Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine ruutvõrranditeks taandamise teel. Trigonomeetrilised võrrandid - valemid, lahendid, näited

Diferentseeritud ainepunkti teoreetiliste küsimuste lühikokkuvõte

1. kursuse õpilastele

Erialad 02.23.03 “Mootorsõidukite hooldus ja remont”

Võrrand. Võrrandi juur. Mida tähendab "võrrandi lahendamine"?

Võrrand on muutujat sisaldav võrrand.

Võrrandi juur on muutuja väärtus, mis võrrandiks asendamisel muudab selle tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Võrrandi lahendamine tähendab selle kõigi juurte leidmist või juurte puudumise tõestamist.

Võrrandisüsteem on kahe või enama võrrandi kogum, milles on kaks või enam tundmatut; Pealegi on ühe võrrandi lahendus samaaegselt ka kõigi teiste võrrandite lahendus.

Võrrandite liigid ja nende lahendus: lineaarne, ruut.

Lineaarvõrrandid on võrrandid kujul: ax + b = 0, kus a ja b on mingid konstandid. Kui a ei ole võrdne nulliga, on võrrandil üks juur: x = - b: a. Kui a on võrdne nulliga ja b on võrdne nulliga, on võrrandi ax + b = 0 juur suvaline arv. Kui a on võrdne nulliga ja b ei ole võrdne nulliga, siis võrrandil ax + b = 0 pole juuri.

Lineaarvõrrandite lahendamise meetodid

1) identiteedi teisendused

2) graafiline meetod.

Ruutvõrrand on vormi võrrand kirves 2 + bx + c= 0, kus koefitsiendid a, b Ja c- suvalised arvud, mille ≠ 0.

Olgu antud ruutvõrrand kirves 2 + bx + c= 0. Siis on diskriminandiks arv D = b 2 − 4ac.

1. Kui D < 0, корней нет;

2. Kui D= 0, on täpselt üks juur;

3. Kui D> 0, on kaks juurt.

Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil: Ruutvõrrandi juured. Liigume nüüd edasi lahenduse enda juurde. Kui diskrimineerija D> 0, saab juured leida valemite abil:

Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Võrrandi cos x = a lahendi üldvorm, kus | a | ≤ 1, määratakse järgmise valemiga:

x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (täisarvud), kusjuures | a | > 1 võrrandil cos x = a pole reaalarvude hulgas lahendeid.

Võrrandi sin x = a lahendi üldvorm, kus | a | ≤ 1, määratakse järgmise valemiga:

x = (- 1)k · arcsin(a) + πk, k ∈ Z (täisarvud), kusjuures | a | > 1 võrrandil sin x = a pole reaalarvude hulgas lahendeid.

Võrrandi tg x = a lahenduse üldkuju määratakse järgmise valemiga:

x = arctan(a) + πk, k ∈ Z (täisarvud).

Võrrandi cot x = a lahenduse üldvorm määratakse järgmise valemiga:

x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (täisarvud).

Lineaarsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Lineaarsed trigonomeetrilised võrrandid on kujul k*f(x) + b = 0, kus f(x) on trigonomeetriline funktsioon ning k ja b on reaalarvud.

Võrrandi lahendamiseks taandatakse see identsete teisenduste abil lihtsaimale kujule

Lineaarselt kombineeritud trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Lineaarsed kombineeritud trigonomeetrilised võrrandid on kujul f(kx + b) = a, kus f(x) on trigonomeetriline funktsioon, a, k ja b on reaalarvud.

Võrrandi lahendamiseks võetakse kasutusele uus muutuja y = kx + b. Saadud lihtsaim trigonomeetriline võrrand lahendatakse y jaoks ja tehakse pöördasendus.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine redutseerimisvalemite abil

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine trigonomeetriliste identiteetide abil

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, mis pole kõige lihtsamad, tehakse identsed teisendused järgmiste valemite abil:

Ruuttrigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Ruutarvuks taandavate võrrandite eristavad tunnused:

Võrrand sisaldab ühe argumendi trigonomeetrilisi funktsioone või on neid lihtne taandada üheks argumendiks.

Võrrandis on ainult üks trigonomeetriline funktsioon või kõik funktsioonid saab taandada üheks.

Lahenduse algoritm:

Asendamine on pooleli.

Avaldis teisendatakse.

Sisestage märge (näiteks sinx = y).

Lahendatakse ruutvõrrand.

Näidatud suuruse väärtus asendatakse ja trigonomeetriline võrrand on lahendatud

Peamised trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid on: võrrandite taandamine kõige lihtsamateks (kasutades trigonomeetrilisi valemeid), uute muutujate sisseviimine ja faktooring. Vaatame nende kasutamist näidetega. Pöörake tähelepanu trigonomeetriliste võrrandite lahenduste kirjutamise vormingule.

Trigonomeetriliste võrrandite eduka lahendamise vajalik tingimus on trigonomeetriliste valemite tundmine (6. töö 13. teema).

Näited.

1. Kõige lihtsamateks taandatud võrrandid.

1) Lahenda võrrand

Lahendus:

Vastus:

2) Leidke võrrandi juured

(sinx + cosx) 2 = 1 – segmenti kuuluv sinxcosx.

Lahendus:

Vastus:

2. Ruutarvuks taandavad võrrandid.

1) Lahendage võrrand 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Lahendus: Kasutades valemit sin 2 x = 1 – cos 2 x saame

Vastus:

2) Lahendage võrrand cos 2x = 1 + 4 cosx.

Lahendus: Kasutades valemit cos 2x = 2 cos 2 x – 1, saame

Vastus:

3) Lahendage võrrand tgx – 2ctgx + 1 = 0

Lahendus:

Vastus:

3. Homogeensed võrrandid

1) Lahendage võrrand 2sinx – 3cosx = 0

Lahendus: Olgu cosx = 0, siis 2sinx = 0 ja sinx = 0 – vastuolu sellega, et sin 2 x + cos 2 x = 1. See tähendab, et cosx ≠ 0 ja võrrandi saame jagada cosx-ga. Saame

Vastus:

2) Lahendage võrrand 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Lahendus:

Kasutame valemeid 1 = sin 2 x + cos 2 x ja sin 2x = 2 sinxcosx, saame

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Olgu cosx = 0, siis sin 2 x = 0 ja sinx = 0 – vastuolu sellega, et sin 2 x + cos 2 x = 1.
See tähendab, et cosx ≠ 0 ja saame võrrandi jagada cos 2 x-ga . Saame

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Tähistame tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

Vastus: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Vormi võrrandid a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Lahenda võrrand.

Lahendus:

Vastus:

5. Faktoriseerimisega lahendatud võrrandid.

1) Lahendage võrrand sin2x – sinx = 0.

Võrrandi juur f (X) = φ ( X) saab olla ainult number 0. Kontrollime seda:

cos 0 = 0 + 1 – võrdsus on tõene.

Arv 0 on selle võrrandi ainus juur.

Vastus: 0.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Tund ja ettekanne teemal: "Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Geomeetria ülesannete lahendamine. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.

Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arktangentsi ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.

Trigonomeetrilised võrrandid on võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:

1) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:

3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk

5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk

Kõigi valemite puhul on k täisarv

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: T(kx+m)=a, T on mingi trigonomeetriline funktsioon.

Näide.

Lahendage võrrandid: a) sin(3x)= √3/2

Lahendus:

A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:

Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Pöördume tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.

Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.

Lahendage võrrandid: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lahendus:

A) Liigume seekord otse võrrandi juurte arvutamise juurde:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk

Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.

B) Kirjutame selle kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.

Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendist kõik juured.

Lahendus:

Lahendame oma võrrandi üldkujul: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Punktis k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis.
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabame uuesti.
K=2 puhul x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et suure k puhul me ilmselgelt ka ei taba.

Vastus: x= π/16, x= 9π/16

Kaks peamist lahendusmeetodit.

Vaatasime lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid, kuid on ka keerulisemaid. Nende lahendamiseks kasutatakse uue muutuja sisseviimise meetodit ja faktoriseerimise meetodit. Vaatame näiteid.

Lahendame võrrandi:

Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mis tähistab: t=tg(x).

Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0

Leiame ruutvõrrandi juured: t=-1 ja t=1/3

Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saame lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Näide võrrandi lahendamisest

Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lahendus:

Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Meie võrrand on kujul: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2

Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.

Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Definitsioon: võrrandeid kujul a sin(x)+b cos(x) nimetatakse esimese astme homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks.

Vormi võrrandid

teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagage see cos(x)-ga: Koosinusega ei saa jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii ei oleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei võrdu korraga nulliga, saame vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.

Lahenda võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Lahendus:

Võtame välja ühisteguri: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:

Cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 juures x= π/2 + πk;

Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, järgige alati neid reegleid!

1. Vaata millega võrdub koefitsient a, kui a=0, siis saab meie võrrand kujul cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), mille lahenduse näide on eelmisel slaidil

2. Kui a≠0, siis peate jagama võrrandi mõlemad pooled koosinuse ruuduga, saame:

Muudame muutujat t=tg(x) ja saame võrrandi:

Lahenda näide nr:3

Lahenda võrrand:
Lahendus:

Jagame võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga:

Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Leiame ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1

Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Lahenda näide nr:4

Lahenda võrrand:

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Lahenda näide nr.:5

Lahenda võrrand:

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2

Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Probleemid iseseisvaks lahendamiseks.

1) Lahenda võrrand

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lahendage võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].

3) Lahendage võrrand: võrevoodi 2 (x) + 2 võrevoodi (x) + 1 =0

4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Tunni teema: Trigonomeetrilised võrrandid, mis on taandatavad ruutkeskseteks homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks.

Tunni tüüp: Kombineeritud õppetund.

Tunni eesmärgid:

Tutvustada homogeensete ruutsuurusteks taandatavate trigonomeetriliste võrrandite mõistet;
Tutvustada 1. ja 2. astme trigonomeetriliste võrrandite mõistet;
Arendada õpilastes oskust lahendada vaadeldud võrrandeid algtasemel.

Arendada analüüsi- ja järelduste tegemise oskust;
Arendada eneseanalüüsi ja kontrolli oskust.

Kasvatada vastutustunnet;
Arendada oskusi töötada meeskonnas.
Tunnivarustus: plakatid, kaardid, enesehinnangud, kaartide komplekt iseseisvaks tööks, signaalkaardid.

Tunni struktuur:

1. Organisatsioonietapp.

2. Kodutööde kontrollimise etapp.

3. Õpilaste ettevalmistamise etapp uue materjali aktiivseks ja teadlikuks omastamiseks. Sissejuhatus tunni teemasse. Eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

4. Uute teadmiste assimilatsiooni etapp.

5. Õpilaste uuest materjalist arusaamise kontrollimise etapp.

6. Uue materjali konsolideerimise etapp.

7. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp.

8. Põhjaliku teadmiste kontrollimise etapp.

9. Kokkuvõtete tegemine. Peegeldus.

1. Organisatsioonietapp .

valmistada õpilasi ette tööks tunnis.

2. Kodutööde kontrollimise etapp .

teha kindlaks kodutööde olemasolu ja õigsus kõigi õpilaste poolt.

3. Õpilaste ettevalmistamise etapp uue materjali aktiivseks ja teadlikuks omastamiseks.

probleemsituatsiooni loomisega viia õpilased uut tüüpi trigonomeetriliste võrranditeni. Õpetaja juhib õpilaste tähelepanu magnettahvlile, kus asuvad mitme trigonomeetrilise võrrandiga kaardid, ja palub neil näidata, kuidas neid lahendada.

1) cos (4x-2) = 2

3) cos 2 x-2cosx=0

5) 8 sin 2 x-6 sin x-5=0

6)8 cos 2 2x+6 sin 2x-3=0

7) 2sin x- 3 cos x=0

9)3 sin 2 x- 4sin x cos x +cos 2 x=0

Õpilased vaatavad hoolikalt magnettahvlit ja selgitavad, kuidas seda või teist võrrandit lahendada. Kui õpetajal kommentaare pole, eemaldatakse magnettahvlilt ülaltoodud võrrandiga kaart.

Tehtud töö tulemusena jäid võrrandid magnettahvlile, õpilased ei leidnud võimalust nende lahendamiseks. (nr 5, 7)

4. Uute teadmiste assimilatsiooni etapp.

Tutvustada mõistet “Ruudtarvuliseks taandatavad trigonomeetrilised võrrandid”;

tutvustada mõistet “ruutarvuks taandatavad trigonomeetrilised võrrandid”;
tutvustada homogeensete trigonomeetriliste võrrandite mõistet;
analüüsida 1. ja 2. astme homogeensete trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid;
saavutada homogeensete trigonomeetriliste võrrandite vormi määramise oskus;
valdama üldtehnikaid ruut- ja homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks taandatavate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.

Õpetaja nimetab allesjäänud võrrandite tüübid ja kutsub õpilasi üles kirjutama tunni teemat „Rugtruudusteks taandamise teel lahendatud trigonomeetrilised võrrandid. 1. ja 2. astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid."

Õpetaja teeb tahvlile märkmeid ja õpilased kirjutavad vihikusse:

Trigonomeetrilised võrrandid, mis on lahendatud ruutvõrranditeks taandamise teel.

1) Võrrandid kujul A×sin2 t +B×sin t + C = 0, kus A ¹ 0, lahendatakse ruutarvuks redutseerimise teel, asendades sin t = y (võrrandid kuludega, tg t, сtg t on lahendatud sarnaselt).

2) Võrrandid kujul A×sin2 t +B×cos t + C = 0. Lahendamisel kasutatakse peamist trigonomeetrilist identiteeti sin2 t = 1 - cos2 t.

3) sin 2 t = a, a= . 4) cos 2 t = a, a= .

5) tg 2 t = a, a= . 6) võrevoodi 2 t = a, a=

Täpsemalt analüüsitakse võrrandi nr 5, 4 lahendit.. Võrrandi nr 6 lahendamine viiakse läbi klassi aktiivsel osalusel. Võrrandi nr 8 lahendamiseks kutsutakse õpilast (valikuline).

1. ja 2. astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Võrrandit, milles igal liikmel on sama aste, nimetatakse homogeenseks.

1) Võrrandeid kujul A×sin t +B×cos t = 0, kus A ¹ 0, B ¹ 0, nimetatakse 1. astme homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks. Need lahendatakse, jagades mõlemad pooled arvuga cos t ¹ 0. Meil on A× tg t + B = 0.

2) Võrrandeid kujul A×sin2 t +B sin t×cos t + С×cos2 t = 0 nimetatakse 2. astme homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks. Need lahendatakse, jagades mõlemad pooled arvuga cos2 t ¹ 0. Meil on A× tg2 t + B× tg t + C = 0.

Õpetaja lahendab võrrandi nr 7, koos üksikasjaliku selgitusega. Võrrandi nr 9 lahendamisel seob küsimuste abil õpilasi aktiivse tööga. Pärast võrrandi taandamist kujule 3tg2 t - 4 tg t + 1 = 0, kutsub õpilasi soovi korral tahvli juurde minema ja saadud võrrandit lahendama.

Õpilaste uuest materjalist arusaamise kontrollimise etapp.

Ülesanne: teha kindlaks, kas õpilased on õppinud lahendama uut tüüpi võrrandeid.

SFZ (iseseisev töö teadmiste kujundamisel).

Määrake võrrandi tüüp ja näidake, kuidas seda lahendada.

2)5 sin 3x+4cos3x=0 ;

3) sin 2 x+14sinx*cosx-15cos 2 x=0;

4) 1 + 7cos2 x + 3sin2 x = 0;

5)sin2x+sin 2 x=0 .

6. Uue materjali konsolideerimise etapp.

Ülesanne: kinnistada õpilastes tunnis saadud teadmisi ja oskusi.

Õpetaja palub õpilastel lahendada tahvlil järgmised võrrandid:

7. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp.

Ülesanded: teavitada õpilasi kodutöödest, anda lühijuhised selle täitmiseks.

vaata üle märkmed oma märkmikusse;
analüüsida lahendust näidetele nr 1 - 6 õpikust, lk 78 - 79.
täielik nr 167a), b); nr 168 b); nr 169a); nr 170v).
Tugevad õpilased saavad numbrite 167, 168 asemel lahendada võrrandi:

15*(sin 2 x+sin x+ cos 2 2x) 2 +17+31sinx

8. Põhjaliku teadmiste kontrollimise etapp.

Eesmärgid: panna igakülgselt proovile õpilaste teadmised tunnis käsitletuga sarnaste võrrandite lahendamisel, arendada eneseanalüüsi ja kontrolli oskusi.

SFN (iseseisev töö oskuste arendamisel).

Lahendage võrrandid.

Valik 1.

2. võimalus

3. võimalus

4. võimalus

9. Kokkuvõtteid tehes. Peegeldus.