Svojstvene vrijednosti i svojstvene funkcije projekcije kutne količine gibanja.

Neka masa tijela m za neko kratko vrijeme Δ t djelovala sila Pod utjecajem te sile promijenila se brzina tijela za Dakle, tijekom vremena Δ t tijelo se gibalo ubrzano

Iz osnovnog zakona dinamike ( Newtonov drugi zakon) slijedi:

Fizička količina, jednak umnošku masa tijela na brzinu njegova kretanja naziva se tjelesni impuls(ili količina kretanja). Moment količine gibanja tijela je vektorska veličina. SI jedinica za impuls je kilogram metar u sekundi (kg m/s).

Naziva se fizikalna veličina jednaka umnošku sile i vremena njezina djelovanja impuls sile . Impuls sile također je vektorska veličina.

U novim terminima Newtonov drugi zakon može se formulirati na sljedeći način:

IPromjena količine gibanja tijela (količine gibanja) jednaka je impulsu sile.

Označavajući silu gibanja tijela slovom, drugi Newtonov zakon možemo napisati u obliku

Upravo u ovome opći pogled Newton je sam formulirao drugi zakon. Sila u ovom izrazu predstavlja rezultantu svih sila koje djeluju na tijelo. Ova vektorska jednakost može se napisati u projekcijama na koordinatne osi:

Dakle, promjena projekcije količine gibanja tijela na bilo koju od tri međusobno okomite osi jednaka je projekciji impulsa sile na istu os. Uzmimo kao primjer jednodimenzionalni kretanje, tj. kretanje tijela duž jedne od koordinatne osi(na primjer, sjekire OY). Neka tijelo slobodno padne s početna brzinaυ 0 pod utjecajem gravitacije; jesensko vrijeme je t. Usmjerimo os OY okomito prema dolje. Gravitacijski impuls F t = mg tijekom t jednaki upravitelj. Taj impuls jednak je promjeni količine gibanja tijela

Ovaj jednostavan rezultat podudara se s kinematičkimformulaza brzinu jednoliko ubrzano gibanje . U ovom primjeru, sila je ostala nepromijenjena u veličini kroz cijeli vremenski interval t. Ako se sila mijenja u veličini, tada se srednja vrijednost sile mora zamijeniti u izrazu za impuls sile F cf tijekom vremena njegovog djelovanja. Riža. 1.16.1 ilustrira metodu za određivanje vremenski ovisnog impulsa sile.

Izaberimo mali interval Δ na vremenskoj osi t, pri čemu sila F (t) ostaje gotovo nepromijenjen. Impulsna sila F (t) Δ t u vremenu Δ t htjeti jednako površini zasjenjeni stupac. Ako je cijela vremenska os u intervalu od 0 do t podijeliti u male intervale Δ tja, a zatim zbroji impulse sile u svim intervalima Δ tja, tada će ukupni impuls sile biti jednak površini koju čini stepenasta krivulja s vremenskom osi. U granici (Δ tja→ 0) ova površina je jednaka površini ograničenoj grafom F (t) i os t. Ova metoda određivanja impulsa sile iz grafikona F (t) je opći i primjenjiv na sve zakone promjene sile tijekom vremena. Matematički, problem se svodi na integracija funkcije F (t) na intervalu .

Impuls sile, čiji je grafikon prikazan na Sl. 1.16.1, u intervalu od t 1 = 0 s do t 2 = 10 s jednako je:

U ovom jednostavnom primjeru

U nekim slučajevima srednje snage F cp se može odrediti ako je poznato vrijeme njegovog djelovanja i impuls koji je dodijeljen tijelu. Na primjer, snažan udarac nogometaša po lopti mase 0,415 kg može mu dati brzinu υ = 30 m/s. Vrijeme udara je približno 8·10 -3 s.

Puls str, stečena loptom kao rezultat udarca je:

Stoga, prosječna snaga F prosjek s kojim je nogometaševa noga djelovala na loptu tijekom udarca je:

Ovo je vrlo velika moć. Približno je jednaka težini tijela mase 160 kg.

Ako do gibanja tijela za vrijeme djelovanja sile dolazi prema nekim krivocrtna putanja, onda se početni i završni impulsi tijela mogu razlikovati ne samo u veličini, već iu smjeru. U ovom slučaju, za određivanje promjene zamaha prikladno je koristiti dijagram pulsa , koji prikazuje vektore i , kao i vektor konstruiran prema pravilu paralelograma. Kao primjer na Sl. Slika 1.16.2 prikazuje dijagram impulsa za loptu koja se odbija od hrapavog zida. Masa lopte m udariti u zid brzinom pod kutom α na normalu (os VOL) i od njega se odbila brzinom pod kutom β. Prilikom dodira sa zidom na kuglu je djelovala određena sila čiji se smjer poklapa sa smjerom vektora

Pri normalnom padu kuglice s masom m na elastičnom zidu brzinom, nakon odbijanja lopta će imati brzinu. Stoga je promjena količine gibanja lopte tijekom odbijanja jednaka

U projekcijama na os VOL ovaj rezultat se može napisati u skalarnom obliku Δ strx = -2mυ x. Os VOL usmjeren od zida (kao na sl. 1.16.2), dakle υ x < 0 и Δstrx> 0. Dakle, modul Δ str promjena količine gibanja povezana je s modulom υ brzine kuglice relacijom Δ str = 2mυ.

Kutni moment čestice L u odnosu na porijeklo OKO u klasičnoj mehanici određena je vektorskim umnoškom [gr, oni.

Ova definicija u kvantna mehanika nema smisla, jer ne postoji stanje u kojem su oba vektora G I R imala određena značenja.

Razmotrimo kutni moment kvantne čestice. U kvantnoj mehanici, vektorski produkt [gr] odgovara operatoru [r, r]. Proširujući ovaj vektorski produkt, nalazimo operatore projekcija kutne količine gibanja na koordinatne osi X, U, Z, na primjer na Z osi:

Kroz ove projekcije, operator vektora kutne količine gibanja izražava se kao

U nastavku ćemo koristiti operator projekcije kutne količine gibanja na Z os, ali ne u kartezijskom, nego u sfernom koordinatnom sustavu (G, 0, srijeda):

Operator kutne količine gibanja ovisi samo o smjeru koordinatnih osi. Stoga se i zove operater kutni moment. Svojstvene vrijednosti operatori projekcija kutne količine gibanja također ne ovise o izboru ishodišta.

Može se provjeriti i uvjeriti se da operatori projekcije kutne količine gibanja L x, L y I Lz ne putuju jedno s drugim: L x L y y>^ L y L x y). Dakle, ne postoji stanje u kojem su sve tri ili čak bilo koje dvije od tri projekcije L x, L v, L, imao određene vrijednosti osim nule. Imajte na umu da, za razliku od kutne količine gibanja, impuls ima tri istovremeno mjerljive komponente: r x, r y, r,.

Dakle, ne postoji stanje kvantne čestice u kojem bi vektor kutne količine gibanja imao određenu vrijednost, tj. bila bi potpuno određena i po veličini i po smjeru. Jedini izuzetak je slučaj kada L- 0 i sve tri projekcije su jednake nuli u isto vrijeme: L x = L v = L, = 0.

Modul kutne količine gibanja. Za određivanje kvadrata kutne količine gibanja čestice u stanju φ potrebno je riješiti jednadžbu oblika (27.5):

gdje je operator kvadrata kutnog momenta L = Lx + L y + Lz. Za sada je moguće

Imajte na umu da za svojstvene vrijednosti operatora L pravedan

Gdje / - orbitalni (azimutalni) kvantni broj. Odatle modul kutne količine gibanja mikročestice koja se kreće

Vidi se da je ova veličina diskretna (kvantizirana).

Operatori L x, L y I Lz(27.10) mijenjati sa L. Stoga,

moguće je istovremeno odrediti veličinu kutne količine gibanja L(ili njegov kvadrat L 2) i jedna od njegovih projekcija ( Lx , L y ili L,). Obično se uzima u obzir projekcija na os Z, jer u ovom slučaju operator Lz dana je jednostavnijom formulom (27.10).

Projekcija kutne količine gibanja L z. Za određivanje svojstvenih vrijednosti i izvorne funkcije operator kutne količine gibanja čestice, potrebno je, prema izrazu (27.5), riješiti L-ph jednadžba= 1.f, tj.

Gdje valna funkcija je funkcija sfernih koordinata: φ = φ(/*, 0, φ). Supstitucija φ = Ce af (C = C(/%0)) rezultira nakon redukcije zajedničkim faktorom Se a f na jednadžbe

To znači da je rješenje jednadžbe (27.12):

Zbog tražene jedinstvenosti φ, pri rotaciji oko osi Z za azimutalni kut sr jednak 2π valna funkcija se ne bi trebala mijenjati: φ(φ + 2φ) = φ(φ). Budući da funkcija u je periodičan s periodom 2n, tada prema (27.13) ova jednakost može biti zadovoljena samo pod uvjetom

gdje je broj T nazvao magnetski kvantni broj. Prema tome, Planckova konstanta Pi može se smatrati prirodnom jedinicom kutne količine gibanja. Imajte na umu da jednadžba (27.13) specificira spektar dopuštenih vrijednosti projekcije kutne količine gibanja na odabrani ocbZ

Riža. 27.1. Moguća orijentacija vektor kutne količine gibanja, na primjer elektron, u stanju s kvantnim brojem 1 = 2

Jednakost (27.13) znači da budući da je smjer osi Z odabran proizvoljno, projekcija kutne količine gibanja na bilo koji smjer je kvantizirana (slika 27.1). Naravno, shematsku sliku ne treba shvatiti doslovno, budući da je "vektor" L u osnovi nema određene smjerove u prostoru. Za određenu vrijednost modula kutne količine gibanja i određenu vrijednost projekcije L, projekcije Lx I L y Nemati određene vrijednosti(osim u slučaju kada su sve tri komponente kutne količine gibanja istovremeno jednake nuli). Vrijednosti L I Lv različite od (27.11a) i (27.13) ne mogu se promatrati ni pod kojim uvjetima.

Projekcija nijednog vektora ne može biti veća od modula tog vektora, tj. | L z Dakle, u skladu s formulama (27.11a) i (27.13), uvjet je zadovoljen

stoga, maksimalna vrijednost T jednako / i to možemo napisati

Zadano / broj T prihvaća (21 + 1) vrijednosti:

tvoreći projekcijski spektar Lz = mb na bilo koju odabranu Z os (Sl. 27.1).

Dakle, kvantni broj / određuje i modul kutne količine gibanja i sve moguće vrijednosti njegove projekcije na os Z. Tako, na primjer, ako je orbitalni kvantni broj / = 2 (slika 27.1), tada

Dobiveni rezultati, definiranje mogućih vrijednosti L I Lv naziva se prostorna kvantizacija. Radi jasnoće, prostorna kvantizacija se obično prikazuje grafički (Sl. 27.1): duž osi Z odgoditi moguće vrijednosti mb, smatrajući ih projekcijama na Z-os vektora L duljina th L //(/ + 1).

Problem 1

Tijelo mase giba se duž osi Oxm=1 kg pri brziniV 0 = 2 m/s. Duž smjera kretanja djelujesilaF = 4 N neko vrijemet = 2 s. Odredite brzinu tijela nakon prestanka djelovanja te sile.

Za rješavanje ovog problema, prije svega, važno je zapamtiti što je tjelesni impuls.

Riža. 1. Izbor referentnog sustava

Sjetivši se toga impuls sile– to je promjena količine gibanja tijela, pišemo sljedeći izraz: .

Uskladimo sada jednadžbu s odabranim referentnim sustavom. Sila F kada se projicira na X os imat će pozitivan predznak, što znači: .

Zatim, transformirajući ovu jednadžbu, izdvajajući iz nje brzinu koju treba odrediti, pišemo sljedeći izraz: .

Odgovor: 10 m/s.

Problem 2

Kolica na kojima je osoba gibaju se pravocrtno brzinom 2 m/s. Osoba skače s kolica u vodoravnom smjeru suprotnom od smjera kretanja kolica brzinom 1 m/s. Odredite brzinu kolica nakon što osoba skoči s njih. Masa osobe je 1,5 puta veća od mase kolica.

Riža. 2. Projekcije količine gibanja tijela na X os

U prvom slučaju, obratite pozornost, i kolica i osoba putuju zajedno, što znači da im je brzina ista, možemo napisati sljedeći izraz za ovaj referentni sustav povezan s osi Ox: .

Zatim, kada osoba skoči s kolica, ova dva tijela mogu se napisati na sljedeći način: .

Znak minus označava da je brzina osobe usmjerena prema suprotnu stranu, a brzina kolica s predznakom plus bit će usmjerena u istom smjeru kao i početna brzina, tj. duž osi Ox.

Napisavši ove izraze za početno stanje i stanja nakon interakcije, koristit ćemo se zakonom očuvanja količine gibanja.

Po zakon očuvanja količine gibanja impuls u prvom slučaju bit će jednak impulsu u drugom slučaju: P 0x = P x. .

Nakon što smo zapisali ovaj odnos, prepisujemo ga i otvaramo zagrade izraza: (m 1 +m 2) .V 1 =-m2.V2+m 1.V¢ 1.

Potrebno je odrediti brzinu V¢ 1. Izrazimo masu čovjeka kroz masu kolica, ali tako da se masa izrazi u istim jedinicama: (m 1 +1,5m 1) .V 1 = -1,5m 1.V2+m 1.V¢ 1.

Masu m 1 možemo izvaditi iz zagrade i smanjiti je: 2,5 m 1.V 1 = -1,5m 1.V2+m 1.V¢ 1. Kada zamijenimo vrijednosti za brzine, dobivamo odgovor: .

M Ovaj problem dobro ilustrira mlazni pogon. Osoba koja je skočila s kolica u suprotnom smjeru povećala je brzinu samih kolica. Nije li istina, ovo se dobro slaže s načinom na koji plinovi izlaze iz rakete određenom brzinom i daju dodatnu brzinu granati, tj. sama raketa.

Problem 3

Masa lopte m 1 = 1 kg. brzo klizi po savršeno glatkoj površini v 1 = 4 m/s a apsolutno elastično se sudara s kuglicom iste veličine mase m 2 = 3 kg. Odredite brzinu loptice nakon udarca?
Riješenje:
Prema zakonu održanja količine gibanja pri potpuno neelastičnom udaru.

OH:

Odgovor: 1 m/s

Problem 4

Lopta teška 70 G. pada na pod pod kutom od 60 0 u odnosu na normalu i odbija se pod istim kutom bez gubitka brzine. Odredite impuls ukupne sile koja djeluje na loptu pri udaru ako je njezina brzina 30 m/s.
Riješenje:
Pokažimo na slici promjene brzine lopte pri udaru:
Zapišimo 2. Newtonov zakon
Konstrukcijom određujemo da . Veličina impulsa ukupne sile koja djeluje na loptu pri udaru jednaka je
Odgovor:

Problem 5

Dječak težak 40 kg stojeći na klizaljkama baca kamen mase 1 kg brzinom 8 m/s. pod kutom od 60 0 prema horizontali. Odredite brzinu kojom će se dječak početi kretati po ledu kao rezultat bacanja?

Riješenje:
Na sustav dječak-kamen ne djeluju horizontalne sile. U inercijski sustav izvještaj spojen na tlo, projekcija ukupnog impulsa sustava na horizontalnu os mora ostati nepromijenjena:
Brzina dječaka nakon bacanja
Odgovor: 0,1 m/s

Problem 6 0,04 m/s

Problem 7

Projektil je na vrhu svoje putanje eksplodirao u dva fragmenta s masamam 1 =3 kg i m 2 =5 kg. Brzina projektila neposredno prije eksplozije bila je jednakav 0 =600 m/s, brzina većeg fragmenta neposredno nakon puknuća bila je jednakav 2 =800 m/s, a njegov smjer se poklapao sa smjerom kretanja projektila prije eksplozije. Odredite brzinu malog fragmenta neposredno nakon puknuća.

Riješenje:
Izaberimo pozitivan smjer brzine projektilav 0 i zapišite zakon održanja količine gibanja.




To znači da je manji fragment letio u istom smjeru.
Odgovor:

Zakon očuvanja količine gibanja je posljedica Newtonovih zakona i koristi se za određivanje trenutnih brzina tijela nakon njihovog međusobnog djelovanja.

Moment količine gibanja tijela (materijalne točke) naziva se vektor fizička količina jednak umnošku mase tijela i njegove brzine p -> = mϑ -> , gdje je m masa tijela, ϑ -> – trenutna brzina. Impuls sustava tijela je vektorski zbroj impulsa tijela p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + ... + p n -> .

Prema prvom Newtonovom zakonu, ako tijela ne međusobno djeluju, količina gibanja svakog tijela i količina gibanja nekoliko tijela uključenih u sustav su očuvani. Kada međudjeluju unutar sustava, nastaju parovi sila između tijela jednake veličine i suprotnog smjera, prema trećem Newtonovom zakonu.

Vektorska fizikalna veličina, koja je mjera djelovanja sile u određenom vremenskom razdoblju, naziva se impuls sile i označava se F -> Δt. Iz drugog Newtonovog zakona, u slučaju djelovanja jedne sile i definicije ubrzanja, slijedi da je F -> = ma -> , a -> = ( ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m( ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = m ϑ -> – m ϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Ova jednadžba je zakon održanja količine gibanja u obliku impulsa. Impuls sile (rezultanta) jednak je promjeni impulsa tijela (materijalne točke). U zatvorenom sustavu interakcije se odvijaju u parovima, a količina gibanja jednog tijela mijenja se za vrijednost F 21 -> Δt, količina gibanja drugog za F 12 -> Δt, gdje je F 12 -> sila koja djeluje iz prvog tijelo na drugo i F 21 -> – sila koja djeluje s drugog tijela na prvo.

Nazovimo zatvoreni sustav tijela koja međusobno djeluju samo jedno na drugo.

Moment količine gibanja prvog tijela mijenja se za iznos F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, moment količine gibanja drugog tijela mijenja se za iznos F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Ali moment količine gibanja sustava tijela ostaje konstantan

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , jer je F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, jer je F 12 -> = -F 21 -> .

Za bilo kakvu interakciju dva tijela unutar zatvorenog sustava, moment količine gibanja cijelog sustava se ne mijenja. Formulirajmo zakon održanja količine gibanja.

Vektorski zbroj impulsa međusobno djelujućih tijela koja čine zatvoreni sustav ostaje nepromijenjen.

Kada koristimo zakon održanja količine gibanja u problemu, radimo dva shematski crtež, pokazujući stanje sustava tijela prije i poslije interakcije. Za rješavanje vektorskih jednadžbi biramo identične koordinatne sustave.

Problem 1. Neelastični udar.

Automobil mase 30 tona giba se brzinom od 4 m/s i sudari se s nepokretnom platformom mase 10 tona. Odredite brzinu automobila i platforme nakon aktiviranja automatske spojnice.

Riješenje.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1 ϑ 1 -> = (M1 + M2) ϑ ->

OX: M 1 ϑ 1 = (M 1 + M 2) ϑ

Odavde: ϑ = M 1 ϑ 1/(M1 + M2);

ϑ = (30 103 4) / (30 103 + 10 103) = 0,75 m/s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Odgovor. 0,75 m/s

Zakon o održanju količine gibanja može se primijeniti i na otvorene sustave ako se međudjelovanje tijela dogodi trenutno, a brzine tijela određene su odmah nakon međudjelovanja.

Zadatak 2. Dijeljenje na dijelove.

Granata koja leti brzinom od 20 m/s razbije se na dva fragmenta mase 1,2 kg i 1,8 kg. Veći fragment nastavlja se kretati u istom smjeru brzinom od 50 m/s. Nađite brzinu manjeg fragmenta.

Riješenje.

Sustav nije zatvoren na tijelo i njegovi dijelovi su podložni gravitaciji, ali budući da do puknuća dolazi trenutno, promjena količine gibanja svakog dijela gravitacijom se može zanemariti. Primijenimo zakon održanja količine gibanja u vektorskom obliku.

M ϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M 2 ϑ -> 2

OH: M ϑ = M 1 ϑ 1+M2 ϑ 2

Odavde: ϑ 2x = (M ϑ - M 1 ϑ 1)/M2

ϑ 2x = (3 20 – 1,8 50)/1,2 = -25 m/s

[ϑ] = (kg m/s)/kg = m/s

Odgovor.

Zakon očuvanja količine gibanja može se primijeniti u projekcijama na os ako je projekcija rezultante vanjske sile na ovoj osi jednak je O. p x = 0; p 01x + p 02x = p 1x + p 2x.

Zadatak 3. Snimak pod kutom.

Iz pištolja postavljenog na platformu mase M ispaljen je projektil mase m pod kutom a prema horizontali i brzinom V u odnosu na tlo; odredite brzinu platforme nakon hica.

Riješenje.

Sustav nije zatvoren tijekom hica, na tijelo djeluje dodatna sila reakcije koja daje impuls projektilu okomita os OY, njegova projekcija na horizontalnu os OX jednaka je 0, ne postoje druge sile koje djeluju duž osi OX, što znači da možemo primijeniti zakon održanja količine gibanja u projekcijama na os OX.

p x = p 1x + p 2x

OX: 0 = MU x + m ϑ x

0 = MU x + m ϑ cosα

U x = m ϑcosα/M

[U] = (kg m/s)/kg = m/s

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti zadatak o zakonu održanja količine gibanja?
Dobiti pomoć od učitelja -.
Prvi sat je besplatan!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.