Empirijske formule za izračunavanje površina jednostavnih likova. Kako pronaći područje geometrijskih oblika

Da biste riješili geometrijske probleme, morate znati formule - kao što je površina trokuta ili površina paralelograma - kao i jednostavne tehnike, o čemu ćemo govoriti.

Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih prikupili u prigodnoj tablici. Ispiši, nauči i primijeni!

Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tablici. Na primjer, za rješavanje zadataka iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profil Jedinstveni državni ispit U matematici se koriste i druge formule za površinu trokuta. Svakako ćemo vam reći o njima.

Što učiniti ako trebate pronaći ne područje trapeza ili trokuta, već područje nekog složena figura? Jesti univerzalne metode! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.

1. Kako pronaći područje nestandardne figure? Na primjer, proizvoljni četverokut? Jednostavna tehnika - podijelimo ovu figuru na one o kojima sve znamo i pronađemo joj površinu - kao zbroj površina tih figura.

Podijelite ovaj četverokut vodoravnom crtom na dva trokuta s zajedničko tlo, jednak . Visine tih trokuta jednake su i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dvaju trokuta: .

Odgovor: .

2. U nekim slučajevima, područje figure može se prikazati kao razlika nekih područja.

Nije tako lako izračunati čemu su jednake osnovica i visina tog trokuta! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutna trokuta. Vidite li ih na slici? Dobivamo: .

Odgovor: .

3. Ponekad u zadatku trebate pronaći područje ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijela kruga. Nađite površinu sektora kruga polumjera čija je duljina luka jednaka .

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je . Ostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je duljina cijele kružnice jednaka (od ), a duljina luka danog sektora jednaka je , Dakle, duljina luka je nekoliko puta manja od duljine cijele kružnice. Kut pod kojim ovaj luk počiva također je faktor manji od punog kruga (tj. stupnjeva). To znači da će područje sektora biti nekoliko puta manje od područja cijelog kruga.

Površina geometrijske figure - numerička karakteristika geometrijski lik koji pokazuje veličinu ovog lika (dio površine ograničen zatvorena petlja ove figure). Veličina površine izražena je brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Formule površine trokuta

Formula za površinu trokuta prema stranici i visini
Površina trokuta jednak polovici umnoška duljine stranice trokuta i duljine visine povučene na tu stranicu
Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru opisane kružnice
Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru upisane kružnice
Površina trokuta jednak je umnošku polumjera trokuta i polumjera upisane kružnice.

Formule kvadratne površine

Formula za površinu kvadrata prema duljini stranice
Kvadratna površina jednaka kvadratu duljine njegove stranice.
Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne duljine
Kvadratna površina jednaka polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.
S= 1 2
2

Formula površine pravokutnika

Površina pravokutnika

Formule površine paralelograma

Formula za površinu paralelograma na temelju duljine stranice i visine
Površina paralelograma
Formula za površinu paralelograma koja se temelji na dvjema stranicama i kutu između njih
Površina paralelograma jednak je umnošku duljina njegovih stranica pomnoženih sa sinusom kuta između njih.
a b sin α

Formule za površinu romba

Formula za površinu romba na temelju duljine i visine stranice
Površina romba jednak umnošku duljine njegove stranice i duljine visine spuštene na ovu stranu.
Formula za površinu romba na temelju duljine stranice i kuta
Površina romba jednak je umnošku kvadrata duljine njegove stranice i sinusa kuta između stranica romba.
Formula za površinu romba na temelju duljina njegovih dijagonala
Površina romba jednak polovici umnoška duljina njegovih dijagonala.

Formule površine trapeza

Heronova formula za trapez
Gdje je S površina trapeza,
- duljine osnovica trapeza,
- duljine stranica trapeza,

Što je površina?

Površina je karakteristika zatvorenog geometrijskog lika (kruga, kvadrata, trokuta i sl.), koja pokazuje njegovu veličinu. Površina se mjeri u kvadratnim centimetrima, metrima itd. Označava se slovom S(kvadrat).

Kako pronaći površinu trokuta?

S= a h

Gdje a– duljina baze, h– visina trokuta povučena na osnovicu.

Štoviše, baza ne mora biti na dnu. I to će poslužiti.

Ako trokut tupi, tada se visina spušta na nastavak baze:

Ako trokut pravokutan, tada su baza i visina njegove noge:

2. Još jedna formula, koja nije ništa manje korisna, ali koja se iz nekog razloga uvijek zaboravlja:

S= a b sinα

Gdje a I b- dvije stranice trokuta, grijehα je sinus kuta između ovih stranica.

Glavni uvjet je da je kut uzet između dvije poznate strane.

3. Formula za površinu na tri strane (Heronova formula):

S=

Gdje a, b I S su stranice trokuta, i R - poluperimetar str = (a+b+c)/2.

4. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera opisane kružnice:

S=

Gdje a, b I S su stranice trokuta, i R – polumjer opisane kružnice.

5. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera upisane kružnice:

S= p · r

Gdje R - poluopseg trokuta, i r – polumjer upisane kružnice.

Kako pronaći površinu pravokutnika?

1. Područje pravokutnika nalazi se vrlo jednostavno:

S=a b

Bez trikova.

Kako pronaći površinu kvadrata?

1. Budući da je kvadrat pravokutnik sa svim stranicama jednakim, na njega se primjenjuje ista formula:

S=a · a = a 2

2. Također, površina kvadrata može se pronaći kroz njegovu dijagonalu:

S= d 2

Kako pronaći površinu paralelograma?

1. Površina paralelograma nalazi se formulom:

S=a h

To je zbog činjenice da ako ga odrežete pravokutni trokut s desne strane i postavite je s lijeve strane, dobit ćete pravokutnik:

2. Također, područje paralelograma može se pronaći kroz kut između dvije strane:

S=a · b · sinα

Kako pronaći područje romba?

Romb je u biti paralelogram sa svim jednakim stranicama. Stoga se na njega primjenjuju iste formule površine.

1. Površina romba kroz visinu:

S=a h

Sve formule za površinu ravnih figura

Površina jednakokračnog trapeza

1. Formula za područje jednakokračnog trapeza pomoću stranica i kutova

a - donja baza

b - gornja baza

c - jednake strane

α - kut na donjoj bazi

Formula za površinu jednakokračnog trapeza kroz stranice, (S):

Formula za površinu jednakokračnog trapeza koristeći stranice i kutove, (S):

2. Formula za područje jednakokračnog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice

R - polumjer upisane kružnice

D - promjer upisane kružnice

O - središte upisane kružnice

H- visina trapeza

α, β - kutovi trapeza

Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice, (S):

FAIR, za upisanu kružnicu u jednakokračan trapez:

3. Formula za područje jednakokračnog trapeza kroz dijagonale i kut između njih

d- dijagonala trapeza

α,β- kutovi između dijagonala

Formula za površinu jednakokračnog trapeza kroz dijagonale i kut između njih, (S):

4. Formula za područje jednakokračnog trapeza kroz središnja linija, strana i kut na bazi

c- strana

m - srednja linija trapeza

α, β - kutovi na bazi

Formula za površinu jednakokračnog trapeza koristeći srednju liniju, bočnu stranu i osnovni kut,

(S):

5. Formula za površinu jednakokračnog trapeza pomoću baza i visine

a - donja baza

b - gornja baza

h - visina trapeza

Formula za površinu jednakokračnog trapeza koristeći baze i visinu, (S):

Površina trokuta temeljena na stranici i dva kuta, formula.

a, b, c - stranice trokuta

α, β, γ - suprotni kutovi

Površina trokuta kroz stranicu i dva kuta (S):

Formula za površinu pravilnog poligona

a - strana poligona

n - broj strana

Površina pravilnog poligona, (S):

Formula (Heron) za površinu trokuta kroz poluperimetar (S):

Površina jednakostraničnog trokuta je:

Formule za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta.

a - stranica trokuta

h – visina

Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta?

b - baza trokuta

a - jednake strane

h – visina

3. Formula za površinu trapeza s četiri strane

a - donja baza

b - gornja baza

c, d - strane

Polumjer opisane kružnice trapeza duž stranica i dijagonala

a - bočne stranice trapeza

c - donja baza

b - gornja baza

d - dijagonala

h - visina

Formula radijusa kruga trapeza, (R)

pronađite polumjer opisanog kruga jednakokračnog trokuta pomoću stranica

Znajući stranice jednakokračnog trokuta, možete koristiti formulu za pronalaženje polumjera opisane kružnice oko tog trokuta.

a, b - stranice trokuta

Polumjer kruga jednakokračnog trokuta (R):

Polumjer upisane kružnice u šesterokut

a - stranica šesterokuta

Polumjer šesterokuta upisane kružnice (r):

Polumjer upisane kružnice u romb

r - polumjer upisane kružnice

a - strana romba

D, d - dijagonale

h - visina romba

Polumjer upisane kružnice jednakostraničnog trapeza

c - donja baza

b - gornja baza

a - strane

h - visina

Polumjer upisane kružnice u pravokutni trokut

a, b - noge trokuta

c - hipotenuza

Polumjer upisane kružnice u jednakokračni trokut

a, b - stranice trokuta

Dokažite da je površina upisanog četverokuta

\/(r - a)(r - b) (r - s) (r - d),

gdje je p poluopseg, a a, b, c i d stranice četverokuta.

Dokažite da je površina četverokuta upisanog u krug jednaka

1/2 (ab + cb) · sin α, gdje su a, b, c i d stranice četverokuta, a α kut između stranica a i b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Pročitajte više na FB.ru:

Površina proizvoljnog četverokuta (slika 1.13) može se izraziti kroz njegove stranice a, b, c i zbroj para suprotnih kutova:

gdje je p poluopseg četverokuta.

Površina četverokuta upisanog u krug () (Sl. 1.14, a) izračunava se pomoću Brahmaguptine formule

i opisano (Sl. 1.14, b) () - prema formuli

Ako je četverokut upisan i opisan u isto vrijeme (sl. 1.14, c), tada formula postaje vrlo jednostavna:

Pickova formula

Za procjenu površine poligona na kariranom papiru dovoljno je izbrojati koliko ćelija taj poligon pokriva (površinu ćelije uzimamo kao jednu). Točnije, ako je S površina poligona, to je broj ćelija koje se u cijelosti nalaze unutar poligona, te je broj ćelija koje imaju barem jednu zajedničku točku s unutrašnjosti poligona.

U nastavku ćemo razmotriti samo one poligone čiji svi vrhovi leže u čvorovima kariranog papira - one gdje se sijeku linije mreže. Ispada da se za takve poligone može odrediti sljedeća formula:

gdje je površina, r je broj čvorova koji leže strogo unutar poligona.

Ova se formula naziva "Pick formula" - po matematičaru koji ju je otkrio 1899.