτε τρίτο διάνυσμα σχηματίζουν ένα μικτό γινόμενο ίσο με μηδέν.

Εάν τρία διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτώμενα (δηλαδή, συνεπίπεδα, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο), τότε το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

Γεωμετρική σημασία - Το μικτό γινόμενο σε απόλυτη τιμή είναι ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου (βλ. σχήμα) που σχηματίζεται από τα διανύσματα και? το πρόσημο εξαρτάται από το αν αυτή η τριάδα των διανυσμάτων είναι δεξιά ή αριστερά.

Συγκρισιμότητα διανυσμάτων.

Τρία (ή περισσότερα) διανύσματα ονομάζονται συνεπίπεδα εάν, αν αναχθούν σε κοινή αρχή, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

Ιδιότητες συμβατότητας

Εάν τουλάχιστον ένα από τα τρία διανύσματα είναι μηδέν, τότε τα τρία διανύσματα θεωρούνται επίσης συνεπίπεδα.

Ένα τριπλό διανυσμάτων που περιέχει ένα ζεύγος συγγραμμικών διανυσμάτων είναι συνεπίπεδο.

Μικτό γινόμενο συνεπίπεδων διανυσμάτων. Αυτό είναι ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη τριών διανυσμάτων.

Τα συνεπίπεδα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά. Αυτό είναι επίσης ένα κριτήριο για την ομοεπίπεδη.

Στον τρισδιάστατο χώρο, 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα αποτελούν τη βάση

Γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.

Γραμμικά εξαρτώμενα και ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων.Ορισμός. Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα. Διαφορετικά, δηλ. αν μόνο ένας τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός δεδομένων διανυσμάτων είναι ίσος με το μηδενικό διάνυσμα, τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη.

Θεώρημα (κριτήριο γραμμικής εξάρτησης). Για να είναι γραμμικά εξαρτημένο ένα σύστημα διανυσμάτων σε έναν γραμμικό χώρο, είναι απαραίτητο και αρκετό τουλάχιστον ένα από αυτά τα διανύσματα να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

1) Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μηδενικό διάνυσμα μεταξύ των διανυσμάτων, τότε ολόκληρο το σύστημα των διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά.

Πράγματι, αν, για παράδειγμα, , τότε, υποθέτοντας , έχουμε έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό .▲

2) Εάν μερικά από τα διανύσματα σχηματίζουν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα, τότε ολόκληρο το σύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο.

Πράγματι, αφήστε τα διανύσματα , , να είναι γραμμικά εξαρτημένα. Επομένως, υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός ίσος με το μηδενικό διάνυσμα. Στη συνέχεια όμως, υποθέτοντας , λαμβάνουμε επίσης έναν μη τετριμμένο γραμμικό συνδυασμό ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.

2. Βάση και διάσταση. Ορισμός. Σύστημα γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων καλείται διανυσματικός χώρος βάσηαυτός ο χώρος, εάν οποιοδήποτε διάνυσμα από μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων αυτού του συστήματος, δηλ. για κάθε διάνυσμα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοια που ισχύει η ισότητα.Αυτή η ισότητα ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςσύμφωνα με τη βάση και τους αριθμούς που ονομάζεται διανυσματικές συντεταγμένες σε σχέση με τη βάση(ή στη βάση) .

Θεώρημα (σχετικά με τη μοναδικότητα της επέκτασης ως προς τη βάση). Κάθε διάνυσμα χώρου μπορεί να επεκταθεί ως προς τη βάση με μοναδικό τρόπο, δηλ. συντεταγμένες κάθε διανύσματος στη βάση ορίζονται ξεκάθαρα.