Що таке z перетворення сигналу. Зворотне z- перетворення

При аналізі та синтезі дискретних та цифрових пристроїв широко використовують так звані z-перетворення, що грають по відношенню до дискретних сигналів таку ж роль, як інтегральне перетворення Фур'є та Лапласа по відношенню до безперервних сигналів.

Визначення z-перетворення

Нехай – числова послідовність, кінцева чи нескінченна, що містить відлікові значення деякого сигналу. Поставимо їй у однозначну відповідність суму ряду за негативними ступенями комплексної змінної z:

Назвемо цю суму, якщо вона існує, z-перетворенням послідовності . Доцільність введення такого математичного об'єкта пов'язана з тим, що властивості дискретних послідовностей чисел можна вивчати, досліджуючи їхнє z-перетворення звичайними методами математичного аналізу. У математиці z-перетворення називають також функцією вихідної послідовності.

На підставі формули (1.46) можна знайти z-перетворення дискретних сигналів з кінцевим числом відліків. Так, найпростішому дискретному сигналу з єдиним відліком відповідає . Якщо ж, наприклад, , то

Збіжність ряду

Якщо ряді (1.46) число доданків нескінченно велике, необхідно досліджувати його збіжність. З теорії функцій комплексного змінного відомо таке. Нехай коефіцієнти даного ряду задовольняють умові

за будь-яких. Тут і постійні речові числа.

Тоді ряд (1.46) сходиться при всіх значеннях z, таких, що . У цій галузі збіжності сума низки є аналітичну функцію змінної z, яка має ні полюсів, ні істотно особливих точок.

Розглянемо, наприклад, дискретний сигнал , утворений однаковими одиничними відліками і службовець моделлю нормальної функції включення. Нескінченний ряд

є сумою геометричної прогресії і сходиться за будь-яких z в кільці. Підсумовуючи прогресію, отримаємо:

На межі області аналітичності при z = 1ця функція має єдиний простий полюс. Аналогічно виходить z-перетворення нескінченного дискретного сигналу , де а- Деяке речове число. Тут:

Даний вираз має сенс у деякій кільцевій ділянці.

Z-перетворення безперервних функцій

Вважаючи, що відліки є значенням безперервної функції в точках , будь-якому сигналу можна зіставити його z-перетворення при вибраному кроці дискретизації:

Наприклад, якщо , то відповідне z-перетворення

є аналітичною функцією при .

Зворотне z-перетворення

Нехай p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> - функція комплексної змінної z, аналітична в кільцевій області. Чудова властивість z-перетворення полягає в тому, що функція визначає всю нескінченну сукупність відліків. Дійсно, помножимо обидві частини ряду (1.46) на множник:

Потім обчислимо інтеграли від обох частин отриманої рівності, взявши в якості контуру інтегрування довільну замкнуту криву, що лежить цілком в області аналітичності і що охоплює всі полюси:

Обхід контуру інтегрування проводиться в позитивному напрямку проти годинникової стрілки.

Для вирішення рівняння (1.50) скористаємося фундаментальним становищем, що випливає з теореми Коші:

Очевидно, інтеграли від усіх доданків правої частини виразу (1.50) звернуться в нуль, за винятком доданку з номером mтому

Формула (1.51) називається зворотним z-перетворенням.

приклад

Встановлено z-перетворення виду . Знайти коефіцієнти дискретного сигналу, що відповідає цій функції.

Насамперед, визначимо, що функція аналітична у всій площині, крім точки , тому вона може бути z-перетворенням деякого дискретного сигналу.

Перед тим, як вирішувати це завдання, згадаємо з курсу вищої математики методику вирішення криволінійних інтегралів з використанням теорії відрахувань та теореми Коші про відрахування. Нехай точка є ізольована особлива точка функції. Вирахуванням функції у точці називається число, що позначається символом і визначається рівністю:

Як контур g можна взяти коло з центром у точці досить малого радіусу такого, щоб коло не виходило за межі області аналітичності функції

І не містила всередині інших особливих точок функції. Відрахування функції дорівнює коефіцієнту при мінус першого ступеня в лоранівському розкладі на околиці точки: . Вирахування в особливій точці, що усувається, дорівнює нулю.

Якщо точка є полюс n-го порядку функції

У разі простого полюса ()

Якщо функція в околиці точки представима як приватна двох аналітичних функцій

причому, тобто. є простий полюс функції

Звертаючись до формули (1.48), знаходимо, що

за будь-яких idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Таким чином, вихідний дискретний сигнал має вигляд:

Зв'язок із перетворенням Лапласа та Фур'є

Визначимо при сигнал виду ідеальної МІП:

Перетворивши його за Лапласом, отримаємо зображення за будь-яких постійних a і b. Довести цю властивість можна шляхом підстановки суми у формулу (1.46). - Послідовність чисел, загальний член якої дорівнює:

Подібну дискретну згортку, на відміну від кругової, іноді називають лінійною згорткою.

Обчислимо z-перетворення дискретної згортки:

Згортці двох дискретних сигналів відповідає добуток їх z-перетворень.

При аналізі та синтезі дискретних та цифрових пристроїв широко використовують так зване z-перетворення, що грає по відношенню до дискретних сигналів таку ж роль, як інтегральні перетворення Фур'є та Лапласа по відношенню до безперервних сигналів. У цьому параграфі викладаються основи теорії цього функціонального перетворення та його властивості.

Визначення z -перетворення. Нехай - числова послідовність, кінцева чи нескінченна, що містить відлікові значення деякого сигналу. Поставимо їй у однозначну відповідність суму ряду за негативними ступенями комплексної змінної z:

Назвемо цю суму, якщо вона існує, z-перетвореннямпослідовності (х до }. Доцільність введення такого математичного об'єкта пов'язана з тим, що властивості дискретних послідовностей чисел можна вивчати, досліджуючи їх-перетворення звичайними методами математичного аналізу.

На підставі формули (2.113) можна безпосередньо знайти z-перетворення дискретних сигналів із кінцевим числом відліків. Так, найпростішому дискретному сигналу з єдинимтвенным відліком відповідає.

Якщо ж, наприклад,

Збіжність ряду.Якщо ряді (2.113) число доданків нескінченно велике, необхідно досліджувати його збіжність. З теорії функцій комплексного змінного відомо таке. Нехай коефіцієнти даного ряду задовольняють умові

за будь-яких. Тут М > 0 та R 0 > 0 - постійні речові числа. Тоді ряд (2.113) сходиться за всіх значеньz, таких, що |z| > R 0 . У цій галузі збіжності сума низки є аналітичну функцію перемінноїz, яка має ні полюсів, ні істотно особливих точок.

Розглянемо, наприклад, дискретний сигнал, утворений однаковими одиничними відліками і службовець моделлю звичайної функції включення. Нескінченний ряд є сумою геометричної прогресії і сходиться за будь-яких кільця.

Підсумовуючи прогресію, отримуємо

На межі області аналітичності при z = 1 ця функція має єдиний простий полюс.

Аналогічно виходить z-перетворення нескінченного дискретного сигналу , де а -деяке речове число. Тут

Даний вираз має сенс у кільцевій ділянці.

z -перетворення безперервних функцій. Вважаючи, що відліки є значенням безперервної функції x(t) у точках , будь-якому сигналу x(t) можна зіставити його z-перетворення при вибраному кроці дискретизації:

Наприклад, якщо , то відповіднеz-перетворення

.

є аналітичною функцією при .

Назадz-перетворення.Нехай X(z) - функція комплексної змінноїz, аналітична в кільцевій ділянці |z| > R 0 . Чудова властивість z-перетворення полягає в тому, що функція X(z) визначає всю нескінченну сукупність відліків.

Дійсно, помножимо обидві частини ряду (2.113) на множник:

. (2.115)

а потім обчислимо інтеграли від обох частин здобутої рівності, взявши в якості контуру інтегрування довільну замкнуту криву, що лежить цілком в області аналітичності і охоплює всі полюси функції X(z). При цьому скористаємося – фундаментальним становищем, що випливає з теореми Коші:

.

Очевидно, інтеграли від усіх доданків правої частини звернуться в нуль, за винятком доданку з номером т,тому

Ця формула називається зворотним z -перетворенням .

Зв'язок із перетвореннями Лапласа та Фур'є . Визначимо при сигнал виду ідеальної МІП:

.

Перетворивши його за Лапласом, отримаємо зображення

яке безпосередньо перетворюється на z-перетворення, якщо виконати підстановку . Якщо ж покласти, то вираз

Повернемося до формули дискретного перетворення Фур'є:

Теоретично дискретних систем прийнято використовувати дещо іншу форму запису, що з введенням Z – перетворення. Зробимо таку підстановку:

.

Тоді наведена вище формула значно спроститься:

.

Знову отримана функція X(z) змінної z називається Z – зображенням чи Z – чином дискретного сигналу x(k).

Z – перетворення для дискретних сигналів і систем відіграють таку ж роль, як і перетворення Лапласа для аналогових систем. Тому розглянемо низку прикладів визначення Z – зображень деяких типових дискретних сигналів.

1.Поодинокий імпульс(рис. 9.14) є дискретним аналогом - імпульсу і являє собою одиничний звіт з одиничним значенням:

Z – перетворення одиничного імпульсу як

як і для δ - імпульсу Дірака.

2. Дискретний одиничний стрибок(Мал. 9.15) - це повний аналог функції включення Хевісайда:

Z – образ одиничного стрибка знайдеться як

Отримана сума - це сума членів нескінченної геометричної прогресії з початковим членом, рівним 1, і знаменником
. Сума членів ряду складає:

.

3. Дискретна експонента(Мал. 9.16) - це сигнал, який визначається виразом:

При
дискретна експонента є спадною (рис. 9.16), при
- Зростаючою, при
- знакозмінної.Z – образ такої експоненти

Як і в попередньому випадку, ми отримали геометричну прогресію з нульовим членом, рівним одиниці, але зі знаменником
. Нескінченна сума членів прогресії визначає Z – образ експоненти:

4. Дискретна згасаюча гармоніка. На противагу попереднім прикладам запишемо її в загальному вигляді:

г де - коефіцієнт загасання гармоніки,

ω – частота гармоніки,

φ – початкова фаза коливань,

- Період дискретизації.

Введемо такі позначення:

На рис.9.17 представлений графік дискретної загасаючої гармоніки за таких даних: а=0.9,
, φ=π/9. З урахуванням прийнятих позначень вираз для дискретної згасаючої гармоніки можна подати у вигляді:

.

При отриманні Z-образу гармоніки слід висловити функцію косинуса через суму двох комплексних експонентів. Тоді, зробивши цілу низку алгебраїчних і тригонометричних перетворень, зрештою, можна буде отримати такий вираз:

.

З наведених прикладів видно, що Z – образи більшості дискретних сигналів є дробово-раціональні функції змінної
. ПоходженняZ - перетворення від перетворення Лапласа і Фур'є призводить до того, що Z - перетворення має і схожі властивості.

1. Лінійність.

Z – перетворення лінійно, тому якщо є два сигнали , то сума цих сигналів
має Z - образ
.

2. Тимчасова затримка дискретного сигналу.

Якщо дискретний сигнал x(k), що має Z – образ X(z), затримати на m кроків дискретизації
, Затриманий сигнали (k) = x (k-m) має Z - образ
. Вираз
можна як оператор затримки сигналу однією крок дискретизації.

3. Згортка дискретних сигналів.

За аналогією зі згорткою аналогових сигналів

,

Фур'є – образ якої дорівнює твору Фур'є – образів сигналів, що згортаються, згортка двох дискретних сигналів визначається як

.

Z – образ згортки двох сигналів дорівнює добутку Z – образів вихідних дискретних сигналів

4. Розмноження на дискретну експоненту.

Якщо дискретний сигнал
, що має Z - образ
, множиться на експоненту
, тоZ – образ твору набуде вигляду
.

Розглянуті властивості Z - перетворення дозволяють у багатьох випадках без особливих труднощів знайти Z - образ заданого сигналу або вирішити зворотне завдання - за відомим Z - образу сигналу знайти його уявлення в часі.

Z–перетворення застосовується переважно розрахунку дискретних фільтрів. p align="justify"> Математичний апарат z-перетворення грає для цифрових пристроїв ту ж роль, що і для аналогових схем. За допомогою z-перетворення легко розраховуються частотні фільтри, фазові коректори або Гільбертові перетворювачі для реалізації їх у цифровому вигляді. Відразу розділимо поняття дискретного і цифрового фільтра. У дискретних фільтрах імпульсна характеристика дискретна у часі, але при цьому відліки сигналу та параметри фільтра можуть набувати будь-якого значення. У цифрових фільтрах як відліки сигналів, і параметри фільтрів (наприклад коефіцієнти) представляються двійковими числами певної розрядності. Як приклад дискретного фільтра можна навести фільтр на конденсаторах, що перемикаються.

При розгляді дискретизації сигналів ми з'ясували, що спектр вхідного аналогового сигналу при перетворенні на дискретну форму повторюється по осі частот нескінченну кількість разів. Те саме відбувається і з частотною характеристикою дискретного фільтра. Приклад зміни амлітудно-частотної характеристики фільтра НЧ за його дискретної реалізації наведено малюнку 1.

Рисунок 1. Приклад амплітудно-частотної характеристики дискретного фільтра

У наведеному прикладі частота дискретизації вибрано 50 кГц. Тому біля цієї частоти утворюються ще дві смуги пропускання дискретного фільтра. Для правильної роботи дискретного фільтра, такого як фільтр на конденсаторах, що перемикаються, або цифровий фільтр, потрібен аналоговий антиаліайсинговий фільтр, що пригнічує високочастотні складові вхідного сигналу. Його ідеалізована амплітудно-частотна характеристика проведена малюнку 1 червоним кольором.

Якщо є передатна характеристика аналогового фільтра H(s) у вигляді нулів та полюсів фільтра, то в дискретному фільтрі нулі та полюси періодично повторюються з періодом 1/ T, де T - період дискретизації. Тобто таким чином повторюється фільтра як це показано на малюнку 1. Положення нулів і полюсів на осі частот s-площини для звичайного та дискретного фільтрів наведено на малюнку 2.

Малюнок 2. Періодичне повторення нулів та полюсів на s-площині

У дискретного фільтра бачимо нескінченну кількість нулів і полюсів, що дуже зручно за його реалізації. Замість нескінченного повторення нулів та полюсів на нескінченній осі частот можна перетворити цю вісь на кільцеву (використовувати замість декартової полярну систему координат). Таке перетворення показано малюнку 3.

Малюнок 3. Перетворення комплексної s-площини на комплексну z-площину

При цьому перетворенні нульова частота займає положення точки +1 на реальній осі z-площини, частота, що дорівнює ∞, перетворюється на точку −1 на реальній осі z-площини, а сама вісь частот перетворюється на коло одиничного радіусу. При збільшенні частоти ми рухатимемося по колу проти годинникової стрілки, реалізуючи нескінченне повторення амплітудно-частотних характеристик дискретного фільтра.

Математично відображення комплексної s-площини комплексну z-площину здійснюється наступним чином:

Z = e s · T (1)

де s = σ + jω

Тоді перетворення Лапласа дискретного сигналу перетворюється на z–перетворення:

(2)

При переході з комплексної s-площини в комплексну z-площину всі нулі, що нескінченно-повторюються, і полюси дискретного фільтра в s-площині відображаються в кінцеву кількість нулів і полюсів в z-площині. Тоді вираз для передавальної характеристики дискретного фільтра може бути представлений у наступному вигляді:

(3)