Objašnjenje teme transformacija izraza koji sadrže kvadratne korijene. Korištenje svojstava korijena pri transformaciji iracionalnih izraza, primjera, rješenja

Video lekcija "Transformacija izraza koja sadrži operaciju vađenja kvadratnog korijena" vizualno je pomagalo s kojim učitelj lakše formira vještine i sposobnosti u rješavanju zadataka koji sadrže izraze s kvadratnim korijenom. Tijekom lekcije podsjećaju se na teorijske osnove koje služe kao osnova za izvođenje operacija nad brojevima i varijablama koje se nalaze u korijenskom izrazu, rješavanje mnogih vrsta problema koji mogu zahtijevati sposobnost korištenja formula za pretvaranje izraza koji sadrže kvadrat opisan je korijen, dane su metode za otklanjanje iracionalnosti u nazivniku razlomka.

Video tutorial počinje demonstriranjem naslova teme. Primjećuje se da su se ranije u nastavi provodile transformacije racionalnih izraza. Istodobno su korišteni teoretski podaci o monomima i polinomima, metode rada s polinomima, algebarski razlomci, kao i skraćene formule za množenje. Ovaj video vodič uvodi uvođenje operacije kvadratnog korijena za transformaciju izraza. Učenici se podsjećaju na svojstva operacije kvadratnog korijena. Među tim svojstvima je naznačeno da se nakon vađenja kvadratnog korijena iz kvadrata broja dobije sam broj, korijen umnoška dvaju brojeva jednak je umnošku dvaju korijena tih brojeva, korijenu broja kvocijent dvaju brojeva jednak je kvocijentu korijena članova kvocijenta. Posljednje razmatrano svojstvo je ekstrakcija kvadratnog korijena broja podignutog na paran stepen √a 2 n, koji kao rezultat tvori broj na stepen a n. Razmatrana svojstva vrijede za sve nenegativne brojeve.

Razmatraju se primjeri u kojima su potrebne transformacije izraza koji sadrže kvadratni korijen. Naznačeno je da je u ovim primjerima predviđeno da su a i b nenegativni brojevi. U prvom primjeru potrebno je pojednostaviti izraze √16a 4 /9b 4 i √a 2 b 4 . U prvom slučaju primjenjuje se svojstvo koje određuje da je kvadratni korijen umnoška dvaju brojeva jednak umnošku njihovih korijena. Kao rezultat transformacije dobije se izraz ab 2. Drugi izraz koristi formulu za pretvaranje kvadratnog korijena kvocijenta u kvocijent korijena. Rezultat transformacije je izraz 4a 2 /3b 3 .

U drugom primjeru potrebno je ukloniti faktor ispod znaka kvadratnog korijena. Razmatra se rješenje izraza √81a, √32a 2 , √9a 7 b 5. Na primjeru transformacije četiri izraza prikazano je kako se za rješavanje takvih zadataka koristi formula za transformaciju korijena umnoška više brojeva. Istodobno, odvojeno se bilježe slučajevi kada izrazi sadrže numeričke koeficijente, parametre u parnom, neparnom stupnju. Kao rezultat transformacije dobivaju se izrazi √81a=9√a, √32a 2 =4a√2, √9a 7 b 5 =3a 3 b 2 √ab.

U trećem primjeru potrebno je izvesti operaciju suprotnu onoj u prethodnom zadatku. Za unos faktora ispod predznaka kvadratnog korijena potrebno je također znati koristiti proučavane formule. Predlaže se u izrazima 2√2 i 3a√b/√3a uvesti množitelj ispred zagrada ispod predznaka korijena. Koristeći dobro poznate formule, faktor ispred predznaka korijena kvadrira se i stavlja kao faktor u umnožak ispod predznaka korijena. U prvom izrazu, kao rezultat transformacije, dobiva se izraz √8. U drugom izrazu najprije se za pretvaranje brojnika koristi formula konja proizvoda, a zatim se za pretvaranje cijelog izraza koristi formula privatnog korijena. Nakon smanjenja brojnika i nazivnika u radikalnom izrazu, dobiva se √3ab.

U primjeru 4, trebate izvesti radnje u izrazima (√a+√b)(√a-√b). Za rješavanje ovog izraza uvode se nove varijable koje zamjenjuju monome koji sadrže predznak korijena √a=x i √b=y. nakon zamjene novih varijabli očigledna je mogućnost korištenja skraćene formule množenja, nakon čega izraz poprima oblik x 2 -y 2. Vraćajući se na izvorne varijable, dobivamo a-b. Drugi izraz (√a+√b) 2 također se može pretvoriti pomoću formule reduciranog množenja. Nakon proširenja zagrada dobivamo rezultat a+2√ab+b.

U primjeru 5, izrazi 4a-4√ab+b i x√x+1 su faktorizirani. Za rješavanje ovog problema potrebno je izvršiti transformacije, odabrati zajedničke čimbenike. Nakon primjene svojstava kvadratnog korijena za rješavanje prvog izraza, zbroj se pretvara u kvadrat razlike (2√a-√b) 2 . Za rješavanje drugog izraza potrebno je ispod korijena prije predznaka korijena unijeti množitelj, a zatim primijeniti formulu za zbroj kocki. Rezultat transformacije je izraz (√x+1)(x 2 -√x+1).

Primjer 6 pokazuje rješenje problema gdje je potrebno pojednostaviti izraz (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a). Problem se rješava u četiri koraka. U prvom koraku brojnik se pretvara u proizvod pomoću skraćene formule množenja – zbroja kocki dvaju brojeva. U drugom koraku transformira se nazivnik izraza koji ima oblik a-√3a+3. Nakon pretvorbe, postaje moguće smanjiti frakciju. U posljednjem koraku također se primjenjuje formula reduciranog množenja, što pomaže da se dobije konačni rezultat a-3.

U sedmom primjeru potrebno je riješiti se kvadratnog korijena u nazivnicima razlomaka 1/√2 i 1/(√3-√2). Prilikom rješavanja zadatka koristi se glavno svojstvo razlomka. Da biste se riješili korijena u nazivniku, brojnik i nazivnik se množe s istim brojem, što kvadrira izraz korijena. Kao rezultat izračuna, dobivamo 1/√2=√2/2 i 1/(√3-√2)=√3+√2.

Značajke matematičkog jezika su naznačene kada se radi s izrazima koji sadrže korijen. Primjećuje se da sadržaj kvadratnog korijena u nazivniku razlomka znači sadržaj iracionalnosti. A rješavanje predznaka korijena u takvom nazivniku kaže se da je oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku. Opisane su metode kako se riješiti iracionalnosti - za transformaciju nazivnika oblika √a potrebno je brojnik istovremeno s nazivnikom pomnožiti brojem √a, a eliminirati iracionalnost za nazivnik oblika √a -√b, brojnik i nazivnik se množe konjugiranim izrazom √a+√ b. Primjećuje se da oslobađanje od iracionalnosti u takvom nazivniku uvelike olakšava rješenje problema.

Na kraju video tutoriala razmatra se pojednostavljenje izraza 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Za pojednostavljenje izraza primjenjuju se gore navedene metode uklanjanja iracionalnosti u nazivniku razlomaka. Dobiveni izrazi se zbrajaju, nakon čega pojednostavljeni oblik izraza izgleda kao √5-2√3.

Video lekciju "Pretvorba izraza koji sadrži operaciju vađenja kvadratnog korijena" preporuča se koristiti u tradicionalnom školskom satu za razvijanje vještina rješavanja zadataka koji sadrže kvadratni korijen. U istu svrhu, video može koristiti i nastavnik tijekom učenja na daljinu. Također, materijal se može preporučiti učenicima za samostalan rad kod kuće.

Odjeljci: Matematika

Ciljevi lekcije:

1. Ponovite definiciju aritmetičkog kvadratnog korijena, svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena.
2. Sažeti i sistematizirati znanja učenika o ovoj temi.
3. Učvrstiti vještine i sposobnosti rješavanja primjera za identične transformacije izraza koji sadrže aritmetičke kvadratne korijene.
4. Dati svakom učeniku priliku da razvije svoj potencijal u najvećoj mogućoj mjeri.
5. Proširite im vidike i upoznajte učenike s matematičarima srednjeg vijeka.

Vrsta lekcije: praktična lekcija.

Oprema za nastavu: materijali, kreda u boji, grafoskop, portret Renea Descartesa, plakati s formulama.

Tijekom nastave

jaOrganiziranje vremena.

Tema naše lekcije je "Pretvorba izraza koji sadrže aritmetičke kvadratne korijene." Danas ćemo u lekciji ponoviti pravila za pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene. To uključuje transformaciju korijena iz umnoška, ​​razlomka i stupnja, množenje i dijeljenje korijena, vađenje faktora iz predznaka korijena, stavljanje faktora u znak korijena, dovođenje sličnih pojmova i oslobađanje od iracionalnosti u nazivnik razlomka.

II. Usmena anketa o teoriji.

• Definirajte aritmetički kvadratni korijen. ( Aritmetički kvadratni korijen od a je nenegativan broj čiji je kvadrat a).
• Navedite svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena. ( Aritmetički kvadratni korijen umnoška nenegativnih faktora jednak je umnošku korijena tih faktora. Aritmetički kvadratni korijen razlomka čiji brojnik nije negativan, a nazivnik pozitivan jednak je korijenu brojnika podijeljen s korijenom nazivnika).
• Kolika je vrijednost aritmetičkog kvadratnog korijena od x 2? ( |x| ).
• Kolika je vrijednost aritmetičkog kvadratnog korijena od x 2 ako je x≥0? x<0? (X. -X).

III. usmeni rad. (Napisano na ploči).

Pronađite vrijednost korijena:

Pronađite vrijednost izraza:

Unesite množitelj ispod predznaka korijena:

usporedi:

IV. Razvoj znanja o temi. (Na stolovima svaki list sa zadacima).

1. Poduzmite akciju.

• Kako ćemo riješiti primjere a i b? ( Otvorite zagrade, navedite slične uvjete).
• Kako ćemo riješiti primjere c i d? ( Primijenite formulu razlike kvadrata).
• Kako ćemo riješiti primjere e i e? ( Uzimamo faktor iz predznaka korijena i dajemo slične pojmove).

	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Učenici slijede opcije u svojim bilježnicama, 6 učenika rješava 1 primjer na zadnjoj ploči).

– Provjera kroz grafički projektor. Svaki odgovor odgovara određenom slovu. Rezultat je riječ: Descartes.

V. Povijesna referenca.

Učenik daje kratku prezentaciju.

Godine 1626. nizozemski matematičar A. Shirar uveo je oznaku za korijen V, blisku modernom. Ako je broj 2 stajao iznad ovog znaka, to je značilo kvadratni korijen, ako je 3 - kubni. Ova oznaka počela je zamjenjivati ​​znak Rx. Međutim, dugo su vremena pisali Va + b vodoravnom crtom iznad zbroja. Tek je 1637. René Descartes kombinirao korijenski znak s vodoravnom linijom, koristeći suvremeni korijenski znak u svojoj Geometriji. Ovaj znak ušao je u opću upotrebu tek početkom 18. stoljeća. ( Na ploči - portret Renea Descartesa, crtež).

VI. Razvoj znanja o temi.

2. Faktor out.

a i b - proširimo formulom razlike kvadrata, c i d - koristeći definiciju aritmetičkog kvadratnog korijena, zamijenimo 7 i 13 kvadratima iz kvadratnih korijena, a zatim izvadimo zajednički faktor).

a) a - 9, a≥0
b) 16 – c, c≥0

Učenici rješavaju u bilježnicama prema opcijama, 2 osobe (po jedan iz svake opcije) odlučuju na ploči.

- Ispitivanje.

3. Smanjite razlomak.

Kako ćemo izvršiti ovaj zadatak? ( Faktoriziramo brojnik ili nazivnik, a zatim smanjimo).

Učenici odlučuju u bilježnicama prema opcijama, 4 osobe odlučuju na ploči. Primjeri e i f dodatno odlučuju tko će biti u vremenu.

- Ispitivanje.

4. Riješite se iracionalnosti u nazivniku razlomka.

Što ćemo raditi u ovom zadatku? ( Preobrazimo razlomak tako da nazivnik ne sadrži kvadratni korijen: a i b pomnožit ćemo i brojnik i nazivnik s kvadratnim korijenom zapisanim u nazivniku; c i d pomnožit ćemo sa zbrojem ili razlikom izraza zapisanog u nazivniku da bismo dobili razliku kvadrata).

Učenici odlučuju po opcijama, 2 osobe rješavaju 2 primjera na ploči.

- Ispitivanje.

VII. Pisanje testa.

Svi na svojim stolovima imaju list s testnim zadacima ( dodatak 1). Potpisali su list i ispunili zadatke u istom listu. Nakon što su napisali rad, predali su ga, provjerili odgovore i kroz grafološki projektor shvatili zašto je to tako.

VIII. Domaća zadaća. s. 109 br. 503 (a–d), 504.

Materijal ovog članka treba uzeti u obzir kao dio teme transformacije iracionalnih izraza. Ovdje ćemo, koristeći primjere, analizirati sve suptilnosti i nijanse (kojih ima mnogo) koje nastaju pri provođenju transformacija na temelju svojstava korijena.

Navigacija po stranici.

Prisjetite se svojstava korijena

Budući da ćemo se baviti transformacijom izraza koristeći svojstva korijena, ne škodi prisjetiti se glavnih, ili još bolje, zapisati ih na papir i staviti ispred sebe.

Prvo se proučavaju kvadratni korijeni i njihova sljedeća svojstva (a, b, a 1, a 2, ..., a k su realni brojevi):

A kasnije se proširuje ideja korijena, uvodi se definicija korijena n-tog stupnja i razmatraju se takva svojstva (a, b, a 1, a 2, ..., a k su realni brojevi, m, n, n 1, n 2, ... , n k - prirodni brojevi):

Pretvaranje izraza s brojevima pod predznacima korijena

Kao i obično, prvo uče raditi s brojčanim izrazima, a tek nakon toga prelaze na izraze s varijablama. Napravit ćemo isto, a prvo ćemo se pozabaviti transformacijom iracionalnih izraza koji sadrže samo numeričke izraze pod predznacima korijena, a već dalje u sljedećem odlomku uvest ćemo varijable pod predznacima korijena.

Kako se to može koristiti za transformaciju izraza? Vrlo jednostavno: na primjer, iracionalni izraz možemo zamijeniti izrazom, ili obrnuto. Odnosno, ako konvertirani izraz sadrži izraz koji odgovara izrazu iz lijevog (desnog) dijela bilo kojeg od navedenih svojstava korijena, tada se može zamijeniti odgovarajućim izrazom iz desnog (lijevog) dijela. Ovo je transformacija izraza korištenjem svojstava korijena.

Uzmimo još nekoliko primjera.

Pojednostavimo izraz . Brojevi 3, 5 i 7 su pozitivni, tako da možemo sigurno primijeniti svojstva korijena. Ovdje možete djelovati drugačije. Na primjer, korijen temeljen na svojstvu može se predstaviti kao , a korijen temeljen na svojstvu s k=3 kao , s ovim pristupom rješenje će izgledati ovako:

Bilo je moguće učiniti drugačije, zamijenivši s , a zatim s , u ovom slučaju rješenje bi izgledalo ovako:

Moguća su i druga rješenja, na primjer:

Pogledajmo još jedan primjer. Transformirajmo izraz. Gledajući popis svojstava korijena, iz njega odabiremo svojstva koja su nam potrebna za rješavanje primjera, jasno je da su dva od njih i ovdje su korisna, koja vrijede za bilo koji a . Imamo:

Alternativno, može se prvo transformirati izraze pod znakovima korijena koristeći

a zatim primijeniti svojstva korijena

Do ove točke smo konvertirali izraze koji sadrže samo kvadratne korijene. Vrijeme je za rad s korijenima koji imaju druge pokazatelje.

Primjer.

Transformirajte iracionalni izraz .

Odluka.

Po imovini prvi faktor danog proizvoda može se zamijeniti brojem −2:

Krenuti dalje. Drugi faktor zbog imovine može se predstaviti kao, i ne škodi 81 zamijeniti četverostrukim stepenom tri, budući da se broj 3 pojavljuje u preostalim faktorima pod znakovima korijena:

Preporučljivo je zamijeniti korijen razlomka omjerom korijena oblika , koji se može dalje transformirati: . Imamo

Rezultirajući izraz nakon izvođenja operacija s dvojkama poprimit će oblik , i ostaje transformirati proizvod korijena.

Za transformaciju proizvoda korijena, oni se obično svode na jedan pokazatelj, za koji je preporučljivo uzeti pokazatelje svih korijena. U našem slučaju, LCM(12, 6, 12)=12 , a samo će se korijen morati svesti na ovaj pokazatelj, budući da druga dva korijena već imaju takav pokazatelj. Za rješavanje ovog zadatka omogućuje jednakost, koja se primjenjuje s desna na lijevo. Tako . S obzirom na ovaj rezultat, imamo

Sada se proizvod korijena može zamijeniti korijenom proizvoda i preostale, već očite, transformacije mogu se izvesti:

Napravimo kratku verziju rješenja:

Odgovor:

.

Posebno ističemo da je za primjenu svojstava korijena potrebno uzeti u obzir ograničenja nametnuta brojevima pod predznacima korijena (a≥0, itd.). Njihovo zanemarivanje može dovesti do netočnih rezultata. Na primjer, znamo da svojstvo vrijedi za nenegativno a . Na temelju toga možemo sigurno ići, na primjer, od do, budući da je 8 pozitivan broj. Ali ako uzmemo smisleni korijen negativnog broja, na primjer, , i, na temelju gornjeg svojstva, zamijenimo ga s , tada ćemo zapravo zamijeniti −2 s 2 . Doista, , a . To jest, za negativno a, jednakost može biti netočna, kao što druga svojstva korijena mogu biti lažna bez uzimanja u obzir uvjeta koji su za njih specificirani.

Ali ono što je rečeno u prethodnom odlomku uopće ne znači da se izrazi s negativnim brojevima ispod predznaka korijena ne mogu transformirati korištenjem svojstava korijena. Samo ih je potrebno prethodno "pripremiti" primjenom pravila operacija s brojevima ili korištenjem definicije korijena neparnog stupnja iz negativnog broja, kojem odgovara jednakost , gdje je −a negativan broj (u ovom slučaju, a je pozitivan). Na primjer, ne može se odmah zamijeniti s , budući da su −2 i −3 negativni brojevi, ali nam omogućuje da se pomaknemo od korijena do , a zatim primijenimo svojstvo korijena iz proizvoda: . A u jednom od prethodnih primjera bilo je potrebno prijeći od korijena do korijena osamnaestog stupnja , i tako .

Dakle, trebate transformirati izraze koristeći svojstva korijena

• odaberite odgovarajuću nekretninu s popisa,
• provjerite da li brojevi ispod korijena zadovoljavaju uvjete za odabrano svojstvo (inače morate izvršiti preliminarne transformacije),
• i provesti namjeravanu transformaciju.

Pretvaranje izraza s varijablama pod predznacima korijena

Za transformaciju iracionalnih izraza koji ne sadrže samo brojeve, već i varijable pod predznakom korijena, moraju se pažljivo primijeniti svojstva korijena navedena u prvom stavku ovog članka. To je uglavnom zbog uvjeta koje moraju zadovoljiti brojevi uključeni u formule. Na primjer, na temelju formule, izraz se može zamijeniti izrazom samo za one x vrijednosti koje zadovoljavaju uvjete x≥0 i x+1≥0, budući da je navedena formula postavljena za a≥0 i b≥ 0 .

Koja je opasnost zanemarivanja ovih uvjeta? Odgovor na ovo pitanje jasno pokazuje sljedeći primjer. Recimo da trebamo izračunati vrijednost izraza kada je x=−2 . Ako odmah zamijenimo broj −2 umjesto varijable x, tada ćemo dobiti potrebnu vrijednost . A sada zamislimo da smo, na temelju nekih razmatranja, konvertirali zadani izraz u oblik i tek nakon toga odlučili izračunati vrijednost. Umjesto x zamjenjujemo broj −2 i dolazimo do izraza , što nema smisla.

Pogledajmo što se događa s rasponom valjanih vrijednosti (ODV) varijable x dok se krećemo od izraza do izraza. ODZ smo spomenuli ne slučajno, jer se radi o ozbiljnom alatu za kontrolu dopuštenosti izvršenih transformacija, a promjena ODZ-a nakon transformacije izraza trebala bi barem upozoriti. Za ove izraze nije teško pronaći ODZ. Za izraz, ODZ je određen iz nejednadžbe x (x+1)≥0 , njegovo rješenje daje numerički skup (−∞, −1]∪∪)