Совершенные нигде не плотные множества на плоскости7. Контрпримеры в анализе

Построим на плоскости интересное множество В следующим образом: разделим, квадратпрямыми
на 9 равных квадратов и выбросим их них пять открытых, не примыкающих к вершинам исходного квадрата. Затем, каждый из оставшихся квадратов также разделим на 9 частей, и выбросим пять из них, и т.д. Множество, оставшееся после счётного числа шагов, обозначимB и назовёмкладбище Серпинского . Вычислим площадь выброшенных квадратов:

Кладбище Серпинского является совершенным и нигде не плотным множеством.

Заметим фрактальную структуру множества.

2.2 Гребенка Кантора

Назовём Канторовой гребёнкой множествоD на плоскостиOxy , состоящее из всех точек
,координаты которых удовлетворяют следующим условиям:
, где
- множество Кантора на осиOy . Канторова гребёнка является совершенным нигде не плотным множеством на плоскости. МножествоD состоит из всех точек
исходного единичного квадрата, абсциссы которых произвольны
, а ординаты могут быть записаны в виде троичной дроби, не содержащей единицы среди своих троичных знаков.

Можно ли множества B (кладбище Серпинского) иD (гребёнка Кантора) выразить через множество Кантора
с помощью действий дополнения до отрезка и декартова произведения? Очевидно, что множестваB иD выражаются элементарно:

B =
x

D = x

3 Функция Кантора

Можно ли отобразить непрерывно некоторое нигде не плотное на сегменте множество на сам этот отрезок?

Да, возьмём нигде не плотноeмножество Кантора. На первом шаге построения положим в точках смежного интервала первого рода значение функции равное 0,5. На втором шаге каждому смежному интервалу второго рода положим значение функции соответственно 0.25 и 0.75. Т.е. мы как бы делим каждый отрезок на осиOy пополам (y i ) и ставим в соответствующем смежном интервале значение функции равное значению yi .

В результате мы получили неубывающую функцию (было доказано в рамках курса «Избранные главы математического анализа»), определённую на отрезке и постоянную в некоторой окрестности каждой точки из множества \
. Построенная функция
называетсяфункцией Кантора (канторова функция), а её график, приведённый ниже -""чёртовой лестницей"" .

Обратите внимание на фрактальную структуру функции:

Функция
удовлетворяет следующему неравенству:

Функция Кантора является непрерывной на отрезке . Она не убывает на и множество её значений составляет весь отрезок . Поэтому, функция
не имеет скачков. А т.к. монотонная функция не может иметь других точек разрыва, кроме скачков (см. критерий непрерывности монотонных функций), то она является непрерывной.

Любопытным является наблюдение, что график непрерывной функции кантора
невозможно нарисовать ""не отрывая карандаша от бумаги"".

Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

Построим вспомогательную функцию
на отрезке по шагам. На нулевом шаге зададим две точки:

и
.

Далее зафиксируем параметр . На первом и последующем шагах будем задавать точки по следующему правилу: для каждых двух соседних по оси абсцисс ранее построенных точекимы будем строить две новые точкиицентрально-симметрично относительно центра прямоугольника, задаваемого точкамиис коэффициентомk . То есть, на первом шаге задаются две новые точки:

и
, и т.д.

На (m+1)- ом шаге в дополнении к ранее построенным точкам с абсциссами

строятся по две точки во всех промежутках по оси абсцисс между соседними уже построенными точками. Это построение выполняется так: промежутки по оси абсцисс между соседними точками (прямоугольники со сторонами a иb ) делятся на 3 равные части каждый. Затем две новые точки строятся по одной из нижеприведённых схем:

В зависимости от того, какая из соседних точек иливыше, используем левую или правую схему. На первом шаге, как это было показано выше, принимаемa = b = 1 .

Повторяем построение счётное число раз при m = 1, 2, 3, … . В результате нами будет получен фрактал, который будет подобен, с точностью до некоторого аффинного преобразования (растяжение, сжатие, поворот) любой своей части, заключенной в каждой полосе:

;

В результате построения фрактала получим функцию
, определённую на множестве точек

,
;
(*)

которое всюду плотно на отрезке .

Какими свойствами обладает построенная функция?

в каждой точке вида (*) либо строгий максимум, либо строгий минимум, т.е. функция g (x ) нигде не монотонная, и имеет плотные на сегменте множества точек строгих экстремумов;

функция g(x) непрерывна, и даже равномерно непрерывна на множестве точек (*);

построенная непрерывная на сегменте функция не имеет ни в одной точке данного отрезка даже односторонних производных;

Вышеуказанные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

В рассмотренном примере мы полагали параметр . Изменяя значение данного параметра, можно получить семейства функций со своими особыми свойствами.

Комплексная функция Вейерштрасса имеет вид

где - некоторое вещественное число, а записывается либо как , либо как . Вещественная и мнимая части функции называются, соответственно, косинусоидой и синусоидой Вейерштрасса.

Функция непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако ее формальное обобщение на случай и непрерывно, и дифференцируемо.

Кроме самой функции в настоящем разделе рассматриваются некоторые ее варианты; необходимость в их представлении обусловлена тем новым смыслом, который придала функции Вейерштрасса теория фракталов.

Частотный спектр функции . Термин «спектр», на мой взгляд, перегружен значениями. Под частотным спектром понимается множество допустимых значений частоты безотносительно к амплитудам соответствующих составляющих.

Частотный спектр периодической функции представляет собой последовательность положительных целых чисел. Частотный спектр броуновской функции – это . Частотный же спектр функции Вейерштрасса есть дискретная последовательность от до .

Энергетический спектр функции . Подэнергетическим спектром понимается множество допустимых значений частоты вместе со значениями энергии (квадратами амплитуд) соответствующих составляющих. На каждое значение частоты вида в функции имеется спектральная линия энергии вида . Следовательно, суммарное значение энергии на частотах сходится и пропорционально .

Сравнение с дробным броуновским движением. Суммарная энергияпропорциональна еще в нескольких рассмотренных нами ранее случаях: дробные периодические случайные функции Фурье – Броуна – Винера, допустимые частоты для которых имеют вид , а соответствующие коэффициенты Фурье равны ; случайные процессы с непрерывной спектральной плотностью совокупности, пропорциональной . Последние процессы суть не что иное, как дробные броуновские функции , описанные в главе 27. Например, при можно обнаружить кумулятивный спектр функции Вейерштрасса в обыкновенном броуновском движении, спектральная плотность которого пропорциональна . Существенное различие: броуновский спектр абсолютно непрерывен, тогда как спектры функций Фурье – Броуна - Винера и Вейерштрасса дискретны.

Недифференцируемость. Для доказательства отсутствия у функции конечной производной при любом значении Вейерштрассу пришлось объединить два следующих условия: - нечетное целое число, вследствие чего функция представляет собой ряд Фурье, и . Необходимые и достаточные условия ( и ) взяты нами из статьи Харди .

Расходимость энергии. Привычному к спектрам физику условия Харди представляются очевидными. Применяя эмпирическое правило, гласящее, что производная функции вычисляется умножением ее - го коэффициента Фурье на , физик находит для формальной производной функции , что квадрат амплитуды коэффициента Фурье с равен . Так как совокупная энергия на частотах, больших , бесконечна, физику становится ясно, что производную определить невозможно.

Интересно отметить, что Риман в поисках примера недифференцируемости пришел к функции , энергия спектра которой на частотах, бóльших , пропорциональна , где . Таким образом, применяя то же эвристическое рассуждение, можно предположить, что производная недифференцируема. Заключение это верно лишь отчасти, поскольку при определенных значениях производная все-таки существует (см. ).

Ультрафиолетовая расходимость / катастрофа. Термин «катастрофа» появился в физике в первом десятилетии ХХ века, когда Рэлей и Джинс независимо друг от друга разработали теорию излучения абсолютно черного тела, согласно которой энергия частотного диапазона ширины в окрестности частоты пропорциональна . Это означает, что совокупная энергия спектра на высоких частотах бесконечна – что оказывается весьма катастрофичным для теории. Поскольку источником неприятностей являются частоты, лежащие за ультрафиолетовой частью спектра, явление получило название ультрафиолетовой (УФ) катастрофы.

Всем известно, что Планк построил свою квантовую теорию на руинах, в которые обратила теорию излучения именно УФ – катастрофа.

Историческое отступление. Отметим (хотя я не совсем понимаю, почему никто не сделал этого раньше; во всяком случае, в доступных мне источниках я ничего похожего не обнаружил), что причиной смерти как старой физики , так и старой математики является одна и та же расходимость, подорвавшая их веру в то, что непрерывные функции просто обязаны быть дифференцируемыми. Физики отреагировали простым изменением правил игры, математикам же пришлось научиться жить с недифференцируемыми функциями и их формальными производными. (Последние представляет собой единственный часто применяемый в физике пример обобщенной функции Шварца.)

В поисках масштабно-инвариантного дискретного спектра. Инфракрасная расходимость. Хотя частотный спектр броуновской функции непрерывен, масштабно-инвариантен и существует при , частотный спектр функции Вейерштрасса, соответствующий тому же значению , дискретен и ограничен снизу значением . Наличие нижней границы обусловлено исключительно тем обстоятельством, что число у Вейерштрасса изначально было целым, а функция – периодической. Для устранения этого обстоятельства следует, очевидно, позволить принимать любое значение от до . А для того, чтобы энергетический спектр стал масштабно-инвариантным, достаточно сопоставить каждой частотной компоненте амплитуду .

К сожалению, получаемый в результате ряд расходится, и повинны в этом низкочастотные компоненты. Такой дефект называется инфракрасной (ИК) расходимостью (или «катастрофой»). Как бы то ни было, с этой расходимостью приходится мириться, поскольку иначе нижняя граница вступает в противоречие с самоподобием, присущим энергетическому спектру .

Модифицированная функция Вейерштрасса, самоаффинная относительно фокального времени . Самая простая процедура, позволяющая продолжить частотный спектр функции Вейерштрасса до значения и избежать при этом катастрофических последствий, состоит из двух этапов: сначала получаем выражение , и лишь затем позволяем принимать любое значение от до . Добавочные члены, соответствующие значениям , при сходятся, а их сумма непрерывна и дифференцируема. Модифицированная таким образом функция

по-прежнему является непрерывной, но нигде не дифференцируемой.

Вдобавок, она масштабно - инвариантна в том смысле, что

Таким образом, функция не зависит от . Можно сказать иначе: при функция не зависит от . То есть функция , ее вещественная и мнимая части самоаффинны относительно значений вида и фокального времени .

Гауссовы случайные функции с обобщенным спектром Вейерштрасса. Следующим шагом на пути к реализму и широкой применимости является рандомизация обобщенной функции Вейерштрасса. Простейший и наиболее естественный метод заключается в умножении ее коэффициентов Фурье на независимые комплексные гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Вещественная и мнимая части получаемой в результате функции могут с полным правом называться функциями Вейерштрасса – Гаусса (модифицированными). В некоторых смыслах эти функции можно считать приближенными дробными броуновскими функциями. Когда значения совпадают, их спектры настолько похожи, насколько позволяет то обстоятельство, что один из этих спектров непрерывен, а другой дискретен. Более того, к функциям Вейерштрасса – Гаусса применимы результаты Орея и Маркуса (см. с. 490), а фрактальные размерности их множеств уровня совпадают с фрактальными размерностями множеств уровня дробных броуновских функций.

Учитывая прецедент в лице дробного броуновского движения, можно предположить, что размерность нуль – множеств функции Вейерштрасса – Радемахера окажется равной . Это предположение находит подтверждение в , однако только для целочисленных .

Сингх упоминает о многих других вариантах функции Вейерштрасса. Размерность нуль – множеств некоторых из них легко поддается оценке. Вообще, эта тема явно заслуживает более подробного исследования с учетом достижений современной теоретической мысли.

Построим вспомогательную функцию на отрезке по шагам. На нулевом шаге зададим две точки:

и .

Далее зафиксируем параметр . На первом и последующем шагах будем задавать точки по следующему правилу: для каждых двух соседних по оси абсцисс ранее построенных точек и мы будем строить две новые точки и центрально-симметрично относительно центра прямоугольника, задаваемого точками и с коэффициентом k . То есть, на первом шаге задаются две новые точки:

и , и т.д.

На (m+1)- ом шаге в дополнении к ранее построенным точкам с абсциссами

строятся по две точки во всех промежутках по оси абсцисс между соседними уже построенными точками. Это построение выполняется так: промежутки по оси абсцисс между соседними точками (прямоугольники со сторонами a и b ) делятся на 3 равные части каждый. Затем две новые точки строятся по одной из нижеприведённых схем:

В зависимости от того, какая из соседних точек или выше, используем левую или правую схему. На первом шаге, как это было показано выше, принимаем a = b = 1 .

;

В результате построения фрактала получим функцию , определённую на множестве точек

которое всюду плотно на отрезке .

Какими свойствами обладает построенная функция?

· в каждой точке вида (*) либо строгий максимум, либо строгий минимум, т.е. функция g(x) нигде не монотонная, и имеет плотные на сегменте множества точек строгих экстремумов;

· функция g(x) непрерывна, и даже равномерно непрерывна на множестве точек (*);

· построенная непрерывная на сегменте функция не имеет ни в одной точке данного отрезка даже односторонних производных;

Вышеуказанные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

· . Эти функции непрерывны и строго монотонно возрастающие. Имеют нулевые и бесконечные производные (соответственно, точки перегиба) на множествах точек, всюду плотных на сегменте .

· . Получена линейная функция y = x

· . Свойства семейства функций те же, что и при значениях к из первого диапазона .

· . Нами получена функция Кантора, которая была подробно изучена нами ранее.

· . Данные функции непрерывны, нигде не монотонны, имеют строгие минимумы и максимумы, нулевые и бесконечные (обоих знаков) односторонние производные на множествах точек, всюду плотных на сегменте .

· . Данная функция была изучена нами выше.

· . Функции из этого диапазона обладают теми же свойствами, что и функция при .

Заключение.

В своей работе я реализовала некоторые примеры из курса «Избранные главы математического анализа». В данную работу были вставлены скриншоты визуализированных мною программ. На деле они все интерактивные, студент может посмотреть вид функции на конкретном шаге, строить их сам итерационно и приближать масштаб. Алгоритмы построения, а также некоторые функции библиотеки Skeleton были специально подобраны и усовершенствованы под данный тип задач (рассматривались в основном фракталы).

Данный материал, несомненно будет полезен преподавателям и учащимся и является хорошим сопровождением лекций курса «Избранные главы математического анализа». Интерактивность данных визуализаций помогает лучше понять природу построенных множеств и облегчают процесс восприятия материала учащимися.

Описанные программы вошли в библиотеку визуальных модулей проекта www.visualmath.ru, например, вот уже рассмотренная нами функция Кантора:

В дальнейшем предполагается расширять список визуализируемых задач и улучшать алгоритмы построения для более эффективной работы программ. Работа в проекте www.visualmath.ru, несомненно принесла много пользы и опыта, навыки работы в команде, умение оценивать и максимально понятно преподносить учебный материал.

Литература.

1. Б. Гелбаум, Дж Олмстед, Контрпримеры в анализе. М.: Мир.1967.

2. Б.М. Макаров и др. Избранные задачи по вещественному анализу. Невский диалект, 2004.

3. Б.Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. Институт компьютерных исследований, 2002.

4. Ю.С. Очан, Сборник задач и теорем по ТФДП. М.: Просвещение. 1963.

5. В.М. Шибинский Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. М.: Высшая школа, 2007.

6. Р.М.Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.

7. А. А. Никитин, Избранные главы математического анализа // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, 2011 / ред. С. А. Ложкин. М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011. С. 71-73.

8. Р.М.Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах, М.:Постмаркет, 2000.

9. Фрактал и построение всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции // XVI международные Ломоносовские чтения: Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский госуниверситет, 2004. С.266-273.

Объединение счетного числа открытых множеств (смежных интервалов) открыто, а дополнение открытому множеству – замкнуто.

Любой окрестности точки а множества Кантора, найдется хотя бы одна точка из , отличная от а.

Замкнуто и не содержит изолированных точек (каждая точка является предельной).

Существует не более чем счетное множество , всюду плотное в .

Множество A – нигде не плотно в пространстве R, если любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества A.

Точка , в любой окрестности которой содержится несчетное множество точек данного множества.

Будем говорить, что множество на плоскости нигде не плотно в метрическом пространстве R, если любой открытый круг этого пространства содержит другой открытый круг, целиком свободный от точек данного множества.

Определение 1. Функцияназываетсядифференцируемой в точке, если ее приращение в этой точке представимо в виде

, (2.1)

где
и не зависит от
, а
при
.

Теорема 1. Функция
, дифференцируема в точкетогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную
.

Доказательство .Необходимость . Пусть функция
дифференцируема в точке, т.е. имеет место равенство (2.1). Разделив его на
, получим
. Переходя к пределу при
, видим, что
, т.е. предел правой части существует и равенА , значит, существует и предел левой части, т.е.
, причем
.

Достаточность . Пусть существует
. Тогда по теореме 1 § 16 главы 1
, где– бесконечно малая функция при
. Отсюда, т.е. функция дифференцируема в точке.

Теорема доказана.

Замечание . Из теоремы 1 следует, что понятия функции, имеющей конечную производную, и дифференцируемой функции равносильны. Поэтому дифференцируемой можно назвать функцию, имеющую конечную производную, что и делают авторы некоторых учебников.

Как связаны между собой свойства непрерывности и дифференцируемости функций? Имеет место

Теорема 2. Если функция
дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство . Поскольку в точке
, имеем, что и означает непрерывность функции в точке.

Теорема доказана.

Обратное неверно, то есть существуют непрерывные функции, которые не дифференцируемы.

Пример 1. Покажем, что функция
непрерывна, но не дифференцируема в точке
.

Решение . Найдем приращение функции в точке
, соответствующее приращению
аргумента. Имеем. Поэтому
, то есть функция
непрерывна в точке
. С другой стороны,,

, то есть односторонние производные в точке
не равны, следовательно, данная функция в этой точке не дифференцируема.

В математическом анализе имеются примеры функций, которые в каждой точке числовой прямой непрерывны, но не дифференцируемы. Они имеют сложную конструкцию.

Теорема 3. Пусть функция
имеет в точкепроизводную
, функция
имеет в соответствующей точке
производную
. Тогда сложная функция
имеет в точкепроизводную

или, короче,
.

Доказательство . Дадим значениюприращение
. Тогда получим соответствующее приращение
функции
и приращение
функции
. В силу теоремы 1 имеем

, где
при
.

Заметим, что если
, то и
по теореме 2, поэтому и
. Следовательно,.

Поскольку существует предел правой части равенства, то существует и предел левой части и

Теорема доказана.

Замечание . Теорема 3 доказана для случая, когда сложная функция
имеет одну промежуточную переменную
. Если промежуточных переменных несколько, то производная вычисляется аналогично. Например, если
,
,
, то.

§ 3. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций

Теорема 1. Пусть функция
, непрерывна, строго монотонна на отрезке
и дифференцируема во внутренней точкеэтого отрезка, причем
. Тогда обратная функция
дифференцируема в точке
, причем
.

Доказательство . Заметим, что в условиях теоремы обратная функция
существует, непрерывна и строго монотонна на отрезке
в силу теоремы из § 19 главы 1.

Придадим значению приращение
. Тогда
получит приращение

(так как функция
строго монотонна). Поэтому можно записать
. Поскольку при
в силу непрерывности обратной функции и
и, по условию, существует
, имеем
. Отсюда следует существованиеи равенство
. Теорема доказана.

Пример 1. Найдем производные функцийarcsin x ,arccos x ,arctg x ,arcctg x /

Решение . По теореме 1 имеем(поскольку
, имеем
и корень берем со знаком плюс).

Аналогично,

Теорема 2. Если функции
и
имеют производные в точке, то в точкеимеют производные и функции
(если
) и справедливы формулы

а )
;б )
;в )
.

Доказательство .а ) Пусть
. Дадимприращение
. Тогда функцииu ,v ,y получат приращения
, причем

. Отсюда
ии равенствоа ) доказано.

б ) Пусть
. Аналогично пунктуа ) имеем

,
,, т.е. имеет место формулаб ).

в ) Пусть
. Имеем
,
,
, т.е. имеет место формулав ).

Теорема доказана.

Следствия . 1) Если
, то
.

2) Формула а ) имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Доказательство . 1) Поскольку
, имеем.

В общем случае следствия 2) и 3) доказываются методом математической индукции.

Рассмотрим показательно-степенную функцию
, гдеu иv – некоторые функции отх . Найдем производную функцииу в точке, в которой дифференцируемы функцииu иv .Для этого представим функциюу в виде
.По правилу дифференцирования сложной функции, в силу теоремы 2 и примера 1 § 1 имеем

Таким образом,

Заметим, что в полученной формуле первое слагаемое есть результат дифференцирования как показательной функции, а второе – как степенной функции. Примененный прием дифференцирования называетсялогарифмическим дифференцированием . Им бывает удобно пользоваться и тогда, когда дифференцируемая функция является произведением нескольких сомножителей.

Перейдем теперь к параметрическому заданию функций. Если зависимость функции у от аргументах устанавливается не непосредственно, а с помощью некоторой третьей переменнойt , называемой параметром, формулами

, (3.1)

то говорят, что функция у отх задана параметрически.

Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (3.1) ставят в соответствие каждому значению
точку
на плоскости. С изменениемt точка
опишет некоторую кривую на плоскости. Уравнения (3.1) называются параметрическими уравнениями этой кривой. Например, уравнения

(3.2)

являются параметрическими уравнениями эллипса с полуосями а иb .

Если в (3.1) уравнение
разрешается относительноt ,
, то параметрическое задание функции можно свести к явному:

Найдем производную функции, заданной параметрически. Для этого предположим, что функции
и
дифференцируемы, причем
на некотором промежутке, а для функции
существует обратная функция
, имеющая конечную производную
. Тогда по правилу дифференцирования сложной и обратной функций находим:
. Таким образом,

. (3.3)

Например, производная функции, определяемой уравнениями (3.2) имеет вид

Уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке
, соответствующей значению параметра, получается из уравнения (1.4), если вместо
подставить: