John Derbyshire. Jednostavna opsesija

Ovo je čista slučajnost (osim, naravno, ako mislite da je Zaklada Dinastija krug kabalista). Ali može li se nazvati slučajnošću da su 107, 131 i 271 prosti brojevi? Ima li reda u njihovoj raspodjeli? Stoljećima je ovo pitanje zbunjivalo matematičare, sve dok 1859. Bernhard Riemann nije predložio točnu formulu za izračunavanje primarni brojevi, ne prelazeći ovu vrijednost. Pretpostavka je bila tako elegantna da se njezin rigorozan dokaz činio stvar tehnike. Međutim, Riemannova hipoteza dočekala je svoju 151. obljetnicu (151 je prost broj) nedokazana i neopovrgnuta. Bijeli kit teorije brojeva, kako to Derbyshire kaže, još nije uhvaćen.

Riemannova hipoteza dočekala je svoju 151. obljetnicu (151 je prost broj) nedokazana i neopovrgnuta.

Parnim brojevima poglavlja Jednostavne opsesije fascinantan su izlet u povijest Riemannove hipoteze i neuspješnih pokušaja da se ona dokaže. Ali jednostavno reći autoru o hipotezi nije dovoljno; on želi da nematematički čitatelj shvati njenu dubinu i ljepotu. Izvođenje ovoga je smiješno težak zadatak Neparna poglavlja knjige posvećena su – pravoj matematičkoj školi. Dok Derbyshire konačno predstavi formulu koja izražava bit Riemannove hipoteze na stranici 391, čitatelj će već biti upućen u tajno društvo integralni logaritmi i korijeni od minus jedan (usput, prema autoru, oni nisu ništa apstraktniji od običnih brojeva: "Kada ste se zadnji put spotakli o sedam?").

Parnim brojevima poglavlja Jednostavne opsesije izlet su u povijest Riemannove hipoteze i neuspješnih pokušaja da se ona dokaže. Neparna škola matematike.

Čistim slučajem (što je, naravno, prirodno na svoj način), završno poglavlje, koji rasvjetljava razloge nevjerojatne složenosti prostih brojeva, izostavljen je iz knjige. Derbyshire je to jednostavno zaboravio napisati. I to usprkos činjenici da je doslovno u samo nekoliko stranica mogao ocrtati tajanstvenu bit Riemannove hipoteze i progovoriti o nevjerojatnim hibridima kaosa i reda koji postoje u matematici. U međuvremenu, njegove nenapisane zaključke zamijenimo riječima heroja jednog engleska knjiga: “Prosti brojevi su kao život. Sve je vrlo prirodno, ali nikada nećete razumjeti zakone.”

Posvećeno Rosie

Prvi put sam čuo da se priprema ruski prijevod moje knjige od prevoditelja A.M. Semikhatov, koji me kontaktirao da razjasnimo neke detalje.

Ova vijest me oduševila. U bilješci je opisano moje ne baš uvjerljivo iskustvo u učenju ruskog. Sramim se priznati, ali od tada moje znanje ruskog nije mnogo napredovalo. Unatoč tome, još uvijek imam znatnu sentimentalnu privrženost ovom jeziku. Osnove ruskog podučavao me profesor sa Škole za slavenske i istočnoeuropske studije, koja se nalazi u blizini koledža u Londonu na kojem sam studirala. Moj učitelj - neka mi nebo oprosti, zaboravio sam mu ime - bio je jedan od one rijetke vrste ljudi koji istinski iskreno vole jezik radi njega samog (koliko sam shvatio iz naše e-mail korespondencija, u takve ljude spadaju A.M. Semihatov). Da bismo mogli osjetiti kako su ruske riječi naglašene - a to je najteži trenutak za sve strance koji uče ruski - tjerao nas je da učimo napamet kratke odlomke iz pjesama divnih ruskih pjesnika. Tako i danas mogu napamet recitirati nešto od Puškina i Jesenjina, iako jedva da mogu naručiti kavu na ruskom.

Prije A.M. Semikhatov me kontaktirao, nisam znao ništa o Zakladi Dinastija, pod čijim je okriljem organiziran prijevod moje knjige. Počeo sam pitati svoje ruske prijatelje, oni su počeli pitati svoje prijatelje itd. Sada znam puno više. Znam kakav je veliki posao održati prekrasne tradicije Ruska znanost, a posebno matematičara, vodi Zaklada Dynasty. I drago mi je što sam neke od tih običaja uspio opisati u svojoj knjizi. Zahvalan sam Zakladi Dinastija što je odabrala moju knjigu među ostalima za prijevod. Ovo mi je velika čast.

Glavna tema moje knjige - Riemannova hipoteza i napori usmjereni na njeno dokazivanje - samo je mali dio matematike, a sama matematika samo je jedno od mnogih područja u misaoni proces, kroz koji čovječanstvo nastoji razumjeti Svemir u kojem slučajno živimo. Ipak, nadam se da moj narativ adekvatno prenosi duh intelektualne slobode i poštenog znanstvenog natjecanja - dvije komponente koje leže u temelju svega što znamo ili se nadamo znati; samo oni omogućuju nova otkrića i omogućuju realizaciju poznatih riječi Davida Gilberta, koje citiram u 16. poglavlju: “Wir müssen wissen, wir werden wissen” - “Moramo znati, znat ćemo!” Pozdravljam aktivnosti Zaklade Dinastija usmjerene na stvaranje uvjeta za to.

Od autora ovakve knjige traži se da čitateljima pruži priliku da uživaju u čitanju i da nešto nauče. Lako je pokvariti užitak lošim prijevodom. Siguran sam da je prijevod moje knjige sasvim drugi slučaj, pa sam čak sklon sumnji da je knjiga izašla iz ruku prevoditelja čak iu malo poboljšanom obliku. Prevoditeljski posao rijetko je isplativ (i dobro plaćen). Stoga se autori mogu samo nadati da će imati sreće s prevoditeljem. Sudeći po našem dopisivanju i činjenicama koje sam saznao od mojih ruskih prijatelja, ja i moji ruski čitatelji smo pravi sretnici, a takav prevoditelj kao što je Aleksej Semihatov veliki je uspjeh za sve nas. I vječno sam mu zahvalan na njegovom temeljitom i mukotrpan rad i zbog njegove nepogrešive pozornosti na detalje.

Na kraju, želim još jednom zahvaliti Zakladi Dynasty što je odabrala moju knjigu.

John Derbyshire

Huntington, Long Island

lipnja 2008

U kolovozu 1859. Bernhard Riemann postao je dopisni član Berlinske akademije znanosti; bila je to velika čast za tridesetdvogodišnjeg matematičara. U skladu s tradicijom, Riemann je ovom prilikom Akademiji predstavio rad na temu istraživanja kojom je u to vrijeme bio zaokupljen. Zvao se “O broju prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost”. U njoj je Riemann istraživao jedno jednostavno pitanje na području obične aritmetike. Da bismo razumjeli ovo pitanje, prvo saznajmo koliko ima prostih brojeva koji ne prelaze 20. Ima ih osam: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19. A koliko ima prostih brojeva koji ne prelaze tisuća? milijun? milijardu? Postoji li običajno pravo ili opća formula, što bi nas spasilo od izravnog prebrojavanja?

Riemann je ovaj problem preuzeo koristeći najrazvijenije matematički aparat svog vremena - alati koji se i danas proučavaju samo na naprednim institutskim tečajevima; osim toga, za svoje potrebe, izumio je matematički objekt koji kombinira snagu i milost u isto vrijeme. Na kraju prve trećine svog članka, on iznosi neke pretpostavke u vezi s ovim predmetom, a zatim bilježi:

Volio bih, naravno, imati rigorozan dokaz ove činjenice, ali nakon nekoliko kratkih bezuspješnih pokušaja odgodio sam potragu za takvim dokazom, budući da to nije potrebno za neposredne svrhe mog istraživanja.

Ovaj usputni uvid prošao je uglavnom nezapaženo desetljećima. Ali onda je, iz razloga koje sam namjeravao opisati u ovoj knjizi, postupno zaokupio maštu matematičara sve dok nije dosegao status opsesije, neodoljive opsesije.

Riemannova hipoteza, kako je ova pretpostavka postala nazvana, ostala je opsesija kroz cijelo 20. stoljeće i tako ostaje do danas, odražavajući do danas sve bez iznimke pokušaje da se to dokaže ili opovrgne. Ova opsjednutost Riemannovom hipotezom postala je jača nego ikada poslije posljednjih godina drugi veliki problemi koji su dugo ostali otvoreni uspješno su riješeni: Teorem četiri boje (formuliran 1852., riješen 1976.), Fermatov posljednji teorem (formuliran očito 1637., dokazan 1994.), kao i mnogi drugi, manje poznat i izvan svijeta profesionalnih matematičara. Riemannova hipoteza danas je divovski bijeli kit matematičkog istraživanja.

Riemannova hipoteza plijenila je pozornost matematičara tijekom 20. stoljeća. Ovo je rekao David Hilbert, jedan od najistaknutijih matematičkih umova svog vremena, obraćajući se Drugom međunarodnom kongresu matematičara:

U teoriji distribucije prostih brojeva u U posljednje vrijeme Hadamard, de la Vallée Poussin, von Mangoldt i drugi napravili su značajne promjene. Ali za cjelovito rješenje Problem postavljen u Riemannovoj studiji "O broju prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost", potrebno je prije svega dokazati valjanost izuzetno važne Riemannove tvrdnje<…>.

Zatim Hilbert daje formulaciju Riemannove hipoteze. Evo što je Philip A. Griffith, direktor Instituta, rekao sto godina kasnije: visoke studije na Princetonu, a prethodno je bio profesor matematike na Sveučilište Harvard. U svom članku pod naslovom “Izazovi za istraživače 21. stoljeća” u siječanjskom broju Časopis Američkog matematičkog društva za 2000 piše:

Unatoč golemim postignućima 20. stoljeća, deseci neriješenih problema još uvijek čekaju rješenja. Većina nas vjerojatno bi se složila da su sljedeća tri problema među najizazovnijim i najzanimljivijim.

Prva od njih je Riemannova hipoteza koja zafrkava matematičare već 150 godina.<…>.

Zanimljiv fenomen u Sjedinjenim Državama u posljednjim godinama 20. stoljeća bila je pojava privatnih matematičkih istraživački instituti, financiran od strane bogatih matematičkih entuzijasta. I Clay Mathematical Institute (koji je 1998. osnovao bostonski financijer Landon T. Clay) i Američki matematički institut (koji je 1994. osnovao kalifornijski poduzetnik John Fry) usredotočili su svoja istraživanja na Riemannovu hipotezu. Institut Clay odredio je nagradu od milijun dolara za dokazivanje ili opovrgavanje toga. Američki matematički institut izložio je Pretpostavku na tri velike konferencije (1996., 1998. i 2000.), okupivši istraživače iz cijelog svijeta. Hoće li ovi novi pristupi i inicijative u konačnici pomoći u pobijanju Riemannove hipoteze, ostaje za vidjeti.

Posvećeno Rosie

Predgovor ruskom izdanju

Prvi put sam čuo da se priprema ruski prijevod moje knjige od prevoditelja A.M. Semikhatov, koji me kontaktirao da razjasnimo neke detalje.

Ova vijest me oduševila. U bilješci je opisano moje ne baš uvjerljivo iskustvo u učenju ruskog. Sramim se priznati, ali od tada moje znanje ruskog nije mnogo napredovalo. Unatoč tome, još uvijek imam znatnu sentimentalnu privrženost ovom jeziku. Osnove ruskog podučavao me profesor sa Škole za slavenske i istočnoeuropske studije, koja se nalazi u blizini koledža u Londonu na kojem sam studirala. Moj učitelj - neka mi nebo oprosti, zaboravio sam mu ime - bio je jedan od one rijetke vrste ljudi koji istinski iskreno vole jezik radi samog jezika (koliko sam shvatio iz naše e-mail prepiske, A.M. Semikhatov je jedan od takvih ljudi ). Da bismo mogli osjetiti kako su ruske riječi naglašene - a to je najteži trenutak za sve strance koji uče ruski - tjerao nas je da učimo napamet kratke odlomke iz pjesama divnih ruskih pjesnika. Tako i danas mogu napamet recitirati nešto od Puškina i Jesenjina, iako jedva da mogu naručiti kavu na ruskom.

Prije A.M. Semikhatov me kontaktirao, nisam znao ništa o Zakladi Dinastija, pod čijim je okriljem organiziran prijevod moje knjige. Počeo sam pitati svoje ruske prijatelje, oni su počeli pitati svoje prijatelje itd. Sada znam puno više. Znam koliko zaklada Dynasty radi kako bi održala prekrasne tradicije ruske znanosti, a posebice matematike. I drago mi je što sam neke od tih običaja uspio opisati u svojoj knjizi. Zahvalan sam Zakladi Dinastija što je među ostalima odabrala moju knjigu za prijevod. Ovo mi je velika čast.

Glavna tema moje knjige - Riemannova hipoteza i napori usmjereni na njeno dokazivanje - samo je mali dio matematike, a sama matematika samo je jedan od mnogih smjerova u misaonom procesu kroz koji čovječanstvo nastoji razumjeti Svemir u kojem slučajno živimo. Ipak, nadam se da moj narativ adekvatno prenosi duh intelektualne slobode i poštenog znanstvenog natjecanja - dvije komponente koje leže u temelju svega što znamo ili se nadamo znati; samo oni omogućuju nova otkrića i omogućuju realizaciju poznatih riječi Davida Gilberta, koje citiram u 16. poglavlju: “Wir müssen wissen, wir werden wissen” - “Moramo znati, znat ćemo!” Pozdravljam aktivnosti Zaklade Dinastija usmjerene na stvaranje uvjeta za to.

Od autora ovakve knjige traži se da čitateljima pruži priliku da uživaju u čitanju i da nešto nauče. Lako je pokvariti užitak lošim prijevodom. Siguran sam da je prijevod moje knjige sasvim drugi slučaj, pa sam čak sklon sumnji da je knjiga izašla iz ruku prevoditelja čak iu malo poboljšanom obliku. Prevoditeljski posao rijetko je isplativ (i dobro plaćen). Stoga se autori mogu samo nadati da će imati sreće s prevoditeljem. Sudeći po našem dopisivanju i činjenicama koje sam saznao od mojih ruskih prijatelja, ja i moji ruski čitatelji smo pravi sretnici, a takav prevoditelj kao što je Aleksej Semihatov veliki je uspjeh za sve nas. I vječno sam mu zahvalan za njegov brižan i mukotrpan rad i za njegovu nepogrešivu pažnju posvećenu detaljima.

Na kraju, želim još jednom zahvaliti Zakladi Dynasty što je odabrala moju knjigu.

John Derbyshire

Huntington, Long Island

lipnja 2008

Uvod

U kolovozu 1859. Bernhard Riemann postao je dopisni član Berlinske akademije znanosti; bila je to velika čast za tridesetdvogodišnjeg matematičara. U skladu s tradicijom, Riemann je ovom prilikom Akademiji predstavio rad na temu istraživanja kojom je u to vrijeme bio zaokupljen. Zvao se “O broju prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost”. U njoj je Riemann istraživao jedno jednostavno pitanje na području obične aritmetike. Da bismo razumjeli ovo pitanje, prvo saznajmo koliko ima prostih brojeva koji ne prelaze 20. Ima ih osam: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19. A koliko ima prostih brojeva koji ne prelaze tisuća? milijun? milijardu? Postoji li opći zakon ili opća formula,što bi nas spasilo od izravnog prebrojavanja?

Riemann se uhvatio u koštac s ovim problemom koristeći najnapredniji matematički aparat svog vremena - alate koji se čak i danas proučavaju samo na naprednim fakultetskim tečajevima; osim toga, za svoje potrebe, izumio je matematički objekt koji kombinira snagu i milost u isto vrijeme. Na kraju prve trećine svog članka, on iznosi neke pretpostavke u vezi s ovim predmetom, a zatim bilježi:

Volio bih, naravno, imati rigorozan dokaz ove činjenice, ali nakon nekoliko kratkih bezuspješnih pokušaja odgodio sam potragu za takvim dokazom, budući da to nije potrebno za neposredne svrhe mog istraživanja.

Ovaj usputni uvid prošao je uglavnom nezapaženo desetljećima. Ali onda je, iz razloga koje sam namjeravao opisati u ovoj knjizi, postupno zaokupio maštu matematičara sve dok nije dosegao status opsesije, neodoljive opsesije.

Riemannova hipoteza, kako je ova pretpostavka postala nazvana, ostala je opsesija kroz cijelo 20. stoljeće i ostala je takva do danas, pošto je do danas porazila svaki pokušaj da se dokaže ili opovrgne. Ova opsjednutost Riemannovom hipotezom postala je jača nego ikad nakon uspješnog rješenja posljednjih godina drugih velikih problema koji su dugo vremena ostali otvoreni: Teorem četiri boje (formuliran 1852., riješen 1976.), Fermatov posljednji teorem (formuliran navodno 1637., dokazano 1994.), kao i mnogi drugi manje poznati izvan svijeta profesionalnih matematičara. Riemannova hipoteza danas je divovski bijeli kit matematičkog istraživanja.

Riemannova hipoteza plijenila je pozornost matematičara tijekom 20. stoljeća. Ovo je rekao David Hilbert, jedan od najistaknutijih matematičkih umova svog vremena, obraćajući se Drugom međunarodnom kongresu matematičara:

U teoriji distribucije prostih brojeva, značajan napredak nedavno su napravili Hadamard, de la Vallée Poussin, von Mangoldt i drugi. Ali da bi se u potpunosti riješio problem postavljen u Riemannovoj studiji "O broju prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost", potrebno je prije svega dokazati valjanost Riemannove iznimno važne izjave<…>.

Zatim Hilbert daje formulaciju Riemannove hipoteze. Evo kako je Philip A. Griffith, direktor Instituta za napredne studije na Princetonu i prethodno profesor matematike na Sveučilištu Harvard, govorio sto godina kasnije. U svom članku pod naslovom “Izazovi za istraživače 21. stoljeća” u siječanjskom broju Časopis Američkog matematičkog društva za 2000 piše:

Unatoč golemim postignućima 20. stoljeća, deseci neriješenih problema još uvijek čekaju rješenja. Većina nas vjerojatno bi se složila da su sljedeća tri problema među najizazovnijim i najzanimljivijim.

Prva od njih je Riemannova hipoteza koja zafrkava matematičare već 150 godina.<…>.

Zanimljiv razvoj događaja u Sjedinjenim Državama u posljednjim godinama 20. stoljeća bila je pojava privatnih instituta za istraživanje matematike koje su financirali bogati matematički entuzijasti. I Clay Mathematical Institute (koji je 1998. osnovao bostonski financijer Landon T. Clay) i Američki matematički institut (koji je 1994. osnovao kalifornijski poduzetnik John Fry) usredotočili su svoja istraživanja na Riemannovu hipotezu. Institut Clay odredio je nagradu od milijun dolara za dokazivanje ili opovrgavanje toga. Američki matematički institut izložio je Pretpostavku na tri velike konferencije (1996., 1998. i 2000.), okupivši istraživače iz cijelog svijeta. Hoće li ovi novi pristupi i inicijative u konačnici pomoći u pobijanju Riemannove hipoteze, ostaje za vidjeti.

Za razliku od teorema o četiri boje ili Fermatovog posljednjeg teorema, Riemannovu hipotezu nije lako formulirati na način koji bi je učinio razumljivom ne-matematičaru, jer je to sama bit jednog teško razumljivog matematička teorija. Evo kako to zvuči:

Riemannova hipoteza

Sve netrivijalne nule zeta funkcije imaju realni dio jednak jednoj polovici.

Za prosječnog čitatelja, čak i dobro obrazovanog bez naprednog matematičkog obrazovanja, ovo je vjerojatno potpuna besmislica. Jednako tako bi hipotezu bilo moguće formulirati na crkvenoslavenskom. U ovoj sam knjizi, paralelno s opisom povijesti Hipoteze i niza ljudi povezanih s njom, pokušao dovesti ovaj duboki i tajanstveni zaključak na razinu dostupnu širokom čitatelju, priopćujući pritom točno onoliko matematičkih informacija koliko je potrebno za razumijevanje hipoteze.

U kolovozu 1859. Bernhard Riemann postao je dopisni član Berlinske akademije znanosti; bila je to velika čast za tridesetdvogodišnjeg matematičara. U skladu s tradicijom, Riemann je ovom prilikom Akademiji predstavio rad na temu istraživanja kojom je u to vrijeme bio zaokupljen. Zvao se “O broju prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost”. U njoj je Riemann istraživao jedno jednostavno pitanje na području obične aritmetike. Da bismo razumjeli ovo pitanje, prvo saznajmo koliko ima prostih brojeva koji ne prelaze 20. Ima ih osam: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19. A koliko ima prostih brojeva koji ne prelaze tisuća? milijun? milijardu? Postoji li opći zakon ili opća formula, što bi nas spasilo od izravnog preračunavanja?

Riemann se uhvatio u koštac s ovim problemom koristeći najnapredniji matematički aparat svog vremena - alate koji se čak i danas proučavaju samo na naprednim fakultetskim tečajevima; osim toga, za svoje potrebe, izumio je matematički objekt koji kombinira snagu i milost u isto vrijeme. Na kraju prve trećine svog članka, on iznosi neke pretpostavke u vezi s ovim predmetom, a zatim bilježi:

"Naravno, želio bih imati strogi dokaz ove činjenice, ali nakon nekoliko kratkih bezuspješnih pokušaja odgodio sam potragu za takvim dokazom, jer on nije potreban za neposredne svrhe mog istraživanja."

Ovaj usputni uvid prošao je uglavnom nezapaženo desetljećima. Ali onda je, iz razloga koje sam namjeravao opisati u ovoj knjizi, postupno zaokupio maštu matematičara sve dok nije dosegao status opsesije, neodoljive opsesije.

Riemannova hipoteza, kako je ova pretpostavka postala nazvana, ostala je opsesija kroz cijelo 20. stoljeće i ostala je takva do danas, pošto je do danas porazila svaki pokušaj da se dokaže ili opovrgne. Ova opsjednutost Riemannovom hipotezom postala je jača nego ikad nakon uspješnog rješenja posljednjih godina drugih velikih problema koji su dugo vremena ostali otvoreni: Teorem četiri boje (formuliran 1852., riješen 1976.), Fermatov posljednji teorem (formuliran navodno 1637., dokazano 1994.), kao i mnogi drugi manje poznati izvan svijeta profesionalnih matematičara. Riemannova hipoteza danas je divovski bijeli kit matematičkog istraživanja.

Riemannova hipoteza plijenila je pozornost matematičara tijekom 20. stoljeća. Ovo je rekao David Hilbert, jedan od najistaknutijih matematičkih umova svog vremena, obraćajući se Drugom međunarodnom kongresu matematičara:

“U teoriji distribucije prostih brojeva, značajan napredak nedavno su napravili Hadamard, de la Vallée Poussin, von Mangoldt i drugi. Ali da bi se u potpunosti riješio problem postavljen u Riemannovoj studiji "O broju prostih brojeva koji ne prelaze zadanu vrijednost", potrebno je prije svega dokazati valjanost Riemannove iznimno važne izjave <: :="">».

Zatim Hilbert daje formulaciju Riemannove hipoteze. Evo što je Philip A. Griffiths, direktor Instituta za napredne studije na Princetonu i prethodno profesor matematike na Sveučilištu Harvard, rekao sto godina kasnije. U svom članku pod naslovom “Izazovi za istraživače 21. stoljeća” u siječanjskom broju Časopis Američkog matematičkog društva za 2000 piše:

“Unatoč golemim postignućima 20. stoljeća, deseci neriješenih problema još uvijek čekaju rješenja. Većina nas vjerojatno bi se složila da su sljedeća tri problema među najizazovnijim i najzanimljivijim.

Prva od njih je Riemannova hipoteza koja zafrkava matematičare već 150 godina. <: :="">».

Zanimljiv razvoj događaja u Sjedinjenim Državama u posljednjim godinama 20. stoljeća bila je pojava privatnih instituta za istraživanje matematike koje su financirali bogati matematički entuzijasti. I Clay Mathematical Institute (koji je 1998. osnovao bostonski financijer Landon T. Clay) i Američki matematički institut (koji je 1994. osnovao kalifornijski poduzetnik John Fry) usredotočili su svoja istraživanja na Riemannovu hipotezu. Institut Clay odredio je nagradu od milijun dolara za dokazivanje ili opovrgavanje toga. Američki matematički institut izložio je Pretpostavku na tri velike konferencije (1996., 1998. i 2000.), okupivši istraživače iz cijelog svijeta. Hoće li ovi novi pristupi i inicijative u konačnici pomoći u pobijanju Riemannove hipoteze, ostaje za vidjeti.

Za razliku od teorema četiri boje ili Fermatovog posljednjeg teorema, Riemannovu hipotezu nije lako formulirati na način da bude razumljiva ne-matematičaru, jer je ona u samoj srži jedne teško razumljive matematičke teorije. Evo kako to zvuči:

Riemannova hipoteza

Sve netrivijalne nule zeta funkcije imaju realni dio jednak jednoj polovici.

Za prosječnog čitatelja, čak i dobro obrazovanog bez naprednog matematičkog obrazovanja, ovo je vjerojatno potpuna besmislica. Jednako tako bi hipotezu bilo moguće formulirati na crkvenoslavenskom. U ovoj sam knjizi, paralelno s opisom povijesti Hipoteze i niza ljudi povezanih s njom, pokušao dovesti ovaj duboki i tajanstveni zaključak na razinu dostupnu širokom čitatelju, priopćujući pritom točno onoliko matematičkih informacija koliko je potrebno za razumijevanje hipoteze.

Nacrt knjige je vrlo jednostavan. Neparna poglavlja (izvorno planirana kao neparna poglavlja) jednostavan brojevima, ali smatrao sam da se ne isplati pojavljivati previše smart) sadrže matematička objašnjenja, vodeći čitatelja - nadamo se glatko - do razumijevanja Riemannove hipoteze i njezine važnosti. Poglavlja označena parnim brojevima daju povijesne i biografske pojedinosti.

Moj izvorni plan bio je napraviti ove dvije niti priče neovisnima, tako da čitatelji koji ne vole formule mogu uživati ​​samo u poglavljima s parnim brojevima, a čitatelji koji nisu previše zainteresirani za povijest i matematičke priče mogu lako čitati neparna poglavlja one. Taj plan nisam uspio u potpunosti provesti, a sada sumnjam da je to uz tako kompliciranu temu uopće moguće. Ipak, u svojoj je srži sačuvana planirana podjela. Mnogo je više matematike u neparnim poglavljima, a mnogo manje u parnim poglavljima, a čitatelj je, naravno, slobodan pokušati slijediti jedan ili drugi redak dok čita. Ipak se nadam da ste knjigu pročitali u cijelosti.

Knjiga je namijenjena inteligentnom i radoznalom čitatelju nematematičaru. Takva izjava, naravno, uzrokuje cijela linija pitanja. Što mislite pod "nematematičar"? Koja se razina matematičkog znanja očekuje od čitatelja? Pa, počnimo s činjenicom da svi barem nešto zna iz matematike. Najviše obrazovani ljudi vjerojatno imati nejasnu predodžbu o tome što je računica. ja Razmišljati da sam uspio napisati knjigu koja je zadovoljila razinu onih čitatelja koji su s njima bili u tolerantnim odnosima školska matematika i možda pohađao nekoliko kolegija iz matematike. Prvotno sam namjeravao objasniti Riemannovu hipotezu nikakve koristi matematička analiza . Ova formulacija problema pokazala se malo previše optimističnom; rezultat su tri poglavlja koja sadrže (u vrlo ograničenoj mjeri) najelementarniju analizu, uz usput objašnjeno sve što je potrebno.

Gotovo sve ostalo je samo aritmetika i elementarna algebra: širenje zagrada u izrazima poput ( a + b)_(c+d) ili transformacije jednadžbi koje vam omogućuju okretanje S = 1 + x S V S = 1=(1 - x). Također ćete trebati čitateljevu spremnost da prihvati neke stenografske zapise koji će vam omogućiti da poštedite mišiće svoje ruke kada prepisujete matematičke izraze. Mogu reći barem ovoliko: ne mislim da se Riemannova hipoteza može objasniti pomoću matematike koja je elementarnija od one koja je predstavljena u ovoj knjizi; pa ako, kada završite s čitanjem, još uvijek ne razumijete što je hipoteza, možete biti sigurni da je nikada nećete razumjeti.

Mnogi profesionalni matematičari i povjesničari matematike velikodušno su se odazvali mojim zahtjevima za pomoć. Duboko sam zahvalan brojnim ljudima koji su volontirali svoje vrijeme, što su mi davali savjete (koje nisam uvijek poslušao), što su imali strpljenja kada su morali odgovarati na ista glupa pitanja, a jednom od njih sam posebno zahvalan za pomoć koju su mi pružili gostoprimstvo. Ovi ljudi su: Jerry Alexanderson, Tom Apostol, Matt Breen, Brian Conrey, Harold Edwards, Dennis Hedgehall, Arthur Jaffe, Patricio Leboeuf, Stephen Miller, Hugh Montgomery, Erwin Neuenschwander, Andrew Odlyzko, Samuel Patterson, Peter Sarnak, Manfred Schroeder, Ulrike Vorhauer, Matti Vuorinen i Mike Westmoreland. Sve ozbiljne pogreške u knjizi moja su odgovornost, a ne njihova. Brigitte Bruggeman i Herbert Eitenaier pomogli su mi popuniti rupe u mom njemačkom jeziku. Narudžbe za artikle od mojih prijatelja iz Nacionalna smotra, Novi kriterij I The Washington Times omogućio mi je da hranim svoju djecu dok radim na knjizi. Brojni čitatelji mojih online kolumni pomogli su mi shvatiti koje su matematičke ideje najteže razumjeti nematematičarima.

Uz zahvale morate donijeti i isti broj isprika. Knjiga je posvećena temi koju su stotinama godina intenzivno proučavali brojni najbolji umovi čovječanstva. Unutar dodijeljenog prostora iu skladu s odabranim načinom izlaganja bilo je potrebno izbaciti čitava područja istraživanja vezana uz Riemannovu hipotezu. U knjizi nećete naći ni riječi o hipotezi gustoće, ni o približnoj funkcionalnoj jednadžbi, pa čak ni o cijelom uzbudljivom smjeru koji se tek nedavno probudio aktivan život nakon dugog hibernacije, - proučavanje trenutaka zeta funkcije. Također neće biti spomenuta Generalizirana Riemannova hipoteza, Modificirana generalizirana Riemannova hipoteza, Proširena Riemanova hipoteza, Velika Riemanova hipoteza, Modificirana Velika Riemanova hipoteza i Kvazi-Riemannova hipoteza.

Još je veće razočaranje što u mojoj knjizi neće biti imena mnogih znanstvenika koji su desetljećima neumorno radili na ovom polju. To su Enrico Bombieri, Amit Ghosh, Steve Gonek, Henrik Ivanek (polovica e-mail korespondencije koju prima adresirana je s “Henry K. Ivanek”), Nina Snaith i mnogi drugi. Iskreno im se ispričavam. Kad je posao počeo, nisam ni slutio kakav teret stavljam na svoja pleća. Ova je knjiga lako mogla biti tri ili trideset puta duža, ali moj je urednik već ispod stola čeprkao za motornom pilom.

I još jedno hvala. Držim se praznovjerja da svaka knjiga koja nadilazi zanat - drugim riječima, svaka knjiga napisana s pažnjom i ljubavlju - ima svog vlastitog duha čuvara. Ovim samo želim reći da iza svake knjige stoji neka specifičnost ljudski, čija slika ne napušta autorove misli tijekom rada i čija osobnost daje boju njegovim stranicama. (U fikcija, bojim se da se sam autor prečesto pokaže takvom osobom.)

Duh čuvar ove knjige, čiji sam pogled preko ramena ponekad uhvatio dok sam pisao, čiji blagi kašalj u susjedna soba Ponekad sam čuo u svojoj mašti i tko tiho djeluje iza kulisa u matematičkim i povijesna poglavlja, - ovo je Bernhard Riemann. Čitajući ono što je napisao i što je o njemu napisano izazvalo sam pomiješane osjećaje prema ovom čovjeku: duboko suosjećanje zbog njegove nesposobnosti da živi u društvu, lošeg zdravlja, žalosti i kroničnog siromaštva pomiješano sa strahopoštovanjem pred nevjerojatnom snagom njegova uma i snagom njegovog srce.

Knjigu treba posvetiti nekome tko živi kako bi posveta bila ugodna. Ovu sam knjigu posvetio svojoj supruzi koja točno zna koliko je ta posveta iskrena. Ali u određenom smislu, a to se ne može prešutjeti u predgovoru, ova knjiga pripada Bernhardu Riemannu, koji je za svoje kratkog vijeka, pokvaren mnogim tugama, ostavio je ljudima toliko trajne vrijednosti - uključujući i problem koji ih i dalje mami tisuću i petsto godina nakon što je, s tipičnom sramežljivošću, spomenuo svoje "kratke jalove pokušaje" da ga riješi.