Kirjutage üles diferentsiaalvõrrandite lahenduste põhisüsteem. Lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensed süsteemid

vaata ka Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamine võrgus
Otsing põhisüsteem lahendused sisse üldine juhtum on üsna raske ülesanne. Siiski on võrrandite klass, mille puhul saab selle probleemi üsna lihtsalt lahendada. Nüüd hakkame seda klassi õppima.
(*)

Lineaarne diferentsiaalvõrrand(*) nimetatakse võrrandiks konstantsed koefitsiendid, kui selles võrrandis olevad koefitsiendid on konstantsed, st a i (x)=konst. Siis on vastav homogeenne võrrand L(y)=0 kujul
. (6)
Otsime võrrandi (6) lahendit kujul y = erx. Siis y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . Asendades (6), saame

Kuna e rx ei kao kuhugi, siis
. (7)
Võrrandit (7) nimetatakse konstantsete koefitsientidega lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi tunnusvõrrandiks.
Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi. Teoreem. Funktsioon y = e rx on konstantsete koefitsientidega (6) lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendus siis ja ainult siis, kui r on karakteristikavõrrandi (7) juur.
Võimalikud on järgmised juhtumid.
1. Kõik iseloomuliku polünoomi juured on reaalsed ja erinevad. Tähistame neid r 1 ,r 2 ,…,r n . Siis saame n erinevat lahendust
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
võrrand (6). Tõestame, et saadud lahenduste süsteem on lineaarselt sõltumatu. Vaatleme selle Wronsky määrajat

.

Tegur e (r 1+ r 2+..+ rn) x W(e r 1 x, e r 2 x,…, e rnx) paremal küljel ei kao kuhugi. Seetõttu jääb üle näidata, et teine ​​tegur (determinant) ei ole võrdne nulliga. Oletame, et

Siis on selle determinandi read lineaarselt sõltuvad, st on olemas sellised arvud α 1, α 2, ..., α n, et
Seega saime, et r i , i = 1,2,..,n on n erinevad juured(n-1) astme polünoom, mis on võimatu. Järelikult ei ole paremal pool olev determinant W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) võrdne nulliga ja funktsioonide süsteem (8) moodustab võrrandi (6) lahendite põhisüsteemi. kui tunnusvõrrandi juured on erinevad.

Näide. Võrrandi y""-3y" + 2y=0 korral on iseloomuliku võrrandi r 2 - 3r + 2 = 0 juured r 1 = 1, r 2 = 2 (juured leiti leidmisteenuse kaudu Diskriminant) Järelikult koosneb põhilahenduste süsteem funktsioonidest y 1 = e x, y 2 = e 2 x ja ühine otsus kirjutatuna y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. Karaktervõrrandi juurte hulgas on kordsed. Oletame, et r 1 on kordsusega α ja kõik teised on erinevad. Vaatleme esmalt juhtumit r 1 = 0. Siis iseloomulik võrrand paistab nagu

kuna muidu poleks see paljususe α juur. Seetõttu on diferentsiaalvõrrandil vorm
see tähendab, et see ei sisalda α-st madalama järgu tuletisi. Seda võrrandit täidavad kõik funktsioonid, mille tuletised järku α ja kõrgemad on nulliga. Eelkõige on need kõik polünoomid, mille aste ei ole kõrgem kui α-1, näiteks
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
Näitame seda see süsteem lineaarselt sõltumatu. Olles koostanud selle funktsioonisüsteemi Wronski determinandi, saame

.

See on määraja kolmnurkse välimusega nullist erineva elementidega põhidiagonaalil. Seetõttu erineb see nullist, mis tõestab funktsioonide süsteemi (9) lineaarset sõltumatust. Pange tähele, et ühes eelmises lõigus toodud näites tõestasime funktsioonide süsteemi (9) lineaarset sõltumatust erineval viisil. Olgu nüüd kordsusvõrrandi α juureks arv r 1 ≠0. Teeme võrrandis (6) asendus y = z r 1 x = z exp(r 1 x) L(y) = 0. Siis

ja nii edasi. Asendades saadud tuletiste väärtused algsesse võrrandisse, saame jällegi lineaarse homogeense võrrandi konstantsete koefitsientidega
(0)
iseloomuliku võrrandiga
. (1)
Pange tähele, et kui k on iseloomuliku võrrandi (1) juur, siis z = e kx on võrrandi (0) lahend ja y = y r 1 x = e (k + r 1) x on võrrandi ( 6). Siis r=k+r 1 on tunnusvõrrandi (7) juur. Teisest küljest võib võrrandi (6) saada võrrandist (0) pöördasendusega z = ye - r 1 x ja seetõttu vastab iga karakteristiku võrrandi (7) juur juurele k = r - r 1 tunnusvõrrand (1). Seega on iseloomulike võrrandite (7) ja (1) juurte vahel loodud üks-ühele vastavus ning ühe võrrandi erinevad juured vastavad mitmesugused juured teine. Kuna r = r 1 on võrrandi (7) paljususe α juur, siis võrrandis (1) on kordsuse α juureks k=0. Varem tõestatu kohaselt on võrrandil (0) α lineaarselt sõltumatud lahendid
mis vastavad α lineaarselt sõltumatutele lahenditele
(2)
võrrand (7). Lisades saadud lahenduste süsteemi (2) karakteristiku võrrandi ülejäänud juurtele vastavatele n-α lahenditele, saame mitmekordse olemasolu korral konstantse koefitsiendiga lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi põhilahenduste süsteemi. juured.
Näide. Võrrandi y"""-4y""+4y" = 0 korral on iseloomuliku võrrandi r 3 -4r 2 + 4r = 0 juured r=0 kordsest 1 ja r=2 kordsest 2, kuna r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2, seega on algvõrrandi põhilahenduste süsteem funktsioonide süsteem y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x ja üldlahend on kujul y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. Karaktervõrrandi juurte hulgas on keerulised juured. Võite kaaluda keerulisi lahendusi, kuid reaalsete koefitsientidega võrrandite puhul pole see eriti mugav. Leiame keerukatele juurtele vastavad reaalsed lahendused. Kuna me käsitleme reaalkordajatega võrrandit, siis iga karakteristikavõrrandi kordsuse α kompleksjuure r j = a+bi korral on selle võrrandi kompleksarvu r k = a-bi ka selle võrrandi kordsuse α juur. Nendele juurtele vastavad lahendite paarid on funktsioonid ja , l=0,1,.., α-1. Nende lahenduste asemel vaatleme nende lineaarseid kombinatsioone 3. Võrrandi y (4) + 8y"" + 16y =0 korral on iseloomuliku võrrandi r 4 +8r 2 +16=0 r 1 = 2i, r 2 = -2i kordsusega 2, kuna r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2, seega on algvõrrandi põhilahenduste süsteem funktsioonide süsteem y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x , y 4 = xsin2x ja üldlahend on kujul y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x.

Teist järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Teist järku diferentsiaalvõrrand on kujul .

Definitsioon. Teist järku võrrandi üldlahendus on funktsioon, mis on mis tahes väärtuse korral selle võrrandi lahendus.

Definitsioon. Teist järku lineaarset homogeenset võrrandit nimetatakse võrrandiks. Kui koefitsiendid on konstantsed, s.o. ei sõltu , siis nimetatakse seda võrrandit konstantsete koefitsientidega võrrandiks ja see kirjutatakse järgmiselt: .

Võrrand nimetame seda lineaarseks mittehomogeenseks võrrandiks.

Definitsioon. Võrrand, mis saadakse lineaarsest homogeenne võrrand funktsiooni asendamist ühega ja ja vastavate astmetega nimetatakse karakteristikuks.

On teada, et ruutvõrrandil on lahendus sõltuvalt diskriminandist: , st. kui , siis juured ja on tõelised erinevad numbrid. Kui siis. Kui, st. , siis on kujuteldav arv ning juured ja - kompleksarvud. Sel juhul nõustume tähistama .

Näide 4. Lahenda võrrand.

Lahendus. Selle diskrimineerija ruutvõrrand, Sellepärast .

Näitame, kuidas leida homogeense teist järku lineaarvõrrandi üldlahend, kasutades karakteristikavõrrandi juurte kuju.

Kui on iseloomuliku võrrandi tegelikud juured, siis .

Kui tunnusvõrrandi juured on samad, s.o. , siis otsitakse valemi abil diferentsiaalvõrrandi üldlahendust või .

Kui karakteristikul võrrandil on keerulised juured, siis.

Näide 5. Leidke võrrandi üldlahend.

Lahendus. Loome sellele diferentsiaalvõrrandile iseloomuliku võrrandi: . Selle juured on kehtivad ja erinevad. Seega üldine lahendus .

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahenduste põhisüsteem. Teoreem lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendite üldlahenduse struktuuri kohta. Selles osas tõestame, et homogeense võrrandi osalahenduste lineaarruumi aluseks võib olla mis tahes hulk n selle lineaarselt sõltumatud lahendused.
Def. 14.5.5.1. põhiline lahenduste süsteem. Fundamentaalne lahenduste süsteem lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand n -ndas järjestus on mis tahes lineaarne sõltumatu süsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) tema n privaatsed lahendused.
Lause 14.5.5.1.1 lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse struktuuri kohta. Ühine otsus y (x ) lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi funktsioonide lineaarne kombinatsioon selle võrrandi põhilahenduste süsteemist:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Dokument. Lase y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) on lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi põhilahenduste süsteem. See on vajalik iga konkreetse lahenduse tõestamiseks y mida ( x ) sisaldub valemis y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) teatud konstantide komplekti jaoks C 1 , C 2 , …, Cn . Võtame suvalise punkti, arvutame selle punkti arvud ja leiame konstandid C 1 , C 2 , …, Cn lineaarse lahendusena homogeenne süsteem algebralised võrrandid

Selline lahendus on olemas ja ainulaadne, kuna selle süsteemi determinant on võrdne . Mõelge lineaarsele kombinatsioonile y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) funktsioonid põhilahenduste süsteemist nende konstantide väärtustega C 1 , C 2 , …, Cn ja võrrelge seda funktsiooniga y mida ( x ). Funktsioonid y (x ) Ja y mida ( x ) vastavad ühele võrrandile ja samale esialgsed tingimused punktis x 0, seetõttu langevad need Cauchy probleemi lahenduse ainulaadsuse tõttu kokku: y mida ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Teoreem on tõestatud.
Sellest teoreemist järeldub, et pidevate kordajatega homogeense võrrandi osalahenduste lineaarruumi mõõde ei ületa n . Jääb üle tõestada, et see mõõde ei ole väiksem kui n .
Lause 14.5.5.1.2 lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendite fundamentaalse süsteemi olemasolu kohta. Mis tahes lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand n pidevate koefitsientidega järjekorras on fundamentaalne lahenduste süsteem, s.t. süsteem alates n lineaarselt sõltumatud lahendused.
Dokument. Võtame suvalise arvulise determinandi n -th järk, ei võrdu nulliga

Jätkame oma tehnoloogia lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne süsteem lineaarvõrrandid .
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid selline mulje on petlik. Lisaks edasiarendus tehnikaid tuleb palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta selle artikli näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati järjepidev st sellel on alati lahendus. Ja esiteks jääb silma nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendusest üldse aru ei saa, tähendab ilma eputamist. Muidugi mitte akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ...Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja elementaarsete teisenduste abil viia selleni astmeline vaade. Pange tähele, et siin pole vaja vertikaalset riba ja vabade terminite nulli veergu üles kirjutada - lõppude lõpuks jäävad need nullideks, ükskõik mida te nullidega teete:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja taotlemine vastupidine löök Gaussi meetodil on lihtne veenduda, et lahendus on ainulaadne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on ainult triviaalne lahendus , Kui süsteemimaatriksi auaste(V sel juhul 3) võrdne muutujate arvuga (antud juhul – 3 tükki).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete teisenduste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Algoritmi lõplikuks konsolideerimiseks analüüsime viimast ülesannet:

Näide 7

Lahendage homogeenne süsteem, kirjutage vastus vektorkujul.

Lahendus: kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

(1) Esimese rea märk on muudetud. Veelkord juhin tähelepanu korduvalt kohatud tehnikale, mis võimaldab järgmist tegevust oluliselt lihtsustada.

(1) 2. ja 3. reale lisati esimene rida. Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati 4. reale.

(3) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on eemaldatud.

Tulemuseks on standard sammumaatriks, ja lahendus jätkub piki rihveldatud rada:

– põhimuutujad;
- vabad muutujad.

Väljendame põhimuutujaid vabade muutujatena. 2. võrrandist:

- asendage 1. võrrand:

Seega on üldine lahendus:

Kuna vaadeldavas näites on kolm vaba muutujat, sisaldab põhisüsteem kolme vektorit.

Asendagem väärtuste kolmik üldlahendisse ja saada vektor, mille koordinaadid rahuldavad homogeense süsteemi iga võrrandi. Ja veel kord kordan, et on väga soovitatav kontrollida iga vastuvõetud vektorit - see ei võta palju aega, kuid see kaitseb teid täielikult vigade eest.

Väärtuste kolmiku eest leida vektor

Ja lõpuks kolmele saame kolmanda vektori:

Vastus: , Kus

Need, kes soovivad vältida murdarvud võiks kaaluda kolmikuid ja saada vastus samaväärsel kujul:

Rääkides murdosadest. Vaatame ülesandes saadud maatriksit ja küsigem endalt: kas edasist lahendust on võimalik lihtsustada? Lõppude lõpuks väljendasime siin kõigepealt põhimuutujat murdude kaudu, seejärel murdude kaudu põhimuutujat ja pean ütlema, et see protsess ei olnud kõige lihtsam ja mitte kõige meeldivam.

Teine lahendus:

Mõte on proovida vali muud baasmuutujad. Vaatame maatriksit ja märkame kolmandas veerus kahte. Miks siis mitte olla ülaosas null? Teeme veel ühe elementaarse teisenduse:

n-ndat järku LDE - ur-e, lineaarne tundmatu funktsiooni ja selle tuletiste suhtes ning on kujul

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ (x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g (x)- (1) ur-e antud kujul

*kui y 1 on LOU lahend, siis C y 1, kus C on suvaline konstant, on ka selle võrrandi lahendus.

*LOE y 1 + y 2 lahendite summa on sama taseme lahendus.

1 0 Lineaarne kombinatsioon suvaliste lahenduskonstantidega y 1 , y 2 ,…, y m LOU on sama võrrandi lahend.

*kui LOU (1) reaalkoefitsientidega p i (x)∈R on terviklik lahendus y(x)=u(x)+iv(x), siis selle lahendi reaalosa Rey=u(x) ja selle mõtteline osa Imy=v(x) on eraldi sama võrrandi lahendid.

Funktsioonid y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) nimetatakse lineaarselt sõltuv mingil intervallil (a,b), kui neid on konstandid a1,a2,…,an≠0 nii, et intervalli (a,b) kõigi x-ide puhul on identsus a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + on tõene a n y n (x)=0. Kui funktsioonid on lineaarselt sõltuvad, siis vähemalt üks neist on teiste lineaarne kombinatsioon.

Kui identiteet kehtib ainult a1=a2=…=an=0 korral, siis kutsutakse funktsioonid y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) lineaarselt sõltumatu intervallil (a,b).

*kui funktsioonid y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) lineaarselt sõltuv intervallil (a,b), siis determinant (Vronski saar)

W(x)=W= =0 sellel intervallil.

Seisund lineaarne iseseisvus privaatsed lahendused:

* kui lineaarselt sõltumatud funktsioonid y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) on LOE (1) lahendid, mille koefitsiendid p i (x) on pidevad intervallil (a,b), siis kompileeritakse nende jaoks Wronski determinant ei ole vahemikus (a,b) üheski punktis 0.

LOU (1) üldlahend pidevate koefitsientidega p i (x) punktil (a,b) (i=1,2,...,n) on lineaarne kombinatsioon y oo = n lineaarselt sõltumatut osalahendit y i samal intervall suvaliste konstantsete koefitsientidega .

1 0 LOU lineaarselt sõltumatute lahendite maksimaalne arv on võrdne selle järjestusega.

FSR- mis tahes n sõltumatut osalist lahendavat n-ndat järku LOU-d.

*y on =y oo +y chn

Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse struktuur. Suvaliste konstantide muutmise meetod konkreetse lahenduse leidmiseks n-ndat järku lineaarsele mittehomogeensele diferentsiaalvõrrandile.

LPDE-d lahendatakse suvaliste konstantide muutmise meetodil. Kõigepealt leitakse üldine lahendus homogeenne võrrand , millel on originaaliga sama vasak külg ebahomogeenne võrrand. Siis leitakse võrrandi lahend kujul, s.o. Eeldatakse, et konstandid C on sõltumatu muutuja x f-mi. Sel juhul saab süsteemi lahendusena saada funktsioonid C ​​1 (x) ja C 2 (x)

U ta = u oo + u chn

võrrandi lahendite maksimaalne arv on võrdne selle järjekorraga.

ühine otsus

44*. Konstantsete koefitsientidega lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand. Iseloomulik polünoom ja tunnusvõrrand. Juhtumi põhimõttelise lahendussüsteemi konstrueerimine lihtsad juured iseloomulik polünoom (reaalne ja kompleksne).

Võrrand kujul y"+p(x)y=f(x), kus p(x), f(x) on pidevad funktsioonid intervallil a

Kui f(x)= 0, siis nimetatakse võrrandit homogeenseks.

Kui LO-s ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Kõik koefitsiendid pi on konstantsed, siis võib selle osalahendid leida kujul y=e kx, kus k on konstant. Asendamine ur

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Vähendades e kx võrra saame nn Iseloomulik tase

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

See n-nda astme võrrand määrab need k väärtused, mille juures y=e kx on algse konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandi lahendus.

1.k 1 , k 2 ,…,k n – tõeline ja erinev

FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m = k ~ ,

k ~ - m - ur-i mitmekordne juur ja kõik muud n-m juured on erinevad

FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x

Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse!!!

Et mõista, mis see on põhimõtteline otsustussüsteem klõpsates saate vaadata sama näite videoõpetust. Liigume nüüd kõigi vajalike tööde tegeliku kirjelduse juurde. See aitab teil selle probleemi olemust üksikasjalikumalt mõista.

Kuidas leida lineaarvõrrandi põhilahenduste süsteem?

Võtame näiteks järgmise lineaarvõrrandisüsteemi:

Leiame sellele lineaarsele võrrandisüsteemile lahenduse. Alustuseks me peate välja kirjutama süsteemi koefitsientide maatriksi.

Teisendame selle maatriksi kolmnurkseks. Esimese rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on alla $a_(11)$, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(21)$ asemel peate lahutama teisest reast esimese ja kirjutama erinevuse teisele reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemele tuleb lahutada esimene kolmandast realt ja kirjutada erinevus kolmandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(41)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada esimene korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Elemendi $a_(31)$ asemel nulli tegemiseks peate viiendast realt lahutama esimese korrutatud 2-ga ja kirjutama erinevuse viiendale reale.

Esimese ja teise rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on alla $a_(22)$, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(32)$ asemele tuleb kolmandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus kolmandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(42)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(52)$ asemele tuleb viiendast realt lahutada teine ​​korrutatud 3-ga ja kirjutada erinevus viiendale reale.

Me näeme seda kolm viimast rida on samad, nii et kui lahutate neljandast ja viiendast kolmanda, muutuvad need nulliks.

Selle maatriksi järgi kirjutage uus võrrandisüsteem.

Näeme, et meil on ainult kolm lineaarselt sõltumatut võrrandit ja viis tundmatut, seega koosneb põhilahenduste süsteem kahest vektorist. Nii et meie peame nihutama kaks viimast tundmatut paremale.

Nüüd hakkame väljendama neid tundmatuid, mis on vasakul küljel, nende kaudu, mis on paremal pool. Alustame viimasest võrrandist, kõigepealt väljendame $x_3$, seejärel asendame saadud tulemuse teise võrrandiga ja väljendame $x_2$ ning seejärel esimese võrrandiga ja siin väljendame $x_1$. Seega väljendasime kõiki vasakul pool olevaid tundmatuid paremal pool asuvate tundmatute kaudu.

Siis saame $x_4$ ja $x_5$ asemel asendada mis tahes arvud ja leida $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Kõik viis neist numbritest on meie algse võrrandisüsteemi juured. Sellesse kaasatud vektorite leidmiseks FSR peame asendama $x_4$ asemel 1 ja $x_5$ asemel 0, leidma $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ ning siis vastupidi $x_4=0$ ja $x_5=1$.