Kvadratni izrazi. Kvadratne jednadžbe

U ovoj lekciji proučavat ćemo osnovno svojstvo razlomka, saznati koji su razlomci međusobno jednaki. Naučit ćemo kako reducirati razlomke, odrediti je li razlomak smanjen ili ne, vježbati smanjivanje razlomaka i saznat ćemo kada koristiti redukciju, a kada ne.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias acceptnda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Ove informacije dostupne su registriranim korisnicima

Osnovno svojstvo razlomka

Zamislite takvu situaciju.

Na stolu 3 ljudski i 5 jabuke. Podijeliti 5 tri jabuke. Svaki dobiva \(\mathbf(\frac(5)(3))\) jabuke.

I za susjednim stolom 3 osoba i također 5 jabuke. Svaki opet \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

Istovremeno, sve 10 jabuke 6 ljudski. Svaki \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Ali to je isto.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Ovi razlomci su ekvivalentni.

Možete udvostručiti broj ljudi i udvostručiti broj jabuka. Rezultat će biti isti.

U matematici se to formulira na sljedeći način:

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele s istim brojem (nije jednak 0), tada će novi razlomak biti jednak izvornom.

Ovo svojstvo se ponekad naziva " osnovno svojstvo razlomka ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Na primjer, put od grada do sela- 14 km.

Hodamo cestom i kilometrskim stupovima određujemo prijeđenu udaljenost. Nakon što smo prošli šest stupova, šest kilometara, razumijemo da smo prošli \(\mathbf(\frac(6)(14))\) staze.

Ali ako ne vidimo stupove (možda nisu postavljeni), možemo izbrojati stazu uz električne stupove uz cestu. Ih 40 komada po kilometru. Odnosno, sve 560 cijelim putem. Šest kilometara - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stupovi. Odnosno, prošli smo 240 iz 560 stupci- \(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Primjer 1

Označite točku s koordinatama ( 5; 7 ) na koordinatna ravnina XOY. Odgovarat će razlomku \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

Spojite ishodište s dobivenom točkom. Konstruirajte drugu točku koja ima koordinate dvostruko od prethodnih. Koji si razlomak dobio? Hoće li biti jednaki?

Odluka

Razlomak na koordinatnoj ravnini može se označiti točkom. Da biste nacrtali razlomak \(\mathbf(\frac(5)(7))\), označite točku koordinatom 5 duž osi Y i 7 duž osi x. Povucimo ravnu liniju od ishodišta kroz našu točku.

Točka koja odgovara razlomku \(\mathbf(\frac(10)(14))\)

Oni su ekvivalentni: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

Razlomci i njihovo smanjenje je još jedna tema koja počinje u 5. razredu. Ovdje se formira osnova ove akcije, a zatim se te vještine uvlače viša matematika. Ako učenik nije naučio, onda može imati problema u algebri. Stoga je bolje jednom zauvijek razumjeti nekoliko pravila. I zapamtite jednu zabranu i nikada je ne prekršite.

Razlomak i njegovo smanjenje

Što je to, zna svaki student. Bilo koje dvije znamenke koje se nalaze između vodoravne trake odmah se percipiraju kao razlomak. Međutim, ne shvaćaju svi da to može postati bilo koji broj. Ako je cijeli broj, onda se uvijek može podijeliti s jedan, tada ćete dobiti nepravilan razlomak. Ali više o tome kasnije.

Početak je uvijek jednostavan. Prvo morate shvatiti kako smanjiti točan razlomak. Odnosno onaj čiji je brojnik manji od nazivnika. Da biste to učinili, morate zapamtiti glavno svojstvo razlomka. Navodi da se pri množenju (kao i dijeljenju) i brojnik i nazivnik s isti broj ispada da je isti kao izvorni razlomak.

Radnje podjele koje se izvode na ovom svojstvu rezultiraju smanjenjem. To jest, njegovo maksimalno pojednostavljenje. Razlomak se može smanjiti sve dok postoje zajednički faktori iznad i ispod crte. Kada više ne postoje, smanjenje je nemoguće. I kažu da je ovaj razlomak nesvodljiv.

dva puta

1.Korak po korak smanjenje. Koristi se metodom pogađanja, kada se oba broja podijele s minimalnim zajedničkim faktorom koji je učenik primijetio. Ako je nakon prvog smanjenja jasno da ovo nije kraj, onda se podjela nastavlja. Sve dok razlomak ne postane nesvodljiv.

2. Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika. Ovo je najracionalniji način smanjenja razlomaka. To znači razlaganje brojnika i nazivnika na primarni čimbenici. Među njima, onda morate odabrati sve isto. Njihov će proizvod dati najveći zajednički faktor za koji se udio smanjuje.

Obje ove metode su ekvivalentne. Učenik je pozvan da ih savlada i iskoristi onu koja mu se najviše sviđa.

Što ako postoje slova i operacije zbrajanja i oduzimanja?

S prvim dijelom pitanja sve je manje-više jasno. Slova se mogu skraćivati ​​baš kao i brojevi. Glavna stvar je da djeluju kao množitelji. Ali s drugim, mnogi imaju problema.

Važno je zapamtiti! Možete smanjiti samo brojeve koji su faktori. Ako su uvjeti, to je nemoguće.

Kako bismo razumjeli kako smanjiti razlomke koji izgledaju kao algebarski izraz, morate naučiti pravilo. Najprije izrazite brojnik i nazivnik kao umnožak. Zatim možete smanjiti ako postoje uobičajeni čimbenici. Za predstavljanje kao množitelja korisni su sljedeći trikovi:

• grupiranje;
• zagrada;
• primjena skraćenih identiteta množenja.

Štoviše, potonja metoda omogućuje odmah dobivanje pojmova u obliku faktora. Stoga se uvijek mora koristiti ako je vidljiv poznati uzorak.

Ali to još nije strašno, tada se pojavljuju zadaci sa stupnjevima i korijenima. Tada trebate skupiti hrabrost i naučiti nekoliko novih pravila.

Izraz moći

Frakcija. Umnožak u brojniku i nazivniku. Ima slova i brojeva. I oni su također podignuti na moć, koja se također sastoji od pojmova ili faktora. Ima se čega bojati.

Da biste shvatili kako smanjiti razlomke potencijama, morate naučiti dvije točke:

• ako postoji zbroj u eksponentu, onda se može rastaviti na faktore, čiji će moći biti izvorni članovi;
• ako je razlika, onda u dividendu i djelitelj, prvi u stupnju će se smanjiti, drugi - oduzeti.

Nakon dovršetka ovih koraka, zajednički množitelji postaju vidljivi. U takvim primjerima nije potrebno izračunati sve snage. Dovoljno je jednostavno smanjiti stupnjeve s istim pokazateljima i bazama.

Da biste konačno savladali kako reducirati razlomke potencijama, potrebno vam je dosta vježbe. Nakon nekoliko primjera iste vrste, radnje će se izvršiti automatski.

Što ako izraz sadrži korijen?

Može se i skratiti. Opet, samo slijedite pravila. Štoviše, sve gore opisane su istinite. Općenito, ako je pitanje kako smanjiti razlomak s korijenima, onda morate podijeliti.

Na iracionalni izrazi također se mogu podijeliti. Odnosno, ako su brojnik i nazivnik isti množitelji zatvorene pod znakom korijena, onda se mogu sigurno reducirati. To će pojednostaviti izraz i obaviti posao.

Ako nakon smanjenja iracionalnost ostane ispod linije razlomka, onda je se trebate riješiti. Drugim riječima, pomnožite brojnik i nazivnik s njim. Ako su se nakon ove operacije pojavili uobičajeni čimbenici, onda će ih trebati ponovno smanjiti.

To je, možda, sve o tome kako smanjiti razlomke. Malo pravila, ali jedna zabrana. Nikada ne smanjivati ​​termine!

Kalkulator online radi redukcija algebarskih razlomaka prema pravilu redukcije razlomaka: zamjena izvornog razlomka jednak razlomak, ali s manjim brojnikom i nazivnikom, t.j. istovremeno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajednički djelitelj(GCD). Prikazuje se i kalkulator detaljno rješenje, što će vam pomoći razumjeti slijed izvršenja smanjenja.

dano:

Odluka:

Smanjenje frakcija

provjera mogućnosti izvođenja redukcije algebarski razlomak

1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (gcd) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

2) Smanjenje brojnika i nazivnika razlomka

redukcija brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

3) Odabir cjelobrojnog dijela razlomka

izdvajanje cjelobrojnog dijela algebarskog razlomka

4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak

pretvorba algebarskog razlomka u decimal

Pomoć za razvoj projekta stranice

Poštovani posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili - svakako napišite o tome u komentarima, što stranici sada nedostaje. To će nam pomoći da shvatimo u kojem smjeru se trebamo dalje kretati, a i ostali posjetitelji uskoro će moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se stranica pokazala korisnom, donirajte je projektu samo 2 ₽ i znat ćemo da se krećemo u pravom smjeru.

Hvala vam što niste prošli!

I. Postupak smanjenja algebarskog razlomka s online kalkulatorom:

1. Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak pomiješan, tada također popunite polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite polje za cijeli broj praznim.
2. Postaviti negativni razlomak, stavite znak minus u cijeli dio razlomka.
3. Ovisno o zadanom algebarskom razlomku, automatski se izvodi sljedeći slijed radnji:

• određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka;
• smanjenje brojnika i nazivnika razlomka za gcd;
• izdvajanje cjelobrojnog dijela razlomka ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
• pretvarajući konačni algebarski razlomak u decimalni razlomak zaokruženo na stotinke.

Rezultat smanjenja može biti nepravilan razlomak. U ovom slučaju, konačni pravi razlomak bit će dodijeljena cijeli dio a rezultirajući razlomak će se pretvoriti u pravi razlomak.

II. Za referencu:

Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Obični razlomak (jednostavan razlomak) zapisuje se kao dva broja (brojnik razlomka i nazivnik razlomka), odvojena vodoravnom crtom (razlomkom), koja označava znak dijeljenja. Brojnik razlomka je broj iznad crte razlomka. Brojnik pokazuje koliko je dijelova uzeto iz cjeline. Nazivnik razlomka je broj ispod razlomke. Nazivnik pokazuje na koliko je jednakih dijelova podijeljena cjelina. Jednostavan razlomak je razlomak koji nema cijeli broj. Jednostavan razlomak može biti točan ili pogrešan. Pravi razlomak je razlomak čiji brojnik manji od nazivnika, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer točnih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojnik veći ili jednak nazivniku, pa je nepravilan razlomak uvijek veći ili jednak jedan. Primjer nepravilni razlomci: 7/6, 8/7, 13/13. mješoviti razlomak – broj koji uključuje cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbroj ovog cijelog broja i pravilnog razlomka. Svaki mješoviti razlomak može se pretvoriti u nepravilan prosti razlomak. Primjer miješane frakcije: 1¼, 2½, 4¾.

III. Bilješka:

1. Blok izvornih podataka je istaknut žuta boja , istaknut blok srednjih proračuna plava boja , blok otopine označen zelenom bojom.
2. Za zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjem.

Razumjet ćemo što je redukcija razlomaka, zašto i kako reducirati razlomke, dat ćemo pravilo za smanjenje razlomaka i primjere njegove uporabe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što je "smanjenje frakcija"

Smanjite frakciju

Smanjiti razlomak znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik zajedničkim djeliteljem, pozitivnim i različitim od jedinice.

Kao rezultat takve radnje dobit će se razlomak s novim brojnikom i nazivnikom, jednak izvornom razlomku.

Na primjer, uzmimo obični razlomak 6 24 i skratiti ga. Podijelite brojnik i nazivnik s 2, što rezultira 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . U ovom primjeru smanjili smo izvorni razlomak za 2 .

Redukcija razlomaka u nesvodljivi oblik

U prethodnom primjeru smanjili smo razlomak 6 24 za 2 , što je rezultiralo razlomkom 3 12 . Lako je vidjeti da se taj ulomak može dodatno smanjiti. Općenito, cilj smanjenja razlomaka je da se dobije nesmanjivi razlomak. Kako pretvoriti razlomak u nesvodljivi oblik?

To se može učiniti smanjenjem brojnika i nazivnika za njihov najveći zajednički djelitelj (GCD). Tada će, prema svojstvu najvećeg zajedničkog djelitelja, u brojniku i u nazivniku biti međusobno primarni brojevi, a razlomak je nesvodljiv.

a b = a ÷ N O D (a, b) b ÷ N O D (a, b)

Redukcija razlomka u nesvodljivi oblik

Da biste razlomak sveli u nesvodljivi oblik, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s njihovim gcd.

Vratimo se na razlomak 6 24 iz prvog primjera i svedimo ga na nesvodljivi oblik. Najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 24 je 6. Smanjimo razlomak:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Smanjenje razlomaka je prikladno za korištenje kako ne bi radili s velikim brojevima. Općenito, u matematici postoji neizgovoreno pravilo: ako možete pojednostaviti bilo koji izraz, onda to trebate učiniti. Pod smanjenjem razlomka najčešće podrazumijevaju njegovo svođenje na nesvodljivi oblik, a ne samo redukciju zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika.

Pravilo smanjenja razlomaka

Za smanjenje razlomaka dovoljno je zapamtiti pravilo koje se sastoji od dva koraka.

Pravilo smanjenja razlomaka

Da biste smanjili razlomak:

1. Pronađite gcd brojnika i nazivnika.
2. Podijelite brojnik i nazivnik s njihovim gcd.

Razmotrite praktične primjere.

Primjer 1. Smanjimo razlomak.

Zadan je razlomak 182 195 . Skratimo to.

Pronađite GCD brojnika i nazivnika. Za ovo u ovaj slučaj Najbolji način je korištenje Euklidovog algoritma.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Podijelite brojnik i nazivnik sa 13. dobivamo:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Spreman. Dobili smo nesvodljivi razlomak, koji je jednak izvornom razlomku.

Kako drugačije možete smanjiti razlomke? U nekim je slučajevima zgodno rastaviti brojnik i nazivnik na jednostavne faktore, a zatim iz gornjeg i donji dijelovi razlomaka kako bi se uklonili svi zajednički čimbenici.

Primjer 2. Smanjite razlomak

Zadan je razlomak 360 2940 . Skratimo to.

Da bismo to učinili, predstavljamo izvorni razlomak u obliku:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Riješimo se zajedničkih čimbenika u brojniku i nazivniku, kao rezultat toga dobivamo:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Konačno, razmotrite još jedan način smanjenja razlomaka. To je takozvana sekvencijalna redukcija. Koristeći ovu metodu, redukcija se provodi u nekoliko faza, u svakoj od kojih se razlomak smanjuje za neki očiti zajednički djelitelj.

Primjer 3. Smanjite razlomak

Smanjimo razlomak 2000 4400 .

Odmah možete vidjeti da brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor 100. Smanjujemo razlomak za 100 i dobivamo:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Dobiveni rezultat ponovno se smanjuje za 2 i dobivamo nesmanjivi razlomak:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter