Funktsiooni y x2 4x graafik 1. Mooduliga graafikute teisendused

1. Murdlineaarfunktsioon ja selle graafik

Funktsiooni kujul y = P(x) / Q(x), kus P(x) ja Q(x) on polünoomid, nimetatakse murdratsionaalfunktsiooniks.

Koos kontseptsiooniga ratsionaalsed arvud ilmselt tunnete üksteist juba. Samamoodi ratsionaalsed funktsioonid on funktsioonid, mida saab esitada kahe polünoomi jagatisena.

Kui murdosaline ratsionaalne funktsioon on kahe jagatis lineaarsed funktsioonid– esimese astme polünoomid, s.o. vormi funktsioon

y = (ax + b) / (cx + d), siis nimetatakse seda murdosa lineaarseks.

Pange tähele, et funktsioonis y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (muidu muutub funktsioon lineaarseks y = ax/d + b/d) ja et a/c ≠ b/d (muidu funktsioon on konstantne). Lineaarne murdfunktsioon on defineeritud kõigi reaalarvude jaoks, välja arvatud x = -d/c. Lineaarfunktsioonide murdosa graafikud ei erine kuju poolest teile teadaolevast graafikust y = 1/x. Kutsutakse kõverat, mis on funktsiooni y = 1/x graafik hüperbool. Kui x absoluutväärtuses suureneb piiramatult, väheneb funktsioon y = 1/x absoluutväärtuses piiramatult ja graafiku mõlemad harud lähenevad abstsissile: parempoolne läheneb ülalt ja vasak altpoolt. Sirgeid, millele hüperbooli lähenemise harusid nimetatakse selleks asümptoodid.

Näide 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Lahendus.

Valime terve osa: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nüüd on lihtne näha, et selle funktsiooni graafik saadakse funktsiooni y = 1/x graafikult järgmiste teisendustega: nihutada 3 ühikulise segmendi võrra paremale, venitades piki Oy telge 7 korda ja nihutades 2 võrra. üksuse segmendid ülespoole.

Mis tahes murdosa y = (ax + b) / (cx + d) saab kirjutada sarnaselt, tuues esile “täisarvulise osa”. Järelikult on kõigi murdosaliste lineaarfunktsioonide graafikud hüperboolid, mida on erineval viisil nihutatud. koordinaatteljed ja venitatud piki Oy telge.

Mis tahes suvalise murd-lineaarse funktsiooni graafiku koostamiseks ei ole seda funktsiooni defineerivat murdosa üldse vaja teisendada. Kuna me teame, et graaf on hüperbool, piisab, kui leida sirged, millele selle harud lähenevad – hüperbooli x = -d/c ja y = a/c asümptoodid.

Näide 2.

Leia funktsiooni y = (3x + 5)/(2x + 2) graafiku asümptoodid.

Lahendus.

Funktsioon ei ole määratletud, kui x = -1. See tähendab, et sirgjoon x = -1 toimib vertikaalse asümptoodina. Horisontaalse asümptoodi leidmiseks uurime välja, millele lähenevad funktsiooni y(x) väärtused, kui argumendi x absoluutväärtus suureneb.

Selleks jagage murdosa lugeja ja nimetaja x-ga:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Nagu x → ∞, kipub murd olema 3/2. Tähendab, horisontaalne asümptoot– see on sirge y = 3/2.

Näide 3.

Joonistage funktsioon y = (2x + 1)/(x + 1).

Lahendus.

Valime murdosa "terve osa":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nüüd on lihtne näha, et selle funktsiooni graafik saadakse funktsiooni y = 1/x graafikust järgmiste teisendustega: nihe 1 ühiku võrra vasakule, sümmeetriline kuva Ox suhtes ja nihe 2 ühiku segmenti mööda Oy telge üles.

Domeen D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Väärtuste vahemikE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Lõikepunktid telgedega: c Oy: (0; 1); c Härg: (-1/2; 0). Funktsioon suureneb definitsioonipiirkonna iga intervalliga.

Vastus: Joonis 1.

2. Murdratsionaalfunktsioon

Vaatleme murdarvulist ratsionaalfunktsiooni kujul y = P(x) / Q(x), kus P(x) ja Q(x) on esimesest kõrgema astme polünoomid.

Selliste ratsionaalsete funktsioonide näited:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) või y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Kui funktsioon y = P(x) / Q(x) esindab kahe esimesest kõrgema astme polünoomi jagatist, siis on selle graafik reeglina keerulisem ja mõnikord võib selle täpne koostamine olla keeruline. , koos kõigi üksikasjadega. Sageli piisab aga tehnikate rakendamisest sarnased teemad, millega oleme juba eespool kohtunud.

Olgu murru õige murd (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Ilmselgelt ajakava murdosaline ratsionaalne funktsioon võib saada elementaarmurdude graafikute summana.

Murdratsionaalfunktsioonide graafikute koostamine

Vaatleme mitut võimalust murdarvulise ratsionaalfunktsiooni graafikute koostamiseks.

Näide 4.

Joonistage funktsiooni y = 1/x 2 graafik.

Lahendus.

Kasutame funktsiooni y = x 2 graafikut graafiku koostamiseks y = 1/x 2 ja kasutame graafikute “jagamise” tehnikat.

Domeen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Väärtuste vahemik E(y) = (0; +∞).

Telgedega ristumispunkte pole. Funktsioon on ühtlane. Suureneb kõigi x väärtuste puhul vahemikust (-∞; 0), väheneb x puhul 0-st +∞-ni.

Vastus: Joonis 2.

Näide 5.

Joonistage funktsioon y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Lahendus.

Domeen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = -(x - 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Siin kasutasime lineaarseks funktsiooniks faktoriseerimise, vähendamise ja redutseerimise tehnikat.

Vastus: Joonis 3.

Näide 6.

Joonistage funktsioon y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Lahendus.

Definitsioonipiirkond on D(y) = R. Kuna funktsioon on paaris, on graafik ordinaadi suhtes sümmeetriline. Enne graafiku koostamist teisendame avaldist uuesti, tuues esile kogu osa:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Pange tähele, et täisarvu osa eraldamine murdosa ratsionaalfunktsiooni valemis on graafikute koostamisel üks peamisi.

Kui x → ±∞, siis y → 1, s.o. sirge y = 1 on horisontaalne asümptoot.

Vastus: Joonis 4.

Näide 7.

Vaatleme funktsiooni y = x/(x 2 + 1) ja proovime täpselt leida selle suurima väärtuse, s.o. kõige kõrgpunkt graafiku parem pool. Selle graafiku täpseks koostamiseks ei piisa tänapäeva teadmistest. Ilmselgelt ei saa meie kõver väga kõrgele “tõuseda”, sest nimetaja hakkab kiiresti lugejast “mööda minema”. Vaatame, kas funktsiooni väärtus võib olla võrdne 1-ga. Selleks tuleb lahendada võrrand x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Sellel võrrandil pole reaalseid juuri. See tähendab, et meie oletus on vale. Et leida kõige rohkem suur tähtsus funktsiooni, peate välja selgitama, millise suurima A korral on võrrand A = x/(x 2 + 1) lahendus. Asendame algse võrrandi ruutvõrrandiga: Аx 2 – x + А = 0. Sellel võrrandil on lahend, kui 1 – 4А 2 ≥ 0. Siit leiame kõrgeim väärtus A = 1/2.

Vastus: Joonis 5, max y(x) = ½.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas funktsioone joonistada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Valime lennukis ristkülikukujuline süsteem koordinaadid ja joonistame argumendi väärtused abstsissteljele X, ja ordinaadil - funktsiooni väärtused y = f(x).

Funktsioonide graafik y = f(x) on kõigi punktide kogum, mille abstsissid kuuluvad funktsiooni määratluspiirkonda ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega.

Teisisõnu, funktsiooni y = f (x) graafik on tasandi kõigi punktide hulk, koordinaadid X, juures mis suhet rahuldavad y = f(x).

Joonisel fig. 45 ja 46 näitavad funktsioonide graafikuid y = 2x + 1 Ja y = x 2 - 2x.

Rangelt võttes tuleks eristada funktsiooni graafikut (täpne matemaatiline määratlus mis oli toodud ülal) ja joonistatud kõver, mis annab alati ainult graafiku enam-vähem täpse visandi (ja isegi siis reeglina mitte kogu graafikut, vaid ainult osa sellest, mis asub graafiku lõplikus osas. lennuk). Alljärgnevas räägime aga üldiselt pigem „graafikust“ kui „graafiku visand“.

Graafikut kasutades saate leida funktsiooni väärtuse punktis. Nimelt kui punkt x = a kuulub funktsiooni definitsiooni valdkonda y = f(x), seejärel numbri leidmiseks f(a)(st funktsiooni väärtused punktis x = a) peaksite seda tegema. See on vajalik läbi abstsisspunkti x = a tõmmake ordinaatteljega paralleelne sirgjoon; see joon lõikub funktsiooni graafikuga y = f(x)ühel hetkel; selle punkti ordinaat on graafiku definitsiooni kohaselt võrdne f(a)(joonis 47).

Näiteks funktsiooni jaoks f(x) = x 2 - 2x graafikut kasutades (joonis 46) leiame f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 jne.

Funktsioonigraafik illustreerib selgelt funktsiooni käitumist ja omadusi. Näiteks võttes arvesse joonist fig. 46 on selge, et funktsioon y = x 2 - 2x võtab positiivseid väärtusi, kui X< 0 ja kell x > 2, negatiivne - 0 juures< x < 2; väikseim väärtus funktsiooni y = x 2 - 2x võtab vastu kl x = 1.

Funktsiooni graafiku loomiseks f(x) peate leidma kõik tasapinna punktid, koordinaadid X,juures mis rahuldavad võrrandit y = f(x). Enamikul juhtudel on seda võimatu teha, kuna selliseid punkte on lõpmatu arv. Seetõttu on funktsiooni graafik kujutatud ligikaudu – suurema või väiksema täpsusega. Lihtsaim on graafiku joonistamise meetod, kasutades mitut punkti. See seisneb selles, et argument X anda lõplik number väärtused - ütle, x 1, x 2, x 3,..., x k ja koosta tabel, mis sisaldab valitud funktsiooni väärtusi.

Tabel näeb välja selline:

Pärast sellise tabeli koostamist saame funktsiooni graafikul visandada mitu punkti y = f(x). Seejärel ühendades need punktid sujuva joonega, saame ligikaudse ülevaate funktsiooni graafikust y = f(x).

Tuleb aga märkida, et mitme punkti joonistamise meetod on väga ebausaldusväärne. Tegelikult jääb teadmata graafiku käitumine kavandatud punktide vahel ja käitumine väljaspool lõiku võetud äärmuslike punktide vahel.

Näide 1. Funktsiooni graafiku loomiseks y = f(x) keegi koostas argumentide ja funktsioonide väärtuste tabeli:

Vastavad viis punkti on näidatud joonisel fig. 48.

Nende punktide asukoha põhjal järeldas ta, et funktsiooni graafik on sirgjoon (näidatud joonisel 48 punktiirjoonega). Kas seda järeldust võib pidada usaldusväärseks? Kui seda järeldust ei toetata täiendavaid kaalutlusi, ei saa seda pidada usaldusväärseks. usaldusväärne.

Meie väite põhjendamiseks kaaluge funktsiooni

.

Arvutused näitavad, et selle funktsiooni väärtused punktides -2, -1, 0, 1, 2 on täpselt kirjeldatud ülaltoodud tabelis. Selle funktsiooni graafik ei ole aga üldse sirge (see on näidatud joonisel 49). Teine näide oleks funktsioon y = x + l + sinπx; selle tähendusi on kirjeldatud ka ülaltoodud tabelis.

Need näited näitavad, et oma "puhtal" kujul on graafiku joonistamise meetod mitme punkti abil ebausaldusväärne. Seetõttu toimitakse antud funktsiooni graafiku koostamisel tavaliselt järgmiselt. Kõigepealt uurime selle funktsiooni omadusi, mille abil saame koostada graafiku visandi. Seejärel, arvutades funktsiooni väärtused mitmes punktis (mille valik sõltub funktsiooni kindlaksmääratud omadustest), leitakse graafiku vastavad punktid. Ja lõpuks joonistatakse selle funktsiooni omadusi kasutades läbi konstrueeritud punktide kõver.

Graafiku visandi leidmiseks kasutatavate funktsioonide mõningaid (kõige lihtsamaid ja sagedamini kasutatavaid) omadusi vaatleme hiljem, kuid nüüd vaatame mõningaid sagedamini kasutatavaid meetodeid graafikute koostamiseks.

Funktsiooni y = |f(x)| graafik.

Sageli on vaja funktsiooni joonistada y = |f(x)|, kus f(x) - antud funktsioon. Tuletame teile meelde, kuidas seda tehakse. Defineerides arvu absoluutväärtuse, saame kirjutada

See tähendab, et funktsiooni graafik y =|f(x)| saab graafikust, funktsioonist y = f(x) järgmiselt: kõik punktid funktsiooni graafikul y = f(x), mille ordinaadid ei ole negatiivsed, tuleks jätta muutmata; edasi funktsiooni graafiku punktide asemel y = f(x) omades negatiivseid koordinaate, peaksite funktsiooni graafikule konstrueerima vastavad punktid y = -f(x)(st osa funktsiooni graafikust
y = f(x), mis asub telje all X, peaks peegelduma sümmeetriliselt ümber telje X).

Näide 2. Joonistage funktsiooni graafik y = |x|.

Võtame funktsiooni graafiku y = x(joon. 50, a) ja osa sellest graafikust aadressil X< 0 (lamab telje all X) peegeldub sümmeetriliselt telje suhtes X. Selle tulemusena saame funktsiooni graafiku y = |x|(joonis 50, b).

Näide 3. Joonistage funktsiooni graafik y = |x 2 - 2x|.

Esiteks joonistame funktsiooni y = x 2 - 2x. Selle funktsiooni graafik on parabool, mille harud on suunatud ülespoole, parabooli tipul on koordinaadid (1; -1), selle graafik lõikub x-teljega punktides 0 ja 2. Intervallis (0; 2) funktsioon võtab negatiivsed väärtused, mistõttu see graafiku osa peegeldub sümmeetriliselt abstsisstelje suhtes. Joonisel 51 on näidatud funktsiooni graafik y = |x 2 -2x|, mis põhineb funktsiooni graafikul y = x 2 - 2x

Funktsiooni y = f(x) + g(x) graafik

Vaatleme funktsiooni graafiku koostamise probleemi y = f(x) + g(x). kui on antud funktsioonigraafikud y = f(x) Ja y = g(x).

Pange tähele, et funktsiooni y definitsioonipiirkond = |f(x) + g(x)| on kõigi nende x väärtuste hulk, mille jaoks on defineeritud nii funktsioonid y = f(x) kui ka y = g(x), st see definitsioonipiirkond on definitsioonivaldkondade, funktsioonide f(x) ristumiskoht. ja g(x).

Lase punktid (x 0, y 1) Ja (x 0, y 2) kuuluvad vastavalt funktsioonide graafikutesse y = f(x) Ja y = g(x), st y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Siis kuulub funktsiooni graafikusse punkt (x0;. y1 + y2). y = f(x) + g(x)(eest f(x 0) + g(x 0) = y 1 + y2),. ja mis tahes punkti funktsiooni graafikul y = f(x) + g(x) saab sel viisil. Seetõttu funktsiooni graafik y = f(x) + g(x) saab funktsioonigraafikutelt y = f(x). Ja y = g(x) asendades iga punkti ( x n, y 1) funktsioonigraafika y = f(x) punkt (x n, y 1 + y 2), Kus y 2 = g(x n), st iga punkti nihutades ( x n, y 1) funktsioonigraafik y = f(x) piki telge juures summa järgi y 1 = g(x n). Sel juhul võetakse arvesse ainult selliseid punkte X n, mille jaoks on defineeritud mõlemad funktsioonid y = f(x) Ja y = g(x).

See funktsiooni joonistamise meetod y = f(x) + g(x) nimetatakse funktsioonide graafikute liitmiseks y = f(x) Ja y = g(x)

Näide 4. Joonisel on graafikute liitmise meetodil konstrueeritud funktsiooni graafik
y = x + sinx.

Funktsiooni joonistamisel y = x + sinx me arvasime seda f(x) = x, A g(x) = sinx. Funktsioonigraafiku joonistamiseks valime punktid abstsissidega -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Väärtused f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Arvutame valitud punktides ja paneme tulemused tabelisse.

"Looduslik logaritm" - 0,1. Naturaallogaritmid. 4. Logaritmilised noolevisked. 0,04. 7.121.

“Power function grade 9” – U. Cubic parabool. Y = x3. 9. klassi õpetaja Ladoškina I.A. Y = x2. Hüperbool. 0. Y = xn, y = x-n kus n on antud naturaalarv. X. Eksponent on paaris naturaalarv (2n).

"Kvadraatfunktsioon" – 1 definitsioon ruutfunktsioon 2 Funktsiooni omadused 3 Funktsiooni graafikud 4 Ruutvõrratused 5 Järeldus. Omadused: Ebavõrdsused: Koostanud 8A klassi õpilane Andrey Gerlitz. Plaan: Graafik: - Monotoonsuse intervallid a > 0 korral a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

“Ruudfunktsioon ja selle graafik” - Lahendus.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-kuulub. Kui a=1, võtab valem y=ax kuju.

“8. klassi ruutfunktsioon” - 1) Ehitage parabooli tipp. Ruutfunktsiooni graafiku koostamine. x. -7. Koostage funktsiooni graafik. Algebra 8. klass Õpetaja 496 Bovina kool T.V. -1. Ehitusplaan. 2) Konstrueerige sümmeetriatelg x=-1. y.