Vrsta i karakteristike: lekcija otkrivanja i učenja novih znanjarješavanjem problema usmjerenih na praksu.

Svrha lekcije: naučiti studente rješavati kombinatorne probleme koristeći sljedeće metode: 1) konačno pretraživanje; 2) izgradnja stabla mogućih opcija; 3) pomoću tablice.

Oprema: komponente obrazovnog kompleksa “Vilenkin. 5",projektor, računalo,interaktivna ploča ( iskaznica ) , na svakom stolu 2 lista (A4 formata) sa 7 riješenih razrednih zadataka i 2 lista (A4 formata) sa 7 ispitnih zadataka. Na učiteljevom stolu nalazi se list (format A4) sa 7 riješenih razrednih zadataka i list (format A4) sa 7 ispitnih zadataka s njihovim rješenjima, ispisi projektne zadaće za dom.

Koraci lekcije

Scenski zadaci

Vizuali

Aktivnosti nastavnika

Aktivnosti učenika

Formirana UUD

Organizacijski

Prikupite zadaću, pripremite se za nastavu

Slajd na ploči:

“teško za naučiti, lako se boriti”

Molimo vas da svoje bilježnice za zadaću predate na provjeru. Dopustite mi da vas podsjetim da danas počinjemo proučavati novu temu.

Polaznici hodaju učionicom i skupljaju bilježnice.

Samoregulacija, predviđanje i procjena

Obnavljanje teorijskih znanja

Odredite svrhu lekcije

Na ploči: datum i naziv teme: “Kombinatorski problemi”

Ljudi, danas ćemo krenuti na fascinantno putovanje u svijet "kombinatorike"

Mentalno postavite pitanje: "Što je ovo?"

Postavljanje ciljeva, refleksija predmeta.

Objašnjenja nove materije

la

Početno upoznavanje s osnovnim pojmovima,

metode, načini

rješenja

kombinatorni problemi

Slajd na ploči: Riječ "kombinatorika" dolazi od latinske riječi COMBINARE, što znači "povezati", "kombinirati"

Učiteljica pita što mislite što znači riječ "kombinatorika"?

Nastavnik zastaje, sluša odgovore, zatim izgovara definiciju.

Riječ “kombinatorika” dolazi od latinske riječi COMBINARE, što znači “povezati”, “kombinirati”.

Djeca odgovaraju postavljanjem hipoteza

Pažljivo slušajte, pročitajte definiciju na listićima

Postavljanje i testiranje hipoteza.

Klizi po ploči

Za zaključavanje kovčega s bravom na kombinaciju koja se sastoji od bilo koja dva broja. Vlasnik kovčega odlučio je koristiti samo brojeve 1, 2 i 3. Na koliko načina može odabrati šifru?

Ovaj problem se može riješiti korištenjem stabla mogućih opcija ili nabrajanjem svih mogućih opcija.

Pažljivo slušaju, gledaju slajd, razmišljaju, pamte.

Smisleno čitanje.

Slajd na ploči:

Rješenje s mogućim stablom

Mogućnosti

STABLO MOGUĆIH OPCIJA Često procesPogodno je izvršiti nabrajanje konstruiranjem posebnog kruga - tzvstablo mogućih opcija

nacrtajte korijen stabla, da biste to učinili, stavite znak *.

Za odabir prve znamenke koda imamo tri mogućnosti: 1; 2; 3. Dakle, nacrtajte tri grane iz korijena stabla i stavite brojeve 1 na njihove krajeve; 2; 3.

Za odabir druge znamenke postoje iste tri opcije. Izvodimo "grančice"

Analiza objekta.

Slajd na ploči:

Rješenje grube sile

Prikladni kodovi su dvoznamenkasti brojevi koji se mogu sastojati od znamenki

1, 2, 3. Sve ćemo takve brojeve ispisati rastućim redoslijedom. Ova metoda nabrajanja omogućit će nam da ne propustimo nijedan od kodova i da u isto vrijeme ne ponovimo nijedan od njih.

Od početka zapisujemo uzlaznim redoslijedom sve kodove koji počinju s brojem 1: 11, 12, 13. Zatim zapisujemo uzlaznim redoslijedom kodove koji počinju s brojem 2: 21, 22, 23.

Zatim zapisujemo uzlaznim redoslijedom kodove počevši od broja 3: 31, 32, 33

Dakle, postoji 9 načina za odabir

šifre: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Analiza objekta.

Odabir kriterijskih osnova za usporedbu, serijaciju, klasifikaciju objekata.

Izrada i transformacija modela i dijagrama za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Učvršćivanje novih znanja

Pokazati praktičnu primjenu teorijskih znanja

kroz njihovu primjenu u rješavanju praktičnih problema

Slajd na ploču uz uvjet zadatka br.1

U blagovaonici za doručak možete odabrati pizzu, pecivo, sendvič, a možete ga zaliti čajem i sokom. Od koliko opcija za doručak možete birati?

Povucite ploču s rješenjem

Slajd prikazuje stablo mogućih opcija

prva razina "PIĆA"

dvije mogućnosti: ČAJ, SOK.

druga razina tri opcije: PIZZA, ZEMELJKA, SENDVIČ.

Ukupno šest OPCIJA za doručak:

ČAJ+PIZZA, ČAJ+HRPIĆA, ČAJ+SENDVIČ, SOK+PIZZA, SOK+HRPIĆA, SOK+SENDVIČ.

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Uvod u profesije.

Analiza objekta.

Odabir kriterijskih osnova za usporedbu, serijaciju, klasifikaciju objekata.

Izrada i transformacija modela i dijagrama za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Slajd na ploču s uvjetima zadatka br.2

Tri puta vode iz zemlje “Matematika” u zemlju “Književnost”, a četiri puta vode iz zemlje “Književnost” u zemlju “Tjelesni odgoj”. Na koliko načina možete doći iz zemlje “Matematika” u

Država “Tjelesni odgoj” kroz zemlju “Književnost”?

Povucite ploču s rješenjem

Crtež će nam pomoći u rješavanju ovog problema.

Prođimo sve “STAZE”

Označimo ceste koje dolaze iz zemlje “MATEMATIKA” na sljedeći način: M1, M2, M3,

i iz “KNJIŽEVNOSTI” L1, L2, L3, L4.

Prođimo kroz M1+L1, M1+L2, M1+L3, M1+L4, M2+L1, M2+L2, M2+L3,

M2+L4, M3+L1, M3+L2, M3+L3, M3+L4

Gurnuti

Djeca razmišljaju o umnožavanju broja cesta

Ili možete uzeti i pomnožiti broj cesta 3 * 4 = 12

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Upoznati modele i dijagrame za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Slajd na ploču s uvjetima zadatka br.3

Sigurnosni kod sastoji se od slova i brojeva, pri čemu je slovo na prvom mjestu (na primjer, A7). Koliko se različitih verzija šifre može napraviti korištenjem slova A, B, C i brojeva 3, 7, 9?

Povucite ploču s rješenjem

2) Za odabir kodnog slova imamo tri opcije: A; B ; C. Stoga su iz korijena stabla izvučene tri grane i na njihove krajeve postavljena slova: A; B ; C.

3) Za odabir broja, postoje iste tri opcije. Izvodimo "grančice"

Krećući se od korijena stabla duž grana, dobit ćemo sve moguće kodove

A3, A7, A9, B3, B7, B9, C3, C7, C9

Ili Ukupno 3*3=9 opcija

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Upoznati modele i dijagrame za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Slajd na ploču s uvjetima zadatka br.4

Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti zastavu u obliku tri vodoravne pruge jednake širine, ali različitih boja kao simbol svoje države: bijela, plava, crvena. Koliko zemalja može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu, različitu od ostalih?

Povucite ploču s rješenjem

Prva metoda: označite boje pruga prvim slovima naziva boja

B – bijela, K – crvena, C – plava.

Riješimo grubom silom:

BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB

Postoji ukupno šest opcija.

Drugi način:

Uzmite olovke i nacrtajte zastavice

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Upoznati modele i dijagrame za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Slajd na ploču s uvjetima zadatka br.5

U obitelji su 4 osobe, a za stolom u kuhinji su 4 stolice. Obitelj je odlučila svaku večer za večeru sjediti na ove 4 stolice na drugačiji način. Koliko dana članovi obitelji mogu to raditi bez ponavljanja?

Povucite ploču s rješenjem

Drugo rješenje

Radi jasnoće, obojajmo stolice u različite boje.

Popravimo crvenu stolicu na vrhu i preuredimo ostale tri, dobivajući šest opcija.

Napravit ćemo istu operaciju s preostalim bojama, dobit ćemo 6 * 4 = 24 različite opcije.

Drugi način:

Svaki član obitelji može sjediti na prvoj stolici, tj. 4 opcije; na drugom - 3 osobe, jer jedan član obitelji već sjedi; za treći – 2 osobe as

dvoje sjede; na četvrtom je samo jedan jer već sjede tri člana obitelji.

Dakle, pomnožimo sve mogućnosti

4*3*2*1= 24

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Upoznati modele i dijagrame za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Slajd na ploču s uvjetima zadatka br.6

Vasya je odlučio otići na Novu godinu

karneval u kostimu mušketira. U iznajmljivaču su mu ponudili izbor: tri vrste hlača, dvije kamizole, tri šešira. Koliko se različitih karnevalskih kostima može napraviti od ovih predmeta?

Povucite ploču s rješenjem

Označimo: prva kapa Š1, druga – Š2, treća – Š3

1) slajd prikazuje korijen stabla, u obliku znaka *.

2) prva razina tri hlače;

3) drugi nivo dvije kamizole;

4) treća razina tri kape;

Ukupno 18 opcija

Ili jednostavno pomnožite "razine"

3*2*3=18

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Upoznati modele i dijagrame za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Slajd na ploču s uvjetima zadatka br.7

Kad su se sreli, 7 patuljaka se rukovalo. Koliko je rukovanja učinjeno?

Sedam patuljaka odlučilo je razmijeniti fotografije. Koliko fotografija trebate?

Slajdirajte na ploču s rješenjem: a)

Slajd na ploču s rješenjem: b)

Ova dva zadatka su vrlo slična, ali ipak različita

Pri rješavanju takvih problema bolje je koristiti tablicu.

1) Nacrtajmo tablicu 8*8, prvi red i prvi stupac su gnomovi.

2) Precrtajmo dijagonalu stola na isti način na koji patuljak ne može pozdraviti samog sebe.

3) Ćelije su tko je koga pozdravio.

4) Dno stola ponavlja vrh.

Prvi gnom je pozdravio drugog = drugi gnom je pozdravio prvog.

Ukupno je 21 rukovanje.

Problem b) razlikuje se od a) po tome što je potreban

smatrajte dno tablice kao

prvi gnom je dao fotografiju drugom, NEJEDNAK drugi gnom je dao fotografiju prvom.

Ukupno 42 fotografije.

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Upoznati modele i dijagrame za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima.

Usustavljivanje znanja

Usustaviti metode rješavanja kombinatornih problema.

Slajdovi na ploči

I sljedeći slajd,

Slajdovi rješenja zadatka br. 7

Upoznali smo se s tri metode rješavanja 1) stablo opcija; 2) pretjerati;

3) tablični prikaz podataka

Pažljivo slušaju, gledaju dijapozitive, razmišljaju, analiziraju, klasificiraju, pamte.

Usustavljivanje znanja u tri

metode.

Ovladavanje novim znanjima

Dajte definiciju

razvoj kombinatornih problema.

Klizi po ploči

Zamolite djecu da vlastitim riječima definiraju koncept "Kombinatornih problema".

Odgovori na pitanje

Uspostavljanje analogija.

Vještina klasificirana

PDV.

Identificirajte tri metode za rješavanje problema ove vrste.

Sljedeći slajd;

Slajd za rješavanje zadatka br. 7

Zamolite djecu da svojim riječima govore o tri metode rješavanja

kombinatorni problemi

Odgovori na pitanje

Vještina klasificirana

PDV.

Odabir najučinkovitijih načina rješavanja problema ovisno o konkretnim rješenjima

Izvedite zaključak o viševarijantnom rješenju kombinatornih zadataka

slajd

Pitajte djecu, mislite li da se svi kombinatorni problemi mogu riješiti različitim metodama?

Nakon prikazivanja slajda tjelesni odgoj. samo minutu (3 učenika se pozivaju za ploču i posjedaju za svoje stolove na različite načine)

Odgovori na pitanje

Izrada modela i dijagrama za rješavanje problema ovisno o specifičnim uvjetima

Refleks

ove

Provoditi samostalan rad u grupama, malim grupama, individualno.

dijagonale

pola

jednak

pod pravim kutom

Da

Da

Da

Na svakom stolu nalazi se list (format A4) sa sedam zadataka (prilog br. 1)

Slajd s odgovorima

Tablica na ploči (momski odgovori)

Coman-

da #1

Coman-

da #2

7 a

7 b

Iz razreda se biraju dva tima od 8-12 ljudi. Dobivaju zadatak:

1. Rasporedite po zadacima: jedan ili dva učenika po zadatku.

2. Za rješenje nije predviđeno više od 7 minuta.

Napomena: učitelj može kreirati timove, nema dodjele po zadatku, samo se sama djeca moraju rasporediti unutar 1 minute. Ako ne mogu, onda će na temelju lokacije djece učenik dobiti svoj zadatak.

1. za svaki točno riješen

tim će dobiti 1 bod za zadatak

1. provjerava razred: odgovori timova zapisani su na ploči. Djeca koja su riješila svoj problem izgovaraju odgovor, a dežurni ga zapisuje.

2. točni odgovori na slajdu

Učenici koji nisu timski rješavaju bilo koji broj zadataka od sedam po izboru.

Obavljati samostalan rad u timu, u paru, individualno.

Kombinacija individualnog samostalnog rada i timske suradnje

Objašnjenja domaće zadaće

Pružiti

dječje razumijevanje svrhe, sadržaja i načina provedbe

domaće zadaće.

Svaki učenik ima tekst ove zadaće na svom stolu.

zadaci.

Projekt domaća zadaća

Smislite tri za svakoga

bilo kakvih kombinatornih problema.

Grupirajte ne više od 5 osoba

Ove zadatke ćemo mi (učiteljica i učenici) ubuduće koristiti u kviz natjecanjima, i to ne samo u razredu, već iu školi.

Odnosno, napravit ćemo banku "Zadataka za kvizove"

Razmislite o uvjetima za ispunjavanje zadatka:

1) pojedinačno ili u grupi;

2) što koristiti pri izradi zadataka, koja sredstva.

Samoregulacija

cija, razvoj samosvijesti, odgovornost

bez veze, bez poveznice

Prilog br.1

Zadatak br. 1

U blagovaonici za doručak možete odabrati lepinju, pitu sa kupusom, pitu s krumpirom, sendvič, a možete ga zaliti čajem ili kompotom. Od koliko opcija za doručak možete birati?

Zadatak br. 2

Četiri puta vode iz zemlje “Matematika” u zemlju “Književnost”, a pet cesta vodi iz zemlje “Književnost” u zemlju “Tjelesni odgoj”. Na koliko načina možete doći iz zemlje “Matematika” u

zemlju “Tjelesni odgoj” kroz zemlju “Književnost”?

Zadatak br. 3

Sigurnosni kod se sastoji od slova i brojeva, sa slovom na prvom mjestu (na primjer, A7). Koliko se različitih verzija šifre može napraviti korištenjem slova A, M, F i brojeva 1, 4, 6, 9?

Zadatak br. 4

Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti zastavu u obliku četiri vodoravne pruge jednake širine, ali različitih boja kao simbol svoje države: bijela, plava, crvena, zelena. Koliko zemalja može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu, različitu od ostalih?

Problem #5

U obitelji je 5 ljudi, a za stolom u kuhinji je 5 stolica. Obitelj je odlučila svaku večer za večeru sjediti na ovih 5 stolica na drugačiji način. Koliko dana članovi obitelji mogu to raditi bez ponavljanja?

Problem #6

Vasya je odlučio otići na novogodišnji karneval odjeven kao mušketir. U iznajmljivaču su mu ponudili izbor: četiri vrste hlača, dva kamizola, dva šešira. Koliko se različitih karnevalskih kostima može napraviti od ovih predmeta?

Problem broj 7

Kada su se sreli, 4 patuljka su se rukovala. Koliko je rukovanja učinjeno?

Pet patuljaka odlučilo je razmijeniti fotografije. Koliko fotografija trebate?

Prilog br.2

Domaća zadaća (projektna aktivnost)

Projekt domaća zadaća

Smislite tri za svakoga

bilo kakvih kombinatornih problema.

Kada postavljate probleme, možete koristiti: Udžbenik “Vilenkin. matematika 5; druge knjige; Internet resursi.

Možete se pridružiti grupama, ali uvjet je

Svaki učenik ima tri zadatka.

Grupirajte ne više od 5 osoba

3) UMK “Dorofejev matematika 5”;

4) Internet resursi (gif1000)

Kombinatorika je grana matematike koja proučava pitanja o tome koliko se različitih kombinacija, pod određenim uvjetima, može napraviti od danih objekata. Osnove kombinatorike vrlo su važne za procjenu vjerojatnosti slučajnih događaja, jer Oni nam omogućuju izračunavanje fundamentalno mogućeg broja različitih opcija za razvoj događaja.

Osnovna formula kombinatorike

Neka postoji k grupa elemenata, a i-ta grupa se sastoji od n i elemenata. Odaberimo po jedan element iz svake skupine. Tada je ukupan broj N načina na koje se može napraviti takav izbor određen relacijom N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Primjer 1. Objasnimo ovo pravilo na jednostavnom primjeru. Neka postoje dvije grupe elemenata, a prva grupa se sastoji od n 1 elemenata, a druga od n 2 elemenata. Koliko se različitih parova elemenata može napraviti od te dvije skupine, tako da par sadrži po jedan element iz svake skupine? Recimo da smo uzeli prvi element iz prve skupine i, ne mijenjajući ga, prošli kroz sve moguće parove, mijenjajući samo elemente iz druge skupine. Za ovaj element može postojati n 2 takva para. Zatim uzmemo drugi element iz prve skupine i također napravimo sve moguće parove za njega. Također će biti n 2 takva para. Budući da postoji samo n 1 elemenata u prvoj skupini, ukupni mogući izbor bit će n 1 *n 2 .

Primjer 2. Koliko se troznamenkastih parnih brojeva može sastaviti od znamenki 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ako se znamenke mogu ponavljati?
Riješenje: n 1 =6 (jer kao prvu znamenku možete uzeti bilo koji broj od 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (jer kao drugu znamenku možete uzeti bilo koji broj od 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (budući da se bilo koji broj od 0, 2, 4, 6 može uzeti kao treća znamenka).
Dakle, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

U slučaju kada se sve grupe sastoje od istog broja elemenata, tj. n 1 =n 2 =...n k =n možemo pretpostaviti da je svaki odabir napravljen iz iste grupe, a element nakon odabira se vraća u grupu. Tada je broj svih metoda odabira n k . Ova metoda odabira u kombinatorici se zove uzorci s povratom.

Primjer 3. Koliko se četveroznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 5, 6, 7, 8?
Riješenje. Za svaku znamenku četveroznamenkastog broja postoji pet mogućnosti, što znači N=5*5*5*5=5 4 =625.

Promotrimo skup koji se sastoji od n elemenata. U kombinatorici se taj skup naziva opća populacija.

Broj postavljanja n elemenata po m

Definicija 1. Smještaj od n elementi po m u kombinatorici bilo naručeni skup iz m različiti elementi odabrani iz populacije u n elementi.

Primjer 4. Različiti rasporedi tri elementa (1, 2, 3) po dva bit će skupovi (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Položaji se mogu međusobno razlikovati kako po elementima tako i po njihovom redoslijedu.

Broj plasmana u kombinatorici označava se s A n m i izračunava se po formuli:

Komentar: n!=1*2*3*...*n (čitaj: “en factorial”), osim toga, pretpostavlja se da je 0!=1.

Primjer 5. Koliko ima dvoznamenkastih brojeva u kojima su znamenka desetica i znamenka jedinice različite i neparne?
Riješenje: jer Ako postoji pet neparnih znamenki, naime 1, 3, 5, 7, 9, tada se ovaj zadatak svodi na odabir i postavljanje dvije od pet različitih znamenki na dva različita položaja, tj. navedeni brojevi će biti:

Definicija 2. Kombinacija iz n elementi po m u kombinatorici bilo neuređen skup iz m različiti elementi odabrani iz populacije u n elementi.

Primjer 6. Za skup (1, 2, 3), kombinacije su (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Broj kombinacija od n elemenata, m svaki

Broj kombinacija označava se s C n m i izračunava se po formuli:

Primjer 7. Na koliko načina čitatelj može izabrati dvije knjige od šest dostupnih?

Riješenje: Broj metoda jednak je broju kombinacija šest knjiga po dvije, tj. jednako:

Permutacije od n elemenata

Definicija 3. Permutacija iz n elementi se nazivaju bilo koji naručeni skup ovi elementi.

Primjer 7a. Sve moguće permutacije skupa koji se sastoji od tri elementa (1, 2, 3) su: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Broj različitih permutacija od n elemenata označava se s P n i izračunava se po formuli P n =n!.

Primjer 8. Na koliko se načina na polici može poredati sedam knjiga različitih autora u jedan red?

Riješenje: Ovaj problem se odnosi na broj permutacija sedam različitih knjiga. Postoji P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 načina za slaganje knjiga.

Rasprava. Vidimo da se broj mogućih kombinacija može izračunati prema različitim pravilima (permutacije, kombinacije, plasmani) i rezultat će biti drugačiji, jer Princip izračuna i same formule su različiti. Gledajući pažljivo definicije, primijetit ćete da rezultat ovisi o nekoliko čimbenika istovremeno.

Prvo, od koliko elemenata možemo kombinirati njihove skupove (kolika je ukupnost elemenata).

Drugo, rezultat ovisi o veličini skupova elemenata koji su nam potrebni.

Na kraju, važno je znati je li nam redoslijed elemenata u skupu bitan. Objasnimo posljednji faktor koristeći sljedeći primjer.

Primjer 9. Na roditeljskom sastanku je prisutno 20 osoba. Koliko različitih opcija postoji za sastav matičnog odbora ako u njemu mora biti 5 ljudi?
Riješenje: U ovom primjeru nas ne zanima redoslijed imena na listi odbora. Ako se kao rezultat toga ispostavi da su isti ljudi dio toga, onda je za nas to ista opcija. Stoga možemo koristiti formulu za izračunavanje broja kombinacije od 20 elemenata po 5.

Stvari će biti drugačije ako je svaki član komisije u početku odgovoran za određeno područje rada. Onda, uz isti listački sastav povjerenstva, eventualno ih je 5 unutar njega! opcije permutacije ta stvar. Broj različitih (kako u sastavu tako iu području odgovornosti) opcija određen je u ovom slučaju brojem plasmani od 20 elemenata po 5.

Zadaci za samotestiranje
1. Koliko se troznamenkastih parnih brojeva može sastaviti od znamenki 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ako se znamenke mogu ponavljati?

2. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva koji se jednako čitaju s lijeva na desno i s desna na lijevo?

3. U razredu ima deset predmeta i pet sati dnevno. Na koliko načina možete napraviti raspored za jedan dan?

4. Na koliko se načina mogu odabrati 4 delegata za konferenciju ako u grupi ima 20 ljudi?

5. Na koliko se načina može staviti osam različitih pisama u osam različitih koverti, ako se u svaku kuvertu stavi samo jedno pismo?

6. Povjerenstvo od dva matematičara i šest ekonomista treba biti sastavljeno od tri matematičara i deset ekonomista. Na koliko načina se to može učiniti?

Kombinatorika je grana matematike. Osnovni pojmovi i formule kombinatorike kao znanosti primjenjuju se u svim sferama života.

Nije iznenađujuće da je uključen u program 11. razreda, kao iu prijemne ispite na mnogim sveučilištima u Ruskoj Federaciji. Njegovi temelji leže u primijenjenoj umjetnosti mnogih sfera ljudske djelatnosti.

Njegova povijest seže više od 6 stoljeća. Prvi kombinatorni problemi pojavili su se u djelima filozofa i matematičara srednjeg vijeka.

Predstavnici tog znanstvenog svijeta pokušavali su pronaći metode za rješavanje takvih problema, njihova temeljna pravila i koncepte, te uspostaviti jedinstvene formule i jednadžbe za one koji se s njima još nisu susreli. Takve se informacije u naše vrijeme nazivaju informacijama "za lutke".

Pokušajmo razumjeti aspekte ovog područja znanosti: koji su elementi, svojstva, pravila, metode i njegova glavna primjena u našim životima? Naravno, nemoguće je obuhvatiti cijelo područje u jednom članku. Stoga će sve najosnovnije stvari biti predstavljene u nastavku.

Što je kombinatorika u matematici

Suštinu ovog izraza daju knjige prošlih godina: ovo grana matematike koja se bavi operacijama nad mnogim elementima.

Na internetu postoje udžbenici iz informatike i matematike za djecu i školarce, zbirke materijala i zadataka za početnike, gdje je na pristupačan način objašnjena “zabavna” kombinatorika. Moramo čvrsto smisliti kako riješiti takve probleme.

U osnovnim razredima problemi na ovu temu rješavaju se u dodatnim klubovima, au školama s produbljenim učenjem matematike - na glavnim satovima. Osim toga, zadaci kombinatorike uključeni su u olimpijade na svim razinama.

Osnovni koncepti

Ima ih nekoliko:

1. Element– bilo koji predmet ili pojava uključena u željeni skup.
2. Kombinacija– podskupovi smješteni proizvoljnim redoslijedom u izvornom skupu.
3. Preuređenje– elementi u skupu su u strogo definiranom redoslijedu.
4. Smještaj– uređeni podskupovi u izvornom skupu.

Pravilo proizvoda

Jedno je od osnovnih pravila kod rješavanja ovakvih problema i zvuči ovako:

Prilikom odabira elementa A iznmetode i izbor elementa B izmNa neki način istina je da je moguće odabrati par A i B u isto vrijemen* mnačine.

Pogledajmo konkretne primjere.

Zadatak br. 1.

Kutija sadrži 2 lopte i 6 užadi za skakanje. Na koliko načina možete dobiti 1 loptu i 1 uže za skakanje?

Odgovor je jednostavan: 2 * 6 = 12.

Zadatak br. 2.

Ima 1 kocku, 2 kuglice, 3 cvijeta i 4 bombona. Na koliko načina se može nacrtati kocka, lopta, cvijet i bombon?

Rješenje je slično: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Štoviše, lijeva strana se može napisati mnogo jednostavnije: 4!

! u ovom slučaju to nije interpunkcijski znak, već faktorijel. Pomoću njega možete izračunati složenije opcije i riješiti teške probleme (postoje različite formule, ali više o tome kasnije).

Zadatak br. 3.

Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od 2 znamenke?

Odgovor: 2! = 2.

Zadatak br. 4.

Koliko se deseteroznamenkastih brojeva može sastaviti od 10 znamenki?

Pravilo zbroja

Ovo je ujedno i osnovno pravilo kombinatorike.

Ako se A može izabratinputa, a B -mputa, tada se može odabrati A ili B (n+ m) jednom.

Zadatak br. 5.

U kutiji se nalazi 5 crvenih, 3 žute, 7 zelenih i 9 crnih olovaka. Na koliko načina možete izvući bilo koju olovku?

Odgovor: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Kombinacije sa i bez ponavljanja

Ovaj izraz se odnosi na kombinacije bilo kojim redoslijedom iz skupa od n x m elemenata.

Broj kombinacija jednak je broju takvih kombinacija.

Zadatak br. 6.

Kutija sadrži 4 različita voća. Na koliko načina možete dobiti 2 različita voća u isto vrijeme?

Rješenje je jednostavno:

Gdje je 4! – kombinacija 4 elementa.

S ponavljanjima malo kompliciranije, kombinacije se izračunavaju pomoću sljedeće formule:

Zadatak br. 7.

Uzmimo isti slučaj, ali pod uvjetom da se jedan plod vrati u kutiju.

U ovom slučaju:

Plasmani sa i bez ponavljanja

Ova definicija označava skup od m elemenata iz skupa od n elemenata.

Zadatak br. 8.

Od 3 znamenke, trebate odabrati 2 da biste dobili različite dvoznamenkaste brojeve. Koliko opcija?

Odgovor je jednostavan:

Ali što s tim? s ponavljanjima? Ovdje se svaki element može postaviti nekoliko puta! U ovom slučaju, opća formula će izgledati ovako:

Zadatak br. 9.

Od 12 slova latinične abecede i 10 znamenki prirodnog niza trebate pronaći sve mogućnosti za sastavljanje koda automobilske regije.

Permutacije sa i bez ponavljanja

Ovaj izraz se odnosi na sve moguće kombinacije skupa n elemenata.

Zadatak br. 10.

Koliko se mogućih 5-znamenkastih brojeva može sastaviti od 5 znamenki? Što je sa šest znamenki od 6 znamenki? Sedam znamenki od 7 znamenki?

Rješenja, prema gornjoj formuli, su sljedeća:

Ali što s tim? s ponavljanjima? Ako takav skup sadrži elemente jednake važnosti, tada će biti manje permutacija!

Zadatak br.11.

U kutiji se nalaze 3 iste olovke i jedna olovka. Koliko permutacija možete napraviti?

Odgovor je jednostavan: 4! / (3! * 1!) = 4.

Kombinatorni zadaci s rješenjima

Gore su navedeni primjeri svih mogućih vrsta problema s rješenjima. Ovdje ćemo se pokušati pozabaviti složenijim slučajevima s kojima se susrećemo u životu.

Vrste zadataka	Ono što trebate pronaći	Metode rješenja
Magični kvadrat	Slika u kojoj zbroj brojeva u recima i stupcima mora biti isti (njena je varijanta latinski kvadrat).	Relacije ponavljanja. Sličan problem je riješen, ali s puno manjim skupom elemenata prema poznatim pravilima i formulama.
Problem postavljanja	Standardni proizvodni zadatak (primjerice u patchwork tehnologiji) je pronaći moguće načine rastavljanja količina proizvoda u ćelije određenim redoslijedom.	Uključivanja i isključenja. U pravilu se koristi pri dokazivanju raznih izraza.
Problemi oko trgovaca	Poanta je pronaći sve moguće načine da ljudi dođu od točke A do točke B.	Trajektorije. Ovu vrstu problema karakterizira geometrijska konstrukcija mogućih rješenja.

Zaključak

Vrijedno je proučavati ovu znanost, jer će u doba brze modernizacije tehnologije biti potrebni stručnjaci koji mogu pružiti različita rješenja za određene praktične probleme.

Za konstruiranje odgovarajućih matematičkih modela kombinatornih problema koristit ćemo se matematički aparat teorije skupova. Može se dogoditi da u određenom skupu redoslijed elemenata nije bitan, već je važan samo sastav skupa. Ali postoje problemi u kojima je redoslijed elemenata bitan.

Definicija 1: Narudžba u mnogim od elemenata je numeriranje njegovih elemenata prirodnim brojevima, tj. postaviti zaslon
za mnoge
.

Definicija 2: Skup sa zadanim redoslijedom naziva se naručeni skup.

Očito, skup koji sadrži više od jednog elementa može se poredati na više od jednog načina.

Na primjer, iz dva slova I Uređeni skup možete konstruirati na dva različita načina:

I
.

Tri slova ,I može se poredati na šest načina:

,
,
,
,
,
.

Za četiri slova, nabrajanjem dobivamo 24 različito poredana niza.

Uređeni nizovi elemenata određenog skupa mogu se smatrati distribucijom ili rasporedom tih elemenata u nizu.

Definicija 3: Neka je dan konačan skup
iz elementi. Bilo koji skup elementi zadanog skupa (a elementi u skupu se mogu ponavljati) bit će pozvani -aranžmani .

Kroz pojam rasporeda uvode se osnovne definicije kombinatorike: kombinacije, postavljanja i permutacije. Štoviše, svaki od ovih pojmova može se ponavljati ili bez ponavljanja. U ovom odjeljku razmotrit ćemo kombinatorne formule bez ponavljanja.

Prearanžiranja bez ponavljanja.

Definicija 4: Neka
- konačan skup elementi. Permutacije iz raznih elemenata seta
pozivaju se sve lokacije elemente u određenom redoslijedu. Označeno prema: (od francuske riječi permutacija- preuređenje).

Uređeni skupovi se smatraju različitima ako se razlikuju ili po svojim elementima ili po svom redoslijedu.

Definicija 5: Nazivaju se različiti uređeni skupovi koji se razlikuju samo po redoslijedu svojih elemenata permutacije ovog mnoštva.

Posljednja je definicija formulirana s pozicije teorije skupova.

Definicija 6: Raditi uzastopni prirodni brojevi u matematici se označavaju sa i nazovite faktorijel .

Izbor za imenovanje uskličnik može biti posljedica činjenice da čak i za relativno male vrijednosti broj vrlo velika. Na primjer,
,
,
,
,
,,itd.

Teorem 1: Broj permutacija iz različitih elemenata izračunava se formulom:

Dokaz. Razmotrimo proizvoljan skup od elementi. Napravimo svakakve aranžmane od ovoga elementi. Na prvo mjesto aranžmana možete staviti bilo koji od elementi ( metode odabira prvog elementa). Nakon što je prvi element odabran i bez obzira kako je odabran, drugi element se može odabrati
put. Ostaje odabir trećeg elementa
metoda, itd. Posljednji element odabran je u skladu s tim na jedan način. Tada će, zbog kombinatornog principa množenja, broj takvih rasporeda biti jednak:

Teorem je dokazan.

Primjer 1: Na koliko načina tri prijatelja mogu zauzeti mjesta pod brojevima 1, 2 i 3 u kinu?

Riješenje. Broj traženih metoda bit će jednak broju permutacija bez ponavljanja tri elementa:
načine. Ako je potrebno, ove se metode mogu razvrstati.

Permutacije slova riječi nazivaju se anagrami . Otkriveni još u 3. stoljeću prije Krista od strane grčkog gramatičara Lycophrona, anagrami i danas privlače pozornost lingvista, pjesnika i ljubitelja književnosti. Majstori igre riječima, osim erudicije i bogatog vokabulara, poznaju mnoge tajne vezane uz kombinatoriku, a jedna od njih su i anagrami. Često je potrebno među svim permutacijama odabrati one koje imaju određeno svojstvo. Na primjer, među anagramima riječi "madež", kojih ima samo
, samo jedan, ne računajući samu riječ "madež", ima smisla na ruskom – "sud".

Uz linearne permutacije, mogu se uzeti u obzir kružne (ili cikličke) permutacije. U ovom slučaju, permutacije koje se transformiraju jedna u drugu tijekom rotacije smatraju se istima i ne bi se trebale računati.

Teorem 2: Broj kružnih permutacija od različiti elementi su jednaki

Primjer 2: Na koliko načina se 7 djece može uključiti u kolo?

Riješenje. Broj linearnih permutacija 7 djece bit će jednak
. Ako je okrugli ples već formiran, onda za njega postoji 7 kružnih permutacija, koje se okrećući pretvaraju jedna u drugu. Ove permutacije ne treba računati, pa će biti kružne permutacije od 7 elemenata .

Plasmani bez ponavljanja.

Definicija 7: Neka bude razne predmete. Aranžmani iz elementi po elementi (
) se zovu plasmani bez ponavljanja . Odrediti: . Ovdje se misli na to da se elementi u aranžmanima ne ponavljaju.

U ovoj definiciji bitan je sljedeći stav: dva su aranžmana različita, ako se razlikuju barem u jednom elementu ili redoslijedu elemenata.

Dajmo drugu definiciju plasmana, ekvivalentnu izvornoj, lakšu za razumijevanje.

Definicija 8: Konačni uređeni skupovi nazivaju se plasmani.

Teorem 3: Broj svih plasmana od elementi po elemenata bez ponavljanja izračunava se po formuli:

Dokaz. Neka postoji proizvoljan skup
, koja se sastoji od elementi. Morate birati iz ove raznolikosti raznih elemenata. Štoviše, redoslijed izbora je važan.

Odabir elemenata provodi se u fazama. Prvi element aranžmana može se odabrati različiti putevi. Zatim od preostalih elemenata skupa
odabran je drugi element aranžmana
put. Moguće je odabrati treći element
metoda, itd. Onda birati - th element koji imamo
put. Stoga će prema pravilu množenja broj takvih aranžmana biti jednak:

Po definiciji, takvi aranžmani su plasmani. Q.E.D.

Primjer 3: Skup od 25 ljudi bira predsjedništvo od 3 osobe: 1) predsjednik, 2) zamjenik, 3) tajnik. Koliko postoji opcija za izbor predsjedništva?

Riješenje. Prilikom odabira tri osobe od 25, napominjemo da je bitan redoslijed odabira, pa će broj prezidija biti jednak:

Komentar: Broj plasmana bez ponavljanja također se može pronaći pomoću formule:

. (3)

Ako je nazivnik razlomka iz formule (3)
, onda je to općeprihvaćeno
.

Komentar: Formula (3) je kompaktna, ali je pri rješavanju problema praktičnije koristiti formulu (2). Razlomak na desnoj strani formule (3) može se svesti na cijeli broj. Ovaj broj je jednak broju na desnoj strani formule (2).

Primjer 4: Koliko se dvoslovnih riječi (slova se ne ponavljaju) može sastaviti od 33 slova ruske abecede?

Riješenje. U ovom slučaju ne radi se o riječima u jezičnom smislu, već o kombinacijama slova proizvoljnog sastava.

Tada će broj različitih kombinacija 2 slova odabranih od 33 slova abecede biti jednak:

.

U ovom slučaju bitan je redoslijed slova. Ako promijenite 2 slova u riječi, dobit ćete novu riječ.

Komentar: Permutacija bez ponavljanja poseban je slučaj postavljanja bez ponavljanja kada
. Možemo reći da je permutacija iz elemenata je postavljanje elementi po elementi:

U nekim kombinatoričkim problemima redoslijed objekata u određenom skupu nije bitan. Bitno je samo koji ga elementi čine. U takvim situacijama imamo posla kombinacije.

Kombinacije bez ponavljanja.

Definicija 9: Kombinacije nema ponavljanja od elementi nekog skupa prema elementi (
) su aranžmani koji se međusobno razlikuju sastav, Ali ne po redu elementi. Odrediti: (od francuske riječi kombinacija- kombinacija).

U ovom slučaju, u aranžmanima bitan je sastav, a ne redoslijed elemenata u podskupu. Ako se dva rasporeda razlikuju samo u redoslijedu elemenata, tada se sa stajališta kombinacija ne mogu razlikovati. Elementi u ovim aranžmanima se ne ponavljaju.

Sa stajališta teorije skupova, definicija kombinacija može se drugačije formulirati.

Definicija 10: Konačni neuređeni skupovi nazivaju se kombinacije.

Dakle, kombinacije su izbor elemenata u kojem je njihov redoslijed potpuno nevažan.

Kombinacije od elementi po trebalo bi biti manje elemenata od odgovarajućih položaja. To proizlazi iz činjenice da nije potrebno brojati formacije istog sastava.

Teorem 4: Broj kombinacija nalazi se sljedećom formulom:

. (4)

Dokaz. Ako iz proizvoljnog -odabran set elemenata elemenata, tada se mogu numerirati
na više načina jednako . Preostalo
elementi se mogu numerirati
,
, …,Ukupno
načine. Štoviše, sam odabir elementi iz elementi se mogu implementirati načine. Tako smo dobili
opcije numeriranja za kompletan skup elemenata, kojih ima samo . Stoga imamo
, odakle dobivamo:

.

Teorem je dokazan.

Komentar: Razlomak s desne strane (4) može se svesti na cijeli broj.

Iz formule za broj kombinacija slijedi:

,
,
.

Formulu (4) možemo transformirati u oblik:
. To pokazuje da broj plasmana V puta broj odgovarajućih kombinacija . Drugim riječima, prebrojati sve kombinacije , moraju biti isključeni iz svih plasmana podskupovi koji se razlikuju po redoslijedu (bit će komada), tj. podjeljeno sa .

Primjer 5: Na koliko načina možete odabrati 3 različite boje od dostupnih pet?

Riješenje. Redoslijed odabira boja nije bitan. Bitno je samo koje su boje odabrane. Stoga je broj opcija jednak:
.

Primjer 6: Na koliko se načina mogu sašiti trobojne prugaste zastave ako postoji materijal u pet različitih boja?

Riješenje. Važan je redoslijed odabira pruga, pa je broj takvih zastavica jednak:
.

Sat matematike u 5. razredu « Upoznajte kombinatoriku" Tema lekcije: Svrha lekcije : oblikovati početne vještine u kombinatornim problemima tražeći moguće opcije.
Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

Razvijanje sposobnosti rješavanja kombinatornih zadataka metodom iscrpnog nabrajanja opcija;

Razvijanje sposobnosti primjene matematičke teorije u specifičnim situacijama;

Upoznavanje učenika s elementima humanističkih znanosti vezanih uz matematiku.

Obrazovni:

Razvijanje sposobnosti samostalnog odabira načina rješavanja i sposobnosti obrazloženja izbora;

Razvijanje sposobnosti rješavanja problema samo logičkim zaključivanjem;

Razvijanje sposobnosti izbora racionalne metode kodiranja;

Razvoj komunikacijskih i kreativnih sposobnosti učenika.

Obrazovni:

Poticati osjećaj odgovornosti za kvalitetu i rezultate obavljenog rada; Usaditi svjestan stav prema poslu;

Stvorite odgovornost za konačni rezultat.

Oprema:

interaktivna ploča; brošure (pruge u boji: bijela, plava, crvena); kartice sa zadacima.

Tijekom nastave.

Organiziranje vremena. Učenje novog gradiva. Praktični dio. Odraz Obilježava Domaća zadaća

Organiziranje vremena.

Učitelj, nastavnik, profesor: Bok dečki! Vrlo često u životu morate napraviti izbor, odluku. To je vrlo teško učiniti, ne zato što nema izbora, već zato što morate birati između mnogo mogućih opcija, različitih metoda, kombinacija. I uvijek želimo da ovaj izbor bude optimalan. Zadaci koje ćemo danas riješiti pomoći će vam da stvarate, razmišljate neobično, originalno, vidite ono pored čega ste često prolazili, a da niste primijetili. I danas ćemo se još jednom uvjeriti da je naš svijet pun matematike i nastavit ćemo istraživanje kako bismo identificirali matematiku oko nas.Znate li što je "kraljevsko držanje"? Pokušajmo zauzeti kraljevsku pozu: leđa su ravna, mišići glave bez napetosti, izraz lica je vrlo znakovit: uostalom, vi znate tako dobro brojati da plemić ne može. Vrlo brzo aktiviramo svoj mozak. Da biste to učinili, intenzivno masirajte točku između obrva: kažiprstom desne ruke napravite 5 kružnih pokreta u jednom i drugom smjeru. Ponovimo ovo 2-3 puta

Aktualizacija teme i motivacija.

Riješimo problem broj 1, Problem 1 . Na blagajni kina stoje četiri tipa. Dvojica od njih imaju novčanice od stotinu rubalja, druga dvojica imaju novčanice od pedeset rubalja.(Učitelj proziva 4 učenika za ploču i dijeli im modele novčanica). Ulaznica za kino košta 50 rubalja. Na početku prodaje blagajna je prazna.(Učitelj zove “blagajnika” i daje mu “karte”) . Kako bi se dečki trebali postaviti da nitko ne mora čekati promjenu? Odigrajmo scenu s kojom možete pronaći dva moguća rješenja:

50 rubalja, 100 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja; 50 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja, 100 rubalja (slajd br. 2 i br. 3).

Zadatak br. 2 . Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju državnu zastavu u obliku tri vodoravne pruge iste širine u različitim bojama - bijela, plava, crvena. Koliko država može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu?(Učenicima se daju pruge u boji (bijela, plava, crvena) i od njih se traži da naprave različite verzije zastava? (Slajd br. 4)Učitelj, nastavnik, profesor: Idemo se malo odmoriti prije nego prijeđemo na sljedeći korak lekcije. Sjedeći na stolici - opustite se, zauzmite pozu jakne koja visi na vješalici, Pucajte očima u svoje susjede. Stavite laktove iza leđa što je moguće čvršće, a zatim se čvrsto zagrlite.

Učenje novog gradiva .

Učitelj, nastavnik, profesor: Dakle, prilikom rješavanja ovih problema pretražili smo sve moguće opcije,ili, kako se obično kaže u ovim slučajevima, sve moguće kombinacije. Stoga se takvi problemi nazivaju kombinatorni. U životu morate često izračunati moguće (ili nemoguće) opcije, stoga je korisno upoznati se s kombinatornim problemima,a grana matematike koja se bavi rješavanjem tih problema naziva se kombinatorika.(Slajd br. 5) Učenici zapisuju definiciju u svoju bilježnicu:

Kombinatorika je grana matematike posvećena rješavanju problema odabira i rasporeda zadanih elemenata prema zadanim pravilima

Uobičajeno pitanje u kombinatornim problemima je " Na koliko načina ...?" ili

« Koliko opcija …?»

Učitelj, nastavnik, profesor : Vratimo se još jednom na problem zastavice, riješite ga nabrajanjem mogućih opcija: (slajd br. 7) KBS KSB BSK BKS SBC SKBOdgovor: 6 opcija. Dakle, prilikom rješavanja ovog problema, tražili smo način da nabrojimo moguće opcije. UU mnogim slučajevima ispada da je korisno konstruirati sliku - dijagram opcija nabrajanja. To je, prvo, jasno, a drugo, omogućuje nam da sve uzmemo u obzir i ništa ne propustimo.

Oznaka rješenja

Opcije BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB.

Odgovor: 6 opcija.

Pitanje na koje bi svatko trebao znati odgovor: koja je od predstavljenih opcija zastave državna zastava Ruske Federacije (Slajd br. 7).

Ispostavilo se da ne samo ruska zastava ima ove tri boje. Postoje države čije zastave imaju iste boje.

KBS - Luksemburg,

Nizozemska.

Francuska SKB

Učitelj, nastavnik, profesor: Pronađimo pravilo za rješavanje takvih problema logičkim zaključivanjem.

Pogledajmo primjer pruga u boji. Uzmimo bijelu prugu - može se presložiti 3 puta, uzmimo plavu prugu - može se preurediti samo 2 puta, jer jedno od mjesta već je zauzeto bijelom prugom, uzmite crvenu prugu - može se postaviti samo jednom.

UKUPNO: 3 x 2 x 1=6

Osnovno pravilo rada :

Pravilo množenja: ako se prvi element u kombinaciji može izabrati na a načina, nakon čega se drugi element može izabrati na b načina, tada će ukupan broj kombinacija biti jednak a x b . (slajd br. 8)

Vježba za oči. (slajd br. 9)

Vježba "Oblici".

Nacrtajte kvadrat, krug, trokut, oval, romb očima u smjeru kazaljke na satu, a zatim suprotno.

Praktični dio

Učitelj, nastavnik, profesor: Sada prijeđimo na matematičke probleme. (dijelimo kartice sa zadacima)

Jedan prilično poznati mušketir u svom ormaru ima 3 elegantna šešira, 4 prekrasna ogrtača i 2 para odličnih čizama. Koliko opcija kostima može stvoriti? (Odaberemo jedan element iz tri skupa, odnosno napravimo „trojku“, što znači da prema pravilu množenja dobijemo 3 4 2 = 24 opcije kostima.)

U nogometnom timu je 11 ljudi. Potrebno je izabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti? (Ukupno je 11 ljudi, što znači da se kapetan može birati na 11 načina, ostalo je 10 igrača među kojima se može birati zamjenik kapetana. Dakle, par kapetan i njegov zamjenik mogu se birati na 11 10 = 110 načine.)

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 4, 7 ako se brojevi ponavljaju? (Trebali biste dobiti dvoznamenkasti broj - samo dvije pozicije. Na prvoj poziciji možete staviti bilo koji od predloženih brojeva - 3 mogućnosti izbora, na drugoj poziciji, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja broja, također postoje 3 opcije za odabir To znači da par brojeva sastavljamo na 3 3 = 9 načina, tj. dobivate 9 brojeva.

Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 2, 3, 4, 5 s tim da se nijedna znamenka ne ponavlja? (Troznamenkasti broj: prva pozicija - 5 opcija za brojeve, druga pozicija, uzimajući u obzir isključenje ponavljanja brojeva - 4 opcije, treća pozicija - 3 opcije. Dobivamo 5 4 3 = 60 brojeva.)

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3 ako se brojevi: a) mogu ponavljati; b) ne može se ponoviti? (a) Dvoznamenkasti broj, kao ni svaki višeznamenkasti broj, ne može započeti s 0, stoga na prvo mjesto možete staviti samo 3 od raspoložive 4 znamenke, 3 izbora, na drugo mjesto, uzimajući u obzir ponavljanje , možete staviti bilo koju od znamenki - 4 opcije za odabir. Prema tome, ispada 3 4 = 12 brojeva; b) Prva pozicija – 3 opcije, druga pozicija – 3 opcije, jer ponavljanje je isključeno. Dobivamo 3 3 = 9 brojeva.)

Sef kod se sastoji od pet različitih brojeva. Koliko različitih opcija za stvaranje šifre? (5 4 3 2 1 = 120 opcija.) Na koliko načina 6 ljudi može sjediti za stolom sa 6 pribora za jelo? (6 5 4 3 2 1 = 720 načina.)

6 uređaja?(6 5 4 3 2 1 = 720 načina.)

(8 7 6 5 4 = 6720 opcija.)

(Brojevi koji se koriste su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - ukupno 10 znamenki, isključujući prema konvenciji 0 i 9 na početku broja, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanje, dobivamo 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 brojeva.)

Odraz

Učitelj, nastavnik, profesor: Dečki, naša lekcija se bliži kraju. Mislite li da smo danas postigli svoj cilj, zašto? Što je bilo teško u lekciji, kako se možete nositi s tim? Razmisli i daj sebi ocjenu za svoj rad i rad, stavi je sam, nitko od momaka neće vidjeti ovu ocjenu, pokušaj biti iskren prema sebi. Jeste li u potpunosti sudjelovali u lekciji? Što je potrebno učiniti za bolje rezultate?

Osim toga, od učenika se traži da odgovore na 3 brza pitanja:

U današnjoj lekciji bio sam... (lako, obično, teško)

Ja… (naučio i mogu se prijaviti, naučio i teško mi je prijaviti se, nisam naučio)

Moje samopoštovanje za lekciju...

Ne morate potpisati odgovore na gornja pitanja, jer njihova je glavna funkcija pomoći učitelju u analizi lekcije i njezinih rezultata

Sažimajući . Obilježava

Učitelj, nastavnik, profesor: Jako mi je drago što su mnogi od vas danas dobro radili i naučili puno novih stvari, ali bih jako volio da svi marljivo radite kod kuće i da na sljedećem satu ne dobijete loše ocjene.

7. Domaća zadaća :

1) Napravite problem o svom razredu

2) Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju nacionalnu zastavu u obliku 3 vodoravne pruge različitih širina, različitih boja - bijele, plave, crvene. Koliko država može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu?

3) a) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9?

b) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9 s tim da se brojevi ne smiju ponavljati

Učitelj, nastavnik, profesor : Dakle, bilo mi je drago upoznati vas, zainteresirajte se za matematiku, to će se nesumnjivo pozitivno odraziti na vaše misli i postupke. Lekcija je gotova. Hvala svima. Doviđenja.

Književnost:

E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Vjerojatnost i statistika u općeobrazovnom školskom kolegiju matematike: predavanja 1-4, 5 – 8. – M.: Pedagoško sveučilište “Prvi rujan”, 2006.

Vilenkin N.Ya. Matematika. 5. razred: udžbenik za općeobraz. institucije / N.Ya Vilenkin i drugi - M.: Mnemosyna, 2009.

Smykalova E.V. Dodatna poglavlja iz matematike za učenike 5. razreda. SPb: SMIO. Press, 2006. (monografija).

5. razred. "Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovič, 2004. (monografija).

Zadaci (kartice)

Jedan prilično poznati mušketir u svom ormaru ima 3 elegantna šešira, 4 prekrasna ogrtača i 2 para odličnih čizama. Koliko opcija kostima može stvoriti?

U nogometnom timu je 11 ljudi. Potrebno je izabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti?

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti pomoću brojeva 1, 4, 7, ako se brojevi ponavljaju

Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 2, 3, 4, 5 s tim da se nijedna znamenka ne ponavlja?

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3 ako se brojevi: a) mogu ponavljati; b) ne može se ponoviti?

Sigurnosni kod sastoji se od pet različitih brojeva. Koliko različitih opcija za stvaranje šifre?

Na koliko se načina može 6 ljudi smjestiti za stol na kojem 6 uređaja?

U petom razredu izučava se 8 predmeta. Koliko se različitih opcija rasporeda može kreirati za ponedjeljak, ako bi trebalo biti 5 lekcija ovog dana i sve lekcije su različite?

1. Koliko se mogućih sedmeroznamenkastih telefonskih brojeva može stvoriti ako se izuzmu brojevi koji počinju s 0 i 9?

Odgovori

Odaberemo jedan element iz tri skupa, odnosno sačinimo “trojku”, što znači da prema pravilu množenja dobijemo 3 4 2 = 24 opcije kostima.

Ukupno ima 11 ljudi, što znači da se kapetan može birati na 11 načina, ostaje 10 igrača među kojima možete izabrati zamjenika kapetana. Dakle, par, kapetan i njegov zamjenik, mogu se izabrati na 11 10 = 110 načina.

Trebali biste dobiti dvoznamenkasti broj - samo dvije pozicije. Na prvom mjestu možete staviti bilo koji od predloženih brojeva - 3 izbora, na drugom mjestu, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja broja, također postoje 3 izbora. To znači da par brojeva sastavljamo na 3 3 = 9 načina, tj. dobijete 9 brojeva.

Troznamenkasti broj: prva pozicija - 5 opcija za brojeve, druga pozicija, uzimajući u obzir isključenje ponavljanja brojeva - 4 opcije, treća pozicija - 3 opcije. Dobivamo 5 4 3 = 60 brojeva.

(a) Dvoznamenkasti broj, kao ni svaki višeznamenkasti broj, ne može započeti s 0, stoga na prvo mjesto možete staviti samo 3 od raspoložive 4 znamenke, 3 izbora, na drugo mjesto, uzimajući u obzir ponavljanje , možete staviti bilo koju od znamenki - 4 opcije za odabir. Prema tome, ispada 3 4 = 12 brojeva; b) Prva pozicija – 3 opcije, druga pozicija – 3 opcije, jer ponavljanje je isključeno. Dobivamo 3 3 = 9 brojeva.

5 4 3 2 1 = 120 opcija.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 načina

2. 8 7 6 5 4 = 6720 opcija

   Brojevi koji se koriste su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - ukupno 10 znamenki, isključujući prema konvenciji 0 i 9 na početku broja, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja , dobivamo 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 brojeva.