Potentsiaali ja väljatugevuse vaheline seos. Antud laengujaotuse potentsiaal

kus k on proportsionaalsuskoefitsient

q1,q2 statsionaarsed punktlaengud

r laengute vaheline kaugus

3. Elektrivälja tugevus- vektor füüsiline kogus, mis iseloomustab elektrivälja antud punktis ja on arvuliselt võrdne paigalseisvale katselaengule mõjuva jõu suhtega. see punkt väljad, selle laengu suurusele: .

Pinge elektriväli punktlaeng

[redigeeri] SI ühikutes

Elektrostaatika punktlaengu puhul kehtib Coulombi seadus

Elektrivälja tugevus juhuslik jaotus süüdistused

Vastavalt diskreetsete allikate komplekti väljatugevuse superpositsiooni põhimõttele on meil:

kus igaüks on

4. Superpositsiooni põhimõte- üks üldisemaid seadusi paljudes füüsikaharudes. Kõige lihtsamas sõnastuses ütleb superpositsiooni põhimõte:

· mitmeosalise osakese löögi tulemus välised jõud on nende jõudude mõju vektorsumma.

Kõige kuulsam superpositsiooniprintsiip on elektrostaatikas, milles ta seda väidab pinget elektrostaatiline väli, mis on antud punktis laengute süsteemiga loodud, on üksikute laengute väljatugevuste summa.

Superpositsiooni printsiip võib võtta ka teisi formulatsioone, mis täiesti samaväärne eespool:

· Kahe osakese vaheline interaktsioon ei muutu, kui sisestatakse kolmas osake, mis samuti interakteerub kahe esimesega.

· Paljude osakeste süsteemi kõigi osakeste vastasmõju energia on lihtsalt energiate summa paari interaktsioonid kõigi võimalike osakeste paaride vahel. Mitte süsteemis paljude osakeste vastastikmõju.

· Paljude osakeste süsteemi käitumist kirjeldavad võrrandid on lineaarne osakeste arvu järgi.

See on lineaarsus fundamentaalne teooria vaadeldavas füüsika valdkonnas on põhjust superpositsiooni printsiibi ilmnemiseks selles.

Elektrostaatikas Superpositsiooniprintsiip tuleneb asjaolust, et Maxwelli võrrandid vaakumis on lineaarsed. Sellest järeldub, et laengute süsteemi elektrostaatilise vastasmõju potentsiaalset energiat saab kergesti arvutada, arvutades iga laengupaari potentsiaalse energia.

5. Elektriväljatööd.

6. Elektrostaatiline potentsiaal võrdne suhtega potentsiaalne energia laengu vastastikmõju väljaga selle laengu suurusele:

Elektrostaatilise välja tugevus ja potentsiaal on omavahel seotud

7. Elektrostaatiliste väljade superpositsiooni põhimõte Erinevatest laengutest tulenevad jõud või väljad liidetakse nende asukohta või suunda (vektorit) arvestades. See väljendab väljade või potentsiaalide superpositsiooni põhimõtet: mitme laengu väljapotentsiaal on võrdne algebraline summaüksikute laengute potentsiaalid, φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi. Potentsiaali märk langeb kokku laengu märgiga, φ=kq/r.

8. Laengu potentsiaalne energia elektriväljas. Jätkame kehade gravitatsioonilise vastasmõju ja laengute elektrostaatilise vastasmõju võrdlust. Kehamass m Maa gravitatsiooniväljas on potentsiaalne energia.
Gravitatsiooni poolt tehtav töö on võrdne potentsiaalse energia muutusega, mis on võetud vastupidine märk:

A = -(W p2- W p1) = mgh.

(Edaspidi tähistame energiat tähega W.)
Täpselt nagu massiline keha m gravitatsiooniväljas on potentsiaalne energia võrdeline keha massiga, elektrilaeng elektrostaatilises väljas omab potentsiaalset energiat W p, võrdeline laenguga q. Elektrostaatiliste väljajõudude töö A võrdne laengu potentsiaalse energia muutusega elektriväljas vastupidise märgiga:

9. Teoreem pingevektori tsirkulatsiooni kohta integraalkujul:

IN diferentsiaalne vorm:

10. Potentsiaali ja pinge suhe. E= - grad = -Ñ .

Intensiivsus elektrivälja mis tahes punktis on võrdne selle punkti potentsiaalse gradiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga. Miinusmärk näitab, et pinge E suunatud potentsiaali kahanemisele

11. Pingevektori vool.

Gaussi teoreem integraalkujul: Kus

· - elektriväljatugevuse vektori voolamine läbi suletud pinna.

· - pinda piiravas mahus sisalduv kogulaeng.

· - elektriline konstant.

See avaldis esindab Gaussi teoreemi integraalkujul.

Diferentsiaalsel kujul: Siin - puistetiheduse laeng (kandja juuresolekul vabade ja seotud tasude kogutihedus) ning on jälgitav operaator.

12. Gaussi seaduse rakendamine.1. Loodud elektrostaatilise välja tugevus ühtlaselt laetud sfääriline pind.

Laske raadiusega R sfäärilisel pinnal (joon. 13.7) ühtlaselt kanda jaotatud laeng q, st. pinnatihedus laeng sfääri mis tahes punktis on sama.

a. Märgime oma sfäärilise pinna sümmeetrilisse pinda S raadiusega r>R. Pinna S läbiv pingevektori voog on võrdne

Gaussi teoreemi järgi

Seega

c. Joonistame läbi punkti B, mis asub laetud sfäärilise pinna sees, kera S raadiusega r

Ühtlaselt laetud lõpmatu sirgjoonelise keerme väljatugevus(või silinder).

Oletame, et raadiusega R õõnes silindriline pind on laetud konstantse joontihedusega.

Joonistame koaksiaalse raadiusega silindrilise pinna, mille pingevektori vool läbi selle pinna

Gaussi teoreemi järgi

Kahest viimasest avaldisest määrame välja ühtlaselt laetud niidi tekitatud väljatugevuse:

See avaldis ei sisalda koordinaate, seetõttu on elektrostaatiline väli ühtlane ja selle intensiivsus igas välja punktis on sama.

13. ELEKTRIDIPOL.

Elektriline dipool- kahe mooduli poolest võrdse vastassuunalise punktlaengu () süsteem, mille vaheline kaugus on oluliselt väiksem vaadeldavate väljapunktide kaugusest.
Dipoolne käsi- vektor, mis on suunatud piki dipooltelge (sirge, mis läbib mõlemat laengut) negatiivsest laengust positiivsele ja võrdub laengute vahelise kaugusega .
Elektriline dipoolmoment (dipoolmoment):
.

Dipoolvälja potentsiaal:

Dipoolvälja tugevus suvalises punktis (vastavalt superpositsiooni põhimõttele):

kus ja on vastavalt positiivsete ja negatiivsete laengute tekitatud väljatugevused.

Dipoolvälja tugevus piki dipooltelje pikendust punktis A:
.
Dipooli väljatugevus teljega risti tõstetud keskpunktist punktis B:
.

Aleksander Nikolajevitš karusnahad Valgevene Riiklik Ülikool, Independence Ave., 4, 220030, Minsk, Valgevene Vabariik

annotatsioon

Coulombi kalibreerimisel arvutatakse laengute ja voolude suvalise jaotuse väljapotentsiaalid. On näidatud, et vektori potentsiaali ei määra mitte ainult voolutiheduse väärtused aeglustunud aegadel, vaid ka laengutiheduse muutuste ajalugu ajavahemikul, mida piiravad aeglustunud ja vooluhetked. Saadakse Lienard-Wiecherti potentsiaalide erinevad esitused Coulombi gabariidis. Neid rakendatakse ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuva punktlaengu korral.

Autori elulugu

Aleksander Nikolajevitš karusnahad, Valgevene Riiklik Ülikool, Independence Ave., 4, 220030, Minsk, Valgevene Vabariik

füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, dotsent; Füüsikateaduskonna teoreetilise füüsika ja astrofüüsika osakonna professor

Kirjandus

1. Landau L. D., Lifshits E. M. Väljateooria. M., 1973.
2. Jackson J. Klassikaline elektrodünaamika. M., 1965.
3. Bredov M. M., Rumjantsev V. V., Toptygin I. N. Klassikaline elektrodünaamika. M., 1985.
4. Heitler V. Kiirguse kvantteooria. M., 1956.
5. Ginzburg V.L. Teoreetiline füüsika ja astrofüüsika. Täiendavad peatükid. M., 1980.
6. Wundt B. J., Jentschura U. D. Lorenzi ja Coulombi gabariidi allikad, potentsiaalid ja väljad: liikuvate punktlaengute hetkeliste interaktsioonide tühistamine // Ann. Phys. 2012. Vol. 327, nr 4. Lk 1217–1230.
7. Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Kvantelektrodünaamika. M., 1969.

Märksõnad

Mõõdiku invariantsus, Lorentzi ja Coulombi mõõdikud, aeglustunud potentsiaalid, Lienard-Wiecherti potentsiaalid

Autorid säilitavad teose autoriõigused ja annavad ajakirjale õiguse teose esmaavaldamiseks Creative Commonsi omistamis-mitteärilise litsentsi tingimuste alusel. 4.0 rahvusvaheline (CC BY-NC 4.0).
Autorid jätavad endale õiguse sõlmida eraldi lepingulisi kokkuleppeid siin avaldatud teose versiooni mitteeksklusiivseks levitamiseks (nt paigutamine institutsionaalsesse repositooriumisse, avaldamine raamatus), viidates selle algsele avaldamisele selles ajakirjas.
Autoritel on õigus postitada oma tööd veebis (näiteks institutsioonilisele repositooriumile või isiklikule veebisaidile) enne ajakirja läbivaatamise protsessi ja selle ajal, kuna see võib kaasa tuua tulemusliku arutelu ja selle töö rohkem tsitaate. (cm.

Üksiku positiivse punktlaengu väljatugevus q punktis A distantsil r laengust (joon. 2.1) on võrdne

Siin on ühikvektor, mis on suunatud piki seda punkti ja laengut ühendavat sirget.

Joonis 2.1. Punktmaksu väli

Olgu potentsiaal lõpmatuses null. Siis suvalise punkti potentsiaal punktlaengu väljas

Mahulise laengu jaotuse korral (lõplikus piirkonnas), võttes arvesse meil on:

Samamoodi on meil:

pinnalaengu jaotamiseks ,

lineaarse laengu jaotuse jaoks .

Poissoni ja Laplace'i võrrand

Varem saadud
. Seejärel:

Kust saame Poissoni võrrandi:

või .

- operaator Laplace(Laplacian, delta operaator).

Descartes'i koordinaatsüsteemis saab esitada kujul

Poissoni võrrandi lahendusüldkuju võib leida järgmiselt. Oletame, et mahu järgi V on laenguid tihedusega r. Esitagem need tasud punkttasude r kogumina dV, Kus dV- helitugevuse element. Potentsiaalne komponent d j elektriväli elementaarlaengust r dV võrdub .

J väärtus on määratletud kui kõigi väljalaengute potentsiaalide summa (integraal):

Eeldatakse, et potentsiaal lõpmatuses on null ja välju loovad laengud jaotuvad piiratud alal (muidu võib integraal osutuda lahknevaks).

Reaalsetes tingimustes paiknevad vabad laengud juhtide pinnal lõpmata õhukese kihina. Laetud juhte eraldavates dielektrikutes ruumilaenguid ei esine . Sel juhul on meil dielektrikus Laplace'i võrrand:

või .

Diferentsiaalvälja võrrandite ainulaadseks lahendamiseks on vaja piirtingimusi.

Elektriväljavektorite piirtingimused

Olgu pinnalaeng tihedusega σ jaotunud kahe erineva dielektrilise konstandiga ε 1 ja ε 2 dielektriku vahelisel liidesel.

Ümbritseme kandjatevahelise liidese punkti elementaarse silindriga ( silindri kõrgus palju väiksem kui raadius) nii, et selle alused asuvad erinevates keskkondades ja on risti kõnealuses punktis tõmmatud normaaliga (joonis 2.2). See silinder katab väikese ala laenguga σ kandjate vahel.

Tähistame esimese ja teise kandja elektrilisi nihke vektoreid vastavalt ja .

Rakendame Gaussi teoreemi silindri pinnale

Kus S— elementaarsilindri pind.

Joon.2.2. Elektrilise nihke vektorid kandja piiril

Suuname silindri ruumala nulli tingimusel, et silindri kõrgus on palju väiksem kui selle raadius. Sel juhul võib külgpinda läbiva vektori voolu tähelepanuta jätta. Arvestades baaspindade väiksust, võime eeldada, et selle ala sees olev vektor on sama väärtusega. Seda arvesse võttes saame pärast vektori projektsioonide integreerimist normaalsele

Võttes arvesse, et , pärast redutseerimist saame elektrilise nihkevektori normaalkomponendi piirtingimuse

Dn 2 –Dn 1 = σ . (**)

Elektrilise nihkevektori normaalne projektsioon kahe kandja liidesel läbib hüppe, mis on võrdne sellel liidesel jaotatud vabade laengute pinnatihedusega.

Kui meediumite vahelisel liidesel puudub pinnalaeng, on meil .

Kahe dielektriku vahelises liideses on vaba laengu puudumisel kahe kandja liideses elektrilise nihkevektori normaalsed komponendid võrdsed.

Valime kandja liideses väikese kontuuri nii, et selle küljed ab Ja CD olid erinevates keskkondades ja olid vaadeldavas punktis tõmmatud normaaliga risti (joonis 2.3). Külgede mõõtmed kipuvad nulli, kontuur vastab tingimusele.

Joon.2.3. Elektrivälja tugevuse vektorid keskkonna piiril

Rakendame kontuurile Maxwelli teist võrrandit terviklikul kujul:

kus on kontuuriga piiratud pindala abcd; on alaga risti suunatud elementaarala vektor.

Integreerimisel jätame tähelepanuta külgmiste külgede integraali panuse da Ja eKr nende väiksuse tõttu. Seejärel:

Kuna lõplik väärtus kipub nulli, siis

(***)

Kahe dielektriku vahelises liideses on elektrivälja tugevuse vektori tangentsiaalsed komponendid võrdsed.

Kui kandjatevahelisel liidesel puudub pinnalaeng,

Avaldised (*) ja (***) saame seose, mis määrab vektorite murdumise ja kandjatevahelise liidese

Punktmaksu väli.

Olgu siis üks punktlaeng q. See on sfäärilise sümmeetria erijuhtum. Meil on valem: , kus
– laeng raadiusega sfääri sees r, aga kui laeng on punkt, siis punktlaeng
, iga r. On selge, miks mis tahes raadiuses sfääri sees jääb punkt punktiks. Ja punktitasu eest
. See on punktlaengu väli. Punktlaengu välja potentsiaal:
.

Punktlaengute süsteemi väli. Superpositsiooni põhimõte.

Lubame kehtestada tasude süsteemi
, siis on punktlaengute süsteemi poolt mis tahes punktis loodud väljatugevus võrdne iga laengu tekitatud tugevuste summaga. Võiksin kohe kirjutada
, kui oskaksite valemeid lugeda. Õppige valemeid narratiivselt lugema. Lae korrutada vektoriga
, ja jagada selle vektori mooduliga ning mis on vektori moodul, on pikkus. Kogu see asi annab vektori, mis on suunatud mööda vektorit
.

See, et väljad liidetakse, pole sugugi ilmne. See on Maxwelli võrrandite lineaarsuse tagajärg. Võrrandid on lineaarsed . See tähendab, et kui leiate kaks lahendust, siis need liidetakse. Kas on väljasid, mille puhul superpositsiooniprintsiip ei kehti? Seal on. Gravitatsiooniväli, mitte Newtoni teoorias, vaid õiges, ei rahulda superpositsiooni põhimõtet. Maa loob mingil hetkel teatud pinge. Luna ka. Nad asetasid Maa ja Kuu, pinge ühes punktis ei ole võrdne pingete summaga. Väljavõrrand ei ole lineaarne; füüsiliselt tähendab see, et gravitatsiooniväli on selle allikas. Niisiis. See on kõik, see on läbi.

Eelmisel korral peatusime tasusüsteemi tekitatud valdkonna arutamisel. Ja nägime, et iga laengu poolt antud punktis eraldi tekitatud väljad summeeruvad. Samas rõhutasin, et see pole just kõige ilmsem – see on elektromagnetilise vastasmõju omadus. Füüsiliselt on see tingitud sellest, et väli ise ei ole allikas, formaalselt on see võrrandite lineaarsete omaduste tagajärg. On näiteid füüsilistest väljadest, mis on nende allikaks. See tähendab, et kui see väli on mingis mahus olemas, loob see välja enda ümbritsevas ruumis, formaalselt väljendub see selles, et võrrandid ei ole lineaarsed. Kirjutasin sinna pingevalemi
, kirjutame potentsiaali jaoks veel ühe valemi.

Punkttasude süsteemi potentsiaal.

JA Olemas on tasusüsteem
jne. Ja siis mingi hetk kirjutame järgmise valemi:
. Nii et see on potentsiaali retsept. Pinge võrdub pingete summaga, potentsiaal võrdub potentsiaalide summaga.

Z Märge. Peaaegu alati on arusaadavatel põhjustel mugavam arvutada pigem potentsiaali kui pinget: pinge on vektor ja vektoreid tuleb liita vektori liitmise reegli järgi, no rööpküliku reegel, see tegevus on muidugi igavam kui arvude liitmine, on potentsiaal skalaarsuurus. Seetõttu otsime peaaegu alati, kui meil on piisavalt tihe laengujaotus, potentsiaali ja seejärel leiame väljatugevuse valemi abil:
. 1)

Suvalise piiratud laengujaotusega loodud väli 1).

Mida tähendab siin epiteet "piiratud"? Asjaolu, et laeng on lokaliseeritud ruumi lõplikus piirkonnas, see tähendab, et saame selle laengu katta suletud pinnaga nii, et väljaspool seda pinda poleks laengut. On selge, et füüsika seisukohalt pole see piirang, noh, ja tõepoolest, me tegeleme peaaegu alati ainult piiratud jaotustega; sellist olukorda pole, et laeng oleks hajutatud üle universumi, see on koondunud teatud alad.

IN

Probleem seisnebki selles: ala on hõivatud laenguga, elektrilaeng on sellel alal laiali, me peame seda laengut täielikult iseloomustama ja leidma välja, mille see loob. Mida tähendab laengujaotuse täielik iseloomustamine? Võtame mahuelemendi
, määrab selle elemendi asukoht raadiuse vektoriga , selles elemendis on tasu
. Välja leidmiseks peame teadma ruumala iga elemendi laengut, see tähendab, et me peame teadma laengu tihedust igas punktis. See on funktsioon
esitatud, meie jaoks iseloomustab see ammendavalt laengu jaotust; me ei pea midagi muud teadma.

Olgem selles valdkonnas huvitatud . Ja siis superpositsiooni põhimõte. Saame tasu lugeda dq, mis asub selles mahuelemendis, punkt 2). Saame kohe kirjutada avaldise potentsiaali kohta, mille see element sellel hetkel loob:
, see on elemendi poolt punktis loodud potentsiaal . Ja nüüd on selge, et siinkohal leiame kõik elemendid kokku võttes kogu potentsiaali. Noh, kirjutame selle summa integraaliks:
. 3)

See retsept töötab suurepäraselt iga laengu jaotuse korral, peale integraali arvutamisega pole probleeme, kuid arvuti arvutab sellise summa. Väljatugevus leitakse:
. Integraali arvutamisel leitakse pinge lihtsalt diferentseerimise teel.

kus igaüks on

Asendades saame:

Pideva jaotuse korral on see sarnane:

Kus V- ruumi piirkond, kus laengud paiknevad (nullist erinev laengutihedus) või kogu ruum, - punkti raadiuse vektor, mille jaoks arvutame, - allika raadiuse vektor, mis läbib piirkonna kõiki punkte ^V integreerimisel, dV- mahu element.

Nimetatakse elektrivälja, mille intensiivsus on mis tahes ruumipunktis sama suuruse ja suunaga ühtlane elektriväli .

Elektriväli kahe vastassuunaliselt laetud tasase metallplaadi vahel on ligikaudu ühtlane. Pingutusjooned ühtlases elektriväljas on üksteisega paralleelsed

Elektrilaengu ühtlase jaotusega qüle ala pinna S pinnalaengu tihedus on konstantne ja võrdne

4. Potentsiaal elektrostaat väljad. Ekvipotentsiaal pinnale Ur-e varustada. pinnale

Elektrostaatiline väli on valitud võrdlusraamis liikumatute laengute elektriväli. Elektrostaatilise välja peamised omadused on intensiivsus ja potentsiaal. Potentsiaalne el.stat mis tahes punktis. väli on füüsikaline suurus, mille määrab sellesse punkti paigutatud positiivse laengu potentsiaalne energia.

Kahe punkti potentsiaalide erinevus on võrdne ühikulise positiivse laengu liigutamisel punktist 1 punkti 2 tehtud tööga.

Sageli on mugav võtta nullpotentsiaaliks lõpmatult kauge ruumipunkti potentsiaal. potentsiaal– elektrostaatilisele väljale iseloomulik energia. Kui laengute süsteemi potentsiaalse energia nulltase on tinglikult valitud lõpmatuseni, siis avaldis esindab välisjõu tööd ühe positiivse laengu liigutamiseks lõpmatusest vaadeldavasse punkti B: ;

Pinda, mille kõigis punktides on elektrivälja potentsiaal ühesugused, nimetatakse ekvipotentsiaalpinnaks.

Ekvipotentsiaalpinna mis tahes kahe punkti vahel on potentsiaalide erinevus null, seega on elektrivälja jõudude töö laengu mis tahes liikumisel piki potentsiaaliühtlustuspinda null. See tähendab, et jõuvektor Fe mis tahes punktis laengu trajektooril piki ekvipotentsiaalpinda on kiirusvektoriga risti. Järelikult on elektrostaatilise väljatugevuse jooned potentsiaaliühtlustuspinnaga risti.

Kui potentsiaal on antud funktsioonina koordinaatidest (x, y, z), siis on ekvipotentsiaalpinna võrrand järgmine:

φ(x, y, z) = konst

Punktelektrilaengu välja ekvipotentsiaalpinnad on sfäärid, mille keskel laeng paikneb. Ühtlase elektrivälja ekvipotentsiaalpinnad on pingejoontega risti asetsevad tasapinnad.

5. Pinge ja potentsiaali seos. Punktlaengu ja produktsiooni väljapotentsiaalid. tasu kehad. Tugev. homogeenne väli.

Leiame seose elektrostaatilise välja intensiivsuse, mis on selle võimsuskarakteristiku, ja potentsiaali vahel, mis on välja energiakarakteristik.

Ühe punkti positiivse laengu liigutamine ühest punktist teise piki x-telge eeldusel, et punktid asuvad üksteisele lõpmatult lähedal, on võrdne A = Exdxq0. Sama töö on võrdne A=(1-2)q0=-d Võrdsustades mõlemad avaldised, saame kirjutada

Ex=-d/dx. Samamoodi Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Seetõttu E= Exi+ Eyj+ Ezk, kus i, j, k on koordinaattelgede x, y, z ühikvektorid. Siis st väljatugevus E võrdub miinusmärgiga potentsiaalse gradiendiga. Miinusmärgi määrab asjaolu, et väljatugevuse vektor E on suunatud potentsiaali vähenemise suunas.

Elektrostaatilise välja potentsiaali jaotuse graafiliseks kujutamiseks, nagu nullgravitatsiooni korral, kasutatakse ekvipotentsiaalipindu - pindu, mille kõigis punktides on potentsiaal  sama väärtusega.

Kui väli luuakse punktlaengu abil, siis selle potentsiaal vastavalt =(1/40)Q/r. Seega on ekvipotentsiaalpinnad antud juhul kontsentrilised sfäärid.

Teisest küljest on punktlaengu korral pingejooned radiaalsed sirged. Järelikult on pingejooned punktlaengu korral risti potentsiaaliühtlustuspindadega.

^ Punktlaenguvälja potentsiaal K homogeenses isotroopses keskkonnas dielektrilise konstandiga :

Ühtlane väljapotentsiaal:
φ = W p / q = -E x x + C
Potentsiaali väärtus antud punktis sõltub potentsiaali mõõtmise nulltaseme valikust. See tase valitakse meelevaldselt.

6. elektrostaadi jõudude töö. väljad punktitasu ülekandmiseks. Tsirkulatsiooni ja rootori elektrostaat. Väljad

Jõu F jõuga tehtav elementaartöö punktelektrilaengu qpr liigutamisel elektrostaatilise välja ühest punktist teise teelõigul dl on definitsiooni järgi võrdne

kus on nurk jõuvektori F ja liikumissuuna dl vahel. Kui tööd teevad välised jõud, siis dA=0. Viimase avaldise integreerimisel saame, et väljajõudude vastu suunatud töö katselaengu qpr liigutamisel punktist "a" punkti "b" on võrdne...

kus on katselaengule qpr mõjuv Coulombi jõud välja igas punktis intensiivsusega E. Siis töö...

Laeng liigub laenguväljas q punktist “a”, mis on q-st kaugel, punkti “b”, mis on q-st kaugel (joonis 1.12).

Nagu jooniselt näha, siis saame

Nagu eelpool mainitud, on välisjõudude vastu sooritatud elektrostaatilise välja jõudude töö suuruselt võrdne ja märgilt vastupidine välisjõudude tööle, mistõttu

Elektrostaatiliste jõudude töö piki suletud ahelat on null. need. elektrostaatilise välja ringlus piki mis tahes vooluringi on null. Võtame suvalise pinna S, kontuuri alusel G.

Stokesi teoreemi järgi: kuna see kehtib iga pinna kohta

On olemas identiteet: . need. elektrostaatilised jõujooned ei ringle ruumis.

7. Gaussi t-ma vektorvälja E(r) jaoks. Lahknevus Elektrostaat. Väljad. Ur-e Poisson potentsiaali eest. Elektrostaat. Väljad

^ Gaussi teoreem- elektrodünaamika põhiteoreem, mida kasutatakse elektriväljade arvutamiseks. See väljendab suhet elektrivälja tugevuse voolu läbi suletud pinna ja selle pinnaga piiratud ruumala laengu vahel.

Elektriväljatugevuse vektori vool läbi mis tahes suvaliselt valitud suletud pinna on võrdeline sellel pinnal sisalduva elektrilaenguga. , kus Gaussi teoreemi puhul kehtib superpositsiooni printsiip ehk intensiivsusvektori vool läbi pinna ei sõltu laengujaotusest pinna sees.

Gaussi teoreemi elektrostaatilise väljatugevuse vektori kohta saab formuleerida ka diferentsiaalkujul. Tõepoolest, mõelge koordinaatide alguspunktis paikneva punkti elektrilaengu väljale: Seosest järeldub

Lihtne on kontrollida, et , st vaatluspunkti puhul, kus puudub elektrilaeng, kehtib järgmine seos: (1.55) Seose (1.55) vasakpoolsel matemaatilisel tehtel on erinimetus “vektorivälja lahknevus ja eritähis

Poissoni võrrand- elliptiline osadiferentsiaalvõrrand, mis muu hulgas kirjeldab elektrostaatilist välja. See võrrand näeb välja selline:

kus Δ on Laplace'i operaator või Laplacian ja f- mõne sordi tegelik või kompleksne funktsioon.

Kolmemõõtmelises Descartes'i koordinaatsüsteemis on võrrand järgmine:

Descartes'i koordinaatsüsteemis on Laplace'i operaator kirjutatud kujul ja Poissoni võrrand on kujul: Kui f kipub nulli, siis Poissoni võrrand muutub Laplace'i võrrandiks: kus F on elektrostaatiline potentsiaal, mahulise laengu tihedus ja vaakumi dielektriline konstant.

Ruumi piirkonnas, kus puudub paaritu laengutihedus, on meil: =0 ja potentsiaali võrrand muutub Laplace'i võrrandiks:

Elektrostaatiline väli on väli, mis tekib ruumis paigalseisvate ja ajas muutumatute elektrilaengute poolt (elektrivoolude puudumisel).

Kui ruumis on laetud kehade süsteem, siis selle ruumi igas punktis on jõuline elektriväli. See määratakse sellele väljale asetatud katselaengule mõjuva jõu kaudu. Katselaeng peab olema väike, et see ei mõjutaks elektrostaatilise välja omadusi.

Superpositsiooni põhimõttest tulenevalt on kogu laengute potentsiaal võrdne välja antud punktis iga laengu poolt eraldi tekitatud potentsiaalide summaga: *

Suurust nimetatakse laengusüsteemi elektriliseks dipoolmomendiks.

^ Elektriline dipoolmoment või lihtsalt dipoolmoment laengute süsteem q i on laengute suuruste ja nende raadiusvektorite korrutiste summa.

Tavaliselt tähistatakse dipoolmomenti ladina tähega d või ladina tähega p.

Dipoolmoment on neutraalsete süsteemide uurimisel füüsikas äärmiselt oluline. Elektrivälja mõju neutraalsele laengute süsteemile ja neutraalsüsteemi poolt tekitatud elektrivälja määrab eelkõige dipoolmoment. See kehtib eriti aatomite ja molekulide kohta.

Nimetatakse nullist erineva dipoolmomendiga laengute neutraalseid süsteeme dipoolid.

Omadused:Ülalmääratletud summaarne dipoolmoment sõltub võrdlusraamist. Neutraalse süsteemi puhul on kõigi laengute summa aga null, seega kaob sõltuvus võrdluskaadrist.

Dipool ise koosneb kahest absoluutväärtuselt võrdsest, kuid vastassuunalisest laengust + q ja -q, mis asuvad üksteisest teatud kaugusel r. Dipoolmoment on siis absoluutväärtuselt võrdne qr-ga ja on suunatud positiivsest laengust negatiivsele. Tihedusega pideva laengujaotuse korral määratakse dipoolmoment integreerimise teel

9. Dipool välises elektrostaadis. Väli. Dipoolile mõjuva jõu moment, potentsiaal. Dipooli energia ühtlases väljas.

Elektridipool on süsteem, mis koosneb kahest võrdse suurusega vastandlikust punktlaengust ja , mille vaheline kaugus on oluliselt väiksem kui nende punktide kaugus, milles süsteemi väli määratakse. Mõlemat laengut läbivat sirget nimetatakse dipoolteljeks. Vastavalt superpositsiooni põhimõttele on väljapotentsiaal mingis punktis A võrdne: .

Olgu punkt A valida nii, et pikkus on palju väiksem kui vahemaad ja . Sel juhul võime eeldada, et ; ja dipoolpotentsiaali valemi saab ümber kirjutada:	kus on nurk dipooli telje ja dipoolist tõmmatud punkti A suuna vahel. Töö on nn elektriline dipoolmoment või dipoolmoment. Vektor on suunatud piki dipooltelge negatiivsest laengust positiivsele. Seega on valemis olev korrutis dipoolmoment ja vastavalt:

Dipoolile mõjuv jõumoment välises elektriväljas.

Asetame dipooli elektrivälja. Laske dipooli suunal moodustada intensiivsusvektori suunaga teatud nurk. Negatiivsele laengule mõjub välja vastu suunatud jõud ja positiivsele laengule piki välja suunatud jõud. Need jõud moodustuvad paar jõudu pöördemomendiga: vektorkujul:

^ Dipool ühtlases välisväljas pöörleb pöördemomendi mõjul selliselt, et dipooli positiivsele laengule mõjuv jõud langeb suunaliselt kokku dipooli vektori ja teljega. See säte vastab

10. Elektrostaadi dielektrikud. Väli. Polarisatsiooni vektorid ja el. Tasumised. Diel. Vastuvõtlik Ja läbinägelik. kolmapäeviti. Nendevaheline seos.

Dielektrikud on ained, millel praktiliselt puuduvad vabad laengukandjad. Seetõttu ei juhi nad voolu, laengud ei kandu üle, vaid on polariseeritud. dielektrikud on molekulaarstruktuuriga ained, mille sees olevate laengute ühendusjõud on suuremad kui välisvälja jõud ning nad on ühendatud, molekulide sees suletud ja välisväljas nihkuvad vaid osaliselt, põhjustades polarisatsiooni.

Välise elektrostaatilise välja olemasolul dielektrilised molekulid deformeeruvad. Positiivne laeng nihkub välisvälja suunas ja negatiivne laeng vastupidises suunas, moodustades dipooli - seotud laengu. Dipoolmolekulidega dielektrikutes on nende elektrimomendid välisvälja mõjul osaliselt orienteeritud välja suunas. Enamiku dielektrikute puhul langeb polarisatsioonivektori suund kokku välise väljatugevuse vektori suunaga ja polariseeritud laengu tugevuse vektori suund on vastupidine välise väljatugevuse vektori suunale (alates + K Kellele - K).

Polarisatsioonivektor määratud dipoolide elektrimomentide geomeetrilise summaga ruumalaühiku kohta. Enamiku dielektrikute puhul, kus k on suhteline dielektriline vastuvõtlikkus.

Kasutatakse ka elektriarvutustes elektrilise nihke (induktsiooni) vektor:,kus .Vektor oleneb nii vabadest kui seotud laengutest.

Dielektriline konstant keskkond ε näitab, mitu korda on kahe elektrilaengu vastasmõju keskkonnas väiksem kui vaakumis. Dielektriline tundlikkus (polariseeritavus) aine - füüsikaline suurus, aine polariseerumisvõime mõõt elektrivälja mõjul. Polariseeritavus on seotud dielektrilise konstandi ε suhtega: , või.

11. Gaussi meetodid vektoriväljade P(r) ja D(r) jaoks integraalis. Ja def. Vormid

Gaussi teoreem vektori kohta: polarisatsioonivektori voog läbi suletud pinna on võrdne dielektriku liigseotud laenguga, mis on võetud vastupidise märgiga pinnaga kaetud ruumalas.

Diferentsiaalvorm: polarisatsioonivektori lahknemine on võrdne samas punktis vastupidise märgiga võetud liigse seotud laengu mahutihedusega.

Punktid, kus on välja allikad (millest väljajooned lahknevad) ja vastupidi, punktid, kus on välja vajud.

Tihedus; , Millal:

1) - dielektrik on ebahomogeenne; 2) - väli on ebaühtlane.

Kui homogeenne isotroopne dielektrik on polariseeritud, ilmnevad ainult pinnaga seotud laengud, kuid mitte ruumalaenguid.

^ Gaussi teoreem vektori D jaoks

Elektrilise nihkevektori D voog läbi suletud pinna S võrdub selle pinnaga piiratud mahus paiknevate vabade laengute algebralise summaga, st (1)

Kui see ei sõltu koordinaatidest (isotroopne keskkond), siis

Võrrandist (1) järeldub, et kui laeng asub väljaspool suletud pinnaga piiratud mahtu S, vektori D voog läbi pinna S on null.

Gaussi-Ostrogradski teoreemi rakendamine (1) vasakule küljele ja väljendamine q mahulise laengutiheduse p kaudu saame:

Kuna helitugevus valitakse meelevaldselt, on integrandid võrdsed:

Diferentsiaalne vorm Gaussi-Ostrogradski teoreem (2-78) väidab, et elektrilise nihkevektori allikateks on elektrilaengud. Nendes ruumipiirkondades, kus p = 0, ei ole elektrilise nihke vektori allikaid ja seetõttu pole väljajoontel katkestusi, kuna div D = 0. Kandjate puhul, mille absoluutne dielektriline konstant ei sõltu koordinaatidest, võime kirjutada:

Metalljuhid sisaldavad vabu laengukandjaid – juhtivuselektrone (vabad elektronid), mis võivad välise elektrivälja mõjul liikuda kogu juhi ulatuses. Välisvälja puudumisel on juhtivuselektronide ja positiivsete metalliioonide elektriväljad vastastikku kompenseeritud. Kui välisesse elektrostaatilisesse välja viia metalljuht, siis selle välja mõjul jaotuvad juhtivuselektronid juhis ümber selliselt, et mis tahes punktis juhi sees kompenseerib juhtivuse elektronide ja positiivsete ioonide elektriväli väline väli.

^ Elektrostaatilise induktsiooni nähtus nimetatakse laengute ümberjaotumiseks juhis välise elektrostaatilise välja mõjul. Sel juhul tekivad juhile laengud, mis on arvuliselt üksteisega võrdsed, kuid märgilt vastandlikud - indutseeritud (indutseeritud) laengud, mis kaovad kohe, kui juht elektriväljast eemaldatakse.

Kuna juhi sees E=-grad phi=0, on potentsiaal konstantne väärtus. Kompenseerimata laengud paiknevad juhis ainult selle pinnal.

Kui neutraaljuht asetatakse välisvälja, hakkavad liikuma vabad laengud: positiivsed laengud piki välja ja negatiivsed laengud välja vastu. Juhi ühes otsas on positiivseid laenguid ja teises negatiivseid laenguid. Lõpuks muutub juhi sees olev väljatugevus nulliks ja juhist väljapoole jäävad väljatugevusjooned on selle pinnaga risti.

^ Üksikjuhi elektriline võimsus.

Ühe juhi võimsus määrab laeng, mille sõnum juhile muudab oma potentsiaali ühe võrra. С=Q/.

palli eest raadius R

Kondensaatorid.

Kondensaatorid on seadmed, mis on võimelised koguma märkimisväärseid laenguid. Kondensaatori mahtuvus on füüsikaline suurus, mis on võrdne kondensaatorisse kogunenud laengu Q suhtega selle plaatide potentsiaalide erinevusse. C=Q/( 1 - 2). lameda koonuse jaoks.

Paralleelühendusega vooluahelate puhul on potentsiaalide erinevus sama, järjestikku ühendatud ahelate puhul on kõigi plaatide laengud võrdse suurusega.

14.Laetud kondensaatori energia. Elektrostaatilise välja energia ja energiatihedus.

Nagu igal laetud juhil, on ka kondensaatoril võrdne energia

W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) kus Q on kondensaatori laeng, C on selle mahtuvus,  on plaatide potentsiaalide erinevus.

Avaldise (1) abil saame leida mehaanilise jõu, millega kondensaatoriplaadid üksteist tõmbavad. Selleks eeldame, et plaatide vaheline kaugus x muutub näiteks väärtuse Ax võrra. Siis toimiv jõud töötab dA=Fdx, süsteemi potentsiaalse energia vähenemise tõttu

Fdx=-dW, kust F=dW/dx. (2)

Konkreetse energiaväärtuse järgi eristades leiame vajaliku jõu:

kus miinusmärk näitab, et jõud F on tõmbejõud.

^ Elektrostaatilise välja energia.

Teisendame valemi (1), mis väljendab lamekondensaatori energiat laengute ja potentsiaalide kaudu, kasutades lamekondensaatori mahtuvuse (C = 0/d) ja selle plaatide potentsiaalide erinevust () =Ed). Siis saame

kus V=Sd on kondensaatori maht. See f-la näitab, et kondensaatori energiat väljendatakse elektrostaatilist välja iseloomustava suuruse - intensiivsuse E kaudu.

Elektrostaatilise välja mahuline energiatihedus(energia ruumalaühiku kohta)

w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95,8)

Avaldis (95.8) kehtib ainult isotroopse dielektriku kohta, mille puhul

seos P=0E on täidetud.

Valemid (1) ja (95.7) seostavad kondensaatori energiat selle plaatide laengu ja väljatugevusega.

Elektromagnetväli - elektromagnetvälja tensor.
^ Magnetilise induktsiooni vektor.

Magnetilise induktsiooni vektor on magnetvälja kvantitatiivne tunnus.

Ühtlase magnetvälja magnetilise induktsiooni määrab maksimaalne pöördemoment, mis magnetiga raamile mõjub. hetk, mis on võrdne ühtsusega, kui normaal on välja suunaga risti.

^ Magnetväljade superpositsiooni põhimõte : kui magnetvälja tekitavad mitmed vooluga juhid, siis on magnetilise induktsiooni vektor selle välja mis tahes punktis võrdne selles punktis iga vooluga eraldi tekitatud magnetinduktsioonide vektorite summaga:

Lorentzi jõud.

Elektrile mõjuv jõud laeng Q liigub mag. välja kiirusega v nimetatakse Lorentzi jõuks. F=Q. Lorentzi jõu suund määratakse vasaku käe reegliga. Magnetväli puhkeolekus laengule ei mõju. Kui liikuval laengul lisaks magnetilisele. väljad kehtivad el. välja, siis on saadud jõud võrdne jõudude vektorsummaga. F=QE+Q.

Lorentzi jõumoodul on võrdne magnetvälja induktsioonimooduli B(vektori) korrutisega, milles laetud osake asub, selle osakese laengumooduli q, selle kiiruse υ ning kiirussuundade ja kiirussuundade vahelise nurga siinuse korrutisega. magnetvälja induktsioonivektor.Kuna Lorentzi jõud on osakeste kiirusvektoriga risti, siis see ei saa muuta kiiruse väärtust, vaid muudab ainult suunda ja seetõttu ei tööta.

^ Laetud osakeste liikumine magnetväljas.

Kui laetud osake liigub magnetvälja. väli on risti vektoriga B, siis on Lorentzi jõud konstantse suurusega ja normaalne osakese trajektoori suhtes.

^ Elekter on laetud osakeste järjestatud liikumine juhis. Selle tekkeks tuleb esmalt tekitada elektriväli, mille mõjul hakkavad liikuma ülalmainitud laetud osakesed.

^ Ohmi seadus-Voolutugevus vooluahela homogeenses sektsioonis on otseselt võrdeline sektsioonile rakendatud pingega ja pöördvõrdeline selle sektsiooni elektritakistusega.

Voolutugevus on skalaarne füüsikaline suurus, mis on määratud teatud aja jooksul Δt juhi ristlõiget läbiva laengu Δq suhtega sellesse perioodi.