Bilo koje oscilatorni krug emitira energiju. Promjenjivo električno polje pobuđuje izmjenično magnetsko polje u okolnom prostoru, i obrnuto. Matematičke jednadžbe, koji opisuju odnos između magnetskog i električnog polja, izveo je Maxwell i nose njegovo ime. Zapišimo Maxwellove jednadžbe diferencijalni oblik za slučaj kada ih nema električni naboji () i struje ( j= 0 ):

Količine i su električna i magnetska konstanta, koje su povezane s brzinom svjetlosti u vakuumu relacijom

Konstanta i karakteriziraju električnu i magnetska svojstva okoliš, koji ćemo smatrati homogenim i izotropnim.

U nedostatku naboja i struja nemoguće je postojanje statičkih električnih i magnetskih polja. Međutim, izmjenično električno polje pobuđuje magnetsko polje, i obrnuto, izmjenično magnetsko polje stvara električno polje. Stoga postoje rješenja Maxwellovih jednadžbi u vakuumu, u odsutnosti naboja i struja, gdje su električna i magnetska polja nerazdvojna vezan prijatelj sa prijateljem. Maxwellova teorija prva je spojila dvije temeljne interakcije, koje su se prije smatrale neovisnima. Stoga sada govorimo o elektromagnetsko polje.

Oscilatorni proces u krugu prati promjena u polju koje ga okružuje. Promjene koje se događaju u okolnom prostoru šire se od točke do točke određenom brzinom, odnosno oscilatorni krug emitira električnu energiju u prostor koji ga okružuje. magnetsko polje.

Kada su vektori i vremenski strogo harmonični, elektromagnetski val se naziva monokromatskim.

Dobijmo iz Maxwellovih jednadžbi valne jednadžbe za vektore i .

Valna jednadžba za elektromagnetske valove

Kao što je navedeno u prethodnom dijelu tečaja, rotor (istrunuti) i divergencija (div)- ovo su neke operacije diferenciranja koje se izvode prema određenim pravilima na vektorima. U nastavku ćemo ih pobliže pogledati.

Uzmimo rotor s obje strane jednadžbe

U ovom slučaju koristit ćemo formulu dokazanu na tečaju matematike:

gdje je gore uveden Laplacian. Prvi izraz na desnoj strani je nula zbog druge Maxwellove jednadžbe:

Kao rezultat dobivamo:

Izrazimo se istrunuti B kroz električno polje koristeći Maxwellovu jednadžbu:

i upotrijebite ovaj izraz na desnoj strani (2.93). Kao rezultat dolazimo do jednadžbe:

S obzirom na vezu

i ulazak indeks loma okoliš

napišimo jednadžbu za vektor napetosti električno polje kao:

Uspoređujući s (2.69), uvjerili smo se da smo dobili valnu jednadžbu, gdje je v- fazna brzina svjetla u okolini:

Uzimajući rotor s obje strane Maxwellove jednadžbe

i djelujući na sličan način, dolazimo do valne jednadžbe za magnetsko polje:

Rezultirajuće valne jednadžbe za i znače da elektromagnetsko polje može postojati u obliku elektromagnetskih valova čija je fazna brzina jednaka

U nedostatku medija (pri ) brzina elektromagnetskih valova podudara se s brzinom svjetlosti u vakuumu.

Osnovna svojstva Elektromagnetski valovi

Razmotrimo ravan monokromatski elektromagnetski val koji se širi duž osi X:

Mogućnost postojanja takvih rješenja proizlazi iz dobivenih valnih jednadžbi. Međutim, jakosti električnog i magnetskog polja nisu neovisne jedna o drugoj. Veza između njih može se uspostaviti zamjenom rješenja (2.99) u Maxwellove jednadžbe. Diferencijalni rad istrunuti, primijenjen na neke vektorsko polje A može se simbolički napisati kao odrednica:

Zamjenjujući ovdje izraze (2.99), koji ovise samo o koordinati x, pronašli smo:

Razlikovanje ravnih valova s ​​obzirom na vrijeme daje:

Tada iz Maxwellovih jednadžbi slijedi:

Slijedi, prvo, da električno i magnetsko polje osciliraju u fazi:

Drugim riječima, u izotropnoj okolini,

Onda možete birati koordinatne osi tako da je vektor usmjeren duž osi na(Slika 2.27) :

Riža. 2.27. Oscilacije električnog i magnetskog polja u ravnom elektromagnetskom valu

U ovom slučaju jednadžbe (2.103) imaju oblik:

Slijedi da je vektor usmjeren duž osi z:

Drugim riječima, vektori električnog i magnetskog polja su ortogonalni jedan na drugi i oba su ortogonalna na smjer širenja vala. Uzimajući u obzir ovu činjenicu, jednadžbe (2.104) su dodatno pojednostavljene:

To dovodi do uobičajenog odnosa između valnog vektora, frekvencije i brzine:

kao i povezanost amplituda oscilacija polja:

Primijetimo da veza (2.107) ne vrijedi samo za maksimalne vrijednosti(amplitude) veličina vektora jakosti električnog i magnetskog polja vala, ali i za strujne - u svakom trenutku.

Dakle, iz Maxwellovih jednadžbi proizlazi da se elektromagnetski valovi šire u vakuumu brzinom svjetlosti. Tada je taj zaključak ostavio veliki dojam. Postalo je jasno da nisu samo elektricitet i magnetizam razne manifestacije ista interakcija. svi svjetlosne pojave, optika, također je postala predmetom teorije elektromagnetizma. Razlike u ljudskoj percepciji elektromagnetskih valova povezane su s njihovom frekvencijom ili valnom duljinom.

Skala elektromagnetskih valova kontinuirani je niz frekvencija (i valnih duljina) elektromagnetska radijacija. Maxwellova teorija elektromagnetskih valova omogućuje nam da utvrdimo da u prirodi postoje elektromagnetski valovi različitih duljina, koje tvore različiti vibratori (izvori). Ovisno o tome kako se elektromagnetski valovi proizvode, dijele se na nekoliko frekvencijskih područja (ili valnih duljina).

Na sl. Slika 2.28 prikazuje skalu elektromagnetskih valova.

Riža. 2.28. Skala elektromagnetskih valova

Vidi se da se raspon vala različite vrste međusobno preklapaju. Stoga se mogu dobiti valovi takvih duljina različiti putevi. Među njima nema temeljnih razlika, budući da su svi elektromagnetski valovi koje stvaraju oscilirajuće nabijene čestice.

Maxwellove jednadžbe također navode na zaključak da transverzalnost elektromagnetski valovi u vakuumu (i u izotropnom mediju): vektori jakosti električnog i magnetskog polja ortogonalni su jedan na drugi i na smjer širenja valova.

dodatne informacije

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Valna jednadžba. Građa iz Fizičke enciklopedije.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Maxwellove jednadžbe. Video predavanja.

http://elementy.ru/trefil/24 – Maxwellove jednadžbe. Materijal iz "Elemenata".

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Vrlo kratko o Maxwellovim jednadžbama.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Maxwellove jednadžbe i njihovo fizičko značenje.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Ukratko o Maxwellovim jednadžbama za elektromagnetsko polje.

Dopplerov efekt za elektromagnetske valove

Pusti malo inercijski sustav odbrojavanje DOŠiri se ravni elektromagnetski val. Valna faza ima oblik:

Promatrač u drugom inercijalnom okviru DO", krećući se u odnosu na prvu brzinom V duž osi x, također promatra ovaj val, ali koristi različite koordinate i vrijeme: t", r". Veza između referentnih sustava dana je Lorentzovim transformacijama:

Zamijenimo ove izraze u izraz za fazu, dobiti fazu valovi u pokretnom referentnom okviru:

Ovaj izraz se može napisati kao

Gdje i - ciklička frekvencija i valni vektor u odnosu na pokretni referentni okvir. Uspoređujući s (2.110), nalazimo Lorentzovu transformaciju za frekvenciju i valni vektor:

Za elektromagnetski val u vakuumu

Neka smjer širenja vala u prvom referentnom sustavu zaklapa kut s osi X:

Tada izraz za frekvenciju vala u pokretnom referentnom okviru ima oblik:

To je ono što je Dopplerova formula za elektromagnetske valove.

Ako je , tada se promatrač udaljava od izvora zračenja i frekvencija vala koju opaža opada:

Ako je , tada se promatrač približava izvoru i frekvencija zračenja za njega raste:

Na brzinama V<< с možemo zanemariti odstupanje kvadratnog korijena u nazivnicima od jedinice i dolazimo do formula sličnih formulama (2.85) za Dopplerov efekt u zvučnom valu.

Uočimo bitnu značajku Dopplerovog efekta za elektromagnetski val. Brzina pokretnog referentnog okvira ovdje igra ulogu relativne brzine promatrača i izvora. Dobivene formule automatski zadovoljavaju Einsteinov princip relativnosti, a uz pomoć pokusa nemoguće je ustanoviti što se točno kreće - izvor ili promatrač. To je zbog činjenice da za elektromagnetske valove ne postoji medij (eter) koji bi imao istu ulogu kao zrak za zvučni val.

Napomenimo također da za elektromagnetske valove imamo transverzalni Doppler efekt. Kada se promijeni frekvencija zračenja:

dok za zvučne valove kretanje u smjeru okomitom na širenje vala nije dovelo do pomaka frekvencije. Taj je učinak izravno povezan s relativističkom dilatacijom vremena u pokretnom referentnom okviru: promatrač na raketi vidi povećanje frekvencije zračenja ili, općenito, ubrzanje svih procesa koji se odvijaju na Zemlji.

Nađimo sada faznu brzinu vala

u pokretnom referentnom okviru. Iz Lorentzove transformacije za valni vektor imamo:

Zamijenimo omjer ovdje:

Dobivamo:

Odavde nalazimo brzinu vala u pokretnom referentnom okviru:

Utvrdili smo da se brzina vala u pokretnom referentnom okviru nije promijenila i još uvijek je jednaka brzini svjetlosti S. Napomenimo, međutim, da se to uz točne proračune nije moglo ne dogoditi, budući da je nepromjenjivost brzine svjetlosti (elektromagnetskih valova) u vakuumu glavni postulat teorije relativnosti već “ugrađen” u Lorentzove transformacije. koristili smo za koordinate i vrijeme (3.109).

Primjer 1. Fotonska raketa kreće se velikom brzinom V = 0,9 s, idući prema zvijezdi promatranoj sa Zemlje u optičkom rasponu (valna duljina µm). Nađimo valnu duljinu zračenja koju će astronauti promatrati.

Valna duljina je obrnuto proporcionalna frekvenciji vibracije. Iz formule (2.115) za Dopplerov efekt u slučaju približavanja izvora svjetlosti i promatrača nalazimo zakon pretvorbe valne duljine:

iz čega slijedi rezultat:

Prema sl. 2.28 utvrđujemo da se za astronaute zračenje zvijezde pomaknulo u ultraljubičasto područje.

Energija i impuls elektromagnetskog polja

Volumetrijska gustoća energije w elektromagnetski val sastoji se od volumetrijskih gustoća električnih i magnetska polja.

Maxwellove jednadžbe i valna jednadžba

Elektromagnetski valovi

Tijekom širenja mehaničkog vala u elastičnom sredstvu, čestice medija sudjeluju u oscilatornom gibanju. Razlog za ovaj proces je prisutnost interakcija između molekula.

Osim elastičnih valova, u prirodi postoji valni proces različite naravi. Riječ je o elektromagnetskim valovima, koji su proces širenja oscilacija elektromagnetskog polja. U biti živimo u svijetu elektromagnetskih valova. Njihov raspon je nevjerojatno širok - to su radio valovi, infracrveno zračenje, ultraljubičasto, x-zrake, γ - zrake. Posebno mjesto u ovoj raznolikosti zauzima vidljivi dio raspona - svjetlost. Upravo uz pomoć tih valova dobivamo ogromnu količinu informacija o svijetu oko nas.

Što je elektromagnetski val? Koja je njegova priroda, mehanizam distribucije, svojstva? Postoje li opći obrasci koji su karakteristični i za elastične i za elektromagnetske valove?

Maxwellove jednadžbe i valna jednadžba

Elektromagnetski valovi su zanimljivi jer ih je izvorno "otkrio" Maxwell na papiru. Na temelju sustava jednadžbi koje je predložio, Maxwell je pokazao da električna i magnetska polja mogu postojati u odsutnosti naboja i struja, šireći se u obliku vala brzinom od 3∙10 8 m/s. Gotovo 40 godina kasnije, materijalni objekt koji je predvidio Maxwell - EMW - eksperimentalno je otkrio Hertz.

Maxwellove jednadžbe su postulati elektrodinamike, formulirani na temelju analize eksperimentalnih činjenica. Jednadžbe uspostavljaju odnos između naboja, struja i polja – električnog i magnetskog. Pogledajmo dvije jednadžbe.

1. Kruženje vektora jakosti električnog polja po proizvoljnoj zatvorenoj petlji l proporcionalna je brzini promjene magnetskog toka kroz površinu razvučenu preko konture (to je Faradayev zakon elektromagnetske indukcije):

(1)

Fizičko značenje ove jednadžbe je da promjenjivo magnetsko polje stvara električno polje.

2. Kruženje vektora jakosti magnetskog polja po proizvoljnoj zatvorenoj petlji l proporcionalan je brzini promjene protoka vektora električne indukcije kroz površinu razvučenu preko konture:

Fizičko značenje ove jednadžbe je da je magnetsko polje generirano strujama i promjenjivim električnim poljem.

Čak i bez ikakvih matematičkih transformacija ovih jednadžbi, jasno je: ako se električno polje u nekom trenutku promijeni, tada se u skladu s (2) pojavljuje magnetsko polje. Ovo magnetsko polje, mijenjajući se, stvara električno polje u skladu s (1). Polja se međusobno induciraju, više nisu povezana s nabojima i strujama!

Štoviše, proces međusobne indukcije polja širit će se u prostoru konačnom brzinom, odnosno javlja se elektromagnetski val. Da bi se dokazalo postojanje valnog procesa u sustavu, u kojem vrijednost S fluktuira, potrebno je dobiti valnu jednadžbu

Promotrimo homogeni dielektrik s dielektričnom konstantom ε i magnetskom propusnošću μ. Neka u tom mediju postoji magnetsko polje. Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da se vektor jakosti magnetskog polja nalazi duž osi OY i ovisi samo o koordinati z i vremenu t: .

Zapisujemo jednadžbe (1) i (2) uzimajući u obzir odnos između karakteristika polja u homogenom izotropnom mediju: i :

Nađimo vektorski tok kroz pravokutno područje KLMN i vektorski tok duž pravokutne konture KLPQ (KL = dz, LP= KQ = b, LM = KN = a)

Očito je da su vektorski tok kroz KLMN mjesto i cirkulacija duž KLPQ kruga različiti od nule. Tada su kruženje vektora duž konture KLMN i tok vektora kroz površinu KLPQ također različiti od nule. To je moguće samo pod uvjetom da se pri promjeni magnetskog polja pojavi električno polje usmjereno duž osi OX.

Zaključak 1: Pri promjeni magnetskog polja nastaje električno polje čija je jakost okomita na indukciju magnetskog polja.

Uzimajući u obzir gore navedeno, sustav jednadžbi će se prepisati

Nakon transformacija dobivamo:

Maxwellove jednadžbe sadrže jednadžbu kontinuiteta koja izražava zakon održanja naboja. 3. Maxwellove jednadžbe su zadovoljene u svim inercijalnim sustavima izvješća. 4. Maxwellove jednadžbe su simetrične.

6.3.4. Elektromagnetski valovi

Iz Maxwellovih jednadžbi proizlazi da je elektromagnetsko polje sposobno postojati samostalno, bez električnih naboja i struja. Promjenjivo elektromagnetsko polje ima valni karakter i širi se u vakuumu u obliku elektromagnetskih valova brzinom svjetlosti.

Postojanje elektromagnetskih valova proizlazi iz Maxwellovih jednadžbi koje su opisane valnim jednadžbama za vektore i odnosno:

, (5.18)

, (5.19)

Promjena vremena magnetskog polja pobuđuje izmjenično električno polje i, obrnuto, promjena vremena električnog polja pobuđuje izmjenično magnetsko polje. Vrtložno električno polje inducirano izmjeničnim magnetskim poljem , oblici s vektorom lijevokretni sustav (sl. 7.2), i vrtložno magnetsko polje inducirano električnim poljem , oblici s vektorom sustav desnog vijka (sl. 5.2).

Dolazi do njihove kontinuirane međusobne pretvorbe, što omogućuje

postoje i šire se u prostoru i vremenu u nedostatku naboja i strujanja.

Dakle, Maxwellova teorija ne samo da je predvidjela postojanje elektromagnetskih valova, već je također utvrdila njihova najvažnija svojstva:

Brzina širenja elektromagnetskog vala u neutralnom neprovodljivom i neferomagnetskom mediju

(5.20)

gdje je c brzina svjetlosti u vakuumu.

Riža. 5.3 Sl. 5.4

3. U elektromagnetskom valu vektori I uvijek osciliraju u istim fazama (sl. 5.4), te između trenutnih vrijednosti E i B u bilo kojoj točki prostora

postoji veza i to: E = vB odn
. (5.21)

Postojanje elektromagnetskih valova omogućilo je Maxwellu da objasni valnu prirodu svjetlosti. Svjetlost su elektromagnetski valovi.

6.3.5. Protok energije elektromagnetskog polja

Dok se elektromagnetski valovi šire kroz prostor i vrijeme, oni sa sobom nose energiju. Sadržan je u međusobno transformirajućim električnim i magnetskim poljima.

Volumetrijska gustoća energije električnog polja

, (5.22)

gdje je E jakost električnog polja.

Volumetrijska gustoća energije magnetskog polja

, (5.23)

gdje je B indukcija magnetskog polja.

Posljedično, volumetrijska gustoća energije elektromagnetskog polja u području prostora u kojem se elektromagnetski val nalazi u proizvoljnom trenutku vremena,

W= w e + w m =
. (5.24)

Ili uzimajući u obzir činjenicu da je E = cB i
, imamo

w =  o E 2 , (5.25)

ili
. (5.26)

Energija koju elektromagnetski val prenese u jedinici vremena kroz jedinicu površine naziva se gustoća toka elektromagnetske energije. Vektor gustoće toka elektromagnetske energije naziva se Poyntingov vektor.

Pointing smjer vektora poklapa se sa smjerom širenja elektromagnetskog vala, odnosno sa smjerom prijenosa energije. Brzina prijenosa energije jednaka je faznoj brzini ovog vala.

Ako elektromagnetski val pri širenju prolazi kroz određeno područje S, okomito na smjer njegovog širenja, na primjer, duž X osi, tada će val u određenom vremenskom razdoblju dt prijeći udaljenost dx = cdt, gdje je c je brzina širenja vala.

Budući da volumetrijska gustoća energije elektromagnetskog vala

zatim ukupna energija dW elektromagnetskog vala sadržana u volumenu

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5,27)

Posljedično, gustoća toka elektromagnetske energije koja prolazi kroz područje S tijekom vremena dt

. (5.28)

Pointingov vektor poklapa se u smjeru s brzinom širenja elektromagnetskog vala, koja je okomita na I , tj.

. (5.29)

Skupina diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe koje svaki od vektora polja zasebno mora zadovoljiti mogu se dobiti eliminacijom preostalih vektora. Za područje polja koje ne sadrži slobodne naboje i struje ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), jednadžbe za vektore $\overrightarrow(B)$ i $\overrightarrow(E)$ imaju oblik:

Jednadžbe (1) i (2) su obične jednadžbe gibanja valova, koje pokazuju da se svjetlosni valovi šire u mediju brzinom ($v$) jednakom:

Napomena 1

Treba napomenuti da koncept brzine elektromagnetskog vala ima određeno značenje samo u vezi s valovima jednostavnog tipa, na primjer, ravnim. Brzina $v$ nije brzina širenja vala u slučaju proizvoljnog rješenja jednadžbi (1) i (2), jer te jednadžbe dopuštaju rješenja u obliku stojnih valova.

U svakoj valnoj teoriji svjetlosti, harmonijski val u prostoru i vremenu smatra se elementarnim procesom. Ako frekvencija ovog vala leži u intervalu $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7.5\cdot (10)^(-14)\frac(1 ) (c)$, takav val izaziva kod čovjeka fiziološki osjet određene boje.

Za prozirne tvari, dielektrična konstanta $\varepsilon $ obično je veća od jedinice, magnetska permeabilnost medija $\mu $ gotovo je jednaka jedinici, ispada da je, u skladu s jednadžbom (3), brzina $v $ je manja od brzine svjetlosti u vakuumu. Što su znanstvenici po prvi put eksperimentalno pokazali za slučaj širenja svjetlosti u vodi Foucault I Fizeau.

Obično se ne određuje sama vrijednost brzine ($v$), već omjer $\frac(v)(c)$, za koji se koristi zakon refrakcije . U skladu s ovim zakonom, kada ravni elektromagnetski val upadne na ravnu granicu koja razdvaja dva homogena medija, omjer sinusa kuta upada $(\theta )_1$ i sinusa kuta loma $( \theta )_2$ (Sl. 1) konstantna je i jednaka omjeru brzina širenja valova u dva medija ($v_1\ i (\v)_2$):

Vrijednost konstantnog omjera izraza (4) obično se označava kao $n_(12)$. Kažu da je $n_(12)$ relativni indeks loma druge tvari u odnosu na prvu, koji valna fronta (val) doživljava pri prelasku iz prvog medija u drugi.

Slika 1.

Definicija 1

Apsolutni indeks loma(jednostavno indeks loma) $n$ medija je indeks loma tvari u odnosu na vakuum:

Tvar s višim indeksom loma optički je gušća. Relativni indeks loma dviju tvari ($n_(12)$) povezan je s njihovim apsolutnim indeksima ($n_1,n_2$) kao:

Maxwellova formula

Definicija 2

Maxwell je otkrio da indeks loma medija ovisi o njegovim dielektričnim i magnetskim svojstvima. Ako izraz za brzinu širenja svjetlosti iz jednadžbe (3) zamijenimo formulom (5), dobivamo:

\ \

Izraz (7) naziva se Maxwellova formula. Za većinu nemagnetskih prozirnih tvari koje se razmatraju u optici, magnetska permeabilnost tvari može biti približno jednaka jedinici, stoga se jednakost (7) često koristi u obliku:

Često se pretpostavlja da je $\varepsilon$ konstantan. Međutim, dobro su nam poznati Newtonovi pokusi s prizmom o razgradnji svjetlosti; kao rezultat tih pokusa postaje očito da indeks loma ovisi o frekvenciji svjetlosti. Prema tome, ako pretpostavimo da je Maxwellova formula valjana, tada bismo trebali priznati da dielektrična konstanta tvari ovisi o frekvenciji polja. Veza između $\varepsilon $ i frekvencije polja može se objasniti samo ako uzmemo u obzir atomsku strukturu tvari.

Međutim, mora se reći da se Maxwellova formula s konstantnom dielektričnom konstantom tvari u nekim slučajevima može koristiti kao dobra aproksimacija. Primjer su plinovi jednostavne kemijske strukture, kod kojih nema značajne disperzije svjetlosti, što znači da optička svojstva slabo ovise o boji. Formula (8) također dobro funkcionira za tekuće ugljikovodike. S druge strane, većina krutih tvari, primjerice stakla, i većina tekućina pokazuju jako odstupanje od formule (8), ako $\varepsilon$ smatramo konstantom.

Primjer 1

Vježba: Kolika je koncentracija slobodnih elektrona u ionosferi ako se zna da je za radio valove frekvencije $\nu$ njegov indeks loma jednak $n$.

Riješenje:

Uzmimo Maxwellovu formulu kao osnovu za rješavanje problema:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\lijevo(1,2\desno),\]

gdje je $\varkappa$ dielektrična osjetljivost, P je trenutna vrijednost polarizacije. Iz (1.1) i (1.2) slijedi da je:

Ako je koncentracija atoma u ionosferi jednaka $n_0,$ tada je trenutna vrijednost polarizacije jednaka:

Iz izraza (1.3) i (1.4) imamo:

gdje je $\omega $ ciklička frekvencija. Jednadžba prisilnih oscilacija elektrona bez uzimanja u obzir sile otpora može se napisati kao:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\lijevo(1,7\desno),\]

gdje je $m_e$ masa elektrona, $q_e$ je naboj elektrona. Rješenje jednadžbe (1.7) je izraz:

\ \

Znamo frekvenciju radio valova, stoga možemo pronaći cikličku frekvenciju:

\[\omega =2\pi \nu \lijevo(1.10\desno).\]

Zamijenimo desnu stranu izraza (1.9) u (1.5) umjesto $x_(max)$ i upotrijebimo (1.10), dobivamo:

Odgovor:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\lijevo(1-n^2\desno).$

Primjer 2

Vježba: Objasnite zašto Maxwellova formula proturječi nekim eksperimentalnim podacima.

Riješenje:

Iz Maxwellove klasične elektromagnetske teorije slijedi da se indeks loma medija može izraziti kao:

gdje u optičkom području spektra za većinu tvari možemo pretpostaviti da je $\mu \približno 1$. Ispada da indeks loma za tvar mora biti konstantna vrijednost, budući da je $\varepsilon $ - dielektrična konstanta medija konstantna. Dok eksperiment pokazuje da indeks loma ovisi o frekvenciji. Poteškoće na koje je Maxwellova teorija u ovom pitanju nailazila otklonjene su Lorentzovom elektronskom teorijom. Lorentz je razmatrao disperziju svjetlosti kao rezultat međudjelovanja elektromagnetskih valova s ​​nabijenim česticama koje su dio tvari i izvode prisilne oscilacije u izmjeničnom elektromagnetskom polju svjetlosnog vala. Koristeći svoju hipotezu, Lorentz je dobio formulu koja povezuje indeks loma s frekvencijom elektromagnetskog vala (vidi primjer 1).

Odgovor: Problem s Maxwellovom teorijom je taj što je makroskopska i ne uzima u obzir strukturu materije.

U mikrovalnoj tehnologiji interes je uglavnom za polja koja se mijenjaju s vremenom prema harmonijskom zakonu (tj. sinusoidalne su prirode).

Kompleksnom metodom zapisujemo vektore električnog i magnetskog polja:

,
, (33)

Gdje – kutna frekvencija
.

Zamijenimo ove izraze u I i II – Maxwellove jednadžbe

,
.

Nakon diferenciranja imamo:

, (34)

. (35)

Jednadžba (34) može se transformirati u oblik:

,

Gdje
– kompleksna relativna dielektrična konstanta uzimajući u obzir gubitke u mediju.

Omjer imaginarnog dijela kompleksne relativne dielektrične konstante prema stvarnom dijelu predstavlja tangens dielektričnog gubitka
. Dakle, Maxwellove jednadžbe za harmonijske vibracije u odsutnosti slobodnih naboja
imaju oblik:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

U ovom obliku, Maxwellove jednadžbe su nezgodne i moraju se transformirati.

Maxwellove jednadžbe lako se svode na valne jednadžbe, koje uključuju samo jedan od vektora polja. Definiranje
iz (37) i zamjenom u (36) dobivamo:

Proširimo lijevu stranu pomoću formule III:

Uvedimo notaciju
, zatim uzimajući u obzir
, dobivamo:

. (40)

Ista se jednadžba može dobiti za

. (41)

Jednadžbe (40) – (41) nazivaju se Helmholtzove jednadžbe. Oni opisuju širenje valova u prostoru i dokaz su da promjene električnih i magnetskih polja tijekom vremena dovode do širenja elektromagnetskih valova u prostoru.

Ove jednadžbe vrijede za bilo koji koordinatni sustav. Kada koristimo pravokutni koordinatni sustav imat ćemo:

, (42)

, (43)

Gdje
– jedinični vektori

Zamijenimo li relacije (42) i (43) u jednadžbe (40) i (41), tada se potonje rastavljaju na šest neovisnih jednadžbi:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

Gdje
.

U općem slučaju, u pravokutnom koordinatnom sustavu, za pronalaženje komponenti polja potrebno je riješiti jednu linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda

,

Gdje – jedna od komponenti polja, tj.
. Opće rješenje ove jednadžbe je

, (46)

Gdje
– funkcija raspodjele polja u ravnini fronte vala, neovisno o .

Energetski odnosi u elektromagnetskom polju. Umov-Poyntingov teorem

Jedna od najvažnijih karakteristika elektromagnetskog polja je njegova energija. Po prvi put je pitanje energije elektromagnetskog polja razmatrao Maxwell, koji je pokazao da je ukupna energija polja sadržana u volumenu , sastoji se od energije električnog polja:

, (47)

i energija magnetskog polja:

. (48)

Dakle, ukupna energija elektromagnetskog polja jednaka je:

. (49)

Godine 1874 prof. N.A. Umov uveo je koncept protoka energije, a 1880. taj je koncept primijenio Poynting na proučavanje elektromagnetskih valova. Proces zračenja u elektrodinamici obično se karakterizira određivanjem Umov-Poyntingovog vektora u svakoj točki prostora.

Fizički ispravni rezultati, u skladu sa zakonom održanja energije i Maxwellovim jednadžbama, dobivaju se ako izrazimo Umov-Poyntingov vektor u smislu trenutnih vrijednosti
I
na sljedeći način:

.

Uzmimo Maxwellovu prvu i drugu jednadžbu i pomnožimo prvu s , a drugi na
i dodaj:

,

Gdje .

Stoga se jednadžba (50) može napisati kao

,

integrirajući preko volumena i mijenjajući znakove, imamo:

Prijeđimo s integrala po volumenu na integral po površini

,

ili uzimajući u obzir
dobivamo:

, To
,
,

. (51)

Rezultirajuća jednadžba izražava zakon održanja energije u elektromagnetskom polju (Umov-Poyntingov teorem). Lijeva strana jednadžbe predstavlja brzinu promjene tijekom vremena ukupne rezerve energije elektromagnetskog polja u razmatranom volumenu
. Prvi član s desne strane je količina topline , oslobođen u provodnim dijelovima volumena po jedinici vremena. Drugi član predstavlja tok Umov-Poyntingovog vektora kroz površinu koja ograničava volumen .Vektor
je gustoća toka energije elektromagnetskog polja. Jer
, zatim smjer vektora
može se odrediti pravilom vektorskog umnoška /gimlet pravilo/ (slika 9). U sustavu SI vektor
ima dimenziju
.

Slika 9 – Ususret definiciji Umov-Poyntingovog vektora