Broj uspjeha u Bernoullijevim testovima. Laplaceov integralni teorem

6.2. Generalizirana Bernoullijeva shema

§6. BERNOULLIJEVI TESTOVI. POISSONOVA FORMULA

Ponavljanje testova. Bernoullijev krug

6.3. Neke posljedice

6.1. Neovisni Bernoullijev ispitni krug

Bernoullijev teorem

Zadatak

Rješenje problema

Moskva 2006 uvod

Odgovor

korištenje vremena električna energija. Da biste dobili grubu predodžbu o očekivanom opterećenju, zamislite da u bilo kojem trenutku svaki radnik s istom vjerojatnošću p može zahtijevati jedinicu energije. Ako rade neovisno, tada će vjerojatnost da će energija biti potrebna istovremeno k radnicima biti jednaka b (k ;n ,p ). Ovdje je "test" provjera činjenice o korištenju energije ovaj trenutak j-ti radnik (j = 1,2,...,n), a “uspjeh” je pozitivan rezultat testa. Dakle, ako jedan radnik troši energiju prosječno 12 minuta na sat40, treba postaviti p = 1260 = 0,2. U ovom slučaju, vjerojatnost je da najmanje 7 od 10 radnika

Drugim riječima, ako je napajanje projektirano za 6 jedinica energije, tada je vjerojatnost preopterećenja 0,000864. To znači da se jedno preopterećenje događa u prosjeku svakih 10,000864≈ 1157 minuta, tj. cca 12 sati radnog vremena. Stoga, ako se preopterećenja uočavaju češće, to bi trebao biti signal za povećanu kontrolu nad proizvodnim ciklusom.

Sljedeći primjer je nešto drugačiji. Kada bacate dvije poštene kocke, vjerojatnost da dobijete 12 bodova je,

očito je 1 6 2 ≈ 0,0278, tj. prosječno jedno pojavljivanje na 36 bacanja. Ako u

casino za kockarskim stolom tijekom igre taj je omjer značajno narušen, to znači ili činjenicu da su kockice neispravne i treba ih zamijeniti ili da igra nije poštena. U svakom slučaju, postoji razlog za pažljivije praćenje igre na ovom kockarskom stolu.

Pretpostavimo, kao gore, da je niz od n neovisnih

40 Ova se vrijednost može odrediti, na primjer, proizvodnim ciklusom ili tehnologijom proizvodnje.

testiranja među sobom. Međutim, za razliku od prethodnog, pretpostavit ćemo da rezultat svakog pokušaja može biti jedan i samo jedan od k upareno nekompatibilnih događaja A 1 , A 2 , ..., A k , a vjerojatnosti pojavljivanja svakog od ovih događaja događaji u svakom pojedinačnom pokusu su konstantni i jednaki

p 1 ,p 2 , ...,p k ; p j > 0; p 1 + p 2 + ...+ p k = 1.

Nađimo vjerojatnost da će se kao rezultat n pokušaja pojaviti događaj A 1

m 1 +m 2 +... +m k =n.

Prije svega, napominjemo da nas obrazloženje prethodnog odlomka navodi na zaključak da će vjerojatnost svake dopuštene kombinacije biti


	1 popodne	popodne 2	P m k . S druge strane, broj valjanih kombinacija jednak je

	načina na koje se n elemenata može podijeliti			k grupe
m 1 ,m 2 ,...,m k			elementi odnosno. Ovaj broj je prema	Teorem 5.5,


	m! m!... m!

			Dakle, željena vjerojatnost da	proizlaziti

nezavisni testovi, događaj A 1 će se pojaviti točno 1 put, događaj A 2 – točno 2 puta, itd., događaj A k će se pojaviti točno k puta, bit će jednak

Pn (m1, m2

p j> 0;

m j≥ 0;

M )=		1 popodne	popodne 2	P m k ;
M )=	m! m!... m!	1 popodne	popodne 2	P m k ;
	m! m!... m!

p 1 +p 2 +... +p k

m 1 +m 2 +... +m k =n.

p 1 = 0,4, p 2 = 0,35, p 3 = 0,25. Kolika je vjerojatnost da u meču od 12 partija ovaj šahist ostvari 5 pobjeda, 4 poraza i 3 remija?

Riješenje. Upravo smo u situaciji generalizirane Bernoullijeve sheme s n = 12. Zamjenom vrijednosti iz podataka problema u formulu (6.2),

dobivamo: P 12 (5, 4, 3) = 5!4!3! 12! (0,4)5 (0,35)4 (0,25)3 ≈ 0,067.

Vratimo se klasičnoj Bernoullijevoj shemi, odjeljak. 6.1 i postaviti sljedeći problem. Neka su cijeli brojevi a ,b takvi da je 0≤ a< b ≤ n . Чему равна вероятность того, что в результатеn независимых испытаний Бернулли число «успехов» будет заключено между числамиa иb ? Ответ на этот вопрос дается легко, поскольку допустимые комбинации для različite brojeve“uspjesi” su nespojivi. Odgovarajuća vjerojatnost je očito jednaka


P n (a , b ) = ∑ C n kp kq n− k=

C n ap aq n− a+ C n a+ 1 p a+ 1 q n− a− 1 + C n a+ 2 p a+ 2 q n− a− 2 + ... + C n bp bq n− b.

Bilješka. Za označavanje vjerojatnosti broja uspjeha u n Bernoullijevih pokusa koriste se različite oznake, ovisno o kontekstu problema koji se razmatraju. Dakle, kroz P n (k< m ) часто обозначается вероятность того,чтоврезультатеn испытанийчислоk успеховбудетменьше ,чемm ;черезP n (m 1 ≤ k < m 2 ) обозначается вероятность того, в результатеn испытаний числоk успехов будетveći ili jednak m 1, ali manje od m 2; umjesto oznake P n (a,b) može se koristiti oznaka P n (a ≤ k ≤ b) itd. U pravilu nema problema s nedvosmislenim razumijevanjem značenja takvih oznaka u kontekstu određenog zadatka.

Najvjerojatnije broj uspjeha. Izračunajmo sada vrijednost broja m= m0 , kod koje je funkcija b(m; n, str ) postiže svoje najveća vrijednost. U ovom slučaju broj m0 naziva se najvjerojatniji broj

uspjesi (u n pokusa).

Podsjetimo se da je funkcija b(m;n,p) definirana kao vjerojatnost m "uspjeha" u n Bernoullijevih pokusa s vjerojatnošću "uspjeha" p, te se izračunava

pri čemu je uzeto u obzir da je q = 1− p. Ovo pokazuje da funkcija b (m;n,p) raste s m kao m< (n + 1)p и убывает приm >(n + 1)p. Imajući na umu da m 0 mora biti nenegativan cijeli broj, dobivamo da je najvjerojatniji broj “uspjeha” m 0 (jedini) nenegativan cijeli broj koji zadovoljava nejednakost

(n + 1)p − 1< m 0 ≤ (n + 1)p .

Pogledajmo sada nekoliko primjera.

1. De Mere problem. Koliko puta trebate baciti par kocki da biste imali vjerojatnost veću od ½ da barem jednom dobijete rezultat 12?

Riješenje. Vjerojatnost p "uspjeha", tj. dobivanja 12 bodova, ista je za svako bacanje i jednaka je p = 1 36. Neka je n traženi broj bacanja, k je broj "uspjeha". Tada je P n (k ≥ 1)= 1− P n (k = 0) . Ali

P n (k = 0)= C n 0 p 0 (1− p )n = (35 36 ) n ≈ (0,972)n .

Dakle, tražena vrijednost n nalazi se iz nejednadžbe

(0,972)n ≤ 0,5.

Rješavajući ovu nejednadžbu, dobivamo: n ≥ 25.

2. Tri strijelca, kada gađaju metu, pogađaju je jednim hicem s vjerojatnostima 0,2, 0,3 odnosno 0,4. Koji od tri pucanja u metu određuje se sa šest bacanja novčića,

Štoviše, ako ima više grbova nego glava, puca prvi strijelac, ako ima manje grbova nego repova, puca drugi strijelac, inače treći strijelac. Strijelac ispaljuje 3 hica. Odredite vjerojatnost da će dva metka pogoditi metu.

Riješenje. Neka je A događaj da su dva metka pogodila metu. Označimo s B 1 , B 2 , B 3 događaje koji se sastoje u tome da puca prvi, drugi i treći strijelac. Budući da događaji B 1 , B 2 , B 3 čine potpunu skupinu događaja, tada prema formuli puna vjerojatnost(2.6) imamo:

P (A )= P (A /B 1 )P (B 1 )+ P (A /B 2 )P (B 2 )+ P (A /B 3 )P (B 3 ) .

Izračunajmo zasebno vjerojatnosti uključene u formulu (6.5). Počnimo s vjerojatnostima P (B j ) . Budući da dodjela prava pucanja pojedinom strijelcu ovisi o rezultatima niza neovisnih testova - šest bacanja novčića, odgovarajuće vjerojatnosti moraju se izračunati u skladu s Bernoullijevom shemom. Upravo, neka “uspjeh” bude ispadanje grba; tada, u skladu s uvjetima problema:

P (B 1 )= P 6 (k ≥ 4) = C 6 4 (0,5) 6 + C 6 5 (0,5) 6 + C 6 6 (0,5) 6 = 11 32 ; P (B 2 ) = P 6 ( k ≤ 2)= C 6 0 (0,5)6 + C 6 1 (0,5)6 + C 6 2 (0,5)6 = 11 32 ;P (B 3 )= P 6 (k = 3)= C 6 3 ( 0,5)6 = 5 16 .

P (A /B )= b (2; 3, 0,2)		(0,2)2 0,8= 0,096;

P (A /B )= b (2; 3, 0,3)		(0,3)2 0,7= 0,189 ;

P (A /B )= b (2; 3, 0,4)= C 2		(0,4)2 0,6= 0,288.

Koristeći formulu ukupne vjerojatnosti (6.5), konačno dobivamo
P(A) = 0,188.
3. Svaki od n = 50		pozvani dolaze na sastanak sa

(opet prema teoremu 5.5) 48!(12!)4 načina. Stoga je tražena vjerojatnost jednaka

24 48!(13!) 4 = 2448!13 4 = 0,105... .

(12!)4 52! 52!

Zanimljivo je da kada igrate "budalu", ta je vjerojatnost znatno manja. Doista, pronađimo vjerojatnost da će, kada četiri igrača dobiju 6 karata iz špila od 36 karata, svaki igrač dobiti točno jednog asa. Budući da su podijeljene 24 karte od 36, prvo moramo znati na koji način se mogu odabrati 24 karte od 36. Ovaj broj je jednak C 36 24 = 36!(24!12!).

Nadalje, broj načina na koji se 24 karte mogu podijeliti u 4 grupe od po 6 karata prema teoremu 5.5 je 24! (6!) 4. Dakle, ukupan broj načina na koji se 6 karata iz špila može podijeliti četvorici igrača je 36

karte jednako C 36 24 (6!) 24! 4 . Četiri asa mogu se podijeliti na četiri

igrača 4!= 24 načina. Broj načina na koji četiri igrača mogu dobiti 5 karata s preostale 32 karte izračunava se na isti način

prethodni, te će biti jednak C 32 20 (5!) 20! 4 . Dakle, tražena vjerojatnost je jednaka

24 C 20

32!12!64

(5!)4

≈ 0,022 .

(6!)4

U praksi se često događa situacija koja je dobro ilustrirana

sljedeći primjeri.

Netko baca novčić nekoliko puta zaredom. Pitanje je je li moguće unaprijed procijeniti vjerojatnost da će se kao rezultat n bacanja grb pojaviti točno m puta? Ili: n puta juri kocke; morate procijeniti vjerojatnost da će 5 ili 6 bodova biti bačeno m puta.

Očito je da je bez dodatnih pretpostavki o eksperimentalnim uvjetima nemoguće jednoznačno odgovoriti na ova pitanja. Dakle, rezultat nedvojbeno mora ovisiti o tome je li novčić (ili kockica) pošten, tj. homogena i simetrična. S druge strane, može li se odgovoriti na pitanje koliko puta treba baciti novčić (ili kockicu) da biste s dovoljnom sigurnošću mogli reći da je dati novčić (ili kockica) nije točno? Sposobnost odgovora na takvo pitanje vrlo je važna, na primjer, za kockanje.

Prirodno je pretpostaviti da ako je novčić točan, tada je vjerojatnost da se grb pojavi pri svakom bacanju ½. Isto tako, s poštenim kockama, vjerojatnost dobivanja 5 ili 6 bodova pri svakom bacanju je ⅓. Drugim riječima, ako ima dosta pokušaja, tada će se grb pojaviti prilikom bacanja novčića u otprilike polovici ishoda, a 5 ili 6 bodova na kocki - u trećini slučajeva.

Međutim, svi ti argumenti temelje se na intuiciji. Pokušat ćemo u ovom paragrafu opisati teorijski model, što će nam omogućiti da prilično razumno odgovorimo na sva gore formulirana pitanja. Model o kojem pričati ćemo u nastavku, prvi je predložio švicarski matematičar Jacob Bernoulli (1654. 1705.) i dobio je njegovo ime37.

Bernoullijev neovisni dizajn testa. Provest ćemo sekvencijalne testove, a rezultat svakog od njih može

37 Glavni rezultati J. Bernoullija o teoriji vjerojatnosti objavljeni su tek nakon njegove smrti 1713. J. Bernoullijev brat Johann (1667.-1748.) i sin Daniel (1700.-1782.) bili su članovi St. Carska akademija znanosti, te je dao veliki doprinos razvoju varijacijskog računa i teorijske mehanike.

bilo da se neki događaj A dogodi ili ne. Neka je vjerojatnost događanja događaja A ista za svaki pojedini pokušaj i neka ne ovisi o događanju ili nepojavljivanju tog događaja tijekom drugih pokušaja; Označimo tu vjerojatnost sa p. Obično se kaže da je p vjerojatnost "uspjeha"; prema tome, vrijednost q = 1− p naziva se vjerojatnost “neuspjeha”. Jasno je da je ova terminologija vrlo uvjetna.

Ovaj model se zove Bernoullijeva (nezavisna) ispitna shema.

Zapitajmo se sljedeće pitanje: koja je vjerojatnost da će nakon n pokušaja, "uspjeh" (tj. pojava događaja A) biti opažen u točno m slučajeva?38

Ovaj problem se rješava na sljedeći način. Zamislimo sve moguće kombinacije iz dosljednih rezultata naših testova. Tako je, primjerice, u slučaju 3 testa moguće osam takvih kombinacija39, i to:

AAA; AAA; AAA; AAA;

AAA; AAA; AAA; AAA.

Istaknimo one kombinacije u kojima se događaj A pojavljuje točno m puta (pa se stoga ne pojavljuje točno n ─ m puta); Zbog kratkoće, takve kombinacije nazivamo dopuštenim. Odredimo vjerojatnost pojavljivanja svake pojedine dopuštene kombinacije. Da biste to učinili, primijetite da je pojavljivanje dopuštene kombinacije proizvod n događaja, naime: m pojavljivanja događaja A tijekom nekih pokušaja i n ─ m nepojavljivanja tijekom drugih pokušaja. Vjerojatnost pojavljivanja događaja A za svaki pojedinačni pokušaj prema uvjetu jednaka je p; vjerojatnost njegovog nepojavljivanja je dakle jednaka q = 1− p. Prema uvjetu pojavljivanja ili nepojavljivanja događaja A pod različitim testovima predstavljaju nezavisni događaji; stoga je vjerojatnost njihovog umnoška jednaka

38 Ovdje je prirodno pretpostaviti da m = 0, 1, 2, …, n.

39 Ovdje A označava događaj suprotan događaju A, tj. "neuspjeh"

umnožak njihovih vjerojatnosti, tj. jednak p m q n − m = p m (1− p )n − m . Primijetite sada da je događaj koji se sastoji od pojave događaja A točno

u m pokusa, ekvivalentan je pojavi barem jedne od dopuštenih kombinacija. Budući da različite valjane kombinacije predstavljaju nespojivi događaji, željena vjerojatnost pojavljivanja događaja A u točno m pokusa jednaka je zbroju vjerojatnosti pojavljivanja dopuštenih kombinacija. Kako su vjerojatnosti pojavljivanja dopuštenih kombinacija iste, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je vrijednosti Kp m q n − m, gdje je K broj svih dopuštenih kombinacija. Ovaj broj je očito jednak broju na razne načine, koji se može koristiti za odabir m mjesta od ukupnog broja n mjesta, ostalo

riječi jednake		broj kombinacija od n elemenata po m, tj. jednaki
C n m= C n n− m=
	m!(n− m)!

Dakle, vjerojatnost točno m "uspjeha" koji se pojave u nizu od n neovisnih Bernoullijevih pokusa je

Bernoullijeva distribucija, određuje se formulom (6.1) i daje vrijednost vjerojatnostim "uspjeha" u n Bernoullijevim testovima s vjerojatnošću "uspjeha"p. Za fiksne n i p, to je funkcija cjelobrojnih nenegativnih argumenata m.

Bernoullijevi testovi su teorijska shema i samo praksa može pokazati je li shema prikladna za opisivanje date fizičko iskustvo. Međutim, takva je situacija, kao što smo ranije vidjeli, sasvim prirodna pri konstruiranju probabilističkih modela. Uz sve to, u mnogim praktičnim situacijama uporaba Bernoullijeve sheme pokazuje se potpuno opravdanom.

Navedimo sljedeći poučan primjer. Američki znanstvenik Weldon proveo je 26.306 serija testova od 12 bacanja istog

kockice u svakoj seriji, računajući učestalost pojavljivanja događaja ("uspjeha") koji se sastoji od 5 ili 6 bodova koji padaju na kockice. Rezultati njegovih pokusa dati su u tablici. 6.1.

Ako se kocka smatra ispravnom, tada bi vjerojatnost "uspjeha" trebala biti jednaka ⅓. Odgovarajuće teorijske vrijednosti funkcije b (k;12,13) dane su u drugom stupcu. Eksperiment je međutim pokazao prilično značajnu razliku od teoretskih vrijednosti za p =⅓, ali dobro slaganje s teorijskim vrijednostima funkcije b (k;12, 0,3377) za p = 0,3377. Prirodno je tumačiti ovaj rezultat u smislu da je kockica korištena u eksperimentu nije točno.

Ova napomena ima vrlo važnu praktičnu primjenu u pitanjima koja se odnose na praćenje provedbe određenih standarda (primjerice, u proizvodnji). U tom smislu, razmotrite sljedeći primjer.

Tablica 6.1

		Eksperimentalno

Problem opskrbe energijom. Pretpostavimo da je n radnika iz

Nemojmo dugo razmišljati o uzvišenim stvarima - krenimo odmah s definicijom.

Bernoullijeva shema je kada se izvede n identičnih neovisnih eksperimenata, u svakom od kojih se događaj koji nas zanima može pojaviti A, a poznata je vjerojatnost tog događaja P (A) = p. Moramo odrediti vjerojatnost da će se nakon n pokušaja događaj A dogoditi točno k puta.

Problemi koji se mogu riješiti korištenjem Bernoullijeve sheme vrlo su raznoliki: od jednostavnih (kao što je "pronađite vjerojatnost da će strijelac pogoditi 1 put u 10") do vrlo teških (na primjer, problemi koji uključuju postotke ili kartanje). U stvarnosti se ova shema često koristi za rješavanje problema povezanih s praćenjem kvalitete proizvoda i pouzdanosti različitih mehanizama, čije sve karakteristike moraju biti poznate prije početka rada.

Vratimo se na definiciju. Jer govorimo o o neovisnim pokusima, au svakom pokusu vjerojatnost događaja A je ista, moguća su samo dva ishoda:

A je pojava događaja A s vjerojatnošću p;
“nije A” - događaj A se nije pojavio, što se događa s vjerojatnošću q = 1 − p.

Najvažniji uvjet, bez kojeg Bernoullijeva shema gubi smisao, jest postojanost. Koliko god pokusa proveli, zainteresirani smo za isti događaj A, koji se događa s istom vjerojatnošću p.

Usput, nisu svi problemi u teoriji vjerojatnosti svedeni na konstantne uvjete. Svaki kompetentan učitelj će vam reći o tome. viša matematika. Čak i nešto tako jednostavno kao što je vađenje šarenih loptica iz kutije nije iskustvo sa stalnim uvjetima. Izvadili su još jednu loptu - promijenio se omjer boja u kutiji. Posljedično, vjerojatnosti su se promijenile.

Ako su uvjeti konstantni, možemo točno odrediti vjerojatnost da će se događaj A dogoditi točno k puta od n mogućih. Formulirajmo ovu činjenicu u obliku teorema:

Bernoullijev teorem. Neka je vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svakom eksperimentu konstantna i jednaka p. Tada se vjerojatnost da će se događaj A pojaviti točno k puta u n neovisnih pokušaja izračunava po formuli:

gdje je C n k broj kombinacija, q = 1 − p.

Ova se formula naziva Bernoullijeva formula. Zanimljivo je primijetiti da se dolje navedeni problemi mogu u potpunosti riješiti bez korištenja ove formule. Na primjer, možete primijeniti formule za zbrajanje vjerojatnosti. Međutim, količina izračuna bit će jednostavno nerealna.

Zadatak. Vjerojatnost proizvodnje neispravnog proizvoda na stroju je 0,2. Odredite vjerojatnost da će u seriji od deset dijelova proizvedenih na ovom stroju točno k dijelova biti bez grešaka. Riješite zadatak za k = 0, 1, 10.

Sukladno uvjetu, zanima nas događaj A puštanja proizvoda bez grešaka, koji se događa svaki put s vjerojatnošću p = 1 − 0,2 = 0,8. Moramo odrediti vjerojatnost da će se ovaj događaj dogoditi k puta. Događaj A suprotstavljen je događaju "ne A", tj. puštanje neispravnog proizvoda.

Dakle, imamo: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Dakle, nalazimo vjerojatnost da su svi dijelovi u seriji neispravni (k = 0), da postoji samo jedan dio bez nedostataka (k = 1) i da uopće nema neispravnih dijelova (k = 10):

Zadatak. Novčić se baca 6 puta. Slijetanje glave i repa su jednako vjerojatni. Nađite vjerojatnost da:

grb će se pojaviti tri puta;

grb će se pojaviti jednom;

grb će se pojaviti najmanje dva puta.

Dakle, zanima nas događaj A, kada ispadne grb. Vjerojatnost ovog događaja je p = 0,5. Događaj A je u suprotnosti s događajem "nije A", kada su rezultat glave, što se događa s vjerojatnošću q = 1 − 0,5 = 0,5. Trebamo odrediti vjerojatnost da će se grb pojaviti k puta.

Dakle, imamo: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Odredimo vjerojatnost da je grb izvučen tri puta, tj. k = 3:

Sada odredimo vjerojatnost da je grb nacrtan samo jednom, tj. k = 1:

Ostaje utvrditi s kojom vjerojatnošću će se grb pojaviti barem dva puta. Glavna caka je u izrazu "ništa manje". Ispada da ćemo biti zadovoljni sa bilo kojim k osim 0 i 1, tj. trebamo pronaći vrijednost zbroja X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Primijetimo da je i ovaj zbroj jednak (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), tj. dosta svega moguće opcije“izrezati” one kada je grb ispao 1 put (k = 1) ili uopće nije ispao (k = 0). Budući da već znamo P 6 (1), ostaje pronaći P 6 (0):

Zadatak. Vjerojatnost da TV ima skrivene nedostatke je 0,2. U skladište je stiglo 20 televizora. Koji je događaj vjerojatniji: da su u ovoj seriji dva televizora sa skrivenim nedostacima ili tri?

Događaj od interesa A je prisutnost latentnog defekta. Ukupno ima n = 20 televizora, vjerojatnost skrivenog kvara je p = 0,2. Sukladno tome, vjerojatnost primanja televizora bez skrivenog kvara je q = 1 − 0,2 = 0,8.

Dobivamo polazne uvjete za Bernoullijevu shemu: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Nađimo vjerojatnost da dobijemo dva "neispravna" televizora (k = 2) i tri (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Očito je P 20 (3) > P 20 (2), tj. vjerojatnost da dobijete tri televizora sa skrivenim nedostacima veća je od vjerojatnosti da dobijete samo dva takva televizora. Štoviše, razlika nije slaba.

Kratka napomena o faktorijelima. Mnogi ljudi dožive nejasan osjećaj nelagode kada vide unos "0!" (čitaj “nula faktorijel”). Dakle, 0! = 1 po definiciji.

P. S. A najveća vjerojatnost u zadnjem zadatku je dobiti četiri televizora sa skrivenim nedostacima. Izračunajte sami i uvjerite se.

Kratka teorija

Teorija vjerojatnosti bavi se eksperimentima koji se mogu ponavljati (barem teoretski) neograničen broj puta. Neka se neki eksperiment ponovi jednom, a rezultati svakog ponavljanja ne ovise o rezultatima prethodnih ponavljanja. Takvi nizovi ponavljanja nazivaju se nezavisnim pokušajima. Poseban slučaj takvih ispitivanja su nezavisni Bernoulli testovi, koje karakteriziraju dva uvjeta:

1) rezultat svakog testa je jedan od dva moguća ishoda, koji se nazivaju "uspjeh" ili "neuspjeh".

2) vjerojatnost "uspjeha" u svakom sljedećem testu ne ovisi o rezultatima prethodnih testova i ostaje konstantna.

Ako se izvede niz neovisnih Bernoullijevih pokusa, u svakom od kojih se "uspjeh" pojavljuje s vjerojatnošću, tada se vjerojatnost da se "uspjeh" pojavi točno jednom u pokusima izražava formulom:

gdje je vjerojatnost "neuspjeha".

– broj kombinacija elemenata po (vidi osnovne kombinatoričke formule)

Ova formula se zove Bernoullijeva formula.

Bernoullijeva formula omogućuje vam da se riješite velikog broja izračuna - zbrajanja i množenja vjerojatnosti - s dovoljno velike količine testovi.

Shema Bernoullijevog testa naziva se i binomna shema, a odgovarajuće vjerojatnosti binomne, što je povezano s korištenjem binomnih koeficijenata.

Distribucija prema Bernoullijevoj shemi dopušta, posebice, .

Ako je broj testova n velik, tada koristite:

Primjer rješenja problema

Stopa klijavosti nekih sjemenki biljaka je 70%. Kolika je vjerojatnost da od 10 posijanih sjemenki: 8, najmanje 8; barem 8?

Upotrijebimo Bernoullijevu formulu:

U našem slučaju

Neka slučaj bude da od 10 sjemenki nikne 8:

Neka događaj bude najmanje 8 (to znači 8, 9 ili 10)

Neka događaj poraste najmanje 8 (ovo znači 8,9 ili 10)

Prosjek trošak rješenja ispitni rad 700 - 1200 rubalja (ali ne manje od 300 rubalja za cijelu narudžbu). Na cijenu uvelike utječe hitnost odluke (od jednog dana do nekoliko sati). Cijena online pomoći za ispit/test je od 1000 rubalja. za rješavanje tiketa.

Zahtjev možete ostaviti izravno u chatu, nakon što ste prethodno poslali uvjete zadataka i obavijestili vas o rokovima za rješenje koje vam je potrebno. Vrijeme odgovora je nekoliko minuta.

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

Državna obrazovna ustanova

visoko stručno obrazovanje

"MATI" - RUSKO DRŽAVNO TEHNOLOŠKO SVEUČILIŠTE NAZV. K.E. CIOLKOVSKI

Zavod za modeliranje sustava i informacijske tehnologije

Upute za praktične vježbe

u disciplini "Viša matematika"

Sastavio: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

prema formuli (6.1).

Razmotrimo količinu

(n− m+ 1) str

(n+ 1) p− m

b (m − 1;n ,p )

Smjernice su namijenjene za puno radno vrijeme i večernji odjel Fakultet broj 14 specijalnosti 150601, 160301, 230102. Upute ističu osnovne pojmove teme i određuju redoslijed proučavanja materijala. Velik broj razmotrenih primjera pomaže u praktičnom razvoju teme. Smjernice služe kao metodološka osnova za praktična nastava i izvršavanje pojedinačnih zadataka.

BERNOULIJEVA ŠEMA. BERNOULLI FORMULA

Bernoullijeva shema- shema ponovljenih neovisnih testova u kojima neki događaj A može se ponavljati mnogo puta s konstantnom vjerojatnošću R (A)= R .

Primjeri testova koji se provode prema Bernoullijevoj shemi: opetovano bacanje novčića ili kocke, izrada serije dijelova, gađanje mete itd.

Teorema. Ako je vjerojatnost događanja događaja A u svakom testu konstantan i jednak R, zatim vjerojatnost da je događaj A doći će m jednom svaki n ispitivanja (bez obzira kojim redoslijedom), može se odrediti Bernoullijevom formulom:

Gdje q = 1 – str.

PRIMJER 1. Vjerojatnost da potrošnja električne energije tijekom jednog dana neće premašiti utvrđenu normu jednaka je p= 0,75. Nađite vjerojatnost da u sljedećih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće premašiti normu.

RIJEŠENJE. Vjerojatnost normalne potrošnje energije za svaki od 6 dana je konstantna i jednaka R= 0,75. Posljedično, vjerojatnost prekomjerne potrošnje energije svaki dan također je konstantna i jednaka q = 1R = 1  0,75 = 0,25.

Tražena vjerojatnost prema Bernoullijevoj formuli jednaka je:

PRIMJER 2. Strijelac ispaljuje tri hica u metu. Vjerojatnost pogotka mete svakim hicem jednaka je p= 0,3. Odredite vjerojatnost da je: a) jedna meta pogođena; b) sve tri mete; c) niti jedan cilj; d) najmanje jedan cilj; e) manje od dvije mete.

RIJEŠENJE. Vjerojatnost pogotka mete svakim hicem je konstantna i jednaka R=0,75. Stoga je vjerojatnost promašaja jednaka q = 1 R = 1  0,3= 0,7. Ukupni broj provedeni pokusi n=3.

a) Vjerojatnost pogotka jedne mete s tri hica jednaka je:

b) Vjerojatnost pogotka sve tri mete s tri hica jednaka je:

c) Vjerojatnost tri promašaja s tri hica jednaka je:

d) Vjerojatnost pogađanja najmanje jedne mete s tri hica jednaka je:

e) Vjerojatnost pogađanja manje od dvije mete, odnosno jedne mete ili nijedne:

Lokalni i integralni teoremi Moivre-Laplacea

Ako se provodi veliki broj testova, izračunavanje vjerojatnosti pomoću Bernoullijeve formule postaje tehnički teško, budući da formula zahtijeva operacije s velikim brojevima. Stoga postoje jednostavnije približne formule za izračun vjerojatnosti općenito n. Te se formule nazivaju asimptotskim i određene su Poissonovim teoremom, lokalnim i integralnim teoremom Laplacea.

Lokalni teorem Moivre-Laplacea. A A dogodit će se m jednom svaki n n (n →∞ ), približno je jednako:

gdje je funkcija
i argument

Više n, oni precizniji izračun vjerojatnosti. Stoga je preporučljivo primijeniti Moivre-Laplaceov teorem kada npq  20.

f ( x ) sastavljene su posebne tablice (vidi Dodatak 1). Kada koristite tablicu morate imati na umu svojstva funkcije f(x) :

Funkcija f(x) je čak f(  x)=f(x) .

Na x ∞ funkcija f(x) 0. U praksi možemo pretpostaviti da već kod x>4 funkcija f(x) ≈0.

PRIMJER 3. Nađite vjerojatnost da događaj A dogodit će se 80 puta u 400 pokušaja ako je vjerojatnost da se događaj dogodi A u svakom pokušaju je jednak p= 0,2.

RIJEŠENJE. Po stanju n=400, m=80, str=0,2, q=0,8. Stoga:

Pomoću tablice određujemo vrijednost funkcije f (0)=0,3989.

Integralni teorem Moivre-Laplacea. Ako je vjerojatnost događanja događaja A u svakom pokušaju konstantna i različita od 0 i 1, tada je vjerojatnost da događaj A doći će iz m 1 prije m 2 jednom svaki n ispitivanja s dovoljnim veliki broj n (n →∞ ), približno je jednako:

Gdje
 integral ili Laplaceova funkcija,

Za pronalaženje vrijednosti funkcije F( x ) Sastavljene su posebne tablice (na primjer, vidi Dodatak 2). Kada koristite tablicu morate imati na umu svojstva Laplaceove funkcije F(x) :

Funkcija F(x) je čudno F(  x)=  F(x) .

Na x ∞ funkcija F(x) 0,5. U praksi možemo pretpostaviti da već kod x>5 funkcija F(x) ≈0,5.

F (0)=0.

PRIMJER 4. Vjerojatnost da dio nije prošao kontrolu kvalitete je 0,2. Odredite vjerojatnost da će među 400 dijelova biti od 70 do 100 neispitanih dijelova.

RIJEŠENJE. Po stanju n=400, m 1 =70, m 2 =100, str=0,2, q=0,8. Stoga: