Чотирикутник є паралелограмом, якщо. Дві сторони рівні та паралельні

Теорема: Чотирьохкутник є паралелограмом, якщо:

протилежні його кути рівні;
протилежні його сторони попарно рівні;
його діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
дві його протилежні сторони паралельні та рівні.

Доведення:

A. Нехай у чотирикутнику KLMN кути К і М рівні один одному та рівні а, нехай також рівні один одному і рівні р кути L та N (рисунок). Враховуючи, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, одержуємо, що 2α + 2β = 360°, або α + β = 180°. Враховуючи, що кути К і L, рівні відповідно аїр, є внутрішніми односторонніми кутами при прямих KN і LM, перетнутих прямий KL, укладаємо, що сторони KN і LM паралельні. Також по кутах К і N укладаємо, що сторони KL та NM паралельні. Тепер за визначенням паралелограма стверджуємо, що чотирикутник KLMN – паралелограм.

B. Нехай у чотирикутнику CDEF сторони CD та FE, а також CF та DE попарно рівні (рисунок). Проведемо одну з діагоналей чотирикутника, наприклад РЄ. Трикутники CDE та EFC дорівнюють по трьох сторонах. Тому кути DEC та FCE рівні. Оскільки ці кути є внутрішніми навхрест лежать при прямих DE і CF, перетнутих прямий РЄ, то сторони DE і CF паралельні. Також з рівності кутів DCE та FEC отримуємо, що сторони CD та FE паралельні. Тепер за визначенням паралелограма стверджуємо, що чотирикутник CDEF – паралелограм.

C. Нехай точка перетину діагоналей IL і КМ чотирикутника IKLM ділить ці діагоналі навпіл: IB = BL і KB = ВМ (рисунок). Тоді трикутники KBL і MBI рівні по обидва боки і кут між ними. Це дозволяє стверджувати, що кути 1MB і LKB рівні, отже, сторони IM і KL паралельні. Аналогічно з рівності трикутників KBI та MBL робимо висновок про паралельність сторін IK та LM. Тепер за визначенням паралелограма можемо стверджувати, що чотирикутник IKLM – паралелограм. Дуже часто це треба знати під час вирішення олімпіадних завдань на шкільних олімпіадах.

D. Нехай у чотирикутнику OPQR протилежні сторони ОР та RQ паралельні та рівні (рисунок). Проведемо діагональ OQ. Отримані кути POQ і RQO рівні, оскільки вони є внутрішніми навхрест лежать при паралельних прямих ОР і RQ, перетнутих прямий OQ. Тому трикутники OPQ і RQO рівні по обидва боки і кут між ними. Отже, їх відповідні кути PQO та ROQ рівні.

А оскільки вони є внутрішніми навхрест лежачими кутами при прямих PQ і OR, перетнутих прямий OQ, то сторони PQ і OR паралельні. Враховуючи паралельність сторін ОР та RQ, за визначенням паралелограма стверджуємо, що чотирикутник OPQR - паралелограм.

Сьогодні розглянемо геометричну фігуру- Чотирикутник. З назви цієї фігури вже стає зрозуміло, що ця фігура має чотири кути. А ось інші властивості та характеристики цієї фігури ми розглянемо нижче.

Що таке чотирикутник

Чотирьохкутник - багатокутник, що складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці точки. Площа чотирикутника дорівнює напівтвору його діагоналей та кута між ними.

Чотирьохкутник - це багатокутник із чотирма вершинами, три з яких не лежать на одній прямій.

Види чотирикутників

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.
Чотирьохкутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші – ні, називається трапецією.
Чотирьохкутник, у якого всі кути прямі, є прямокутником.
Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні, є ромбом.
Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні та всі кути прямі, називається квадратом.

Чотирьохкутник може бути:

Самоперетинається

Невипуклим

Випуклим

Чотирикутник, що самоперетинається- це чотирикутник, у якого будь-які його сторони мають точку перетину (на малюнку синім кольором).

Неопуклий чотирикутник- це чотирикутник, в якому один із внутрішніх кутівбільше 180 градусів (на малюнку позначений оранжевим кольором).

Сума кутівбудь-якого чотирикутника, який не є самопересічний завжди дорівнює 360 градусів.

Особливі види чотирикутників

Чотирикутники можуть мати додаткові властивості, утворюючи особливі види геометричних фігур:

Паралелограм
Прямокутник
Квадрат
Трапеція
Дельтоїд
Контрпаралелограм

Чотирикутник та коло

Чотирьохкутник, описаний навколо кола (коло, вписане в чотирикутник).

Головна властивість описаного чотирикутника:

Чотирикутник можна описати навколо кола тоді і лише тоді, коли суми довжин протилежних сторінрівні.

Чотирьохкутник, вписаний у коло (коло, описане навколо чотирикутника)

Головна властивість вписаного чотирикутника:

Чотирьохкутник можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли суми протилежних кутів дорівнюють 180 градусів.

Властивості довжин сторін чотирикутника

Модуль різниці двох сторін чотирикутникане перевищує суми двох інших сторін.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

| b - c | ≤ a + d

| b - d | ≤ a + b

| c - d | ≤ a + b

Важливо. Нерівність правильна для будь-якої комбінації сторін чотирикутника. Малюнок наведено виключно полегшення сприйняття.

У будь-якому чотирикутнику сума довжин трьохйого сторін не менше довжини четвертої сторони.

Важливо. При вирішенні завдань у межах шкільної програмиможна використовувати строгу нерівність (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Чотирьохкутник, дві сторони якого паралельні, а дві інші не паралельні, називається трапецією. основа Бо Бокова я стор я стор кова вона основа Паралельні сторони називаються Підставами. Не паралельні сторони називаються боковими сторонами.

Види трапецій Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобедреною. Трапеція, один із кутів якої прямий, називається прямокутною.

Які чотирикутники на малюнку є трапеціями? Назвіть їх підстави та бічні сторони. 1 В 2 С 110 Р 0 S H T 70 0 А D М 3 А В К О С Q N R

Середня лінія трапеції В M А С MN – середня лінія N трапеції D Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапецією MN= (BC+AD): 2 – властивість середньої лінії трапеції

Властивості рівнобедреної трапеції 1 2 У рівнобедреної трапеції кути при основі рівні. У С рівнобедреної трапеції діагоналі рівні. АС = ВD А D

Ознаки рівнобедреної трапеції 1 Якщо кути при основі трапеції рівні, вона рівнобедренная. 2 Якщо у трапеції діагоналі рівні, вона рівнобедренная.

Розв'язання задач 1 С D А 2 AD=2 BC. Знайти кути трапеції. У ABCD – трапеція. Знайти: кут АОВ О А D

3 С D А В 4 С 75 А ABCD – трапеція. Знайти: кути трапеції 40 Е ABCD – трапеція. ВE||СD. Знайти кути трапеції. D

Середній рівень

Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат (2019)

1. Паралелограм

Складне слово «паралелограм»? А ховається за ним дуже проста фігура.

Ну, тобто, взяли дві паралельні прямі:

Перетнули ще двома:

І ось всередині - паралелограм!

Які є властивості у паралелограма?

Властивості паралелограма.

Тобто чим можна користуватися, якщо в задачі дано паралелограм?

На це запитання відповідає така теорема:

Давай намалюємо докладно.

Що означає перший пункт теореми? А те, що якщо у тебе є паралелограм, то неодмінно

Другий пункт означає, що якщо Є паралелограм, то, знову ж таки, неодмінно:

Ну, і нарешті, третій пункт означає, що якщо у тебе є паралелограм, то обов'язково:

Бачиш яке багатство вибору? Що ж використовувати у завданні? Спробуй орієнтуватися на питання завдання, або просто пробуй все по черзі - якийсь «ключик» та підійде.

А тепер поставимо собі інше питання: а як дізнатися паралелограм «в обличчя»? Що таке має статися з чотирикутником, щоб ми мали право видати йому звання паралелограма?

На це запитання відповідає кілька ознак паралелограма.

Ознаки паралелограма.

Увага! Починаємо.

Паралелограм.

Зверніть увагу: якщо ти знайшов хоча б одну ознаку у своєму завданні, то у тебе точно паралелограм, і ти можеш користуватися всіма властивостями паралелограма.

2. Прямокутник

Думаю, що для тебе зовсім не стане новиною те, що

Перше питання: а чи є прямокутник паралелограм?

Звісно, є! Адже в нього і - пам'ятаєш, наша ознака 3?

А звідси, звичайно ж, випливає, що у прямокутника, як і у будь-якого паралелограма, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Але є у прямокутника і одна відмінна властивість.

Властивість прямокутника

Чому ця властивість відмінна? Тому що в жодного іншого паралелограма не буває рівних діагоналей. Сформулюємо чіткіше.

Зверніть увагу: щоб стати прямокутником, чотирикутнику потрібно спочатку стати паралелограмом, а потім уже пред'являти рівність діагоналей.

3. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Властивості ромба

Подивись на картинку:

Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.

Ознаки ромба

І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:

Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Властивості чотирикутників. Паралелограм

Властивості паралелограма

Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.

Теорема про властивості паралелограма.

У будь-якому паралелограмі:

Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.

Отже, чому правильно 1)?

Раз - паралелограм, то:

як навхрест лежачі
як навхрест лежать.

Значить (за II ознакою: і - загальна.)

Ну от, а раз, то й – все! – довели.

Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!

Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.

Залишилося лише 3).

Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.

І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).

Властивості довели! Перейдемо до ознак.

Ознаки паралелограма

Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.

У значках це так:

Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:

Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.

Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.

А значить:

Ітеж нескладно. Але... інакше!

Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!

Тому той факт, що означає, що.

А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.

Бачиш, як здорово?

І знову просто:

Так само, в.

Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.

Для повної ясності подивися на схему:

Властивості чотирикутників. Прямокутник.

Властивості прямокутника:

Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()

А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що

Отже, по двох катетах (і - загальний).

Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.

Довели, що!

І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^

Давай зрозуміємо, чому?

Значить (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.

Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!

Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.

Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!

Властивості чотирикутників. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

Але є й особливі якості. Формулюємо.

Властивості ромба

Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.

Чому? Так, тому ж!

Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.

Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.

Ознаки ромба.

А це чому? А подивися,

Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.

Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім уже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.

Властивості чотирикутників. Квадрат

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Властивості паралелограма:

Протилежні сторони рівні: , .
Протилежні кути дорівнюють: , .
Кути з одного боку становлять у сумі: , .
Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .

Властивості прямокутника:

Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості ромба:

Діагоналі ромба перпендикулярні: .
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості квадрата:

Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, по кожній темі, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді, це набагато більше, ніж просто тренажер - ціла програма підготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Однією з ознак паралелограма є те, що якщо у чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом . Тобто, якщо у чотирикутника дві сторони рівні та паралельні, то дві інші сторони також виявляються рівними між собою та паралельними одна одній, тому що цей факт є визначенням та властивістю паралелограма.

Таким чином, паралелограм можна визначити лише з двох сторін, які рівні та паралельні один одному.

Даний ознака паралелограма можна сформулювати як теорему та довести. У такому разі нам дано чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні одна одній. Потрібно довести, що такий чотирикутник є паралелограмом (тобто дві його інші сторони рівні та паралельні одна одній).

Нехай цей чотирикутник ABCD, і у ньому сторони AB || CD та AB = CD.

За умовою нам дано чотирикутник. Нічого не сказано про те, опуклий він чи ні (хоча паралелограмами можуть бути лише опуклі чотирикутники). Однак навіть у неопуклому чотирикутнику завжди є одна діагональ, яка ділить його на два трикутники. Якщо це буде діагональ AC, то отримаємо два трикутники ABC та ADC. Якщо це діагональ BD, то будуть ∆ABD та ∆BCD.

Допустимо, ми отримали трикутники ABC та ADC. У них одна сторона загальна (діагональ AC), сторона AB одного трикутника дорівнює стороні CD іншого (за умовою), кут BAC дорівнює куту ACD (як навхрест лежать між січною та паралельними прямими). Значить ∆ABC = ∆ADC по обидва боки та кут між ними.

З рівності трикутників випливає, що й інші сторони і кути відповідно рівні. Але стороні BC трикутника ABC відповідає стороні AD трикутника ADC, отже, BC = AD. Куту B відповідає кут D, отже, ∠B = ∠D. Ці кути можуть дорівнювати один одному, якщо BC || AD (оскільки AB || CD, ці прямі можна поєднати паралельним переносом, тоді ∠B стануть навхрест лежать ∠D, які рівність може лише при BC || AD).

За визначенням паралелограма ним є чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні та паралельні одна одній.

Таким чином було доведено, що якщо у чотирикутника ABCD сторони AB і CD рівні та паралельні і діагональ AC ділить його на два трикутники, то у нього інша пара сторін виявляється рівною один одному і паралельна.

Якщо чотирикутник ABCD був розділений на два трикутники іншою діагоналлю (BD), то розглядалися б трикутники ABD і BCD. Їхня рівність доводилася б аналогічно попередньому. Виявилося б, що BC = AD та ∠A = ∠C, звідки випливало, що BC || AD.