В целях анализа и получения статистических выводов по результатом сводки и группировки исчисляют обобщающие показатели – средние и относительные величины.

Задача средних величин – охарактеризовать все единицы статистической совокупности одним значением признака.

Средними величинами характеризуются качественные показатели предпринимательской деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя величина – это обобщающая характеристика единиц совокупности по какому–либо варьирующему признаку.

Средние величины позволяют сравнивать уровни одного и того же признака в различных совокупностях и находить причины этих расхождений.

В анализе изучаемых явлений роль средних величин огромна. Английский экономист В. Петти (1623-1687 гг.) широко использовал средние величины. В. Петти хотел использовать средние величины в качестве меры стоимости расходов на среднее дневное пропитание одного работника. Устойчивость средней величины – это отражение закономерности изучаемых процессов. Он считал что информацию можно преобразовать, даже если нет достаточного объема исходных данных.

Применял средние и относительные величины английский ученый Г. Кинг (1648-1712) при анализе данных о населении Англии.

Теоретические разработки бельгийского статистика А. Кетле (1796-1874 гг.) основаны на противоречивости природы социальных явлений – высокоустойчивых в массе, но сугубо индивидуальных.

Согласно А. Кетле постоянные причины действуют одинаково на каждое изучаемое явление и делают эти явления похожими друг на друга, создают общие для всех них закономерности.

Следствием учения А. Кетле явилось выделение средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он говорил, что статистические средние величины представляют собой не категорию объективной действительности.

А. Кетле выразил взгляды на среднюю величину в своей теории среднего человека. Средний человек – это человек, обладающий всеми качествами в среднем размере (средняя смертность или рождаемость, средний рост и вес, средняя быстрота бега, средняя наклонность к браку и самоубийству, к добрым делам и т. д.). Для А. Кетле средний человек – это идеал человека. Несостоятельность теории среднего человека А. Кетле была доказана в русской статистической литературе в конце XIX-XX вв.

Известный русский статистик Ю. Э. Янсон (1835-1893 гг.) писал, что А. Кетле предполагает существование в природе типа среднего человека как чего–то данного, от которого жизнь отклонила средних людей данного общества и данного времени, а это приводит его к совершенно механическому взгляду и на законы движения социальной жизни: движение – это постепенное возрастание средних свойств человека, постепенное восстановление типа; следовательно, такое нивелирование всех проявлений жизни социального тела, за которым всякое поступательное движение прекращается.

Сущность данной теории нашла свое дальнейшее развитие в работах ряда теоретиков статистики как теория истинных величин. У А. Кетле были последователи – немецкий экономист и статистик В. Лексис (1837-1914 гг.), перенесший теорию истинных величин на экономические явления общественной жизни. Его теория известна под названием теория устойчивости. Другая разновидность идеалистической теории средних величин основана на философии

Ее основатель – английский статистик А. Боули (1869– 1957гг.) – один из самых видных теоретиков новейшего времени в области теории средних величин. Его концепция средних величин изложена в книге «Элементы статистики».

А. Боули рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, тем самым отрывает количество от качества. Определяя значение средних величин (или «их функцию»), А. Боули выдвигает махистский принцип мышления. А. Боули писал, что функция средних величин должна выражать сложную группу

с помощью немногих простых чисел. Статистические данные должны быть упрощены, сгруппированы и приведены к средним Эти взгляды: разделяли Р. Фишер (1890-1968 гг.), Дж. Юл (1871 – 1951 гг.), Фредерик С. Миллс (1892 г) и др.

В 30-е гг. XX в. и последующие годы средняя величина рассматривается как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных.

Виднейшие представители итальянской школы Р. Бенини (1862-1956 гг.) и К. Джини (1884-1965 гг.), считая статистику отраслью логики, расширили область применения статистической индукции, но познавательные принципы логики и статистики они связывали с природой изучаемых явлений, следуя традициям социологической трактовки статистики.

В работах К. Маркса и В. И. Ленина средним величинам отводится особая роль.

К. Маркс утверждал, что в средней величине погашаются индивидуальные отклонения от общего уровня и средний уровень становится обобщающей характеристикой массового явления Такой характеристикой массового явления средняя величина становится лишь при условии, если взято значительное число единиц и эти единицы качественно однородны. Маркс писал, чтобы находимая средняя величина была средней «…многих различных индивидуальных величин одного и того же вида».

Средняя величина приобретает особую значимость в условиях рыночной экономики. Она помогает определить необходимое и общее, тенденцию закономерности экономического развития непосредственно через единичное и случайное.

Средние величины являются обобщающими показателями, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние величины рассчитываются на основе массовых данных статистически правильно организованного массового наблюдения. Если статистическая средняя рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений), то она будет объективной.

Средняя величина абстрактна, так как характеризует значение абстрактной единицы.

От разнообразия признака у отдельных объектов абстрагируется средняя. Абстракция – ступень научного исследования. В средней величине осуществляется диалектическое единство отдельного и общего.

Средние величины должны применяться исходя из диалектического понимания категорий индивидуального и общего, единичного и массового.

Средняя отображает что–то общее, которое складывается в определенном единичном объекте.

Для выявления закономерностей в массовых общественных процессах средняя величина имеет большое значение.

Отклонение индивидуального от общего – проявление процесса развития.

В средней величине отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Задачей средних величин является характеристика этих уровней и их изменений во времени и пространстве.

Средний показатель – это обычное значение, потому что формируется в нормальных, естественных, общих условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом.

Объективное свойство статистического процесса или явления отражает средняя величина.

Индивидуальные значения исследуемого статистического признака у каждой единицы совокупности различны. Средняя величина индивидуальных значений одного вида – продукт необходимости, который является результатом совокупного действия всех единиц совокупности, проявляющийся в массе повторяющихся случайностей.

Одни индивидуальные явления имеют признаки, которые существуют во всех явлениях, но в разных количествах – это рост или возраст человека. Другие признаки индивидуального явления, качественно различные в различных явлениях, т. е. имеются у одних и не наблюдаются у других (мужчина не станет женщиной). Средняя величина вычисляется для признаков качественно однородных и различных только количественно, которые присущи всем явлениям в данной совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака и измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Теория диалектического материализма учит, что все в мире меняется, развивается. А также изменяются признаки, которые характеризуются средними величинами, а соответственно – и сами средние.

В жизни происходит непрерывный процесс создания чего–то нового. Носителем нового качества являются единичные объекты, далее количество этих объектов возрастает, и новое становится массовым, типичным.

Средняя величина характеризует изучаемую совокупность только по одному признаку. Для полного и всестороннего представления изучаемой совокупности по ряду определенных признаков необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

2. Виды средних величин

В статистической обработке материала возникают различные задачи, которые необходимо решать, и поэтому в статистической практике используются различные средние величины. Математическая статистика использует различные средние, такие как: средняя арифметическая; средняя геометрическая; средняя гармоническая; средняя квадратическая.

Для того чтобы применить одну из вышеперечисленных видов средней, необходимо проанализировать изучаемую совокупность, определить материальное содержание изучаемого явления, все это делается на основе выводов, полученных из принципа осмысленности результатов при взвешивании или суммировании.

В изучении средних величин применяются следующие показатели и обозначения.

Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается х; величина осредняемого признака у любой единицы статистической совокупности называют индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначают как x 1 , х 2 , x 3 ,… х п ; частота – это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой f.

Средняя арифметическая

Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметическая, которая исчисляется тогда, когда объем ос–редняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Для вычисления средней арифметической величины сумму всех уровней признака делят на их число.

Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений, исчисленная таким образом средняя арифметическая называется средней арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической взвешенной выглядит следующим образом:

гдех i – варианты,

f i – частоты или веса.

Взвешенная средняя величина должна употребляться во всех случаях, когда варианты имеют различную численность.

Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующуюся у каждого из них.

Вычисление средних величин производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до).

Свойства средней арифметической:

1) средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин: Если х i = y i +z i , то

Данное свойство показывает в каких случаях можно суммировать средние величины.

2) алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону:

Это правило демонстрирует, что средняя является равнодействующей.

3) если все варианты ряда увеличить или уменьшить на одно и тоже число?, то средняя увеличится или уменьшится на это же число?:

4) если все варианты ряда увеличить или уменьшить в А раз, то средняя также увеличится или уменьшится в А раз:

5) пятое свойство средней показывает нам, что она не зависит от размеров весов, но зависит от соотношения между ними. В качестве весов могут быть взяты не только относительные, но и абсолютные величины.

Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и тоже число d, то средняя не изменится.

Средняя гармоническая. Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f.

Допустим, известны индивидуальные значения признака х и произведения х/, а частоты f неизвестны, тогда, чтобы рассчитать среднюю, обозначим произведение = х/; откуда:

Средняя в этой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначается х гарм. взв.

Соответственно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применима, когда неизвестны действительные веса f , а известно произведение fх = z

Когда произведения fх одинаковы или равны единицы (m = 1) применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:

где х – отдельные варианты;

n – число.

Средняя геометрическая

Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

Это формула средней геометрической.

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Например, с помощью средней квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.

Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число.

Средняя квадратическая взвешенная равна:

3. Структурные средние величины. Мода и медиана

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.

Мода (М о ) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.

Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).

В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

где х о – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f m – частота модального интервала;

f т -1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f m +1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (M e – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

где х ме – нижняя граница медианного интервала;

i Me – величина медианного интервала;

f/2 – полусумма частот ряда;

S Me -1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f Me – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их.

Однако для того чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно одно–родных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин величин и предполагает тесную связь метода средних и метода группировок в анализе социально-экономических явлений.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы,– групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

1) степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);

2) структурные средние (мода, медиана).

Самый распространенный вид средней – средняя арифметическая. Формула простой средней арифметической:

Средняя арифметическая взвешенная:

где xi –варианты осредняемого признака; f – частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности.

Формула простой средней гармонической:

где хi – отдельные варианты; n – число вариантов осредняемого признака. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

Формула средней геометрической взвешенной:

Формула средней квадратической:

Формула средней квадратической взвешенной:

Формула средней кубической:

Средняя кубическая взвешенная:

3. Структурные средние: мода и медиана

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле:

h – величина интервала;

fm – частота интервала;

fm-1 – частота предшествующего интервала;

fm+1 – частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле:

где х0 – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

fm – частота интервала;

f – число членов ряда;

Sm- 1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на четыре равные части, а децили – на десять равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристика–ми статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обоб­щенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в кон­кретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает ти­пичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положи­тельных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака от­дельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множест­ва факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней величины в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учи­тываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней величине отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

В статистике используются различные виды средних величин. Наиболее часто применяются средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая. Выбор той или иной средней зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Указанные средние величины могут быть вычислены либо когда каждый вариант совокупности встречается только один раз (при этом средняя называется простой или невзвешенной ), либо когда варианты повторяются различное число раз (при этом число повторений вариантов называется частотой или статистическим весом , а средняя, вычисленная с учетом весов, – средней взвешенной ).

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле

Средняя арифметическая взвешенная

где х i – вариант, а f i – частота или статистический вес.

Пример. Обследование пяти кабинетов первого этажа офиса показало, что в них работает 1, 2, 3, 4, 5 человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую:

т.е. в среднем на один кабинет первого этажа приходится 3 человека.

Результаты обследования всех кабинетов этого же здания приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2

Результаты обследования офисного здания

Вычислим среднее число сотрудников, работающих в данном здании:

Т.е. в среднем на 2 кабинета в этом здании приходится 7 сотрудников.

Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.

Формула вычисления средней гармонической простой следующая:

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

где x i – вариант, n – количество вариантов, V i – веса для обратных значений x i .

Пример. Средняя гармоническая невзвешенная (эта форма средней, используемая значи­тельно реже, чем взвешенная). Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников одинакова?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (5 + 15) : 2 = 10, мин. Проверим обоснованность тако­го подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов. Если же заме­нить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (на­пример, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя ра­ботниками заказов:

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то об­щее количество обработанных за час заказов не изменится:

Заказов.

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмот­ренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

Пример. Средняя гармоническая взвешенная . В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в таблице 8.3.

Таблица 8.3

Данные о ходе торгов на валютной бирже

Для того, чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

Т.е. средний курс за один доллар составил 25,48 руб.

Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая, т.е. руб. за один доллар, то по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 739,5 млн руб., что не соответствует действительности.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Если используем частоты m , получим формулу средней геометрической взвешенной

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой

Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной

Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней, т.е. – правило мажорантности средних А.Я. Боярского.

Структурные средние

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана .

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту. Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

где х 0 – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f Мо – частота модального интервала;

f Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f Мо+1 – частота интервала следующая за модальным.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле

где х о – нижняя граница медианного интервала;

N Ме – порядковый номер медианы (Σf/2);

S Me -1 – накопленная частота до медианного интервала;

f Me – частота медианного интервала.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4

Распределение семей города по размеру
среднедушевого дохода в январе 2008 г.

Найдем моду по формуле (8.16):

Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

сначала находится N медианы: N Ме = Σf i /2 = 5000. По накопленным частотам определим, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), ее значение определим по формуле:

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если М 0 <М е <Х – имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<М е <М 0 следует сделать вы­вод о левосторонней асимметрии ряда.

Контрольные задания

1. Какова роль относительных величин в статистике?

2. Какие существуют формы выражения относительных величин?

3. Каково значение средних величин в статистике?

4. Какие виды средних величин применяются в статистике?

5. В каких случаях применяются средняя гармоническая, квадратическая, геометрическая?

6. По данным таблицы 8.5 определить моду и медиану.

Таблица 8.5

Распределение торговых предприятий города
по уровню розничных цен на товар А

7. По данным таблицы 8.6 определить средний возраст персонала.

Таблица 8.6

Распределение сотрудников предприятия по возрасту

8. По таблице 8.7 определить средний стаж работы: а) рабочих; б) служащих.

Таблица 8.7

Распределение работников по стажу работы

Средние величины представляют собой второй тип производных величин, находящих широкое применение в медицинской статистике. Средняя величина является сводной, обобщающей характеристикой статистической совокупности по определенному изменяющемуся количественному признаку (средний рост, средний вес, средний возраст умерших). Средняя величина отражает общее определяющее свойство всей статистической совокупности в целом, заменяя его одним числом с типичным значением данного признака. Средняя величина нивелирует, ослабляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и характеризует постоянное свойство явлений.

В медицине средние величины могут использоваться для характеристики физического развития, основных антропометрических признаков (морфологических и функциональных: рост, вес, динамометрия и др.) и их динамики (средние величины прироста или убыли признака). Разработка этих показателей и их сочетаний в виде стандартов имеет большое практическое значение для анализа здоровья населения (в особенности детей, спортсменов). Эпидемиологи рассчитывают среднее число заболеваний в очаге, распределение очагов по срокам и средние сроки производства дезинфекции.

В демографических и медико-социальных исследованиях рассчитываются: средняя продолжительность предстоящей жизни, средний возраст умерших, средняя численность населения и т.д.

В экспериментально-лабораторных исследованиях также используются средние величины: температура, число ударов пульса в минуту, уровень артериального давления, средняя скорость или среднее время реакции на тот или иной раздражитель, средние уровни содержания биохимических элементов в крови и др.

И статистические коэффициенты, и средние величины представляют собой вероятностные величины, однако между ними существуют значительные различия:

• 1) Статистические коэффициенты характеризуют признак, встречающийся только у некоторой части совокупности (так называемый альтернативный признак), который может наступить, но может и не наступить (рождение, смерть, заболевание). Средние величины характеризуют, признаки, присущие всей совокупности, но в разной степени (вес, рост, дни лечения).
• 2) Статистические коэффициенты применяются для измерения качественных (атрибутивных или описательных) признаков, а средние - для варьирующих количественных признаков, где речь идет об отличиях в числовых размерах признака, а не о факте его наличия или отсутствия.

Основное достоинство средних величин их типичность - средняя сразу дает общую характеристику явления. В связи с этим можно выделить два основных требования для вычисления средних величин:

• - однородность совокупности;
• - достаточное число наблюдений.

Любое распределение случайной величины, не обязательно подчиняющееся определенному закону распределения вероятностей, характеризуется параметрами распределения: средняя величина (М), среднее квадратическое отклонение (), коэффициент вариации (Сv) и др.

Например, при изучении распределения 10 больных по срокам лечения, мы получим ряд числовых значений: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - неупорядоченный ряд.

Рассчитать параметры распределения можно, пользуясь и таким рядом. Однако охарактеризовать ряд несколькими параметрами еще недостаточно, необходимо исследовать, есть ли в статистическом ряду какая-либо устойчивая закономерность. Но, пользуясь неупорядоченным рядом, возможную закономерность обнаружить сложно, поэтому строят ранжированные ряды.

Ряд, в котором дается распределение единиц изучаемой совокупности по значениям варьирующего признака, называется вариационным. Другими словами - вариационный ряд - ряд однородных величин, расположенных в возрастающем или убывающем порядке, где варианты (группы вариант) отличаются друг от друга на определенную величину, называемую интервалом (i).

Таким образом, ряд распределения больных по срокам лечения можно представить следующим образом:

	13 14 17 18 20 22 23 25 32 38
	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Меняющийся, варьирующий признак изучаемого явления (рост, вес и др.), его числовое значение называется вариантой (V).

Числа случаев наблюдения данного признака, указывающие сколько раз встречается данная варианта, называются частотами (р).

Вариационные ряды могут быть:

• 1) в зависимости от изучаемого явления:
  • - дискретные (прерывные) - образуются на основе прерывно меняющихся признаков, значения которых выражаются только в целых числах (частота пульса, количество студентов в группе и т.д.);
  • - интервальные (непрерывные) - образуются обычно на основе признаков, которые могут принимать любые значения и выражаются любым числом (рост, вес и т.д.)
• 2) в зависимости от числа наблюдений:
  • - простые - варианта представлена одним числовым значением;
  • - сгруппированные - варианты группируются по определенному признаку. Например, при изучении физического развития может производиться группировка по весу: 40-44 кг; 45-49 кг. и т.д.
• 3) в зависимости от порядка расположения вариант:
  • - возрастающие - варианты располагаются в порядке возрастания;
  • - убывающие - варианты располагаются в порядке убывания.

Отдельный вариационный ряд может одновременно включать в себя несколько характеристик. Например, простой, убывающий, прерывный; или - сгруппированный, возрастающий, непрерывный.

Виды средних величин, которые обычно используются в медицинской статистике, - это медиана, мода, средняя арифметическая. Другие виды средних: средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая, средняя геометрическая и другие - применяются лишь в специальных исследованиях.

Медиана (Me) - это серединная, центральная варианта, делящая вариационный ряд пополам на две равные части.

Например, если число наблюдений составляет 33, медианой будет варианта, занимающая 17-е ранговое место, так как в обе стороны от нее находится по 16 наблюдений.

В ряде с четным числом наблюдений в центре находятся две величины. Если они одинаковы по своему значению, не возникает затруднений в приближенном определении медианы, если же числовые значения двух величин различны, то за медиану принимается их полусумма.

Мода (Мо) - это чаще всего встречающаяся или наиболее часто повторяющаяся величина признака. При приближенном нахождении моды в простом (не сгруппированном) ряде, она определяется как варианта с наибольшим количеством частот.

Отличие медианы и моды от средней арифметической заключается в том, что при упрощенном, ориентировочном определении эти величины легко и быстро найти по их положению в вариационном ряду (позиционные средние), кроме того, они не зависят от значений крайних вариант или от степени рассеяния ряда.

Чаще всего используется в медицинской статистике средняя арифметическая величина (М - от латинского Media). Средняя арифметическая может быть простая и взвешенная.

Примером средней арифметической простой может служить результат измерения веса, например, 6 человек:

	59 60 61 62 63 64 = 369
	1 1 1 1 1 1 р = n = 6

Таким образом, средняя арифметическая простая получается как сумма величин (вариант), деленная на их число. Среднюю арифметическую простую можно вычислить лишь в тех случаях, когда каждая величина (варианта) представлена единичным наблюдением, т. е. когда частоты равны единице.

Если частоты вариант больше единицы, простая средняя неприменима - здесь надо вычислять среднюю арифметическую взвешенную, которая получается как сумма произведений вариант на соответствующие частоты, деленная на общее число наблюдений.

Например: частота пульса (число ударов в минуту) у 18 студентов после проведения атропиновой пробы составила: 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

	80 84 86 88 90 92 96 100 102
	1 1 3 1 2 4 2 2 2 р = n = 18
	80 84 258 88 180 358 192 200 204 Vp = 1644

Средняя арифметическая простая - это частный случай средней арифметической взвешенной, поэтому формула средней арифметической взвешенной может использоваться и для расчета средней арифметической простой. В последнем случае частоты равны единице и умножение излишне.

Все три средние величины (Мо, Ме, М) совпадают (либо практически очень близки) в симметричном вариационном ряду: средняя арифметическая соответствует середине ряда (в симметричном ряду отклонения в сторону увеличения и в сторону уменьшения вариант соответственно уравновешиваются); медиана (как центральная величина) также соответствует середине ряда; мода (как наиболее насыщенная величина) приходится на наивысшую точку ряда, также находящуюся в его центре. Поэтому для всех симметричных рядов нет необходимости вычислять другие средние величины, кроме средней арифметической.

Свойства средней арифметической величины:

• 1. Средняя величина является обобщающей характеристикой статистической совокупности по определенному изменяющемуся количественному признаку, отражает общее определяющее свойство всей статистической совокупности в целом, заменяя его одним числом с типичным значением данного признака. Средняя величина нивелирует, ослабляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и характеризует постоянное свойство явлений.
• 2. Сумма отклонений вариант от средней арифметической величины равна 0.
• 3. В строго симметричном вариационном ряду средняя арифметическая занимает срединное положение и равна Мо, Ме.

Средние арифметические величины, взятые сами по себе без дополнительных приемов оценки, часто имеют ограниченное значение, так как они не отражают степени рассеяния (разнообразия) ряда. Одинаковые по размеру средние величины могут быть получены из рядов с различной степенью рассеяния. Средние - это величины, вокруг которых рассеяны различные варианты, и чем ближе друг к другу отдельные варианты, чем меньше рассеяние ряда, тем типичнее средняя величина.

Приближенным методом оценки разнообразия ряда может служить определение амплитуды. Амплитуда - разность между наибольшим и наименьшим значением вариант:

А = Vmax - Vmin

Но амплитуда не учитывает промежуточные значения вариант внутри ряда, кроме того, ее размеры могут зависеть и от числа наблюдений.

Основной мерой оценки разнообразия ряда является среднее квадратическое отклонение ().

Для вычисления сигмы необходимо:

определить отклонения (d) от средней (V - M);

возвести отклонения в квадрат (d 2);

• 3) перемножить квадраты отклонений на частоты (d 2р);
• 4) суммировать произведения квадратов отклонений на частоты;
• 5) разделить эту сумму на число наблюдений;
• 6) извлечь из частного квадратный корень.

При помощи сигмы можно установить степень типичности средней, пределы рассеяния ряда, пределы колебаний вокруг средней отдельных вариант. Чем меньше сигма, тем меньше рассеяние ряда, тем точнее и типичнее получается вычисленная для этого ряда средняя величина.

Применение сигмы дает возможность оценки и сравнения разнообразия нескольких однородных рядов распределения, так как - величина именная, выражается абсолютным числом в единицах изучаемой совокупности (см, кг, мг/л и т.д.). В этом случае принимаются во внимание абсолютные размеры сигмы. Например, при сравнении двух рядов распределения по признаку веса, при условии, что средние будут близки по уровню, но сигма в одном ряду будет ± 5,6 кг., а в другом ± 2,1 кг. - второй ряд менее рассеян, и его средняя более типична.

При оценке разнообразия неоднородных рядов (например, таких признаков как вес и рост), непосредственное сравнение размеров сигмы невозможно. В этом случае, для установления степени относительного разнообразия рядов, прибегают к производной величине - коэффициенту изменчивости (вариации), который является относительной величиной, выражается в % и обозначаемому буквой Сv (V).

Например, при изучении физического развития студентов - мужчин 1 курса получены следующие показатели: М (вес) = 67,5 кг.; М (рост) = 178,1 см. Соответственно = ± 2,8 кг. и ± 6,2 см. Среднее квадратическое отклонение по росту более чем в 2 раза превышает сигму по весу.

Коэффициент вариации по росту меньше, чем по весу, то есть рост оказался более устойчивым признаком, чем вес.

Различают три степени разнообразия коэффициентов вариации:

до 10% - слабое разнообразие;

10 - 20 % - среднее разнообразие;

более 20 % - сильное разнообразие.

Этот же метод вычисления коэффициента разнообразия пригоден и при анализе однородных рядов, у которых средние величины очень разнятся по размеру, а также для оценки изолированного, единичного ряда.

Пример вычисления средней арифметической (М); среднего квадратического отклонения (); коэффициента вариации (Cv).

Длительность лечения ангины у 45 больных составила: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12, 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14, и 15 дней.

Первый этап: Строим вариационный ряд, с учетом частоты встречаемости каждой варианты; даем характеристику ряда; находим произведения вариант на соответствующую частоту, суммируем полученные произведения и рассчитываем среднюю арифметическую:

Первый этап	Второй этап
Длительность лечения (в днях) V	Число больных p
Ряд простой, убывающий, прерывный

Второй этап: рассчитываем d (V-M); d 2; d 2p.

Заключение: Средняя длительность лечения ангины в поликлинике составила 11 дней. Средняя является недостаточно типичной для данного ряда, о чем свидетельствует коэффициент вариации, равный 36,5% (большая степень разнообразия признака).

Относительные величины структуры - это отношение между размерами части и целого. Они характеризуют состав, структуру совокупности. Форма представления - удельный вес или проценты. Сумма относительных величин структуры равняется 1 или 100%. Разницу между соответствующими долями двух совокупностей называют процентным пунктом.

Абсолютными величинами в статистике называются численности единиц и суммы по группам и в целом по совокупности, которые являются непосредственным результатом сводки и группировки данных.

Абсолютные величины - это именованные числа, то есть они имеют свои единицы измерения (например, штуки, тонны, гривны). В составе абсолютных показателей выделяют показатели численности совокупности (численность предприятий) и объема признаков (продукция, прибыль). Различают три группы измерителей признаков - натуральные, трудовые и стоимостные .

Натуральные измерители отражают присущие явлениям физические свойства (меры веса, длины, времени). Иногда используют комбинированные единицы измерения, которые представляют собой произведение величин разной размерности (производство электроэнергии в кВт-часах).

Не всегда абсолютные величины можно получить непосредственно суммируя значения признака у отдельных единиц. В этом случае отдельные слагаемые, входящие в абсолютную величину, приводят к соизмеримому выражению. Для этого часто используют условно-натуральные измерители . Так, например, при расчете количества потребленного топлива, разные его виды в соответствии с их теплотворной способностью выражают в единицах условного топлива, теплотворная способность которого 7000 кал/кг.

Трудовые измерители (человеко-час, человеко-смена) используются при измерении затрат труда на производство продукции или на выполнение отдельных работ, для определения производительности труда, а также для измерения трудовых ресурсов.

Стоимостные измерители дают возможность обобщить и сопоставить разнообразные явления. Их используют при определении таких важнейших показателей, как товарооборот, прибыль, капитальные вложения.

Зачастую абсолютная величина показателя рассчитывается по определенному правилу на основании других показателей. Например, валовая прибыль рассчитывается как разница между валовым доходом и валовыми издержками.

Многие абсолютные величины представляются в форме баланса, который предусматривает расчет показателя по двум разделам: по источникам формирования (приходная часть баланса) и по направлениям использования (расходная часть). Возможно представление абсолютных показателей и в динамической балансовой форме. Например, прирост количества единиц оборудования на предприятии за год можно представить как разность числа единиц оборудования на конец и начало года, а можно - как разность между числом единиц вновь введенного и выбывшего оборудования.

Глава 4.3. Относительные величины.

Относительные величины отображают количественные отношения социально-экономических явлений. Алгебраическая форма их - это частное от деления двух одноименных или разноименных величин. Знаменатель отношения рассматривается как база сравнения или основа относительной величины.

Базой сравнения могут быть 100, 1000, 10 000 или 100 000 единиц. Тогда относительная величина будет выражена соответственно в процентах (%), в промилле (%о), продецимилле (%оо), просантимилле (%ооо).

Применяют различные по содержанию и природе относительные величины.

Отношение между разноименными абсолютными величинами дает относительную величину интенсивности . Это именованная величина, в которой объединяются единицы измерения числителя и знаменателя. Например, производство продукции на душу населения. Относительные величины интенсивности характеризуют степень распространения или развития явления в определенной среде. В их состав также входят демографические коэффициенты (рождаемости, смертности, интенсивности миграционных потоков), которые исчисляются отношением числа событий (смерть, рождение)за определенный промежуток времени к средней численности населения за тот же период.

Сравнение одноименных величин позволяет выделить следующие виды относительных величин: структуры, координации, динамики, планового задания, выполнения плана, сравнения характеристик объектов.

Относительные величины координации - это соотношения между отдельными частями целого или отношения отдельных частей совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. Пример, число городских жителей, приходящихся на 100 сельских; число женщин, приходящихся на 100 мужчин. Эти величины выражаются в процентах, промилле или кратных отношениях (например, на 100 мужчин приходится 114 женщин).

Для оценки интенсивности развития используют относительную величину динамики , которая исчисляется отношением уровней изучаемого явления за два периода.

Относительные величины сравнения исчисляются как отношения одноименных показателей, характеризующих разные объекты или территории и имеющих одинаковую временную определенность.

Некоторые процессы планируются и для показателей, которые их отражают, устанавливают плановые задания. Путем сравнения плановых и фактических значений показателей исчисляют относительные величины: планового задания и выполнения плана .

Если обозначить фактический уровень текущего периода y1 , базового y0 и плановый уровень yпл , то относительную величину:

Кд= y1 / y0 ,

2) планового задания

Кпз =yпл / y0,

3) выполнения плана

Квп =y1 / yпл .

Глава 4.4. Виды и формы средних величин.

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности в конкретных условиях места и времени. Величина средней дает характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении одного, данного признака.

Средняя величина отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Так, например, средняя заработная плата дает обобщающую количественную характеристику состояния оплаты труда рассматриваемой совокупности работников.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения, вызванные основным фактором.

Статистическая обработка методом средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака некоторой уравновешенной средней величиной Х.

Например, индивидуальная выработка у 5 операционистов коммерческого банка за день составила 136, 140, 154 и 162 операции. Чтобы получить среднее число операций за день, выполненных одним операционистом, необходимо сложить эти индивидуальные показатели и полученную сумму разделить на количество операционистов:

Как видно из приведенного примера, среднее число операций не совпадает ни с одним из индивидуальных, так как ни один операционист не сделал 150 операций. Но если мы представим себе, что каждый операционист сделал по 150 операций, то их общая сумма не изменится, а будет также равна 750. Таким образом, мы пришли к основному свойству средних величин: сумма индивидуальных значений признака равна сумме средних величин.

Это свойство еще раз подчеркивает, что средняя величина является обобщающей характеристикой всей статистической совокупности.

Средние величины делятся на два больших класса:

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Мода

Медиана

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая:

Средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая взвешенная

Средняя арифметическая для интервального ряда.

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную.

Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего - это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле.