Ni nini moduli ya nambari 2. Moduli ya nambari (thamani kamili ya nambari), ufafanuzi, mifano, mali

Moduli ya nambari ni umbali kutoka nambari hii hadi sifuri kwenye mstari wa kuratibu.

Moduli imeteuliwa kwa ishara: | |.

Rekodi |6| soma kama "moduli ya nambari 6", au "moduli ya sita".
Rekodi |8| inasoma "moduli 8".

Moduli ya nambari chanya ni sawa na nambari yenyewe. Kwa mfano, |2| = 2. Moduli ya nambari hasi ni sawa na nambari iliyo kinyume<=>|-3| = 3. Moduli ya sifuri ni sawa na sifuri, yaani, |0| = 0. Moduli za nambari kinyume ni sawa, yaani, |-a| =|a|.

Kwa uelewa mzuri wa mada: "modulus ya nambari", tunapendekeza kutumia njia ya ushirika.

Wacha tufikirie kuwa moduli ya nambari ni bafu, na ishara ya minus ni uchafu.

Kuwa chini ya ishara ya moduli (ambayo ni, katika "bath"), nambari hasi "imeoshwa", na hutoka bila ishara ya "minus" - safi.

Katika umwagaji unaweza "kuosha" (yaani, kusimama chini ya ishara ya moduli) na hasi, na idadi chanya, na idadi sifuri. Walakini, kuwa "safi" nambari chanya , na sifuri haibadilishi ishara yao wakati wa kuacha "kuoga" (yaani, kutoka chini ya ishara ya moduli)!

Historia ya moduli ya nambari au ukweli 6 wa kuvutia juu ya moduli ya nambari

1. Neno "moduli" linatokana na jina la Kilatini modulus, ambalo linamaanisha neno "kipimo" katika tafsiri.
2. Neno hili lilianzishwa na mwanafunzi wa Isaac Newton, mwanahisabati na mwanafalsafa wa Kiingereza Roger Cotes (1682 - 1716).
3. Mwanafizikia mkuu wa Ujerumani, mvumbuzi, mwanahisabati na mwanafalsafa Gottfried Leibniz katika kazi na maandishi yake alitumia kazi ya moduli, ambayo aliichagua. mtindo x.
4. Uteuzi wa moduli ulianzishwa mwaka wa 1841 na mtaalamu wa hisabati wa Ujerumani
Karl Weierstrass (1815 - 1897).
5. Wakati wa kuandika moduli, inaonyeshwa na ishara: | |.
6. Toleo jingine la neno "moduli" lilianzishwa mwaka wa 1806 na Kifaransa
mwanahisabati aitwaye Jean Robert Argan (1768-1822). Lakini si hivyo.
Mwanahisabati wa karne ya kumi na tisa Jean Robert Argán (1768 - 1822)
na Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) walianzisha dhana ya "modulus ya nambari changamano",
ambayo inasomwa katika mwendo wa hisabati ya juu.

Kutatua shida kwenye mada "Moduli ya nambari"

Nambari ya kazi 1. Panga semi: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 kwa mpangilio wa kupanda.

— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2

17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Jibu: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Nambari ya kazi 2. Ni muhimu kupanga misemo: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
kwa utaratibu wa kushuka.

Kwanza, hebu tufungue mabano na moduli:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

16 > 9 > -14 > - 21 > - 30 ambayo itakuwa sawa na:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Jibu: |-16| > | -(-9) | > - | - 14| > - 21 > - |30|

Katika makala hii, tutachambua kwa undani thamani kamili ya nambari. Tutatoa ufafanuzi mbalimbali wa moduli ya nambari, tutanguliza nukuu na kutoa vielelezo vya picha. Katika kesi hii, tunazingatia mifano anuwai ya kupata moduli ya nambari kwa ufafanuzi. Baada ya hayo, tunaorodhesha na kuhalalisha mali kuu ya moduli. Mwishoni mwa kifungu, tutazungumza juu ya jinsi moduli ya nambari ngumu imedhamiriwa na kupatikana.

Urambazaji wa ukurasa.

Moduli ya nambari - ufafanuzi, nukuu na mifano

Kwanza tunatanguliza muundo wa moduli. Moduli ya nambari a itaandikwa kama , yaani, kushoto na kulia kwa nambari tutaweka mistari ya wima inayounda ishara ya moduli. Hebu tutoe mifano michache. Kwa mfano, modulo -7 inaweza kuandikwa kama ; moduli 4,125 imeandikwa kama , na moduli imeandikwa kama .

Ufafanuzi ufuatao wa moduli unarejelea, na kwa hivyo, na nambari kamili, na nambari za busara na zisizo na mantiki, kama sehemu kuu za seti ya nambari halisi. Tutazungumza juu ya moduli ya nambari changamano katika.

Ufafanuzi.

Moduli ya a ama ni nambari a yenyewe, ikiwa a ni nambari chanya, au nambari −a, kinyume cha nambari a, ikiwa a ni nambari hasi, au 0, ikiwa a=0 .

Ufafanuzi ulioonyeshwa wa moduli ya nambari mara nyingi huandikwa katika fomu ifuatayo , nukuu hii ina maana kwamba ikiwa a>0 , kama a=0 , na kama a<0 .

Rekodi inaweza kuwakilishwa katika fomu ya kompakt zaidi . Nukuu hii ina maana kwamba kama (a ni kubwa kuliko au sawa na 0 ), na kama a<0 .

Pia kuna rekodi . Hapa, kesi wakati a=0 inapaswa kuelezewa kando. Katika kesi hii, tunayo , lakini −0=0 , kwani sifuri inachukuliwa kuwa nambari ambayo ni kinyume na yenyewe.

Hebu kuleta mifano ya kutafuta moduli ya nambari na ufafanuzi uliotolewa. Kwa mfano, hebu tupate moduli za nambari 15 na . Wacha tuanze na kutafuta. Kwa kuwa nambari ya 15 ni chanya, moduli yake ni, kwa ufafanuzi, sawa na nambari hii yenyewe, ambayo ni,. Moduli ya nambari ni nini? Kwa kuwa ni nambari hasi, basi moduli yake ni sawa na nambari iliyo kinyume na nambari, ambayo ni, nambari . Kwa njia hii, .

Kwa kumalizia aya hii, tunatoa hitimisho moja, ambayo ni rahisi sana kutumia katika mazoezi wakati wa kutafuta moduli ya nambari. Kutoka kwa ufafanuzi wa moduli ya nambari inafuata hiyo moduli ya nambari ni sawa na nambari iliyo chini ya ishara ya moduli, bila kujali ishara yake, na kutoka kwa mifano iliyojadiliwa hapo juu, hii inaonekana wazi sana. Taarifa iliyotolewa inaelezea kwa nini moduli ya nambari pia inaitwa thamani kamili ya nambari. Kwa hivyo moduli ya nambari na thamani kamili ya nambari ni moja na sawa.

Modulus ya nambari kama umbali

Kijiometri, moduli ya nambari inaweza kufasiriwa kama umbali. Hebu kuleta uamuzi wa moduli ya nambari katika suala la umbali.

Ufafanuzi.

Moduli ya a ni umbali kutoka asili kwenye mstari wa kuratibu hadi hatua inayolingana na nambari a.

Ufafanuzi huu unalingana na ufafanuzi wa moduli ya nambari iliyotolewa katika aya ya kwanza. Hebu tueleze jambo hili. Umbali kutoka asili hadi hatua inayolingana na nambari chanya ni sawa na nambari hii. Sifuri inalingana na sehemu ya rejeleo, kwa hivyo umbali kutoka kwa sehemu ya kumbukumbu hadi hatua iliyo na kuratibu 0 ni sawa na sifuri (hakuna sehemu moja na hakuna sehemu inayojumuisha sehemu yoyote ya sehemu moja inahitajika kupata kutoka kwa uhakika O hadi hatua na. kuratibu 0). Umbali kutoka kwa asili hadi hatua yenye kuratibu hasi ni sawa na nambari iliyo kinyume na uratibu wa hatua iliyotolewa, kwa kuwa ni sawa na umbali kutoka kwa asili hadi hatua ambayo uratibu ni namba kinyume.

Kwa mfano, moduli ya nambari 9 ni 9, kwani umbali kutoka kwa asili hadi hatua na kuratibu 9 ni tisa. Hebu tuchukue mfano mwingine. Sehemu iliyo na kuratibu -3.25 iko katika umbali wa 3.25 kutoka kwa uhakika O, kwa hivyo. .

Ufafanuzi uliosikika wa moduli ya nambari ni kesi maalum ya kufafanua moduli ya tofauti ya nambari mbili.

Ufafanuzi.

Moduli ya tofauti ya nambari mbili a na b ni sawa na umbali kati ya pointi za mstari wa kuratibu na kuratibu a na b .

Hiyo ni, ikiwa pointi kwenye mstari wa kuratibu A (a) na B (b) hutolewa, basi umbali kutoka kwa uhakika A hadi hatua B ni sawa na moduli ya tofauti kati ya namba a na b. Ikiwa tutachukua nukta O (alama ya kumbukumbu) kama nukta B, basi tutapata ufafanuzi wa moduli ya nambari iliyotolewa mwanzoni mwa aya hii.

Kubainisha moduli ya nambari kupitia mzizi wa mraba wa hesabu

Wakati mwingine hupatikana uamuzi wa moduli kupitia mzizi wa mraba wa hesabu.

Kwa mfano, hebu tuhesabu moduli za nambari -30 na kulingana na ufafanuzi huu. Tuna . Vile vile, tunahesabu moduli ya theluthi mbili: .

Ufafanuzi wa moduli ya nambari kulingana na mzizi wa mraba wa hesabu pia unalingana na ufafanuzi uliotolewa katika aya ya kwanza ya kifungu hiki. Hebu tuonyeshe. Acha iwe nambari chanya, na −a iwe hasi. Kisha na , ikiwa a=0 , basi .

Sifa za Moduli

Moduli ina idadi ya matokeo ya tabia - sifa za moduli. Sasa tutatoa kuu na ya kawaida kutumika kwao. Wakati wa kuthibitisha mali hizi, tutategemea ufafanuzi wa moduli ya nambari kwa suala la umbali.

Wacha tuanze na mali dhahiri zaidi ya moduli - moduli ya nambari haiwezi kuwa nambari hasi. Kwa fomu halisi, mali hii ina fomu ya nambari yoyote a . Mali hii ni rahisi sana kuhalalisha: moduli ya nambari ni umbali, na umbali hauwezi kuonyeshwa kama nambari hasi.

Wacha tuendelee kwenye mali inayofuata ya moduli. Moduli ya nambari ni sawa na sifuri ikiwa na ikiwa tu nambari hii ni sifuri. Moduli ya sifuri ni sifuri kwa ufafanuzi. Zero inafanana na asili, hakuna hatua nyingine kwenye mstari wa kuratibu inafanana na sifuri, kwa kuwa kila nambari halisi inahusishwa na hatua moja kwenye mstari wa kuratibu. Kwa sababu hiyo hiyo, nambari yoyote isipokuwa sifuri inalingana na nukta tofauti na asili. Na umbali kutoka kwa asili hadi hatua yoyote isipokuwa hatua O sio sawa na sifuri, kwani umbali kati ya nukta mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa alama hizi zinapatana. Hoja iliyo hapo juu inathibitisha kuwa moduli tu ya sifuri ni sawa na sifuri.

Endelea. Nambari pinzani zina moduli sawa, ambayo ni, kwa nambari yoyote a . Hakika, pointi mbili kwenye mstari wa kuratibu, ambao kuratibu ni nambari tofauti, ziko umbali sawa kutoka kwa asili, ambayo ina maana kwamba moduli za nambari tofauti ni sawa.

Mali ya moduli inayofuata ni: moduli ya bidhaa ya nambari mbili ni sawa na bidhaa ya moduli za nambari hizi, hiyo ni, . Kwa ufafanuzi, moduli ya bidhaa ya nambari a na b ni ab ikiwa , au −(a b) ikiwa . Inafuata kutoka kwa sheria za kuzidisha nambari halisi kwamba bidhaa ya moduli ya nambari a na b ni sawa na a b , , au −(a b) , ikiwa , ambayo inathibitisha mali inayozingatiwa.

Moduli ya mgawo wa kugawanya a kwa b ni sawa na mgawo wa kugawanya moduli ya a kwa moduli ya b., hiyo ni, . Hebu tuhalalishe mali hii ya moduli. Kwa kuwa mgawo ni sawa na bidhaa, basi. Kwa mujibu wa mali ya awali, tuna . Inabakia tu kutumia equality , ambayo ni halali kwa sababu ya ufafanuzi wa moduli ya nambari.

Sifa ifuatayo ya moduli imeandikwa kama ukosefu wa usawa: , a , b na c ni nambari halisi za kiholela. Ukosefu wa usawa ulioandikwa sio zaidi ya usawa wa pembetatu. Ili kufanya hili wazi, hebu tuchukue pointi A(a) , B(b) , C(c) kwenye mstari wa kuratibu, na tuzingatie pembetatu iliyoharibika ABC, ambayo wima ziko kwenye mstari huo huo. Kwa ufafanuzi, moduli ya tofauti ni sawa na urefu wa sehemu ya AB, - urefu wa sehemu ya AC, na - urefu wa sehemu ya CB. Kwa kuwa urefu wa upande wowote wa pembetatu hauzidi jumla ya urefu wa pande zingine mbili, ukosefu wa usawa. , kwa hiyo, usawa pia unashikilia.

Ukosefu wa usawa uliothibitishwa ni wa kawaida zaidi katika fomu . Ukosefu wa usawa ulioandikwa kawaida huzingatiwa kama mali tofauti ya moduli na uundaji: " Moduli ya jumla ya nambari mbili haizidi jumla ya moduli ya nambari hizi". Lakini ukosefu wa usawa unafuata moja kwa moja kutoka kwa inequality , ikiwa tutaweka −b badala ya b ndani yake, na kuchukua c=0 .

Moduli ya nambari tata

Hebu tupe uamuzi wa moduli ya nambari changamano. Hebu tupewe nambari changamano, iliyoandikwa kwa umbo la aljebra, ambapo x na y ni baadhi ya nambari halisi, zinazowakilisha, mtawalia, sehemu halisi na za kuwaziwa za nambari changamano z, na ni kitengo cha kuwazia.

Thamani kamili ya nambari a ni umbali kutoka asili hadi uhakika NA(a).

Ili kuelewa ufafanuzi huu, tunabadilisha badala ya kutofautisha a nambari yoyote, kwa mfano 3 na ujaribu kuisoma tena:

Thamani kamili ya nambari 3 ni umbali kutoka asili hadi uhakika NA(3 ).

Inakuwa wazi kuwa moduli sio zaidi ya umbali wa kawaida. Wacha tujaribu kuona umbali kutoka asili hadi kumweka A( 3 )

Umbali kutoka kwa asili ya kuratibu hadi kumweka A( 3 ) ni sawa na 3 (vizio vitatu au hatua tatu).

Moduli ya nambari inaonyeshwa na mistari miwili wima, kwa mfano:

Moduli ya nambari 3 imeashiriwa kama ifuatavyo: |3|

Moduli ya nambari 4 imeashiriwa kama ifuatavyo: |4|

Moduli ya nambari 5 imeashiriwa kama ifuatavyo: |5|

Tulitafuta moduli ya nambari 3 na tukagundua kuwa ni sawa na 3. Kwa hivyo tunaandika:

Inasoma kama: "Moduli ya tatu ni tatu"

Sasa hebu tujaribu kutafuta moduli ya nambari -3. Tena, tunarudi kwenye ufafanuzi na kubadilisha nambari -3 ndani yake. Badala ya nukta pekee A tumia point mpya B. hatua A tayari tumetumia katika mfano wa kwanza.

Moduli ya nambari ni 3 piga umbali kutoka kwa asili hadi kwa uhakika B(—3 ).

Umbali kutoka hatua moja hadi nyingine hauwezi kuwa mbaya. Kwa hiyo, moduli ya nambari yoyote hasi, kuwa umbali, pia haitakuwa mbaya. Moduli ya nambari -3 itakuwa nambari 3. Umbali kutoka kwa asili hadi hatua B (-3) pia ni sawa na vitengo vitatu:

Inasoma kama: "Moduli ya nambari kutoa tatu ni tatu"

Moduli ya nambari 0 ni 0, kwani hatua iliyo na kuratibu 0 inalingana na asili, i.e. umbali kutoka asili hadi uhakika O(0) sawa na sifuri:

"Moduli ya sifuri ni sifuri"

Tunatoa hitimisho:

Moduli ya nambari haiwezi kuwa mbaya;
Kwa nambari nzuri na sifuri, moduli ni sawa na nambari yenyewe, na kwa hasi, kwa nambari tofauti;
Nambari zinazopingana zina moduli sawa.

Nambari zinazopingana

Nambari ambazo hutofautiana tu kwa ishara zinaitwa kinyume. Kwa mfano, nambari −2 na 2 ni kinyume. Wanatofautiana kwa ishara tu. Nambari −2 ina ishara ya kuondoa, na 2 ina ishara ya kuongeza, lakini hatuioni, kwa sababu pamoja, kama tulivyosema hapo awali, haijaandikwa.

Mifano zaidi ya nambari tofauti:

Nambari zinazopingana zina moduli sawa. Kwa mfano, hebu tutafute moduli za −2 na 2

Takwimu inaonyesha kwamba umbali kutoka asili hadi pointi A(−2) na B(2) sawa na hatua mbili.

Ulipenda somo?
Jiunge na kikundi chetu kipya cha Vkontakte na uanze kupokea arifa za masomo mapya

Maagizo

Ikiwa moduli itawakilishwa kama chaguo za kukokotoa endelevu, basi thamani ya hoja yake inaweza kuwa chanya au hasi: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Ni rahisi kuona kwamba kujumlisha na kutoa nambari changamano hufuata kanuni sawa na kuongeza na .

Bidhaa ya nambari mbili ngumu ni:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Kwa kuwa i^2 = -1, matokeo ya mwisho ni:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Shughuli za kuongeza nguvu na kutoa mzizi kwa nambari changamano hufafanuliwa kwa njia sawa na kwa nambari halisi. Walakini, katika kikoa changamano, kwa nambari yoyote, kuna nambari n haswa b kiasi kwamba b^n = a, ambayo ni, mizizi n ya digrii nth.

Hasa, hii ina maana kwamba mlingano wowote wa aljebra wa shahada ya nth katika kigezo kimoja una mizizi changamano n hasa, ambayo baadhi yake inaweza kuwa na .

Video zinazohusiana

Vyanzo:

Hotuba "Nambari tata" mnamo 2019

Mzizi ni ikoni inayoashiria operesheni ya kihesabu ya kupata nambari kama hiyo, kuinua ambayo kwa nguvu iliyoonyeshwa kabla ya ishara ya mizizi inapaswa kutoa nambari iliyoonyeshwa chini ya ishara hii. Mara nyingi, kutatua matatizo ambayo kuna mizizi, haitoshi tu kuhesabu thamani. Tunapaswa kutekeleza shughuli za ziada, mojawapo ikiwa ni kuanzishwa kwa nambari, kutofautiana au kujieleza chini ya ishara ya mizizi.

Maagizo

Amua kipeo cha mzizi. Kiashiria ni nambari kamili inayoonyesha nguvu ambayo matokeo ya kuhesabu mzizi lazima yainuliwe ili kupata usemi wa mizizi (nambari ambayo mzizi huu hutolewa). Kipeo cha mzizi, kilichobainishwa kama hati kuu kabla ya ikoni ya mzizi. Ikiwa hii haijabainishwa, ni mizizi ya mraba ambayo nguvu zake ni mbili. Kwa mfano, kipeo mzizi √3 ni mbili, kipeo ³√3 ni tatu, kipeo mzizi ⁴√3 ni nne, na kadhalika.

Inua nambari ambayo ungependa kuongeza chini ya ishara ya mzizi kwa nguvu sawa na kipeo cha mzizi huu, ambao umeamua katika hatua ya awali. Kwa mfano, ikiwa unahitaji kuingiza nambari 5 chini ya ishara ya mzizi ⁴√3, basi kielelezo cha mzizi ni nne na unahitaji matokeo ya kuinua 5 hadi nguvu ya nne 5⁴=625. Unaweza kufanya hivyo kwa njia yoyote inayofaa kwako - katika akili yako, ukitumia kihesabu au huduma zinazolingana zilizotumwa.

Weka thamani iliyopatikana katika hatua ya awali chini ya ishara ya mizizi kama kizidishi cha usemi mkali. Kwa mfano uliotumika katika hatua ya awali na kuongeza chini ya mzizi ⁴√3 5 (5*⁴√3), kitendo hiki kinaweza kufanywa hivi: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Rahisisha usemi mkali unaotokana, ikiwezekana. Kwa mfano kutoka kwa hatua za awali, hii ni kwamba unahitaji tu kuzidisha nambari chini ya ishara ya mizizi: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Hii inakamilisha utendakazi wa kuongeza nambari chini ya mzizi.

Ikiwa kuna vigezo visivyojulikana katika tatizo, basi hatua zilizoelezwa hapo juu zinaweza kufanywa kwa njia ya jumla. Kwa mfano, ikiwa ungependa kutambulisha kigezo kisichojulikana cha x chini ya mzizi wa shahada ya nne, na usemi wa mzizi ni 5/x³, basi mlolongo mzima wa vitendo unaweza kuandikwa kama ifuatavyo: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Vyanzo:

ishara ya mizizi inaitwa nini

Nambari halisi haitoshi kutatua mlingano wowote wa quadratic. Rahisi zaidi kati ya milinganyo ya quadratic ambayo haina mizizi kati ya nambari halisi ni x^2+1=0. Wakati wa kuisuluhisha, zinageuka kuwa x=±sqrt(-1), na kulingana na sheria za algebra ya msingi, huondoa mzizi wa digrii hata kutoka kwa hasi. nambari ni haramu.