U početku, budući da je bila samo zbirka informacija i empirijskih opažanja o igri kocke, teorija vjerojatnosti postala je temeljita znanost. Prvi koji su mu dali matematički okvir bili su Fermat i Pascal.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerojatnosti

Dva pojedinca kojima teorija vjerojatnosti duguje mnoge svoje temeljne formule, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, a potonji je bio prezbiterijanski svećenik. Očito je želja ove dvojice znanstvenika da dokažu pogrešnost mišljenja o izvjesnoj Fortune, koja daruje sreću svojim miljenicima, dala poticaj istraživanjima na ovom području. Uostalom, zapravo, bilo koji Kockanje sa svojim pobjedama i porazima, samo je simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući strasti gospodina de Merea koji jednako Budući da je bio kockar i osoba koja nije ravnodušna prema znanosti, Pascal je bio prisiljen pronaći način za izračunavanje vjerojatnosti. De Merea je zanimalo sljedeće pitanje: "Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da vjerojatnost dobivanja 12 bodova bude veća od 50%?" Drugo pitanje, koje je gospodina jako zanimalo: “Kako podijeliti ulog između sudionika u nedovršenoj igri?” Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerojatnosti. Zanimljivo je da je osoba de Mere ostala poznata na ovim prostorima, a ne u književnosti.

Prije toga nijedan matematičar nije pokušao izračunati vjerojatnosti događaja, jer se vjerovalo da je to samo nagađanje rješenja. Blaise Pascal dao je prvu definiciju vjerojatnosti događaja i pokazao da je to određena brojka koja se može opravdati matematički. Teorija vjerojatnosti postala je temelj statistike i naširoko se koristi u modernoj znanosti.

Što je slučajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti bez konačni broj puta, tada možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda eksperimenta.

Iskustvo je provedba specifičnih radnji u stalnim uvjetima.

Kako bi se moglo raditi s rezultatima eksperimenta, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerojatnost slučajnog događaja

Da bismo započeli matematički dio vjerojatnosti, potrebno je definirati sve njene komponente.

Vjerojatnost događaja je numerička mjera mogućnosti da se neki događaj (A ili B) dogodi kao rezultat iskustva. Vjerojatnost se označava kao P(A) ili P(B).

U teoriji vjerojatnosti razlikuju se:

• pouzdan događaj će se zajamčeno dogoditi kao rezultat iskustva P(Ω) = 1;
• nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi P(Ø) = 0;
• slučajan događaj se nalazi između sigurnog i nemogućeg, odnosno vjerojatnost njegovog događanja je moguća, ali nije zajamčena (vjerojatnost slučajni događaj uvijek unutar 0≤R(A)≤ 1).

Odnosi među događajima

U obzir se uzimaju i jedan i zbroj događaja A+B, kada se događaj računa kada je ispunjena barem jedna od komponenti, A ili B, ili obje, A i B.

U međusobnom odnosu, događaji mogu biti:

• Jednako moguće.
• Kompatibilan.
• Nespojivo.
• Suprotno (međusobno se isključuju).
• Ovisna.

Ako se dva događaja mogu dogoditi s jednakom vjerojatnošću, onda oni jednako moguće.

Ako pojava događaja A ne svede na nulu vjerojatnost pojave događaja B, tada oni kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne dogode istovremeno u istom iskustvu, tada se nazivaju nekompatibilan. Bacanje novčića - dobar primjer: pojavljivanje glava je automatski i nepojavljivanje glava.

Vjerojatnost za zbroj takvih nespojivi događaji sastoji se od zbroja vjerojatnosti svakog događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućuje pojavu drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada je jedan od njih označen kao A, a drugi - Ā (čitaj se kao "ne A"). Događaj A znači da se Ā nije dogodio. Ova dva događaja tvore potpunu grupu sa zbrojem vjerojatnosti jednakim 1.

Ovisni događaji imaju međusobnog utjecaja, smanjujući ili povećavajući vjerojatnost jedne druge.

Odnosi među događajima. Primjeri

Na primjerima je mnogo lakše razumjeti principe teorije vjerojatnosti i kombinacije događaja.

Eksperiment koji će se provesti sastoji se od vađenja loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementarni ishod.

Događaj je jedan od mogućih ishoda eksperimenta - crvena kugla, plava kugla, kugla s brojem šest itd.

Test br. 1. Radi se o 6 kuglica, od kojih su tri plave s neparnim brojevima, a ostale tri crvene s parnim brojevima.

Test br. 2. Uključeno je 6 lopti plave boje brojevima od jedan do šest.

Na temelju ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

• Pouzdan događaj. Na španjolskom 2. događaj “dobiti plavu loptu” je pouzdan, jer je vjerojatnost njegove pojave jednaka 1, jer su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu s brojem 1" slučajan.
• Nemoguć događaj. Na španjolskom br. 1 s plavim i crvenim kuglicama, događaj “dobivanje ljubičaste lopte” je nemoguć, jer je vjerojatnost njegove pojave 0.
• Jednako mogući događaji. Na španjolskom br. 1 jednako su mogući događaji „dobiti loptu s brojem 2“ i „dobiti loptu s brojem 3“, te događaji „dobiti loptu s parnim brojem“ i „dobiti loptu s brojem 2 ” imaju različite vjerojatnosti.
• Kompatibilni događaji. Dobivanje šestice dvaput zaredom dok bacate kockicu je kompatibilan događaj.
• Nespojivi događaji. Na istom španjolskom Br. 1, događaji "dobiti crvenu loptu" i "dobiti loptu s neparnim brojem" ne mogu se kombinirati u istom iskustvu.
• Suprotni događaji. Najviše svijetli primjer Ovo je bacanje novčića, gdje je izvlačenje glava jednako ne izvlačenju repa, a zbroj njihovih vjerojatnosti je uvijek 1 (puna grupa).
• Zavisni događaji. Dakle, na španjolskom Br. 1, možete postaviti cilj izvlačenja crvene kuglice dvaput zaredom. Bez obzira na to je li dohvaćen prvi put ili ne, to utječe na vjerojatnost da će biti dohvaćen drugi put.

Vidljivo je da prvi događaj značajno utječe na vjerojatnost drugog (40% i 60%).

Formula vjerojatnosti događaja

Prijelaz s proricanja sudbine na precizne podatke događa se prevođenjem teme u matematičku ravan. To jest, prosudbe o slučajnom događaju kao što su "visoka vjerojatnost" ili "minimalna vjerojatnost" mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Takav je materijal već dopušteno ocjenjivati, uspoređivati ​​i unositi u složenije izračune.

S računskog gledišta, određivanje vjerojatnosti nekog događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda prema broju svih mogućih ishoda iskustva u vezi s određenim događajem. Vjerojatnost je označena s P(A), gdje P označava riječ "probabilite", što se s francuskog prevodi kao "vjerojatnost".

Dakle, formula za vjerojatnost događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbroj svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. U ovom slučaju, vjerojatnost događaja uvijek je između 0 i 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Proračun vjerojatnosti događaja. Primjer

Uzmimo španjolski. 1 s kuglicama, koje smo ranije opisali: 3 plave kuglice s brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice s brojevima 2/4/6.

Na temelju ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih problema:

• A - ispadanje crvene kuglice. Postoje 3 crvene kuglice, a ukupno je 6 opcija najjednostavniji primjer, u kojem je vjerojatnost događaja jednaka P(A)=3/6=0,5.
• B - bacanje parnog broja. Postoje 3 parna broja (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerojatnost ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
• C - izbacivanje broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupni broj mogući ishodi 6. Vjerojatnost događaja C jednaka je P(C)=4/6=0.67.

Kao što se može vidjeti iz izračuna, događaj C ima veću vjerojatnost, jer je broj vjerojatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nespojivi događaji

Takvi se događaji ne mogu istovremeno pojaviti u istom iskustvu. Kao na španjolskom 1. nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, parni i neparni broj ne mogu se pojaviti u kocki u isto vrijeme.

Vjerojatnost dva događaja smatra se vjerojatnošću njihovog zbroja ili umnoška. Zbroj takvih događaja A+B smatra se događajem koji se sastoji od pojave događaja A ili B, a njihov umnožak AB je pojava oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dviju kockica u jednom bacanju.

Zbroj više događaja je događaj koji pretpostavlja pojavu barem jednog od njih. Proizvodnja nekoliko događaja zajednička je pojava svih njih.

U teoriji vjerojatnosti, u pravilu, korištenje veznika "i" označava zbroj, a veznik "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam razumjeti logiku zbrajanja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja

Ako se uzme u obzir vjerojatnost zajednički događaji, tada je vjerojatnost zbroja događaja jednaka zbroju njihovih vjerojatnosti:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: izračunajmo vjerojatnost da u španjolskom. Broj 1 s plavim i crvenim kuglicama, pojavit će se broj između 1 i 4 ne računajući u jednoj akciji, već zbrojem vjerojatnosti elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 lopti ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uvjet su 2 i 3. Vjerojatnost da dobijete 2 je 1/6, vjerojatnost da dobijete 3 je također 1/6. Vjerojatnost da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.

Dakle, ako u pokusu s kockom zbrojimo vjerojatnosti pojavljivanja svih brojeva, rezultat će biti jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, npr. u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna strana događaj A, a druga suprotni događaj Ā, kao što je poznato,

P(A) + P(Ā) = 1

Vjerojatnost pojave nekompatibilnih događaja

Množenje vjerojatnosti koristi se kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerojatnost da će se događaji A i B u njemu pojaviti istovremeno jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti, odnosno:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerojatnost da u španjolskom br. 1, kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava kuglica, jednaka

Odnosno, vjerojatnost da će se dogoditi događaj kada se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja kuglica, izvade samo plave kuglice je 25%. Vrlo je jednostavno izvesti praktične pokuse na ovom problemu i vidjeti je li to doista tako.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se pojava jednog od njih može podudarati s pojavom drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, vjerojatnost se ne uzima u obzir ovisni događaji. Na primjer, bacanje dviju kockica može dati rezultat kada se na objema pojavi broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili su se u isto vrijeme, oni su neovisni jedan o drugome - može ispasti samo jedna šestica, druga kocka nema. utjecaj na to.

Vjerojatnost zajedničkih događaja smatra se vjerojatnošću njihovog zbroja.

Vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja. Primjer

Vjerojatnost zbroja događaja A i B, koji su zajednički jedan u odnosu na drugi, jednaka je zbroju vjerojatnosti događaja umanjenom za vjerojatnost njihovog pojavljivanja (odnosno zajedničkog događanja):

R zglob (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Pretpostavimo da je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,4. Tada događaj A pogađa metu u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da je moguće pogoditi metu i prvim i drugim hicem. Ali događaji nisu ovisni. Kolika je vjerojatnost događaja pogotka mete s dva hica (barem s jednim)? Prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: “Vjerojatnost pogotka mete s dva hica je 64 %.”

Ova formula za vjerojatnost događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerojatnost zajedničkog pojavljivanja događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem predložene formule.

Geometrija vjerojatnosti za jasnoću

Zanimljivo je da se vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja može prikazati kao dva područja A i B koja se međusobno sijeku. Kao što se može vidjeti na slici, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rješenja- nije neuobičajeno u teoriji vjerojatnosti.

Određivanje vjerojatnosti zbroja mnogih (više od dva) zajedničkih događaja prilično je glomazno. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Zavisni događaji

Događaji se nazivaju ovisnim ako pojava jednog (A) od njih utječe na vjerojatnost pojave drugog (B). Štoviše, uzima se u obzir utjecaj i pojave događaja A i njegovog nepojavljivanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju ovisnima, samo je jedan od njih zavisan (B). Uobičajena vjerojatnost označavana je kao P(B) ili vjerojatnost nezavisni događaji. U slučaju ovisnih događaja uvodi se novi koncept - uvjetna vjerojatnost P A (B), koja je vjerojatnost ovisnog događaja B, ovisno o pojavi događaja A (hipoteza), o kojem ovisi.

Ali događaj A je također slučajan, tako da također ima vjerojatnost koja se mora i može uzeti u obzir u izračunima. Sljedeći primjer pokazat će kako raditi s ovisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračuna vjerojatnosti zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja bio bi standardni špil karata.

Koristeći špil od 36 karata kao primjer, pogledajmo ovisne događaje. Moramo odrediti vjerojatnost da će druga karta izvučena iz špila biti karo ako je prva izvučena karta:

1. Bubnovaya.
2. Drugačija boja.

Očito, vjerojatnost drugog događaja B ovisi o prvom događaju A. Dakle, ako je prva opcija točna, da je u špilu 1 karta (35) i 1 karo (8) manje, vjerojatnost događaja B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Ako je druga opcija točna, tada špil sada ima 35 karata, a puni broj tambura (9), zatim vjerojatnost sljedećeg događaja B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Vidi se da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta karo, tada se smanjuje vjerojatnost događaja B i obrnuto.

Množenje zavisnih događaja

Vodeći se prethodnim poglavljem, prvi događaj (A) prihvaćamo kao činjenicu, ali u biti on ima slučajni lik. Vjerojatnost ovog događaja, odnosno izvlačenja kara iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama za sebe, već je namijenjena da služi u praktične svrhe, tada je pošteno primijetiti da je ono što je najčešće potrebno vjerojatnost stvaranja ovisnih događaja.

Prema teoremu o umnošku vjerojatnosti ovisnih događaja, vjerojatnost pojavljivanja zajednički ovisnih događaja A i B jednaka je vjerojatnosti jednog događaja A, pomnoženoj s uvjetnom vjerojatnošću događaja B (ovisnog o A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Zatim, u primjeru špila, vjerojatnost izvlačenja dviju karata s karo je:

9/36*8/35=0,0571, ili 5,7%

A vjerojatnost da prvo ne izvadite dijamante, a zatim dijamante, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Može se vidjeti da je vjerojatnost da se dogodi događaj B veća pod uvjetom da je prva izvučena karta druge boje, a ne karo. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerojatnost događaja

Kada zadatak sa uvjetne vjerojatnosti postaje višeznačan, ne može se izračunati konvencionalnim metodama. Kada postoji više od dvije hipoteze, naime A1, A2,…, A n, ..formira kompletnu grupu događaja pod uvjetom:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Dakle, formula puna vjerojatnost za događaj B s potpunom grupom slučajnih događaja A1, A2,..., a n je jednak:

Pogled u budućnost

Vjerojatnost slučajnog događaja iznimno je potrebna u mnogim područjima znanosti: ekonometriji, statistici, fizici itd. Budući da se neki procesi ne mogu deterministički opisati, jer su sami po sebi probabilističke prirode, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerojatnosti događaja može se koristiti u bilo kojem tehnološkom području kao način utvrđivanja mogućnosti pogreške ili kvara.

Možemo reći da prepoznavanjem vjerojatnosti na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.

Klasični i statistička definicija vjerojatnosti

Za praktične aktivnosti potrebno je moći usporediti događaje prema stupnju mogućnosti njihova nastanka. Razmotrimo klasični slučaj. U urni je 10 kuglica, njih 8 bijela, 2 crne. Očito, događaj "bijela kugla će biti izvučena iz urne" i događaj "crna kugla će biti izvučena iz urne" imaju u različitim stupnjevima mogućnost njihovog nastanka. Stoga je za usporedbu događaja potrebna određena kvantitativna mjera.

Kvantitativna mjera mogućnost nastanka događaja je vjerojatnost . Najviše široku upotrebu dobio dvije definicije vjerojatnosti događaja: klasičnu i statističku.

Klasična definicija vjerojatnost je povezana s konceptom povoljnog ishoda. Pogledajmo ovo detaljnije.

Neka ishodi nekog testa čine potpunu skupinu događaja i neka su jednako mogući, tj. jedinstveno moguće, nekompatibilno i jednako moguće. Takvi se ishodi nazivaju elementarni ishodi, ili slučajeva. Rečeno je da se test svodi na dijagram slučaja ili " urna shema", jer Svaki problem vjerojatnosti za takav test može se zamijeniti ekvivalentnim problemom s urnama i kuglicama različitih boja.

Ishod se zove povoljan događaj A, ako pojava ovog slučaja povlači za sobom pojavu događaja A.

Prema klasičnoj definiciji vjerojatnost događaja A je jednak omjeru broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj ukupni broj ishodi, tj.

,

(1.1)

Gdje GODIŠNJE)– vjerojatnost događaja A; m– broj slučajeva pogodnih za događaj A; n– ukupan broj predmeta.

Primjer 1.1. Kod bacanja kocke postoji šest mogućih ishoda: 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodova. Kolika je vjerojatnost da dobijete paran broj bodova?

Riješenje. svi n= 6 ishoda čine potpunu skupinu događaja i jednako su mogući, tj. jedinstveno moguće, nekompatibilno i jednako moguće. Događaj A - "pojava parnog broja bodova" - favoriziraju 3 ishoda (slučaja) - gubitak 2, 4 ili 6 bodova. Korištenjem klasične formule za vjerojatnost događaja dobivamo

GODIŠNJE) = = . ◄

Na temelju klasične definicije vjerojatnosti događaja, bilježimo njegova svojstva:

1. Vjerojatnost bilo kojeg događaja leži između nule i jedan, tj.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.

3. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Kao što je ranije navedeno, klasična definicija vjerojatnost je primjenjiva samo za one događaje koji mogu nastati kao rezultat testova koji imaju simetriju mogućih ishoda, tj. svedivi na obrazac slučajeva. Međutim, postoji velika klasa događaja čije se vjerojatnosti ne mogu izračunati korištenjem klasične definicije.

Primjerice, ako pretpostavimo da je novčić spljošten, onda je očito da se događaji “pojava grba” i “pojava glava” ne mogu smatrati jednako mogućima. Stoga formula za određivanje vjerojatnosti prema klasičnoj shemi nije primjenjiva u ovom slučaju.

Međutim, postoji još jedan pristup procjeni vjerojatnosti događaja, koji se temelji na tome koliko često će se određeni događaj dogoditi u provedenim ispitivanjima. U ovom slučaju koristi se statistička definicija vjerojatnosti.

Statistička vjerojatnostdogađaj A je relativna učestalost (učestalost) pojavljivanja ovog događaja u n izvedenih pokusa, tj.

,

(1.2)

Gdje GODIŠNJE)– statistička vjerojatnost događaja A; w(A)– relativna učestalost događaja A; m– broj pokusa u kojima se događaj dogodio A; n– ukupan broj testova.

Za razliku od matematička vjerojatnost GODIŠNJE), u klasičnoj definiciji, statistička vjerojatnost GODIŠNJE) je karakteristika iskusan, eksperimentalni. Drugim riječima, statistička vjerojatnost događanja A je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizira (postavlja) w(A) s neograničenim povećanjem broja testova koji se provode pod istim skupom uvjeta.

Na primjer, kada za strijelca kažu da pogađa metu s vjerojatnošću 0,95, to znači da od stotine hitaca koje je ispalio pod određenim uvjetima (ista meta na istoj udaljenosti, ista puška itd. . ), u prosjeku je oko 95 uspješnih. Naravno, neće svaka stotka imati 95 uspješnih hitaca, nekad će ih biti manje, nekad više, ali u prosjeku, kada se gađanje ponavlja mnogo puta pod istim uvjetima, ovaj postotak pogodaka će ostati nepromijenjen. Brojka od 0,95, koja služi kao pokazatelj strijelčeve vještine, obično je vrlo stabilan, tj. postotak pogodaka u većini gađanja bit će gotovo isti za određenog strijelca, samo će u rijetkim slučajevima značajno odstupati od prosječne vrijednosti.

Još jedan nedostatak klasične definicije vjerojatnosti ( 1.1 ) ograničenje njegove upotrebe je to što pretpostavlja konačan broj mogućih ishoda testa. U nekim slučajevima ovaj se nedostatak može prevladati korištenjem geometrijska definicija vjerojatnosti, tj. pronalaženje vjerojatnosti pada točke u određeno područje (odsječak, dio ravnine itd.).

Neka ravna figura gčini dio ravna figura G(Slika 1.1). Fit G nasumično se baca točka. To znači da sve točke u regiji G“jednaka prava” u odnosu na bačenu slučajnu točku koja ga pogodi. Uz pretpostavku da je vjerojatnost događaja A– bačeni vrh pogodi figuru g– proporcionalna je površini ove figure i ne ovisi o njenom položaju u odnosu na G, niti iz forme g, naći ćemo

Osnove teorije vjerojatnosti

Plan:

1. Slučajni događaji

2. Klasična definicija vjerojatnosti

3. Izračun vjerojatnosti događaja i kombinatorika

4. Geometrijska vjerojatnost

Teorijske informacije

Slučajni događaji.

Slučajna pojava- pojava čiji ishod nije jasno definiran. Ovaj se koncept može prilično protumačiti u širem smislu. Naime: sve je u prirodi sasvim slučajno, pojava i rođenje svake jedinke je slučajna pojava, odabir proizvoda u trgovini također je slučajna pojava, dobiti ocjenu na ispitu je slučajna pojava, bolest i oporavak su slučajne pojave itd.

Primjeri slučajnih pojava:

~ Pucanje se izvodi iz pištolja postavljenog ispod zadani kut do horizonta. Pogodak u metu je slučajan, ali projektil koji pogađa određenu "rašlju" je uzorak. Možete odrediti udaljenost kojoj projektil neće letjeti bliže i dalje. Dobit ćete neku vrstu "vilice za raspršivanje projektila"

~ Isto se tijelo važe nekoliko puta. Strogo govoreći, svaki put ćete dobiti različite rezultate, čak i ako se razlikuju neznatno, ali će biti drugačiji.

~ Zrakoplov koji leti istom rutom ima određeni koridor leta unutar kojeg avion može manevrirati, ali nikada neće imati potpuno identičnu rutu

~ Sportaš nikada neće moći pretrčati istu udaljenost u istom vremenu. Njegovi će rezultati također biti unutar određenog brojčanog raspona.

Iskustvo, eksperiment, promatranje su testovi

suđenje– promatranje ili ispunjavanje određenog skupa uvjeta koji se ponavljaju i redovito ponavljaju u istom slijedu, trajanju iu skladu s drugim identičnim parametrima.

Razmotrimo sportaša koji puca u metu. Da bi se mogao provesti, potrebno je ispuniti uvjete kao što su priprema sportaša, punjenje oružja, nišanjenje itd. "Pogodak" i "promašaj" - događaji kao rezultat pogotka.

Događaj– kvalitetan rezultat ispitivanja.

Događaj se može i ne mora dogoditi. Događaji su označeni velikim slovima. latiničnim slovima. Na primjer: D = "Strijelac je pogodio metu." S="Izvađeno bijela lopta". K="Uzeto nasumično listić lutrije bez pobjede."

Bacanje novčića je test. Pad njenog “grba” je jedan događaj, pad njenog “digitala” je drugi događaj.

Svaki test uključuje pojavu nekoliko događaja. Neki od njih mogu biti potrebni u ovaj trenutak vremena za istraživača, drugi su nepotrebni.

Događaj se naziva slučajnim, ako, kada je ispunjen određeni skup uvjeta S može se dogoditi ili ne dogoditi. U nastavku, umjesto da kažemo "skup uvjeta S je ispunjen", reći ćemo kratko: "test je proveden". Stoga će se događaj smatrati rezultatom testa.

~ Strijelac puca u metu podijeljenu u četiri područja. Snimak je test. Pogađanje određenog područja mete je događaj.

~ U urni su kuglice u boji. Iz urne se nasumično uzima jedna kuglica. Vađenje lopte iz urne je test. Izgled lopte određena boja- događaj.

Vrste slučajnih događaja

1. Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom pokusu.

~ Dio se nasumično uklanja iz kutije s dijelovima. Pojava standardnog dijela eliminira pojavu nestandardnog dijela. Događaji € pojavio se standardni dio" i pojavio se nestandardni dio" - nekompatibilno.

~ Bačen je novčić. Pojava "grba" isključuje pojavu natpisa. Događaji "pojavio se grb" i "pojavio se natpis" su nespojivi.

Forma nekoliko događaja puna grupa, ako se barem jedan od njih pojavi kao rezultat testa. Drugim riječima, pojava barem jednog od događaja cijele grupe je pouzdan događaj.

Konkretno, ako su događaji koji tvore potpunu skupinu u parovima nedosljedni, tada će rezultat suđenja biti jedan i samo jedan od ovih događaja poseban slučaj predstavlja za nas najveći interes, budući da se dalje koristi.

~ Kupljene su dvije srećke za novac i odjeću. Jedan i samo jedan od sljedećih događaja sigurno će se dogoditi:

1. “dobitak je pao na prvi listić, a nije pao na drugi,”

2. “dobitak nije pao na prvi listić, a pao je na drugi,”

3. “dobitak je pao na oba listića”,

4. “oba listića nisu dobitna.”

Ovi događaji tvore potpunu skupinu upareno nekompatibilnih događaja,

~ Strijelac je pucao u metu. Jedan od sljedeća dva događaja će se sigurno dogoditi: pogodak, promašaj. Ova dva nespojiva događaja također čine potpunu skupinu.

2. Događaji se nazivaju jednako moguće, ako postoji razlog vjerovati da ni jedno od njih nije više moguće od drugoga.

~ Pojava “grba” i pojava natpisa prilikom bacanja novčića jednako su mogući događaji. Doista, pretpostavlja se da je kovanica izrađena od homogenog materijala, pravilnog cilindričnog oblika, a prisutnost kovanja ne utječe na gubitak jedne ili druge strane kovanice.

~ Pojava jednog ili drugog broja bodova na bačenoj kocki jednako su mogući događaji. Dapače, pretpostavlja se da kocke izrađen od homogenog materijala, ima oblik pravilni poliedar, a prisutnost bodova ne utječe na gubitak bilo koje strane.

3. Događaj se zove pouzdan, ako ne može a da se ne dogodi

4. Događaj se zove nepouzdan, ako se to ne može dogoditi.

5. Događaj se zove suprotan nekom događaju ako se sastoji od nepojavljivanja ovog događaja. Suprotni događaji nisu kompatibilni, ali se jedan od njih nužno mora dogoditi. Suprotni događaji obično se označavaju kao negacije, tj. Iznad slova napisana je crtica. Suprotni događaji: A i Ā; U i Ū itd. .

Klasična definicija vjerojatnosti

Vjerojatnost je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti.

Postoji nekoliko definicija ovog pojma. Dajmo definiciju koja se naziva klasična. Dalje označavamo slabe strane ovu definiciju i dati druge definicije koje nam omogućuju da prevladamo nedostatke klasične definicije.

Razmotrite situaciju: Kutija sadrži 6 identičnih kuglica, 2 su crvene, 3 plave i 1 bijela. Očito, mogućnost izvlačenja obojene (tj. crvene ili plave) kuglice iz urne nasumično je veća od mogućnosti izvlačenja bijele kuglice. Ovu mogućnost možemo karakterizirati brojem koji se naziva vjerojatnost događaja (pojava obojene kuglice).

Vjerojatnost- broj koji karakterizira stupanj mogućnosti da se događaj dogodi.

U situaciji koja se razmatra, označavamo:

Događaj A = "Izvlačenje obojene lopte."

Prozvat će se svaki od mogućih rezultata testa (test se sastoji od vađenja kuglice iz urne). elementarni (mogući) ishod i događaj. Elementarni ishodi mogu se označiti slovima s indeksima ispod, na primjer: k 1, k 2.

U našem primjeru postoji 6 loptica, dakle postoji 6 mogućih ishoda: pojavljuje se bijela loptica; pojavila se crvena kugla; pojavila se plava kuglica itd. Lako je vidjeti da ovi ishodi tvore potpunu skupinu po paru nekompatibilnih događaja (pojavit će se samo jedna kuglica) i da su jednako mogući (kuglica je izvučena nasumično, kuglice su identične i temeljito izmiješane).

Nazovimo elementarne ishode u kojima se događa događaj koji nas zanima povoljni ishodi ovaj događaj. U našem primjeru, događaj je favoriziran A(pojava obojene lopte) sljedećih 5 ishoda:

Dakle događaj A promatra se ako je jedan od elementarnih ishoda povoljan za A. Ovo je izgled bilo koje kuglice u boji, kojih ima 5 u kutiji

U primjeru koji se razmatra elementarni ishodi 6; Njih 5 favorizira događaj A. Stoga, P(A)= 5/6. Ovaj broj daje kvantitativnu procjenu stupnja mogućnosti pojave obojene kuglice.

Definicija vjerojatnosti:

Vjerojatnost događaja A naziva se omjerom broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nekompatibilnih elementarnih ishoda koji tvore kompletnu skupinu.

P(A)=m/n ili P(A)=m: n, gdje je:

m je broj povoljnih elementarnih ishoda A;

P- broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.

Ovdje se pretpostavlja da su elementarni ishodi nekompatibilni, jednako mogući i da čine potpunu skupinu.

Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerojatnosti:

1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.

Doista, ako je događaj pouzdan, tada svaki elementarni ishod testa ide u prilog događaju. U ovom slučaju m = n dakle p=1

2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Doista, ako je događaj nemoguć, tada nijedan od elementarnih ishoda testa ne ide u prilog tom događaju. U ovom slučaju m=0, dakle p=0.

3.Postoji vjerojatnost slučajnog događaja pozitivan broj, zatvoren između nule i jedan. 0T< n.

U sljedećim temama bit će dani teoremi koji omogućuju pronalaženje vjerojatnosti drugih događaja koristeći poznate vjerojatnosti nekih događaja.

Mjerenje. U grupi učenika je 6 djevojčica i 4 dječaka. Kolika je vjerojatnost da će slučajno odabrani učenik biti djevojčica? hoće li biti mladić?

p dev = 6 / 10 = 0,6 p yun = 4 / 10 = 0,4

Koncept "vjerojatnosti" u suvremenim tečajevima rigorozne teorije vjerojatnosti izgrađen je na teoretskoj osnovi. Pogledajmo neke aspekte ovog pristupa.

Neka se jedan i samo jedan od događaja dogodi kao rezultat testa: w i(i=1, 2, .... n). Događaji w i- pozvao elementarni događaji (elementarni ishodi). OKO Odavde slijedi da su elementarni događaji parno nekompatibilni. Skup svih elementarnih događaja koji se mogu dogoditi u testu naziva se prostor elementarnih događajaΩ (veliko grčko slovo omega), a sami elementarni događaji su točaka ovog prostora..

Događaj A poistovjećen s podskupom (prostora Ω), čiji su elementi elementarni ishodi povoljni A; događaj U je podskup Ω čiji su elementi povoljni ishodi U, itd. Dakle, skup svih događaja koji se mogu dogoditi u testu je skup svih podskupova Ω koji se sam po sebi pojavljuje za bilo koji ishod testa, stoga je Ω pouzdan događaj; prazan podskup prostora Ω - je nemoguć događaj (ne javlja se ni pod kojim ishodom testa).

Elementarni događaji razlikuju se od svih tematskih događaja, “svaki od njih sadrži samo jedan element Ω

Svaki elementarni ishod w i odgovaraju pozitivnom broju p i- vjerojatnost ovog ishoda i zbroj svih p i jednaka 1 ili sa predznakom zbroja, ova činjenica će biti zapisana u obliku izraza:

Po definiciji, vjerojatnost GODIŠNJE) događanja A jednak zbroju vjerojatnosti povoljnih elementarnih ishoda A. Stoga je vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka jedan, nemogućeg događaja je nula, a proizvoljnog događaja je između nula i jedan.

Razmotrimo važan poseban slučaj kada su svi ishodi jednako mogući, zbroj vjerojatnosti svih ishoda jednak je jedan; stoga je vjerojatnost svakog ishoda 1/p. Neka događaj A favorizira m ishode.

Vjerojatnost događaja A jednak zbroju vjerojatnosti povoljnih ishoda A:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Dobivena je klasična definicija vjerojatnosti.

Postoji također aksiomatski pristup konceptu "vjerojatnosti". U sustavu predloženih aksioma. Kolmogorov A.N., nedefinirani koncepti su elementarni događaj i vjerojatnost. Izgradnja logički potpune teorije vjerojatnosti temelji se na aksiomatskoj definiciji slučajnog događaja i njegove vjerojatnosti.

Evo aksioma koji definiraju vjerojatnost:

1. Svaki događaj A dodijeljen nenegativan realan broj R(A). Taj se broj naziva vjerojatnost događaja A.

2. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedan:

3. Vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od po paru nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.

Na temelju ovih aksioma, svojstva vjerojatnosti i ovisnosti među njima izvode se kao teoremi.

Vjerojatnost događaj je omjer broja elementarnih ishoda povoljnih za dati događaj prema broju svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojem se taj događaj može pojaviti. Vjerojatnost događaja A označava se s P(A) (ovdje je P prvo slovo francuske riječi probabilite - vjerojatnost). Prema definiciji
(1.2.1)
gdje je broj elementarnih ishoda povoljnih za događaj A; - broj svih jednako mogućih elementarnih ishoda eksperimenta, koji tvore potpunu skupinu događaja.
Ova definicija vjerojatnosti naziva se klasična. Nastala je u početnoj fazi razvoja teorije vjerojatnosti.

Vjerojatnost događaja ima sljedeća svojstva:
1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici. Označimo pouzdan događaj slovom . Za određeni događaj, dakle
(1.2.2)
2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Označimo nemoguć događaj slovom . Za nemoguć događaj, dakle
(1.2.3)
3. Vjerojatnost slučajnog događaja izražava se pozitivnim brojem manjim od jedan. Budući da su za slučajni događaj nejednakosti , ili , zadovoljene, tada
(1.2.4)
4. Vjerojatnost bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
(1.2.5)
To proizlazi iz relacija (1.2.2) - (1.2.4).

Primjer 1. Jedna urna sadrži 10 kuglica jednake veličine i težine, od kojih su 4 crvene i 6 plavih. Iz urne se izvlači jedna kugla. Kolika je vjerojatnost da izvučena kuglica bude plava?

Riješenje. Događaj “izvučena kuglica je ispala plava” označavamo slovom A. Ovaj test ima 10 jednako mogućih elementarnih ishoda od kojih 6 favorizira događaj A. Sukladno formuli (1.2.1) dobivamo

Primjer 2. Svi prirodni brojevi od 1 do 30 ispisani su na identične kartice i položeni u urnu. Nakon temeljitog miješanja karata, jedna karta se uklanja iz urne. Koja je vjerojatnost da je broj na uzetoj kartici višekratnik broja 5?

Riješenje. Označimo s A događaj "broj na uzetoj kartici je višekratnik broja 5." U ovom testu postoji 30 jednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih događaj A favorizira 6 ishoda (brojevi 5, 10, 15, 20, 25, 30). Stoga,

Primjer 3. Bacaju se dvije kocke i izračunavaju se ukupni bodovi. gornja lica. Odredite vjerojatnost događaja B tako da gornje strane kockica imaju ukupno 9 bodova.

Riješenje. U ovom testu postoji samo 6 2 = 36 jednako mogućih elementarnih ishoda. Događaj B favoriziraju 4 ishoda: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dakle

Primjer 4. Odabrano slučajno prirodni broj, ne prelazi 10. Kolika je vjerojatnost da je taj broj prost?

Riješenje. Označimo događaj “odabrani broj je prost” slovom C. U ovom slučaju je n = 10, m = 4 (prosti brojevi 2, 3, 5, 7). Prema tome, tražena vjerojatnost

Primjer 5. Bacaju se dva simetrična novčića. Kolika je vjerojatnost da se na gornjim stranama oba novčića nalaze brojevi?

Riješenje. Označimo slovom D događaj “na gornjoj strani svakog novčića je broj”. U ovom testu postoje 4 jednako moguća elementarna ishoda: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) znači da prvi novčić ima grb, a drugi broj). Događaj D favorizira jedan elementarni ishod (C, C). Kako je m = 1, n = 4, tada je

Primjer 6. Kolika je vjerojatnost da nasumce odabrani dvoznamenkasti broj ima iste znamenke?

Riješenje. Dvoznamenkasti brojevi su brojevi od 10 do 99; Ukupno je 90 takvih brojeva s identičnim znamenkama (to su brojevi 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kako je u ovom slučaju m = 9, n = 90, tada je
,
gdje je A događaj "broj s identičnim znamenkama".

Primjer 7. Od slova riječi diferencijal Nasumično se bira jedno slovo. Kolika je vjerojatnost da će to slovo biti: a) samoglasnik, b) suglasnik, c) slovo h?

Riješenje. Riječ diferencijal ima 12 slova, od kojih su 5 samoglasnici i 7 suglasnici. pisma h nema u ovoj riječi. Označimo događaje: A - "slovo samoglasnika", B - "slovo suglasnika", C - "slovo h". Broj povoljnih elementarnih ishoda: - za događaj A, - za događaj B, - za događaj C. Kako je n = 12, tada
, i .

Primjer 8. Bacaju se dvije kocke i bilježi se broj bodova na vrhu svake kocke. Odredite vjerojatnost da obje kocke pokažu isti broj bodova.

Riješenje. Označimo ovaj događaj slovom A. Događaj A favorizira 6 elementarnih ishoda: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Ukupan broj jednako mogućih elementarnih ishoda koji tvore kompletnu grupu događaja, u ovom slučaju n=6 2 =36. To znači da tražena vjerojatnost

Primjer 9. Knjiga ima 300 stranica. Kolika je vjerojatnost da će nasumično otvorena stranica imati redni broj djeljiv s 5?

Riješenje. Iz uvjeta problema proizlazi da će svi jednako mogući elementarni ishodi koji tvore cjelovitu skupinu događaja biti n = 300. Od toga m = 60 ide u prilog zbivanju navedenog događaja. Doista, broj koji je višekratnik broja 5 ima oblik 5k, gdje je k prirodan broj, a , odakle . Stoga,
, gdje A - događaj “stranica” ima redni broj koji je višekratnik 5".

Primjer 10. Dvije kocke se bacaju i izračunava se zbroj bodova na gornjim stranama. Što je vjerojatnije - dobiti ukupno 7 ili 8?

Riješenje. Označimo događaje: A - “Bačeno je 7 bodova”, B – “Bačeno je 8 bodova”. Događaj A favorizira 6 elementarnih ishoda: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a favorizira se događaj B po 5 ishoda: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Svi jednako mogući elementarni ishodi su n = 6 2 = 36. To znači i .

Dakle, P(A)>P(B), odnosno dobivanje ukupno 7 bodova vjerojatniji je događaj nego dobivanje ukupno 8 bodova.

Zadaci

1. Nasumično je odabran prirodni broj koji nije veći od 30. Kolika je vjerojatnost da je taj broj višekratnik broja 3?
2. U urni a crvena i b plave kuglice, identične veličine i težine. Koja je vjerojatnost da će kuglica nasumično izvučena iz ove urne biti plava?
3. Nasumično je odabran broj koji nije veći od 30. Kolika je vjerojatnost da je taj broj djelitelj broja 30?
4. U urni A plava i b crvene kuglice, identične veličine i težine. Jedna kugla se uzima iz ove urne i ostavlja na stranu. Ispostavilo se da je ova lopta crvena. Nakon toga se iz urne izvlači još jedna kugla. Odredite vjerojatnost da je i druga kuglica crvena.
5. Nasumično je odabran nacionalni broj koji ne prelazi 50. Koja je vjerojatnost da je taj broj prost?
6. Bacaju se tri kocke i izračunava se zbroj bodova na gornjim stranama. Što je vjerojatnije - dobiti ukupno 9 ili 10 bodova?
7. Bacaju se tri kocke i izračunava se zbroj bačenih bodova. Što je vjerojatnije - dobiti ukupno 11 (događaj A) ili 12 bodova (događaj B)?

Odgovori

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - vjerojatnost dobivanja ukupno 9 bodova; p 2 = 27/216 - vjerojatnost dobivanja ukupno 10 bodova; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pitanja

1. Kako se naziva vjerojatnost događaja?
2. Kolika je vjerojatnost pouzdanog događaja?
3. Kolika je vjerojatnost nemogućeg događaja?
4. Koje su granice vjerojatnosti slučajnog događaja?
5. Koje su granice vjerojatnosti bilo kojeg događaja?
6. Koja se definicija vjerojatnosti naziva klasičnom?